tuyển tập các bài toán hình học giải tích trong không gian luyện thi đại học

1
CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC
1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0),
D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD,
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc a biết
1
cos
6
a =
(Đại học khối A – 2006)
Giải
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN
Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ thì tọa độ các điểm là:
A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1); B’(1;
0; 1), C’(1; 1; 1), D’(0; 1; 1), M(
1
2
; 0; 0), N(
1
2
; 1; 0)
Ta có
( ) ( )
1
A'C 1;1; 1 ,MN 0;1;0 ,A'M ;0; 1
2
ỉ ư
= - = = -
ç ÷
è ø

uuuur uuuur uuuuur
( )
( )
2 2 2
A'C,MN 1;0;1
1
1
A'C,MN .A'M
1
2
d A'C,MN
2 2
1 0 1
A'C,MN
é ù
=
ë û
-
é ù
ë û
Þ = = =
é ù
+ +
ë û
uuuur uuuur
uuuur uuuur uuuuur
uuuur uuuur
1
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc biết cos
6

a a =
A'C có qua A'(0;0;1) VTCP là A'C (1;1; 1)
x-y 0
x y z 1
nên pt chính tắc A'C là pt tổng quát A'C là
y z 1 0
1 1 1
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Vì mp (P) chứa A'C nên pt mp (P) dạng
= -
=
ì
-
= = Þ
í
+ - =
-
ỵ
uuuur
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
Oxy
2
2 2
2 2 2 2 2
1

A x -y B y z -1 0 A B 0 Ax B A y Bz B 0
Mp Oxy có pt là z 0 n 0;0;1
B
1
Ycbt cos cos (P),(Oxy)
6
A B A B
A 2B
6B 2A 2AB 2B A AB 2B 0
A B
A 2B. Chọn B 1,A 2 pt mp (P ) :2x y z 1 0
A B.
+ + = + ¹ Û + - + - =
= Þ =
Þ a = = =
+ - +
=
é
Û = - + Û - - = Û
ê
= -
ë
- = = = Þ - + - =
- = -
uuuur
2
Chọn B 1,A 1 pt mp (P ) :x 2y z 1 0 = - = Þ - - + =
z
A
B(1; 0; 0)

C
D(0; 1; 0)
A’(0; 0; 1)
B’
C’
D’
y
x
M
N
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
2
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1 2
x 1 2t
x y 1 z 2
d : và d : y 1 t
2 1 1
z 3
= - +
ì
- +
ï
= = = +
í
-
ï
=
ỵ
a) Chứng minh rằng d

1
và d
2
chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
. (Đại học khối A – 2007)
Giải
a) Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau.
( )
( )
1 2
d qua A(0;1; 2) có VTCP là a (2; 1;1),d qua B( 1;1;3) có VTCP là b (2;1;0)
Ta có : a,b 1;2;4 0 a và b không cùng phương (1)
AB -1;0;5 , a,b .AB 1 0 20 21 0 3 vectơ a, b
- = - - =
é ù
= - ¹ Þ
ë û
é ù
= = + + = ¹ Þ
ë û
r r
r r r r r

uuur r r uuur r
1 2
, AB không đồng phẳng (2)
Từ (1) & (2) d và d chéo nhau Þ
r uuur
b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường
thẳng d
1
và d
2
.
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1 2
1 2
1
2 2
x 2y 2 0 x 2y 3 0
Ta có PTTQ của d : ,d :
y z 1 0 z 3 0
chứa d chứa d
Ta có d mp : ,d mp :

P P
Viết pt mp : chứa d nên pt mp dạng :
A x 2y 2 B y z 1 0 A B 0 Ax 2A B y Bz 2A B
+ - = - + =
ì ì
í í
+ + = - =
ỵ ỵ
a b
ì ì
ï ï
Ì a Ì b
í í
a ^ b ^
ï ï
ỵ ỵ
- a a a
+ - + + + = + ¹ Û + + + - + =
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
P
2
2 2
P
0
Ycbt n .n 0 7A 2A B 4B 0 9A 3B 0 B 3A
Chọn A 1 B 3: pt : x 5y 3z 1 0

Viết pt mp : chứa d nên pt mp dạng :
M x 2y 3 N z 3 0 M N 0 Mx 2My Nz 3M 3N 0
Ycbt n .n 0 7M 2M 4N 0 5M 4N 0
Chọn
a
b
Þ = Û + + - = Û - = Û =
= Þ = a + + + =
- b b b
- + + - = + ¹ Û - + + - =
Þ = Û - - = Û - =
uur uur
uur uur
( )
( ) ( )
1 2
M 4 N 5: pt : 4x 8y 5z 3 0
x 5y 3z 1 0
Vậy ptđt d:
4x 8y 5z 3 0
Ro õ ràng : d cắt d tại M 2;0; 1 ,cắt d tại N 5; 1;3 nên ta nhận pt đt d trên
= Þ = b - + - =
+ + + =
ì
í
- + - =
ỵ
- - -
3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng:
1 2

x 2 y 2 z 3 x 1 y 1 z 1
d : ,d :
2 1 1 1 2 1
- + - - - +
= = = =
- -
a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
1
.
b) Viết phương trình đường thẳng D đi qua A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
(Đại học khối D – 2006)
(
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
3
Giải
a) Tìm tọa độ A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
1
( )
1
1 P d1
Trước tiên ta tìm H - hình chiếu vuông góc của A lên d
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d thì (P) có VTPT là n =a = 2; 1;1
Vậy pt mp (P) dạng : 2x y z m 0. Vì (P) q
-
- + + =
uur uur

( )
( )
A A ' H
A A ' H
A A' H
ua A(1;2;3) nên 2 2 3 m 0 m 3
2x y z 3 0
Vậy pt mp (P) là : 2x y z 3 0 H thỏa H 0; 1;2
x 2 y 2 z 3
2 1 1
x x 2x
H là trung điểm của AA' nên y y 2y A' 1; 4;1
z z 2z
- + + = Û = -
- + - =
ì
ï
- + - = Þ Û -
í - + -
= =
ï
ỵ -
+ =
ì
ï
+ = Û - -
í
ï
+ =
ỵ

b) Viết phương trình đường thẳng D đi qua A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
( )
( ) ( )
( )
( )
2
1
2
2 2
2
(P) qua A (Q) chứa d
mp P , mp(Q)
(P) d
(Q) qua A
2x y 3 0
Viết pt mp (Q) : Ta có PTTQ của d :
x z 0
Vì (Q) chứa d nên pt mp (Q) dạng : A 2x y 3 B x z 0 A B 0
2A B x Ay Bz 3A 0
(Q) qua A(1;2;
ì ì
D Ì D Ì
í í
^
ỵ ỵ
+ - =

