BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI II và ỨNG DỤNG

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM




ĐINH TIẾN HOÀNG



BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI II
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01






LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


Thái Nguyên - 2012

2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết tối ưu được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế,
lý thuyết giá trị của Edgworth và Pareto từ cuối thế kỉ XIX và đầu thế kỉ XX.
Sau đó có rất nhiều công trình đã được nghiên cứu và ứng dụng trong các lĩnh
vực khác nhau của ngành khoa học và kĩ thuật cũng như thực tế: Borel
(1921), Von Neuman (1926) đã xây dựng lý thuyết trò chơi dựa trên các khái
niệm và kết quả toán học, Koopman (1947) đã đưa ra lý thuyết lưu thông
hàng hóa. Lý thuyết tối ưu véctơ là bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu.
Sau những công trình của H.W. Kuhn và A.W.Tucker về các điều kiện cần và
đủ cho 1 véctơ thoản mãn các ràng buộc là nghiệm hữu hiệu, tối ưu véctơ
thực sự là một ngành toán học độc lập và có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Các bài toán cơ bản trong lý thuyết tối ưu bao gồm: bài toán tối ưu, bài toán
cần bằng Nash, bài toán bù, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm
yên ngựa,
Bài toán điểm cân bằng được biết đến từ lâu bởi các công trình của
Arrow-Debreu, Nash sau đó được nhiều nhà toán học sử dụng để xây dựng
mô hình kinh tế từ nửa sau thế kỉ XX. Ky Fan (1972) và Browder-Minty
(1978) đã phát biểu và chứng minh tự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng
dựa trên các định lý điểm bất động. Năm 1991, Blum và Oettli đã phát biểu
bài toán cân bằng một cách tổng quát và tìm cách liên kết bài toán của Ky Fan
và Browder-Minty với nhau thành dạng chung cho cả hai. Bài toán được phát
biểu ngắn gọn là: tìm  sao cho 


, 

0, , trong đó K là tập
cho trước, : ×  là hàm số thực thỏa mãn (, ) 0. Đây là dạng
suy rộng trực tiếp của bài toán cổ điển trong lý thuyết tối ưu véctơ.
Ban đầu người ta nghiên cứu những bài toán liên quan đến ánh xạ đơn trị
từ không gian hữu hạn chiều này sang không gian hữa hạn chiều khác mà thứ
3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


tự được đưa ra bởi nón Orthant dương. Sau đó mở rộng sang không gian có số
chiều vô hạn với nón bất kì. Khái niệm về ánh xạ đa trị đã được xây dựng và
phát triển bởi bản thân toán học và các lĩnh vực khoa học khác. Những định
nghĩa, tính chất, sự phân lớp của ánh xạ đơn trị dần được mở rộng cho ánh xạ
đa trị. Từ đó người ta tìm cách chứng minh các kết quả thu được từ đơn trị
sang đa trị. Chính vì lẽ đó, bài toán điểm cân bằng được nhiều nhà nghiên cứu
đặc biệt quan tâm trong những năm gần đây. Với những lý do trên mà chúng
tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Bài toán tựa cân bằng tổng
quát loại II và ứng dụng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Đối với ánh xạ đa trị, bài toán điểm cân bằng đã được xây dựng một
cách tổng quát do Blum và Oettli đặt ra. Có rất nhiều sự mở rộng của bài toán
cân bằng đối với ánh xạ đa trị, tuy nhiên kết quả đạt được của nhiều tác giả
cho đến nay vẫn chưa thực sự tổng quát cho các bài toán liên quan đến ánh xạ
đa trị như trường hợp của đơn trị.
Để tìm nghiệm của bài toán tối ưu, thông thường người ta thường đưa ra
các thuật toán về quy hoạch như: quy hoạch lồi, quy hoạch Lipshitz hay
phương pháp Newton xây dựng dãy hội tụ về nghiệm. Chính vì vậy sự tồn tại

nghiệm của bài toán là một trong những vấn đề quan trọng khi nghiên cứu các
bài toán trong lý thuyết tối ưu véctơ. Mục đích của luận văn là đưa ra mô hình
bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II, nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và ứng
dụng của nó trong các bài toán tối ưu véctơ.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II.
4. Phạm vi nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát
loại II và các bài toán liên quan trong lý thuyết tối ưu.
4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán đặt ra trong luận án, chúng
tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu chính là định lý điểm bất động của Ky
Fan, Fan-Browder và định lý KKM.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
Làm phong phú thêm các kết quả nghiên cứu về bài toán tựa cân bằng và
các bài toán khác trong lý thuyết tối ưu.
Ứng dụng vào các bài toán thực tế như: xây dụng lý thuyết trò chơi, đưa ra
mô hình kinh tế
7. Cấu trúc luận án
Luận văn được chia làm ba chương:
Chương 1: Đưa ra một số khái niệm liên quan như không gian thường dùng:
không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian tuyến tính lồi địa
phương Haussdorff; nón và các khái niệm liên quan; ánh xạ đa trị.
Chương 2: Trình bày bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II và điều kiện
nghiệm của bài toán.

Chương 3: Ứng dụng của bài toán tựa cân bằng vào trong bài toán tựa cân
bằng vô hướng và bài toán tối ưu loại II.



5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong thực tế, nhiều bài toán liên quan đến phép chuyển mỗi điểm của
tập này thành một tập con của tập kia. Những khái niệm cổ điển về hàm số, về
toán tử hay về ánh xạ không còn thích hợp nữa. Việc mở rộng ánh xạ đa trị là
tất yếu do nhu cầu thực tại của các vấn đề nảy sinh từ tự nhiên và cuộc sống.
Chính vì vậy mà môn giải tích đa trị được hình thành và trở thành công cụ đắc
lực để nghiên cứu các bài toán liên quan đến ánh xạ đa trị. Ta dành trọn cả
chương này để nhắc lại một số kiến thức cơ bản của môn giải thích đa trị này.
Các kiến thức này rất quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán ở chương
sau.
1.1. Một số không gian thƣờng dùng
1.1.1. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn là cặp

,

.

, trong đó X

là không gian tuyến tính, còn

.

là một ánh xạ  thỏa mãn:
(i) ,



0 và



= 0 khi và chỉ khi = 0;
(ii) , ,

+ 





+



;
(iii) , ,




=



.



.
1.1.2. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.2. Cho X là không gian tuyến tính trên trường =

, 

. Hàm
số

. , .

: ×  được gọi là tích vô hướng trên X nếu:
(i)

, 

=

, 









, ,  (kí hiệu

, 








là số phức liên hợp của số
phức

, 

);
(ii)


+ , 

=


, 

+

, 

, , , ;
(iii)

, 

= 

, 

, ;
(iv)

, 

0;

, 

= 0 = 0.
Không gian X được trang bị tích vô hướng gọi là khôn gian tiền Hilbert.
6

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Trong không gian tiền Hilbert ta luôn có bất đẳng thức Cauchuy –
Schwarz sau:

, 

2


, 

.

, 

, , .
Từ bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có



=


, 

là một chuẩn
trong không gian X. Không gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn.
Do đó, trên đó có thể định nghĩa dãy Cauchy và tính đầy đủ. Vậy ta có định
nghĩa sau:
Định nghĩa 1.3. Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi là không gian Hilbert.

1.1.3. Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phƣơng Haussdorff
Định nghĩa 1.4. Cho tập hợp X, gọi  là các tập con của X. Khi đó X được
gọi là không gian tôpô nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) , ;
(ii) Với 

,  thì




;
(iii) Với 
1
, 
2
 thì 
1

2
.
Một không gian tuyến tính thực hay phức có thể đồng thời trang bị một
cấu trúc tôpô và một cấu trúc đại số (phép cộng hai phần tử và phép nhân một
số với một phần tử). Khi ấy ta có một không gian vừa tuyến tính, vừa tôpô.
Vấn đề đáng chú ý là hai cấu trúc đó có quan hệ với nhau như thế nào để
không gian nảy sinh ra nhiều tính chất mới. Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.5. Ta nói rằng một tôpô  phù hợp với cấu trúc đại số trong
không gian X, nếu các phép tính đại số trong X liên tục trong tôpô , tức là
nếu:

(i) +  là một ánh xạ liên tục của hai biến x, y; nói rõ hơn, với mọi lân
cận V của điểm +  đều tồn tại lân cận 

của  và lân cân 

của  sao
cho nếu 



, 

thì 

+ .
7

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


(ii)  là ánh xạ liên tục của hai biến , ; nói rõ hơn, với mọi lân cận V
của  đều có một số > 0 và một lân cận U của x sao cho nếu





<
, 


 thì 



.
Không gian tuyến tính X trên đó có một tôpô tương thích với cấu trúc đại
số được gọi là không gian tôpô tuyến tính.
Định nghĩa 1.6. Không gian tôpô tuyến tính X được gọi là không gian lồi địa
phương nếu mọi phần tử của X có cơ sở lân cận thành lập từ các tập lồi, hay
tương đương phần tử 0  có cơ sở lân cận thành lập từ các tập lồi.
Định nghĩa 1.7. Không gian tôpô

, 

được gọi là không gian Haussdorff
nếu với mỗi  , ,  bao giờ cũng tồn tại lân cận 

của  và 

của 
thỏa mãn 



= .
1.2. Nón và các khái niệm liên quan
Trong không gian các số thực, hai phần tử bất kì đều so sánh được với
nhau qua khái niệm lớn hơn hay bé hơn hoặc bằng. Điều này không có được
trong các không gian khác. Muốn mở rộng các bài toán nhận giá trị thực sang
các bài toán nhận các giá trị vectơ và đa trị người ta đưa vào các khái niệm

mới đồng thời có thể xây dựng những khái niệm tương tự của số thực, số
phức trong không gian tôpô tuyến tính. Một phương pháp hữu hiệu để xây
dựng những khái niệm đó là đưa nón vào không gian tôpô tuyến tính.
Định nghĩa 1.2.1. Cho Y là không gian tuyến tính và C là tập con trong Y. C
gọi là nón có đỉnh tại gốc (gọi ngắn gọn là nón) trong Y nếu , ,
0.
Nón C được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi. Nếu Y là không gian tôpô
tuyến tính và C là nón trong Y, kí hiệu clC, intC, convC là bao đóng, phần
trong, và bao lồi của nón C, 



= (). Khi nghiên cứu các bài toán
liên quan đến nón, người ta thường quan tâm đến các loại nón sau:
(i) Nón C gọi là nón đóng nếu C là tập đóng.

8

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


(ii) Nón C gọi là nón nhọn nếu 



=

0

.

(iii) Nón C gọi là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn.

(iv) Nón C gọi là nón đúng nếu + \() .

Dễ thấy rằng nếu C là nón đóng thì C là nón đúng.
Với nón C cho trước ta định nghĩa quan hệ như sau: , ,  nếu
. Nếu không có sự nhầm lẫn ta có thể viết đơn giản .
Kí hiệu  nếu \



và  nếu .
Ta thấy quan hệ trên là một quan hệ thức tự, nếu C là nón lồi thì quan hệ
thứ tự trên là tuyến tính và là quan hệ thứ tự từng phần trên Y. Hơn nữa, nếu C
là nón nhọn thì quan hệ trên có tính phản đối xứng, nghĩa là nếu  và 
 thì = .
Dưới đây là một số ví dụ về nón.
Ví dụ 1.2.1. 1. Tập {0} và Y là nón trong không gian Y. Ta gọi chúng là các
nón tầm thường.
2. Cho 

là không gian Euclid n chiều, tập
= 
+

=

=



1
, 
2
, , 







0, = 1,2, , 


là nón lồi, đóng, nhọn và được gọi là nón Orthant dương của 

.
Nếu lấy =

=


1
, 
2
, , 







1
0

thì C là nón lồi, đóng nhưng
không nhọn. Vì 



=

=

0, 
2
, , 







0

.
3. Cho  là không gian dãy các dãy số thực. =


=




: x
n
0, n

.
C là nón lồi, nhọn. Ta chưa thể nói nó sắc hay đúng vì chưa có tôpô đưa vào
không gian.

4. Cho 


0,1

, 0 < < 1 là không gian các hàm trên [0;1].



0,1

= 



, 


0,1

, 





1
0
< ∞,  là độ đo ơ.
Tôpô trên không gian được xác định bởi cơ sở lân cận của 0, gồm các tập có
dạng
9

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên






0,1

,








1
0

1

<
1


.

Tập =




0,1

: 



0, 

0,1


là lồi, đóng.

Định nghĩa 1.2.3. Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y.  được
gọi là tập sinh của nón C, kí hiệu = 



nếu =



, 0

.

Trong trường hợp B không chứa điểm gốc và với mọi , 0 đều
tồn tại duy nhất , = , thì B được gọi là cơ sở của nón C. Hơn nữa,
nếu B là tập hữu hạn phần tử thì tập = () gọi là nón đa diện.
Khi ta xây dựng một nón trên không gian tuyến tính nghĩa là ta xây dựng
trên đó một quan hệ thứ tự và từ quan hệ đó ta có thể tìm được các điểm hữu
hiệu của tập hợp. Ta có khái niệm sau:
Định nghĩa 1.2.4. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự được sinh
bởi nón lồi C và A là tập con của Y. Ta nói rằng:
(i) Điểm  là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với nón C nếu
, y .
Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C được kí hiệu là
IMin(A\C) hay IMinA.
(ii) Điểm  là điểm hữu Pareto (cực tiểu Pareto) của tập A đối với nón
C nếu  ể \(). Tập các điểm hữu hiệu Pareto của A đối
với nón C được kí hiệu là PMin(A\C) hoặc đơn giản hơn MinA.
(iii) Điểm  là điểm hữu hiệu yếu (khi  và  ) của tập A

đối với nón C nếu 

\(

0



). Tức là x là điểm hữu hiệu
Pareto đối với nón 
0
= {0} . Tập các điểm hữu hiệu yếu của A đối với
nón C được kí hiệu là WMin(A\C) hoặc WMinA.
10

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


(iv) Điểm  được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của tập A đối với nón C
nếu tồn tại nón lồi 

khác toàn không gian và chứa C\l(C) trong phần trong
của nó để 

\


.
Tập các điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C được kí hiệu là
PrMin(A\C) hay PrMinA.

Từ định nghĩa trên ta luôn có .
1.3. Ánh xạ đa trị
1.3.1. Các định nghĩa
Cho X là tập hợp bất kì. Ký hiệu 2

là tập gồm các tập con của X.
Định nghĩa 1.3.1.1. Mỗi ánh xạ F từ tập X vào 2

được gọi là ánh xạ đa trị từ
X vào Y, kí hiệu : 2

(Đôi khi người ta sử dụng kí hiệu : 2

vì
vậy để thống nhất trong luận văn này sử dụng kí hiệu đã trình bày trước).
Như vậy mỗi , 



là một tập con của Y, không loại trừ khả năng
với một số phần tử x nào đó F(x) là tập rỗng. Nếu  thì ta kí hiệu




=







và gọi nó là ảnh của tập A qua ánh xạ F. Nếu , 




gồm một phần tử của Y ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y, thay cho kí hiệu
: 2

đôi khi ta sử dụng kí hiệu là  : .
Miền định nghĩa, đồ thị và miền ảnh của F được định nghĩa lần lượt như
sau:
=



() 

;




=

, 

× 


()

;
=



()

.
Ví dụ 1.3.1.2. Cho a, b là các số thực, : 2

được xác định bởi




= 

; 

, ế 0;



, ế = 0;


khi đó F là ánh xạ đa trị.
Cho : 2


, ánh xạ 
1
: 2

được xác định bởi
11

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



1



= {: 



}

được gọi là ánh xạ ngược của F.
Như vậy, khác với ánh xạ đơn trị, ánh xạ đa trị luôn tồn tại ánh xạ ngược.
Nếu tập 
1



= {: 




} mở thì F được gọi là có nghịch ảnh
mở.
Tương tự ánh xạ đơn trị, ta cũng có các phép toán sau đối với ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 1.3.1.3. Cho X, Y, Z, W là các tập hợp bất kì. 
1
, 
2
: 2

,
: 2

, : 2

là các ánh xạ đa trị.
a) Ánh xạ hợp, giao của hai ánh xạ 
1
, 
2
và ánh xạ bù của F là các ánh xạ đa
trị từ X vào Y được xác định lần lượt bởi


1

2




= 
1




2



;


1

2



= 
1




2




;





= \



.
Hợp của ánh xạ F và G là ánh xạ : 2

cho bởi công thức





=










.
Tích Decarde của :  và :  là ánh xạ × : × 2
×

cho bởi công thức

× 

, 

= 



× 



.
b) Khi Y là không gian tôpô tuyến tính, tổng đại số của hai ánh xạ 
1
, 
2
và
phép nhân một số với ánh xạ 
1
là các ánh xạ đa trị từ X vào Y được xác định
bởi



1
+ 
2



= 
1



+ 
2



;


1



=
1



.
Trường hợp Y là không gian tôpô tuyến tính, ta có phép toán sau:

Định nghĩa 1.3.1.4. Cho : 2

kí hiệu 

, 
0
là các ánh xạ bao đóng,
phần trong của ánh xạ F xác định bởi 




= 









,


0



=







0
.
12

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Nếu X, Y là các không gian tôpô tuyến tính thì ánh xạ bao lồi và bao lồi
đóng của F là:





= 



,










= 







.
1.3.2. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Trong phần này, ta trình bày khái niệm nửa liên tục trên, nửa liên tục
dưới và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị. Trước hết, ta nhắc lại khái niệm
tính tiên tục của ánh xạ đơn trị.
Cho :  là ánh xạ đơn trị từ X vào Y, ánh xạ f gọi là liên tục tại
 nếu với mỗi tập mở V chứa 



tồn tại lân cận mở U của  sao cho




, .
Ta nói f liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm trong X. Dễ thấy, f liên
tục trên X nếu với mỗi tập mở

, 
1



= {, 



}
mở trong X.

Vì ánh xạ đa trị biến mỗi điểm thành một tập hợp, do đó với mỗi tập mở
V bất kì và điểm x có thể xảy ra ba trường hợp, hoặc là 



 hoặc 




, hoặc 



= . Vì vậy có thể mở rộng khái niệm ánh xạ đơn trị
liên tục sang ánh xạ đa trị theo hai cách khác nhau và ta có hai khái niệm hoàn
toàn khác nhau: ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới. Theo
Aubin và Frankowska (1990), hai khái niệm này được B.Bouligand và

K.Kuratowski đưa ra năm 1932. Ngày nay nhiều khi người ta dùng cụm từ
ánh xạ nửa liên tục trên, dưới theo Berge để chỉ hai khái niệm này vì chúng
được khảo sát khá kĩ trong một cuốn chuyên khảo của Berge (1959). Ta nhắc
lại định nghĩa của Berge.
Định nghĩa 1.3.2.1. Cho : 2

là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào
không gian tôpô Y.
a) F gọi là nửa liên tục trên tại  nếu mọi tập mở  thỏa mãn




 tồn tại lân cận mở U của  sao cho 



, .
b) F được gọi là nửa liên tục dưới tại  nếu mọi V mở,




đều tồn tại tập mở  sao cho 



, .
13

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


c) F được gọi là liên tục tại  nếu nó đồng thời nửa liên tục trên và nửa
liên tục dưới tại x. F được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm
.
Ví dụ. Cho ánh xạ =


1

, ế > 1;

2, ; 2

, ế = 1;

1

, ế < 1.


Ta xét tính liên tục của hàm số tại = 1. Gọi V là tập mở bất kì trong R.
Giả sử 

1

=

2; 2


. Lấy =

1 , 1 + 

, khi đó U là lân cận của
= 1 và với mọi  ta suy ra được 





2; 2

. Vậy f là nửa liên
tục trên. Tuy nhiên f không phải là ánh xạ nửa liên dưới tại = 1. Thật vậy,
ta thấy = (, ) thỏa mãn

, 

[2; 2] . Với mọi lân cận U’ của
= 1 ta thấy x  nếu > 1 thì 



=

1

= .

ịnh nghĩa 1.3.2.2. Cho X, Y là các không gian tôpô, : 2

là ánh xạ đa
trị. F được gọi là ánh xạ đóng nếu GrF là tập đóng trong × .
Nếu 










là tập compact trong Y thì F gọi là ánh xạ compact.
Từ định nghĩa trên ta thấy F là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với bất kì dãy




, {

}, 

, 

, 







thì 



. Nếu F(x) là tập đóng
 thì F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng.
Các mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là nửa
liên tục trên vả nửa liên tục dưới.
Mệnh đề 1.3.2.3. Cho : 2

là ánh xạ đa trị. Nếu F là nửa liên tục trên
với giá trị đóng thì F là ánh xạ đóng. Ngược lại, nếu F là ánh xạ đóng và Y
compact thì F là nửa liên tục trên.
Mệnh đề 1.3.2.4. a) Cho : 2

là ánh xạ đa trị. F là nửa liên tục dưới
tại  khi và chỉ khi với bất kì 



và với bất kì dãy 

,


, tồn tại dãy






, 






  

, trong đó  tập
các chỉ số.
14

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


b) Nếu ánh xạ F có nghịch ảnh mở thì ánh xạ coF cũng có nghịch ảnh mở.
Chứng minh: b) Giả sử  và 



1




thì 






,
=






=1
với 0 

1,




=1
= 1, 






.
Khi đó 
1




, = 1,2, , . Từ 
1




, = 1,2, ,  là tập mở, ta
suy ra tồn tại lân cận U(x) của x sao cho 




1




, = 1,2, , .
Điều này dẫn đến 






với 



và i = 1,2, , n. Do đó,
=






=1






, với 




nên 








1



. Vậy



1



là tập mở.
Mệnh đề 1.3.2.5. ([6]) Một ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở là ánh xạ nửa liên
tục dưới.
Ví dụ sau đây chỉ ra chiều ngược lại của mệnh đề 1.3.2.5 không đúng.
Ví dụ 1.3.2.6. Cho : 2

xác ịnh bởi 



=

; 

. Ta có 

1




=

 

; 

=



=

, 

không là tập mở.
Gọi V là tập mở bất kì trong R, khi đó


1




= {




}.
Đặt = inf

: 

. Ta sẽ chứng minh

; 




1




.
Thật vậy, lấy bất kì 

, 

dẫn đến < . Theo cách xác định của
b, ta suy ra tồn tại những điểm sao cho < . Vì vậy 

; 





1




. Từ kết luận này ta có

, 




1





hay


1




là tập mở. Do đó F là ánh xạ nửa liên tục dưới.
Ta nhắc lại, hàm vô hướng :  gọi là nửa liên tục trên (hoặc dưới)

tại  nếu với bất kì > 0 đều tồn tại lân cận  sao cho 







+ 

hoặc 









. Khái niệm này có thể mở rộng cho trường hợp ánh
xạ đa trị trong không gian véctơ tôpô lồi địa phương với nón C.

15

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương. D, K là tập
con khác rỗng trong X, C là nón trong Y và F là ánh xạ đa trị từ D vào Y. Ta

có định nghĩa:
Định nghĩa 1.3.2.7. a) F là C-liên tục trên (hoặc C-liên tục dưới) tại 
0

nếu với bất kì lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại lân cận U của 
0
trong X sao
cho:








0

+ + 
(hoặc



0





+ ), ;

b) F là C - liên tục tại 
0
nếu F vừa là C - liên tục trên vừa là C – liên tục
dưới tại 
0
. F là C - liên tục trên, C - liên tục dưới hoặc C - liên tục trên D nếu
nó là C - liên tục trên, C - liên tục dưới hoặc C - liên tục tại mọi x thuộc D;
c) Trường hợp = {0} ta nói liên tục trên (liên tục dưới) thay vì nói {0} -
liên tục trên ({0} - liên tục dưới).
Trong các kết quả của chương sau, ta chỉ sử dụng khái niệm C - liên tục
trên (dưới) với C là một ánh xạ nón (ánh xạ nón là ánh xạ có tập giá trị là một
nón).
Định nghĩa 1.3.2.8. Cho : × × 2

, : × 2

là ánh xạ nón.
F gọi là một C-liên tục trên (hoặc C-liên tục dưới) tại

, , 

 nếu
với bất kì lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại lân cận U của

, , 

sao cho:



, , 



, , 

+ + 

, 





, , 



, , 

+ 

, 

tương ứng

,


, , 


.
Các khái niệm C - liên tục tại một điểm hay trên miền D cũng được định
nghĩa tương tự như trường hợp C là nón hằng.
Nhận xét: Nếu F là ánh xạ đơn trị thì khái niệm C-liên tục trên và C - liên tục
dưới là một và lúc đó F được gọi là C - liên tục.
Mệnh đề sau cho điều kiện cần và đủ để một ánh xạ là C-liên tụctrên (dưới)
Mệnh đề 1.3.2.9. Cho : × × 2

, : × 2

là các ánh xạ đa
trị.
16

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


a) Nếu C là liên tục trên với giá trị là nón lồi khác rỗng, F là C-liên tục trên
tại


0
, 
0
, 
0

 ớ 



0
, 
0
, 
0

+ 


0
, 
0

đóng thì bất kì dãy



, 

, 





0
, 
0
, 

0

, 





, 

, 


+ 



, 


, 


0
kéo theo

0




0
, 
0
, 
0

+ 


0
, 
0

.
Ngược lại, nếu F là ánh xạ compact và với bất kì dãy



, 

, 





0
, 
0
, 

0

, 





, 

, 


+ 



, 


, 


0
é  
0





0
, 
0
, 
0

+ 


0
, 
0

thì F là C-liên tục trên tại


0
, 
0
, 
0

.
b) Nếu F là ánh xạ compact và C-liên tục dưới tại


0
, 
0
, 

0

, thì
với bất kì dãy



, 

, 





0
, 
0
, 
0

, 
0



0
, 
0
, 

0

+ 


0
, 
0

, tồn
tại dãy




, 





, 

, 


  ó ã 






, 



0




0
, 
0



 à 



0
+ 
0
+ 


0
, 
0



.
Ngược lại, 


0
, 
0
, 
0

là ánh xạ compact và với bất kì dãy



, 

, 





0
, 
0
, 
0


, 
0



0
, 
0
, 
0

+ 


0
, 
0

, tồn tại dãy




, 





, 


, 



  ó ã 





, 



0



0
, 
0

thì F là C-liên tục
dưới tại


0
, 
0

, 
0

.
Chứng minh: a) Giả sử F là C-liên tục trên tại


0
, 
0
, 
0

 và



, 

, 





0
, 
0
, 
0


, 





, 

, 


+ 



, 


, 


0
. Giả sử

0



0

, 
0
, 
0

+ 


0
, 
0

. Khi đó tồn tại lân cận lồi đóng 
0
của gốc
trong Y sao cho


0
+ 
0






0
, 
0

, 
0

+ 


0
, 
0


= .
Suy ra:


0
+

0
2






0
, 
0
, 

0

+ 


0
, 
0

+

0
2

= .
Từ 


0
ta có với lân cận V bất kì của 0 trong Y ta tìm được 
1
0 sao
cho 


0


2
, 

1
. Do đó 


0
+

2
. Vì F là C - liên tục trên tại


0
, 
0
, 
0

nên tồn tại lân cận U của


0
, 
0
, 
0

sao cho 

, , 






0
, 
0
, 
0

+ 


0
, 
0

+

0
4
, 

, , 

.
17

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Từ



, 

, 





0
, 
0
, 
0

, tồn tại 
2
0 sao cho



, 

, 



 và







, 

, 


+ 



, 





0
, 
0
, 
0

+ 



0
, 
0

+ 



, 


+

4
.
Do tính nửa liên tục trên của C, ta suy ra tồn tại 
3
ể 



, 







0
, 
0

+

4
, 
3
. Vì vậy, 
0



0
, 
0
, 
0

+ 


0
, 
0

.
Ngược lại, nếu F là ánh xạ compact và với bất kì dãy




, 

, 





0
, 
0
, 
0

, 





, 

, 


+ 




, 


, 


0
kéo theo 
0




0
, 
0
, 
0

+ 


0
, 
0

. Ta giả sử F không là C-liên tục trên tại



0
, 
0
, 
0

.
Khi đó, tồn tại lân cận V của gốc trong Y sao cho với bất kì lân cận 

của


0
, 
0
, 
0

tồn tại



, 

, 




sao cho 




, 

, 





0
, 
0
, 
0

+
+ 


0
, 
0

.
Chọn 






, 

, 


với 






0
, 
0
, 
0

+ + 


0
, 
0


. Từ 












là tập compact, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử, 


0
, do






, 

, 


+ 




, 


, theo giả thiết ta có 
0





0
, 
0
, 
0

+



0
, 
0


. Mặt khác, từ



0

, tồn tại

0
0
sao cho



0
, 

0
. Điều này dẫn đến 


0
+ 


0
, 
0
, 
0

+ + 


0
, 

0

, 
0
,
và ta có sự mâu thuẫn.

b) Giả sử F là ánh xạ compact và C - liên tục dưới tại


0
, 
0
, 
0

,



, 

, 





0
, 

0
, 
0

, 
0



0
, 
0
, 
0

. Khi đó với bất kì lân cận V của
gốc trong Y tồn tại lân cận U của


0
, 
0
, 
0

sao cho



0

, 
0
, 
0



, , 

+ 


0
, 
0



, , 

.
Từ



, 

, 






0
, 
0
, 
0

, ta suy ra tồn tại 
0
0 sao cho



, 

, 



, 
0
. Điều này dẫn đến



0
, 
0

, 
0





, 

, 


+ 


0
, 
0

, 
0
.
18

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Vì 
0




0
, 
0
, 
0

nên ta có thể viết 
0
= 

+ 



, trong đó, 






, 

, 














, 

, 




0
, 
0

.
Do 











là tập compact, ta có thể chọn 




, 


0. Điều này kéo
theo 


= 


+ 



0



0



0

, 
0

, do đó 





0
+



0
, 
0

.
Vì vậy, với bất kì



, 

, 






0
, 
0
, 
0

, 
0



0
, 
0
, 
0

tồn tại 








, 



, 



ớ 





0
+ 


0
, 
0

.
Ngược lại, 


0
, 
0
, 
0


















là tập compact và với bất kì dãy



, 

, 





0
, 
0
, 

0

, 
0





0
, 
0
, 
0

+ 


0
, 
0


tồn tại dãy




thoản mãn 







, 

, 


và có dãy con 


sao cho 



0



0
, 
0

. Ta giả sử
F không là C - liên tục dưới tại


0

, 
0
, 
0

. Khi đó tồn tại lân cận V của gốc
trong Y sao cho với bất kì lân cận 

của


0
, 
0
, 
0

có



, 

, 




để




0
, 
0
, 
0





, 

, 


+ 


0
, 
0

.

Chọn 






, 

, 


ớ 






0
, 
0
, 
0

+ + 


0
, 
0


. Do




0
, 
0
, 
0

là tập compact, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử



0



0
, 
0
, 
0

, do đó 
0





0

, 
0
, 
0

+ 


0
, 
0


. Giả sử



, 

, 





0
, 
0
, 
0


. Từ đây suy ra tồn tại dãy




sao cho 






, 

, 


và có dãy con





thỏa mãn 



0




0
, 
0

. Giả
sử 




0
+ 


0
, 
0

. Khi đó ta tìm được 
1
0 sao cho 


0
+

2
, 




+

2
, 


0
+

2
và 
0


+

2



0
, 
0

, 
1
.

Từ đó suy ra:




+

2
+

2



0
, 
0





, 

, 


+ 



0
, 
0

, 
0

và ta có mâu thuẫn.
19

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Cho , : 2

là các ánh xạ đa trị, trong đó C là ánh xạ nón. Sau
đây ta trình bày khái niệm C-hemi liên tục trên (dưới).
Định nghĩa 1.3.2.10. a) F được gọi là C-hemi liên tục trên nếu ,  thoả
mãn 

+

1 





+


1 



, 

0; 1

kéo theo








= .

b) F được gọi là C - hemi liên tục dưới nếu ,  thoản mãn


+

1 






+

1 



, 

0; 1


kéo theo 







;

c) F được gọi là C-hemi liên tục trên (dưới) nếu
, 
ánh xạ
:

0; 1

2


định nghĩa bởi 



= 

+

1 



là nửa liên tục trên (dưới).
Mệnh đề sau chỉ ra điều kiện đủ để một ánh xạ đa trị C-hemi liên tục trên và
được dùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán trong chương 2.
Mệnh đề 1.3.2.11. Cho F và C là hemi liên tục trên với giá trị đóng khác
rỗng. Nếu với bất kì , hoặc F(x), hoặc C(x) là tập compact thì F là C-
hemi liên tục trên.
Chứng minh: Với ,  cố định, định ngĩa các ánh xạ , 

0; 1


2

bởi 




= 

+

1 



và 



= 

+

1 



, 

0; 1

.
Do F và C là hemi liên tục trên nên f, c là ánh xạ nửa liên tục trên tại 0. Với V
là lân cận bất kì của gốc trong Y tồn tại lân cận U của 0 trong [0;1] sao cho


+


1 







+ ;


+

1 







+  .
Do đó, nếu 

+

1 






+

1 



, 

0; 1

thì





+ 







+ 

= . Điều này dẫn đến 










+ 2

 .
Giả sử F(y) là tập compact ta sẽ chứng minh 







. Thật vậy,
giả sử 

là lân cận bất kì của gốc trong Y, lấy













+
2


, 

= 

+ 

,

trong đó






, 



. Ta có thể chọn



=

0

,
giả
20

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


sử 

0 khi 0. Từ 





và F(y) là tập compact, không mất tính
tổng quát, ta có thể giả thiết rằng 





khi 0. Vì vậy, 


cũng hội tụ đến . Mặt khác, C(y) đóng nên (). Ta suy ra 








hay 







. Nếu C(y) compact, chứng minh tương tự ta cũng
có 







. Vậy F là C -hemi liên tục trên.
1.3.3. Tính lồi của ánh xạ đa trị
Trong mục này chúng ta chính bày tính lồi, lõm, tựa giống như lồi của

ánh xạ đa trị. Các khái niệm này mở rộng các khái niệm đã quen biết trong
trường hợp ánh xạ đơn trị và là các khái niệm cần thiết trong việc kiểm tra các
định lý tồn tại nghiệm ở các chương sau. Trước hết ta nhắc lại khái niệm hàm
lồi của hàm vectơ.
Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính,  là tập lồi và C là nón
trong Y. Hàm vectơ :  được gọi là C –lồi trên D nếu 
1
, 
2
, 

0; 1

ta luôn có



1
+

1 


2




1


+

1 




2

.

f được gọi là C – lõm nếu –f là C – lồi trên D. Trong trường hợp = , =

+
, định nghĩa trên cho ta khái niệm về hàm f lồi (lõm) theo nghĩa thông
thường.
Định nghĩa 1.3.3.1. Cho ánh xạ : 2

,  là nón lồi trong .
a)
F
ược gọi là C – lồi trên ( hoặc C – lồi dưới) nếu





+

1 








+

1 



+ 

hoặc 

+

1 







+

1 








,
với mọi ,  và [0; 1].
b)
F
ược gọi là C – lõm trên ( hoặc C – lõm dưới) nếu





+

1 







+

1 






hoặc 

+

1 







+

1 





+ 

,
21

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


với mọi ,  và [0; 1].
Chú ý. a) Nếu =

0

thì {0} – lồi trên và {0} – lõm trên của F đồng nhất
với nhau và F được gọi là dưới tuyến tính.
b) Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị thì C – lồi trên và C – lồi dưới (C –
lõm trên và C – lõm dưới) là trùng nhau và ta gọi là C – lồi ( hoặc C – lõm).
Trong thực tế không phải mọi hàm hay mọi ánh xạ đa trị đều là lồi hoặc
lõm. Ngoài các khái niệm trên ta còn sử dụng các khái niệm sau đây:
Định nghĩa 1.3.3.2. Cho F là ánh xạ đa trị từ  vào 2

,  là không gian
tôpô tuyến tính lồi địa phương với nón C.
(i) F được gọi là C – tựa giống như lồi trên trên D nếu với bất kì

1
, 
2
, 

0; 1

ta luôn có:




1




1
+

1 


2

+ ;
hoặc 


2




1
+

1 


2


+ .
(ii) F được gọi là C – tựa giống như lồi dưới trên D nếu với bất kì

1
, 
2
, 

0; 1

ta luôn có



1
+

1 


2




1

;
hoặc 



1
+

1 


2




2

.
Các khái niệm C – lồi trên (dưới) hay C – tựa giống như lồi trên (dưới) là
dạng tổng quát của các khái niệm tương ứng trong trường hợp đơn trị. Ferro
đã đưa ra ví dụ chỉ rằng, ánh xạ đa trị C – lồi trên (dưới) không phải là ánh xạ
C – tựa giống như lồi trên (dưới) và hiển nhiên có chiều ngược lại ngay cả
trường hợp đơn trị.
1.3.4. Tính KKM
Định nghĩa 1.3.4.1. Ánh xạ đa trị : 2

được gọi là KKM nếu với bất kì
tập hữu hạn


1
, 

2
, , 


 dẫn ến
22

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên





1
, 
2
, , 










=1
.
ịnh nghĩa 1.3.4.2. Cho : × × 2


, : × 2

là các ánh
xạ đa trị. F được gọi là Q – KKM nếu với bất kì tập hữu hạn


1
, 
2
, , 



 và 


1
, 
2
, , 


có 




1
, 

2
, , 


sao cho 0 

, , 


, 


, 


.
Định nghĩa 1.3.4.3. Cho : × × 2

, : × 2

là các ánh xạ
đa trị. F được gọi là Q – KKM tổng quát nếu với bất kì tập hữu hạn


1
, 
2
, , 



 có một tập hữu hạn


1
, 
2
, , 


 để bất kì




1
, 
2
, , 


có 






1
, 


2
, , 



sao cho
0 

, , 


, 

, 



.

Định nghĩa 1.3.4.4. Cho R là quan hệ hai ngôi trên × . Chúng ta nói rằng,
R là đóng nếu với bất kì dãy suy rộng



, 




, 


và 



, 


xảy ra
với mọi  thì 

, 

xảy ra.
Định nghĩa 1.3.4.5. Cho R là quan hệ trên × × . Chúng ta nói rằng R là
Q – KKM nếu với bất kì tập hữu hạn


1
, 
2
, , 



và



1

, 
2
, , 



có 




1
, 
2
, , 


sao cho 

, , 


xảy ra 

, 


.
1.4. Điểm bất động của ánh xạ đa trị.
Năm 1912, Brouwer đã dùng phương pháp tổ hợp chứng minh một ánh

xạ đơn trị liên tục từ một đơn hình K  R
n
vào chính nó có điểm bất động.
Sau đó năm 1941, Schauder đã mở rộng định lý cho trường hợp K là tập lồi
compact khác rỗng trong R
n
. Kakutani mở rộng cho trường hợp ánh xạ nửa
liên tục trên. Đến năm 1967, Ky Fan đã chứng minh định lý điểm bất động
với K nằm trong không gian tuyến tính lồi địa phương.
Năm 1929, ba nhà toán học Knater, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng
minh một kết quả rất quan trọng, ngày nay gọi là bổ đề KKM bằng phương
pháp tương đối sơ cấp mà từ đó suy ra được nguyên lý điểm bất động
23

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Browder. Năm 1961, Fan đã mở rộng bổ đề KKM cổ điển trong không gian
véctơ tôpô Hausdorff hữu hạn chiều với ánh xạ đa trị. Năm 1968, Browder đã
chứng minh kết quả của Fan theo một dạng khác đó là định lý điểm bất động
và ngày nay người ta thường gọi định lý đó là định lý điểm bất động Fan-
Browder.
Từ đó đến nay có rất nhiều kết quả mở rộng của các định lý Ky Fan,
Fan-Browder, bổ đề KKM và chúng được xem như là công cụ hữu hiệu để
chứng minh sự tồn tại nghiệm của các loại bài toán tối ưu. Trong phần này chỉ
giới thiệu một số định lý điểm bất động phát biểu trong không gian tôpô tuyến
tính lồi địa phương sẽ sử dụng để chứng minh các định lý ở các chương sau.
Trước khi trình bày các định lý điểm bất động, ta giới thiệu một số khái
niệm sau.
Định nghĩa 1.4.1. Cho X, Y là các không gian tôpô, K là một tập con lồi khác

rỗng trong X, ánh xạ : 2

.
F gọi là compact nếu imF được chứa trong một tập compact của Y.
F được gọi là acyclic nếu nó là nửa liên tục trên và có giá trị compact acyclic
khác rỗng, nghĩa là F nửa liên tục trên và mỗi , 



là tập compact
acyclic khác rỗng.
Một không gian tôpô được gọi là acyclic nếu tất cả các nhóm đồng điều
Cech rút gọn của nó trên trường hữu tỉ đều triệt tiêu. Vì vậy các không gian co
rút được đều là acyclic, các tập lồi, các tập hình sao là các tập acyclic.
K được gọi là một tập chấp nhận được nếu mọi tập con compact B của K,
mọi lân cận V của gốc trong X đều tồn tại ánh xạ liên tục :  sao cho




,  và 



được chứa trong không gian con hữu hạn
chiều của X. Dễ thấy rằng, một tập compact là một tập chấp nhận được.
Định lý sau là sự mở rộng của định lý điểm bất động của KyFan.
24

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Định lý 1.4.2. (Định lý điểm bất động S.Park) Cho X là không gian tôpô
tuyến tính lồi địa phương,  là một tập con lồi, compact. : 2

là
ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Khi đó tồn tại
   



.
Định lý 1.4.3. (Fan – Browder, 1968) Cho X là một không gian véctơ tôpô
 là một tập con lồi, khác rỗng, compact. : 2

là ánh xạ đa trị
thỏa mãn các điều kiện:
a) , 



à ậ ồ;
b) , 
1



là tập mở trong K.
Khi đó tồn tại điểm    




.
Định lý sau là một dạng khác của định lý Fan – Browder.
Định lý 1.4.4. Cho X là một không gian véctơ tôpô,  là một tập con lồi,
khác rỗng, compact. : 2

là ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện:
a) , 



à 



à ậ ồ;
b) , 
1



là tập mở trong K;
Khi đó tồn tại điểm    



= .
Một ánh xạ : 2


được gọi là ánh xạ KKM nếu với bất kì tập


1
, 
2
, , 


 luôn có 


1
, 
2
, , 










=1
. Ngoài khái niệm
trên, người ta còn mở rộng khái niệm KKM từ một tập này vào một tập khác.
Ta có khái niệm ánh xạ KKM suy rộng sau (xem [4]).

Định nghĩa 1.4.5. Cho X, Z là các không gian tôpô , , : × ×
2

, : × 2

là các ánh xạ đa trị. F được gọi là Q – KKM nếu
với bất kì tập hữu hạn


1
, 
2
, , 


 và 


1
, 
2
, , 


tồn tại chỉ
số 

1, 2, . . . , 

sao cho 0 


, , 


, 

, 


.
Định nghĩa 1.4.6. Cho X, Z, W là các không gian tôpô , , 
. : × × 2

, : × 2

là các ánh xạ đa trị. F được gọi là
25

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Q– KKM suy rộng nếu với bất kì tập hữu hạn


1
, 
2
, , 



 tồn tại tập
hữu hạn


1
, 
2
, , 


 sao cho với bất kì 



1
, 

2
, , 



tồn tại








1
, 

2
, , 



thỏa mãn 0 

, , 



, 

, 



.
Định lý 1.4.7. (Bổ đề Fan – KKM) Giả sử D là một tập con lồi khác rỗng
trong không gian véctơ tôpô X, : 2

là ánh xạ KKM. Nếu với mỗi
, 



là tập đóng, đồng thời có ít nhất một điểm 


,   




là tập compact thì






.