TÀI LIỆU ÔN TẬP TỐT NGHIỆP PHỔ THÔNG MÔN TOÁN


Phần I. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN
QUAN
1. Hàm số bậc ba, hàm số trùng phương và các vấn
đề liên quan
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
 Tập xác định:
 = ¡
 Tính

¢
 Cho
( )
5
2
2
2
16
9
(0,75) 0

 
- -
-
- =
để tìm các nghiệm
0

(nếu có).
 Tính hai giới hạn:
lim ; lim

 
 
®- ¥ ®+¥
 Vẽ bảng biến thiên của hàm số.
 Nêu sự đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có) của
hàm số.
 Tìm điểm uốn (đối với hàm số bậc ba).
 Lập bảng giá trị.
 Vẽ đồ thị hàm số và nêu nhận xét.
3 2
( 0) y ax bx cx d a= + + + ¹
Số nghiệm của phương
trình
0
¢
=
0 >
0 <
0
¢
=
có 2 nghiệm
phân biệt
0
¢
=
có nghiệm kép

0
¢

=
vô nghiệm
 !" #
4 2
( 0) y ax bx c a= + + ¹
Số nghiệm của
phương trình
0
¢
=
0 >
0 <
0
¢
=
có 3 nghiệm
phân biệt
0
¢
=
có 1 nghiệm
duy nhất
$%"&'" !"$("
b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm
)
0
)
 Chỉ rõ
0


và
0

(hoành độ & tung độ của điểm )
0
)
 Tính
0
( )* 
¢
 Công thức:
0 0 0
( )( )  *   
¢
- = -
c) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 2 – biết trước hệ số góc
)
 Lập luận để có được
0
( )*  
¢
=
(*)
 Thay
0
( ) 
¢
vào (*) để tìm
0


 Có
0

, tìm
0

và dùng công thức
0 0 0
( )( )  *   
¢
- = -

 Lưu ý: Tiếp tuyến song song với
  = +
có hệ số
góc  = 
 Tiếp tuyến vuông góc với
( 0)   = + ¹
có
hệ số
góc
1

 =-
d) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị ( + ):  =
*( )
 Đưa phương trình về dạng:
( ) ( )*  ,- =
 Lập luận: số nghiệm của phương trình đã cho bằng với
số giao

điểm của đồ thị
( ) : ( )+  * =
và đường thẳng
: ( ).  ,- =
.
 Vẽ 2 đường đó lên cùng 1 hệ trục toạ độ và lập bảng
kết quả
 Lưu ý: nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của 
để phương
trình có đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập
bảng kết
quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thoả
đề.
e) Sự tương giao giữa đồ thị ( + ):  = *( ) và đường thẳng .: 
=   + 
 Lập phương trình hoành độ giao điểm của
( )+
và .:
( )*   = +
(*)
 Lập luận: số giao điểm của
( )+
và . bằng với số
nghiệm của (*)
 Đếm số nghiệm của (*) suy ra số giao điểm của
( )+
và
.
VÍ DỤ MINH HOẠ
Bài 1 : Cho hàm số

3 2
6 9 1   = - + +
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
 ,-() Số giao điểm… Số nghiệm
pt…
… … …. ….

b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )+
tại giao điểm
của
( )+
với
trục tung.
c) Tìm các giá trị của tham số để phương trình sau
đây có
nghiệm duy nhất:
3 2
6 9 0   - + + =
Bài giải
Câu a: Hàm số
3 2
6 9 1   = - + +
 Tập xác định:  = Ρ
 Đạo hàm:
2
3 12 9  
¢

= - +
 Cho
2
0 3 12 9 0 1   
¢
= Û - + = Û =
hoặc
3 =
 Giới hạn:
lim ; lim
 
 
®- ¥ ®+¥
= - ¥ = +¥
 Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞;1) và (3;+∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)
 Bảng giá trị:

0 1 2 3 4

1 5 3 1 5
 Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng
qua điểm
(2;3)/
như hình vẽ bên đây:
Câu b: Cho
0 (0) 1 = Þ =
.
Giao điểm của
( )+

với trục tung là:
(0;1)0

(0) 9*
¢
=
 Phương trình tiếp tuyến của
( )+
tại 0 là:
1 9( 0) 9 1   - = - Û = +
Câu c: Ta có,
3 2 3 2
6 9 0 6 9       - + + = Û - + =-
3 2
6 9 1 1   Û - + + = -
(*)
 Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đồ
thị
( )+
và
 Bảng biến
thiên:
(chú ý: do  >
0)

