TÀI LIỆU ÔN TẬP CUỐI MÔN TOÁN LỚP 11

NỘI DUNG ÔN TẬP CUỐI NĂM LỚP 11
MÔN TOÁN
STT NỘI DUNG MỤC TIÊU
1.
Phương trình lượng giác.
- Học sinh giải được phương trình lượng giác cơ
bản.
- Nhắc lại và củng cố phương trình lượng giác
thường gặp.
2.
Đại số tổ hợp, xác suất
thống kê.
- Phân biệt được hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Vận
dụng được vào bài toán tính số phần tử của tập
hợp.
- Xác định được hệ số trong khai triển nhị thức
Newton.
- Tính được xác suất của một biến cố bằng công
thức xác suất cổ điển.
3. Giới hạn
- Tính được giới hạn của dãy số.
- Tính được giới hạn của hàm số.
- Xác định được tính liên tục của hàm số tại một
điểm và trên tập xác định. Áp dụng tính liên tục
để chứng minh phương trình có nghiệm.
4. Đạo hàm
- Tính thành thạo đạo hàm của các hàm số lũy thừa,
căn bậc hai và các hàm số lượng giác. Vận dụng
được kiến thức tính đạo hàm vào các bài tập liên
quan đến đạo hàm.
5. Hình học không gian

- Biết chứng minh hai đường thẳng vuông góc,
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt
phẳng vuông góc.
- Biết tính khoảng cách giữa điểm và đường thẳng,
giữa điểm và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng song
song và giữa hai đường thẳng chéo nhau.
- Biết phối hợp và sử dụng các kiến thức cơ bản và
các kĩ năng cơ bản để giải những bài toán mang
tính tổng hợp, biết khai thác mối quan hệ giữa
tính song song và tính vuông góc của đường
thẳng và mặt phẳng trong không gian.
6. Ôn tập theo dạng đề
- Ôn tập kiến thức tổng hợp và cho học sinh tự
đánh giá khả năng hoàn thành kiến thức trọng tâm
của chương trình toán 11.
2
CH 1. PHNG TRèNH LNG GIC
A. CễNG THC NGHIM CN NH
Cụng thc nghim Cỏc trng hp c bit
sin sin
-
cos cos
-
tan tan ( ; )
cot cot ( ; )
u v k
u v
u v k
u v k
u v

u v k
u v u v k u v k
u v u v k u v k







= +

=

= +

= +

=

= +

= = + +
= = +
2

2
2

2

2

( u; v laứ caực bieồu thửực chửựa aồn vaứ
Zk

)

sin 1 2
2
sin 0
sin 1 2
2
cos 1 2
cos 0
2
cos 1 2









= = +
= =
= = +
= = +

= = +
= =
x x k
x x k
x x k
x x k
x x k
x x k
B. BI TP P DNG
Bi 1. Gii cỏc phng trỡnh lng giỏc sau
a)
=
1
sin2
2
x
b)
2
cos( )
4 2
x

=
c)
03)
6
2sin(2 =+

x
d)

03)
3
cos(2 =+

x
e)
2
cot 5 cot 3
3 6
x x


=
ữ ữ

)cos cos
2
2 4
3 5
f x x


+ =
ữ ữ

g)
2
tan cot 2
4 3
x x

+ =
ữ ữ

h)
5
7 tan 2 21 0
6
x


=
ữ

i)
( ) ( )
xx =
00
54sin273sin
j)
sin 2 cos3 0
4
x x


+ + =
ữ

k)

0cos32sin = xx

Bi 2. Tỡm nghim ca phng trỡnh trờn cỏc khong cho trc
3 3
a)sin 2 , ; ;
3 2 2
x x



=
ữ




b)
0
tan(2 15 ) 1x
=
, vi
0 0
180 90x < <
c) sin(2x - 10
o
) =
1
2
với -120
o

< x < 90
o
d)

cos(2x + 1) =
2
2
với - < x < .
Bi 3. Cho hm s
( )
tan3 .f x x=
a) Tỡm iu kin cú ngha ca hm s.
b) Gii phng trỡnh
( )
' 4 0.f x =
3
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A.LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
Dạng phương trình Phương pháp giải

+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0

tan tan 0
cot cot 0
a x b x c
a x b x c
a x b x c
a x b x c
( )
, , ; 0a b c R a∈ ≠
Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx)
Ta được phương trình :
2
0at bt c+ + =
(1)
Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
Chú ý : Nếu
sin , cost x t x= =
thì điều kiện
1 1t− ≤ ≤
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 4. Giải các phương trình sau
a)
01sin2sin3
2
=++ xx
b)
2
3tan 4 3 tan 3 0x x− + =
c)
02cos2cos2
2

=−+ xx
d)
01sincos
2
=++ xx
e)
01cos2sin2cos
2
=+−+ xxx
f)
012sin4cos3
=+−
xx
g)
2
cos 2 sin 2cos 1 0x x x+ + + =
h)
3cos 2 2(1 2 sin )sin 3 2 0x x x+ + + − − =
i)
2
3
3cot 3
sin
x
x
= +
Bài 5. Giải các phương trình sau
d)
2cos cos2 1 cos2 cos3x x x x
= + +

e)
4 4
1
sin cos sin2
2
x x x+ = −

f)
0)2
2
cos()cos(sin2
44
=−−+ xxx
π
g)
4 4
sin cos 1 2sin
2 2
x x
x+ = −

h)
0cos.sincossin
44
=++ xxxx
Bài 6. Tìm nghiệm của phương trình trên các khoảng cho trước

2
3 3 0sin x sin x+ =
,

2 4
3 3
x ;
π π
 
∈
 
 

D ẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x VÀ cos x
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Dạng phương trình Phương pháp giải
+ = ≠sin os (1) ( a;b 0)a x bc x c
Chú ý:
-Phương trình có nghiệm
2 2 2
a b c⇔ + ≥
-Trong trường hợp phương trình cho
dưới dạng:
+ =os sin (1) ac x b x c
, với
cách đặt như bên, phương trình được đưa
về dạng
α α
α
⇔
+
⇔
+
2 2

2 2
c
cosx.cos + sin .sin =
a
c
cos(x- ) = (3)
a
x
b
b
Vậy tùy theo dạng của phương trình,
khi áp dụng cơng thức cộng ta sẽ đưa
Chia hai vế của phương trình cho
2 2
a b+
thì pt
⇔ + =
+ + +
2 2 2 2 2 2
(1) sin os
a b c
x c x
a b a b a b
(2)

Đặt
2 2 2 2
b
cos và sin
a

a
a b b
α α
= =
+ +
với
[
)
0;2
α π
∈
thì :
α α
α
⇔
+
⇔
+
2 2
2 2
c
(2) sinx.cos + cos .sin =
a
c
sin(x+ ) = (3)
a
x
b
b
Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x.

4
về các phương trình cơ bản khác nhau.
-Ngoài ra ta còn có thể đặt
α α
= =
+ +
2 2 2 2
b
sin vaø os
a
a
c
a b b
.
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 7. Giải các phương trình sau:

3
1) 3sin 3 cos
2
x x
−
+ =

2) 3 cos9 sin9 2x x+ =
3)
3
cos3x + sin3x =
2
;

4). 4sinx – 3cosx = 5; 5) 3sin2x + 2cos2x = 3;
Bài 8. Giải các phương trình sau:
1) 2
2
(sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x
2) 3sin 2 4cos(3 2 ) 5x x
π
+ + =
3) cos7 cos5 3sin 2 1 sin7 sin5x x x x x− = −

( ) ( )
4) 1 3 sin 1 3 cos 1x x+ + − =
Bài 9. Giải phương trình
='( ) 0f x
với:
a)
= + +( ) 3cos 4sin 5f x x x x
b)
= − − −( ) cos 3sin 2 1f x x x x
c)
= +
2
( ) sin 2cosf x x x
d)
= − −
cos4 cos6
( ) sin
4 6
x x
f x x

e)
π +
= − π + +
3
( ) 1 sin( ) 2cos
2
x
f x x
f)
= − + −( ) sin3 3cos3 3(cos 3sin )f x x x x x
.
5
CH 2. I S T HP - XC SUT
I. Các bài toán về Chỉnh hợp, Tổ hợp và phép đếm
A. Kiến thức cần nhớ:
1. Quy tắc đếm: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân
2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n

1)
a) Hoán vị
ĐN: Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A đợc gọi là một hoán vị của n phần
tử đó.
Số hoán vị của n phần tử kí hiệu là: P
n
P
n
= n! = n(n-1) 2.1; P
1
= 1; Quy ớc: P

0
= 0! = 1
b) Chỉnh hợp
ĐN: Mỗi bộ sắp thứ tự gồm k phần tử của tập A là một chỉnh hợp chập k của n phần tử (của tập
A).
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu là:
k
n
A
*
!
( 1) ( 1) ; ( , , )
( )!
k
n
n
A n n n k n k N k n
n k
= + =

; Quy ớc
0
1
n
A =

c) Tổ hợp
ĐN: Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A đợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử
Số tổ hợp chập k của n phần tử kí hiệu là:
k

n
C

!
; ( , ,0 )
! !( )!
k
k
n
n
A
n
C n k N k n
k k n k
= =

; Chú ý:
0 1 0
0 1
1
n
n n
C C C C= = = =

T.Chất:
1
1
;
k n k k k k
n n n n n

C C C C C

+
= = +
B. Bài tập
Bài tập về PT, BPT có liên quan đến các số P
n
;
k
n
C
;
k
n
A
Bi 1. Giải các PT, BPT:
a)
4 5 6
1
3
n n n
C C C
+
+ =
ĐS: n = 6. b)
1 2
2 2
2,5
n n
n n n

