Chuyên đề 07 bất đẳng thức và min, max khóa luyện thi đảm bảo

De_bai_bai_01.pdf
Dap_an_bai_01.pdf
De_bai_bai_02.pdf
Dap_an_bai_02.pdf
De_bai_bai_03.pdf
Dap_an_bai_03.pdf
Bài 1: Sử dụng bất ñẳng thức Côsi c/m BðT và tìm Min, Max – LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI SỬ DỤNG BẤT ðẲNG THỨC CÔSI ðỂ CHỨNG MINH BðT VÀ TÌM
MIN, MAX


Bài 1: Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
CMR:
3
2 2 2 4
x x x
x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +

Bài 2: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1
CMR:
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x
+ + ≥
+ + +

Bài 3: Cho 3 số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0.
CMR:
2 4 2 4 2 4 3 3
x y z
+ + + + + ≥

Bài 4: Cho 3 số dương tùy ý a,b,c:
Tìm Min:
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2
a b c
A a b b c c a
b c a
 
= + + + + + + + +
 
 

Bài 5: Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
Tìm Min của:
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
   
 

= + + + + +
   
 
 
   

………………….Hết…………………

Nguồn: Hocmai.vn




Bài 1: Sử dụng bất ñẳng thức Côsi c/m BðT và tìm Min, Max – LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI SỬ DỤNG BẤT ðẲNG THỨC CÔSI ðỂ CHỨNG MINH BðT VÀ TÌM
MIN, MAX


Bài 1: Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
CMR:
3
2 2 2 4
x x x
x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +

Giải:

Ta có:

( ) ( )
1 1 1 1 1
2 4
1
2 4
1 1 3
2 4 4 4
1
2 4
x y z x y x z x y x z
x x x
x y z x y x z
y y y x y y z x z
VT
x y z x y y z x y y z x z
z z z
x y z x z y z
 
= ≤ +
 
+ + + + + + +
 

 
≤ +

 
+ + + +

 


   
+ + +

⇒ ≤ + ⇒ ≤ + + =

   
+ + + + + + +
   


 

=≤ +
 
+ + + +

 


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z
Bài 2: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1
CMR:
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x

+ + ≥
+ + +

Giải:
Ta có:

2
2
3
2
1
1 4
9 3
1 3 ( ) 3( ) 3 3
( )
1 4 4 4 4 2
1
1 4
x y
x
y
xyz
y z x y z x y z
y VT x y z
z
z x
z
x

+

+ ≥

+


−
+ + + + + + −

+ ≥ ⇒ ≥ + + − = ≥ =

+


+
+ ≥

+



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
Bài 3: Cho 3 số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0.
Bài 1: Sử dụng bất ñẳng thức Côsi c/m BðT và tìm Min, Max – LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3
CMR:
2 4 2 4 2 4 3 3
x y z
+ + + + + ≥

Giải:

ðặt:

( )
1 1 1 1
3
6 6 6 6
(1)
1
18
4
, , 0
4 à : 2 2 2 3 3 (1)
1
4
ó : 2 1 1 3 2 3. 3.
3 3. 3 3
x
y
z
a
a b c
b V a b c
abc
c
Ta c a a a a a VT a b c
abc

=
>



= ⇒ + + + + + ≥
 
=


=

 
+ = + + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥ + +
 
 
≥ =

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0
Bài 4: Cho 3 số dương tùy ý a,b,c:
Tìm Min:
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2
a b c
A a b b c c a
b c a
 
= + + + + + + + +
 
 

Giải:

( )
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
3 3 3 3 3
3
3 3 3 3 3 3
3
3 3 3
3
2 2 2
3 3
4( ) 4( ) 4( ) 2
ì :4( ) 8 ( ) 4( ) 2
4( ) 4( ) 4( ) 2 6
1 1
à 2 6 6 12 12
a b c
A a b b c c a
b c a
V a b ab a b ab
a b b c c a ab bc ca abc
a b c
V A abc Min A
b c a
abc abc
 
= + + + + + + + +

 
 
+ ≥ ⇒ + ≥
⇒ + + + + + ≥ + + ≥
 
 
+ + ≥ ⇒ ≥ + ≥ ⇒ =
 
 
 
 

D
ấ
u “=” x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi a=b=c=1.
Bài 5
: Cho 3 s
ố
d
ươ
ng tùy ý x,y,z.
Tìm Min c
ủ
a:
1 1 1
2 2 2

x y z
P x y z
yz zx xy
   
 
= + + + + +
   
 
 
   


Giải:
Ta có:
Bài 1: S
ử
d
ụ
ng b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c Côsi c/m B
ð
T và tìm Min, Max – LT
ð
H
ñả

m b
ả
o – Th
ầ
y Phan Huy Kh
ả
i
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t Page 3 of 3

( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3
2
3
2
3
2
3
1 1
2 2 2

1 1 1 1 1 3 1
ì : 3 ( ) à 1 .
2 2 2
( )
3 1 9 9
3 ( ) . .
2 2 2
( )
x y z x y z x y z x y z
P x y z
xyz xyz xyz xyz xyz
V x y z xyz V
xyz xyz xyz
xyz
P xyz MinP
xyz
 
+ + + + + +
= + + + = + = + + +
 
 
 
+ + ≥ + = + + ≥
 
 
⇒ ≥ = ⇒ =

D
ấ
u “=” x

ả
y ra khi và ch
ỉ
khi x=y=z=1
………………….Hết…………………


Nguồn:
Hocmai.vn




Bài 2: SD chiều biến thiên c/m BðT và tìm Min,Max – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
BTVN BÀI SỬ DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CHỨNG MINH BðT VÀ TÌM
MIN, MAX CỦA HÀM SỐ


Bài 1: Tìm Min, Max của:
( )
( )
2
2 2 2 2
3 12
xy
A
x y x x y
=
+ + +

Bài 2: Cho 3 số thực thõa mãn: x
2
+ y
2
+ z
2
=1.
Tìm Min, Max của:
( ) ( )
P x y z xy yz zx
= + + − + +

Bài 3
: Cho 2 s
ố
d
ươ
ng x,y thõa mãn: x+y=5/4. Tìm Min c
ủ
a:
4 1
4
A
x y
= +

Bài 4
: CMR: V
ớ

i m
ọ
i tam giác ABC ta luôn có:
Bài 5
: Cho 2 s
ố
không âm tùy ý x,y thõa mãn x+y=1: Tìm Min, Max c
ủ
a:
1 1
x y
S
y x
= +
+ +



………………….Hết…………………
Nguồn:
Hocmai.vn




Bài 2: SD chiều biến thiên c/m BðT và tìm Min,Max – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
BTVN BÀI SỬ DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CHỨNG MINH BðT VÀ TÌM
MIN, MAX CỦA HÀM SỐ

Bài 1: Tìm Min, Max của:
( )
( )
2
2 2 2 2
3 12
xy
A
x y x x y
=
+ + +

Giải:

(
)
( )
(
)
( )
( )( )
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2

2
2
2 2
1
ó : . :
3 1 1 12
1 1 12
1
1
1 3 12
1 3 1 1 12
3 1 1 12
1 1 12 1 1
. : 1 12 ( 1) 3 ( )
3 12 4 3
1
'( ) 0 3 ( ) (
3
y
Ta c A Coi t
x
x y
y x
t t
t
A
t t
t t
t
t

t u
Coi u t u A f u
t u
u
f u A f u f
u
= =
 
 
 
 
 
 +  + +
 
 
 
 
 
 
 
 
− +
⇒ = = =
 
+ −
+ + +
+ + +
 
 
+ − −

= = + ≥ ⇒ = =
+ +
= −

⇒ = ⇔ ⇒ = ≤

=

1 1
3) ax .
6 18
à : lim ( ) 0 0
u
M A
V f u MinA
→∞
= ⇒ =
= ⇒ =

Bài 2: Cho 3 số thực thõa mãn: x
2
+ y
2
+ z
2
=1.
Tìm Min, Max của:
( ) ( )
P x y z xy yz zx
= + + − + +

Giải:

ðặ
t:

2 2 2 2
2 2
3( ) 3 3; 3
1 2 1
à ( ) '( ) 0 1 3; 3
2 2
ax (1) 1
ó :
( 3) ( 3 1)
t x y z t x y z t
t t t
V P t f t f t t
M P f
Qua BBT ta c
MinP f
 
= + + ⇒ ≤ + + = ⇒ ∈ −
 
− − + +
 
= − = = ⇒ = ⇔ = ∈ −
 
= =




= − = − +




Bài 2: SD chi
ề
u bi
ế
n thiên c/m B
ð
T và tìm Min,Max – Khóa LT
ð
H
ñả
m b
ả
o – Th
ầ
y Kh
ả
i.
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ

c trò Vi
ệ
t
Bài 3
: Cho 2 s
ố
d
ươ
ng x,y thõa mãn: x+y=5/4. Tìm Min c
ủ
a:
4 1
4
A
x y
= +


Giải:

Ta có:

( )
2
2
5
16
16 60 5
4
.

5
4 4 (5 4 )
4 ( )
4
4 0 , 5
16 16 1 16 1
: à : ( )
5 4 5
5
0
16 1 16
'( ) 0 (1) 1 5
5
4
5
3
y y
y x y
A
xy y y
y y
a y a b
a b
Coi V A f a
b y a b
ab b a a a
a
f a MinA f
a
a

a
+ −
+ +
= = =
−
−
= < <
 
+
⇒ = = + = + =
 
= − + =
−
 
=


⇒ = − = ⇒ ⇒ = = + =

= −
−


D
ấ
u “=” x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi x=1; y=1/4

Bài 4
: CMR: V
ớ
i m
ọ
i tam giác ABC ta luôn có:

1 os 1 os 1 os
2 2 2
3 3
A A A
c c c
A A A
+ + +
+ + >


Giải:

Xét hàm s
ố
:
2
cos 1
2
x
y x
= + −

' sin à '' 1 cos 0; ;
2
y x x v y x x o
 
= − = − > ∀ ∈
 
 
π

Ta th
ấ
y y’
ñồ
ng bi
ế
n và ta có: y > 0. V
ậ
y ta có:
2
cos 1
2
x
x
> −

Áp d
ụ
ng cho các góc A/2, B/2 , C/2 ta có:

2 2 2

cos 1 ;cos 1 ;cos 1
2 8 2 8 2 8
A A B B C C
> − > − > −

Bài 2: SD chi
ề
u bi
ế
n thiên c/m B
ð
T và tìm Min,Max – Khóa LT
ð
H
ñả
m b
ả
o – Th
ầ
y Kh
ả
i.
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ

t

2
1 1 1 1 9
2 ( ) 2.
8 8
18 144
3 3
8 8
A B C
VT A B C
A B C A B C
+ +
 
⇒ > + + − + + ≥ −
 
+ +
 
−
= − = >
π π
π π

Bài 5
: Cho 2 s
ố
không âm tùy ý x,y thõa mãn x+y=1: Tìm Min, Max c
ủ
a:
1 1

x y
S
y x
= +
+ +


Giải:
Ta có:

2 2
2
2
( ) ( ) 2 2
.
1 1 ( ) 1 2
( ) 1 1 2 2 6
à : 0 . : 0; à 2 ( )
4 4 4 2 2
1 2
inS ( )
6
' 0
4 3
( 2)
ax (0) 1
x y x y x y xy
S
y x xy x y xy
x y t

M xy Coi t xy t v S f t
t t
M f
S
t
M S f
+ + + −
= + = =
+ + + + + +
+ −
 
≤ ≤ = = ⇒ ∈ = = − + =
 
+ +
 

= =
−

⇒ = < ⇒

+

= =



………………….Hết…………………
Nguồn:
Hocmai.vn

Bài 3: Sử dụng các PP khác c/m BðT và tìm Min, Max – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN SỬ DỤNG CÁC PP KHÁC CM BðT VÀ TÌM MIN, MAX CỦA HÀM SỐ

Bài 1: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn ñiều kiện: xyz=1. Chứng minh rằng:

2 2 2
3 3 3
1
x y z
P
x y y z y z z x z x x y
= + + ≥
+ + + + + +

Bài 2: Cho 3 số thực a,b,c tùy ý. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2
(*)
1 . 1 1 . 1 1 . 1
a c a b b c
a c a b b c
− − −
≤ +
+ + + + + +

Bài 3: Cho 4 số thực a,b,c,d thõa mãn: a
2
+b
2
=1; c – d =3. Chứng minh:

9 6 2
4
F ac bd cd
+
= + − ≤

Bài 4: Cho:
0;
a c b c
≥ ≥ ≥
Chứng minh:

( ) ( )
c a c c b c ab
− + − ≤

Bài 5: Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) thõa mãn ñiều kiện: xy + yz + zx = 1. Tìm Min của:

2 2 2
1 1 1
x y z
P
x y z

= + +
− − −

………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn






Bài 3: Sử dụng các PP khác c/m BðT và tìm Min, Max – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN SỬ DỤNG CÁC PP KHÁC CM BðT VÀ TÌM MIN, MAX CỦA HÀM SỐ

Bài 1: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn ñiều kiện: xyz=1. Chứng minh rằng:

2 2 2
3 3 3
1
x y z
P
x y y z y z z x z x x y
= + + ≥
+ + + + + +

Giải:

2 3

3 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
ì :
à : 0
2 .
x x
V
x y y z x xy y
x y x y y z z x
M x y
x xy y x xy y y yz z z zx x
x y z y z x
x xy y y yz z z zx x x xy y y yz z z zx x
x y y z z x
P
x xy y y yz z z zx x
V
=
+ + + +
− − − −
= − ⇒ + + =
+ + + + + + + +
⇔ + + = + +
+ + + + + + + + + + + +
+ + +

⇔ = + +
+ + + + + +
3 3 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 3
3
2 2
1
ì : ( ) . à :
3
2
2 ( ) 2 2 1.
3 3
x y x xy y x xy y
x y m
x xy y x xy y x xy y
x y x y
P x y z xyz P
x xy y
+ − + − +
= + ≥
+ + + + + +
+ +
⇒ ≥ ⇒ = + + ≥ = ⇒ ≥
+ +


Bài 2: Cho 3 số thực a,b,c tùy ý. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

(*)
1 . 1 1 . 1 1 . 1
a c a b b c
a c a b b c
− − −
≤ +
+ + + + + +

Giải:
ðặt:

[ ]
tan
tan (*) sin( ) sin( ) sin( )
tan
ì : sin( ) sin ( ) ( ) ) sin( ) os( ) os( )sin( )
sin( ) os( ) os( ) sin( ) sin( ) sin( )
a
b
c
V c c
c c
=


= ⇒ ⇔ − + − ≥ −


=


− = − + − = − − + − −
≤ − − + − − ≤ − + −
α
β α β β γ α γ
γ
α γ α β β γ α β β γ α β β γ
α β β γ α β β γ α β β γ

 ðiều phải chứng minh.
Bài 3: Cho 4 số thực a,b,c,d thõa mãn: a
2
+b
2
=1; c – d =3. Chứng minh:
Bài 3: Sử dụng các PP khác c/m BðT và tìm Min, Max – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Page 2 of 3

9 6 2
4
F ac bd cd
+
= + − ≤

Giải:
Gọi:

(
)
(

)
( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
; ( ) : 1 à ; : 3
ó : ( ) ( ) 2 2
( ) 2( ) 1 9 2
A a b A C x y v B c d B d x y
Ta c AB a c b d a b c d ac bd
a b c d ac bd cd F
⇒ ∈ + = ⇒ ∈ − =
= − + − = + + + − −
= + + − − + − = + −

Vì AB nh
ỏ
nh
ấ
t khi và ch
ỉ
khi A,B thu
ộ
c
ñườ
ng vuông góc v
ớ
i d k
ẽ
t

ừ
O.

2
3 2 3 2 2 22 12 2
1
2 2 4
22 12 2 11 6 2 9 6 2
10 2 5
4 4 4
AB Min OB OA AB
F F F
− −
⇒ = − = − = ⇒ ≥
− − +
⇒ − ≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≤

Bài 4
: Cho:
0;
a c b c
≥ ≥ ≥
Ch
ứ
ng minh:

( ) ( )
c a c c b c ab
− + − ≤

Giải:
G
ọ
i:

(
)
( )
,
,
: . . ( ) ( )
a c b c a c b c b
b a c c b a c c a
Do a b a b c a c c b c ab
− ⇒ = + − =
− ⇒ = − + =
≤ ⇔ − + − ≤
 
 
   

Bài 5
: Cho x,y,z thu
ộ
c kho
ả
ng (0;1) thõa mãn
ñ
i

ề
u ki
ệ
n: xy + yz + zx = 1. Tìm Min c
ủ
a:

2 2 2
1 1 1
x y z
P
x y z
= + +
− − −


Giải:

ðặ
t
tan ; tan ; tan
2 2 2
A B C
x y z= = =

Bài 3: S
ử
d
ụ
ng các PP khác c/m B

ð
T và tìm Min, Max – Khóa LT
ð
H
ñả
m b
ả
o – Th
ầ
y Phan Huy Kh
ả
i
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t
Page 3 of 3

( )
2 2 2
3
tan tan tan
1
2 2 2
t anA tan tan

2
1 tan 1 tan 1 tan
2 2 2
ì : ó : t anA tan tan t anA.tan .tan 3 t anA.tan .tan
3 3
t anA tan tan t anA.tan .tan 3 3
2
A B C
P B C
A B C
V Trong ABC ta c B C B C B C
B C B C P
⇒ = + + = + +
− − −
∆ + + = ≥
⇒ + + = ≥ ⇒ ≥

D
ấ
u “=” x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi A=B=C=60
0
hay
1
3
x y z= = =

………………….Hết…………………

Nguồn:
Hocmai.vn