Tiểu luận về hàm lồi và lõm

Hàm lồi – hàm lõm
I. Hàm lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn thực.
1. Hàm lồi, hàm lõm và hàm loga-lồi.
Các hàm lồi được định nghĩa trên tập lồi.
Định nghĩa 1.1. Cho
I
là một khoảng chứa trong
R
và hàm
:f I R
→
.
)i

f
được gọi là hàm lồi nếu:
[ (1 ) ] ( ) (1 ) ( )f x y f x f y
λ λ λ λ
+ − ≤ + −
,
,x y I
∀ ∈
và với mọi
[0;1].
λ
∈

(1.1)
)ii

f

được gọi là hàm lồi thực sự (chặt) nếu
(1.1)

ngặt với các điểm
,x y
phân biệt và
(0;1).
λ
∈
)iii
Nếu
f
−
được gọi là hàm lồi (lồi thực sự) thì ta nói
f
là hàm lõm (lõm thật sự).
)iv
Nếu
f
vừa là hàm lồi vừa là hàm lõm ta nói
f
là hàm afin.
Thực ra, tại
0
λ
=
và
1
λ
=

thì
(1.1)
luôn đúng nên để cho tiện, đôi khi ta chỉ cần xét
(0;1).
λ
∈
Trong trường hợp tổng quát, với
U
là một tập lồi trong không gian tuyến tính định
chuẩn thực
.X
Một hàm
:f U R
→
được gọi là lồi nếu
[ (1 ) ] ( ) (1 ) ( )f x y f x f y
λ λ λ λ
+ − ≤ + −
,
,x y U
∀ ∈
và với mọi
[0;1].
λ
∈
Các khái niệm hàm lồi thực sự, lõm thực sự cũng được định nghĩa tương tự như trong
định nghĩa
(1.1)
.
Định nghĩa 1.2. Cho

I
là một khoảng của tập số thực và
: (0; )f I → +∞
. Khi đó
1
1.
f
được gọi là hàm loga-lồi nếu
ln f
là hàm lồi. Nói cách khác
1
[ (1 ) ] ( ) ( ) , , , [0;1].f x y f x f y x y I
λ λ
λ λ λ
−
+ − ≤ ∀ ∈ ∈
2.
f
được gọi là hàm loga-lõm nếu
ln f
là hàm lõm. Nói cách khác
1
[ (1 ) ] ( ) ( ) , , , [0;1].f x y f x f y x y I
λ λ
λ λ λ
−
+ − ≥ ∀ ∈ ∈
Ví dụ 1.1. Các hàm sau đây là hàm lồi.
1.
:f R R

→
,
( )f x ax b
= +
với
,a b
là các số thực bất kỳ.
2. Ánh xạ chuẩn
. : X R
→
với
X
là không gian tuyến tính định chuẩn thực.
3. Hàm khoảng cách
: , ( ) ( , ) inf
n
U U
z U
d R R d x d x U x z
∈
→ = = −
với
U
là tập lồi
không rỗng của
.
n
R
4. Hàm afin
( ) , ,

T n
f x a x a R R
α α
= + ∈ ∈
5. Hàm chỉ
Đặt
0
( ) :

U
khi x U
x
khi x U
δ
∈

=

+∞ ∉

Ta nói
U
δ
là hàm chỉ của
U
.
)i

, , (0,1),x y U
λ

∀ ∈ ∀ ∈
ta có:
( ) 0, ( ) 0.
U U
x y
δ δ
= =
Do
U
lồi nên
(1 ) .x y U
λ λ
+ − ∈
Suy ra
[ (1 ) ] 0 ( ) (1 ) ( ).
U U U
x y x y
δ λ λ λδ λ δ
+ − = = + −
2
)ii

, , (0;1)x U y U
λ
∀ ∈ ∀ ∉ ∀ ∈
,ta có:
( ) 0, ( ) ,
U U
x y
δ δ

= = +∞

[ (1 ) ]
U
x y
δ λ λ
+ − ≤ +∞
Suy ra
[ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ).
U U U
x y x y
δ λ λ λδ λ δ
+ − ≤ + −
)iii

, , (0;1)x y U
λ
∀ ∉ ∀ ∈
,ta có:
( ) , ( ) ,
U U
x y
δ δ
= +∞ = +∞

[ (1 ) ]
U
x y
δ λ λ
+ − ≤ +∞

Suy ra
[ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ).
U U U
x y x y
δ λ λ λδ λ δ
+ − ≤ + −
Vậy
U
δ
là hàm lồi trên
.
n
R
6. Hàm tựa
Đặt
( ) : sup ,
U x U
S y y x
∈
= < >
. Ta nói
U
S
là hàm tựa của
.U
, , (0,1),x y U
λ
∀ ∈ ∀ ∈
ta có:
[ (1 ) ] (1 ) ,

= s { , (1 ) , }
s , (1 ) ,
= s , (1 )
U z U
z U
z U z U
z U z U
S x y sup x y z
up x z y z
up x z sup y z
up x z sup
λ λ λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
∈
∈
∈ ∈
∈ ∈
+ − = < + − >
< > + < − >
≤ < > + < − >
< > + − ,
= ( ) (1 ) ( )
U U
y z
S x S y
λ λ
< >
+ −

Vậy
U
S
là hàm lồi trên
.U
3
Nhận xét 1.1. Ý nghĩa hình học của hàm lồi. Cho
:f I R
→
là một hàm lồi trên
một khoảng
I R
⊂
. Với
,u v I
∈
phân biệt và
[ ; ]x u v
∈
. Khi đó tồn tại một số
[0;1]
λ
∈
để
(1 ) .x u v
λ λ
= + −
Ta có
(1 )
(1 )( )

1 .
x u u v u
v u v u
v u
v u
λ λ
λ
λ
− + − −
=
− −
− −
=
−
= −
Do đó,
( ) ( ) (1 ) ( )
( ) (1 )( ( ) ( ))
( ) ( )
( ) ( ).
f x f u f v
f u f v f u
f v f u
f u x u
v u
λ λ
λ
≤ + −
= + − −

−
= + −
−
Ta có
( ) ( )
( ) ( ) 0
f v f u
f u x u
v u
−
+ − =
−
chính là đường thẳng đi qua hai điểm
( , ( ))u f u

và
( ; ( ))v f v
.
Nói cách khác, các điểm trên đồ thị của hàm
[ ; ]
f
u v
nằm dưới dây cung nối hai điểm
( , ( ))u f u
và
( ; ( ))v f v
, với mọi
, ,u v I u v
∈ <
.

