bộ đề thi học kì toán lớp 9

HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *0977.676.653.
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn
GÓC Ở TÂM – SỐ ĐO CUNG
ĐỀ SỐ 1
LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1: Cho đường tròn (O; R), dây AB = R
2
. Tính số đo hai cung AB.
№Bài 2: Hai tiếp tuyên AB của đường tròn (O; R) cắt nhau tại M. Biết OM = 2R. Tính số đo
của góc ở tâm AOB ?
№Bài 3: Trên một đường tròn, có cung AB bằng 140
0
, cung AD nhận B làm điểm chính giữa,
cung CB nhận A làm điểm chính giữa. Tính số đo cung nhỏ CD và cung lớn CD.
№Bài 4: Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau tại A, B. Đường phân giác của góc OBO’
cắt các đường tròn (O), (O’) tương ứng tại C và D.
Hãy so sánh các góc ở tâm BOC và BO’D.
Hướng dẫn: Sử dụng các tam giác cân OBC, O’BD


C
A

D
O 1 2 O’
B

KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP

BÀI 1*GÓC Ở TÂM – SỐ ĐO CUNG
1. GÓC Ở TÂM :
Định nghĩa
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH

Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn được gọi là góc ở tâm
Nhận xét: Mỗi góc ở tâm cắt đường tròn tại hai điểm, do đó xác định hai cung. Với các góc
α (0
0
< α < 180
0
) thì cung nằm bên trong góc được gọi là “cung nhỏ” và cung nằm bên ngoài góc
được gọi là “cung lớn”
2 – SỐ ĐO CUNG :
Định nghĩa
3 – SO SÁNH HAI CUNG :
4– KHI NÀO sđ
»
AB
= sđ
»
AC
+ sđ
»
CB
:
Cho C là một điểm nằm trên cung AB (Hình 3, 4 – tr68 – SGK) . khi đó ta nói :
Điểm C chia cung AB thành hai cung AC và CB
Định lí

LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
ĐỀ SỐ 2
LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1: Cho đường tròn (O), dây AB. Gọi M là điểm chính giữa cung AB. Vẽ dây MC cắt dây
AB tại D. Vẽ đường vuông góc với AB tại D, cắt OC ở K. Chứng minh rằng tam giác KCD là tam
giác cân.
Hướng dẫn: Sử dụng tính chất “đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông
góc với dây căng cung ấy”
№Bài 2: Cho đường tròn (O) bán kính R. Vẽ góc ở tâm
AOB
∧
= 80
0
, vẽ góc ở tâm
BOC
∧
= 120
0
kề với
AOB
∧
So sánh và sắp xếp độ dài AB theo thứ tự tăng dần.
Hướng dẫn: Sử dụng tính chất : Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn.
Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
Hướng dẫn: Sử dụng kết quả của các định lí 1 và định lí 2.
Nếu điểm C nằm trên cung AB thì:
sđ
»
AB
= sđ

»
AC
+ sđ
»
CB
Số đo của cung AB (kí hiệu sđ
»
AB
) được xác định như sau:
• Số đo (độ) của cung nhỏ AB bằng số đo (độ) của góc ở tâm chắn cung đó.
• Số đo (độ) của cung lớn AB bằng 360
0
trừ đi số đo (độ) cung nhỏ AB
• Số đo (độ) của nửa đường tròn bằng 180
0
.
Ta chỉ so sánh hai cung trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau. Khi đó :
• Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
• Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
Hai cung AB và CD bằng nhau được kí hiệu
»
AB
=
»
CD
HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *0977.676.653.
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn
№Bài 3: Cho tam giác ABC có AB > AC. Trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho AD = AC.

Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK
xuống BC và BD (H
∈
BC, K
∈
BD).
a) Chứng minh rằng OH < OK.
b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.
Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức tam giác và định lí dây cung và khoảng cách đến tâm.
№Bài 4: Cho đường tròn (O). Gọi I là điểm chính giữa của cung AB(không phải là cung nửa
đường tròn) và H là trung điểm của dây AB. Chứng minh rằng đường thẳng IH đi qua tâm của đường
tròn.
Hướng dẫn: Sử dụng định lí 1 và tính chất đường trung trực.
KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 2 * LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
1. CUNG VÀ DÂY :
Cho hai điểm A, B trên một đường tròn tâm O.
Phần đường tròn nằm trong một nửa mặt phẳng
bờ AB là một cung của đường tròn (O). .O
Đoạn thẳng AB là dây cung căng cung AB. Ta A
cũng nói cung AB căng dây AB.
2. CÁC ĐỊNH LÍ : B
Định lí 1
D
Trong hình :
»
AB
=
»

CD

⇒
AB = CD
O C
AB = CD
⇒

»
AB
=
»
CD
Định lí 2
A B
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
Chú ý

GÓC NỘI TIẾP
ĐỀ SỐ 3
LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1: Cho đường tròn (O) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Lấy một điểm M
trên cung AC rồi vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến này cắt đường thẳng CD

tại S. Chứng minh rằng
MSD
∧
= 2.
MBA
∧
.
№Bài 2: Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Qua A vẽ một cát tuyến cắt dây
BC ở D và cắt đường tròn (O) ở E. Chứng minh rằng AB
2
= AD.AE.

A
O
D
B C
E
№Bài 3: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm trên cung nhỏ BC.
Trên MA lấy điểm D sao cho MD = MB.
a) Hỏi tam giác MBD là tam giác gì ?
b) So sánh hai tam giác BDA và BMC.
c) Chứng minh rằng MA = MB + MC.
A
O
D
B C
M

KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP

BÀI 3 * GÓC NỘI TIẾP
* Giữa đường kính với dây và cung căng dây có sự liên hệ như : “ Đường kính vuông
góc với dây thì :
• Đường kính đi qua trung điểm của dây.
• Đường kính đi qua điểm chính giữa của cung”.
• Hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau
HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *0977.676.653.
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn
1. ĐỊNH NGHĨA :
A Trong hình minh họa bên, ta thấy :
*
ABC
∧
là góc nội tiếp chắn cung
¼
AbC
(viết tắc là
»
AC
và được hiểu
b c là cung
»
AC
không chứa điểm B)
. B *
BCA
∧
là góc nội tiếp chắn cung

»
BA
a *
CAB
∧
là góc nội tiếp chắn cung
»
CB
C
2. ĐỊNH LÍ :
A
Ta minh họa định lí bằng hình vẽ bên:

O
ABC
∧
=
1
2
sđ
»
AC
=
1
2
AOC
∧
B C
3.HỆ QUẢ :
GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG

ĐỀ SỐ 4
LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Trên đường thẳng AB lấy một
điểm M (điểm M không thuộc đoạn thẳng AB). Vẽ tiếp tuyến MT của đường tròn (O) và cát tuyến
MCD của đường tròn (O’).
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của
đường tròn đó.
Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn
Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Trong một đường tròn
Hệ quả 1 : Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
Hệ quả 2 : Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
Hệ quả 3 : Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90
0
) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm
cùng chắn một cung.
Hệ quả 4 : Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Chứng minh rằng MT
2
= MC.MD.
№Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M. Vẽ
tiếp tuyến MC với nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của C trên AB.
a) Chứng minh rằng tia CA là tia phân giác của góc
MCH
∧
.
b) Giả sử MA = a, MC = 2a, tính AB .
№Bài 3: Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ cát tuyến CAD với hai

đường tròn (C
∈
(O), D
∈
(O’)).
a) Chứng minh rằng khi cát tuyến quay xung quanh điểm A thì
CBD
∧
có số đo không đổi.
b) Từ C và D vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn. Chứng minh rằng hai tiếp tuyến này hợp với
nhau một góc có số đo không đổi khi cát tuyến CAD quay xung quanh điểm A.
Hướng dẫn: Vì A, B là hai điểm cố định nên sđ
»
AB
nhỏ
của cả hai đường tròn không đổi. Dựa
vào định lí “Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn” Ta đi
chứng minh các góc liên quan đến sđ
»
AB
nhỏ
.

Bài giải : M
C
A
O m n O’ D

B
KIẾN THỨC CƠ BẢN

YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 4 * GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
1. KHÁI NIỆM GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG :
Trong hình vẽ bên :
• xy là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A
Tiếp điểm A là gốc chung của hai tia đối nhau Ax, Ay.
Góc BAx có đỉnh A nằm trên đường tròn, cạnh Ax B O
là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa cung AB
Ta gọi một góc như vậy là “ Góc tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cung” x y
• Dây AB căng hai cung. Cung nằm bên trong góc A
là cung bị chắn
*
BAx
∧
có cung bị chắn là cung nhỏ AB
*
BAy
∧
có cung bị chắn là cung lớn AB
2. ĐỊNH LÍ
•
BAx
∧
=
1
2
sđ
»
AB

nhỏ
.
•
BAy
∧
=
1
2
sđ
»
AB
lớn
.
Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn
HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *0977.676.653.
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn
3. HỆ QUẢ
GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN
GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
ĐỀ SỐ 5
LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A. Đường tròn đường kính AB cắt BC ở D. Tiếp tuyến ở D
cắt AC ở P. Chứng minh PD = PC.

A
m P
O
B D C

x
№Bài 2: Hai dây cung AB và CD kéo dài cắt nhau tại điểm E ở ngoài đường tròn (O) (B nằm
giữa A và E, C nằm giữa D và E). Cho biết
CBE
∧
= 75
0
,
CEB
∧
= 22
0
,
AOD
∧
= 144
0
.
Chứng minh
AOB
∧
=
BAC
∧
.
№Bài 3: A, B, C là ba điểm thuộc đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia BC tại D. Tia
phân giác của
BAC
∧
cắt đường tròn ở M, tia phân giác của

D
∧
cắt AM ở I.
Chứng minh DI
⊥
AM.
A

1 2 1
D
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một
cung thì bằng nhau.
I
2
N C
B M

KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 5 * GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN
GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
1. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN :
m
D
Trong hình 31, góc BEC có đỉnh E nằm bên trong A
đường tròn (O) được gọi là: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.
Ta quy ước rằng mỗi góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn hai O
cung, một cung nằm bên trong góc và cung kia nằm bên trong góc E

đối đỉnh của nó .
Trên hình 31, hai cung bị chắn của góc BEC là
¼
BnC
và
¼
AmD
. C
Định lí
n
B
2. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN :
Các góc trên các hình dưới đây có đặc điểm chung là : Đỉnh nằm ngoài đường tròn, các cạnh
đều có điểm chung với đường tròn. Mỗi góc đó được gọi là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. Mỗi
góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn có hai cung bị chắn . Đó là hai cung nằm bên trong góc
C
E D C
C E E
A O A O O
B
B B
Hình 33 Hình 34 Hình 35
Góc BEC có hai cạnh cắt đường Góc BEC có một cạnh là Góc BEC có hai cạnh là
tròn, hai cung bị chắn là hai cung tiếp tuyến tại C và cạnh kia hai tiếp tuyến tại B và C
nhỏ AD và BC là cát tuyến, hai cung bị chắn hai cung bị chắn là cung
là hai cung nhỏ AC và CB nhỏ BC và cung lớn BC.
Định lí
CUNG CHỨA GÓC
ĐỀ SỐ 6

LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định và Â =
α
không đổi. Tìm quỹ tích giao điểm
của ba đường phân giác trong của tam giác đó.
Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn
Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *0977.676.653.
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn
№Bài 2. Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là một điểm trên nửa đường tròn,
trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD = CB.
a) Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.
b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB. Tìm quỹ tích các điểm E khi C chạy trên nửa
đường tròn đã cho.
№Bài 3. Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm cố định trên nửa đường tròn.
Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách CH từ C đến AB.
Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.

KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 6 * CUNG CHỨA GÓC
1*BÀI TOÁN QUỸ TÍCH “ CUNG CHỨA GÓC”
Bài toán: Cho đoạn thẳng AB và góc
α
(0
0
<
α

< 180
0
). Tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M
thỏa mãn
AMB
∧
=
α
. (Ta cũng nói quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới góc
α
).
Chú ý:
• Hai cung chứa góc
α
nói trên là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB.
• Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích.
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH

• Khi
α
= 90
0
thì hai cung AmB và Am’B là hai nửa đường tròn đường kính AB. Như vậy
ta có: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường
kính AB.
* Cách dựng cung chứa góc
α
(0
0
<

α
< 180
0
) trên đoạn AB = a cho trước.
Phương pháp:
• Dựng đoạn thẳng AB = a và đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
• Dựng tia Ax tạo với AB góc
α
(
xAB
∧
=
α
).
• Dựng tia Ay vuông góc với Ax cắt d tại O.
• Dựng cung AmB, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ
AB không chứa tia Ax .
¼
AmB
được dựng như trên là một cung chứa góc
α
.
2. CÁCH GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào
đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H. Gọi M là một điểm bất kì có tính
chất T, ta đi chứng minh M thuộc H.
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T. Gọi M là một điểm bất kì thuộc hình
H, ta đi chứng minh điểm M có tính chất T.
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất T là hình H.

3. CÁC BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ĐÃ HỌC.
• Quỹ tích các điểm cách điểm O cố định một khoảng R không đổi là đường tròn (O; R).
• Quỹ tích các điểm nằm trong một góc cố định và cách đều hai cạnh của góc là tia phân
giác của góc ấy.
• Quỹ tích các điểm cách đều hai điểm A, B cố định là đường trung trực của AB.
• Quỹ tích các điểm cách đều đường thẳng xy cố định một khoảng h không đổi là hai
đường thẳng song song với xy và có khoảng cách đến xy bằng h.
TỨ GIÁC NỘI TIẾP
ĐỀ SỐ 7
LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1: Trên đường tròn tâm O có một cung AB và một điểm S chính giữa của cung đó. Trên
dây AB lấy hai điểm E và H. Các đường thẳng SH và SE cắt đường tròn theo thứ tự tại C và D.
Chứng minh EHCD là một tứ giác nội tiếp.
C
D O
B
E
H
A
S
№Bài 2: Cho tam giác ABC. Các đường phân giác trong của
B
∧
và
C
∧
cắt nhau tại S, các đường
phân giác trong của
B
∧

và
C
∧
cắt nhau tại E. Chứng minh BSCE là một tứ giác nội tiếp.
№Bài 3: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Biết AE. EC = BE.ED. Chứng minh
bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *0977.676.653.
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn
№Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao AI, BK, CL của tam giác ấy.
Gọi H là giao điểm của các đường cao vừa vẽ.
a) Chỉ ra các tứ giác nội tiếp có đỉnh lấy trong số các điểm A, B, C, H, I, K, L.
b) Chứng minh
LBH
∧
,
LIH
∧
,
KIH
∧
và
KCH
∧
là 4 góc bằng nhau.
c) Chứng minh KB là tia phân giác của
LKI
∧
.

KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 7 * TỨ GIÁC NỘI TIẾP
1. KHÁI NIỆM TỨ GIÁC NỘI TIẾP :
Định nghĩa
Ví dụ: Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
Tứ giác MNPQ, MNP’Q không là tứ giác nội tiếp.
2. ĐịNH LÍ:
Chứng minh: Â +
C
∧
= 180
0
;
B
∧
+
D
∧
= 180
0
Hướng dẫn: Cộng số đo hai cung cùng căng một dây
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác
nội tiếp đường tròn (gọi tắc là tứ giác nội tiếp)
Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180
0
.

Chứng minh: Â +
C
∧
=
1
2
sđ
¼
BCD
+
1
2
sđ
¼
BAD
=
1
2
(sđ
¼
BCD
+ sđ
¼
BAD
) = 180
0
.
3. ĐịNH LÍ ĐẢO:
ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP***ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP
ĐỀ SỐ 8

LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1: a) Tính cạnh của một ngũ giác đều nội tiếp đường tròn bán kính 3cm.
b) Tính cạnh của một ngũ giác đều ngoại tiếp đường tròn bán kính 3cm.
№Bài 2: Tính cạnh của hình tám cạnh đều theo bán kính R của đường tròn ngoại tiếp.
Cách 1 : Áp dụng công thức: C
a = 2Rsin
0
180
n
. A B
Cách 2: Tính trực tiếp
Vẽ dây AB là cạnh của một hình vuông
nội tiếp đường tròn (O), gọi C là điểm
chính giữa của cung nhỏ AB. Khi đó O
CA là cạnh của hình tám cạnh đều
nội tiếp.
Hãy tính CA trong tam giác vuông CAC’
C’
№Bài 3: Trong đường tròn (O ; R) cho một dây AB bằng cạnh hình vuông nội tiếp và dây BC
bằng cạnh tam giác đều nội tiếp (điểm C và điểm A ở cùng một phía đối với BO).
Tính các cạnh AB, BC của tam giác ABC và đường cao AH của nó theo R.

KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 8 * ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP *** ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP
1. ĐỊNH NGHĨA :
Đường tròn (O,R) là đường tròn ngoại tiếp
hình vuông ABCD. Hình vuông ABCD là
Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180
0

thì tứ giác đó nội tiếp được
đường tròn.
HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *0977.676.653.
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn
hình vuông nội tiếp đường tròn (O;R)

2. ĐỊNH LÍ :
Trong đa giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm của đường tròn nội tiếp và
được gọi là tâm của đa giác đều.
Công thức tính cạnh đa giác đều theo bán kính của:
• Đường tròn ngoại tiếp:
a = 2Rsin
0
180
n
.
• Đường tròn nội tiếp:
a = 2r. tg
0
180
n
.
ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN ***CUNG TRÒN
ĐỀ SỐ 9
LỚP DẠY KÈM TOÁN 9
№Bài 1: Cho hai đường tròn có bán kính lần lượt là R = 1km và r = 1m. Nếu độ dài của mỗi
đường tròn ấy đều tăng thêm 1m thì bán kính của mỗi đường tròn ấy tăng thêm bao nhiêu ? Hãy giải
thích.

№Bài 2: Mát-xcơ-va có vĩ độ là 56
0
Bắc. Tìm độ dài cung kinh tuyến từ Mát-xcơ-va đến Xích
Đạo, biết rằng mỗi kinh tuyến là một nửa đường tròn lớn của Trái Đất, có độ dài khoảng 20 000km.
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH

• Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa
giác và đa giác được gọi là nội tiếp đường tròn.
• Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp
đa giác và đa giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.
Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một
đường tròn nội tiếp.
№Bài 3: Tính độ dài của cung 36
0
45’ của một đường tròn có bán kính là R.
№Bài 4: Cho tam giác cân ABC có
B
∧
= 120
0
, AC = 6cm. Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp
tam giác đó.
№Bài 5: Trong dân gian Việt Nam có lưu truyền quy tắc sau đây để tìm đường kính khi biết
độ dài đường tròn: “Quân bát, phát tam, tổn ngũ, quân nhị” tức là chia đường tròn thành tám phần, bỏ
đi ba phần, còn lại năm phần, lại chia đôi.
a) Theo quy tắc đó thì số
π
được lấy gần đúng là bao nhiêu ?
b) Hãy áp dụng quy tắc trên để tính đường kính của một thân cây gần tròn bằng cách dùng dây
quấn quanh thân cây.

KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 9 * ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN ***CUNG TRÒN
1. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN :
“Độ dài đường tròn” (cũng gọi là “chu vi hình tròn”)được kí hiệu là C
Độ dài C của một đường tròn bán kính R được tính theo công thức:
Nếu gọi d là đường kính đường tròn( d = 2R) thì:

π
(đọc là “pi” là kí hiệu của một số vô tỉ mà giá trị
gần đúng thường được lấy là
π
14,3≈
2. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI CUNG TRÒN :



VÍ DỤ : Tính độ dài cung 60
0
của đường tròn có bán kính 2dm.
Bài giải :
C= 2
π
R

C =
π
d
Trên đường tròn bán kính R, độ dài l của một cung n

0
được tính theo công thức:
l =
180
n.Rπ
HỌC TẬP ĐỂ PHÁT TRIỂN TÀI NĂNG *** ĐÁ MÀI ĐỂ LÀM DAO SẮC BÉN
CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG
Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *0977.676.653.
Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn
Áp dụng công thức l =
180
n.Rπ
ta có:
l =
)dm(21)dm(09,2
3
214,3
180
60214,3
≈≈
×
=
××

Vậy độ dài cung 60
0
của đường tròn có bán kính 2dm gần bằng 21 dm.
KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH