ngân hàng đề thi toán cao cấp có đáp án

A. LOẠI CÂU HỎI 1 ĐIỂM
Câu 2: Hệ vectơ sau của không gian
4
3
độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
1 2 3 4
(4, 5,2,6); (2, 2,1,3); (6, 3,3,9) ; (4, 1,5,6)v v v v= − = − = − = −
.
Bài giải:
Ta có:
A =
2 2 1 3 2 2 1 3
2 2 1 3
4 5 2 6 0 1 0 0
0 1 0 0
4 1 5 6 0 3 3 0
0 3 3 0
6 3 3 9 0 3 0 0
− −
   
−
 
 ÷  ÷
− −
 ÷
 ÷  ÷
⇒ ⇒ −
 ÷
 ÷  ÷
−
 ÷

 ÷  ÷
 
−
   
⇔
r (A) = 3 < n = 4
Vậy không gian
4
3
phụ thuộc tuyến tính.
Câu 3: Hệ vectơ sau của không gian
4
3
độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

1
(1,3,5, 1)v = −
;
2
(2, 1, 3,4)v = − −
;
3
(5,1, 1,7)v = −
;
4
(7,7,9,1)v =
.
Bài giải:
Ta có:
A =

1 3 5 1 1 3 5 1
1 3 5 1
2 1 3 4 0 7 13 6
0 7 13 6
5 1 1 7 0 14 26 12
0 14 26 8
7 7 9 1 0 14 26 8
− −
   
−
 
 ÷  ÷
− − − −
 ÷
 ÷  ÷
⇒ ⇒ − −
 ÷
 ÷  ÷
− − −
 ÷
− −
 ÷  ÷
 
− −
   
⇔
r (A) = 3 < n = 4
Vậy không gian
4
3

phụ thuộc tuyến tính.
Câu 4: Tìm hạng của hệ vectơ sau của không gian
4

:

1
(3,1, 2,4)v
= −
;
2
(2,4,5, 3)v
= −
;
3
(13,7,6, 3)v
= −
;
4
( 1,7,5,2)v
= −
.
Bài giải:
Ta có:
A =
1 7 5 2
1 7 5 2 1 7 5 2
0 18 15 1
1 7 5 2
2 4 5 3 0 18 15 1

16 79
0 18 15 1
0 0
3 1 2 4 0 22 13 10
3 9
16 79
0 0
13 7 6 3 0 98 71 23 32 158
0 0
3 9
3 9
−
 
 
 ÷
− −
   
 ÷
−
 ÷
 ÷  ÷
−
 ÷
 ÷
 ÷  ÷
⇒ ⇒ ⇒
−
 ÷
 ÷
 ÷  ÷

−
 ÷
 ÷
 ÷  ÷
−
 ÷
−
 ÷
   
−
 
 ÷
 
⇒
r (A) = 3 < n = 4
Vậy không gian
4
3
phụ thuộc tuyến tính.
Câu 13: Tìm hạng của ma trận:
8 4 6 2
3 1 4 2
6 2 8 3
4 2 3 1
A
 
 ÷
 ÷
=
 ÷

 ÷
 
.
Bài giải:
Ta có:
3 1 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2
1 3 4 2
4 2 3 1 2 4 3 1 0 2 5 3
0 2 5 3
6 2 8 3 2 6 8 3 0 0 0 1
0 0 0 1
8 4 6 2 4 8 6 2 0 4 10 6
A
     
 
 ÷  ÷  ÷
− − −
 ÷
 ÷  ÷  ÷
= ⇒ ⇒ ⇒ − − −
 ÷
 ÷  ÷  ÷
−
 ÷
−
 ÷  ÷  ÷
 
− − −
     
Vậy: r (A) = 3

Câu 14: Tìm hạng của ma trận:
5 2 3 1
4 1 2 3
1 1 1 2
3 4 1 2
A
 
 ÷
 ÷
=
 ÷
−
 ÷
 
.
Ta có:
1 1 1 2 1 1 1 2
1 1 1 2
3 4 1 2 0 1 2 8
0 1 2 8
4 1 2 3 0 3 2 11
0 3 2 11
5 2 3 1 0 3 2 11
A
− −
   