2. Một số tính chất cơ bản của hàm lồi.
Định lý 2.1. Các phép toán với các hàm lồi.
Cho
U
là một tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn thực
.X
Khi đó
4
1. Nếu
f
và
g
là các hàm lồi trên
U
thì
f g
+
cũng là hàm lồi trên
.U
Nếu
f
hoặc
g
là hàm lồi thực sự thì tổng
f g
+
cũng là hàm lồi thực.
2. Nếu
f
là hàm lồi (lồi thực sự) trên

U
và
µ
là số thực dương thì
f
µ
là một hàm
lồi (lồi thực sự) trên
.U
3. Nếu
f
là hàm lồi (lồi thực sự) trên
U
và
V
là tập con lồi của
.U
Khi đó thu hẹp
f
V
của hàm
f
lên
V
cũng là một hàm lồi (lồi thực sự) trên
.V
Định lý 2.2. Cho
,I J R
⊂
là các tập lồi. Nếu

f
là hàm lồi (lồi thực sự) trên
I
và
g

là một hàm lồi không giảm (hàm lồi tăng) trên tập lồi
, ( )J f I J
⊂
thì
g fo
là một
hàm lồi (lồi thực sự).
Chứng minh.
Với
, , [0;1]x y I
λ
∈ ∈
ta có
[ ( (1 ) )] [ ( ) (1 ) ( )]g f x y g f x f y
λ λ λ λ
+ − ≤ + −
(do
g
là hàm lồi không giảm)

( ( )) (1 ) ( ( ))
( )( ) (1 )( )( ).
g f x g f y
g f x g f y

λ λ
λ λ
≤ + −
= + −
o o
hay
g fo
là hàm lồi.
Nếu
f
là hàm lồi thực sự,
g
là hàm lồi tăng thì với
, (0;1),x y
λ
≠ ∈
thực hiện như
trên ta thu được bất đẳng thức ngặt, hay
g fo
là hàm lồi thực sự.
5
Định lý 2.3. Cho hàm
:f U R
→
xác định trên tập lồi
U
của không gian tuyến tính
định chuẩn
.X
Khi đó,

f
là hàm lồi (lồi thực sự) trên
U
nếu và chỉ nếu các hàm
, ,
:[0;1] , ( ): ( (1 ) )
x y x y
R t f tx t y
ϕ ϕ
→ = + −
, với
, , [0;1]x y U t
∈ ∈
là hàm lồi (lồi thực sự).
Chứng minh.
)
⇒
Giả sử
f
là hàm lồi trên
.U
Với
,x y U
∈
cho trước, với mọi
, [0;1]u v
∈
ta có
,
,

( (1 ) ) ([ (1 ) ] (1 [ (1 ) ]) )
( [ (1 ) ] (1 )[ (1 ) ])
[ (1 ) ] (1 ) [ (1 ) ]

x y
x y
u v f u v x u v y
f ux u y vx v y
f ux u y f vx v y
ϕ λ λ λ λ λ λ
λ λ
λ λ
λϕ
+ − = + − + − + −
= + − + − + −
≤ + − + − + −
=
,
( ) (1 ) ( )
x y
u v
λ ϕ
+ −
hay
,x y
ϕ
là hàm lồi.
Nếu
f
là hàm lồi thực sự thì theo trên, với

u v
≠
và
(0;1)
λ
∈
ta thu được bất đẳng
thức ngặt,
,x y
ϕ
là hàm lồi thực sự.
)
⇐
Giả sử các hàm
,x y
ϕ
là các hàm lồi. khi đó, với mọi
,x y U
∈
, với mọi
[0;1]
λ
∈
ta
có
, ,
( (1 ) ) ( ) ( .1 (1 ).0)
x y x y
f x y
λ λ ϕ λ ϕ λ λ

+ − = = + −
, ,
(1) (1 ) (0)
x y x y
λϕ λ ϕ
≤ + −
(do
,x y
ϕ
là hàm lồi)
( ) (1 ) ( ).f x f y
λ λ
= + −
Vậy
f
là hàm lồi.
6
Nếu
,x y
ϕ
là các hàm lồi thực sự thì theo trên với
x y
≠
và
(0;1)
λ
∈
ta thu được bất
đẳng thức ngặt, hay
f

là hàm lồi thực sự.
Định lý 2.4. Cho
U
là một tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn thực
.X

Nếu dãy
( )
n
f
(trong đó
:
n
f U R
→
) là một dãy hàm lồi hội tụ điểm hữu hạn đến một
hàm
f
trên
U
thì
f
là hàm lồi.
Chứng minh.
Với
,x y U
∈

[0;1]
λ

∈
, với mọi
n N
∗
∈
ta có
( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )
n n n
f x y f x f y
λ λ λ λ
+ − ≤ + −
.
Chuyển qua giới hạn ta được
[ (1 ) ] ( ) (1 ) ( )f x y f x f y
λ λ λ λ
+ − ≤ + −
Vậy
f
là hàm lồi.
Về tính khả vi của hàm lồi ta có các tính chất sau:
Định lý 2.5. Giả sử
f
xác định trên một tập mở
U X
⊆
. Nếu
f
là hàm lồi trên
U

và khả vi tại
0
x
, thì với
x U
∈
ta có
0 0 0
( ) ( ) '( )( )f x f x f x x x
− ≥ −
(2.1)
Nếu
f
khả vi trên
U
, thì
f
là hàm lồi nếu và chỉ nếu
f
thoả (2.1) với mọi
0
, .x x U
∈
Hơn nữa,
f
là hàm lồi thực sự nếu và chỉ nếu bất đẳng thức (2.1) là bất
đẳng thức ngặt.
Chứng minh.
7
Nếu

f
là hàm lồi thì với mọi
(0;1)t
∈
thì
0 0 0 0
( ( )) ((1 ) ) (1 ) ( ) ( )f x t x x f t x tx t f x tf x
+ − = − + ≤ − +
Đặt
0
h x x
= −
ta có
0 0 0 0
( ) ( ) [ ( ) ( )]f x th f x t f x h f x
+ − ≤ + −
(2.2)
Trừ
0
'( )( )f x th
vào hai vế của (2.2) và chia cho
t
với chú ý
0
0
'( )( )
'( )( )
f x th
f x h
t

=

(do
0
'( )f x
là ánh xạ tuyến tính) ta được
0 0 0
0 0 0
( ) ( ) '( )( )
( ) ( ) '( )( )
f x th f x f x th
f x h f x f x h
t
+ − −
≤ + − −
Cho
0t
→
thì vế trái của biểu thức trên dần đến 0, vế phải độc lập với
t
nên không
đổi, suy ra (2.1) đúng.
Nếu
f
lồi thực sự thì (2.2) là bất đẳng thức ngặt, kết hợp với (2.1) trong đó
0
x x th
= +
ta có
0 0 0 0 0

[ ( ) ( )] ( ) ( ) '( )( )t f x h f x f x th f x f x th
+ − > + − ≥
Chia hai vế cho
t
ta được
0 0 0
( ) ( ) '( )( )f x h f x f x h
+ − >
. Khi đó (2.1) trở thành bất
đẳng thức ngặt.
Ngược lại, giả sử
f
khả vi và thỏa mãn (2.1) trên
U
. Với
1 2
, , (0;1)x x U t
∈ ∈
, ta đặt
0 1 2
(1 ) .x tx t x
= + −
Ta có
1 0 2 0 1 2 0 0 0
( ) (1 )( ) (1 ) 0.t x x t x x tx t x x x x
− + − − = + − − = − =
8
Khi đó,
0 0 0 1 0 2 0
0 0 1 0 0 0 2 0

( ) ( ) '( )[ ( ) (1 )( )]
[ ( ) '( )( )] (1 )[ ( ) '( )( )].
f x f x f x t x x t x x
t f x f x x x t f x f x x x
= + − + − −
= + − + − + −
Bất đẳng thức (2.1) đúng với
1
x x
=
và
2
x x
=
, vì vậy
0 1 2
( ) ( ) (1 ) ( )f x tf x t f x
≤ + −
(2.3)
Điều này chứng tỏ
f
là hàm lồi trên
.U
Nếu (2.1) là bất đẳng thức ngặt thì (2.3) là bất đẳng thức ngặt thì
f
là hàm lồi thực sự
trên
.U
Định nghĩa 2.1. Cho
I R

⊂
là một khoảng và hàm
:f I R→
là hàm khả vi trên
I
.
Khi đó
'( )f x
được gọi là đơn điệu tăng nếu
( '( ) '( ))( ) 0, , .f x f y x y x y I
− − ≥ ∀ ∈
Nếu với mọi
, , ,( '( ) '( ))( ) 0x y I x y f x f y x y
∈ ≠ − − >
, thì
'( )f x
được gọi là đơn điệu
tăng thực sự.
Xem
'f
là ánh xạ tuyến tính ta có định nghĩa tổng quát hơn.
Định nghĩa 2.2. Cho
U X
⊂
là một tập mở và
:f U R
→
là hàm khả vi trên
.U
Khi

đó
'( )f x
được gọi là đơn điệu tăng nếu
( '( ) '( ))( ) 0, , .f x f y x y x y U− − ≥ ∀ ∈
Nếu bất đẳng thức trên là bất đẳng thức ngặt khi
x y
≠
thì
'f
được gọi là đơn điệu
tăng thực sự trên
U
.
9
Định lý 2.6. Nếu
( )f x
là hàm số khả vi trên
I R
⊂
thì
( )f x
là hàm lồi trên
I
khi và
chỉ khi
'( )f x
là hàm đơn điệu tăng trên
.I
Chứng minh.
Giả sử

( )f x
là hàm lồi trên
I
. Khi đó với
1 2 1 2
( , , )x x x x x x I
< < ∈
, ta có
2 1 2 1 2 1
1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
0, 0, 1,
x x x x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x x x x x x x
− − − − − −
> > + = + =
− − − − − −
Và do đó
2 1
1 2
2 1 2 1
2 1 2 1
1 2
2 1 2 1 2 1 2 1
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) (2.4)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )

(2.5)
x x x x
f x f x f x
x x x x
x x x x x x x x
f x f x f x
x x x x x x x x
f x f x f x f x
x x x x
− −
≤ +
− −
 
− − − −
⇔ + ≤ +
 ÷
− − − −
 
− −
⇔ ≤
− −
Trong (2.5), cho
1
x x
→
ta thu được
2 1
1
2 1
( ) ( )

'( ) . (2.6)
f x f x
f x
x x
−
≤
−
Tương tự trong (2.5), cho
2
x x
→
ta thu được
2 1
2
2 1
( ) ( )
'( ). (2.7)
f x f x
f x
x x
−
≤
−
Từ (2.6) và (2.7) ta nhận được
1 2
'( ) '( )f x f x
≤
tức
'( )f x
là hàm đơn điệu tăng.

Ngược lại, giả sử
'( )f x
là hàm đơn điệu tăng và
1 2 1 2
( , , )x x x x x x I
< < ∈
. Theo định lý
Lagrange, tồn tại
3 4
,x x
với
1 3 4 2
x x x x x
< < < <
sao cho
10
1 2

3 4
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
'( ), '( ).
f x f x f x f x
f x f x
x x x x
− −
= =
− −
Vì
'( )f x

là hàm đơn điệu tăng nên
3 4
'( ) '( )f x f x
≤
, ta suy ra
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
, (2.8)
f x f x f x f x
x x x x
− −
≤
− −
tức là ta có (2.5), (2.4).
Bất đẳng thức (2.4) chứng tỏ
f
là hàm lồi trên
.I
Nhận xét 2.1.
1. Hàm
f
lồi trên
I
khi và chỉ khi với bộ ba số
1 2
, ,x x x I
∈
và
1 2

x x x
< <
thì
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x
x x x x
− −
≤
− −
.
2. Trong định lý 2.6, nếu
'f
là hàm đơn điệu tăng thực sự thì (2.8) là bất đẳng thức
ngặt, ta suy ra (2.4) là bất đẳng thức ngặt. Hay
f
là hàm lồi thực sự trên
.I
Tổng quát hơn ta có định lý.
Định lý 2.7. Cho
:f U R
→
khả vi trên một tập lồi mở
.U X⊆
Khi đó
f
là hàm lồi
(lồi thực sự) nếu và chỉ nếu
'f
là hàm đơn điệu tăng (đơn điệu tăng thực sự) trên

.U
Chứng minh.
Do
f
lồi khả vi trên
U
nên theo định lý 2.5 ta có
( ) ( ) '( )( )
( ) ( ) '( )( )
f x f y f y x y
f y f x f x y x
− ≥ −
− ≥ −
Cộng vế theo vế ta được
11
0 ( '( ) '( ))( )f y f x x y
≥ − −
hay
( '( ) '( ))( ) 0f y f x y x
− − ≥
Suy ra
'f
là hàm tăng. Nếu
f
lồi thực sự thì các bất đẳng thức trên là bất đẳng thức
ngặt, ta suy ra
'f
là hàm tăng thực sự.
Ngược lại, giả sử
'f

là đơn điệu tăng. Với
,x y U
∈
. Đặt
,
:[0;1]
x y
R
ϕ
→
xác định bởi
,
( ) ( (1 ) ).
x y
f y
ϕ λ λ λ
= + −
Với
1 2
0 1
λ λ
≤ < ≤
, đặt
1 1 1
(1 )u x y
λ λ
= + −
và
2 2 2
(1 ) .u x y

λ λ
= + −
Theo nhận xét 0.1 và định nghĩa hàm
,x y
ϕ
ta có
, 1 , 1
, 1
0
1 1 1 1
0
1 1
1
0
( ) ( )
' ( ) lim
[( ) (1 ) ] [ (1 ) ]
lim
( ( )) ( )
lim '( )( ).
x y x y
x y
t
t
t
t
t
f t x t y f x y
t
f u t x y f u

f u x y
t
ϕ λ ϕ λ
ϕ λ
λ λ λ λ
→
→
→
+ −
=
+ + − − − + −
=
+ − −
= = −
Tương tự,
, 2 2
' ( ) '( )( ).
x y
f u x y
ϕ λ
= −
Ta có
2 1 2 1
( )( )u u x y
λ λ
− = − −
và
'f
là đơn điệu tăng nên ta suy ra
2 1 2 1 2 1 2 1

0 ( '( ) '( ))( ) ( )( '( ) '( ))( ).f u f u u u f u f u x y
λ λ
≤ − − = − − −
Suy ra
1 2
'( )( ) '( )( ).f u x y f u x y
− ≤ −
Ta có
12
, 1 1 2 , 2
' ( ) '( )( ) '( )( ) ' ( ) (2.9)
x y x y
f u x y f u x y
ϕ λ ϕ λ
= − ≤ − =
Suy ra các hàm
,x y
ϕ
là các hàm lồi theo định lý 2.6.
Vậy
f
là hàm lồi theo định lý 2.3.
Nếu
'f
đơn điệu tăng thực sự thì bất đẳng thức (2.9) trở thành bất đẳng ngặt,
,x y
ϕ
là
các hàm lồi theo nhận xét 2.1. Nói cách khác,
f

là hàm lồi thực sự.
Bổ đề 2.1. Cho
:f U R
→
khả vi liên tục trên một tập lồi mở
U
của không gian tuyến
tính định chuẩn
X
và
''( )f x
tồn tại trên
U
. Khi đó, với bất kỳ
0
,x x U
∈
, tồn tại
(0;1)s
∈
để
0 0 0
1
( ) ( ) '( )( ) ''( )( , )
2
f x f x f x h f x sh h h
= + + +
trong đó
0
h x x

= −
.
Định lý 2.8. Cho
I R
⊂
là một khoảng và
:f I R
→
là hàm số có đạo hàm cấp hai
''f
tồn tại trên
I
. Khi đó,
f
là hàm lồi (lồi) thực sự khi và chỉ khi
''( ) 0 ( ''( ) 0)f x f x
≥ >
với mỗi
.x I
∈
Chứng minh.
Theo tính chất của hàm một biến thực,
'f
tăng (tăng thực sự) nếu và chỉ nếu
''f

không âm (dương). Kết hợp với định lý 2.7 ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3.1. Từ định lý 2.8 ta có các hàm sau đây là lồi.
1. ( )
x

f x e
α
=
, trong đó
.R
α
∈
13
2. ( )
p
f x x
=
nếu
0x
>
, trong đó
1 p
≤
hay
0p
≤
.
3. ( )
p
f x x
= −
nếu
0x
>
, trong đó

0 1p
≤ ≤
.
4. ( ) lnf x x
= −
nếu
0x
>
.
Trong trường hợp tổng quát ta có định lý.
Định lý 2.9. Cho
f
là hàm khả vi liên tục và có đạo hàm cấp hai trên tập lồi mở
U X
⊆
. Khi đó,
f
là hàm lồi (lồi thực sự) trên
U
nếu và chỉ nếu
''( )f x
xác định
không âm (xác định dương) với mỗi
x U
∈
.
Chứng minh.
)
⇐
Theo bổ đề 3.1 với bất kỳ

0
,x x U
∈
, ta có
0 0 0
1
( ) ( ) '( )( ) ''( )( , )
2
f x f x f x h f x sh h h= + + +
trong đó
(0;1)s
∈
và
0
h x x
= −
. Giả sử
''( )f x
là xác định không âm. Ta suy ra
0 0 0
( ) ( ) '( )( )f x f x f x x x
≥ + −
hay
0 0 0
( ) ( ) '( )( ). (2.10)f x f x f x x x
− ≥ −
Theo định lý 2.5 ta suy ra
f
là hàm lồi.
Nếu

0
''( )f x
là xác định dương thì bất đẳng thức (2.10) trở thành bất đẳng thức ngặt,
theo định lý 2.5 ta suy ra
f
là hàm lồi thực sự.
14
)
⇒
Giả sử
f
là hàm lồi. Với
x U
∈
và
h X∈
, đặt
( ) ( ).g t f x th
= +
Dễ thấy
g
là
một hàm lồi trên một lân cận của điểm 0. Ta có
'( ) '( )( )
''( ) ''( )( , ).
g t f x th h
g t f x th h h
= +
= +
Do

g
là hàm lồi nên với mỗi
t
thuộc tập xác định, theo định lý 2.8 thì
''( ) 0.g t
≥
Ta suy ra
''(0) 0,g
≥
hay
''( )( , ) 0.f x h h
≥
Vì
h
bất kỳ nên
''( )f x
là xác định không
âm.
Nếu
f
là hàm lồi thực sự thì
g
là hàm lồi thực sự, theo định lý 2.8 ta có
''(0) 0g
>
.
Ta suy ra
''( )( , ) 0.f x h h
>
Do

h
bất kỳ nên
''( )f x
là xác định dương.
Vậy định lý đã được chứng minh.
3. Các bất đẳng thức liên quan đến hàm lồi.
Định lý 3.1. (Bất đẳng thức Jensen)
Cho
U
là một tập lồi của
X
, hàm
:f U R
→
xác định trên
U
. Khi đó
f
là hàm lồi
nếu và chỉ nếu với mọi
1
, ,
n
x x U
∈
và với mọi
1
, ,
n
α α

thuộc
1
[0;1], 1
n
i
i
α
=
=
∑
ta luôn
có bất đẳng thức
1 1
( ) ( ) (3.1)
n n
i i i i
i i
f x f x
α α
= =
≤
∑ ∑
Bất đẳng thức trên là bất đẳng thức ngặt nếu và chỉ nếu
f
là hàm lồi thực sự và các
i
x
phân biệt,
i
α

dương.
Chứng minh.
)
⇒
Giả sử
f
là hàm lồi, ta chứng minh (3.1) bằng qui nạp.
15
Với
2n
=
thì (3.1) đúng theo định nghĩa hàm lồi.
Giả sử (3.1) đúng với
n k=
tức là
1 1
( ) ( )
k k
i i i i
i i
f x f x
α α
= =
≤
∑ ∑
luôn đúng với
1
, ,
k
x x U

∈
và với mọi
1
1
, , [0;1], 1
k
k i
i
α α α
=
∈ =
∑
.
Với
1:n k= +
Nếu
1
0
k
α
+
=
thì (3.1) hiển nhiên đúng.
Nếu
1
0
k
α
+
>

, ta luôn có
1
1 1 1
1 1
( ) 1
k k
k k k
k k k k
α α
α α α α
α α α α
+
− +
+ +
 
+ + + + + =
 ÷
+ +
 
.
Do đó
1
1
1 1 1 1 1 1
1
1 1
1
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1

( )
( ) ( ) ( )
( ) .
k
k k
i i k k k k k k
i
k k k k
k k
k k k k k k
k k k k
f x f x x x x
f x f x f x x
f x
α α
α α α α α
α α α α
α α
α α α α
α α α α
α
+
+
− − + +
=
+ +
+
− − + +
+ +
 

 
 
= + + + + +
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
+ +
 
 
 
 
≤ + + + + +
 ÷
+ +
 
≤ +
∑
1 1 1 1
1
1
( ) ( ) ( )
( ).
k k k k k k
k
i i
i
f x f x f x
f x
α α α

α
− − + +
+
=
+ + +
=
∑
Vậy (3.1) đúng với
1.n k= +
Nếu
f
là hàm lồi thực sự, các
i
x
phân biệt và các
0
i
α
>
thì lập luận tương tự như
trên ta suy ra
16
1 1
( ) ( )
n n
i i i i
i i
f x f x
α α
= =

≤
∑ ∑
.
Khi đó ta thu được bất đẳng thức ngặt.
)
⇐
Nếu
f
thỏa mãn bất đẳng thức Jensen thì với
2n
=
ta suy ra
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( )f x x f x f x
α α α α
+ ≤ +
với
1 2 1 2
, 0, 1 (3.2)
α α α α
> + =
hay
f
là hàm lồi.
Với
1 2
,x x
phân biệt và
1 2
, 0

α α
>
, nếu (3.1) là bất đẳng thức ngặt thì (3.2) là bất đẳng
thức ngặt hay
f
là hàm lồi thực sự.
Định nghĩa 3.1. Một hàm
:[ ; ]f a b R
→
được gọi là hàm lồi theo nghĩa Jensen hay J-
lồi trên
[ ; ]a b
nếu bất đẳng thức
( ) ( )
(3.3)
2 2
x y f x f y
f
+ +
 
≤
 ÷
 
thỏa với mọi điểm
, [ ; ].x y a b
∈
Định lý 3.2. Cho
I
là một khoảng của tập số thực và
:f I R

→
là một hàm liên tục.
Khi đó,
f
là hàm lồi khi và chỉ khi
f
thỏa mãn
( ) ( )
2 2
x y f x f y
f
+ +
 
≤
 ÷
 
, với mọi
, .x y I
∈
Chứng minh.
)
⇒
Giả sử
f
là hàm lồi, khi đó (4.3) là hiển nhiên theo tính chất của hàm lồi.
17
)
⇐
Giả sử ta có (3.3). Nếu
f

không phải là hàm lồi trên
I
thì tồn tại một đoạn
[ ; ]a b I
⊂
để đồ thị của hàm
[ ; ]
f
a b
không nằm dưới dây cung nối
( )
, ( )a f a
và
( )
, ( )b f b
. Dây cung nối
( )
, ( )a f a
và
( )
, ( )b f b
là
( ) ( )
( ) ( ).
f b f a
x a f a
b a
−
− +
−

Khi đó, hàm
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ), [ ; ]
f b f a
x f x x a f a x a b
b a
ϕ
−
= − − − ∈
−
có
sup{ ( ) \ [ ; ]} 0.x x a b
γ ϕ
= ∈ >
Ta có
ϕ
cũng là hàm J-lồi. Thật vậy, do
f
là hàm J-lồi nên ta có:
( ) ( )
( )
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2
( ) ( )
.
2 2
x y x y f b f a x y
f a f a

b a
f x f b f a x a f a f y f b f a y a f a
b a b a
x y
ϕ
ϕ ϕ
+ + − +
     
= − − −
 ÷  ÷  ÷
−
     
− − − −
   
≤ − − + − −
 ÷  ÷
− −
   
= +
Do
( )f x
liên tục trên
[ ; ]a b
nên ta có
( )x
ϕ
liên tục trên
[ ; ]a b
và do đó tồn tại
[ ; ]x a b

∈
để
( ) .x
ϕ γ
=
Đặt
inf{ [ , ] \ ( ) }c x a b x
ϕ γ
= ∈ =
. Ta suy ra
( )c
ϕ γ
=
và
( ; )c a b
∈
vì
( ) ( ) 0.a b
ϕ ϕ
= =
Khi đó, với
0h >
sao cho
( ; )c h a b
± ∈
ta có
( ) ( )c h c
ϕ ϕ
− <
và

( ) ( )c h c
ϕ ϕ
+ ≤
18
hay
( ) ( )
( )
2
c h c h
c
ϕ ϕ
ϕ
− + +
>
mâu thuẫn với
ϕ
là J-lồi.
Vậy định lý đã được chứng minh.
Hệ quả 3.1. Cho
:f I R
→
là một hàm liên tục. Khi đó
f
là lồi nếu và chỉ nếu
( ) ( ) 2 ( ) 0f x h f x h f x
+ + − − ≥
với mọi
x I
∈
và với mọi

0h >
để
x h
+
và
x h
−
nằm trong
.I
Ví dụ 3.1. Cho hàm
x
e
. Xét biểu thức
2
x h x h x
e e e
+ −
+ −
với
x R
∈
và
0.h
>
Theo bất đẳng thức Cauchy ta suy ra
2 0
x h x h x
e e e
+ −
+ − >

Do đó, áp dụng hệ quả (4.1) ta có hàm
x
e
là hàm lồi.
Định lý 3.3. Cho Cho
I
là một khoảng của tập số thực và
:f I R
→
là một hàm lồi
trên
I
. Khi đó bất đẳng thức
1 2 3 1 2 3 2 3 1 3
1 2
( ) ( ) ( )
2
(3.4)
3 3 3 2 2 2
f x f x f x x x x x x x x
x x
f f f f
 + + + + + +
+
     
 
+ ≥ + +
 ÷ ÷  ÷  ÷
 
 

     
 
thỏa với mọi
1 2 3
, , .x x x I
∈
Nếu
f
lồi thực sự thì bất đẳng thức trên là bất đẳng thức ngặt trừ khi
1 2 3
.x x x
= =
19
Hệ quả 3.2. Nếu
:f I R
→
là một hàm lồi và
1 2 3
, ,x x x
nằm trong tập xác định của nó
thì
1 2 3 2 3 1 31 2
1 2 3
4
( ) ( ) ( )
3 3 2 2 2
x x x x x x xx x
f x f x f x f f f f
 
+ + + ++

      
+ + + ≥ + +
 ÷
 ÷  ÷  ÷
 
 
     
 
Định lý 3.4. Nếu
f
là hàm lồi trên khoảng
I
và
1 2
, , , ( 2)
n
x x x n
≥
nằm trong tập xác
định của nó, thì
1 1 11 2
1
1
( ) (3.12)
2 2 2
n
n
i
i n n n
i

i
x
x x x x
n x x
f x f f f f
n n
= −
=
 
 
+ +
− +
    
 ÷
− ≥ + + +
 ÷
 ÷  ÷
 
 ÷
 
   
 
 
∑
∑
Định lý 3.5. Nếu
f
là hàm lồi trên khoảng
I
và

1 2
, , , ( 2)
n
a a a n
≥
nằm trong tập xác
định của nó, thì
1 1
( 1) ( ) [ ( ) ( ) ( )],
n n
n f b b n f a f a f a
− + + ≤ + + −
trong đó
1

n
a a
a
n
+ +
=
và
, 1, , .
1
i
i
na a
b i n
n
−

= =
−
Định lý 3.6. Cho
1
, , (0; )
n
x x
∈ +∞
và
1
, , (0;1), 1.
n
n k
k n
λ λ λ
=
∈ =
∑
Khi đó
1
1 1 2 2 1
. (3.17)
n
n n n
x x x x x
λ
λ
λ λ λ
+ + + ≥
Dấu

" "
=
xảy ra khi và chỉ khi
1 2
.
n
x x x
= = =
Nhận xét 3.1. Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân có trọng
số, nếu
f
là hàm loga-lồi, với mọi
, , (0;1)x y I
λ
∈ ∈
ta có
1
[(1 ) ] ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ),f x y f x f y f x f x
λ λ
λ λ λ λ
−
− + ≤ ≤ − +
nên các hàm loga-lồi là các hàm lồi.
20
Điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn, hàm
1
x
e
−
là hàm lồi nhưng không là hàm

loga-lồi.
II. Hàm lồi trong không gian
.
n
R
Cho
n
C R
⊆
và
: { ; }.f C R
→ ∪ −∞ +∞
Ta sẽ kí hiệu:
: { \ ( ) }.dom f x C f x
= ∈ < +∞
Tập
dom f
được gọi là miền hữu hiệu của
.f
: {( , ) \ ( ) }.epi f x C R f x
µ µ
= ∈ × ≤
Tập
epi f
được gọi là trên đồ thị của hàm
.f
Bằng cách cho
( )f x
= +∞
nếu

x C
∉
, ta có thể coi
f
được xác định trên toàn không
gian và hiển nhiên là
: { \ ( ) }.
n
dom f x R f x
= ∈ < +∞
: {( , ) \ ( ) }.
n
epi f x R R f x
µ µ
= ∈ × ≤
Định nghĩa 4.1. Hàm
f
được gọi là chính thường nếu
dom f
≠ ∅
và
( ) ,f x x C
> −∞ ∀ ∈
. Nói cách khác,
f
chính thường nếu
dom f
≠ ∅
và
f

hữu hạn trên
dom f
.
Định nghĩa 4.2. Cho
n
C R
∅ ≠ ⊆
lồi và
: { ; }.f C R
→ ∪ −∞ +∞
Ta nói
f
là hàm lồi
trên
C
nếu
epi f
là một tập lồi trong
n
R R×
. Hàm
f
được gọi là hàm lõm trên
C
nếu
f
−
là hàm lồi trên
C
.

Nhận xét 4.1.
f
lồi
⇒
dom f
lồi.
Thật vậy,
dom f
là hình chiếu trên
n
R
của
epi f
:
21
: { \ ( ) } { : ,( ; ) }.
n
dom f x R f x x x epi f
µ µ
= ∈ < +∞ = ∃ ∈
Như vậy
dom f
là ảnh của tập lồi
epi f
qua một ánh xạ tuyến tính. Do đó,
dom f
lồi.
Sau đây là một số công cụ nhận biết hàm lồi được phát biểu dưới dạng định lý:
Định lý 4.1. Giả sử
C

là tập lồi trong không gian
n
R
, hàm
: { }f C R
→ ∪ +∞
. Khi đó,
f
lồi trên
C
khi và chỉ khi:
( ) ( ) ( )
[ ]
[ (1 ) ] 1 , 0,1 , , . (4.1)f x y f x f y x y C
λ λ λ λ λ
+ − ≤ + − ∀ ∈ ∀ ∈
Chứng minh.
)
⇒
Giả sử
f
là hàm lồi. Không mất tính tổng quát có thể xem như
( )
0,1 .
λ
∈
Không thể xảy ra trường hợp
( ) ( )
,f x f y
< +∞ < +∞

mà
( )
( )
1f x y
λ λ
+ − = +∞
, bởi vì
f
lồi nên
dom f

lồi, với
,x y dom f
∈

thì
[ ]
,x y dom f
⊂
. Do
( )
0,1
λ
∈
nên
( ) ( )
f x f x
λ
= +∞ ⇒ = +∞

. Nếu
x
hoặc
y dom f
∉
, thì
( )
f x
= +∞

hoặc
( )
f y
= +∞
và
(1.1)

đúng.
Bởi vì
epi f
lồi,
( ) ( ) ( )
, , , , 0,1 ,x r epi f y s epi f
λ
∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )

( )
( )
( ) ( ) ( )
, 1 , 1 , 1
1 1
1 1
x r y s x y r s epi f
f x y x s
f x y f x f y
λ λ λ λ λ λ
λ λ λ λ
λ λ λ λ
+ − = + − + − ∈
⇒ + − ≤ + −
⇒ + − ≤ + −
(lấy
( ), ( )r f x s f y
= =
).
22
)
⇐
Ngược lại, giả sử
(4.1)
đúng. Lấy
( ) ( )
[ ]
, , , , 0,1x r epi f y s epi f
λ
∈ ∈ ∈

ta phải
chứng minh:
( ) ( ) ( )
, 1 ,x r y s epi f
λ λ
+ − ∈
Thật vậy,
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
, , , ,
1 1 1
1 , 1
, 1 , .
x r epi f y s epi f f x r f y s
f x y x f y r s
x y r s epi f
x r y s epi f
λ λ λ λ λ λ
λ λ λ λ
λ λ
∈ ∈ ⇒ ≤ ≤
⇒ + − ≤ + − ≤ + −
⇒ + − + − ∈
⇒ + − ∈

Định lý 4.2. ( Bất đẳng thức Jensen)
Giả sử
C
là tập lồi trong không gian
n
R
, hàm
: { }f C R
→ ∪ +∞
. Khi đó,
f
là hàm lồi
khi và chỉ khi
( )
( )
( )
1
1
1 1 1 1
0, 1, , 1, , , ,
(4.2)
m
i i m
i
m m m m
i m x x C
f x x f x f x
λ λ
λ λ λ λ
=

∀ ≥ = = ∀ ∈
+ + ≤ + +
∑
Chứng minh.
Không mất tính tổng quát, có thể xem như
( )
0 1, ,
i
i m
λ
> =
. Khi đó, nếu
i
x dom f
∉
thì
( ) ( )
,
i i i
f x f x
λ
= +∞ = +∞
và bất đẳng thức (4.2) là tầm thường.
Do
f
lồi nên
dom f
lồi do đó không xảy ra trường hợp
( ) ( )
1, ,

i
f x i m< +∞ =
mà
1
m
i i
i
f x
λ
=
 
= +∞
 ÷
 
∑
, bởi vì khi đó
1
.
m
i i
i
x dom f
λ
=
∈
∑
Nếu
( )
1, ,
i

x dom f i m
∈ =
, do
epi f
lồi và
( )
( )
( )
, 1, ,
i i
x f x epi f i m∈ =
, theo định
lý 0.2 ta có
23
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1 1
1 1 1 1
, , ,
.
m m m m
m m m m
x x f x f x epi f
f x x f x f x
λ λ λ λ
λ λ λ λ

+ + ∈
⇒ + + ≤ + +
Mệnh đề 4.1. Giả sử
: [ ; ]
n
f R → −∞ +∞
. Khi đó,
f
là hàm lồi khi và chỉ khi
( )
[ (1 ) ] 1
( (0,1), , : ( ) , ( ) )
f x y r s
x y f x r f y s
λ λ λ λ
λ
+ − ≤ + −
∀ ∈ ∀ < <
Chứng minh. Tương tự định lý 4.1.
Nhận xét 4.2.
)i
Nếu
(1.1)
thỏa mãn với dấu
" "
<
đối với mọi
, , , (0;1)x y C x y
λ
∈ ≠ ∈

thì
f
được gọi
là lồi chặt trên
.C
Hàm
f
được gọi là lõm chặt trên
C
nếu
f
−
là hàm lồi chặt trên
C
.
)ii
Hàm
f
được gọi là tuyến tính afin (hay đơn giản là afin) trên
C
nếu
f
hữu hạn
và vừa lồi vừa lõm trên
.C
Một hàm afin trong
n
R
có dạng
( ) , , .

T n
f x a x a R R
α α
= + ∈ ∈
Hàm lồi
: [ ; ]f C
→ −∞ +∞
có thể mở rộng thành hàm lồi xác định trên toàn không gian
n
R
bằng cách đặt
( ) , .f x x C
= +∞ ∀ ∉
Vì vậy để đơn giản ta xét hàm lồi trên toàn
n
R
.
Định lý sau đây nêu mối liên hệ đáng chú ý giữa hàm lồi và tập lồi.
Định lý 4.3. Giả sử
: [ ; ]
n
f R
→ −∞ +∞
là một hàm lồi trên
n
R
và
[ ; ]
µ
∈ −∞ +∞

. Khi đó
các tập mức dưới
{ : ( ) }x f x
µ
<
và
{ : ( ) }x f x
µ
≤
là tập lồi. Tương tự , nếu
f
là một
hàm lõm trên
n
R
thì các tập mức trên
{ : ( ) }x f x
µ
>
và
{ : ( ) }x f x
µ
≥
là tập lồi.
Chứng minh.
24
)i
Chứng minh
{ : ( ) }x f x
µ

<
là tập lồi. Lấy
1 2
, { : ( ) }x x x f x
µ
∈ <
, ta có
1
( )f x
µ
<
,
2
( )f x
µ
<
. Do
f
là lồi trên
n
R
nên với mọi
(0;1)
λ
∈
thì
1 2 1 2
[ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ) (1 )f x x f x f x
λ λ λ λ λµ λ µ µ
+ − ≤ + − < + − =

1 2
(1 ) { : ( ) }x x x f x
λ λ µ
⇒ + − ∈ <
{ : ( ) }x f x
µ
⇒ <
là tập lồi.
)i
Tập
{ : ( ) }x f x
µ
≤
lồi, bởi vì
{ : ( ) } { : ( ) }.x f x x f x
γ µ
µ µ
>
≤ = <
I
Tương tự ta có các tập mức trên là lồi.
Định nghĩa 4.3. Một hàm mà mọi tập mức dưới của nó là tập lồi được gọi là hàm tựa
lồi. Một hàm mà mọi tập mức trên của nó là tập lồi được gọi là hàm tựa lõm. Hiển
nhiên hàm lồi (lõm) là hàm tựa lồi (tựa lõm).
Hệ quả 4.1. Giả sử
f
α
là hàm lồi trên
n
R

,
R
α
λ
∈
(
I
α
∀ ∈
),
I
là tập chỉ số bất kỳ.
Khi đó tập
{ : ( ) , }
n
A x R f x I
α α
λ α
= ∈ ≤ ∀ ∈
lồi.
Chứng minh.
Do
{ : ( ) , }
n
A x R f x I
α α α
λ α
= ∈ ≤ ∀ ∈
lồi
i

∀
, nên
I
A A
α
α
∈
=
I
lồi.
Định nghĩa 4.4. Hàm
f
trên
n
R
được gọi là thuần nhất dương nếu
( ) ( ), , 0.
n
f x f x x R
λ λ λ
= ∀ ∈ ∀ >
Định lý 4.4. Hàm thuần nhất dương
: ( ; ]
n
f R → −∞ +∞
là lồi khi và chỉ khi
( ) ( ) ( ), , .
n
f x y f x f y x y R
+ ≤ + ∀ ∈

Chứng minh.
25