- ¥
1 3
+¥

¢

+ 0 – 0 +

5 +∞
–∞ 1

đường thẳng
: 1.  = -
cắt nhau tại 1 điểm duy nhất
1 5 4
1 1 0
 
 
é é
- > <-
ê ê
Û Û
ê ê
- < >
ê ê
ë ë
Bài 2 : Cho hàm số
2 3
3 2  = -
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )+
tại các giao
điểm của

( )+

với trục hoành.
c) Biện luận theo số nghiệm phương trình:
3 2
4 6 3 0  - - =
Bài giải
Câu a: Hàm số
2 3
3 2  = -
 Tập xác định:
 = ¡
 Đạo hàm:
2
6 6  
¢
= -
 Cho
2
0 6 6 0 0   
¢
= Û - = Û =
hoặc
1 =
 Giới hạn:
lim ; lim
 
 
®- ¥ ®+¥
= +¥ = - ¥

 Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
( ;0)- ¥
và
(1; )+¥
 Bảng giá trị:

1
2
-
0
1
2
1
1
2

1 0
1
2
1 0
 Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng
qua điểm
1 1
2 2
( ; )/
như hình vẽ bên đây:
Câu b: Cho
2 3
0 3 2 0  = Û - =

3
2
0

é
=
ê
Û
ê
=
ê
ë
Giao điểm của
( )+
với trục hoành là:
(0;0)1
và
3
2
( ;0),
 Bảng biến
thiên:
(chú ý: do  <
0)

- ¥
0 1
+¥

¢

– 0 + 0 –

+∞ 1
0 –∞

 Tại
(0;0)1
:
(0) 0*
¢
=
, phương trình tiếp tuyến là:
0 =
 Tại
3
2
( ;0),
:
3 9
2 2
( )*
¢
= -
, phương trình tiếp tuyến là:
27
9 3 9
2 2 2 4
0 ( )   - = - - Û =- +
Câu c: Ta có,
3 2 2 3 2 3

4 6 3 0 6 4 3 3 2       - - = Û - =- Û -
3
2
= -
(*)
 Số nghiệm phương trình (*) bằng với số giao điểm của
đồ thị
( )+

và đường thẳng
3
2
:.  = -
, do đó ta có bảng kết quả
sau đây:

3
2
-
Số giao
điểm
của
( )+
và
.
Số nghiệm của
phương trình
(*)
2
3

 <-
3
2
1- >
1 1
2
3
 = -
3
2
1- =
2 2
2
3
0- < <
3
2
0 1<- <
3 3
0 =
3
2
0- =
2 2
0 >
3
2
0- <
1 1
Bài 3 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị

( )+
của hàm số
3 2
3 3
2
  

+ +
=
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )+
biết tiếp
tuyến song
song với đường thẳng
3
2
: D =
c) Tìm toạ độ các giao điểm của
( )+
với đường thẳng
3
2
2 = +
Bài giải

Câu a:
3 2
3 3
2
  


+ +
=
 Tập xác định:
 = ¡
 Đạo hàm
2
3 6 3
0,
2
 
 
+ +
¢
= ³ " Î ¡
do đó hàm số luôn
đồng
biến trên
¡
và không đạt cực trị.
 Giới hạn:
lim ; lim
 
 
®- ¥ ®+¥
= - ¥ = +¥
 Bảng biến thiên:
 Bảng giá trị:

3-

2-
1-
0 1

9
2
-
1-
1
2
-
0
7
2
 Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng qua điểm
1
2
( 1; )/ - -
Câu b: Tiếp tuyến của
( )+
song song với đường thẳng
3
2
: D =
có hệ số góc
3
0
2
( ) * 
¢

= =
2
0 0
3 6 3
2
 + +
Û =
3
2
2 0
0 0
0
0
3 6 0
2

 

é
=
ê
Û + = Û
ê
= -
ê
ë
 Với
0
0 =
thì

0
(0) 0 = =
, tiếp tuyến tương ứng là
3 3
2 2
0 ( 0)   - = - Û =
(trùng với
D
)
 Với
0
2 = -
thì
0
( 2) 1 = - =-
, tiếp tuyến tương ứng là
3 3
2 2
1 ( 2) 2   + = + Û = +
(song song với
D
)
 Vậy, tiếp tuyến thoả đề là
3
2
2 = +

- ¥
1-
+¥


¢
+ 0 +

+∞
–∞
1
2
-

Cõu c: Honh giao im (nu cú) ca
( )+
v
3
2
2 = +
l
nghim phng trỡnh
3 2
3 3
2
+ +
=
3 2
3
2 3 3 3 4
2
+ + + = +
3 2 2
1

3 4 0 ( 1)( 4 4) 0
2



ộ
=
ờ
+ - = - + + =
ờ
= -
ờ
ở

7
2
1 = ị =
v
2 1 = - ị = -
Vy,
( )+
v
3
2
: 2. = +
ct nhau ti 2 im:
( )
7
2
1;0

v
( 2; 1), - -
Bi 4 : a) Kho sỏt v v th
( )+
ca hm s:
4 2
2 3 = - -
b) Vit phng trỡnh tip tuyn vi th
( )+
ti im
trờn
( )+
cú honh l nghim ca phng trỡnh
( ) 20*
ÂÂ
=
c) Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s phng trỡnh sau
õy cú nhiu
hn hai nghim:
4 2
2 0 - + =
Bi gii
Cõu a:Hm s
4 2
2 3 = - -
Tp xỏc nh:
= Ă

3
4 4

Â
= -
Cho
3
0 4 4 0 0; 1
Â
= - = = =
Gii hn:
lim ; lim


đ- Ơ đ+Ơ
= +Ơ = +Ơ
Bng bin thiờn:

1 0 1 +

Â
0 + 0 0 +

+
3-
+
4 4

 Hàm số đồng biến trên các khoảng trên (–1;0), (1;+∞)
và nghịch
biến trên các khoảng (–∞;–1), (0;1).
 Bảng giá trị:


2-
–1 0 1
2

–3 –4 –3 –4 –3
 Đồ thị hàm số là đường cong đối
xứng
qua trục tung như hình vẽ
Câu b:
Ta có,
2 2 2
12 4 20 12 24 2 2    
¢¢
= - = Û = Û = Û = ±
 Đáp số:
4 2 11 = -
và
4 2 11 =- -
(học sinh tự
giải)
Câu c:Ta có,
4 2 4 2
2 0 2 3 3     - + = Û - - =- -
(*)
 Phương trình (*) có nhiều hơn 2 nghiệm khi và chỉ khi
( )+
và
: 3.  =- -
cắt nhau tại nhiều hơn 2 điểm (3
hoặc 4 điểm)

3 3 0
0 1
3 4 1
 

 
ì ì
ï ï
- - £ - ³
ï ï
Û Û Û £ <
í í
ï ï
- - > - <
ï ï
ï ï
î î
Bài 5 :a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số:
4 2
4 3  = - + -

b) Dùng đồ thị
( )+
biện luận số nghiệm pt sau:
4 2
4 0  - + =
Hướng dẫn giải và đáp số
Câu a: HS tự giải để có được đồ thị:

Câu b: Biến đổi phương trình ta được:

4 2 4 2
4 0 4 3 3     - + = Û - + - = -
 Bảng kết quả số nghiệm của phương trình đã cho

 –3
Số giao
điểm
của
( )+
và .
Số nghiệm
của
phương
trình (*)
 > 4 –3 > 1 0 0
= 4 –3 = 1 2 2
0 < <
4
–3 < –3
< 1
4 4
 = 0 –3 = –3 3 3
< 0 –3 < –3 2 2

BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC BA VÀ HÀM SỐ TRÙNG
PHƯƠNG
Bài 6 : Cho hàm số
3

– 3 1  = +
có đồ thị là
( )+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )+
tại điểm thuộc
( )+
có hoành độ bằng
2.
c) Viết pttt với
( )+
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.
d) Tìm điều kiện của để phương trình sau có 3 nghiệm
phân biệt:
3
– 3 1 2 0  + + =
.
Bài 7 : Cho hàm số
3 2
1 3
2 2
2  = - + -
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )+

song song với đường thẳng .:
9
2
2 = - +
c) Tìm các giá trị của  để phương trình sau đây có
nghiệm duy nhất:
3 2
3 4 0  - - - =
Bài 8 : Cho hàm số
3 2
2 3 1  = + -
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )+
tại giao điểm của
( )+
với trục hoành.
c) Viết pttt với
( )+
biết tiếp tuyến song song với
: 12 1.  = -
d) Biện luận theo  số nghiệm phương trình:
3 2
2 3 2 0  + + =
Bài 9 : Cho hàm số
3 2
1 3 5
3 2 2

  = - + -
có đồ thị là
( )+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )+
tại điểm trên
( )+
có hoành độ thoả
1
¢¢
=
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )+
và
: 2 0.  - =
.
d) Tìm các giá trị của để phương trình sau có nghiệm
duy nhất
3 2
2 9 6 0
 
2 2 - + =

Bài 10 : Cho hàm số
3 2
1
3

  = -
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Viết pttt của
( )+
tại điểm trên
( )+
có tung độ bằng 0.
c) Viết pttt của
( )+
song song với đường thẳng
8 3 = -
d) Tìm các giá trị của  để phương trình sau đây có
nghiệm duy nhất:
3 2
3 log 0  - - =
Bài 11 : Cho hàm số
3 2
2 3 1  = - -
(*)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Tìm toạ độ giao điểm của
( )+
với đường thẳng .:
1 =- -
c) Biện luận theo số nghiệm của phương trình
3 2

4 6 1 0  - + - =
Bài 12 : Cho hàm số
3 2
3 2  = - +
,

là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Viết pttt của
( )+
vuông góc với đường thẳng .:
1 1
3 3
 = -
c) Tìm các giá trị của đường thẳng
2 = +
cắt
( )+
tại ba điểm phân biệt.
Bài 13 : Cho hàm số
3 2
3 2  = - + -
có đồ thị
( )+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của

( )+
tại điểm 0(0; –2)
c) Viết pttt của
( )+
biết tiếp tuyến song song với
9 4 4 0 - - =
d) Biện luận theo  số giao điểm của
( )+
và
: 2.  = -
Bài 14 : Cho hàm số
3
4 3 1  = - -
, có đồ thị là
( )+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Tìm  để phương trình
3
4 3 1  - - =
có đúng 3
nghiệm.

c) Viết pttt với
( )+
tại giao điểm của
( )+
với trục hoành.
d) Viết pttt với

( )+
biết tiếp tuyến vuông góc với
1
72
:.  = -
Bài 15 : Cho hàm số
3 2
2 6 6 2   = - + -
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )+
, 1 ,
1, 2 = =
Bài 16 : Cho hàm số
2 2
(2 )  = -
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )+
tại điểm trên
( )+
có hoành độ bằng
2-
c) Viết pttt với
( )+
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24.

d) Tìm các giá trị của tham số để phương trình sau có
4 nghiệm
4 2
2 0  - + =
Bài 17 : Cho hàm số
4 2
2 3  = + -
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Viết pttt của
( )+
tại điểm trên
( )+
có tung độ bằng 5.
c) Tìm điều kiện của để phương trình sau đây có đúng
2 nghiệm:
4 2
2 3 2 0  + + + =
Bài 18 : Cho hàm số
1
2
 =
4 2
3 - +
3
2
có đồ thị
( )+
.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )+
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –8.
c) Tìm

để phương trình sau có 4 nghiệm:
4 2
6 log 0  - + =
Bài 19 : Cho hàm số
2 2
(1 ) 6 = - -
có đồ thị
( )+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Biện luận theo  số nghiệm của phương trình :
4 2
2  - =

c) Viết pttt của
( )+
biết tiếp tuyến vuông góc với
1
24
:.  = -
Bài 20 : Cho hàm số

1
4
 =-
4 2
2 1 + -
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Tìm  để phương trình
4 2
8 4  - + =
có nhiều hơn 2
nghiệm
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )+
tại điểm
trên
( )+
có hoành độ là nghiệm của phương trình
( ) 10 
¢¢
=
Bài 21 : Cho hàm số
1
4
 =
4 2
2 -
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+

của hàm số.
b) Viết pttt của
( )+
song song với
1
: 15 2012.  = +
.
c) Viết pttt của
( )+
vuông góc với
2
:.
8
45
2012 = - +
d) Tìm  để phương trình
4 2
8  - + =
có 4 nghiệm
phân biệt.
Bài 22 : Cho hàm số
4 2
( 1)   = - - +
có đồ thị
( )+
a) Tìm  để đồ thị hàm số đi qua điểm
( 1;4)) -

b) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )+

của hàm số khi
2 = -
.
c) Gọi
( )3
là hình phẳng giới hạn bởi
( )+
và trục hoành.
Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay
( )3
quanh trục hoành.

2. Hàm số nhất biến và các vấn đề liên quan
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
( 0, 0) . ¹ - ¹
 

 .
+
=
+
 Tập xác định:
{ }
\
.

 = -¡
 Tính
2
( )

. 

 .
-
¢
=
+
và khẳng định

¢
dương hay âm,
.

" ¹ -
 Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến trên mỗi
khoảng xác
định
( ; ),( ; )
. .
 
- ¥ - - +¥
và không đạt cực trị.
 Tính các giới hạn và tìm hai tiệm cận:
 Tính
lim




®- ¥

=
và
lim




®+¥
=
, suy ra



=
là TCN
 Tính
( )
lim
.



-
® -
và
( )
lim
.




+
® -
, suy ra
.


= -
là TCĐ
 Vẽ bảng biến thiên của hàm số.
 Lập bảng giá trị.
 Vẽ đồ thị hàm số (có 2 tiệm cận) và nêu nhận xét.
( 0, 0)
ax b
y c ad cb
cx d
+
= ¹ - ¹
+
0
¢
>
0
¢
<

4 5" $ 6" 7
 !""  #8 &9" 7
b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm
)

0
)
 Chỉ rõ
0

và
0

(hoành độ & tung độ của điểm )
0
)
 Tính
0
( )* 
¢
 Công thức:
0 0 0
( )( )  *   
¢
- = -
c) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 2 – biết trước hệ số góc
)
 Lập luận để có được
0
( )*  
¢
=
(*)
 Thay
0

( ) 
¢
vào (*) để tìm
0

 Có
0

, tìm
0

và dùng công thức
0 0 0
( )( )  *   
¢
- = -
 Lưu ý: Tiếp tuyến song song với
  = +
có hệ số
góc  = 
 Tiếp tuyến vuông góc với
( 0)   = + ¹
có
hệ số
góc
1

 = -
d) Sự tương giao giữa đồ thị ( + ):  = *( ) và đường thẳng .: 
=   + 

 Lập phương trình hoành độ giao điểm của
( )+
và .:
( )*   = +
(*)
 Lập luận: số giao điểm của
( )+
và . bằng với số
nghiệm của (*)

 Đếm số nghiệm của (*) suy ra số giao điểm của
( )+
và
.
VÍ DỤ MINH HOẠ
Bài 23 : Cho hàm số
2 1
1



+
=
+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )+
tại điểm trên

( )+
có tung
độ bằng
5
2
c) Chứng minh rằng đường thẳng
: 2.   = - +
luôn
cắt đồ thị

( )+
tại 2 điểm phân biệt.
Bài giải
Câu a: Hàm số
2 1
1



+
=
+
 Tập xác định:
\ { 1} = -¡
 Đạo hàm:
2
1
0, 1
( 1)
 


¢
= > " ¹ -
+
, do đó hàm số đồng
biến
trên các khoảng
( ; 1)- ¥ -
,
( 1; )- +¥
và không đạt cực
trị.
 Giới hạn và tiệm cận:
lim 2 ; lim 2
 
 
®- ¥ ®+¥
= = Þ
 = 2 là tiệm cận ngang.

( 1) ( 1)
lim ; lim
 
 
- +
® - ® -
= +¥ = - ¥ Þ
1 =-
là tiệm cận
đứng.

 Bảng biến thiên:
:
- ¥
1-
+¥

¢
+ +
;
+¥
2
2
- ¥
 Bảng giá trị:

–2
3
2
-
–1
1
2
0

3 4
P
0 1

 Đồ thị hàm số gồm hai nhánh đối xứng
nhau qua điểm

( 1;2)/ -
như hình vẽ
Câu b: Với
5
2
 =
thì
2 1 5
2(2 1) 5( 1) 3
1 2

  

+
= Û + = + Û = -
+
 Ta có
2
1 1
4
( 2)
( 3)*
-
¢
- = =
 Vậy, tiếp tuyến của
( )+
tại
5
2

( 3; )) -
là:
5 1 1 13
2 4 4 4
( 3)   - = + Û = +
Câu c:Hoành độ giao điểm (nếu có) của
( )+
và .là nghiệm
phương trình
2 1
2 2 1 ( 2 )( 1)
1

     

+
= - + Û + = - + +
+
,
1 ¹ -
2
2 (4 ) 1 0   Û + - + - =
(*) (
1 =-
không thoả (*))
 Biệt thức của phương trình (*):
2 2
4 12 ( 2) 8 0,   D = - + = - + > " Î ¡
 Do
0D >

nên (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt, từ đó
( )+
và .luôn có 2 điểm chung phân biệt.
Bài 24 :a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số
3
2



