Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 6 cực hay

Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lớp 6 cực hay
ƠN TẬP TẬP HỢP VÀ NHỮNG DẠNG TỐN LIÊN QUAN

Số phần tử của một tập hợp.Tập hợp con
1.Một tập hợp có thể có một ,có nhiều phần tử, có vơ số phần tử,cũng có thể
khơng có phần tử nào.
2.Tập hợp khơng có phần tử nào gọi là tập rỗng.tập rỗng kí hiệu là : Ø.
3.Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập
hợp con của tập hợp B, kí hiệu là A ⊂ B hay B ⊃ A.
Nếu A ⊂ B và B ⊃ A thì ta nói hai tập hợp bằng nhau,kí hiệu A=B.

*.D¹ng 1: RÌn kĩ năng viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu
Bài 1: Cho tập hợp A là các chữ cái trong cụm từ Thành phố Hồ Chí Minh
a. HÃy liệt kê các phần tử của tập hợp A.
b. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
b A

c A

h A

Bài 2: Cho tập hợp các chữ cái X = {A, C, O}
a/ Tìm chụm chữ tạo thành từ các chữ của tập hợp X.
b/ Viết tập hợp X bằng cách chỉ ra các tính chất đặc trng cho các phần tử của X.
Bài 3: Cho các tập hợp
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9}
a/ Viết tập hợp C các phần tử thuộc A và không thuộc B.
b/ Viết tập hợp D các phần tử thuộc B và không thuộc A.
c/ Viết tập hợp E các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.
d/ Viết tập hợp F các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B.
Bài 4: Cho tập hợp A = {1; 2; a; b}

a/ H·y chØ râ c¸c tập hợp con của A có 1 phần tử.
b/ HÃy chỉ rõ các tập hợp con của A có 2 phần tử.
c/ Tập hợp B = {a, b, c} có phải là tập hợp con của A không?
Bài 5: Cho tËp hỵp B = {x, y, z} . Hái tËp hợp B có tất cả bao nhiêu tập hợp con?
*Dạng 2: Các bài tập về xác định số phần tử của một tập hợp
Bài 1: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần
tử?
Bài 2: HÃy tính số phần tử của các tập hợp sau:
a/ Tập hợp A các số tự nhiên lẻ có 3 chữ số.
1


Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lớp 6 cc hay
b/ Tập hợp B các số 2, 5, 8, 11, , 296.
c/ Tập hợp C các số 7, 11, 15, 19, …, 283.
Bµi 3: Cha mua cho em một quyển số tay dày 256 trang. Để tiện theo dõi em đánh số
trang từ 1 đến 256. Hỏi em đà phải viết bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sổ tay?
C.HNG DN V NH:

Bài 1.HÃy xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp đó
a, A là tập hợp các chữ số trong số 2002
b, B là tập hợp các chữ cái trong cụm từ cách mạng tháng tám
c, C là tập hợp các số tự nhiên có một chữ số
d, D là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ khác nhau và và có chữ số tận cùng bằng 5
Bài 2. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
3
4

N

{1,2,3,4}

N

N*

N

7

N*



N*

0

N*

Bài 3. HÃy xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trng của các phần tử
thuộc tập hợp đó
a. A = {1;3;5;7;............;49}
b. B = {11;22;33;44;........;99}
c. C = { 3;6;9;12;...............;99}
d. D = { 0;5;10;15;..............;100}
Bµi 4. HÃy viết các tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trng của các phần tử
thuộc tập hợp ®ã
a. A = {1;4;9;16;25;36;49}
b. B = {1;7;13;19;25;31;37}

A = { 1; 4;9;16; 25;36; 49;64;81;100}

B = { 2;6;12; 20;30; 42;56;72;90}

Bài toán 5: Cho

a) A = { x ∈ N xM2; x M3; x < 100}

{

}

A = x ∈ N x = ab; a = 3.b
C = { x ∈ N x = 11.n + 3; n ∈ N ; x ≤ 300}

b) B = { x ∈ N x M6; x < 100}

B = { x ∈ N 20Mx} c)

H·y viÕt c¸c tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử.
Bài 5. Tìm số phần tử của các tập hợp sau đây
a. A = { } b. B = { x ∈ N / x M2 ; 2 ≤ x ≤ 100} c. C = { x ∈ N / x + 1 = 0} d. D =

{ x ∈ N / x M3}

Bài 6. Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của các tập hợp đó
a. Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8 : x = 2
b. Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 3 < 5
c. Tập hợp C các số tự nhiên x mà x 2 = x + 2
d. Tập hợp D các số tự nhiên x mà x : 2 = x : 4

e. Tập hợp E các số tự nhiên x mà x + 0 = x
Bµi 7. Cho A = {1 ; 2 ;3}
2


Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lớp 6 cc hay
Tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp A
Bài 8. Ta gọi A là tập hợp con thùc sù cđa B nÕu A ⊂ B vµ A B
HÃy viết các tập hợp con thực sự của tập hợp B = {1;2;3;4}
Bài 9. Cho tập hợp A = {a, b, c, d, e }
a. ViÕt c¸c tập con của A có một phần tử
b. Viết các tËp con cđa A cã hai phÇn tư
c. Cã bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử
d. Có bao nhiêu tập hợp con của A có bốn phần tử
e. Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con
Bài 11 . Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số, B là tập hợp các số tự nhiên có
ba chữ số , C là tập hợp các số tự nhiên lẻ có ba chữ số , D là tập hợp các số tự nhiên cã
ba ch÷ sè tËn cïng b»ng 5 . Dïng kÝ hiệu và sơ đồ để biểu thị quan hệ giữa các tập
hợp ở trên
Bài 12 . Cho tập hợp A = { 4;5;7} , h·y lËp tËp hỵp B gồm các số tự nhiên có ba chữ số
khác nhau từ các phần tử của tập hợp A . Bảo rằng tập hợp A là tập hợp con của tập hợp
B đúng hay sai? Tìm tập hợp con chung của hai tập hợp A và B
Bài 13 . Tìm các tập hợp bằng nhau trong các tập hợp sau
a. A = { 9;5;3;1;7}
b. B là tập hợp các số tự nhiên x mà 5 . x = 0
c. C là tập hợp các số lẻ nhỏ hơn 10
d. D là tập hợp các số tự nhiên x mà x : 3 = 0
Bµi 17 . Trong mét líp häc , mỗi học sinh đều học tiếng Anh hoặc tiếng Pháp. Cã 25
ngêi häc tiÕng Anh , 27 ngêi häc tiÕng Pháp, còn 18 ngời học cả hai thứ tiếng . Hỏi lớp
học đó có bao nhiêu học sinh

