Hàm số phân thức khóa luyện thi đảm bảo hocmai.vn

De_bai-Tiep_tuyen_phan_thuc.doc
Dap_an-Tiep_tuyen_ham_phan_thuc.doc
De_bai-Cuc_tri_phan_thuc.doc
ap-Cuc_tri_phan_thuc.do
c
De_bai-Tuong_giao_phan_thuc.doc
Dap_an-Tuong_giao_phan_thuc.doc
De_bai_bai-Tiem_can_phan_thuc.doc
Dap_an-Tiem_can_phan_thuc.doc
CHUYEN DE II:
HAM SO PHAN THUC
Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN TIẾP TUYẾN HÀM PHÂN THỨC
Câu I: Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
 


(C)
I.1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C)
I.2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận.
I.3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
 
M C


, biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác
có diện tích bằng 1.
I.4. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
 
M C

, biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác
cân.
Câu II: Cho hàm số
 
1
m x m
y
x m
 



 
m
C

II.1. CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định.
II.2. Tiếp tuyến tại
 
m
M C

cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR M là trung điểm của AB

II.3. Cho điểm
 
0 0
M x , y

 
3
C
. Tiếp tuyến của
 
3
C
tại M

cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và
B. Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận.
Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất.

………………….Hết…………………
Nguồn:
hocmai.vn



Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

HDG CÁC

BTVN TIẾP TUYẾN HÀM PHÂN THỨC
Câu I: Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
 


(C)
I.1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C)
I.2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận.
I.3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
 
M C

, biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác
có diện tích bằng 1.
I.4. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
 
M C

, biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác
cân.
Giải:
Tập xác định:
1

\
2
 
 
 
 
D R
. Ta có:
 
2
3
' 0,
2 1

   

y x D
x

Bài 1:
Vì đường thẳng x = 2 không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua M (2; 3) có hệ
số góc k có dạng:
 
2 3
y k x
  
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:
 
 
2

1
2 3
2 1
3
2 1
x
k x
x
k
x
 

  










có nghiệm
Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:

 
 
2
2

1 3
2 3 7 4 4 0
2 1
2 1
x
x x x
x
x
  
      


: Vô nghiệm
Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua M đến (C)
Bài 2:
Hàm số có: TCĐ:
1
2
x
 
; TCN:
1
2
y
 
1 1
;
2 2
I
 

  
 
 

Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 5
Vì đường thẳng
1
2
x
 
không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua
1 1
;
2 2
I
 
 
 
 
có hệ số góc k có dạng:
1 1
2 2
y k x
 
  
 
 
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:
 

2
1 1 1
2 1 2 2
3
2 1
x
k x
x
k
x
 
 
  
 


 








có nghiệm

Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:

 

 
2
1 3 1 1 3 3
2 1 2 2 2 1 2 2 1
2 1
x
x
x x x
x
   
 
    
 
  
 

:Vô nghiệm

Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I đến (C)
Bài 3:
Gọi
 
0
0
1 3 1
;
2 4 2
M x C
x
 

  
 
 
. Tiếp tuyến tại M có dạng:
 
0
2 2
0 0 0 0
3 3 1 3 3 1
:
4 4 2 4 2 2
d y x x x
x x x x
 
      

Giả sử
Ox;
A d B d Oy   
suy ra:
 
0 0
0
0
2 3
3
;0 ; 0;
3
x x
x

A B
x
 
 

 
 
 
 

OAB
vuông tạo O
 
2
0
1 2
. 3 1
2 3
OAB
S OAOB x

    


0 0
6 6 6
3
2 2
x x


     

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là:
3 4 6
20
40 12 6
y x
 
 

hay
3 4 6
20
40 12 6
y x
 
 


Bài 4:
Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 5
Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là
1
k
 
. Gọi
   
0 0
;

M x y C

là tiếp điểm
- Nếu
 
0 0
2
0
3 1 3
1 1 2 1 3
2
2 1
k x x
x
  
          


Với
0 0
1 3 1 3
2 2
x y
   
   
tiếp tuyến là:
1 3
y x   

Với

0 0
1 3 1 3
2 2
x y
   
   
tiếp tuyến là:
1 3
y x   

- Nếu
 
 
2
0
2
0
3
1 1 2 1 3
2 1
k x
x

       

: Vô nghiệm
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là:
1 3
y x   
và

1 3
y x   


Câu II: Cho hàm số
 
1
m x m
y
x m
 



 
m
C

II.1. CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định.
II.2. Tiếp tuyến tại
 
m
M C

cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR M là trung điểm của AB
II.3. Cho điểm
 
0 0
M x , y


 
3
C
. Tiếp tuyến của
 
3
C
tại M

cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và
B. Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận.
Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất.

Giải:

Bài 1:
Gọi
 
0 0
;M x y
là điểm cố định của hàm số
 
0
0
0
1
;
m x m
y m
x m

 
  



   
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
1 0;
1 0 0
0 1
m x y x x y m
x y x
x x y y
      
   
 
 
 
   
 

Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 4 of 5
Với
 
0; 1
M


, tiếp tuyến tại M là:
 
' 0 1 1y y x x    

Vậy đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định
1y x  
tại
 
0; 1
M

.
Bài 2:
Ta có:
2
1
m
y m
x m
   

TCĐ:
x m
và TCN:
1
y m
 

Gọi
 

2
; 1 , 0
m
m
M a m m C a
a
 
    
 
 
. Tiếp tuyến tại M có dạng:
    
2 2 2
2
: ' 1 1
m m m
d y y a m x a m m x a m m
a a a
             

Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:

 
2
2
2 ; 1 ; ; 1
m
A a m m B m m
a
 

   
 
 

Nhận thấy
2
2
A B M
A B M
x x x
y y y
 



 

M là trung điểm của AB (đpcm)
Bài 3:
Điểm
 
3
9 9
: 2 3 ;2
3
M C y M
x


 

     
 

 

Phương trình tiếp tuyến của M có dạng:
2 2
9 18 27
: 2y x
  
     

Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:
 
18
2 3;2 ; 3;2A B
a

 
 
 
 

Vì I là giao điểm của 2 tiệm cận nên
 
3;2
I

+
IAB

vuông tại I nên:
1 1 18
. . . 2 . 18
2 2
IAB
S IA IB



  
(đvdt)
+ Chu vi tam giác IAB là:
Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 5 of 5

2
2
18 18
2 4p IA IB AB
 
 
 
      
 
 


2
2
18 18

2 2 2 4 12 2.2.18 12 6 2
 
 
 
      
 
 

Dấu = xảy ra
18
2 3
 

    
 
6;5
M
hoặc
 
0; 1
M



………………….Hết…………………
Nguồn:
hocmai.vn

Bài 2: Cực trị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN CỰC TRỊ CỦA HÀM PHÂN THỨC
Cho hàm số
2 2
2 1 3x mx m
y
x m
  


. Tìm tham số m để hàm số có:
Câu 1. Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.
Câu 2. Hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O lập thành tam giác vuông tại O.
Câu 3. Hai điểm cực trị cùng với điểm M(0; 2) thẳng hàng.
Câu 4. Khoảng cách hai điểm cực trị bằng
10
m
.
Câu 5. Cực trị và tính khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX.
Câu 6. Cực trị và thỏa mãn:
2 3
CD CT
y y 
.

………………….Hết…………………

Nguồn:

Hocmai.vn





Bài 2: Cực trị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

HDG

CÁC BTVN CỰC TRỊ CỦA HÀM PHÂN THỨC
Cho hàm số
2 2
2 1 3x mx m
y
x m
  


. Tìm tham số m để hàm số có:
Câu 1. Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.
Câu 2. Hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O lập thành tam giác vuông tại O.
Câu 3. Hai điểm cực trị cùng với điểm M(0; 2) thẳng hàng.
Câu 4. Khoảng cách hai điểm cực trị bằng
10
m

.
Câu 5. Cực trị và tính khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX.
Câu 6. Cực trị và thỏa mãn:
2 3
CD CT
y y 
.
Giải:
Tập xác định:
 
\
D R m


Ta có:
   
2 2
2 2
1 1 2 1
3 ' 1
x xm m
y x m y
x m
x m x m
  
      

 

Câu 1:

Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung

y’ = 0 có 2 nghiệm trái dấu

2 2
( ) 2 1
g x x xm m
    
có 2 nghiệm trái dấu cùng khác m

2
1 0
1 1
( ) 0
m
m
g m

 
    




Vậy
 
1;1
m 

Câu 2:

Có:
1
2
1
' 0
1
x x m
y
x x m
  

 

  


Do đó hàm số luôn đạt cực trị tại
1 2
;x x
. Ta có:
   
1 1 2 2
4 2; 4 2
y y x m y y x m
     

Gọi 2 điểm cực trị là
   
1;4 2 ; 1;4 2
A m m B m m

   

Bài 2: Cực trị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3

OAB
vuông tại O
. 0
OA OB OA OB
   
 


     
2
1 1 4 2 4 2 0
85
17 5 0
17
m m m m
m m
      
     

Vậy
85
17
m  
là giá trị cần tìm.
Câu 3:.

Ta có:
   
1;4 2 ; 1;4MA m m MB m m
    
 

A, M, B thẳng hàng
    
|| 4 1 1 4 2
MA MB m m m m
     
 


1
6 2
3
m m
   

Đáp số:
1
3
m


Câu 4:
Ta có:
2
10 4 4 10 2

AB m m m     

Câu 5:
Mọi giá trị m thì hàm số luôn có cực trị.
Vì
 
1
lim 3 lim 0 3
x x
y x m y x m
x m
 
       
 

là TCX của hàm số.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = m – 1. Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX là:
   
1 4 2 3
1
2 2
m m m
h
   
 

Câu 6:
Ta có:
3
4

2 3 8 2 3
3
4
CD CT
m
y my
m




    

 



Bài 2: Cực trị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 3
Đáp số:
3 3
; ;
4 4
m
   
    
   
   
   
s

………………….Hết…………………


Nguồn:

Hocmai.vn
Bài 3: Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC

Câu 1: Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
 


(C)
Tìm m để (C) cắt đường thẳng
 
: 2 1
m
d y mx m
  
tại 2 điểm phân biệt A, B:
a. Thuộc 2 nhánh của đồ thị (C)

b. Tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau
c. Thỏa mãn điều kiện
4 . 5
OA OB

 

Câu 2: Cho hàm số
 
2
3 3
2 1
x x
y
x
  


(1)
a. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho AB=2
b. Tìm m để đường thẳng d:
 
2 3
y m x
  
và đường cong (1) cắt nhau tại
A, B phân biệt sao cho M(2; 3) làm trung điểm của AB.
Câu 3: Cho hàm số
 
1

m x m
y
x m
 



 
m
C

Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình:
a.
2
2 3
1 log
3
x
m
x

 


b.
2 3
2 1 0
3
x
m

x

  


………………….Hết…………………
Nguồn:

Hocmai.vn

Bài 3:Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

HDG CÁC

BTVN TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC


Câu 1: Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
 


(C)
Tìm m để (C) cắt đường thẳng
 

: 2 1
m
d y mx m
  
tại 2 điểm phân biệt A, B:
a. Thuộc 2 nhánh của đồ thị (C)
b. Tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau
c. Thỏa mãn điều kiện
4 . 5
OA OB

 

Giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
   
2
1
2 1 5 1 2 2 0
2 1
x
mx m f x mx m x m
x
 
         

với
1
2
x

 


 
C
cắt
 
m
d
tại 2 điểm phân biệt A, B
 
0
f x
 
có 2 nghiệm phân biệt khác
1
2


2
0
0
17 2 9 0
6
1 1 3
0
2 4 2
m
m
m m

m
f m







      
 
 


 

    
 

 

(*)
a. Hai điểm A, B thuộc 2 nhánh của đồ thị

 
0
f x
 
có 2 nghiệm phân biệt
1 2

;x x
mà
1 2
1
2
x x  


0
1 1 3
0
6
2 4 2
m
mf m m
m


   
      
   

 
   


b. Hệ số góc của tiếp tuyến tại A. B lần lượt là:
 
 
 

 
2 2
3 3
' ; '
2 1 2 1
A A B B
A B
k y x k y x
x x
 
   
 

Bài 3:Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Page 2 of 5

   
2 2
3 3
. . 0
2 1 2 1
A B
A B
k k
x x
  
 
nên hai tiếp tuyên tại A, B không thể vuông
góc với nhau. Vậy không tồn tại m thảo mãn bài toán.
c. Gọi

1 2
;x x
là 2 nghiệm của f(x). Giả sử
   
1 1 2 2
; 2 1 ; ; 2 1
A x mx m B x mx m
   

Theo viet ta có:
1 2
1 2
5 1
2 2
m
x x
m
m
x x
m


  










Có:
5
4 . 5 . 0
4
OAOB OAOB
   
   


  
 
    
 
      
 
1 2 1 2
2
2
1 2 1 2
2
2
3 2
2
5
2 1 2 1 0
4
5
1 2 1 2 1 0

4
5
1 2 2 2 1 5 1 2 1 0
4
3
4 2 0
4
3
2 1 0
4
1 3
2 4
x x mx m mx m
m x x m m x x m
m m m m m m m
m m m
m m
m m
       
        
         
    
 
   
 
 

   

Đáp số:

1 3
;
2 4
m

 

 
 

Câu 2: Cho hàm số
 
2
3 3
2 1
x x
y
x
  


(1)
a. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho AB=2
b. Tìm m để đường thẳng d:
 
2 3
y m x
  
và đường cong (1) cắt nhau tại
A, B phân biệt sao cho M(2; 3) làm trung điểm của AB.

Giải:
a) Xét phương trình hoành độ giao điểm:
 
   
2
2
3 3
2 3 3 2 0
2 1
x x
m f x x m x m
x
  
       

; với
1x 

Bài 3:Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Page 3 of 5
Để hàm số (1) cắt đường thẳng y = m tại 2 điểm phân biệt
 
0
f x
 
có 2
nghiệm phân biệt khác 1
   
 
2

3
2 3 4 3 2 0
2
1
1 0
2
m
m m
f
m




     

 






 


(*)
Với điều kiện (*), gọi
1 2
;x x

là nghiệm của
 
0
f x

. Theo viet có:
1 2
1 2
3 2
3 2
x x m
x x m
  


 


Tọa độ A, B là:
   
1 2
; ; ;A x m B x m
. Ta có:

   
2 2
2
1 2 1 2 1 2
2 2 4 2
AB x x x x x x

       


   
2
2
1 6
3 2 4 3 2 2 4 4 5 0
2
m m m m m

          

Đáp số:
1 6
2
m



a. Xét phương trình hoành độ giao điểm:

 
       
2
2
3 3
2 3 2 1 3 1 2 4 3 0
2 1
x x

m x f x m x m x m
x
  
          

; với
1x 

Để hàm số (1) cắt đường thẳng
 
2 3
y m x
  
tại 2 điểm phân biệt
 
0
f x
 
có 2
nghiệm phân biệt khác 1

    
 
2
7 2 7
2
2 1 0
7 2 7
9 1 2 4 2 1 4 3 0
2

1 0
1
2
m
m
m m m
m
f
m




 






        













 





Với điều kiện trên, gọi
1 2
;x x
là nghiệm của
 
0
f x

 
1 2
3 1 2
2 1
m
x x
m

   


Gọi 2 giao điểm là
 

 
 
 
1 1 2 2
; 2 3 ; ; 2 3
A x m x B x m x
   
.
Bài 3:Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Page 4 of 5
Điểm
 
2;3
M d
là trung điểm của AB
 
1 2
3 1 2
7
4 4
2 1 2
m
x x m
m

        


Vậy
7

2
m
 


Câu 3: Cho hàm số
 
1
m x m
y
x m
 



 
m
C

Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình:
a.
2
2 3
1 log
3
x
m
x

 



b.
2 3
2 1 0
3
x
m
x

  


Giải:
Số nghiệm của phương trình
   
f x g m

là số giao điểm của đường cong
 
y f x

và
đường thẳng
 
y g m

song song với trục hoành Ox khi vẽ lên hệ trục tọa độ Oxy.
a) Vẽ đồ thị hàm số
 

2 3
:
3
x
C y
x



như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành Ox của
 
3
C
- kí hiệu là
 
t
C

- Lấy đối xứng phần đồ thị dưới trục hoành Ox qua Ox – kí hiệu
 
'
t
C


 
 
 
'

t t
C C C
  
(Các bạn tự vẽ hình)
Kết luận:
1
2
m

phương trình vô nghiệm

1
;2
2
m
 

 
 
phương trình có nghiệm duy nhất

 
1
;2 2;
2
m
 
  
 
 

phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Bài 3:Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Page 5 of 5
b) Vẽ đồ thị hàm số
 
2 3
' :
3
x
C y
x



như sau:
- Giữ nguyên nhánh phải của
 
3
C
- kí hiệu là
 
p
C

- Lấy
 
'
p
C
đối xứng nhánh trái của

 
3
C
qua trục hoành Ox

 
 
 
'
p p
C C C
  
(Các bạn tự vẽ hình)
Kết luận:
1
2
m
 
phương trình vô nghiệm

1 3
2 2
m
  
phương trình có nghiệm duy nhất

3
2
m


phương trình có 2 nghiệm phân biệt
………………….Hết…………………
Nguồn:

Hocmai.vn

Bài 4: Tiệm cận hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN TIỆM CẬN HÀM PHÂN THỨC
Câu 1: Cho hàm số
 
2
3 3
2 1
x x
y
x
  


(1)
a. Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min.
b. Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ.
Câu 2: Cho hàm số
1
2 1
x
y

x
 


(C)
a. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục
tọa độ đạt GTNN
b. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm
cận đạt GTNN
c. Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min.

………………….Hết…………………
Nguồn:

Hocmai.vn

Bài 4:Tiệm cận hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

HDG CÁC

BTVN TIỆM CẬN HÀM PHÂN THỨC

Câu 1: Cho hàm số
 
2
3 3
2 1
x x

y
x
  


(1)
a. Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min.
b. Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ.
Giải:
a. Ta có:
   
2
3 3 1 1
1
2 1 2 2 1
x x
y x
x x
   
   
 

Gọi
1 1
1;
2 2 2
A





 
  
 
 
thuộc nhánh trái,
1 1
1;
2 2 2
B



 

  
 
 
thuộc
nhánh phải của đồ thị hàm số với
0
 
 
.
Ta có:
   
2
2
2
1 1 1

4
AB
   
 
 
 
     
 
 
 
 


 
2
2
2
1 1 1 1
1 1 4 1 1
4 4
  
 
 
 
 
 
 
        
 
 

 
 
 
 
 
 
 


1
5 2 2 2 5


    

Dấu = xảy ra
4
1
1
5
5
 
 

 


    






Vậy
4 4
4 4 4 4
1 1 5 1 1 1 5 1
1; ; 1;
2 2 2 2
5 2 5 5 2 5
A B
   
       
   
   
   
thì
min
2 2 5
AB  

b. Hàm số có TCX:
1
: 1
2
y x

  
.
Gọi

 
Ox 2;0
A A   
;
 
Oy B 0;1
B    

Bài 4:Tiệm cận hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3
Nên
1
. 1
2
OAB
S OA OB

 
(đvdt)


Câu 2: Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
 



(C)
a. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục
tọa độ đạt GTNN
b. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm
cận đạt GTNN
c. Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min.
Giải:
a. Gọi
 
0 0
0
1 3 1
; ; 0
2 4 2
M x C x
x
 
   
 
 
. Tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ
là:
0
0
1 3 1
2 4 2
d x
x
   

Với
0
1 1
0 1
2 2
x d
    

Với
0 0 0
0 0
1 3 1 3
0 1 3 1
2 4 2 4
x d x x
x x
   
 
          
   
 
 
   

Dấu = xảy ra khi
0 0
0
3 3 3 1 3 1
;
4 2 2 2

x x M
x
 
 
   
 
 
 

Vậy
3 1 3 1
;
2 2
M
 
 
 
 
 
thì
min
3 1
d
 

b. . Khoảng cách tứ M đến TCN, TCĐ làn lượt là:
1 0
d x

;

2
0
3
4
d
x




1 2 0 0
0 0
3 3
2 . 3
4 4
d d d x x
x x
     
, dấu = xảy ra khi
0
3
2
x  

Bài 4:Tiệm cận hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 3
Kết luận:
3 1 3 1
;
2 2

M
 
 
 
 
 
hoặc
3 1 3 1
;
2 2
M
 
   
 
 
 
là các điểm cần tìm

c . Gọi
1 3 1
;
2 4 2
A a
a
 
 
 
 
thuộc nhánh trái,
1 3 1

;
2 4 2
B b
b
 
 
 
 
thuộc nhánh phải
của đồ thị hàm số (C), với
0
a b 
. Ta có:

   
 
2
2
2
2
3 3 3 3 3
2
4 4 4 4 2
b a
AB b a b a
b a b a ab

   
       
   

   
3 4
. 6
2
ab
ab

 


Dấu bằng xảy ra
 
2
2
3
2
3 3
3
4 4
2
b a
a
b a
b
b a

 

 


 
 
 
 
  
 
 

 




Vậy hai điểm cần tìm là:
3 1 3 1
;
2 2
A
 
   
 
 
 
;
3 1 3 1
;
2 2
B
 
 

 
 
 
thì
min
6
AB 

………………….Hết…………………
Nguồn:

Hocmai.vn