-
=
-
b) Viết pttt của
( )+
biết tiếp tuyến song song với
:.  = -
c) Tìm các giá trị của để đường thẳng
:.   = - +
cắt
đồ thị

( )+
tại 2 điểm phân biệt.
Câu a: Hàm số
3 3
2 2
 


 
- -
= =
- - +
 Tập xác định:
\ {2} = ¡
 Đạo hàm:
2
1
0, 2
(2 )
 

-
¢
= < " ¹
-
, do đó hàm số nghịch
biến
trên các khoảng
( ;2)- ¥
,
(2; )+¥
và không đạt cực trị.
 Giới hạn và tiệm cận:

lim 1 ; lim 1


đ- Ơ đ+Ơ

= - = - ị
1 =-
l tim cn ngang.

2 2
lim ; lim


- +
đ đ
= - Ơ = +Ơ ị
2 =
l tim cn ng.
Bng bin thiờn:

- Ơ
2
+Ơ

Â
-
-

1-
- Ơ
+Ơ
1-
Bng giỏ tr:

0 1 2 3 4

3
2
-
2
P
0
1
2
-
th hm s gm hai nhỏnh i xng
nhau qua im
(2; 1)/ -
nh hỡnh v
Cõu b: Vỡ tip tuyn song song vi ng thng
=-
nờn
cú h s
gúc
0
( ) 1 *
Â
= = -
2
0
1
1
(2 )
-
=-

-
2
0
(2 ) 1 - =
0 0
0 0
2 1 1
2 1 3


ộ ộ
- = =
ờ ờ

ờ ờ
- = - =
ờ ờ
ở ở
ỏp s: cú 2 tip tuyn tho l
1 =- -
v
3 = - +
Cõu c: Phng trỡnh honh giao im ca
( )+
v .:
3
2

-
= - +
-
2
( 3) 2 3 0 - + + + =
(*)

( )+
v .ct nhau ti 2 im phõn bit khi v ch khi
phng trỡnh (*) cú 2 nghim phõn bit
2
0 2 3 0 D > - - >
( ; 1) (3; ) ẻ - Ơ - ẩ +Ơ
Vy vi
( ; 1) (3; ) ẻ - Ơ - ẩ +Ơ
thỡ th
( )+
v ng
thng
:. = - +
ct nhau ti 2 im phõn bit.

BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ NHẤT BIẾN
Bài 25 : Cho hàm số
2 1
1



+

=
-
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b)Viết pttt với
( )+
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –3.
c) Viết pttt với
( )+
tại điểm trên
( )+
có tung độ bằng
7
2
d) Tìm  để
: ( 1) 2.   = + +
cắt
( )+
tại 2 điểm phân
biệt.
Bài 26 : Cho hàm số
2 1
1



+
=
+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )3
của hàm số.
b)Lập phương trình tiếp tuyến của
( )3
biết tiếp tuyến
song song với đường phân giác của góc phần tư thứ
nhất.
c) Viết pttt với
( )3
tại điểm trên
( )3
có hoành độ bằng
3-
.
d) Tìm để đường thẳng
1 = +
cắt
( )+
tại 2 điểm
phân biệt.
Bài 27 : Cho hàm số
2 1
2



-
=
-

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )+
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng
3
4
-
c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số

đường thẳng
  = -
luôn cắt đồ thị
( )+
tại hai điểm
phân biệt.
Bài 28 : Cho hàm số
3
2
1


= +
-

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Viết pttt với đồ thị

( )+
tại giao điểm của
( )+
với trục
hoành.
c) Tìm  để đường thẳng
:.   = -
cắt
( )+
tại 2 điểm
phân biệt
Bài 29 : Cho hàm số
2
3



+
=
-
có đồ thị
( )+
.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )+
tại điểm trên

( )+
có hoành độ bằng
1.
c) Viết pttt với
( )+
tại điểm trên
( )+
có tung độ bằng
3
2
-
d) Viết pttt với
( )+
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng
5
4
-
e) Xác định toạ độ giao điểm của
( )+
và
3 2 = - +
Bài 30 : Cho hàm số
2
1


=
+
có đồ thị là
( )+

.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )+
tại các
giao điểm của
( )+
với đường thẳng
: 2 1.  = -
c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2]
d) Viết pttt của
( )+
biết tiếp tuyến song song với
1 3
2 2
 = - +
e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )+
trục hoành
và hai đường thẳng  = 0,  = 2.
Bài 31 : Cho hàm số
1
1



-
=

+
có đồ thị
( )+
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b)Tìm điểm ) trên trục hoành mà tiếp tuyến của
( )+
đi
qua điểm ) song song với đường thẳng .:  = –2
Bài 32 : Cho hàm số
2
1



-
=
+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )+
tại giao điểm của
( )+
với
: 2 3.  = -
.
c) Viết pttt của
( )+

vuông góc với đường thẳng
1
2
2012 = +
d) Tìm  để đường thẳng .:
2 = +
cắt cả hai nhánh
của
( )+
.
Bài 33 : Cho hàm số
2 3
1



-
=
-

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )+
, 1 và
2 =
.
c) Viết phương trình các đường thẳng song song với
đường thẳng

3 = - +
đồng thời tiếp xúc với đồ thị
( )+
Bài 34 : Cho hàm số
3 4
1



+
=
-
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )+
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )+
tại giao điểm của
( )+
với trục tung.
c) Viết pttt với
( )+
tại các giao điểm của
( )+
với
: 2 4.  =- -
d) Tìm  để đường thẳng
: 3 D = +
đồ thị
( )+

không
giao nhau
e) Tìm tất cả các điểm trên
( )+
có toạ độ đều là các số
nguyên.
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x ) trên đoạn
[ a ; b ]
 Hàm số
( ) * =
liên tục trên đoạn [;].
 Tính
( ) * 
¢ ¢
=
.
 Cho
0
¢
=
để tìm các nghiệm
[ ; ]

  Î
(nếu có) và các
số

[ ; ]
<
  Î

làm cho

¢
không xác định (=> 
[ ; ]  Ï
l
)
 Tính các giá trị
( )

* 
,
( )
<
* 
và
( ), ( )*  * 
("&?@
*
8

l
A> )
 Chọn kết quả lớn nhất và kết quả nhỏ nhất từ bước 4
để kết luận
về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
đoạn [;].
4. Điều kiện để hàm số có cực trị (tóm tắt)

 Nếu

0
0
( ) 0
( ) 0
* 
* 
ì
¢
ï
=
ï
í
¢¢
ï
<
ï
ï
î
thì hàm số
( ) * =
đạt cực đại tại
0

 Nếu
0
0
( ) 0
( ) 0
* 
* 

ì
¢
ï
=
ï
í
¢¢
ï
>
ï
ï
î
thì hàm số
( ) * =
đạt cực tiểu tại
0

 Hàm số
3 2
    .= + + +
có cực đại, cực tiểu
0

¢
Û D >
 Hàm số
4 2
   = + +
có cực đại, cực tiểu
. 0Û <

5. Điều kiện để hàm số đơn điệu trên từng khoảng
xác định
 Hàm số
3 2
    .= + + +
đồng biến trên
¡
0
0,
0

 

¢
ì
ï
D £
ï
¢
Û ³ " Î Û
í
ï
>
ï
ï
î
¡
 Hàm số
3 2
    .= + + +

nghịch biến trên
¡
0
0,
0

 

¢
ì
ï
D £
ï
¢
Û £ " Î Û
í
ï
<
ï
ï
î
¡
 Hàm số
 

 .
+
=
+
đồng biến trên từng khoảng xác

định
0, 0   . 
¢
Û > " Î Û - >
(không có dấu “=”)
 Hàm số
 

 .
+
=
+
nghịch biến trên từng khoảng xác
định
0, 0   . 
¢
Û < " Î Û - <
(không có dấu “=”)
VÍ DỤ MINH HOẠ
Bài 35 : Tìm giá trị lớn nhất và giá nhị nhỏ nhất của
hàm số:
a)
3 2
8 16 9   = - + -
trên đoạn [1;3]
b)
2
4ln(1 )  = - -
trên đoạn [–3;0]
c)

3 2
2ln 3ln 2  = - -
trên đoạn
2
[1; ]2
d)
2
( 1)

 2  = - -
trên đoạn [0;2]

Bi gii
Cõu a: Hm s
3 2
8 16 9 = - + -
liờn tc trờn on [1;3]
o hm:
2
3 16 16
Â
= - +
Cho
2
0 3 16 16 0
Â
= - + =
loaùi
nhaọn
4

3
4 [1;3] ( )
[1;3]( )


ộ
= ẽ
ờ

ờ
= ẻ
ờ
ở
Trờn on [1;3] ta cú:
( )
; ;
4 13
3 27
(1) 0 (3) 6B *= = =-
Do
13
27
6 0- < <
nờn
[1;3]
min (3) 6

*
ẻ
= = -

v
[1;3]
max


ẻ
( )
4 13
3 27
*= =

Cõu b: Hm s
2
4ln(1 ) = - -
liờn tc trờn on [3;0]

2
4 2 2 4
2
1 1



- + +
Â
= + =
- -
Cho
(nhaọn)
(loaùi)

2
1 [ 3;0]
0 2 2 4 0
2 [ 3;0]



ộ
= - ẻ -
ờ
Â
= - + + =
ờ
= ẽ -
ờ
ở
Trờn on [2;0]:
; ; ( 1) 1 4ln2 ( 3) 9 8ln2 (0) 0B *- = - - = - =
Do
16
1 4ln2 ln 0
2
- = <
v
2
9 8ln2 1 8ln 0
2
- = + >
nờn
[ 3;0]

min ( 1) 1 4ln2

*
ẻ -
= - = -
v
[ 3;0]
max ( 3) 9 8ln2

*
ẻ -
= - = -
Cõu c: Hm s
3 2
2ln 3ln 2 = - -
liờn tc trờn on
2
[1; ]2
t
ln =
thỡ
2
[1; ] [0;2] 2 ẻ ẻ
, hm s tr thnh
3 2
( ) 2 3 2 " = = - -
cú
2
0 [0;2]
( ) 6 6 0

1 [0;2]

"

ộ
= ẻ
ờ
Â
= - =
ờ
= ẻ
ờ
ở
Trờn on [0;2]:
(0) 2; (1) 3; (2) 2" " "= - = - =
Do
3 2 2- <- <
nờn
2
[1; ]
min (1) 3
2
"
ẻ
= =-
v
2
[1; ]
max (2) 2
2

"
ẻ
= =
Cõu d: ỏp s:
[0;2]
min (1) * 2= = -
v
2
[0;2]
max (2) * 2= =
Bi 36 : Tỡm iu kin ca tham s hm s
3 2
4 3 = + + +
a) ng bin trờn
Ă
b) Cú cc i v cc tiu

Bài giải
Câu a:
3 2
4 3   = + + +
(*)
 Tập xác định:  = Ρ
 Đạo hàm:
2
3 2 4  
¢
= + +
có
2

12


¢
¢
D = -
 Hàm số (*) đồng biến trên
¡
0, 
¢
Û ³ " Î ¡
2
3 0
0
2 3
0
12 0




¢
ì
ì
ï
ï
>
>
ï
ï

ï
Û Û Û £
í í
¢
ï ï
D £
- £
ï ï
ï
î
ï
î
 Vậy, với
2 3;2 3
é ù
Î -
ê ú
ë û
thì hàm số (*) đồng biến trên
¡
Câu b:Hàm số (*) có cực đại và cực tiểu
0
¢
Û =
có 2
nghiệm phân biệt
2
0 12 0 ( ; 2 3) (2 3; )

 

¢
¢
Û D > Û - > Û Î - ¥ - È +¥
 Vậy với
( ; 2 3) (2 3; )Î - ¥ - È +¥
thì hàm số (*) có cực
đại và cực tiểu.
Bài 37 : Tìm điều kiện của  để hàm số
3 2 2
3 ( 1) 2    = - + - +
đạt cực đại tại
0
2 =
Bài giải
Câu a:
3 2 2
3 ( 1) 2    = - + - +
(*)
 Tập xác định:  = Ρ
 Đạo hàm:
2 2
( ) 3 6 ( 1) *    
¢ ¢
= = - + -
( ) 6 6 *   
¢¢ ¢¢
= = -
 Hàm số (*) đạt cực đại tại
0
2 =

khi và chỉ khi
2
(2) 0 {1;11}
12 11 0
11
(2) 0 2
12 6 0
* 
 

* 

ì
ì ì
ï
¢
ï ï
= Î
- + =
ï
ï ï
ï
Û Û Û =
í í í
¢¢
ï ï ï
< >
- <
ï ï ï
ï ï

î î
ï
î
 Vậy với
11 =
thì hàm số (*) đạt cực đại tại
0
2 =
Bài 38 : Chứng minh rằng nếu
sin



2
=
thì
2 2 0  
¢¢ ¢
+ + =