Bài 18 Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy : có 20 học sinh thích bóng đá ; 17 học
sinh thÝch b¬i; 36 häc sinh thÝch bãng chun; 14 häc sinh thích bóng đá và bơi;13 học
sinh thích bơi và bóng chuyền; 15 học sinh thích bóng đá và bóng chuyền; 10 học sinh
thích cả ba môn ;12 học sinh không thích một môn nào.Tìm xem lớp học đó có bao
nhiêu học sinh
Bài 19 . Trong số 100 học sinh cã 75 häc sinh thÝch to¸n , 60 häc sinh thích văn.
a. Nếu có 5 học sinh không thích cả toán và văn thì có bao nhiêu học sinh thích cả hai
môn văn và toán
b. Có nhiều nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
c. Có ít nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
Bài toán 1: Cho tập hợp A = { a, b, c, d , e} .
a) ViÕt c¸c tập hợp con của A có một phần tử
b) Viết các tập hợp con của A có hai
phần tử.
c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử ? có bốn phần tử ?.
d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con ?
Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trờng
hợp sau.
a) A = { 1;3;5} ; B = { 1;3;7}
b) A = { x, y} ; B = { x, y, z}
c) A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên ch½n.
3


Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lớp 6 cc hay
Bài toán 3: Ta gọi A là tập con thùc sù cña B nÕu A ⊂ B; A ≠ B. H·y viÕt c¸c tËp con thùc
sù cđa tËp hợp B = { 1; 2;3}
B = { 3; 4;5}
Bài toán 4: Cho các tập hợp A = { 1; 2;3; 4} ;
Viết các tập hợp vừa là tập hợp con của A, vừa là tập hợp con của B

Bài toán 5: Cho tập hợp A = { 1; 2;3; 4} .
a) Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn.
b) Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp A.
Bài toán 6: Cho 2 tập hợp A = { 1;3;6;8;9;12} vµ B = { x ∈ N * / 2 x 12}
a)Tìm tập hợp C của các phần tư võ thc tËp hỵp A võa thc tËp hỵp B Tìm tập
hợp D của các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A Hoặc tập hợp B
Bài toán 10: Cho tập hợp M = { 30; 4; 2005; 2;9} . HÃy nêu tập hợp con của tËp M gåm
nh÷ng sè:
a) Cã mét ch÷ sè
b) cã hai chữ số
c) Là số chẵn.
Bài toán 11: Cho A = { x ∈ N x M2; x M4; x < 100}
; B = { x ∈ N x M8; x < 100}
a) HÃy liệt kê các phần tử của tập hỵp A ; tËp hỵp B.
b) Hai tËp hỵp A, B có bằng nahu không ? Vì sao ?
Bài toán 13: Cho A là tập hợp 5 số tự nhiên đầu tiên, B là tập hợp 3 số chẵn đầu tiên.
a) CMR: B A b) Viết tập hợp M sao cho B ⊂ M , M ⊂ A . Có bao nhiêu tập hợp M nh
vậy.
Bài toán 14: Cho A = { x ∈ N x = 7.q + 3; q ∈ N ; x ≤ 150} .
a) X¸c định A bằng cách liệt kê các phần tử ? b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Bài to¸n 15: Cho M = { 1;13; 21; 29;52} . T×m x; y ∈ M biÕt 30 < x − y < 40
Bài toán 10: Cho a) A = { 1; 2} ; B = { 1;3;5}
b) A = { x, y}
; B = { x, y , z , t }
HÃy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó một phần tử thuộc A, một phần tử thc B.

C¸c phÐp to¸n trong N
1. Tính chất giao hốn của phép cộng và phép nhân.
a + b = b + a ; a.b = b.a
Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng khơng đổi

Khi đổi chõ các thừa số trong một tích thì tích khơng đổi.
2. Tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân:
(a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c);
3. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.:
a(b+ c) =
ab + ac
4. Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b ∈ N ; b ≠ 0) là có số tự nhiên p sao cho a=
b.p.
5. Trong phép chia có dư
số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r)
số dư bao giờ cũng khác 0 và nhỏ hơn số chia.

NÕu a .b= 0 thì a = 0 hoặc b = 0.

4


Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lớp 6 cc hay
II. Bài tập

*.Dạng 1: Các bài toán tính nhanh
Bài 1: Tính tổng sau đây một cách hợp lý nhÊt.
a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323 + 87
Bài 2: Tính nhanh các phép tính sau:
a/ 8 . 17 . 125

b/ 4 . 37 .25

Bµi 3: Tính nhanh một cách hợp lí:
a/ 997 + 86

b/ 37. 38 + 62. 37

c/ 43. 11; 67. 101; 423. 1001
đ, 998. 34

c/ 43. 11

d/ 67. 99;

67. 101

Bài 4: TÝnh nhanh c¸c phÐp tÝnh:
a/ 37581 – 9999

c/ 485321 – 99999

b/ 7345 – 1998

d/ 7593 – 1997

Bµi 5: TÝnh nhanh:
a) 15. 18 b) 25. 24 c) 125. 72

d) 55. 14

Bµi 6 :TÝnh nhanh:
a) 25. 12

b) 34. 11 c) 47. 101 d) 15.302

e) 125.18

Bài 7: Thực hiện phép tính bằng cách hợp lÝ nhÊt:

g)

123. 1001

a) 463 + 318 + 137 + 22

b) 189 + 424 +511 + 276 + 55
c) (321 +27)+ 79
d) 185 +434 + 515 + 266 + 155
e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73
f) 347 + 418 + 123 + 12
Bài 8: Tính bằng cách hợp lÝ nhÊt:
a) 5. 125. 2. 41. 8
c) 8. 12. 125. 2

b) 25. 7. 10. 4
d) 4. 36. 25. 50

Chó ý: Quy tắc đặt thừa số chung : a. b+ a.c = a. (b+ c) hc a. b + a. c + a. d = a.(b + c
+ d)
e) 3. 25. 8 + 4. 37. 6 + 2. 38. 12
Bµi 9: Tính bằng cách hợp lí nhất:
6. 38. 63 + 37. 38

b) 12.53 + 53. 172– 53. 84

5


Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lớp 6 cực hay
c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45

d, 39.8 + 60.2 + 21.8

e, 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41
*Chú ý: Muốn nhân 1 số có 2 chữ số với 11 ta cộng 2 chữ số đó rồi ghi kết quả váo
giữa 2 chữ số đó. Nếu tổng lớn hơn 9 thì ghi hàng đơn vị váo giữa rồi cộng 1 vào chữ
số hàng chục.
vd : 34 .11 =374

;

69.11 =759

*Chú ý: muốn nhân một số có 2 chữ số với 101 thì kết quả chính là 1 số có được
bằng cách viết chữ số đó 2 lần khít nhau
vd: 84 .101 =8484

; 63 .101 =6363

;

*Chú ý: muốn nhân một số có 3 chữ số với 1001 thì kết quả chính là 1 số có được
bằng cách viết chữ số ú 2 ln khớt nhau
Ví dụ:123.1001 = 123123
*.Dạng 2: Các bài toán có liên quan đến dÃy số, tập hợp

1:DÃy số cách đều:
VD: Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 49
Ta tÝnh tæng S nh sau:
Bµi 1:TÝnh tỉng sau:
a) A = 1 + 2 + 3 + 4 + .. . + 100
Số số hạng cả dãy là: (100-1):1+1 = 100
A= (100 + 1) .100 : 2 = 5050
b) B = 2 + 4 + 6 + 8 + .. . + 100
số số hạng là: (100-2):2+1 = 49
B=(100 +2).49 :2 = 551 .49 = 2499
c) C = 4 + 7 + 10 + 13 + .. . + 301
d) D = 5 + 9 + 13 + 17 + .. .+ 201.
Bµi 2: TÝnh c¸c tỉng:
a) A = 5 + 8 + 11 + 14 + .. . + 302

b) B = 7 + 11 + 15 + 19 + .. .+ 203.

c) C = 6 + 11 + 16 + 21 + .. . + 301

d) D =8 + 15 + 22 + 29 + .. . + 351.