−
 
 ÷  ÷
−

 ÷
 ÷  ÷
= ⇒ ⇒ −
 ÷
 ÷  ÷
− −
 ÷
− −
 ÷  ÷
 
− −
   
Vậy: r (A) = 3
B. LOẠI CÂU HỎI 2 ĐIỂM
Câu 3: Giả sử 3 véc tơ
,u v
và
w
độc lập tuyến tính. Chứng minh rằng:
a)
2u v w+ −
,
u v w− −
và
u w+
là độc lập tuyến tính.
b)
3u v w
+ −
,

3u v w
+ −
và
v w+
là phụ thuộc tuyến tính.
Bài giải:
a) Từ đề bài ta có:
1 1 2 1 1 2 1 1 2
1 1 1 0 2 1 0 2 1
1 0 1 0 1 3 0 0 1
A
− − −
     
 ÷  ÷  ÷
= − − ⇒ ⇒
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
−
     
⇒
r (A) = 3 = n là điều cần chứng minh.
b) Từ đề bài ta có:
1 1 3 1 1 3
1 1 3
1 3 1 0 2 2
0 2 2
0 1 1 0 1 1
A
− −
   

−
 
 ÷  ÷
= − ⇒ ⇒
 ÷
 ÷  ÷
 
 ÷  ÷
   
⇒
r (A) = 2 < n = 3 là điều cần chứng minh.
Câu 6: Viết
3 1
1 2
E
−
 
=
 
 
thành tổ hợp tuyến tính của:
1 1
0 1
A
 
=
 
−
 
,

1 1
1 0
B
 
=
 
−
 
và
1 1
0 0
C
−
 
=
 
 
.
Bài giải:
E biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C:
Ta có: E = aA + bB + cC
⇔
3
2
1
1
1
3 ( 2) ( 1) 6
2
a b c

a
a b c
b
b
c
a
+ + =

= −


+ − = −
 
⇔ = −
 
− =
 
= − − − − =


− =

Thay nghiệm vào phương trình còn lại:
a + b – c = -1
⇔
- 2 – 1 – 6
≠
- 1
⇒
Không thỏa

⇒
Hệ phương trình vô nghiệm
Vậy E không biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C.
Câu 7: Viết
2 1
1 2
E
 
=
 
− −
 
thành tổ hợp tuyến tính của:
1 1
0 1
A
 
=
 
−
 
,
1 1
1 0
B
 
=
 
−
 

và
1 1
0 0
C
−
 
=
 
 
.
Bài giải:
E biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C:
Ta có: E = aA + bB + cC
2
1
1
2
1
2 2 1 1
2
a b c
b
a b c
a
b
c
a
+ + =

=



+ − =
 
⇔ ⇔ =
 
− = −
 
= − − = −


− = −

Thay nghiệm vào phương trình còn lại:
a + b – c = 1
⇔
2 + 1 – (-1)
≠
1
⇒
Không thỏa
⇒
Hệ phương trình vô nghiệm
Vậy E không biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C.
Câu 8: Biểu diễn véc tơ
(3,6, 6,0)u = −
thành tổ hợp tuyến tính của 3 véc tơ sau:
1
(3,2, 4,1)v = −
,

2
(1,5,0,3)v =
,
3
(4,3, 2,5)v = −
.
Bài giải:
Vectơ u biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua
1 2 3
, ,
v v v
:
Giả sử:
1 2 3
u a b c
v v v
= + −
3 4 3
2
2 5 3 6
1
4 2 6
1
3 5 0
a b c
a
a b c
b
a c
c

a b c
+ + =

=


+ + =
 
⇔ ⇒ = ⇒
 
− − = −
 
= −


+ + =

Nghiệm a, b, c thỏa hệ phương trình
Vậy:
1 2 3
2u
v v v
= + −
Câu 9: Chứng tỏ rằng hệ vectơ
1 2 3
(1, 1,1); (2,1, 3); (3,2, 5)v v v= − = − = −
là một cơ sở của không gian
3

. Tìm toạ độ của vectơ

(5,3, 4)u = −
trong cơ sở này.
Bài giải:
Từ đề bài ta có:
1 1 1 1 1 1
2 1 3 0 3 5
3 2 5 0 5 8
A
− −
   
 ÷  ÷
= − ⇒ −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
   
⇒
r (A) = 3 = n
Vậy:
1, 2 3
{ , }E
v v v
=
là một cơ sở của không gian
3

.
Giả sử tọa độ của vectơ
(5,3, 4)u = −
trong cơ sở

1, 2 3
{ , }E
v v v
=
là:
( , , )
E
x y z
u
=
Ta có:
1 2 3
u x y z
v v v
= + +
2 3 5 4
2 3 19
3 5 4 13
x y z x
x y z y
x y z z
+ + = =
 
 
⇒ − + + = ⇒ = −
 
 
− − = − =
 
Vậy: tọa độ của vectơ

(5,3, 4)u = −
trong cơ sở này là
(4, 19,13)
E
u
= −
Câu 10: Chứng tỏ rằng hệ vectơ
1 2 3
(5,3, 8); (3,2, 5); (4,1, 4)v v v= − = − = −
là một cơ sở của không gian
3

. Tìm toạ độ của vectơ
)7,2,6( −=u
trong cơ sở này.
Bài giải:
Từ đề bài ta có:
5 3 8 4 1 4 1 4 4 1 4 4
3 2 5 5 3 8 3 5 8 0 7 4
4 1 4 3 2 5 2 3 5 0 5 3
A
− − − −
       
 ÷  ÷  ÷  ÷
= − ⇒ − ⇒ − ⇒ −
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
− − − −
       
⇒

r (A) = 3 = n
Vậy:
1, 2 3
{ , }E
v v v
=
là một cơ sở của không gian
3

.
Giả sử tọa độ của vectơ
)7,2,6( −=u
trong cơ sở
1, 2 3
{ , }E
v v v
=
là:
( , , )
E
x y z
u
=
Ta có:
1 2 3
u x y z
v v v
= + +
5 3 4 6 1
3 2 2 1

8 5 4 7 1
x y z x
x y z y
x y z z
+ + = =
 
 
⇒ + + = ⇒ = −
 
 
− − − = − =
 
Vậy: tọa độ của vectơ
(6,2, 7)u = −
trong cơ sở này là
(1, 1,1)
E
u
= −
Câu 12: Giải và biện luận theo tham số
m
hệ phương trình tuyến tính:







=+−+

=−++
=−++
=+++
132
37932
32364
38 128
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xmxxx
Bài giải:
Từ đề bài ta có:
2 3 1 1 1 1 3 2 1 1 1 3 2 1 1
2 3 9 7 3 7 3 2 9 3 0 24 16 2 10
4 6 3 2 3 2 6 4 3 3 0 12 8 1 5
8 12 8 3 8 12 8 3 0 12 8 8 5
1 3 2 1 1 1 3 2 1 1
0 12 8 1 5 0 12 8 1 5
0 12 8 8 5 0 0 0 9 0
m m m
m m
− − −
     
 ÷  ÷  ÷
− −

 ÷  ÷  ÷
⇒ ⇒ ⇒
 ÷  ÷  ÷
− −
 ÷  ÷  ÷
− − + −
     
− −
   
 ÷  ÷
⇒ ⇒
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− − + − +
   
Vậy với
∀
m hệ phương trình có vô số nghiệm
Câu 13: Giải và biện luận theo tham số
m
hệ phương trình tuyến tính:







=−−−
=++−

=++−
=++−
95 68
17 324
17737
34 23 5
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
mxxxx
xxxx
Bài giải:
Từ đề bài ta có:
5 3 2 4 3 8 6 1 5 9 1 6 8 5 9
7 3 7 17 5 3 2 4 3 2 3 5 4 3
4 2 3 7 1 4 2 3 7 1 3 2 4 7 1
8 6 1 5 9 7 3 7 17 7 3 7 17
1 6 8 5 9
1 6 8 5 9
0 9 21 6 21
0 9 21 6 21
56 16 56
0 20 28 8 28
0 0
3 3
0 45 63 18 63
m

m m
m
− − − − − −
     
 ÷  ÷  ÷
−
 ÷  ÷  ÷
⇒ ⇒ ⇒
 ÷  ÷  ÷
− − −
 ÷  ÷  ÷
− − − − −
     
− − −
− − −
 
− −
 ÷
− −
 ÷
⇒ ⇒
 ÷
− −
− −
 ÷
− − +
 
1 6 8 5 9
0 9 21 6 21
56 16 56

0 0
3 3 3 3
0 0 42 12 42 0 0 0 0m m
− − −
   
 ÷  ÷
− −
 ÷  ÷
⇒
 ÷  ÷
− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
   
- Với m = 0
⇒
Hệ phương trình vô số nghiệm.
- Với m
≠
0
⇒
Hệ phương trình vô nghiệm.
Câu 14: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:








=+−+
=−++
=+++
=+++
1895
3253
13545
5 37 2
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxmxx
xxxx
Bài giải:
Từ đề bài ta có:
1 3 5 2 3 1 2 5 3 3 1 2 5 3 3
1 5 9 8 1 1 8 9 5 1 0 10 14 2 2
2 7 3 1 5 2 1 3 7 5 0 5 7 1 1
5 4 5 13 5 5 4 13 0 15 21 15 2
1 2 5 3 3 1 2 5 3 3
0 5 7 1 1 0 5 7 1 1
0 15 21 15 2 0 0 0 18 1
m m m
m m
− − −

     
 ÷  ÷  ÷
− − − −
 ÷  ÷  ÷
⇒ ⇒ ⇒
 ÷  ÷  ÷
− −
 ÷  ÷  ÷
− − −
     
− −
   
 ÷  ÷
⇒ − − ⇒ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− − − −
   
- Với m - 18 = 0
⇒
m = 18
⇒
Hệ phương trình vô nghiệm.
- Với m - 18
≠
0
⇒
m
≠
18

⇒
Hệ phương trình vô số nghiệm.
Câu 15: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2x 5x x 3x 2
2x 3x 3x mx 7
4x 6x 3x 5x 4
4x 14x x 7x 4
+ + + =


− + + =


+ + + =


+ + + =

Bài giải:
Từ đề bài ta có:
2 5 1 3 2 2 5 1 3 2 1 5 2 3 2
2 3 3 7 4 6 3 5 4 3 6 4 5 4
4 6 3 5 4 4 14 1 7 4 1 14 4 7 4
4 14 1 7 4 2 3 3 7 3 3 2 7
1 5 2 3 2
1 5 2 3 2 1 5 2 3 2

0 9 2 4 2
0 9 2 4 2 0 9 2 4 2
0 9 2 4 2
0 18 4 9 1 0 0 0
0 18 4 9 1
m
m m
m
m
     
 ÷  ÷  ÷
−
 ÷  ÷  ÷
⇒ ⇒ ⇒
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
− −
     
 
 
 ÷
− − − −
 ÷
 ÷
⇒ ⇒ − − − − ⇒ − − − −
 ÷
 ÷
 ÷
− − −
 ÷

 
− − −
 
1 5m
 
 ÷
 ÷
 ÷
−
 
- Với m - 1 = 0
⇒
m = 1
⇒
Hệ phương trình vô nghiệm.
- Với m - 1
≠
0
⇒
m
≠
1
⇒
Hệ phương trình vô số nghiệm
C. LOẠI CÂU HỎI 3 ĐIỂM
Câu 1: Đặt
1
V
,
2

V
lần lượt là hai không gian vectơ con của
4

gồm các véctơ
),,,(
4321
xxxxv =
thoả
mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II):






=−−−
=−−−
=−−−
022
04453
02332
)(
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
I

,





=−++
=−++
=+−+
04653
0342
09102
)(
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
II

Hãy tìm số chiều của các không gian con
1
V
,
2
V
,
1
V

+
2
V
,
1
V
∩
2
V
.
Bài giải:
1 2 1 2 0 1 2 1 2 0
1 2 1 2 0
( ) 2 3 3 2 0 0 1 1 2 0
0 1 1 2 0
3 5 4 4 0 0 1 1 2 0
I
− − − − − −
   
− − −
 
 ÷  ÷
⇒ − − − ⇒ − ⇒
 ÷
 ÷  ÷
−
 
 ÷  ÷
− − − −
   

(1)

2 3 4
2 0
x x x
− + =
⇒
2 3 4
2
x x x
= −

1 3 4 3 4 1 3 4 1 3 4
2( 2 ) 2 0 3 2 0 3 2
x x x x x x x x x x x
− − − − = ⇒ − + = ⇒ = −

1 1, 2, 3 4
( , )
V x x x x
=


3 4 3 4 3 4
3 3 3 4 4 4
3 4
(3 2 , 2 , , )
(3 , , ,0) ( 2 2 0, )
(3,1,1,0) ( 2, 2,0,1)
x x x x x x

x x x x x x
x x
= − −
= + − −
= + − −


1
{(3,1,1,0),( 2, 2,0,1)}
V
⇒ = − −
là một cơ sở , cũng là tập sinh.

1
dim 2
V
⇒ =
1 2 4 3 0 1 2 4 3 0
1 2 4 3 0
( ) 2 1 10 9 0 0 3 18 15 0
0 1 6 5 0
3 5 6 4 0 0 1 6 5 0
II
− −
   
−
 
 ÷  ÷
⇒ − ⇒ − − ⇒
 ÷

 ÷  ÷
− −
 
 ÷  ÷
− − −
   
(2)

2 3 4 2 3 4
6 5 0 6 5
x x x x x x
− − + = ⇒ = − +

1 3 4 3 4 1 3 4
2( 6 5 ) 4 3 0 8 7
x x x x x x x x
+ − + + − = ⇒ = −

2 1, 2, 3 4
( , )
V x x x x
=

3 4 3 4 3 4
3 3 3 4 4 4
3 4
(8 7 , 6 5 , , )
(8 , 6 , ,0) ( 7 ,5 ,0, )
(8, 6,1,0) ( 7,5,0,1)
x x x x x x

x x x x x x
x x
= − − +
= − + −
= − + −

2
{(8, 6,1,0),( 7,5,0,1)}
V
⇒ = − −
là một cơ sở , cũng là tập sinh.
2
dim 2
V
⇒ =
Do:
1 2 1 2
;x x x
V V V V
∈ ∈ ⇒ ∈ I
Từ (1) và (2) ta có:
1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0
1 2 1 2 0
0 1 1 2 0 0 1 1 2 0 0 1 1 2 0
0 1 1 2 0
1 2 4 3 0 0 4 5 1 0 0 0 9 9 0
0 0 9 9 0
0 1 6 5 0 0 1 6 5 0 0 0 7 7 0
− − − − − − − −
     

− − −
 
 ÷  ÷  ÷
− − −
 ÷
 ÷  ÷  ÷
⇒ ⇒ ⇒ −
 ÷
 ÷  ÷  ÷
− − −
 ÷
−
 ÷  ÷  ÷
 
− − − − − −
     
3 4 3 4
9 9 0
x x x x
⇒ − = ⇒ =

2 3 4 2 4 4 2 4
2 0 2 0
x x x x x x x x
− + = ⇒ − + = ⇒ =
−

1 2 3 4 1 4 4 4 1 4
2 2 0 2 2
x x x x x x x x x x

− − − = ⇒ + − − ⇒ =
1 2 4 4 4 4
( , , , )
V V x x x x
= −I
4
(1, 1,1,1)
x
= −
1 2
{(1, 1,1,1)}
V V
= −I
là một cơ sở , cũng là tập sinh.
1 2
dim 1
V V
=I
Tacó:
1 2 1 2 1 2
dim dim dim dim 2 2 1 3
V V V V V V
+ = + − = + − =I
Câu 2: Trong không gian
4

xét các vectơ:
)3,1,4,2(
1
−=

v
;
)2,1,2,1(
2
−=
v
;
)3,2,2,1(
3
−=
v
;
)7,3,8,2(
1
−=
u
;
)1,1,0,1(
2
−=
u
;
)8,4,8,3(
3
−=u
.
Đặt
1
V
,

2
V
là hai không gian vectơ con của
4

lần lượt sinh bởi hệ vectơ
{ }
321
,, vvv
và
{ }
321
,, uuu
.
Hãy tìm số chiều của các không gian con
1
V
,
2
V
,
1
V
+
2
V
,
1
V
∩

2
V
.
Bài giải:
Ta có:
1
2 4 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 2 3 0 0 1 1 0 0 1 1
1 2 2 3 2 4 1 3 0 0 1 3 0 0 0 2
V
− − − −
       
 ÷  ÷  ÷  ÷
= − ⇒ − ⇒ − ⇒ −
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
− − −
       
(1)
1
dim 3V⇒ =
2
1 0 1 1 1 0 1 1
1 0 1 1
2 8 3 7 0 8 1 5
0 8 1 5
3 8 4 8 0 8 1 5
V
− −
   

−
 
 ÷  ÷
= − ⇒ − ⇒
 ÷
 ÷  ÷
−
 
 ÷  ÷
− −
   
(2)
2
dim 2V⇒ =
Từ (1) và (2) ta có:
1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
0 0 1 1 1 0 1 1 0 2 0 1 0 2 0 1
0 2 0 1
0 0 0 2 0 8 1 1 0 8 1 5 0 0 1 1
0 0 1 1
1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 0 0 2
0 8 1 5 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2
dim
− − − −
       
−
 

 ÷  ÷  ÷  ÷
− − − −
 ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
−
 ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
− − −
 ÷
−
 ÷  ÷  ÷  ÷
− − − −
 ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
 
 ÷  ÷  ÷  ÷
−
       
⇒
2
4
V V
+ =
Tacó:
1 2 1 2 1 2
dim dim dim dim
V V V V V V
+ = + − I
1 2 1 2 1 2

dim dim dim dim 3 2 4 1
V V V V V V
⇒ = + − + = + − =I
Câu 3: Đặt
1
V
,
2
V
lần lượt là hai không gian vectơ con của
4

gồm các véctơ
),,,(
4321
xxxxv =
thoả
mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II):






=−++
=−++
=+−+
0342
04653
03254

)(
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
I
,





=−−−
=−−−
=−−−
022
06574
02332
)(
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
II

Hãy tìm số chiều của các không gian con

1
V
,
2
V
,
1
V
+
2
V
,
1
V
∩
2
V
.
Bài giải:
1 2 4 3 0 1 2 4 3 0
1 2 4 3 0
( ) 3 5 6 4 0 0 1 6 5 0
0 1 6 5 0
4 5 2 3 0 0 3 18 15 0
I
− −
   
−
 
 ÷  ÷

⇒ − ⇒ − − ⇒
 ÷
 ÷  ÷
− −
 
 ÷  ÷
− − −
   
(1)
2 3 4 2 3 4
(1) 6 5 0 6 5x x x x x x⇒ − − + = ⇒ = − +

1 3 4 3 4 1 3 4
2( 6 5 ) 4 3 0 8 7x x x x x x x x⇒ + − + + − = ⇒ = −
Ta có:

1 1 2 3 4
1 3 4 3 4 3 4
1 3 3 3 4 4 4 3 4
( , , , )
(8 7 , 6 5 , , )
(8 , 6 , ,0) ( 7 ,5 ,0, ) (8, 6,1,0) ( 7,5,0,1)
V x x x x
V x x x x x x
V x x x x x x x x
=
= − − +
= − + − = − + −
Vậy:
{(8, 6,1,0),( 7,5,0,1)}E = − −

là một cơ sở , cũng là tập sinh.

1
dim 2V⇒ =
1 2 1 2 0 1 2 1 2 0
1 2 1 2 0
( ) 2 3 3 2 0 0 1 1 2 0 (2)
0 1 1 2 0
4 7 5 6 0 0 1 1 2 0
II
− − − − − −
   
− − −
 
 ÷  ÷
⇒ − − ⇒ − ⇒
 ÷
 ÷  ÷
−
 
 ÷  ÷
− − − −
   
2 3 4 2 3 4
(2) 2 0 2x x x x x x⇒ − + = ⇒ = −

1 3 4 3 4 1 3 4
2( 2 ) 2 0 3 2x x x x x x x x⇒ − − − − = ⇒ = −
Ta có:

2 1 2 3 4
2 3 4 3 4 3 4
3 3 3 3 4 4 4 3 4
( , , , )
(3 2 , 2 , , )
(3 , , ,0) ( 2 , 2 ,0, ) (3,1,1,0) ( 2, 2,0,1)
V x x x x
V x x x x x x
V x x x x x x x x
=
= − −
= + − − = + − −
Vậy:
{(3,1,1,0),( 2, 2,0,1)}F = − −
là một cơ sở , cũng là tập sinh.

2
dim 2V⇒ =
Ta có:
{(3,1,1,0),( 2, 2,0,1),(8, 6,1,0),( 7,5,0,1)}R = − − − −

là một cơ sở , cũng là tập sinh của
1 2
V V+
3 1 1 0 2 2 0 1 1 2 0 2 1 2 0 2
1 2 0 2
2 2 0 1 3 1 1 0 0 1 1 3 0 1 1 3
0 1 1 3
8 6 1 0 7 5 0 1 1 5 0 7 0 0 7 26
0 0 7 26

7 5 0 1 8 6 1 0 0 6 1 8 0 0 7 26
− − − − − −
       
− −
 
 ÷  ÷  ÷  ÷
− −
 ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
 ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
− − − − −
 ÷
− −
 ÷  ÷  ÷  ÷
 
− − −
       
1 2
dim 3V V⇒ + =
Ta có :
1 2 1 2 1 2
dim dim dim dim 2 2 3 1V V V V V V= + − + = + − =I
Câu 4: Trong không gian
4

xét các vectơ:
)1,2,1,2(
1

=
v
;
)3,2,4,3(
2
=
v
;
3
v (2,3,1,2)
=
;
)3,1,1,1(
1
−−=
u
;
)1,0,1,1(
2
−=
u
;
3
u (1,1,1,1)=
. Đặt
1
V
là không gian vectơ con của
4


sinh bởi hệ
vectơ
{ }
321
,, vvv
và
2
V
là không gian vectơ con của
4

sinh bởi hệ vectơ
{ }
321
,, uuu
. Hãy tìm số chiều
của các không gian con
1
V
,
2
V
,
1
V
+
2
V
,
1

V
∩
2
V
.
Bài giải: Từ đề bài ta có:
1
2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
3 4 2 3 4 3 2 3 0 5 6 1 dim 3
2 3 1 2 3 2 1 2 0 4 1 0
V
     
 ÷  ÷  ÷
⇒ ⇒ − − − ⇒ =
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
− −
     
Tương tự:
2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 0 1 0 0 1 2 dim 2
0 0 1 2
1 1 1 3 0 0 2 4
V
   
 
 ÷  ÷
− ⇒ − − ⇒ ⇒ =

 ÷
 ÷  ÷
− −
 
 ÷  ÷
− −
   
Ta có:
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
0 5 6 1 0 5 6 1 0 1 1 0 0 1 1 0
0 4 1 0 0 4 1 0 0 4 1 0 0 0 3 0
1 1 1 1 0 1 1 0 0 5 6 1 0 0 1 1
0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2
       
 ÷  ÷  ÷  ÷
− − − − − −
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
⇒ ⇒ ⇒
− − − − − −
 ÷  ÷  ÷  ÷
− − − − −
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
− − − − − − − −
       

{(1,2,2,1),(0,1,1,0),(0,0,3,0),(0,0, 1, 1)}E⇒ = − −
là một cơ sở , cũng là tập sinh của
1 2

V V+
Vậy :
1 2
dim 4V V⇒ + =
Ta có :
1 2 1 2 1 2
dim dim dim dim 3 2 4 1V V V V V V= + − + = + − =I