C C A

+ +
+ >
ĐS: n

2.
c)
4 3 4
1
23 24( )
n
n n n
A A C

+
=
ĐS: n = 5. d)
3 2
2 9
n
n n
A C n

+
ĐS: n = {3; 4}
Bi 2. Giải bất PT hai ẩn n, k với n, k

0
2

5
3
60
( )!
k
n
n
P
A
n k
+
+
+


ĐS: (0; 0), (1; 0), (1;1), (2;2), (3; 3).
Bi 3. Tính giá trị của biểu thức
4 3
1
3
( 1)!
n n
A A
M
n
+
+
=
+
nếu

2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + =
. ĐS: 3/4
Bi 4. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n

4). Biết rằng số tập hợp con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần
số tập hợp con gồm 2 phần tử của A. ĐS: A có 18 phần tử.
Các bài tập về phép đếm có liên quan đến hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp
Bi 5. Có 6 phong bì th khác nhau và 5 tem th khác nhau. Ngời ta chọn và dán 3 tem lên ba bì th, mỗi
bì th gián một tem. Hỏi có bao nhiêu cách làm nh thế? ĐS: 1200 cách
Bi 6. (ĐH K D - 2004)
6
Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung
bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hởi đó có thể lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác
nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.
ĐS: 56.875 cách chọn đề kiểm tra.
Bi 7. (ĐH K B - 2005)
Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngời gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân
công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
ĐS:
4 1 4 1
12 3 8 2
. 207.900C C C C =

Bi 8. (ĐH K D- 2006)

Đội thanh niên xung kích của một trờng phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp T, 4 học
sinh lớp L, và 3 học sinh lớp H. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh thuộc không
quá 2 trong ba lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nh vậy? ĐS: 225 cách
II. Các bài toán liên quan đến công thức nhị thức Newton
A. Kiến thức cơ bản
Công thức nhị thức Newton: Với mọi số thực a, b và n nguyên dơng ta có:
( )
0
n
n
k n k k
n
k
a b C a b

=
+ =

(1)
Số hạng thứ k+1 là T
k+1
=
k n k k
n
C a b

0

k

n (2)
Khai triển đặc biệt:
( )
0 1 2 2
1
n
n n
n n n n
x C C x C x C x
+ = + + + +
(3)
B. Bài tập
Các bài tập về hệ số trong khai triển nhị thức Newton
Bi 9. Tỡm h s ca
12 13
x y
trong khai trin
( )
25
+
x y
. s: 5200300
Bi 10. Tớnh giỏ tr ca biu thc sau:
0 1 2 2 3 3 4 4 5 5
5 5 5 5 5 5
2 2 2 2 2= + + + + +M C C C C C C
.
Bi 11. Cho nh thc
10
3

2
1
2

+
ữ

x
x
.
a) Tỡm giỏ tr ca s hng khụng ph thuc x trong khai trin nh thc ó cho;
b) S hng khụng ph thuc x l s hng th my trong khai trin nh thc Newton?
Bi 12. Tỡm s hng cha
6
x
trong khai trin
8
1
2

+
ữ

x
x
.
III. Xác suất
A. Tóm tắt lí thuyết (SGK)
I. Bin c:
1. Phộp th: Phộp th ngu nhiờn l mt thớ nghim m ta khụng oỏn trc c kt qu ca nú, dự ó

bit tp hp tt c cỏc kt qu cú th xy ra.
2. Khụng gian mu: Khụng gian mu
( )
l tp hp tt c cỏc kt qu ca phộp th.
3. Bin c: Bin c l tp hp con ca khụng gian mu.
II. Xỏc sut ca bin c:
1. Cho
A
l mt bin c liờn quan n phộp th tng ng vi khụng gian mu

. Xỏc sut
bin c A xy ra, ký hiu l
( )P A
l t s ca s phn t ca A v s phn t ca khụng gian mu

.
7
( )
( )
( )
N A
P A
N
=

Dng toỏn Tớnh cỏc phn t ca khụng gian mu ca bin c, tớnh xỏc sut ca bin c.
+ Nu ta lit kờ c cỏc phn t ca

, A: Suy ra N(

); N(A).
+ Nu phc tp, ta dựng cỏc cụng thc
; ;
k k
n n n
P A C
tớnh N(

); N(A).
+ Tớnh
( )
( ); ( ) ( )
( )
N A
N P A P A
N
=

B. Bài tập
Bi 13. Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu
nhiên 3 viên bi. Tính xác suất trong hai trờng hợp sau:
1) Lấy đợc ba viên bi màu đỏ.
2) Lấy đợc ít nhất hai viên bi màu đỏ. ĐS: 1) 35/220; 2) 140/220.
Bi 14. Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó có 6 nam và 4 nữ.
Ngời quản lí chọn ngẫu nhiên 6 ngời. Tính xác suất để
1) Có 4 khách nam và 2 khách nữ.
2) Có ít nhất hai khách nữ. ĐS: 1)3/7; 2) 27/42.
Bi 15. Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga. Có 4 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi ngời độc lập
với nhau chọn nhẫu nhiên 1 toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 ngời, 1toa có 1 ngời, hai toa còn lại không
có ngời nào trong 4 ngời đó. ĐS: 3/16.

Bi 16. Một ngời bỏ ngẫu nhiên ba lá th khác nhau vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác
suất để ít nhất có một lá th bỏ đúng phong bì của nó. ĐS: 2/3.
Bi 17. Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ. Tính xác suất để tích
của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn. ĐS: 13/18.
Bi 18. Ngời ta sử dụng 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn Vật lí, 7 cuốn Hoá học (các cuốn sách cùng loại
giống nhau) để làm giải thởng cho 9 học sinh, mỗi học sinh đợc hai cuốn sách khác loại. Trong số 9 học
sinh trên có hai bạn Ngọc và Thảo. Tìm xác suất để hai bạn đó có giải thởng giống nhau.
ĐS: 5/18.
Bi 19. Có hai hộp đựng bi. Hộp I có 7 viên bi màu xanh, 5 viên bi màu đỏ, hộp II có 6 viên bi
màu trắng, 4 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi. Biết kết quả lấy bi ở mỗi hộp là
độc lập, tính xác suất của biến cố lấy đợc
1) A = hai bi cùng màu
2) B = hai bi khác màu ĐS:
Bi 20. Biết trong 20 vé số có 2 vé trúng thởng. Chọn ngẫu nhiên 3 vé, tính xác suất để có hai vé
trúng thởng.
Bi 21. Đôi bạn Ngân và Nga cùng tham dự một kì thi. Biết khả năng đỗ của mỗi ngời tơng ứng là
90% và 70%. Tìm xác suất của các biến cố sau:
1) Cả hai đều đỗ.
2) Có ít nhất một ngời đỗ.
3) Chỉ có Ngân đỗ còn Nga trợt. ĐS: 1) 63%; 2) 97%; 3) 27%.
Bi 22. Một xạ thủ đợc bắn hai viên đạn, xác suất bắn đợc điểm 10 của mỗi lần bắn là 0,7 và 0,9.
Biết hai lần bắn độc lập, tính xác suất để ít nhất 1 lần bắn đạt điểm 10.
Bi 23. Một xạ thủ đợc bắn 3 viên đạn. Xác suất để trúng cả 3 viên vòng 10 điểm là 0,008, xác
suất để 1 viên trúng vào vòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vào vòng dới 8 điểm là 0,4. Tính xác
suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm. (các vòng bắn độc lập với nhau). ĐS: 0,0935.
1
CHỦ ĐỀ 3. GIỚI HẠN
1/Giới hạn hàm số:
Bài toán 1:Tìm giới hạn hàm số khi
0

x x→
(tương tự cho trường hợp
0 0
;x x x x
+ −
→ →
).
* Dạng 1: Nếu
( )
f x
xác định tại
0
x
thì
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x f x
→
=
.
Áp dụng:
a/
( )
2
1
lim 2 15 7
x

x x
→
+ +
b/
2
2
4 3
lim
1
x
x
x
→
+
−
c/
(
)
2
3
lim 3 7 2
x
x x
→
+ + −
d/
2
3
2 3 1
lim

3 5
x
x x
x
→−
+ −
+
.
* Dạng 2:
( )
( )
0
lim
x x
f x
g x
→
với
( ) ( )
0 0
0f x g x= =
Cách giải:
☺Nếu
( ) ( )
,f x g x
là những đa thức thì phân tích
( ) ( ) ( )
0 1
f x x x f x= −
,

( ) ( ) ( )
0 1
g x x x g x= −
khi đó:
( )
( )
0
lim
x x
f x
g x
→
=
( )
( )
0
1
1
lim
x x
f x
g x
→
.
☺Nếu
( )
f x
hoặc
( )
g x

có chứa căn bậc hai ta nhân lượng liên hợp để biến đổi đưa về các giới hạn
đặc biệt
Ví dụ:
a)
3
2
2
8
lim
4
x
x
x
→
−
−
=
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2 4
lim
2 2
x
x x x
x x
→
− + +

− +
=
2
2
2 4
lim 3
2
x
x x
x
→
+ +
=
+
.
b)
2
6
4 1 5
lim
7 6
x
x
x x
→
+ −
− +
=
( ) ( )
( )

( )
2
4 1 5 4 1 5
lim
7 6 4 1 5
x
x x
x x x
→∞
+ − + +
− + + +
=
( )
( ) ( )
( )
6
4 6
lim
1 6 4 1 5
x
x
x x x
→
−
− − + +
=
( )
( )
6
4 2

lim
25
1 4 1 5
x
x x
→
=
− + +
.
Áp dụng:
Bài 1 : Tính các giới hạn sau
a/
( ) ( )
2
5
25
lim
5 1
x
x
x x
→
−
− +
b/
3
2
1
11 10
lim

1
x
x x
x
→
− +
−
c/
2
2
3
5 6
lim
9
x
x x
x
→
− +
−
d/
5
1
1
lim
1
x
x
x
→−

+
+
e/
2
2
4
2 13 20
lim
16
x
x x
x
→
− +
−
;
f/
3
2
1
3 2
lim
10 9
x
x x
x x
→
− +
− +
g/

3
2
2
5 2
lim
3 2
x
x x
x x
→
− +
− +
h/
3
2
3
10 3
lim
7 12
x
x x
x x
→
− +
− +
k/
3
2
3
3 3

lim
3
x
x
x x
→
−
−
m/
10
1
1
lim
1
x
x
x
→
−
−
.
Đáp số theo thứ tự là:
5
3
−
; -4;
1
6
; 5;
3

8
−
; 0; 7; -17;
3 3
; 10.
Bài 2 :Tính các giới hạn sau
a/
2
0
2 1 1
lim
3
x
x
x x
→
+ −
+
b/
2
1
4 5 3
lim
1
x
x
x
→
+ −
−

c/
3
2 3
lim
3
x
x x
x
→
+ −
−
d/
2
8
1 3
lim
2 15 8
x
x
x x
→
+ −
− −
e/
4
3 4 4
lim
4 9 5
x
x

x
→
+ −
+ −

f/
3
2
8
lim
6 4 4
x
x
x
→
−
+ −

g/
2
2
3 12 1
lim
6
x
x x
x x
→
+ − +
+ −

h/
2
4
6 1 2 3
lim
16
x
x x
x
→
+ − +
−
k/
2
3
9 2
lim
3 7 6
x
x x
x x
→
− −
− −
l/
2 3
0
1 2 1
lim
3

x
x x
x x
→
+ − +
+
.
Đáp số theo thứ tự là:
1
3
;
1
3
−
;
2
3
−
;
1
102
;
15
16
; -16;
1
25
−
;
7

40
;
3
22
−
;
1
6
.
* Dạng 3:
( )
( )
0
lim
x x
f x
g x
→
với
( ) ( )
0 0
0; 0f x g x≠ =
Cách giải:Sử dụng quy tắc b trang 131.
2
Ví dụ:
3
5 8
lim
3
x

x
x
+
→
−
−
.Ta có:
( )
3
lim 5 8 7 0
x
x
+
→
− = 〉
;
( )
3
lim 3 0
x
x
+
→
− =
và
3 0x − 〉
3x∀ 〉
do đó
3
5 8

lim
3
x
x
x
+
→
−
= +∞
−
Áp dụng:
a/
2
2 11
lim
2 4
x
x
x
+
→
−
−
b/
2
5
10
lim
5
x

x x
x
−
→
+ −
−
c/
( )
2
2
2 5
lim
2
x
x
x
→
−
−
d/
2
4
2 1 7
lim
16
x
x
x
+
→

+ −
−
e/
3
2
2 7
lim
2 3
x
x
x
−
 
→ −
 ÷
 
−
+
.
Tiết 2
Bài toán 2:Tìm giới hạn hàm số khi
x → +∞
(
x → −∞
)
* Dạng 1:
( )
lim
x
f x

→+∞
Với
( )
f x
là một đa thức.
Cách giải:Đặt x có số mũ cao nhất ra làm thừa số, đưa về dạng tích ( khi
x → −∞
giải tương tự)
Ví dụ:
( )
3
lim 2 1
x
x x
→−∞
+ −
=
3
2 3
1 1
lim 2
x
x
x x
→−∞
 
+ − = −∞
 ÷
 
vì

3
lim
x
x
→−∞
= −∞
và
2 3
1 1
lim 2 2 0
x
x x
→−∞
 
+ − = 〉
 ÷
 
.
Áp dụng:
a/
( )
3 2
lim 20 3 4
x
x x
→−∞
− +
b/
3
3

lim 6 7
x
x
x
→+∞
 
+ +
 ÷
 
c/
4
2
lim 2 3 5
4
x
x
x x
→−∞
 
− + − +
 ÷
 
d/
( )
7 5
lim 2 1
x
x x
→+∞
− + −

.
* Dạng 2:
( )
( )
lim
x
f x
g x
→+∞
Với
( )
f x
,
( )
g x
là một đa thức.
Cách giải:
Chia cả tử và mẫu cho x có số mũ cao nhất,biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt.(tương tự
cho trường hợp
x → −∞
)
Ví dụ:a/
2
2
3 7 1
lim
4 7
x
x x
x

→+∞
+ +
− +
=
2
2
7 1
3
3
lim
7
4
4
x
x x
x
→+∞
+ +
= −
− +
;(Đã chia cả tử và mẫu cho
2
x
)
b/
5
2 1
lim
4 3
x

x
x x
→+∞
+
+ +
=
4 5
4 5
3 1
lim 0
4 3
1
x
x x
x x
→∞
+
=
+
;(Đã chia cả tử và mẫu cho
5
x
)
Tuy nhiên nếu
( )
f x
là đa thức bậc cao hơn
( )
g x
thì ta có thể đưa về dạng tích.

Ví dụ:
6 2
3
10 3
lim
4 2 1
x
x x
x x
→−∞
+ +
+ +
=
6
4 6
3
2 3
1 3
10
lim
2 1
4
x
x
x x
x
x x
→−∞
 
+ +

 ÷
 
 
+ +
 ÷
 
=
4 6
3
2 3
1 3
10
lim
2 1
4
x
x x
x
x x
→−∞
+ +
= −∞
+ +
Vì:
3
lim
x
x
→−∞
= −∞

,
4 6
2 3
1 3
10
5
lim 0
2 1
2
4
x
x x
x x
→−∞
+ +
= 〉
+ +
.
Áp dụng: a/
5 3
5 2
4 5 4
lim
2 3 7
x
x x
x x
→−∞
+ +
− +

b/
3 2
3
6 7
lim
2 3 5
x
x x
x x
→+∞
− + +
+ −
c/
2
4 3
2 3
lim
4 6 9
x
x
x x
→−∞
+
+ +
;
d/
4 3
2
7 6 13
lim

2 4
x
x x
x x
→−∞
+ −
− +
e/
6 4
3
3 3
lim
4 10 7
x
x x
x x
→+∞
− + +
− +
f/
10 3
6
10 5 3
lim
3 2 1
x
x x
x x
→+∞
− +

− + +
.
* Dạng 3:
( )
lim
x
f x
→+∞
với
( )
f x
có chứa căn bậc hai thì tùy mỗi bài ta có thể đưa về dạng tích hoặc nhân
lượng liên hợp để biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt. (Tương tự cho trường hợp
x → −∞
).
Đặc điểm nhận biết:
3
Hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp
Hệ số không phải là hai số đối nhau→Đặt thừa số đưa về dạng tích.
Ví dụ:a/
(
)
2
lim 1
x
x x x
→+∞
+ + −
Nhận xét:
x−

có hệ số là-1;vì
x → +∞
nên
2
x x x= =
có hệ số là
1
Hai hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp
Giải: a/
(
)
2
lim 1
x
x x x
→+∞
+ + −
=
( ) ( )
2 2
2
1 1
lim
1
x
x x x x x x
x x x
→+∞
+ + − + + +
+ + +

=
2
1
lim
1
x
x
x x x
→+∞
+
+ + +
=
2
1
lim
1 1
1
x
x
x x
x x
→+∞
+
+ + +
=
2
1
1
lim
1 1

1 1
x
x
x x
→+∞
+
+ + +
=
1
2
.
b/
(
)
2
lim 4 3 1
x
x x x
→−∞
+ + +
Nhận xét:
3x
có hệ số là 3;vì
x → −∞
nên
2
4 2 2x x x= = −
có hệ số là -2 hệ số không là hai số đối nhau→Đưa về dạng tích
Giải: b/
(

)
2
lim 4 3 1
x
x x x
→−∞
+ + +
=
1
lim 4 3 1
x
x x
x
→−∞
 
+ + +
 ÷
 ÷
 
=
1 1
lim 4 3
x
x
x x
→−∞
 
− + + +
 ÷
 ÷

 
=
−∞
Vì:
lim
x
x
→−∞
= −∞
;
1 1
lim 4 3 1 0
x
x x
→−∞
 
− + + + = 〉
 ÷
 ÷
 
.
c/
(
)
3 2
lim 3 2 9 1
x
x x
→−∞
+ + +

Nhận xét:
3
3x
bậc ba; vì
x → −∞
nên
2
9 3 3= = −x x x
bậc nhất
→Không cùng bậc→Đưa về dạng tích.
Giải:
(
)
3 2
lim 3 2 9 1
x
x x
→−∞
+ + +
3 6
4 6
9 1
lim 3 2
x
x x
x x
→−∞
 
 
= + + +

 ÷
 ÷
 ÷
 
 
=
3 3
4 6
9 1
lim 3 2
x
x x
x x
→−∞
 
+ + +
 ÷
 ÷
 
=
3
3 4 6
2 9 1
lim 3
x
x
x x x
→−∞
 
+ − + = −∞

 ÷
 ÷
 

vì:
3
lim
x
x
→−∞
= −∞
,
3 4 6
2 9 1
lim 3 3 0
x
x x x
→−∞
 
+ − + = >
 ÷
 ÷
 
.
Áp dụng:
a/
(
)
2
lim 2 3 5 2

x
x x x
→+∞
+ + −
b/
(
)
2
lim 1 10 3
x
x x x
→−∞
+ + − +
c/
(
)
4 2 4
lim 4 10 3 4 1
x
x x x
→+∞
+ + − +
d/
( )
lim 2 3 2 1
x
x x
→+∞
+ − +
e/

(
)
2 2
lim 1 2 3
x
x x x
→−∞
+ + − +
f/
(
)
2
lim 9 3 7 5 3
x
x x x
→+∞
+ + − +
g/
(
)
4 2
lim 3 9
x
x x x
→−∞
+ + + +
h/
(
)
2 2

lim 3 7 16 4 3
x
x x x x
→+∞
+ − − +
k/
(
)
2
lim 9 3 1
x
x x x
→−∞
+ + −
.
Hướng dẫn:
a/b/c/d/k/:Nhân lượng liên hợp biến đổi.Đáp số theo thứ tự là:
3 2
4
; 6;
5
2
; 0;
7
6
−
.
e/f/g/h/:Đặt thừa số đưa về dạng tích. Đáp số theo thứ tự là:
+∞
;

−∞
;
+∞
;
−∞
.
* Các dạng khác:
a)
(
)
( ) ( )
( )
3
2
1 1 1 1
1
1 1
lim lim lim lim 1 3
1 1 1
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x
x x x
→ → → →
−
− + +
−
= = = + + =

− − −
4

( )
(
)
( )
(
)
3 3
3 2 3 2
2 2 2
1 1
3 3 2
2
1 1 1
2 3 3
5 7 5 2 7 2
b) lim lim (1)
1 1 1
5 2 1 ( 1 3
lim lim lim (2)
8
1
1 5 2 1 5 2
→ →
→ → →
 
− − + − − + −
 ÷

= −
 ÷
− − −
 
 
− − − − + +
 ÷
= = = −
 ÷
−
− − + + − +
 
x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x
x
x x x x
( ) ( )
3
2 2
2
1 1
2
3
2 2 2
3
7 2 1
lim lim

1
1 7 2 7 4
x x
x x
x
x x x
→ →
+ − −
=
 
−
− + + + +
 ÷
 
=
( )
1
2
3
2 2
3
1 1
lim (3)
12
7 2 7 4
x
x x
→
=
+ + + +

Thay ( 2) , ( 3 ) vào ( 1 ) có : A =
3 1 11
8 12 24
− − =
.
2.Hàm số liên tục:
* Dạng 1:Xét tính liên tục của hàm số
( )
f x
tại
0
x
.
Cách giải:
Dùng định nghĩa: Nếu
( )
f x
xác định tại
0
x
và
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x f x
→
=
thì

( )
f x
liên tục tại
0
x
Ví dụ:Cho hàm số
( )
2
17 16
16
16
15 16

− +
≠

=
 −

=

x x
neáu x
f x
x
neáu x
. Xét tính liên tục của h/số
( )
f x
tại

0
x
=16.
Giải:Ta có
( )
f x
xác định tại
0
x
=16 và
( )
16 15f =
( )
2
16 16
17 16
lim lim
16
x x
x x
f x
x
→ →
− +
=
−
=
( ) ( )
16
lim 1 15 16

x
x f
→
− = =
.Vậy
( )
f x
liên tục tại
0
x
=16.
Áp dụng:
Xét tính liên tục của ham số
( )
f x
tại
0
x
trong các trường hợp sau:
a/
( )
2
0
2 5 3
3
3
3
5 3

− −

≠

= =
 −

=

x x
neáu x
f x Taïi x
x
neáu x
; b/
( )
2
0
2 3 20
4
4
4
13 4

− −
≠

= =
 −

=


x x
neáu x
f x Taïi x
x
neáu x
;
c/
( )
0
5 6 6
6
6
6
5
6
12

+ −
≠


−
= =


=


x
neáu x

x
f x Taïi x
neáu x
; d/
( )
0
9 4 0
0
8
0
2

+ ≥

= =

−
<


x neáu x
f x Taïi x
x
neáu x
;
e/
( )
2
0
3 2

1
1
1
1
2

− +
>


−
= =


− ≤


x x
neáu x
x
f x Taïi x
x
neáu x
; f/
( )
0
1 1
0
0
6 1

0
1

− − +
<


= =

+

− ≥

+

x x
neáu x
x
f x Taïi x
x
neáu x
x
.
Hướng dẫn:d/e/f/ để tính được
( )
0
lim
x x
f x
→

cần tính
( )
0
lim
x x
f x
+
→
và
( )
0
lim
x x
f x
−
→
* Dạng 2: Định tham số để hàm số liên tục tại
0
x
Cách giải:Tính
( )
0
f x
,
( )
0
lim
x x
f x
→

, lập phương trình
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x f x
→
=
giải tìm tham số.
5
Ví dụ: Cho hàm số
( )
2
2
7 6
6
6
2 7 10 6

− +
≠

=
−


− + =

x x

neáu x
f x
x
m m neáu x
.Tìm m để h/số
( )
f x
liên tục tại
0
x
=6
Giải:Ta có hàm số
( )
f x
xác định tại
0
x
=6 và
( )
2
6 2 7 10f m m= − +
.
( )
2
6 6
7 6
lim lim
6
x x
x x

f x
x
→ →
− +
=
−
( )
6
lim 1 5
x
x
→
= − =
. Hàm số
( )
f x
liên tục tại
0
x
= 6 khi chỉ khi:
( ) ( )
6
lim 6
x
f x f
→
=
2
2 7 10 5m m⇔ − + =
2

2 7 5 0m m⇔ − + =
1
5
2
m
m
=


⇔

=

.
Áp dụng:
Tìm m để hàm số
( )
f x
liên tục tại
0
x
trong các trường hợp sau:
a/
( )
2
0
2
4 3
3
3

3
7 8 3

− +
≠

= =
−


− + =

x x
neáu x
f x Taïi x
x
m m neáu x
; b/
( )
2
0
2 6
2
2
2
3 1 2

− −
≠


= =
 −

+ =

x x
neáu x
f x Taïi x
x
m neáu x
c/
( )
3
0
1
1
1
1
2 1

−
<

= =
 −

− ≥

x
neáu x

f x Taïi x
x
mx neáu x
; d/
( )
3
0
2
27 1 1
1
3 1 3
3
1
4 6
3

−
≠


−
= =


− + =


x
neáu x
x

f x Taïi x
m m neáu x
.
6
*D¹ng 3. XÐt tÝnh liªn tơc cđa hµm sè trªn mét kho¶ng
a) Ph¬ng ph¸p: Khi hµm sè ®ỵc viÕt bëi nhiỊu c«ng thøc, ta xÐt tÝnh liªn tơc trªn tõng kho¶ng, t¹i
c¸c ®iĨm chia kho¶ng. Tõ ®ã kÕt ln
b) Chó ý: ¸p dơng c¸c kÕt qu¶ sau:
- - Hµm sè ®a thøc liªn tơc trªn R
- - Hµm ph©n thøc , hµm sè lỵng gi¸c liªn tơc trªn tõng kho¶ng x¸c ®Þnh cđa nã.
- Hµm
( )
( )
f x
y
g x
=
liªn tơc t¹i
o
x
nÕu
( ) 0
,
o
o
g x
f g
≠




liªn tơc t¹i x
.
c) VÝ dơ
Bµi 1) XÐt tÝnh liªn tơc cđa c¸c hµm sè sau trªn TX§ cđa chóng
a)
( )
2
3
3
3
3

−
≠

=
−


=

khi
2 3 khi
x
x
f x
x
x
; b)

( ) ( )
2
1
3
3
3
−

≠

−=


=

khi
3 khi
x
x
xf x
x
;
c)
( )
2
3 4
4
2
4
nếu

5 nếu

− −
≠

=
−


=

x x
x
f x
x
x
; d)
( )
2
1
1
nếu
nếu
x 1
x > 1

+ ≤
=

−


x
f x
x
;
e)
( )
1
2
1
nếu
- nếu
x
f x
x

≤


−
=




x 1
x > 1
.
Bµi 2) XÐt tÝnh liªn tơc cđa hµm sè x¸c ®Þnh bëi
( ) ( )

2
2
x+1 nếu x 0
x-1 nếu 0< x < 2
2 nếu
≤


=


≥

f x
x
.
Bµi 3) Cho hàm số:







−
−+
+
=
2
223

4
1
)(
3
x
x
ax
xf

)2(
)2(
>
≤
x
x
Đònh a để hàm số f(x) liên tục trên R.
Bµi 4) Cho hàm số:







+−
−
+
=
23
24

3
2
)(
2
3
2
xx
x
ax
xf

)2(
)2(
>
≤
x
x
. Đònh a để hàm số f(x) liên tục trên R.
Bµi 5) Cho hàm số:





−
=
x
x
xf
cos1

1
)(

)0(
)0(
≠
=
x
x
. Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số
của hàm số.
Bµi 6) XÐt tÝnh liªn tơc cđa hµm sè
( )
( ) ( )
1
1 6
f x
x x
=
− −
trªn c¸c kho¶ng
[ ] [
)
[ ]
4 10 2 5 0 7; ; ; ; ;
.
Bµi 7) T×m a sao cho hµm sè
( )
( )
2

2 2
a x nếu x
1-a x nếu x > 2
f x

≤

=



liªn tơc trªn
¡
.
Bµi 8) T×m m sao cho hµm sè
( )
2
2
3 2
2
2
nếu x <
mx+x+1 nếu x 2
x x
f x
x x

− +

=

−


≥

liªn tơc trªn
¡
.
D¹ng 4. Chøng minh ph¬ng tr×nh cã nghiƯm
a) Ph¬ng ph¸p:
XÐt ph¬ng tr×nh
( )
0f x =
(1)
7
NÕu hµm sè
( )
y f x=
liªn tơc trªn ®o¹n
[ ]
;a b
vµ
( ) ( )
0f a f b <
th× ph¬ng tr×nh (1) cã Ýt nhÊt
mét nghiƯm trªn kho¶ng ®ã
Chó ý: Khi gi¶i to¸n ta thùc hiƯn theo c¸c bíc:
+ T×m ®o¹n
[ ]
;a b

sao cho
( ) ( )
0f a f b <
+ ChØ ra hµm sè y = f(x) liªn tơc trªn
[ ]
;a b
+ Chøng minh
( ) ( )
0f a f b <
+ KÕt ln ph¬ng tr×nh (1) cã Ýt nhÊt mét nghiƯm trªn kho¶ng (a; b)
Mn chøng minh f(x) = 0 cã 2, 3,… nghiƯm th× ta ph¶i t×m 2, 3, kho¶ng rêi nhau vµ trªn
mâi kho¶ng f(x) = 0 ®Ịu cã nghiƯm

b) VÝ dơ
Bµi 1) CMR ph¬ng tr×nh :
3
1 0x x+ + =
cã Ýt nhÊt 1 nghÞªm ©m thc kho¶ng ( -1; 0)
Bµi 2) CMR ph¬ng tr×nh :
( )
1cos sinx x x+ =
cã Ýt nhÊt mét nghiƯm trong kho¶ng
0
2
;
π
 
 ÷
 
Bµi 3) CMR ph¬ng tr×nh :

3
2 1 0+ + =x x
cã Ýt nhÊt 1 nghÞªm ©m lín h¬n -1
Bµi 4) CMR ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt 2 nghiƯm :
3
2 10 7 0x x− − =
Bµi 5) CMR ph¬ng tr×nh
2
1 0cos sinx x x x+ + =
cã Ýt nhÊt 1 nghiƯm thc kho¶ng
( )
0;
π
Bµi 6) CMR ph¬ng tr×nh :
a)
5
4 8x x− =
lu«n cã nghiƯm b)
3
5 2 2x x+ + =
cã nghiƯm
Bµi 7) CMR ph¬ng tr×nh
3
3 5 1x x= −
cã 3 nghiƯm ©m ph©n biªt
Bµi 8) CMR các phương trình sau đây có nghiệm:

4 5 3
/ 3 1 0 / 10 100 0a x x b x x
− + = − + =

Bµi 9) CMR phương trình
0162
3
=+− xx
có 3 nghiệm trong khoảng (-2 ; 2).
Bµi 10) : CMR phương trình
013
3
=+− xx
có 3 nghiệm phân biệt.
Bµi 11) CMR phương trình
02012643
234
=−+−− xxxx
có ít nhất hai nghiệm.
Bµi 12) : CMR các phương trình sau co ùhai nghiệm phân biệt:

2
1 2 2 3 0
9 5 0
a/
b/
( )( ) .
( ) ( ) .
m x x x
m x x x
− − + − =
− + − =

Bµi 13) CMR ph¬ng tr×nh

3 2
1000 0 1 0,x x+ + =
cã Ýt nhÊt mét nghiƯm ©m
Bµi 14) CMR ph¬ng tr×nh
3 2
0x ax bx c+ + + =
lu«n cã nghiƯm víi mäi a, b, c
Bµi 15) CMR c¸c ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiƯm ©m víi mäi gi¸ trÞ cđa tham sè m:
a)
( )
( )
3
2 2
1 1 3 0m x x x− + + − − =
b)
( ) ( )
2
2 1 2 2 3 0m x x x− − + − =
c)
( )
2 2 2 5 1cos sinm x x− = +

Bµi 16) Cho ph¬ng tr×nh
3
1 0x x+ + =
:
a) CMR ph¬ng tr×nh cã nghiƯm duy nhÊt lµ
0
x
;

b) CMR
0
1
0
2
x< <
Bµi 17) CMR ph¬ng tr×nh
( )
3
2 2 1x mx m− + = +
lu«n cã nghiƯm lín h¬n 2.
8
CHỦ ĐỀ 4. ĐẠO HÀM
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x
0
∈ (a; b):

0
0
0
x x
0
f(x) f(x )
f'(x ) lim
x x
→
−
=
−

=
x 0
y
lim
x
∆ →
∆
∆
(∆x = x – x
0
, ∆y = f(x
0
+ ∆x) – f(x
0
)
• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x
0
thì nó liên tục tại diểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
• Ý nghĩa hình học:
+ f′ (x
0
) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại
( )
0 0
M x ;f(x )
.
+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại
( )
0 0

M x ;f(x )
là:
y – y
0
= f′ (x
0
).(x – x
0
)
• Ý nghĩa vật lí:
+ Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t
0
là v(t
0
) =
s′(t
0
).
+ Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t
0
là I(t
0
) = Q′(t
0
).
3. Qui tắc tính đạo hàm
(C)' = 0 (x)′ = 1 (x
n
)′ = n.x
n–1

( )
1
x
2 x
′
=
(u ± v)′ = u′ ± v′ (uv)′ = u′v + v′u
(ku)′ = ku′
2
u u v v u
v
v
′
 
′ − ′
=
 ÷
 
(v ≠ 0
2
1 v
v
v
′
 
′
= −
 ÷
 
• Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u′

x
và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là
y′
u
thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là:
x u x
y y .u′ = ′ ′
4. Đạo hàm của hàm số lượng giác
•
x 0
sinx
lim 1
x
→
=
;
0
x x
sinu(x)
lim 1
u(x)
→
=
(với
0
x x
lim u(x) 0
→
=
)

• (sinx)′ = cosx (cosx)′ = – sinx
( )
2
1
tanx
cos x
′ =
( )
2
1
cotx
sin x
′ = −
5. Vi phân
•
dy df(x) f (x). x= = ′ ∆
•
0 0 0
f(x x) f(x ) f (x ). x+ ∆ ≈ + ′ ∆
6. Đạo hàm cấp cao
•
[ ]
f''(x) f'(x)
′
=
;
[ ]
f'''(x) f ''(x)
′
=

;
(n) (n 1)
f (x) f (x)
−
′
 
=
 
(n∈N, n ≥ 4)
• Ý nghĩa cơ học:
Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t
0
là a(t
0
) = f′′(t
0
).
VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
bằng định nghĩa ta thực hiện các bước:
Cách 1:
B1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x
0
.
Tính ∆y = f(x
0
+ ∆x) – f(x
0
).

B2: Tính
x 0
y
lim
x
∆ →
∆
∆
.
9
Cỏch 2 : Tớnh
0
0
x x
0
f(x) f(x )
lim
x x



nu
0
0
x x
0
f(x) f(x )
lim
x x

=L thỡ
0
f'(x ) =
L (1)
Quan h gia tớnh liờn tc v s cú o hm
+ Hm s liờn tc thỡ cú th cú o hm. Ta thng gp bi toỏn CM hs liờn tc nhng khụng cú o
hm.
+ Hm s cú o hm ti x
0
thỡ liờn tc ti x
0.
Vy

hm s khụng cú o hm khi :+f(x) khụng liờn tc tc l
0
0
x x
0
f(x) f(x )
lim
x x


=

hoc f(x
0
+

)f(x
0
-
)
Baứi 1: Dựng nh ngha tớnh o hm ca cỏc hm s sau ti im c ch ra:
1)
2
y f(x) 2x x 2= = +
ti
0
x 1=
S: f(1)=3
2)
y f(x) 3 2x= =
ti x
0
= 3 S: f(-3)=-1/3
3)
2x 1
y f(x)
x 1
+
= =

ti x
0
= 2 S: f(2)=-3
4)
y f(x) sinx= =
ti x

0
=
6

S: f(
6

)=
3
2
5)
3
y f(x) x= =
ti x
0
= 1 S: f(1)=1/3
6)
2
x x 1
y f(x)
x 1
+ +
= =

ti x
0
= 0 S: f(0)=-2
7) f(x)= x(x-1)(x-2) (x-1997) ti x
0
= 0 S : f(0)=- 1997!

8) f(x)= x(x+1)(x+2) (x+2013) ti x
0
= -1000 S: f(-1000)= 1000!.1013!
9) f(x) =
2
sin x
khi x 0
x
0 khi x 0





=

ti x
0
= 0 S: f(0)=1
10) f(x) =
2
1
x sin khi x 0
x
0 khi x = 0

ti x = 0 S: f(0)=0
11) f(x) =





=

0xkhi0
0xkhi
x
1
cosx
2
ti im x
0
= 0 S: f(0)=0
12) f(x) =
1 - cosx
khi x 0
x
0 khi x = 0

ti x = 0 S: f(0)=1/2
13) f(x) =





<

0xnếux
0xnếu)1x(
2
2
ti x
0
= 0 S: f(0) k. HD: tớnh o hm trỏi v
phi nu bng nhau thỡ cú o hm ti x
0
.
14)
2)( += xxxf
ti x
0
= 0 S: f(0)=0
15) f(x) =
x
1 | x |+
ti x
0
= 0 S: f(0)=1

16) f(x) =
1x
|x|
+
taùi x
0
= 0 S: f(0) kx. H trỏi khỏc H phi.
17) f(x) =




<
0x neỏu x
0x neỏu x
2
3
taùi ủieồm x
0
= 0 S: f(0)=0
10
18) (ĐHHH − 1997): Chứng minh rằng hàm số y =
2
x 2 | x 3 |
3x 1
− +
−
liên tục tại x = -3 những không có đạo
hàm tại điểm ấy. ĐS: kxđ vì 53/100 ≠13/100
19) Cho

1
x sin khi x 0
f(x)
x
0 khi x 0

≠

=


=

và
1
2
x sin khi x 0
g(x)
x
0 khi x 0

≠

=


=

a. Xét tính liên tục của f(x), g(x) tại x=0 ĐS: đều liên tục tại x=0
b. Tính f’(x), g’(x) tại x=0. ĐS:f’(0) kxđ; g’(0)=0

20) Cho hàm số f(x) =
2
1
xsin khi x 0
x
0 khi x = 0

≠





Chứng minh rằng hàm số liên tục trên R nhưng không có đạo hàm tại x = 0. ĐS: gh kẹp; giới hạn không
hội tụ tới 1 số cụ thể.
21) Cho hàm số f(x) =
2
1
xcos khi x 0
x
0 khi x = 0

≠





a) Chứng minh rằng hàm số liên tục trên R. ĐS: Giới hạn kẹp
b) Hàm số có đạo hàm tại x = 0 không? Tại sao? ĐS: vì cos(a) luôn thuộc đoạn [-1;1] và

không tiến tới một số cụ thể nào.
22) Cho hàm số f(x) =
2
ax + bx khi x 1
2x - 1 khi x < 1

≥



Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 1 ĐS:a=1;b=0 HD:b1 hàm số phải liên tục
tại x=1. b2: có đạo hàm tại x=1(đạo hàm trái bằng đạo hàm phải tại x=1).
23) Cho hàm số f(x) =
ax + b khi x 0
cos2x - cos4x
khi x < 0
x
≥






Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 0 ĐS: a=6;b=0
24) Cho hàm số f(x) =
2
x + a khi x 3
4x - 1 khi x > 3


≤



Tìm a để hàm số không có đạo hàm tại x = 3. ĐS :a≠2 HD : có ĐH khi a=2 vậy ngược
lại sẽ không có.
25) Cho hàm số: f(x) =



>+
≤
1xkhibax
1xkhix
2
. Tìm a, b để f(x) có đạo hàm tại điểm x = 1 ĐS:a=2; b=-1
26) Cho hàm số: f(x) =



>++
≤+
0xkhi1qpx
0xkhixsinqxcosp
.Chứng tỏ rằng với mọi cách chọn p, q hàm f(x)
không thể có đạo hàm tại điểm x = 0 ĐS: hàm số liên tục :p=q+1; hs có ĐH
thì p=q. nên kxđ đc p,q.
Baøi 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:
1)
2

f(x) x 3x 1= − +
2)
3
f(x) x 2x= −
3)
f(x) x 1, (x 1)= + > −
4)
1
f(x)
2x 3
=
−
5)
f(x) sinx=
6)
1
f(x)
cosx
=

7) f(x) = cos2x
8) f(x) = cosx
VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm.
11
Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp.
Baøi 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: (Tổng, hiệu, tích, thương)
1) y =
4
1

x
4
−
3
1
x
3
+
2
1
x
2
− x + a
3

2)
4 3
1
y 2x x 2 x 5
3
= − + −
3) y =
1
3
x
3
– 2x
2
+ 3x
4) y = - x

4
+ 2x
2
+ 3
5)
2
3 2
y x x x
3
x
= − +
ĐS:
−
= − +
3
6 1
y' x
2 x
x
AD :
+
−
= ⇒ =
n n 1
m mn
y y'
x x
Tính :
−
= = =

5 5
2 1 1
y ;y ;y
3x
x 2x

6) y = (x + 1)(x + 2)(x + 3) ĐS: y’=3x
2
+12x+11
7)
3 2
y (x 2)(1 x )= − −
ĐS: y’=3x
2
-5x
4
+4x
8)
2 2 2
y (x 1)(x 4)(x 9)= − − −
ĐS: y’=6x
5
-56x
3
+88x
9)
2
y (x 3x)(2 x)= + −
ĐS:y’=-3x
2

-2x+6
10) y = ( x
3
– 3x + 2 ) ( x
4
+ x
2
– 1 ) ĐS:y’=7x
6
-10x
4
+8x
3
-12x
2
+4x+3
11)
( )
1
y x 1 1
x
 
= + −
 ÷
 
ĐS:
−
= −
2
1 1

y
2 x
2 x
12)
+
= − ≠
+
ax b
y (ad bc 0)
cx d
AD:
2x 1
y
1 3x
+
=
−
;
+
=
−
x 1
y
2x 3
;
−
=
+
2x 5
y

x 2
;
+
=
−
x 3
y
2x 1
;
3
y
2x 1
=
+
13) y =
qpx
cbxax
2
+
++
AD: y =
2
x x 2
x 1
+ +
−
; y =
2
2x 3x 1
x 2

+ −
+
; y =
2
x 2x 2
x 1
− −
−
; y =
2
x 3x 3
x 2
− −
+

14)
2
x 3x 3
y
x 1
− +
=
−
ĐS:
( )
−
=
−
2
2

x 2x
y
x 1
15)
2
2x 4x 1
y
x 3
− +
=
−
ĐS:
( )
− +
=
−
2
2
2x 12x 11
y
x 3
16) y =
1x
x2
2
−
ĐS:
(
)
− −

=
−
2
2
2
2 2x
y
x 1
17) y =
1xx
3x5
2
++
−
ĐS:
(
)
− + +
=
+ +
2
2
2
5x 6x 8
y
x x 1
18)
2
2
1 x x

y
1 x x
+ −
=
− +
ĐS:
(
)
−
=
− +
2
2
2 4x
y
x x 1
19) y =
1xx
x2x
2
3
++
−
ĐS:
(
)
+ + −
=
+ +
4 3 2

2
2
x 2x 5x 2
y
x x 1
20)
2
2
2x
y
x 2x 3
=
− −
ĐS:
(
)
− −
=
− −
2
2
2
4x 12x
y
x 2x 3
Baøi 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: (Hàm số hợp: y=f’
u
. u’
x
)

1)
2 4
y (x x 1)= + +
ĐS:4(x
2
+x+1)
3
(2x+1)
2)
2 5
y (1 2x )= −
ĐS:-20x(1-2x
2
)
4
3)y =
2 5
(8x 3x )−
ĐS :5(8-6x)(8x-3x
2
)
4
4)
( )
4
2
y 3 2x= −
ĐS: -16x(3-2x
2
)

3
5)
2 2
1
y
(x 2x 5)
=
− +
ĐS:
− −
− +
2 3
2(2x 2)
(x 2x 5)
6)
3
2x 1
y
x 1
 
+
=
 ÷
−
 
ĐS :
( )
 
− +
 ÷

−
 
−
2
2
9 2x 1
x 1
x 1

7)
2
3
(x 1)
y
(x 1)
+
=
−
ĐS:
+ +
−
−
2
4
x 4x 3
(x 1)
Baøi 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau; Tìm x để y’=0
1)
9 3y x
= −

2)
3 5y x
= −
3)
91 +−+−= xxy
ĐS: x=5
4)
6 4= − + +y x x
ĐS: x=1
5)
2
4 xxy −+=
ĐS:x=
2
6)
132
2
++−=
xxy
ĐS:x=
2
5
7)
2
y 3x 9x 6x 5
= − + +
ĐS:vô nghiệm
8)
12
2

++= xxy
ĐS: VN
9) y =
xx
1
ĐS:
2
3
y'
2x x
−
=
;VN.
10)y = x
2
+
xx
+ 1 ĐS: y’=
3
2x x
2
+
; y’=0 khi x=0
11)
2
y 2x 5x 2= − +
ĐS:x=5/4
12)
2 2
y x 2x 4 x 2x 4= + + − − +

ĐS: y’=0 khi x=0
13)
= − +
3
3
y x 3x 2
ĐS: x=-1
14)
y x x= +
ĐS:
+
=
+
2
2 x 1
y
4 x x x
; VN
15)
( )
y x x
= − +
2
1 2
ĐS:
x
y
x
+
=

+
2
2
2
; x=-2
16)
1
3
2
+
+
=
x
x
y
ĐS:
2
1 3x
y
x 1
−
=
+
; x=1/3
17)
1
1
2
+−
+

=
xx
x
y
ĐS:
2
x(x 2)
y
x x 1
− +
=
− +
; x=0;x=-2
18)
2
y (x 2) x 3= − +
ĐS:
2
2
2x 2x 3
y
x 3
+ +
=
+
, VN
19)
2
4x 1
y

x 2
+
=
+
ĐS:
2
8 x
y
x 2
−
=
+
20)
x
y
x
−
=
+
2
3 1
1
ĐS:
2
3 x
y
x 1
+
=
+

21)
x
y
x
=
−
2
4
ĐS:
2
4
y
4 x
=
−
22)
2
1 xxy −=
ĐS:
2
2
1 2x
y
1 x
−
=
−
23)
2
4 x

y
x
+
=
ĐS:
2 2
4
y
x x 4
−
=
+
24) y =
2
x 1
x
+
ĐS:
2
2 2
x 1 x
y'
2x x 1
−
=
+
; x=±1
25)
=
−

2
x
y
x 1
ĐS:
2
2 2
x 2x x 1
y'
2(x 1) x
− −
=
−
;x=2
26)y =
x1
x1
−
+
ĐS:
3 x
y
2 1 x
−
=
−
; VN

27)
3

y (x 2)= −
ĐS:
= −
3
y (x 2)
2
28)y = |x − 1| với x≠1 ĐS:y’=-1 với x<1; y’=1 với x>1
29) y= |x
2
−3x+2| với x≠1;x≠2 ĐS:y’=2x-3 với x<1;x>2; y’=3-2x với 1<x<2
Baøi 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = 5sinx − 3cosx ĐS:y’=5cosx+3sinx
2) y = sin3x.cos5x ĐS:y’=3cos3x.cos5x-5sin3x.sin5x
3) Chứng minh rằng hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x: HD: biến đổi rồi tính đạo hàm
a.y = sin
6
x + cos
6
x + 3sin
2
x.cos
2
x ĐS:y’=0
b.
2 2 2 2 2
2 2
y cos x cos x cos x cos x 2sin x
3 3 3 3
π π π π
       

= − + + + − + + −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
ĐS:y=1;y’=0
4) y =
xcos
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
+++
Với x ∈ (0; π) ĐS :y=cos(x/8) ; y’=-1/8sin(x/8)
5)
4 4
cos siny x x= +
ĐS:
2
y 1 sin x
1 3 1
2 cos4x
2 4 4
= − = +

;y’=-sin4x
6)
3 3
8cos sin=y x x
ĐS: y’=6sin
2
2x.cos2x
7)
sin 2 cos 2
sin 2 cos 2
x x
y
x x
+
=
−
ĐS:y=-tan(x+
4
π
);
2
1
y'
cos (x )
4
= −
π
+
8)
2

2
1 tan
1 tan
x
y
x
+
=
−
ĐS: y=
1
cos2x
;
=
2
2sin2x
y'
cos (2x)
9)
y cot2x=
ĐS:
−
=
2
1
y'
sin 2x cot2x
10) y =
xtan21 +
ĐS:

=
+
2
1
y'
cos x 1 2tanx
11)
1
y , x k , k .
cosx 2
π
= ≠ + π ∈Z
ĐS:
=
sinx
y'
cosx cosx
12)
2
sinx
y
1 cosx
 
=
 ÷
+
 
ĐS:
( )
=

+
2
2sinx
y'
1 cosx
13)
y x.cosx=
ĐS: y’=cosx-xsinx
14) y = sin(x
2
− 3x + 2) ĐS:y’=(2x-3)cos(x
2
-3x+2)
15)
3
y sin (2x 1)= +
ĐS: y’=6sin
2
(2x+1).cos(2x+1)
16) y = cos
1x2 +
ĐS:
sin 2x 1
y'
2x 1
− +
=
+

17)

2
y sin 2 x= +
ĐS:
2
2
x cos 2 x
y'
2 x
+
=
+
18)
y sinx 2x= +
ĐS:
cos x 2
y'
2 sin x 2x
+
=
+
19)
3 5
2 1
y tan2x tan 2x tan 2x
3 5
= + +
ĐS:
 
= + + =
 

2 4
2 6
2 2
y' 1 2tan 2x tan 2x
cos 2x cos 2x
20)
2 3
y 2sin 4x 3cos 5x= −
ĐS:
= +
2
y' 16sin4xcos4x 45cos 5xsin5x
21)
2 3
y (2 sin 2x)= +
ĐS:
= +
2 2
y' 12(2 sin 2x) .sin2xcos2x

22)
( )
2 2
y sin cos xtan x=
ĐS:y’=sin2xcos(sin
2
x)
23)
2
x 1

y cos
x 1
 
+
=
 ÷
 ÷
−
 
ĐS:
 
+
=
 ÷
 ÷
−
 
1 x 1
y sin2
x x 1
Baøi 5: a) Cho hàm số
( )
x
x
xf
sin1
cos
+
=
. Tính

( ) ( )












4
';
2
';';0'
ππ
π
ffff
ĐS:-1;-1;1/2;
−3 2 8
b) Cho hàm số
( )
x
x
xfy
2
2
sin1

cos
+
==
. Chứng minh:
f 3f ' 3
4 4
π π
   
− =
 ÷  ÷
   
ĐS:
( )
2
8sin 2x
f ' x
(3 cos2x)
−
=
−
Baøi 6: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
Chú ý: Tính đạo hàm rồi rút gọn cũng hay vì bậc của ẩn giảm.
+ Rút gọn rồi tính đạo hàm càng hay vì tính đạo hàm sẽ đơn giản hơn.
1)
( ) ( )
4 4 6 6
3 sin cos 2 sin cosy x x x x= + − +
ĐS:y=1; y’=0
2)
( ) ( )

4 2 4 2
cos 2cos 3 sin 2sin 3y x x x x= − + −
ĐS:y=-1; y’=0
3)
2 2 2
2 2
cos cos cos
3 3
y x x x
π π
   
= + + + −
 ÷  ÷
   

4)
( )
tan . 1 sin
4 2
sin
x
x
y
x
π
 
− +
 ÷
 
=

;
5)
sin sin 2 sin3 sin 4
cos cos2 cos3 cos4
x x x x
y
x x x x
+ + +
=
+ + +

6)
2 2 2 2cos , 0 ;
2
y x x
π
 
 
= + + + ∈
 ÷ ÷
 
 
.
Baøi 7: Cho hàm số
xxy sin=
chứng minh :
a)
( ) ( )
2 ' sin 2cos 0xy y x x x y− − + − =

b)
'
tan
cos
y
x x
x
− =

Baøi 8: Cho các hàm số :
( )
xxxf
44
cossin +=
,
( )
xxxg
66
cossin +=
. Chứng minh :
( ) ( )
0'2'3 =− xgxf
.
Baøi 9: a) Cho hàm số
2
1 xxy ++=
. Chứng minh :
yyx =+ '.12
2
.

b) Cho hàm số
cot 2y x=
. Chứng minh :
2
' 2 2 0y y+ + =
.
Baøi 10: Giải phương trình
' 0y =
biết :
a)
sin 2 2cosy x x= −

b)
2
cos siny x x= +

c)
3sin 2 4 cos 2 10y x x x= + +
Baøi 11: Cho hàm số
( )
3 2
1
2 1 4
3
y x m x mx= − + + −
. Tìm
m
để :
a)
' 0y =

có hai nghiệm phân biệt ; ĐS:m tùy ý
b)
'y
có thể viết được thành bình phương của nhị thức . ĐS: ∆=0 vô nghiệm .Không có giá trị nào.
c)
' 0 ,y x≥ ∀ ∈ ¡
; ĐS: không có giá trị nào.
d)
( )
' 0 , 1 ; 2y x< ∀ ∈
ĐS: m>0
e)
' 0 , 0y x> ∀ >
. ĐS: m>0
Baøi 12: Cho hàm số
( )
3 2
1
1 3
3
y mx m x mx= − + − − +
. Xác định
m
để :
a)
' 0 ,y x≤ ∀ ∈ ¡
. ĐS: m≥1/2
b)
' 0y =
có hai nghiệm phân biệt cùng âm. ĐS: 0<m<1/2

c)
' 0y =
có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện :
2 2
1 2
2+ =x x
ĐS:m=-1;m=1/3
Baøi 13: Tìm các giá trị của tham số
m
để hàm số:
3 2
3y x x mx m= + + +

có
' 0y ≤
trên một đoạn có độ dài bằng 1. ĐS: m=9/4
Baøi 14: Cho hàm số
( )
( )
= + − +
4 2 2
9 10 1y mx m x
(m là tham số).Xác định
m
để hàm số có
' 0y =
có 3
nghiệm phân biệt. ĐS: m≠0 và -3<m<3.
Baøi 15: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng:
a)

n n 1
(sin x.cosnx)' nsin x.cos(n 1)x
−
= +
b)
n n 1
(sin x.sinnx)' n.sin x.sin(n 1)x
−
= +
c)
n n 1
(cos x.sinnx)' n.cos x.cos(n 1)x
−
= +
d)
n n 1
(cos x.cosnx)' n.cos x.sin(n 1)x
−
= − +
Baøi 16: f(x) là một đa thức bậc n thỏa mãn: f’(x).f(x)=f’(x)+f(x)+2x
3
+2x
2
-1 (1)
Xác định n và đa thức f(x). ĐS: n=2; f(x)=x
2
+x+1 HD: Đồng nhất hệ số.
Baøi 17: f(x) là đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 2. CMR f(x) chia hết cho (x-a)
2
khi và chỉ khi f(a)=f’(a)=0.

Baøi 18: CMR f(x)= nx
n+1
-(n+1)ax
n
+a
n+1
luôn chia hết cho (x-a)
2
VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)
1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x
0
, y
0
)
(C)∈
là:
0 0 0
y y f '(x )(x x )− = −
(*)
2.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k
+ Gọi x
0
là hoành độ của tiếp điểm. Ta có:
0
f (x ) k′ =
(ý nghĩa hình học của đạo hàm)
+ Giải phương trình trên tìm x
0
, rồi tìm
0 0

y f(x ).=
+ Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*)
3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua A(x
1
, y
1
) cho trước:
+ Gọi (x
0
, y
0
) là tiếp điểm (với y
0
= f(x
0
)).
+ Phương trình tiếp tuyến (d):
0 0 0
y y f '(x )(x x )− = −
(d) qua A
1 1 1 0 0 1 0
(x , y ) y y f '(x ) (x x ) (1)⇔ − = −
+ Giải phương trình (1) với ẩn là x
0
, rồi tìm
0 0
y f(x )=
và
0
f'(x ).

+ Từ đó viết phương trình (d) theo công thức (*).
4. Nhắc lại: Cho (∆): y = ax + b. Khi đó:
+
d
(d) ( ) k a⁄⁄ ∆ ⇒ =
+
d
1
(d) ( ) k
a
⊥ ∆ ⇒ = −
Baøi 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x
3
, biết:
a. Tiếp điểm có hoành độ bằng −1. ĐS:y=3x+2
b. Tiếp điểm có tung độ bằng 8. ĐS:y=12x-16
c. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 ĐS:y=3x+2; y=3x-2
Baøi 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y =
x
1
:
a. Tại điểm






2;
2

1
. ĐS:y=-4x+4
b. Tại điểm có hoành độ bằng −1. ĐS:y=-x-2
c. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng −
4
1
. ĐS:y=-
4
1
x-1; y=-
4
1
x+1
Baøi 3: Cho đường cong (C): y =
x
. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C):
a. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1. ĐS:y=x+
4
1
b. Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng (∆): x − 4y + 3 = 0. ĐS: y=
4
1
x+1
Baøi 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:y =
1x
1x
+
−
, biết hoành độ tiếp điểm là x
0

= 0
ĐS:y=2x-1
Baøi 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
2x +
, biết tung độ tiếp điểm là y
0
= 2.
ĐS:
x 3
y
4 2
= +
Baøi 6: Cho hàm số (C):
2
y f(x) x 2x 3.= = − +
Viết phương trình tiếp với (C):
a) Tại điểm có hoành độ x
0
= 1. ĐS:
y 2=
b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0. ĐS:
y 2x 1= −
c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0. ĐS:
y 4x 6= −
d) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ. ĐS:
1
y x
4
= − +
Baøi 7: Cho hàm số

2
y f(x)
2 x x
x 1
= =
− +
−
(C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 2). ĐS:
y 2=
b) Viết phương trình ttiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1. ĐS: Không có tiếp tuyến
Baøi 8: Cho hàm số
y f(x)
3x 1
1 x
= =
+
−
(C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7). ĐS:
y 4x 15= −
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. ĐS:
9 3
y x
4 4
= +
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. ĐS:
y 4x 1= +
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d:
= +

1
y x 100
4
.
ĐS:
x 21
y
4 4
= −
;
x 5
y
4 4
= −
e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với ∆: 2x + 2y – 5 = 0.
ĐS:
y x 8= −
;
y x=
Baøi 9: Cho hàm số (C):
3 2
y x 3x .= −
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1, –2). ĐS:
y 3x 1= − +
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của (C) không đi qua I. HD: CM chỉ có 1 tt đi qua I.
Baøi 10: Cho (C):
2
y 1 x x .= − −
Tìm phương trình tiếp tuyến với (C):
a) Tại điểm có hoành độ x

0
=
.
1
2
ĐS:
3
y 2x
2
= − +
b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0. ĐS:
x
y 1
2
= − +
Baøi 11: Cho hai hàm số y =
2x
1
và y =
2
x
2
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã cho
tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên. ĐS:
x 1
y 2; y 2x
2 2
= − + = −
;90
0

Baøi 12: Cho Parabol (P): y = x
2
. Gọi M
1
và M
2
là hai điểm thuộc (P) lần lượt có hoành độ x
1
= −2 và
x
2
= 1. Hãy tìm trên (P) một điển C sao cho tiếp tuyến tại C song song với cát tuyến M
1
M
2
. Viết phương trình
tiếp tuyến đó. ĐS:
1
y x
4
= −
Baøi 13: Cho hàm số (C): y = x
3
- 3x
2
+ 2.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (∆): 3x - 5y - 4 = 0
ĐS:
5x 29 5x 61
y ; y

3 27 3 27
= − + = − +
Baøi 14: Viết phương trình tiếp tuyến của Parabol y = x
2
, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; −1)
ĐS:
y 2x 1; y 2x 1= − = − −
Baứi 15: Vit phng trỡnh tip tuyn vi th ca hm s y = f(x) bit:
1) f(x) = 3x 4x
3
v tip tuyn i qua im A(1; 3) S:y=3x; y=-24x+27
2) f(x) =
1
4
x
4
3x
2
+
3
2
v tip tuyn i qua im B(0;
3
2
) S:
3 3 3
y ;y 4x ;y 4x
2 2 2
= = + = +
3) f(x) = x +

1
x - 1
v tip tuyn di qua im C(0; 3) S:
y 3; y 8x 3= = +
4) f(x)
2
x x 1
x 1

=
+
v tip tuyn i qua im A(0;-5). S:
y 5; y 8x 5= =
Baứi 16: Cho hm s y = x +
1
x + 1
(C). Chng minh rng qua im A(1; -1) k c hai tip tuyn ti th
v hai tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau. S: x
2
+3x+1=0 cú 2 nghim; k
1
.k
2
=-1.

Baứi 17: Tỡm m t M(m; 0) k c hai tip tuyn vi th hm s y =
x + 2
x - 1
sao cho hai tip im nm
v hai phớa ca:

1) Trc Ox. S: PT
2
0 0
4 3 2 0+ =x x m
; m(-2;-2/3)(1/3;+)\{1}.
2) Trc Oy: S: m(-2/3;+)\{1}.
3) ng thng x+y-1=0 S: m(-5/3;+)\{1}.
Baứi 18: Cho hàm số
1x
2x
y

+
=
(C). Cho điểm A(0;a) .Xác định a đẻ từ A kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (C) sao cho
hai tiếp điểm tơng ứng nằm về hai phía trục ox. S:
1a
3
2
<

Baứi 19: Cho hm s y = cos
2
x + msinx (m l tham s) cú th l (C). Tỡm m trong mi trng hp sau:
.a Tip tuyn ca (C) ti im cú honh x = cú h s gúc bng 1. S:m=1
b.Tip tuyn ca (C) ti cỏc im cú cỏc honh x =
4

v x =
5

4

song song hoc trựng nhau.
S:m=-
2
Baứi 20: Tỡm giao im ca hai ng cong (P): y = x
2
x + 1 v (H): y =
1
x 1+
. Chng minh rng hai ng cong
ú cú tip tuyn chung ti giao im ca chỳng. S: M(0;1); tt: y=-x+1
Baứi 21: * Cho hm s (C): y = - x
3
+ 3x
2
- 2. Tỡm cỏc im thuc th (C) m qua ú k c mt v ch mt
tip tuyn vi th (C). S: M(0;-2)
Baứi 22: Cho hm s y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 5.
a. Chng minh rng trờn th khụng tn ti hai im sao cho hai tip tuyn ti hai im ú ca th l
vuụng gúc vi nhau. S:h s gúc luụn dng. y'=3(x+1)
2
b. Xỏc nh k trờn th cú ớt nht mt im m tip tuyn ti ú vuụng gúc vi ng thng y = kx.
S.Pt y.k=-1 cú nghim tc l: 3(x+1)
2
.k=-1cú nghim khi k < 0

Baứi 23: Cho hm s y = x
3
+ 3x
2
+ 10x -3 (C). Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) bit tip tuyn cú h s gúc
nh nht. S: y=3(x+1)
2
+7. H s gúc nh nht bng 7 khi x=-1. Tt l y=7x - 4
Baứi 24: Cho hm s y = -
1
3
x
3
+ 2x
2
+
2
3
(C). Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) bit tip tuyn cú h s gúc
ln nht. S: y=-(x-2)
2
+4. H s gúc ln nht bng 4 khi x=2. Tt l y=4x -2.