Bµi 3: Cho tæng S = 5 + 8 + 11 + 14 + .. .
a)Tìm số hạng thứ100 của tổng.
b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên.
Gii: lu ý: s cui = (số số hạng - 1) . khoảng cách - số đầu
6


Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lớp 6 cực hay
a. vậy số thứ 100 = (100-1) .3 – 5 = 292

b. S= (292 + 5) .100:2 = 23000
Bµi 4: Cho tỉng S = 7 + 12 + 17 + 22 + .. .
a)Tìm số hạng tứ50 của tổng.
b) Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên.

7


Bài 5:Tính tổng của tất cả các số tự nhiên x, biết x là số có hai chữ số và 12 < x < 91
Bài 6: Tính tổng của các số tự nhiên a , biết a có ba chữ số và 119 < a < 501.
Tính tổng các chữ sè cđa a.
Bµi 7: TÝnh 1 + 2 + 3 + .. . + 1998 + 1999
Bµi 8: TÝnh tỉng của:
a/ Tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số. b/ Tất cả các số lẻ có 3 chữ sè.
b/ S2 = 101+ 103+ .. . + 997+ 999
Bµi 9Tính tổng a/ Tất cả các số: 2, 5, 8, 11, .. ., 296 b/ Tất cả các số: 7, 11, 15, 19, .. .,
283
Bµi 10: Cho d·y sè:
a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19. b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29. c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, .. .
HÃy tìm công thức biểu diễn các dÃy số trên.
Ghi chú: Các số tự nhiên lẻ là những số không chia hết cho 2, biểu diễn là 2k + 1 , k N
Các số tự nhiên chẵn là những số chia hết cho 2, công thức biểu diễn là 2k , k N)
*Dạng 3: Tìm x
Bµi 1:Tìm x ∈ N biết
a) (x –15) .15 = 0

b) 32 (x –10 ) = 32

Bµi 2:Tìm x ∈ N biết :
a ) (x – 15 ) – 75 = 0 b)575- (6x +70) =445

c) 315+(125-x)= 435
Bµi 3:Tìm x ∈ N biết :
a) x –105 :21 =15
b) (x- 105) :21 =15


Bµi 4: Tìm số tự nhiên x biết
a( x – 5)(x – 7) = 0

b/ 541 + (218 – x) = 735

c/ 96 – 3(x + 1) = 42

d/ ( x – 47) – 115 = 0 e/ (x – 36):18 = 12
BTNC a) Tính tổng của các sống tự nhiên từ 1 đến 999;
b) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 999 thành một hang ngang ,ta được số
123….999. tính tổng các chữ số của số đó.
1.Tìm số có hai chữ số,biế rằng nếu viêt chữ số 0 xen giữa hai chữ của số đó thì được số có
ba chữ số gấp 9 lần số có hai chữ số ban đầu.
2.a)Hãy viết liên tiếp 20 chữ số 5 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số
đó để được tổng bằng 1000.
b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số 8 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số
đó để được tổng bằng 1000.
3.Chia các số tự nhiên từ 1 đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn và lớp số lẻ.hỏi lớp nào có
tổng các chữ số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?
4. Điền các chữ số thích hợp vào các chữ để được phép tính đúng : a) 1ab + 36 = ab1 ;
b) abc + acc + dbc = bcc
5. Cho ba chữ số a,b,c với 0 < a < b < c ;
a) Viết tập hợp A các số có ba chữ số ,mỗi số gồm cả ba chữ số a, b ,c:
b) Biết rằng tổng hai số nhỏ nhất trong tập hợp A bằng 488.tìm tổng các chữ

a + b + c.
4
1
0

2
8

5. Cho 1 bảng vng gồm 9 ơ vng như hình vẽ.
hãy điền vào các ô của bảng các số tự nhiên từ 1 đến 10
(mỗi số chỉ được viết một lần) sao cho tổng các số ở
mỗi hang ,mỗi cột ,mỗi đường chéo bằng nhau.
6. Kí hiệu n! là tích của các số tự nhiên từ 1 đến n : n! = 1.2.3…n.
Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5!
7. Trong một tờ giấy kẻ ô vng kích thước 50.50 ơ vng .trong mỗi ơ người ta viết
một số tự nhiên . biết rằng bốn ô tạo thành một hình như hình vẽ thì tổng các số trong
bốn ơ đó đều bằng 4 .hãy chứng tỏ rằng mỗi số đó đều bằng 1.
8.Một số có bảy chữ số ,cộng với số được viets bảy chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược
lại thì được tổng là số có bảy chữ số.hãy chứng tổ rằng tổng tìm được có ít nhất một chữ
số chẵn.
9.Cho bảng gồm 16 ô vuông như hình vẽ .hãy điền vào các
ô bảng của bảng các số tự nhiên lẻ từ 1 đến 31 (mỗi số chỉ
15
29
23
5
3
17
27
9

viết một lần.) sao cho tổng các số trong cùng một hàng,
cùng một cột , cùng một đường chéo đều bằng nhau
10.Cho dãy số 1,2,3,5,8,13,21,34,….( dãy số phi bô na xi) trong đó mỗi số (bắt đầu từ số
thứ ba) bằng tổng hai số đứng liền trước nó.chọn trong dãy số đó 8 số liên tiếp tùy
ý.chứng minh rằng tổng của 8 số này không phải là một số của dãy đã cho.
11. Một số chắn có bốn chữ số, trong đó chứ số hàng trăm và chứ số hang chục lập
thành một số gấp ba lần chữ số hàng nghìn và gấp hai lần chữ số hang đơn vị.tìm số đó.
12.Tìm các số a,b,c,d trong phếp tính sau:
abcd + abc + ab + a = 4321 .
13.Hai người chơi một trò chơi lần lượt bốc những viên bi từ hai hộp ra ngồi.mỗi người
đến lượt mình bốc một số viên bi tùy ý .người bốc viên bi cuối cùng đối với cacr hai hộp là
người thắng cuộc.biết rằng ở hộp thứ nhất có 190 viên bi ,hộp thứ hai có 201 viên bi.hãy
tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc bi đầu tiên là người thắng cuộc.
Bài tập cñng cè
1.
Tính giá trị của biểu thức một cách hợp lí:
A = 100 + 98 + 96 + ….+ 2 - 97 – 95 - …- 1 ;
B = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – 11 – 12 + …- 299 – 330 + 301 + 302;
2. Tính nhanh
a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21. b)2.53.12 + 4.6.87 – 3.8.40; c) 5.7.77 – 7.60 + 49.25 –
15.42.
3.Tìm x biết:
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); ab) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130.
4. Tổng của hai số bằng 78293.số lớn trong hai số đó co chữ số hàng dơn vị là 5 ,chữ hàng
chục 1,chữ số trăm là 2.nếu ta gạch bỏ các chữ số đó đi thì ta được một số bằng số nhỏ
nhất .tìm hai số đó.
5.Một phếp chia có thương là 6 dư 3 .tổng của số bị chia ,số chia và số dư là 195.tìm số bị
chia và số chia.

6.Tổng của hai số có a chữ số là 836.chữ số hàng trăm của số thứ nhất là 5 ,của số thứ hai
là 3 .nếu gạch bỏ các chữ số 5 và 3 thì sẽ được hai số có hai chữ số mà số này gấp 2 lần số
kia.tìm hai số đó.
7.Một học sinh khi giải bài toán đáng lẽ phải chia 1 số cho 2 và cộng thương tìm được với
3 .nhưng do nhâm lẫn em đó đã nhân số đó với 2 và sau đó lấy tích tìm được trừ đi 3 .mặc
dù vậy kết quả vẫn đúng .hỏi số cần phải chia cho 2 là số nào?
8. Tìm số có ba chữ số .biết rằng chữ số hàng trăm bằng hiệu của chữ số hàng chục với
chữ số hàng đơn vị.chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thì được thương là 2 và
dư 2.tích của số phải tìm với 7 là 1 số có chữ số tận cùng là 1.
9. Tìm số tự nhiên a ≤ 200 .biết rằng khi chia a cho số tự nhiên b thì được thương là 4 và
dư 35 .
10. Viết số A bất kì có 3 chữ số ,viết tiếp 3 chữ số đó 1 lần nữa ta được số B có 6 chữ
số.chia số B cho 13 ta được số C. chia C cho 11 ta được số D.lại chia số D cho 7.tìm thưởng
của phép chia này.
11. Khi chia số M gồm 6 chữ số giống nhau cho số N gồm 4 chữ số giống nhau thì được
thương là 233 và số dư là 1 số r nào đó .sau khi bỏ 1 chữ số của số M và 1 chữ số của số N
thì thương khơng đổi và số dư giảm đi 1000.tìm 2 số M v N?
* Các bài toán về dÃy số viết theo quy luËt.


Bài toán 1: Tính các tổng sau.
a) 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + n
c) 1 + 3 + 5 + ..... + (2.n + 1)
e) 2+5+8+……+2006
Gi¶i; a)

(n+ )n
2

b) 2 + 4 + 6 + 8 + .... + 2.n

d) 1 + 4 + 7 + 10 + ...... + 2005
g) 1+5+9+….+2001

b)sè sè h¹ng (2n – 2) : 2 + 1= n Tổng =

Bài toán 2: Tính nhanh tæng sau: A = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + .... + 8192
Bài toán 3: a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số
b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số.
Bài toán 4: a) Tổng 1+2+3+.+n có bao nhiêu số hạng để kết quả của tổng bằng 190.
b) Có hay không số tù nhiªn n sao cho 1 + 2 + 3 + .... + n = 2004
c) Chøng minh r»ng: [ (1 + 2 + 3 + .... + n) − 7 ] không chia hết cho 10 n N
Bài to¸n 5: a) TÝnh nhanh 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + 1999.2000
b) áp dụng kết quả phần a) tÝnh nhanh B = 1.1 + 2.2 + 3.3 + ... + 1999.1999
c) TÝnh nhanh : C = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + 48.49.50.
HÃy xây dựng công thức tính tổng a) và c) trong trờng hợp tổng quát.
Bài toán 6: Tìm số hạng thứ 100, số hạng thứ n cđa c¸c d·y sè sau:
a) 3;8;15; 24;35;.....
b) 3; 24;63;120;195;.....
c) 1;3;6;10;15;......
d) 2;5;10;17; 26;.....
e) 6;14; 24;36;50;.....
g) 4; 28;;70;130;....
Bài toán 7: Cho dÃy sè 1;1 + 2;1 + 2 + 3;1 + 2 + 3 + 4;.....
Hái trong d·y sè trªn cã sè nào có chữ số tận cùng là 2 không ? Tại sao ?.
Bài toán 8: Cho S1 = 1 + 2; S2 = 3 + 4 + 5; S3 = 6 + 7 + 8 + 9; S4 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14;.. . TÝnh S100 .
Bài toán 9: Tính bằng cách hợp lý.
a) A =

41.66 + 34.41
3 + 7 + 11 + ... + 79

b) B =

1 + 2 + 3 + .. + 200
6 + 8 + 10 + .. + 34

c) C =

1..5.6 + 2.10.12 + 4.20.24 + 9.45.54
1.3.5 + 2.6.10 + 4.12.20 + 9.27.45

Bµi 21. H·y chøng tá r»ng hiƯu sau cã thĨ viÕt thµnh mét tÝch cđa hai thõa sè giống
nhau :
11111111 2222
Bài 22. Tìm kết quả của phép nh©n sau

{ {
{ {
a) A = 33....3.99...9
b) B = 33...3.33...3
2005 c. s 2005 c . s
2005 c . s 2005c . s
Bài 23. Chứng tỏ rằng các số sau có thể viết đợc thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp

a. 111222

{ 123
b. 444222 c. A= 11....122....2
n c.s1
n c.s2

Giải : Do 111222 : 111 = 1002 nªn 111222 = 111.1002 = 111. 3 . 334 = 333.334
Bài toán 1: Cho ba chữ số a, b, c. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm cả ba chữ số
trên.
a) Viết tập hợp A.
b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Bài toán 2: Cho ba chữ số a, b, c sao cho 0 < a < b < c.
a) Viết tập A các số tự nhiên có ba chữ số gồm cả ba chữ số trên.
b) Biết tỉng cđa hai sè nhá nhÊt trong tËp A b»ng 448. Tìm ba chữ số a, b, c nói trên.
Bài to¸n 11: Ngêi ta viÕt liỊn nhau d·y sè tù nhiên bắt đầu từ 1: 1,2,3,4,5,Hỏi chữ số
thứ 659 là chữ số nào ?
Bài toán 12: Cho S = 7 + 10 + 13 + ...... + 100


a) Tính số số hạng của tổng trên. b) Tìm sè h¹ng thø 22 cđa tỉng. c) TÝnh tỉng S
{ 123
Bài toán 14: Chứng tỏ rằng số A= 11....122....2 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
n c.s1
n c.s2