ì
í
+ =
ỵ
+ - + + = + ¹
Û + + + - =
( )
2
3) nên 2A B 2A 3B 3A 0 A 4B 0
Chọn B 1,A 4, ta được pt mp (Q) : 7x 4y z 12 0
2x y z 3 0
Vậy pt đt :
7x 4y z 12 0
Ro õ ràng cắt d tại M 2; 1; 2 nên nhận pt đt trên
+ + + - = Û + =
= - = + - - =
- + - =
ì
D
í
+ - - =
ỵ
D - - D
4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
. Biết A(a;0;0), B(-a;0;0),

C(0;1;0), B
1
(-a;0;b), a>0, b>0
a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B
1
C và AC
1
theo a và b.
b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn luôn thỏa mãn a+ b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa 2 đường thẳng B
1
C
và AC
1
đạt giá trò lớn nhất. (Đại học khối D – 2004)
Giải
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng B
1
C và AC
1
( )
( ) ( )
1 1 1 1 1
B1 B C1 C C1
B1 B C1 C C1 1
B1 B C1 C C1
1 1 1 1
ABC.A B C là hình lăng trụ đứng nên ta có : BB CC
x x x x x 0
y y y y y 1 C 0;1; b
z z z z z b

B C a;1;b ,AC a;1;b , B C,AC 2b;0;
=
- = - =
ì ì
ï ï
Û - = - Û = Þ
í í
ï ï
- = - =
ỵ ỵ
é ù
= = - =
ë û
uuuur uuuur
uuuur uuuur uuuur uuuur
( ) ( )
( )
1 1
1 1
2 2 2 2
1 1
2a ,AC a;1;0
B C,AC .AC
2ab
ab
d B C,AC
4a 4b a b
B C,AC
= -
é ù

-
ë û
= = =
é ù
+ +
ë û
uuur
uuuur uuuur uuur
uuuur uuuur
(
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
4
b) Tìm a và b để khoảng cách giữa hai đường thẳng trên đạt giá trò lớn nhất
2 2
2 2
max
Áp dụng BĐT Cau chy : a b 2 ab
ab ab 1 1 a b
nên a b 2ab ab 2(Vì a b 4)
2
2ab 2 2
a b
Vậy d 2 khi a b 2
+ ³
+
+ ³ Þ £ = £ = + =
+
= = =
5) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm I(1;1;1) và đường thẳng
x 2y z 9 0

d
2y z 5 0
- + - =
ì
í
+ + =
ỵ
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I, cắt đường thẳng d theo 1 dây cung AB có độ dài bằng 16
Giải
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2
2 2 2 2
pt mặt cầu (S) tâm I, bán kính R là : x 1 y 1 z 1 R
AB
Gọi H là trung điểm của AB thì IH AB. Vậy R IA IH HA với HA 8;IH d I,d
2
x z 9 x 14
Trong đt d cho y 0, ta được M 14
z 5 z 5
- + - + - =
^ = = + = = =
+ = =
ì ì
= Û Þ
í í
= - = -
ỵ ỵ
( ) ( )

( )
( )
( )
( )
1
d 1 2 d
2
d d
d
;0; 5 d IM 13; 1; 6
n 1; 2;1
d có cặp VTPT là d có VTCP là a n ,n 4; 1;2 a 16 1 4 21
n 0;2;1
a ,IM 8; 2; 17 a ,IM 64 4 289 357
a ,IM
IH
- Ỵ Þ = - -
ì
= -
ï
é ù
Þ = = - - Þ = + + =
í
ë û
=
ï
ỵ
é ù é ù
= - - - Þ = + + =
ë û ë û

=
uuur
uur
uur uur uur uur
uur
uur uuur uur uuur
uur u
( ) ( ) ( )
2
d
2 2 2
357
17 R 17 64 81
21
a
Vậy pt mc (S) là x 1 y 1 z 1 81
é ù
ë û
= = Þ = + =
- + - + - =
uur
uur
6) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;1;1), mặt phẳng (P) : x + 2y + 3z – 6 = 0 và mặt cầu
(S) : x
2
+ y
2
+ z
2
= 100. Viết phương trình đường thẳng d qua M, nằm trong mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S)

theo dây AB thỏa MA = MB.
Giải
( )
( )
= < Þ
Ì =
= ^ =
=
uur
uuuur
uur uur
P
d P
Mặt cầu (S) có tâm O, bán kính là 10, OM 3 R M ở trong mặt cầu
Vì d mp(P) nên n 1;2;3 là 1 VTPT của d
MA MB nên OM AB nên OM 1;1;1 là 1 VTPT của d
Vậy d có VTCP là a n
( ) ( )
- - -
é ù
= - - = =
ë û
- -
uuuur
x 1 y 1 z 1
,OM 1;2; 1 mà d qua M 1;1;1 nên pt đt d :
1 2 1
7) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng
x 1 y 2 z
:

1 1 2
- +
D = =
-
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng
OAB.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng D sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
(Đại học khối D – 2007)
Giải
( )
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
5
a) Viết phương trình đường thẳng d qua G, vuông góc mp(OAB)
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
O A B
G
O A B
G
O A B
G
d
x x x
x 0
3

y y y
G là trọng tâm OAB nên G thỏa y 2 G 0;2;2
3
z z z
x 2
3
mp(OAB) có cặp VTCP là OA 1;4;2 ,OB 1;2;4 n 12; 6;6 6 2; 1;1
d mp(P) nên a n 2; 1;1 mà d
+ +
ì
= =
ï
ï
+ +
ï
D = = Þ
í
ï
+ +
ï
= =
ï
ỵ
= = - Þ = - = -
^ = = -
uuur uuur r
uur r
x y 2 z 2
qua G nên pt đt d :
2 1 1

- -
= =
-
b) Tìm MỴD để MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất
( )
2
2 2 2
2 2
P
AB
Gọi E là trung điểm của AB thì MA MB 2ME
2
Vậy MA MB min ME min M H hình chiếu của E lên đt
E là trung điểm AB nên E 0;3;3 ;Gọi (P) là mp qua E và vuông góc đt thì n a
D
+ = +
+ Û Û º - D
D = =
uur uur
( )
( )
1;1;2
pt mp (P) : x y 2z m 0.(P) qua E nên 3 6 m 0 m 9 pt mp (P) : x y 2z 9 0
x 1
x y 2z 9 0
Vậy H thỏa y 0 M 1;0;4

x 1 y 2 z
z 4
1 1 2
-
Þ - + + + = + + = Û = - Þ - + + - =
= -
ì
- + + - =
ì
ï ï
Û = Þ -
í í - +
= =
ï ï
=
- ỵ
ỵ
8) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng :
1 2
x 1 t
x 2y z 4 0
: và : y 2 t
x 2y 2z 4 0
z 1 2t
= +
ì
- + - =
ì
ï
D D = +

í í
+ - + =
ỵ
ï
= +
ỵ
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D
1
và song song với đường thẳng D
2
.
b) Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng D
2
sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ
nhất. (Đại học khối A – 2002)
Giải
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D
1
và song song với đường thẳng D
2
.
( )
( )
( )
( )
( )
1
1 1 1 1 2
2
1 1

1 1
n 1; 2;1
có cặp VTPT là có VTCP là a = n ,n 2;3;4
n 1;2; 2
x 2y 4 x 0
Trong cho z 0, ta được qua A 0; 2;0
x 2y 4 y 2
Vì mp (P) chứa nên a = 2;3;4 la
ì
= -
ï
é ù
D Þ D =
í
ë û
= -
ï
ỵ
- = =
ì ì
D = Û Þ D -
í í
+ = - = -
ỵ ỵ
D
uur
uur uur uur
uur
uur
( )

(
)
( )
1 2
2 2
ø 1 VTCP của (P)
(P) có VTPT là n a ,a 2;0; 1
mp (P) // nên a = 1;1;2 là 1 VTCP của (P)
pt mp (P) dạng : 2x z m 0. (P) qua A 0; 2;0 nên m 0.
Vậy pt mp (P) là : 2x z 0
ü
ï
é ù
Þ = = -
ý
ë û
D
ï
þ
Þ - + = - =
- =
r uur uur
uur
b) Tìm H Ỵ D
2
để MH nhỏ nhất.
(
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
6
( )

2 2
2 Q 2
Kẻ ME . Ta có ME MH. Vậy MH min MH ME H E hình chiếu của M xuống
Gọi (Q) là mp qua M và vuông góc với thì (Q) có VTPT là n a 1;1;2
pt mp (Q) dạng : x y 2z m 0. Vì (Q) qua
^ D £ Û = Û º - D
D = =
Þ + + + =
uur uur
( )
( )
M 1;2;4 nên m 11
Vậy pt mp (Q) : x y 2z 11 0
x 1 t
x 2
y 2 t
H thỏa : y 3 H 2;3;3
z 1 2t
z 3
x y 2z 11 0
= -
+ + - =
= +
ì
=
ì
ï
= +
ï ï
Û = Þ

í í
= +
ï ï
=
ỵ
ï
+ + - =
ỵ
9) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A
trùng với gốc của hệ tọa độ, B(a;0;0), D(0;a;0); A’(0;0;b) (a>0, b>0). Gọi M là trung điểm cạnh CC’.
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.
b) Xác đònh tỉ số
a
b
để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
(Đại học khối A – 2003)
Giải
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M
Tọa độ của các điểm là :
A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0)
A’(0;0;b), B’(a;0;b), C’(a;a;b), D’(0;a;b), M(a;a;
b
2
)
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
BDA'M

b
Ta có : BD a;a;0 ,BA' a;0;b ,BM 0;a;
2
a b 3a b
BD,BA' ab;ab;a , BD,BA' .BM a b
2 2
1 1 3a b a b
V BD,BA' .BM
6 6 2 4
ỉ ư
= - = - =
ç ÷
è ø
é ù é ù
= = + =
ë û ë û
é ù
= = =
ë û
uuur uuuur uuuur
uuur uuuur uuur uuuur uuuur
uuur uuuur uuuur
b) Xác đònh tỉ số
a
b
để 2 mp (A’BD) và (MBD) vuông góc
( ) ( )
( )
( )
( )

2
(A'BD) có cặp VTCP A'B a;0; b ,A'D 0;a; b
2
(A'BD) có VTPT n A'B,A'D ab;ab;a a b;b;a
1
b
(MBD) có cặp VTCP MB 0; a; ; BD a;a;0
2
(MBD) có VTPT n MB
- = - = -
é ù
Þ = = =
ë û
-
ỉ ư
- = - = -
ç ÷
è ø
Þ =
uuuur uuuur
uur uuuur uuuur
uuur uuur
uur uuur
ab ab b b
2
,BD ; ; a a ; ; a
2 2 2 2
2 2
b a
b b a

2 2 2
Để 2 mp trên vuông góc thì n .n 0 a 0 b a 0 1
1 2
b a(loại a, b 0)
2 2 b
a
KL : 1 thì 2 mp(A'BD) và (MBD) vuông góc
b
ỉ ư ỉ ư
é ù
= - = -
ç ÷ ç ÷
ë û
è ø è ø
=
é
= Û + - = Û - = Û Û =
ê
= - >
ë
=
uuur
uur uur
A
B(a; 0; 0)
C
D(0; a; 0)
A’(0; 0; b)
B’
C’

D’
y
x
M
z
( )
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
7
10) Tìm m để hai mặt phẳng sau song song :
mp (P) : 2x + my + 3z + 6 –m = 0 và mp (Q) : (m+3)x + 2y + (5m+1)z – 10 = 0
Giải
( ) ( )
( )
( )
P Q
2 2
P Q P Q
2
2
Ta có : n 2;m;3 và n m 3;2;5m 1
Để mp(P) // mp (Q) thì n // n n ,n 0 5m m 6; 7m 7;4 m 3m 0;0;0
5m m 6 0
7m 7 0 m 1
4 m 3m 0
Với m 1: mp(P): 2x y 3z 5 0,mp(Q) : 4x 2y 6z
= = + +
é ù
Û = Û + - - + - - =
ë û
ì

+ - =
ï
Û - + = Û =
í
ï
- - =
ỵ
= + + + = + + -
uur uur
uur uur uur uur
10 0 \
Nhận thấy mp (P) // mp (Q) nên nhận m 1
=
=
11) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC =
b, AB = c.
Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng :
( )
2S abc a b c ³ + +
(Dự bò 2 – Đại học khối D – 2003)
Giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm là :
A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
BCD
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2

BC c;b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc
1 1
S BC,BD a b a c b c
2 2
đpcm a b a c b c abc(a b c)
a b a c b c abc(a b c)
Theo BĐT Cauchy ta được :
a b +b c 2ab c
b c +c a
é ù
= - = - =
ë û
é ù
= = + +
ë û
Û + + ³ + +
Û + + ³ + +
³
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c)(đpcm)
c a a b 2ca b
ü
ï
³ + + ³ + +
ý
ï
+ ³

þ
12) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mặt phẳng
(P) : 2x – y + 2z – 14 = 0
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất.
(Đại học khối B – 2007)
Giải
a) Viết phương trình mp (Q) chứa Ox, cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính bằng 3
( )
2 2
M.cầu (S) có tâm I(1; 2; 1),bán kính R 1 4 1 3 3
y 0
mp (Q) chứa trục Ox nên pt mp (Q) dạng : Ay Bz 0 A B 0
z 0
Vì mp (Q) cắt (S) theo 1 đường tròn bán kính bằng 3 nên (Q) phải qua tâm
- - = + + + =
=
ì
+ = + ¹
í
=
ỵ
I của m.c
Vậy 2A B 0. Chọn A 1,B 2,ta được pt mp (Q) : y 2z 0 - - = = = - - =

z
y
x
A
B
C
D
(
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
8
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mp (P) là max
( ) ( ) ( )
( )
( )
Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với mp (P). d cắt m.c tại A và B.
Nếu d A,mp(P) d B,mp(P) thì d M,mp(P) max khi M A
x 1 y 2 z 1
d có VTCP là a 2; 1;2 ,qua I nên ptđt d là
2 1 2
Gọi l
> º
- + +
= - = =
-
a
r
( )
( ) ( )
( )
1

à tiếp diện của m.c (S) và // mp (P) thì pt dạng: 2x y 2z m 0
m 2 9 m 7
2 2 2 m
Để tiếp xúc m.c (S) đk là d I,mp( ) R 3 m 2 9
m 2 9 m 11
4 1 4
Với m 7,ta có pt : 2x y 2z 7 0. d cắt
a - + + =
+ = =
+ - +
é é
a a = Û = Û + = Û Û
ê ê
+ = - = -
+ +
ë ë
= a - + + =
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1
2 2
2x y 2z 7 0
tại A thỏa hpt A 1; 1; 3
x 1 y 2 z 1
2 1 2
2x y 2z 11 0
Với m 11,ta có pt : 2x y 2z 11 0. d cắt tại B thỏa hpt B 3; 3;1
x 1 y 2 z 1
2 1 2

2 1 6 14
Ta có d A,mp(P) 7,
4 1 4
- + + =
ì
ï
a Þ - - -
í - + +
= =
ï
- ỵ
- + - =
ì
ï
= - a - + - = a Þ -
í
- + +
= =
ï
- ỵ
- + - -
= =
+ +
( )
( ) ( )
6 3 2 14
d B,mp(P) 1.
4 1 4
Vậy d M,mp(P) max khi M A 1; 1; 3
+ + -

= =
+ +
º - - -
13) Tìm a, b để 3 mặt phẳng sau cùng chứa một đường thẳng :
Mp (P) : 5x + ay + 4z + b = 0 , mp (Q) : 3x – 2y + z – 3 = 0 , mp (R) : x – 2y – 2z + 5 =0
Giải
3x 2y z 3 0
Gọi d là giao tuyến của mp (Q) và mp (R) thì pt đt d là :
x 2y 2z 5 0
Để 3 mp trên cùng chứa 1 đt thì mp (P) phải chứa đường d
9 5
Ta thấy đường d qua 2 điểm : A 4; ;0 ,B
2
- + - =
ì
í
- - + =
ỵ
ỉ ư
ç ÷
è ø
11
; ;1
2 4
9
20 a b 0
a 2
2
Để mp (P) chứa đường d thì A,B mp(P)
25 11 b 11

a 4 b 0
2 4
ỉ ư
ç ÷
è ø
ì
+ + =
ï
= -
ì
ï
Ỵ Þ Û
í í
= -
ỵ
ï
+ + + =
ï
ỵ
14) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :
1 2
x 1 t x 2 t
: y t và : y 4 2t
z 4t z 1
= - = -
ì ì
ï ï
= = +
í í
ï ï

= =
ỵ ỵ
d d
Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) : y + 2z = 0 và cắt cả hai đường thẳng d
1
và d
2
.
(Cao đẳng kỹ thuật Cao Thắng – 2007)
Giải
( )
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
9
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
2
1 2
Gọi A d P ,ta thế x,y,z vào pt mp (P) : t 8t 0 t 0 A 1;0;0
Gọi B d P ,ta thế x,y,z vào pt mp (P) : 4 2t 2 0 t 3 B 5; 2;1
d (P) cắt cả d và d nên d qua A và B.
Với VTCP AB 4; 2;1 ,ta được
= + = Û = Þ
= + + = Û = - Þ -
Ì
= -
I
I
uuur

x 1 y z
pt đt d :
4 2 1
-
= =
-
15) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thoi có tâm O,
A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;
2 2
). Gọi M là trung điểm của cạnh bên SA.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và DM.
b) Mặt phẳng (CDM) cắt SB tại N. Tính thể tích khối tứ diện SCMN.
(Đại học Sài Gòn – Khối A – 2007)
Giải
a) Khoảng cách giữa SC và DM
Ta có tọa độ các điểm S(0;0;2 2 ), A(2;0;0), B(0;1;0), C(-2;0;0), D(0;-1;0), M(1;0; 2 )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
SC 2;0; 2 2 ,DM 1;1; 2 ,SD 0; 1; 2 2 , SC,DM 2 2;0; 2
SC,DM .SD
4 2
4 2 2 6
Vậy d SC,DM
3
12 2 3
SC,DM
é ù
= - - = = - - = -
ë û
é ù

ë û
= = = =
é ù
ë û
uuur uuuur uuur uuur uuuur
uuur uuuur uuur
uuur uuuur
b) Tính V
SCMN
.
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
mp(CDM) có cặp VTCP là CD 2; 1;0 ,CM 3;0; 2
(CDM) có VTPT là n CD,CM 2; 2 2;3 pt(CDM) dạng : 2x 2 2y 3z m 0
(CDM) qua C 2;0;0 nên m 2 2 pt CDM : 2x 2 2y 3z 2 2 0
SB 0;1; 2 2 pt đ
= - =
é ù
= = - - Þ - - + + =
ë û
- = - Þ - - + - =
= - Þ
uuur uuuur
r uuur uuuur
uur
{ } ( )
( ) ( ) ( )

SCMN
x 0
1
t SB: y 1 t .Vì N SB CDM nên ta có tọa độ N 0; ; 2
2
z 2 2t
1
SC 2;0; 2 2 ,SM 1;0; 2 ,SN 0; ; 2 , SC,SM 0;4 2;0 , SC,SM .SN 2 2
2
1
V SC,SM .
6
ì
=
ï
ỉ ư
= + =
í
ç ÷
è ø
ï
= -
ỵ
ỉ ư
é ù é ù
= - - = - = - = =
ç ÷
ë û ë û
è ø
é ù

=
ë û
I
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
1 2
SN .2 2 (đvtt)
6 3
= =
uuur
16) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2;1;-3), đường thẳng d :
x 3 y 1 z 5
2 1 2
- - -
= = và mặt
phẳng (P) : x + y – z – 1 = 0.
a) Viết phương trình đường thẳng D đi qua A, vuông góc với đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng 3 .
(Cao đẳng kinh tế – 2007)
Giải
a) Viết phương trình đường thẳng D qua A, vuông góc d và // (P)
( )
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
10
( )
( )
( )
( )
( )
( )

d
P
d P
d nên có 1 VTPT là a 2;1;2
// mp(P) nên có 1 VTPT là n 1;1; 1
có VTCP là a a ,n 3;4;1
x 2 y 1 z 3
qua A 2;1; 3 nên pt đt : A P nên //(P)
3 4 1
D
D ^ D =
D D = -
é ù
Þ D = = -
ë û
- - +
D - D = = Ï D
-
uur
uur
uur uur uur
b) Tìm tọa độ M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3
( )
( )
( ) ( )
1 2
x 3 2t
Ta có pt đt d y 1 t .Vì M d nên M 3 2t;1 t;5 2t
z 5 2t
t 2 3 t 5

3 2t 1 t 5 2t 1
d M,mp(P) 3 t 2 3
t 2 3 t 1
1 1 1
Vậy M 13;6;15 ,M 1;0;3
= +
ì
ï
= + Ỵ + + +
í
ï
= +
ỵ
- = =
+ + + - - -
é é
= = Û - = Û Û
ê ê
- = - = -
+ +
ë ë
17) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) : x – y + z + 3 = 0 và hai điểm
A(-1;-3;-2) ; B(-5;7;12).
a) Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).
b) Giả sử M là một điểm chạy trên mặt phẳng (P), tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức : MA + MB
(Dự bò 2 – Đại học khối A – 2002)
Giải
a) Tìm A’ – đối xứng với A qua (P)
( )
Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với mp (P) thì

x 1 y 3 z 2
pt đt d :
1 1 1
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp (P) thì
x 1 y 3 z 2
H thỏa hệ H 2; 2; 3
1 1 1
x y z 3 0
H là
+ + +
= =
-
+ + +
ì
= =
ï
Þ - - -
-
í
ï
- + + =
ỵ
( )
A A' H
A A' H
A A' H
x x 2x
trung điểm AA' nên y y 2y A ' 3; 1; 4
z z 2z
+ =

ì
ï
+ = Þ - - -
í
ï
+ =
ỵ
b) Tìm min(MA + MB)
( )
( )
A B
Thế tọa độ A, B vào pt mp (P) ta được 3, 3. Vậy AB nằm cùng phía với mp (P)
A' là đối xứng của A qua mp (P) nên MA MA'
MA MB MA' MB A'B MA MB 18 (A'B 2;8;16 )
Min MA MB 18 khi M A'
r = r =
=
+ = + ³ Þ + ³ = -
+ = =
uuuur
( )
(P) : x y z 3 0
B mp (P) M thỏa hệ M 4;3;4
x 3 y 1 z 4
A'B:
1 4 16
- + + =
ì
ï
Ç Þ Þ -

+ + + í
= =
ï
-
ỵ
A
H
A’
M
B
P
( )
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
11
18) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(-1;2;3), B(0;3;1), C(2;2;-1) và D(4;-2;1)
Tìm MỴAB, NỴCD sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất.
Giải
( ) ( )
( ) ( )
( )
x 1 t
AB 1;1; 2 ,pt đt AB: y 2 t ,M AB M 1 t;2 t;3 2t
z 3 2t
x 2 t'
CD 2; 4;2 ,pt đt CD : y 2 2t',N CD N 2 t';2 2t '; 1 t'
z 1 t'
MN t ' t 3; 2t' t;t ' 2t 4
MN min chỉ khi MN là đường vuông
= - +
ì

ï
= - = + Ỵ Þ - + + -
í
ï
= -
ỵ
= +
ì
ï
= - = - Ỵ Þ + - - +
í
ï
= - +
ỵ
= - + - - + -
uuur
uuur
uuuur
( )
MN.AB 0
góc chung của AB và CD vậy
MN.CD 0
4 13 5
t' 1
M ; ;
t ' t 3 2t' t 2t ' 4t 8 0 3t' 6t 11
3 3 3
7
2t' 2t 6 8t' 4t 2t ' 4t 8 0 12t ' 6t 2
t

N 1;4; 2
3
ì
=
ï
í
=
ï
ỵ
ì -
ỉ ư
= -
ì
- + - - - - + = - - = -
ì ì
ç ÷ ï ï
Û Û Û Þ
è ø
í í í í
- + + + + + - = + =
=
ỵ ỵ
ï ï
-
ỵ
ỵ
uuuur uuur
uuuur uuur
19) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz, cho đường
( )

( )
3x ky k 0
d : k 0
1 k x kz 0
+ - =
ì
ï
¹
í
- - =
ï
ỵ
Chứng minh rằng d luôn đi qua 1 điểm cố đònh và luôn nằm trong 1 mặt phẳng cố đònh.
Giải
a) CMR : d luôn đi qua 1 điểm cố đònh
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
b 1 0
k b 1 3a 0 3a kb k 0
Gọi E a;b;c là điểm cố đònh của d thì k 0 k 0 a 0
1 k a kc 0
k a c a 0
a c 0
E 0;1;0 là điểm cố đònh của đường thẳng d
- =

ì
ì
- + = + - =
ì
ï ï ï
¹ Û ¹ Û =
í í í
- - =
- - + =
ï
ï
ỵ
ï
ỵ
- - =
ỵ
Þ
b) CMR : d luôn nằm trong 1 mp cố đònh
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
Gọi (P) là mặt phẳng cố đònh chứa đường d thì pt mp (P) dạng :
a 3x ky k b 1 k x kz 0 a b 0
3a b kb x kay kbz ka 0 k ay bz a bx 3a b x 0
Chọn 3a b 0.a 1,b 3 pt mp (P) là 3x y 3z 1 0
Đây là mp cố
+ - + - - = + ¹
Û + - + - - = Û - - - + + =

+ = = = - Þ + + - =
đònh chứa đường d
20) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;3;-1), đường thẳng
x 5 y z 25
d :
1 1 1
- +
= =
-
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) đạt
giá trò lớn nhất.
Giải
( )
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
12
Kẻ AH (P),AE d, ta có : AH AE AHmax AH AE H E
Vậy mp (P) cần tìm phải vuông góc với AE
Gọi ( ) là mp qua A và d thì pt ( ) dạng : x y z m 0.
( ) qua A(2;3; 1) nên 2 3 1 m 0 m 6 pt ( ): x y z
^ ^ £ Þ Û = Û º
a ^ a + - + =
a - + + + = Û = - Þ a + -
( )
( )
( )
6 0
x 5 y z 25
E thỏa hệ E 3; 8; 17
1 1 1
x y z 6 0

(P) AE nên AE 5; 11; 16 là VTPT của (P) pt (P) dạng: 5x 11y 16z n 0
(P) qua E 3; 8; 17 nên 15 88 272 n 0 n 375
pt mp (P) :5x 11y 16z 375
- =
- +
ì
= =
ï
Þ - - -
-
í
ï
+ - - =
ỵ
^ = - - - Þ - - - + =
- - - + + + = Û = -
Þ + + +
uuur
0 =
21) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho tọa độ các điểm B(1;1;0), D(0;0;m). Gọi H là
hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng BD. Tìm m để diện tích tam giác OBH đạt giá trò lớn nhất.
Giải
( )
( ) ( )
2 2 2 2
o
2
2
2 2
1 a b 1 HO HB

S HO.HB. Áp dụng BĐT Cauchy:a.b S
2 2 2 2
BO.BD
2
Vậy Smax khi HO HB BO,BD 45
2
BO BD
1 1
2
Với BO 1; 1;0 ,BD 1; 1;m 2 m 2
2
2 2 m
2 m 4 m 2 m 2
+ +
= £ Þ £
= Þ = Û =
+
= - - = - - Þ = Û + =
+
Û + = Û = Û = ±
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
22) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho các điểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của OA và BC. Gọi P, Q là 2 điểm trên OC, AB sao cho
OP 2
OC 3
= . Biết rằng MN
và PQ cắt nhau. Hãy viết phương trình mặt phẳng (MNPQ) và tính tỉ số
AQ

AB
Giải
( )
( )
( )
3 3
Vì M, N lần lượt là trung điểm của OA, BC nên tọa độ lần lượt là M 1;0;0 ,N 0; ;
2 2
OP 2 2 2
Vì OP OC OP OC P 0;0;2
OC 3 3 3
3 3
mp (MNPQ) có cặp VTCP là MP 1;0;2 ,MN 1; ;
2 2
ỉ ư
ç ÷
è ø
= Û = Þ = Þ
ỉ ư
= - = -
ç
è
uuur uuur
uuur uuuur
( )
1 3 1
(MNPQ) có VTPT n MP,MN 3; ; 6;1;3 (MNPQ) dạng : 6x y 3z m 0
2 2 2
(MNPQ) qua M nên m 6 pt mp (MNPQ) : 6x y 3z 6 0
÷

ø
ỉ ư
é ù
Þ = = - - - = - Þ + + + =
ç ÷
ë û
è ø
= - Þ + + - =
r uuur uuuur
O
B H
D
( )
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
13
( )
{ } ( )
2
x 2 2t
AB qua A có VTCP là AB 2;3;0 pt đt AB: y 3t
z 0
2 2
Q AB (MNPQ) nên : 6 2 2t 3t 6 0 t Q ;2;0
3 3
4 2 13 AQ 2
AB 4 9 13,AQ 4
3 3 AB 3
= -
ì
ï

= - Þ =
í
ï
=
ỵ
ỉ ư
= Ç - + - = Û = Þ
ç ÷
è ø
ỉ ư
= + = = - + = Þ =
ç ÷
è ø
uuur
23) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :
1 2
x y z 2 0
x 1 y 2 z 1
d : và d :
x 3y 12 0
3 1 2
+ - - =
ì
- + +
= =
í
+ - =
-
ỵ
a) Chứng minh rằng d

1
và d
2
song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng
d
1
và d
2
.
b) Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB
( O là gốc tọa độ )
(Đại học khối D – 2005)
Giải
a) CMR : d
1
// d
2
. Viết pt mp (P) chứa cả d
1
và d
2
( ) ( )
( )
( )
( )
1 1

1
2 2 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
2
d qua M 1; 2; 1 , có VTCP là a 3; 1;2
n 1;1; 1
d có cặp VTPT là d có VTCP là a n ,n 3; 1;2
n 1;3;0
Rõ ràng : a a . M d ,M d d // d
Vì mp (P) chứa d nên
- - = -
ì
= -
ï
é ù
Þ = = -
í
ë û
=
ï
ỵ
= Ỵ Ï Þ
uur
uur
uur uur uur
uur
uur uur
( ) ( )
( ) ( )

( )
2 2
1
pt mp (P) dạng : A x y z 2 B x 3y 12 0
A B x A 3B y Az 2A 12B 0. A B 0
Vì mp (P) chứa d nên (P) phải qua M A B 2A 6B A 2A 12B 0 2A 17B 0
Chọn A 17,B 2 pt mp (P) : 15x 11y 17z 10 0
+ - - + + - =
Û + + + - - - = + ¹
Þ + - - + - - = Û - - =
= = - Þ + - - =
b) Tính diện tích tam giác OAB
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
OAB
mp(Oxz) :y 0 cắt d và d tại A và B
x y z 2 0
x 1 y 2 z 1
A thỏa hệ A 5;0; 5 ,B thỏa hệ x 3y 12 0 B 12;0;10
3 1 2
y 0
y 0
OA 5;0; 5 ,OB 12;0;10 , OA,OB 0; 10;0
1
S OA,
2
=
+ - - =
ì

- + +
ì
= =
ï ï
Þ - - + - = Þ
-
í í
ï ï
=
=
ỵ
ỵ
é ù
= - - = = -
ë û
=
uuur uuur uuur uuur
uuur
1
OB .10 5(đvdt)
2
é ù
= =
ë û
uuur
( )
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
14
24) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng :
1 2

x y 2 z 4 x 8 y 6 z 10
d : ,d :
1 1 2 2 1 1
- + + - -
= = = =
- -
a) Cho A Ỵ d
1
, B Ỵ d
2
. AB vuông góc với d
1
và d
2
. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d
1
, d
2
và cách đều chúng.
Giải
a) Viết pt mặt cầu đường kính AB :
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 2
1 1
2
2 1 2
A d nên A t,2 t,2t 4 ,B d nên B 2t' 8,6 t',10 t '

AB 2t' t 8,t' t 4, t' 2t 14
AB d AB.a 0
Vì Với
AB d
AB.a 0 a 1; 1;2 ,a 2;1; 1
2t ' t 8 t' t 4 2t' 4t 28 0
Ta được :
4t '
Ỵ - - Ỵ - + -
ì
= - - + + - - +
^ =
ì
ï
Þ
í í
^
= = - = -
ỵ
ï
ỵ
- - - - - - - + =
-
uuur
uuur uur
uuur uur uur uur
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
t' 6t 16 t ' 4

2t 16 t ' t 4 t' 2t 14 0 6t ' t 26 t 2
A 2;0;0 ,B 0;10;6 . Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm AB I 1;5;3
AB 4 100 36
R 35 pt.mc(S): x 1 y 5 z 3 35
2 2
- - = - =
ì ì ì
Û Û
í í í
- + + + + + - = + = =
ỵ ỵ ỵ
Þ Þ
+ +
= = = Þ - + - + - =
b) Viết phương trình mp (P) :
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 2
2
1 2 1 2
a 1; 1;2
(P) có cặp VTCP là (P) có VTPT là n a ,a 1;5;3
a 2;1; 1
pt mp (P) dạng : x 5y 3z m 0
Lấy C 0;2; 4 d ,D 8;6;10 d .Y/ c: d d ,(P) d d ,(P) d C,(P) d D,(P)
10 12 m

1 25 9
ì
= -
ï
é ù
Þ = = -
í
ë û
= -
ï
ỵ
Þ - + + + =
- Ỵ - Ỵ = Þ =
- +
Û =
+ +
uur
r uur uur
uur
m 2 m 68 (vô lý!)
8 30 30 m
m 2 m 68
m 2 m 68 m 33
1 25 9
pt.mp.(P): x 5y 3z 33 0
+ = +
+ + +
é
Û - = + Û
ê

+ = - - Û = -
+ +
ë
Þ - + + - =
25) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(4;2;2), B(0;0;7) và đường thẳng
x 3 y 6 z 1
d :
2 2 1
- - -
= =
-
Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB thuộc cùng một mặt phẳng. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d
sao cho tam giác ABC cân tại đỉnh A.
(Dự bò 1 – Đại học khối B – 2004)
Giải
( ) ( ) ( )
( ) ( )
d d
d d
a 2;2;1 ,AB 4; 2;5 , a ,AB 12;6;12 0 d và AB không cùng phương
d qua D 3;6;1 ,AC 1;4; 1 . a ,AB .AC 12 24 12 0 3 vectơ a , AB, AC đồng phẳng
Vậy d và
é ù
= - = - - = ¹ Þ
ë û
é ù
= - - = - + - = Þ
ë û
uur uuur uur uuur r
uuur uur uuur uuur uur uuur uuur

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2
1
2 2
2
AB thuộc cùng một mặt phẳng
C d nên C 3 2t,6 2t,1 t .ycbt AB AC 45 2t 1 2t 4 t 1
t 1 C 1;8;2
9t 18t 18 45 9t 18t 27 0
t 3 C 9;0; 2
Ỵ - + + Þ = Û = - - + + + -
= Þ é
Û + + = Û + - = Û
ê
= - Þ -
ê
ë
( )
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
15
26) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho đường thẳng
2x 2y z 1 0
d :
x 2y 2z 4 0
- - + =
ì
í

+ - - =
ỵ
và mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x – 6y + m = 0. Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N
sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9.
(Dự bò 1 – Đại học khối D – 2002)
Giải
( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2
1 2
Mặt cầu (S) có tâm I 2;3;0 ,R 13 m. Để (S) là mặt cầu thì 13 m 0 m 13
MN 9
HM
2 2 Gọi H là trung điểm MN thì IH MN R IM IH HM (*)
IH d I,d
d có cặp VTPT là n 2; 2; 1 ,n 1;2; 2 d có VT
- = - - > Û <
= =
^ Þ = = +
=
= - - = - Þ
uur uur
( )

( ) ( ) ( )
( )
1 2
CP là a n ,n 6;3;6
Trong pt đt d cho x 0 y 1;z 1 A 0;1; 1 d IA 2; 2; 1 , a,IA 9;18; 18
a,IA
81 324 324 81 65
d I,d 3 IH. Vậy (*) 13 m 9 m
4 4
36 9 36
a
é ù
= =
ë û
é ù
= Þ = = - Þ - Ỵ Þ = - - = -
ë û
é ù
+ +
ë û
= = = = Û - = + Û = -
+ +
r uur uur
uur r uur
r uur
r
27) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz , cho các điểm A(1;-3;0), B(5;-1;-2) và mặt
phẳng (P) : x + y + z – 1 = 0. Tìm tọa độ MỴ(P) sao cho | MA – MB | đạt giá trò lớn nhất.
Giải
A B

Thế tọa độ A, B vào pt mp (P), ta được 3, 1 A,B ở trái phía với mp (P)
Gọi A' là đối xứng của A qua mp (P) thì MA MA' MA MB MA' MB A'B
MA MB max khi M là giao điểm của A'B và mp (
r = - r = Þ
= Þ - = - £
Þ -
{ } ( ) ( )
P)
Gọi H là hình chiếu của A lên mp (P). Gọi d là đường thẳng qua A, vuông góc mp (P)
x 1 y 3 z
pt d : . H d (P) nên H 2; 2;1 . A' là đối xứng của A qua (P) A' 3; 1;2
1 1 1
A'B qua B có VTCP là
- +
Þ = = = - Þ - I
( ) ( )
{ } ( )
x 5 y 1 z 2
AB 2;0; 4 2 1;0; 2 pt A'B :
1 0 2
M A'B (P) M 6; 1; 4 .Max MA MB A'B 4 16 2 5
- + +
= - = - Þ = =
-
= Þ - - - = = + =
uuur
I
28) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) : x + y + z + 3 = 0. M là một
điểm di động chạy trên mặt phẳng (P). Tìm tọa độ điểm M sao cho
MA MB +

uuuur uuur
đạt giá trò nhỏ nhất, biết tọa
độ điểm A(3;1;1), B(7;3;9).
Giải
( )
Gọi E là trung điểm AB thì : MA MB 2ME MA MB 2ME
MA MB min ME min M H : hình chiếu của E lên mp (P)
E là trung điểm AB nên E 5;2;5 .Gọi d là đường thẳng qua E v
+ = Û + =
Þ + Û Û º
uuuur uuur uuur uuuur uuur
uuuur uuur
{ } ( )
à vuông góc mp (P)
x 5 y 2 z 5
pt d : . E d (P) M E 0; 3;0
1 1 1
- - -
= = = Þ º - I
(
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
16
29) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng :
1 2
x 1 t
x y 1 z 1
d : ,d : y 1 2t
2 1 1
z 2 t
= +

ì
- +
ï
= = = - -
í
-
ï
= +
ỵ
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d
1
và d
2
.
b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d
1
, N thuộc d
2
sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.
(Đại học khối B – 2006)
Giải
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) :
( ) ( )
( )
( )
1 2 1 2
1 2
(P)// d và d nên có cặp VTCP là a 2;1; 1 ,a 1; 2;1
(P) có VTPT là n a ,a 1; 3; 5 pt.mp(P): x 3y 5z m 0
(P) qua A 0;1;2 nên 3 10 m 0 m 13

Vậy pt mp (P):x 3y 5z 13 0
= - = -
é ù
Þ = = - - - Þ - - - + =
ë û
- - + = Û =
+ + - =
uur uur
r uur uur
b) Tìm tọa độ M, N :
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 2
M d nên M 2t',1 t', 1 t' ,N d nên N 1 t, 1 2t,2 t
AM 2t',t', 3 t' ,AN 1 t, 2 2t,t
A, M, N thẳng hàng AM,AN 0 Mà AM,AN 2tt' 6t 2t' 6; 3tt' 3t t' 3; 5tt' 5t'
Vậy 2
Ỵ + - - Ỵ + - - +
= - - = + - -
é ù é ù
Û = = - - - - - - - - - -
ë û ë û
-
uuuur uuur
uuuur uuur r uuuur uuur
( ) ( )
( ) ( )
tt' 6t 2t' 6; 3tt' 3t t' 3; 5tt' 5t' 0;0;0
2tt' 6t 2t' 6 0

t' 0
3tt' 3t t' 3 0 M 0;1; 1 ,N 0;1;1
t 1
5tt' 5t' 0
- - - - - - - - - =
- - - - =
ì
=
ì
ï
Þ - - - - = Û Þ -
í í
= -
ỵ
ï
- - =
ỵ
30) Cho tam giác ABC biết A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3). Hãy tìm tọa độ J – tâm đường tròn nội tiếp của
tam giác ABC.
Giải
( ) ( )
C A
D
C A
D
C
D
Gọi D là chân đường phân giác trong góc B.
Ta có BA 2; 1;2 BA 4 1 4 3,BC 14;5;2 BC 196 25 4 15.
x 5x

10 10
x 0
6 6
y 5y DA BA 1 5 5
Ta có DC 5DA DC 5DA y 0
DC BC 5 6 6
z 5z
z
= - - Þ = + + = = - Þ = + + =
+
- +
= = =
+ -
= = Þ = Þ = - Þ = = =
+
=
uuur uuur
uuur uuur
( )
( )
A
D 0;0;3
3 15
3
6 6
Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. AD 2;1;0 AD 5
JB AB 3 3 3 4 5 9 5
JB JD JB JD J ;0;
JD AD
5 5 5 3 5 3 5

ì
ï
ï
ï
Þ
í
ï
+
ï
= =
ï
ỵ
= - Þ =
ỉ ư
+
= = Þ = Þ = - Þ
ç ÷
ç ÷
+ +
è ø
uuur
uur uur
( )
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn