bài toán tựa cân bằng tổng loại i và các vấn đề liên quan

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
==========






TRẦN THỊ HƯƠNG




BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG
LOẠI I VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN







LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
==========






TRẦN THỊ HƯƠNG




BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG
LOẠI I VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC












Thái Nguyên - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X A ⊂ X
x
1

, x
2
∈ A, t ∈ [0, 1] tx
1
+ (1 − t)x
2
∈ A
A, B t ∈ R tA, A + B
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
tA = {c = ta | a ∈ A};
A + B = {c = a + b | a ∈ A, b ∈ B}.
A X
intA, A A
A ⊂ X intA = φ
intA, A
x ∈ intA, y ∈ A
[x, y) = {tx + (1 − t)y | 0 < 1 ≤ 1} ⊂ intA;
A = intA;
int(A) = intA.
A ⊂ X n x
1
, , x
n
∈ A. x =
n

i=1
t
i
x

i
,
t
i
≥ 0(i = 1, 2, , n)
n

i=1
t
i
= 1,
x
1
, , x
n
A coA
A A coA
A
coA A
coA A
coA
coA = coA
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Y
C ⊂ Y Y
tc ∈ C c ∈ C, t ≥ 0 C ⊂ Y y
0
C − {y
0
}

C C C
C Y
C Y clC, intC, convC
C l(C) = C ∩ (−C)
C l(C)
C C
C l(C) = {0}
C
C cl(C) + C \ l(C) ⊂ C
C C
C
C + C ⊂ C tC ⊂ C t ≥ 0.
C Y Y
x, y ∈ Y, x ≥
C
y x − y ∈ C.
x ≥ y.
x, y ∈ Y x > y x − y ∈ C \ l(C) x >> y
x − y ∈ int(C).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
C
Y. C
x ≥ y y ≥ x x = y
{0} Y Y
Y = R
3
= {(x, y, z) ∈ R
3
}.
C = R

3
+
= {(x, y, z) ∈ R
3
| x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}
C = {(x, y, z) ∈ R
3
| z ≥ 0}
C
l(C) = C ∩ (−C) = {(x, y, 0) ∈ R
3
} = {0}
Y = R
3
C = {(x, y, z) ∈ R
3
| x, y, z > 0} ∪ {(x, y, z) ∈ R
3
| x ≥ y ≥ 0, z = 0}.
C
X, Y F : X −→ 2
Y
,
2
Y
Y,
X Y.
F : X ⇒ Y F X Y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
gphF domF rgeF

F : X ⇒ Y
gphF = {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F(x)};
domF = {x ∈ X | F (x) = φ};
rgeF = {y ∈ Y | ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)}.
x
n
+ a
1
x
n−1
+ + a
n−1
x + a
n
= 0,
n a
i
, i = 1, 2, , n
a = (a
1
, a
2
, , a
n
) ∈ R
n
F (a), F : R
n
⇒ C
R

n
C
F (a) = φ a ∈ R
n
domF = R
n
. rgeF = C
gphF = {(a, x) ∈ R
n
× C | x
n
+ a
1
x
n−1
+ + a
n−1
x + a
n
= 0}.
F, G : X ⇒ Y α
A Y F ∩ G, F ∪ G, F + G, αF
X Y
(F ∩ G)(x) = F (x) ∩ G(x), x ∈ X
(F ∪ G)(x) = F (x) ∪ G(x), x ∈ X
(F + G)(x) = F (x) + G(x), x ∈ X
(αF )(x) = αF (x), x ∈ X.
F
−1
: Y ⇒ X F : X ⇒ Y

F
−1
(y) = {x ∈ X | y ∈ F (x)}, y ∈ Y.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M ⊂ X F
M F |
M
: M ⇒ Y
F |
M
(x) = F (x), x ∈ M.
F
i
: D −→ 2
Y
i
D Y
i
, (i ∈ I) F
i
, (i ∈ I)
F =

i∈I
F
i
D Y =

i∈I
Y

i
F (x) =

i∈I
F
i
(x).
F : X ⇒ Y G : Y ⇒ Z
G ◦ F : X ⇒ Z
(G ◦ F )(x) =

x∈G
(F (x)) =

x∈X
(

y∈F (x)
G(y)), x ∈ X
F G
X, Y F : X ⇒ Y
gphF X × Y F
X, Y gphF
X × Y F
F (x) x ∈ X F
Y F (x) x ∈ X
F
F (X) F (X) F
Y F
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

F F
F F
X, Y F : X ⇒ Y
F coF
F (x) = F (x), ∀x ∈ X;
(coF )(x) = co(F (x)), ∀x ∈ X.
F
coF
F : R ⇒ R
F (x) =

(0, 1) x = 0
{0} x = 0
F (x) =

[0, 1] x = 0
{0} x = 0
F : R ⇒ R
F (x) = {sinx, cosx}, ∀x ∈ R
(coF )(x) = co{sinx, cosx}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
F clF convF
clF (x) = {y ∈ Y | (x, y) ∈ gphF , ∀x ∈ X};
convF (x) = {y ∈ Y | (x, y) ∈ co(gphF ), ∀x ∈ X}.
clF convF
F
(clF )(x) = [0, 1], ∀x ∈ R
(convF )(x) =

(0, 1) x = 0

[0, 1) x = 0
F
(clF )(x) = {sinx, cosx}, ∀x ∈ R;
(convF )(x) = [−1, 1], ∀x ∈ R.
X, Y f X Y f
x
0
∈ X V f(x
0
)
U x
0
f(U) ⊂ V F : X −→ 2
Y
F
F : X ⇒ Y
X Y
F
x ∈ domF V ⊂ Y
F (x) ⊂ V, U ⊂ X x F (x) ⊂ V,
x ∈ U ∩ domF.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
F domF F
F x ∈ domF
V ⊂ Y F (x) ∩ V = φ, U ⊂ X x
F (x) ∩ V = φ, x ∈ U ∩ domF.
F domF F
F x ∈ domF F
x.
F domF F

X.
F : R ⇒ R
F (x) =





{0} x < 0
[−1, 1] x = 0
{1} x > 0
R
x = 0
F : R ⇒ R
F (x) =

[0, 1] x = 0
{0} x = 0
R
x = 0
F : R ⇒ R
F (x) = co{sinx, cosx}
R.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
F : R ⇒ R
F (x) =

[0, 1] x
[−1, 0] x
F

x ∈ R
f : X −→ R x
0
 > 0 U x
0
f(x) ≤ f(x
0
) + 
f(x) ≥ f(x
0
) − ε x ∈ U
F, Y
C.
X, Y
D X, C Y F
D Y
F C− C− x
0
∈ D
V Y U x
0
X F (x) ⊂ F (x
0
) + V + C F (x
0
) ⊂ F (x) + V − C
x ∈ U ∩ domF.
F C− x
0
∈ D F C−

C− x
0
.
F C− C− C−
D C− C− C−
x
0
∈ D.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
C = {0} Y F −
F − 0− 0−
F : R ⇒ R
F (x) =





{0} x < 0
[−1, 1] x = 0
{1} x > 0
F R
+
− R R
+
−
R.
F : R ⇒ R
F (x) =


[0, 3] x > 0
[1, 2] x ≤ 0
F R
+
− R R
+
−
R.
C− C−
X, Y F
X Y C Y
F (x
0
) Y F
C− x
0
G, F (x
0
) ⊂ G + C
U x
0
F (x) ⊂ G + C x ∈ U ∩ domF.
F (x
0
) Y F
C− x
0
y ∈ F(x
0
) V y

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
U x
0
F (x)∩(V +C) = φ, x ∈ U ∩domF.
G, F (x
0
)∩(G+C) = φ
U x
0
F (x)∩(G+C) = φ x ∈ U ∩domF.
F : D −→ 2
Y
C ⊂ Y
F C− x
0
∈ domF F (x
0
) + C
x
β
→ x
0
, y
β
∈ F (x
β
) + C, y
β
→ y
0

y
0
∈ F (x
0
) + C.
F x
β
→
x
0
, y
β
∈ F(x
β
) + C, y
β
→ y
0
y
0
∈ F(x
0
) + C F C−
x
0
F C− x
0
∈ domF
x
β

→ x
0
, y
0
∈ F (x
0
) + C,
{y
β
}, y
β
∈ F (x
β
), {y
βγ
}, y
βγ
− y
0
→ c ∈ C (y
βγ
→
y
0
+ c ∈ y
0
+ C).
F (x
0
) x

β
→ x
0
y
0
∈ F (x
0
) + C, {y
β
}, y
β
∈ F (x
β
),
{y
βγ
}, y
βγ
− y
0
→ c ∈ C F C− x
0
X, Y D ⊂ X C
Y f : D −→ Y C− D
x
1
, x
2
∈ D, t ∈ [0, 1]
f(tx

1
+ (1 − t)x
2
) ∈ tf(x
1
) + (1 − t)f(x
2
) − C.
f C− D −f C− D
Y = R, C = R
+
, f
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
C− C−
C−
F : D −→ 2
Y
C Y
F C− C−
tF (x
1
) + (1 − t)F (x
2
) ⊂ F (tx
1
+ (1 − t)x
2
) + C;
F (tx
1

+ (1 − t)x
2
) ⊂ tF (x
1
) + (1 − t)F (x
2
) − C)
x
1
, x
2
∈ domF, t ∈ [0, 1].
F C− C−
tF (x
1
) + (1 − t)F (x
2
) ⊂ F (tx
1
+ (1 − t)x
2
) − C;
F (tx
1
+ (1 − t)x
2
) ⊂ tF (x
1
) + (1 − t)F (x
2

) + C)
x
1
, x
2
∈ domF, t ∈ [0, 1].
F : D −→ 2
Y
C Y
F C− D x
1
, x
2
∈ D, t ∈ [0, 1]
F (x
1
) ⊂ F (tx
1
+ (1 − t)x
2
) + C
F (x
2
) ⊂ F (tx
1
+ (1 − t)x
2
) + C
F C− D x
1

, x
2
∈ D, t ∈ [0, 1]
F (tx
1
+ (1 − t)x
2
) ⊂ F (x
1
) − C
F (tx
1
+ (1 − t)x
2
) ⊂ F (x
2
) − C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
F
F C−
Y = R, C = R
+
F C−
C = R
+
R F : R ⇒ R
F (x) =

[0, 1] x = 0
{0} x = 0

F R
+
− R
+
−
F : R ⇒ R
F (x) =

[1, +∞] x = 0
{0} x = 0
F R
+
− R
+
−
C = {0} {0}− {0}− F
F
F C− C−
C− C− F
C− C−
F C− F(x) + C, x ∈ domF
F C− F (x) − C, x ∈ domF
F −F
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
F C−
−F C−
F (−C)−
C X
F : C −→ 2
X

A C
coA ⊂ F (A),
F (A) =

x∈A
F (x)
C
X F : C −→ 2
X
A ⊂ C

x∈A
F (x) = φ.
C
A C G : A −→ 2
C

{G(x) | x ∈ A} = φ.
F F (x) ⊂ G(x) x ∈ A
y ∈ G(A) =

{G(x) | x ∈ A}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
H
y
=

{G(x) | x ∈ A y ∈ G(x)}
G(x) y H
y

y
U
y
y
y ∈ U
y
⊂ U
y
⊂ H
y
α ⊂ A
G(α) =

{G(x) | x ∈ α} ⊂

{U
y
| y ∈ G(x), x ∈ α}
=

{U
y
| y ∈ G(α)}
G coα ⊂ G(α) ⊂

{U
y
| y ∈ G(α)}
coA B
α

⊂ G(α)
coα ⊂

{U
y
| y ∈ B
α
}
B =

{B
α
| α ⊂ A} B
α
A B
x ∈ A
F (x) =

{U
y
| y ∈ B, U
y
⊂ G(x)}
F (x) F(x) ⊂ G(x) x ∈ A
F α ⊂ A z ∈ coα
z ∈ U
y
y B
α
⊂ G(α) y ∈ G(x) x

α U
y
⊂ H
y
⊂ G(x) F (x)
z ∈ F (x) x ∈ α z coα coα ⊂ F (α)
F
C F : C −→ 2
C
C =

{intF
−1
(x), x ∈ C} x ∈ co(F (x))
C
X F : C −→ 2
C
F
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
C
X F : C −→ 2
C
x ∈ C F (x)
y ∈ C F
−1
(y) C
x ∈ C F (x) = φ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X, Y, Z D ⊆ X, K ⊆ Z
S : D × K −→ 2

D
, T : D × K −→ 2
K
, F : K × D × D × D −→ 2
Y
(x, y) ∈ D × K
x ∈ S(x, y);
y ∈ T(x, y);
0 ∈ F (y, x, x, z), z ∈ S(x, y)
(GQEP )
I
. S, T F
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên