Chuyên đề 10 số phức khóa luyện thi đảm bảo Phan Huy Khải

Bài 1: Các phép tính về Số phức và Modul của số phức – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN BÀI CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ PHỨC VÀ MODUL CỦA SỐ PHỨC



Bài 1: Tìm số phức z nếu:
(
)
2 3 1
+ = −
i z z

Bài 2: Giả sử M là ñiểm trên mặt phẳng tọa ñộ biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những ñiểm M thõa
mãn một trong các ñiều kiện sau:

/ 1 2
/ 2 2
/ 1 1 2
− + =
+ > −
≤ + − ≤
a z i
b z z
c z i

Bài 3: Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M biểu diễn các số phức z thõa mãn một trong các ñiều kiện
sau.

( )
2
2
/ 3 4
/ 4
a z z
b z z
+ + =
− =

Bài 4: Xác ñịnh tập hợp các ñiểm biểu diễn các số phức z thõa ñiều kiện sau:

3
=
−
z
z i

Bài 5: Tìm tất cả những ñiểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho:

+
+
z i
z i
là số thực.
Bài 6: Tính giá trị của biểu thức:

5 7 9 2009
2
4 5 6 2010

( 1)

+ + + +
= = −
+ + +
i i i i
P i
i i i i



………………….Hết………………

Nguồn: Hocmai.vn

Bài 1: Các phép tính về Số phức và Modul của số phức – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN BÀI CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ PHỨC VÀ MODUL CỦA SỐ PHỨC



Bài 1: Tìm số phức z nếu:
(
)
2 3 1
+ = −
i z z

Giải:
Ta có:
1 3 1 1 3
(1 3 ) 1
1 3 10 10 10
− −
+ = − ⇔ = = = − +
+
i
z i z i
i


Bài 2
: Gi
ả
s
ử
M là
ñ
i
ể
m trên m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a

ñộ
bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c z. Tìm t
ậ
p h
ợ
p nh
ữ
ng
ñ
i
ể
m
M thõa mãn m
ộ
t trong các
ñ
i
ề
u ki
ệ
n sau:

/ 1 2
/ 2 2
/ 1 1 2
− + =
+ > −
≤ + − ≤
a z i
b z z
c z i


Giải:
a/ Ta th
ấ
y : M là
ñ
i
ể
m trên m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
ñộ
bi
ể
u di
ễ

n s
ố
ph
ứ
c z
và A(1;-1) là
ñ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c z= 1-i . Theo gi
ả
thi
ế
t ta có: MA=2.
V
ậ
y t
ậ
p h
ợ
p nh
ữ

ng
ñ
i
ể
m M chính là
ñườ
ng tròn tâm A(1;-1) bán kính là R=2.
b/ Ta có: 2+z =z - (-2)
Ta th
ấ
y : M là
ñ
i
ể
m trên m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
ñộ
bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ

c z và A(-2;0) là
ñ
i
ể
m
bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c z= -2 , B(2;0) là
ñ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c z= 2.
D
ự
a vào gi
ả

i thi
ế
t ta có: MA>MB => M(n
ằ
m bên ph
ả
i)
ñườ
ng trung tr
ự
c (x=0) c
ủ
a A
và B. Hay x>0.
c/ Ta có:
1 ( 1 )
z i z i
+ − = − − +

Ta th
ấ
y : M là
ñ
i
ể
m trên m
ặ
t ph
ẳ
ng t

ọ
a
ñộ
bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c z và A(-1;1) là
ñ
i
ể
m
bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c z= -1+i. Ta có:
1 2
MA
≤ ≤
.
V

ậ
y M thu
ộ
c mi
ề
n có hình vành kh
ă
n t
ạ
o b
ở
i 2
ñườ
ng tròn tâm A(-1;1) bán kính l
ầ
n
l
ượ
t là 1 và 2.

Bài 3
: Xác
ñị
nh t
ậ
p h
ợ
p các
ñ
i

ể
m M bi
ể
u di
ễ
n các s
ố
ph
ứ
c z thõa mãn m
ộ
t trong các
ñ
i
ề
u ki
ệ
n sau.
Bài 1: Các phép tính về Số phức và Modul của số phức – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Page 2 of 3

( )
2
2
/ 3 4
/ 4
+ + =
− =
a z z
b z z

Giải:
ðặ
t: z=a+bi
a/ Ta có:

1
2
4 2 3 3 2 3 4
7
2

=

+ = + ⇔ + + = + = ⇔


= −


a
z z a z z a
a

V
ậ
y M có th
ể
n

ằ
m trên
ñườ
ng th
ẳ
ng x=1/2 ho
ặ
c x=7/2
b/ Ta có:

( )
2
2
1
4 4 4
1
∈ =

− = = = ⇔

∈ = −

M xy
z z abi ab
M xy



Bài 4
: Xác

ñị
nh t
ậ
p h
ợ
p các
ñ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n các s
ố
ph
ứ
c z thõa
ñ
i
ề
u ki
ệ
n sau:

3
=
−
z
z i

Giải:

G
ọ
i z =a+bi ta có:

(
)
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
3 ( 1) 9 2 1 8 8 18 9 0
9 81 9 9 9 9 3
8 8( ) 0 8 8( ) ( )
4 64 8 8 8 8 8
+ = + − ⇔ + = + − + ⇔ + − + =
 
⇔ + − + − = ⇔ + − = ⇔ + − =
 
 
a bi a b i a b a b b a b b
a b b a b a b

V
ậ
y qu
ỹ
tích các

ñ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c z chính là
ñườ
ng tròn tâm I(0;9/8)
bán kính R=3/8.

Bài 5
: Tìm t
ấ
t c
ả
nh
ữ
ng
ñ
i
ể
m c
ủ
a m

ặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c bi
ể
u di
ễ
n các s
ố
ph
ứ
c z sao cho:

+
+
z i
z i
là s
ố
th
ự
c.

Giải:
G
ọ
i z =a+bi ta có:
Bài 1: Các phép tính về Số phức và Modul của số phức – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải

Page 3 of 3

[ ][ ]
[
]
2 2
2 2 2 2
(1 ) 2
0
( 1) (1 )
( 1)
(1 ) 0
(1 ) ( 1) ( 1)
0
0
( ; ) (0;1)
 
+ − +
=
+ + − −

+ +
 
= = ∈ ⇔

+ − ≠
+ − + − + −

 =




⇔
=



≠

ℝ
a b abi
ab
a b i a b i
a b i
a b i
a b i a b a b
a
b
a b

V
ậ
y qu
ỹ
tích các
ñ
i
ể
m bi
ể

u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c z chính là t
ấ
t c
ả
nh
ữ
ng
ñ
i
ể
m n
ằ
m trên 2 tr
ụ
c t
ọ
a

ñộ
b
ỏ

ñ
i

ñ
i
ể
m (0;1)

Bài 6:
Tính giá tr
ị
c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:

5 7 9 2009
2
4 5 6 2010

( 1)

+ + + +
= = −
+ + +
i i i i
P i
i i i i

Giải:

( )
(
)
( ) ( )
1003
2
5 7 9 2009 5 2 4 2004
2
4 6 7 2010 2 3 4 6 7 2010 2 3
2011
1
1 .
1
1 1
1
(1 1 ) 1
1
1 1
1 2 2
−
+ + + + = + + + + = =
−
+ + + = + + + + + + − + +
−
= − − − = +
−
⇒ = = +
+

i
i i i i i i i i i i
i
i i i i i i i i i i i i
i
i i
i
i
P i
i




………………….Hết………………

Nguồn:
Hocmai.vn


Bài 2: Dạng lượng giác của số phức – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN BÀI DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC




Bài 1: Cho số phức z có modul bằng 1 và

ϕ
là 1 acgument của nó:
Hãy tìm 1 acgument của các số phức sau:

2
2
1
/
2
/ (sin 0)
2
3
/ ( os 0)
2
ϕ
ϕ
−
− ≠
+ ≠
a
z
b z z
c z z c

Bài 2
: Tính:
( )
(
)
( )

5
10
10
1 3
1 3
− +
=
− −
i i
z
i

Bài 3
: Vi
ế
t s
ố
ph
ứ
c z d
ướ
i d
ạ
ng l
ượ
ng giác bi
ế
t r
ằ
ng:

1 3
z z i
− = −
và
i z
có m
ộ
t acgument là
π
/6.


………………….Hết………………

Nguồn:
Hocmai.vn


Bài 2: Dạng lượng giác của số phức – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN BÀI DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC


Bài 1: Cho số phức z có modul bằng 1 và
ϕ
là 1 acgument của nó:
Hãy tìm 1 acgument của các số phức sau:

2
2
1
/
2
/ (sin 0)
2
3
/ ( os 0)
2
ϕ
ϕ
−
− ≠
+ ≠
a
z
b z z
c z z c


Giải:
S
ố
ph
ứ
c z có th
ể
vi
ế

t d
ướ
i d
ạ
ng:
os isin
z c
ϕ ϕ
= +


( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1
/ os i sin os i sin
2 os i sin 2 2
2
1
os i sin
2
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ π ϕ π ϕ π
− = − = − + = − − =
 
 
−
+ + + ⇒ = + 

 
a c c
c
z
c acgument


( ) ( )
2
2
2
2
3 3
/ os i sin os isin 2sin sin 2 os sin
2 2 2 2
3 3
ê'u: sin 0 2sin sin os
2 2 2 2
3 3 3
2sin sin os
2 2 2 2 2 2 2
3
ê'u: sin 0 2sin sin
2 2 2
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ π ϕ π ϕ π ϕ
ϕ ϕ ϕ
− = + − + = − +

 
+ > ⇒ − = − +
 
 
 
   
= + + + ⇒ = +
   
 
   
 
+ < ⇒ − = −
b z z c c c i
N z z ic
ic Acgument
N z z
3
os
2
3 3 3
2sin sin os
2 2 2 2 2 2 2
ϕ
ϕ ϕ π ϕ π ϕ π
 
−
 
 
 
   

= − − + − ⇒ = −
   
 
   
 
ic
ic Acgument


( ) ( )
2
2
2
3 3
/ os i sin os isin 2 os os 2 os sin
2 2 2 2
3 3
ê'u: os 0 2 os os sin
2 2 2 2
2
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
+ = + + − = +
 
+ > ⇒ + = +
 
 
⇒ =

c z z c c c c c i
N c z z c c i
Acgument


2
3 3
ê'u: os 0 2 os os sin
2 2 2 2
2
ϕ ϕ ϕ ϕ
π π
ϕ
π
 
   
+ < ⇒ + = − + + +
   
 
   
 
⇒ = +
N c z z c c i
Acgument

Bài 2: Dạng lượng giác của số phức – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Page 2 of 2

Bài 2: Tính:
( )

(
)
( )
5
10
10
1 3
1 3
− +
=
− −
i i
z
i


Giải:

( )
10 5
10
5
10
10
10
10
7 7
2 os sin .2 os sin
4 4 6 6
4 4

2 os sin
3 3
35 35 5 5
2 os sin os sin
2 2 6 6
40 40
2 os sin
3 3
55 55
os sin
3 3
os5 si
40 40
os sin
3 3
π π π π
π π
π π π π
π π
π π
π
π π
   
+ +
   
   
=
 
+
 

 
  
+ +
  
  
=
 
+
 
 
 
+
 
 
= = +
 
+
 
 
c i c i
z
c i
c i c i
c i
c i
c i
c i
n 5 1
π
= −

Bài 3
: Vi
ế
t s
ố
ph
ứ
c z d
ướ
i d
ạ
ng l
ượ
ng giác bi
ế
t r
ằ
ng:
1 3
z z i
− = −
và
iz
có m
ộ
t acgument
là

π
/6.

Giải:


2
2
2
2
2
2
ri os sin os( ) isin( )
2 2 2 6 3
( os isin )
1 3 3 3
( i )= i 1 1 1
2 2 2 2 2 4
3 3 1 3 3
4 2
1 3 1 os i sin
3 3
π π π π π
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
π π
 
= + = − + −
⇒
− =

⇒
=
 
 
= +
 
= + +
⇒
− = − + = − +
 
 
 
− = + − = − +
 
 
⇒
− = − ⇔ =
⇒
= +
iz c r r c
z r c
r r r r
r iz r r
r r
z i r r
iz z i r z c



………………….Hết………………

Nguồn:
Hocmai.vn


Bài 3: Giải phương trình trên tập số phức – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN BÀI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC


Bài 1: Giải phương trình:
2
( os i sin ) os sin 0
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + =
z c z ic


Bài 2: Giải phương trình:
(
)
(
)
2
2 2 2
3 6 2 3 6 3 0(*)
+ + + + + − =z z z z z z

Bài 3: Giải phương trình:
4 3 2
4 7 16 12 0
− + − + =
z z z z


Bài 4: Giải hệ phương trình:
w
w 1
− =


− =

z i
iz


Bài 5: Giải hệ phương trình:
2 2
w w 8
w 1
− − =


+ = −

z z

z



………………….Hết………………

Nguồn: Hocmai.vn

Bài 3: Giải phương trình trên tập số phức – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN BÀI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC


Bài 1: Giải phương trình:
2
( os i sin ) os sin 0
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + =
z c z ic

Giải:

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )

2
2
( os isin ) 4 os sin os2 isin 2 2 sin 2
os2 isin 2 os -2 +isin -2 os - +i sin -
1
( os isin ) os - +isin - isin
2
1
( os isin ) os - +i sin - os
2
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
∆ = + − = + −
= − = =

 
= + − =

 
⇒


 
= + + =
 


c ic c i

c c c
z c c
z c c c

Bài 2: Giải phương trình:
(
)
(
)
2
2 2 2
3 6 2 3 6 3 0(*)
+ + + + + − =z z z z z z

Giải:

2
2 2
: 3 6
(*) 2 3 0 ( )( 3 ) 0
3
+ + =
=

⇒ ⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= −

Coi z z u
u z

u zu z u z u z
u z


1
2 2
2
2 2
3
4
1 5
1 5
3 6 2 6 0
3 6 3 6 6 0
3 3
3 3


= − −



= − +

 
+ + = + + =

⇔ ⇔ ⇔

 

+ + = − + + =


= − −
 


= − +




z i
z i
z z z z z
z z z z z
z
z


Bài 3
: Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
4 3 2
4 7 16 12 0
− + − + =
z z z z

Giải:

Phân tích
ñ
a th
ứ
c v
ế
trái thành nhân t
ử
ta có:

4 3 2 2
4 7 16 12 0 ( 1)( 3)( 4) 0
1
3
2
− + − + = ⇔ − − + =
=


⇔ =


= ±

z z z z z z z
z

z
z i

Bài 4
: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
w
w 1
− =


− =

z i
iz



Bài 3: Giải phương trình trên tập số phức – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Page 2 of 2

Giải:
Coi i nh
ư
1 tham s

ố
ta có:

w
1 1
1
1
1
1
1
1 1
w 1
1
2
1
−
= = − +
−

= = −

−

= = − + ⇒

−

= = − −



= =
x
z
y
D i
i
D
z
D
i
D i
D
i
D
i
D
i

Bài 5: Giải hệ phương trình:
2 2
w w 8
w 1
− − =


+ = −

z z
z

Giải:

( )
2
2 2
w w 8
8 8
w
:
v w
2 1 2 15 0
w 2 w 1
− − =

− = − =
= −
 


⇔
⇒
⇔
   
=
+ = − + − =
− + = −


 


z z
u v u v
u z
Coi
z
u v u u
z z


2
2
5
5 3 3 5 3 3
5 13 0 ( ; w) ;
13
2 2
3
3 14 3 14
3 5 0 ( ; w) ;
5
2 2

 
= −

± + +
⇒ + + = ⇔ =

 


 
= −


 
⇔

 
=

±

⇒ − − = ⇔ =
 

 

= −

 

∓
∓
u
i i
X X z
v
u
X X z
v

………………….Hết………………

Nguồn: Hocmai.vn