Bài toán 15: Trong hệ thập phân số A đợc viết bằng 100 chữ số 3, số B đợc viết bằng
100 chữ số 6. HÃy tính tích A.B
Các bài toán về số và chữ số
Bài1. Một số có 3 chữ số, tËn cïng b»ng ch÷ sè 7. NÕu chun ch÷ sè 7 đó lên đầu thì ta
đợc một số mới mà khi chia cho số cũ thì đợc thơng là 2 d 21. Tìm số đó
Bài 2. Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 7 vào đằng trớc số đó
thì đợc một số lớn gấp 4 lần so với số có đợc bằng cách viết thêm chữ số 7 vào sau số đó
Bài 3 . Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2 vào bên phải
và một chữ số 2 vào bên trái của nó thì số ấy tăng gấp 36 lần
Bài 4 . Nếu ta viết thêm chữ số 0 vào giữa các ch÷ sè cđa mét sè cã hai ch÷ sè ta đợc

một số mới có 3 chữ số lớn hơn số đầu tiên 7 lần . Tìm số đó
Bài 5. Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số của chính số đó, ta đợc
một số mới có bốn chữ số và bằng 99 lần số đầu tiên. Tìm số đó
Bài 6 . Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số một số có hai chữ số kém
số đó 1 đơn vị thì sẽ đợc một số có bốn chữ số lớn gấp 91 lần so với số đầu tiên. HÃy tìm
số đó
Bài 7 . Tìm số tự nhiên có hai ch÷ sè, biÕt r»ng sè míi viÕt theo thø tự ngợc lại nhân
với số phải tìm thì đợc 3154; số nhỏ trong hai số thì lớn hơn tổng các chữ số của nó là 27
Bài 8 . Cho số có hai chữ số . Nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số hàng chục và hàng
đơn vị của nó thì đợc thơng là 18 và d 4 . Tìm số đà cho
Bài 9 . Cho hai số có 4 chữ số và 2 chữ số mà tổng của hai số đó bằng 2750. Nếu cả hai
số đợc viết theo thứ tự ngợc lại thì tổng của hai số này bằng 8888 . Tìm hai số đà cho
Bài 10 . Tìm số có bốn chữ số khác nhau, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 0 vào giữa
hàng nghìn và hàng trăm thì đợc số mới gấp 9 lần số phải tìm
Bài 11 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, sao cho khi nhân số đó với 4 ta đợc số gồm bốn
chữ số ấy viết theo thứ tự ngợc lại
Bài 12 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, sao cho khi nhân số đó với 9 ta đợc số gồm bốn
chữ số ấy viết theo thứ tự ngợc lại
Bài 13 . Tìm số tự nhiên có năm chữ số, sao cho khi nhân số đó với 9 ta đợc số gồm
năm chữ số ấy viết theo thứ tự ngợc lại
Bài 14 . Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng nếu xoá chữ số hàng trăm thì số ấy
giảm 9 lần
Bài 15 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng nếu xoá chữ số hàng nghìn thì số ấy
giảm 9 lần
Bài 16 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm bằng 0 và nếu xoá
chữ số 0 đó thì số ấy giảm 9 lần
Bài 17 . Một số tự nhiên tăng gấp 9 lần nếu viết thêm một chữ số 0 vào giữa các chữ số
hàng chục và hàng đơn vị của nó . Tìm số ấy
Bài 18 . Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số ®ã võa chia hÕt cho 5 vµ chia hÕt cho
9 , hiệu giữa số đó với số viết theo thứ tự ngợc lại bằng 297

Bµi 1. TÝnh nhanh
a. 417 + 235 + 583 + 765
5 +8 +11 +14 + ......+ 38 + 41
b. 4 . 7 . 16 . 25
13 . 8 . 250
c. ( 1999 + 313) – 1999
( 1435 + 213) – 13
d. 2023 - ( 34 + 1560)
1972 – ( 368 + 972)
e. 364 – ( 364 – 111)
249 – ( 75 51)
Bài 2. Tính nhanh các tổng sau
a. 1+2+3+4+5+....+n
e. 2+5+11+....+47+65
b. 1+3+5+7+....+ ( 2n – 1) g. 3+12+48+...+3072+12288
c. 2+4+6+8+.....+2n h. 2+5+7+12+.....+81+131
d. 1+6+11+16+....+46+51
i. 49-51+53-55+57-59+61-63+65
Bµi 3. a. TÝnh nhÈm 204. 36 499.12 601.42 199.41
b. . Tính nhẩm bằng cách nhân thừa số nµy, chia thõa sè kia cho cïng mét sè
66.50 72.125 38.5 15.16.125
c. . Tính nhẩm bằng cách nhân cả số bị chia và số chia với cùng một số khác kh«ng
2000 : 25 7300 : 50 4970 : 5 81000 : 125
d. TÝnh nhÈm b»ng c¸ch ¸p dơng tÝnh chÊt ( a ± b ) : c = a : c ± b : c
169 : 13 660 : 15 119 : 7 204 : 12
Bài 4 . Tìm x
a. (158 - x) :7 = 20
b. 2x – 138 = 23 . 32

c. 231 - (x – 6 ) =1339 :13
d. 10 + 2x = 45 : 43
a. 70 - 5.(2x - 3) = 45
b. 156 – (x + 61) = 82
c. 6.(5x + 35) = 330
d. 936 - (4x + 24) = 72
a. 5.(3 x + 34) = 515
b. (158 - x) : 7 = 20
c. (7x - 28) .13 = 0
d. 218 + (97 - x) = 313
(2x – 39) . 7 + 3 = 80
b)[(3x + 1)3 ]5 = 150
c) 2436 . (5x + 103) = 12
d) 294 - (7x - 217) = 38 . 311 : 316 + 62
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35);
b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130.
a. 420 + 65 . 4 = ( x + 175) : 5 + 30
b. [ ( x + 32) − 17] . 2 = 42
c. ( 32 . 15 ) : 2 = ( x + 70 ) : 14 – 40
d. [ 61 + (53 − x)] .17 = 1785
e. x – 4867 = ( 175 . 2050 . 70 ) : 25 + 23
f. 697 :

15.x + 364
= 17
x


g. 92.4 – 27 =
Bµi 5. TÝnh nhanh

x + 350
+ 315
x

168.168 − 168.58
(456.11 + 912).37
110
13.74
864.48 − 432.96
45.16 − 17
b.
864.48.432
28 + 45.15
7256.4375 − 725
(315 + 372).3 + (372 + 315).7
c.
3650 + 4375.7255
26.13 + 74.14
1978.1979 + 1980.21 + 1958
27.45 + 27.55
d.
1980.1979 − 1978.1979
2 + 4 + 6 + ... + 14 + 16 + 18
26.108 − 26.12
1. e.
127 . 36 + 64. 127 – 27. 100
32 − 28 + 24 − 20 + 16 − 12 + 8 − 4

a.

{390 : [500 – (125 + 35 . 7)]}
2. 57 : 55 - 7 . 70
3. 50 + 51 + 52 +...+ 99 + 100
4. 24:{300 : [375 – (150 + 15. 5]}
5. 56 : 53 + 3 . 32
6. 20 + 22 + 24 +....96 + 98
7. 35 + 38 + 41 +... + 92 + 95
2
8. B = 24 . 5 – [ 131 – ( 13 – 4 )2 ]
9. 33 . 35 : 34 + 22 . 2. 20
10. 187 . (38 + 62) – 87 .(62 + 38)
11. 25.{32 : [12 – 4 + 4. (16 : 8)]}

12 :

2.125.18 + 36.252 + 4.223.9
B = 12 . 62 . 32 + 32 + 72 + 20
1449 : {[216 + 184 : 8).9]}
2195.1952 - 952. 427 - 1952. 1768
H = 30 + 31 + 32 + 33 + 30 . 31 . 32.33
A = { 46 – [( 16 + 71.4) : 15 ] }–
222 + 224 + 226 + . . . . + 444
(5346 – 2808) : 54 + 51
23 .16 - 23 . 14
25.{32 : [12 – 4 + 4. (16 : 8)]}


Luỹ thừa với số mũ tự nhiên
I/ Kiến thức cơ b¶n.

n
1. Định nghóa: a = a.a……….a
n thừa số
1
0
2. Quy ước: a = a ;
a = 1 ( a ≠ 0)
3. Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số:

a m .a n = a m + n
am : an = am − n

( n ∈ N*)

(m, n ∈ N *)
(m, n ∈ N *, m ≥ n, a ≠ 0)

4.Lũy thừa của một tích: (a.b)n = an. bn
5. Lũy thừa của một lũy thừa: ( am )n = am.n
6. Lũy thừa tầng: a m = a ( m )
7. Số chính phương là số mà bằng bình phương của một số tự nhiên.
Ví dụ: các số 0; 1; 4; 9; 16; 25;…. là các số chính phương
. Bài tập:
1. Viết các số sau dưới dạng lũy thừa:
a) 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100..0; (n số 0 );
b) 5 ; 25; 625; 3125;
2.So sánh các số sau:
a) 3200 với 23000 ; b) 1255 với 257 ; c)920 với 2713 d)354 với 281;
3.Viết các tích sau đướ dạng lũy thừa:
a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 84.165.32; d) 274.8110 ;

4.So sánh:
a) 1030 với 2100 ; b) 540 với 62010 ;
5.Một hình lập phương có cạnh là 5 m.
a) tính thể tích của hình lập phương;
b) nếu cạnh của hình lập phương tăng lên 2 lần , 3 lần thì thể tích của hình lập phương
tăng lên bao nhiêu lần.
6. Trong cách viết ở hệ thập phân số 2100 có bao nhiêu chữ số?
SO SÁNH HAI LŨY THỪA
A) KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa chúng về dạng hai lũy thừa
có cùng cơ số (lớn hơn 1) hoặc cùng số mũ (lớn hơn 0) rồi mới so sánh.
Nếu am = an thì m = n, hoặc nếu an = b n thì a = b
Nếu m > n thì am > an (a> 1)
Nếu a > b thì an > b n (n > 0)
2) Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a < b thì a.c < b.c
(với c > 0)
II/. Bµi tËp
Bµi tËp 1: ViÕt gän c¸c biĨu thøc sau b»ng c¸ch dïng l thõa.
n

a, 3 . 3 . 3 . 4 . 4 =
b, a . a . a + b . b . b . b =

n


c, 166 : 42 d, 178: 94e, 1254 : 253f, 414 . 528 = (g, 12n: 22n = h. 84. 165b. 540 . 1252 . . 6253
i. 274 . 8110 d. 103 . 1005 . 10004
k. 410.230
b) 925.274.813

c) 2550.1255
d) 643.48.164
a) 5 x.5 x.5 x
b) x1.x 2 .....x 2006
c) x.x 4 .x 7 .....x100
d) x 2 .x5 .x8 .....x 2003
a) 38 : 36 ; ; 197 :193 210 : 83 ; 127 : 67 ; 275 : 813
b) 106 :10 ; 58 : 252 ; 49 : 642 ; 225 : 324 ; 183 : 93 ; 1253 : 254
a) 166 : 42 b) 278 : 94 c) 1255 : 253 d) 414.528
e) 12n : 22 n
g) 644.165 : 420


Bài tập 2: Tính giá trị biểu thức.


a, 38 : 34 + 22 . 23 b, 3 . 42 – 2 . 32 c,
3

e.

2

72 x 54
108
4

10

g.

3

10

.11 + 3 .5
9

4

3 .2

10

h.

2

46.34.95
212.14.125
453.204.182
213 + 25
d,
e,
g, 10 2
612
3536
1805
2 +2
10

.13 + 2 .65
8

2 .104

y. ( 1253 . 75 – 1755 : 5 ) : 20012002

k. 16 .64 .82 : ( 43. 25. 16)
Bµi 4. Cho A = 5. 415. 99 – 4. 320. 89 B = 5.29.619- 7.229.276 TÝnh A : B
C = 2181.729 + 243.81.27 D = 32.92.243 + 18.243.324 + 723. 729 TÝnh C : D
a) (217 + 17 2 ).(915 − 315 ).(24 − 42 )
b) (71997 − 71995 ) : (71994.7)
c) (12 + 23 + 34 + 45 ).(13 + 23 + 33 + 43 ).(38 − 812 )

d) (28 + 83 ) : (25.23 ) a)

b) (1 + 2 +…+ 100)(12 + 22 + … + 102)(65 . 111 – 13 . 15 . 37)

210.13 + 210.65
2 8.104

310.11 + 310.5
210.13 + 210.65
49.36 + 644
b) B =
c) C =
d)
39.24
28.104

164.100
723.542
46.34.95
213 + 25
212.14.125
D=
e) E = 12
f) F = 10 2
g) G =
h)
1084
6
2 +2
355.6
11.322.37 − 915
453.204.182
H=
i) I =
(2.314 ) 2
1805

a) A =

Bài tập 5: Tìm x N biết
a, 2x . 4 = 128 b, x15 = x 1
c, (2x + 1)3 = 125
d, (x – 5)4 = (x - 5)6
d/

x10 = x e/ (2x -15)5 = (2x -15)3

Bài 1: Tìm các số mũ n sao cho luỹ thừa 3n thảo mÃn điều kiện: 25 < 3n < 250
Bài 2. Tìm sè tù nhiªn n biÕt
a. 5n = 125 34. 3n = 37 27. 3n = 243 49.7n = 2401
b. 9 < 3n < 81 25 ≤ 5n ≤ 125
Bµi 3. Tìm x là số tự nhiên, biết rằng :
a. 2x . 4 = 128
b. x15 = x
c. ( 2x + 1 )3 = 125
d. ( x – 5 )4 = ( x – 5 )6
e. x2006 = x2
Bµi 4 : T×m x ∈ N biÕt
a) 3x.3 = 243
b) x 20 = x
c) 2 x.162 = 1024
d) 64.4 x = 168
Bµi 5 T×m x ∈ N biÕt
g) 2 x − 15 = 17
h) (7 x − 11)3 = 25.52 + 200
i) 3x + 25 = 26.2 2 + 2.30


l) 49.7 x = 2041
m) 64.4 x = 45
n) 3x = 243
p) 34.3n = 37
Bài 6: Tìm n N biÕt:
a) 9 < 3n < 81
a) 50 < 2n < 100

b) 25 ≤ 5n ≤ 125

b) 50<7n < 2500

Bµi 7 T×m x biÕt
a) ( x − 1)3 = 125
b) 2 x + 2 − 2 x = 96
c) (2 x + 1)3 = 343
3
d) 720 : [ 41 − (2 x − 5) ] = 2 .5
a) 2x . 7 = 224
b) (3x + 5)2 = 289
c) x. (x2)3 = x5
d) 32x+1 . 11 = 2673
Bài 8: Tìm n N * biÕt
a) 32 < 2n < 128
d) (22 : 4).2n = 4
i) 64.4n = 45
Bài 9: Tìm x N biÕt
a) 16 x < 128

b) 2.16 ≥ 2n > 4
1
9
k) 27.3n = 243

e) .34.3n = 37

x x +1 x + 2
18
{
b) 5 .5 .5 ≤ 100...0 : 2

18 c / s 0

g)

1 n
.2 + 4.2n = 9.25
2

1
9

h) .27 n = 3n


chuyên đề: Các bài toán so sánh hai luỹ thừa
1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thờng đa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng sè
mị.
+ NÕu hai l thõa cã cïng c¬ sè (lín hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn
hơn.
Nếu m>n thì am>an (a>1).
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.
Nếu a>b thì an>bn ( n>0).
2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất
đơn điệu của phép nhân.
(aVí dụ: So sánh 3210 và 1615, số nào lớn hơn.
Hớng dẫn:
Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách đa 3210 và
1615 về luỹ thừa cùng cơ số 2.
3210 = (25)10 = 250

1615 = (24)15 = 260
V× 250 < 260 suy ra 3210 < 1615.
Bài tập 1: So sánh:
Bài 1: So sánh các số sau?
a) 2711 và 818.
b) 6255 vµ 1257 c) 536 vµ 1124 d) 32n vµ 23n (n N* )
Hớng dẫn:
a) Đa về cùng cơ số 3.
b) Đa về cùng cơ số 5.
c) Đa về cùng số mũ 12.
d) Đa về cùng số mũ n
23
22
13
16
Bài 2: a) 5 vµ 6.5
b) 7.2 vµ 2 c) 2115 vµ 275.498
Hớng dẫn:
a) Đa hai số về dạng một tích trong ®ã cã thõa sè gièng nhau 522.
b) §a hai sè về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 213.
c) Đa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3.
Bài 3: a) 19920 vµ 200315.
b) 339 vµ 1121.
Híng dÉn :
a) 19920 < 20020 = (23 .52)20 = 260. 540.
200315 > 200015 = (2.103)15 = (24. 53)15 = 260.545
b) 339 <340 = (32)20 = 920<1121.
Bài 4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn?
72 45-7244và 72 44-7243.
Hớng dẫn:

7245-7244=7245(72-1)=7245.71.
7244-7244=7244(72-1)=7244.71.


Bµi 5: 27 vµ 72
Ta cã: 27 = 128 ; 72 = 49
Vì 128 > 49 nên 27 > 72
Bài 6 a) 95 vµ 273 b) 3200 vµ 2300
a) Ta cã: 95 = (32)5 = 310
273 = (33 )3 = 39
Vì 310 > 39nên 95 > 273
b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100
2300 = (23) 100 = 8100
V× 9100 > 8100 ; nên 3200 > 2300
c, 3500 và 7300
3500 = 35.100 = (35)100 = 243100
7300 = 73.100 . (73 )100 = (343)100
V× 243100 < 343100 => 3500 < 7300
d, 85 vµ 3 . 47 . 85 = (23)+5 = 215 <3.214 = 3.47
=> 85 < 3 . 47
e, 202303 và 303202
202303 =(2023)201 ; 303202 = (3032)101
Ta so sánh 2023 vµ 3032
2023 = 23. 101 . 1013 vµ 3032 => 3032 < 2023
3032 = 33. 1012 = 9.1012
vËy 303202 < 2002303
f, 321 vµ 231
321 = 3 . 3 20 = 3. 910 ; 231 = 2 . 230 = 2 . 810
3 . 910> 2 . 810 => 321 > 231
g, 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660

371320 = (372)660 = 1369660
V× 1369660 > 1331660 => 371320 > 111979


Bài 7: So sách các cặp số sau:
a/ A = 275 vµ B = 2433 Ta cã A = 275 = (33)5 = 315
vµ B = (35)3 = 315

VËy A = B

b/ A = 2 300 vµ B = 3200
A = 2 300 = 33.100 = 8100

vµ B = 3200 = 32.100 = 9100

Vì 8 < 9 nên 8100 < 9100 và A < B.
Bài 8: So sánh hai luỹ thõa sau:
3111 vµ 1714
Ta thÊy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1)
1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2)
Tõ (1) vµ (2) 311 < 255 < 256 < 1714
nên
3111 < 1714
Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn
a) 1030 và 2100
b) 333444 và 444333
c) 1340 và 2161
d) 5300 và 3453
Bài 2: So sánh các số sau
a) 5217 vµ 11972

b) 2100 vµ 10249
c) 912 vµ 277
d) 12580 vµ 25118
e) 540 vµ 62010
f) 2711 vµ 818
Bµi 3: So sánh các số sau
a) 536 và 1124
b) 6255 và 1257
c) 32 n vµ 23n (n ∈ N * )
d) 523 và 6.522
Bài 4: So sánh các số sau
a) 7.213 vµ 216
b) 2115 vµ 275.498
c) 19920 vµ 200315
d) 339 vµ 1121
Bài 5: So sánh các số sau
a) 7245 7244 vµ 7244 − 7243
b) 2500 vµ 5200
c) 3111 vµ 1714
d) 324680 vµ 237020
e) 21050 vµ 5450
g) 52 n vµ 25n ;(n N )
Bài 6: So sánh các số sau
a) 3500 vµ 7300
b) 85 vµ 3.47
c) 9920 vµ 999910
d) 202303 vµ 303202
e) 321 vµ 231
g) 111979 vµ 371320
h) 1010 vµ 48.505

i) 199010 + 19909 và 199110
Bài 7: So sánh các sè sau
a) 10750 vµ 7375
b) 291 vµ 535
c) 544 vµ 2112
Bài 8: Tìm xem 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân
Bài giải:
100
Muốn biết 2 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so sánh 2100 với 1030
và 1031.
* So s¸nh 2100 víi 1030
Ta cã: 2100 = (210)10 = 1024 10


1030 = (103)10 = 100010
Vì 102410 > 100010
nên 2100 > 1030 (*)
* So s¸nh 2100 víi 1031
Ta cã: 2100 = 231 . 269 = 231 . 263 . 26
= 231 . (29)7 . (22)3 = 231 .5127 . 43 (1)
1031 = 231 . 531 = 231 . 528. 53 = 231 (54 )7 . 53
= 231 . 6257. 53 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã:
231 . 5127 . 43 < 231 . 5127 . 53
Hay 2100 < 1031 ( **)
Tõ (*),( **) ta cã:
1031 < 2100 < 1031
Sè cã 31 chữ số nhỏ nhất
Số có 32 chữ số nhỏ nhất
100

Nên 2 có 31 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân.
Bài 10: So sánh A và B biết.
19 30 + 5
a) A = 31
;
B
19 + 5
218 − 3
2 20
b) 20
; B = 22
2 −3
2
2
9
1 + 5 + 5 + ... + 5
c) A =
;
1 + 5 + 5 2 + ... + 5 8

19 31 + 5
= 32
19 + 5
−3
−3
1 + 3 + 3 2 + ... + 3 9
B =
1 + 3 + 3 2 + ... + 3 8

Bài giải:

90
19.(19 + 5)
19 + 5
19 31 + 95
Nên 19A =
=
= 1 + 31
31
31
31
19 + 5
19 + 5
19 + 5
19 + 5
31
31
32
90
19.(19 + 5)
19 + 5
19 + 95
B = 32
nªn 19B =
= 32
= 1 + 32
19 + 5
19 + 5
19 32 + 5
19 + 5
90

90
V× 31
> 32
19 + 5
19 + 5
90
90
Suy ra 1 + 31
> 1 + 32
Hay 19A > 19B Nªn A > B
19 + 5
19 + 5
9
2 2 .(218 − 3)
218 − 3
2 20 − 12
b) A = 20
nªn 22 . A =
= 20
= 1 - 20
22
2 −3
2 −3
2 −3
2 −3
2
20
20
22
9

2 .(2 − 3)
2 −3
2 − 12
B = 22
nªn 22.B =
= 22
= 1- 22
2 −3
2 −3
2 22 − 3
2 −3
9
9
9
9
V× 20
> 22
Suy ra
1 - 20
< 1- 22
Hay 22 A < 22 B
2 −3
2 −3
2 −3
2 −3

A=

30

Nªn A < B
c) Ta cã:

30


1 + 5 + 5 2 + ... + 5 9
A=
=
1 + 5 + 5 2 + ... + 5 8
1 + (5 + 5 2 + ... + 5 9 ) 1 + 5(1 + 5 + 5 2 + ... + 5 8 )
1
=
=
+ 5 > 5 (1)
2
8
2
8
2
1 + 5 + 5 + ... + 5
1 + 5 + 5 + ... + 5
1 + 5 + 5 + ... + 5 8
1
+ 3 < 4 (2)
T¬ng tù B =
Tõ (1) vµ (2) Ta cã
2
1 + 3 + 3 + ... + 3 8
1

1
A=
+ 3 =B nªn A > B
2
8 + 5 > 5 > 4 >
2
1 + 5 + 5 + ... + 5
1 + 3 + 3 + .... + 3 8

Bµi tËp 10: Cho A = 1 + 2 + 22 + .. +230
ViÕt A + 1 dới dạng một lũy thừa
Bài 4: Tìm x ∈ N biÕt
a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = ( x +1)2
b) 1 + 3 + 5 + ...+ 99 = (x -2)2
a) 1 + 2 + 3 + ...+ 10 = (x +1)
( 1+ 2 + 3+...+ 10)2 = ( x +1)2
552 = ( x +1) 2
55 = x +1
x = 55- 1
x = 54
b) 1 + 3 + 5 +...+ 99 = ( x -2)2
3

3

3

3

Bµi gi¶i:

2

2

 99 − 1 
+ 1 = ( x - 2)2

2



502 = ( x -2 )2
50 = x -2
x = 50 + 2
x = 52
( Ta cã: 1 + 3 + 5+ ...+ ( 2n+1) = n2)
Bài 5: Tìm 1 cặp x ; y N thoả mÃn
73 = x2 - y2
Ta thÊy: 73 = x2 - y2
( 13 + 23 + 33 +...+73) - (13+ 23+ 33+...+ 63) = x2 - y2
(1+ 2 + 3 + ...+ 7)2 - (1 + 2 + 3 +...+ 6)2 = x2 - y2
282 - 212 = x2 - y2
VËy 1 cỈp x; y thoả mÃn là:
x = 28; y = 21
Bài 2: Tìm x N* biết.
A =
111....1
- 777 ...7
2 x chữ số 1
x chữ số 7

là số chính phơng
Bài giải:


+ NÕu x = 1
Ta cã: A = 11 - 7 = 4 = 22 (TM)
+ NÕu x > 1
Ta cã A = 111...1 - 777...7 = ......34 M 2
2x chữ số 1
x chữ số 7 mà ...34 M 4
Suy ra A không phải là số chính phơng ( loại)
Vậy x = 1
c) Dùng tính chất chia hết
Bài 1: Tìm x; y ∈N biÕt:
35x + 9 = 2. 5y
*)NÕu x = 0 ta cã:
350 + 9 = 2.5y
10 = 2.5y
5y = 5
y =1
*) NÕu x >0
+ NÕu y = 0 ta cã: 35x + 9 = 2.50
35x + 9 = 2 ( v« lý)
+ NÕu y > 0 ta thÊy:
35x + 9 M 5 v× ( 35x M 5 ; 9 M 5 )
Mà 2. 5y M 5 ( vô lý v× 35x + 9 = 2.5y)
VËy x = 0 vµ y = 1
Bµi 1: TÝnh tỉng.
A = 1 + 2 + 22+...+ 2100

B = 3 - 32 + 33 - ... - 3100
Bài giải:
2
100
A = 1 + 2 + 2 + ...+ 2
=> 2A = 2 + 22 + 23 + ...+ 2101
=> 2A - A = (2 + 22 + 23 + ...+ 2101 ) – (1 +2 + 22+ ...+2100)
VËy A = 2101 - 1
B = 3 - 32 - 33 - ...- 3100
=> 3B = 32 - 33 + 34 - ...- 3101
B + 3B = (3 - 33 + 33) - ...- 3100) + ( 32 - 23 +34 - ... - 3101)
4B = 3 - 3101
VËy B = ( 3- 3101) : 4
Bµi 2: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2 + 22 ; 2 + 22 + 23 ; 2 + 22 + 23 + 24
b) Chøng minh r»ng: A = 2 + 22 + 23 + ..... + 22004 chia hÕt cho 3; 7 vµ 15.
Bµi 3: a) ViÕt tỉng sau thµnh mét tÝch 34 + 35 + 36 + 37
b) Chøng minh r»ng: B = 1 + 3 + 32 + .... + 399 M40
Bµi 4: Chøng minh r»ng:
a) S1 = 5 + 52 + 53 + ... + 52004 M6;31;156
b) S2 = 2 + 22 + 23 + .... + 2100 M31
c) s3 = 165 + 215 M33