Tổng hợp hệ phương trình hay trong đề thi đại học toán những năm gần đây (tài liệu free)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (301.92 KB, 14 trang )
Hệ phương trình trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học(ñề chính thức)
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2014
Giải hệ phương trình sau:
( )
2
3
12 12 12
8 1 2 2
x y y x
x x y
− + − =
− − = −
trong ñó
( )
,x y∈ℝ
Hướng dẫn giải
( )
( )
( )
2
3
12 12 12 1
8 1 2 2 2
x y y x
x x y
− + − =
− − = −
ðiều kiện:
2 3 2 3x− < ≤
;
2 12y≤ ≤
Ta có
( )
2
2
2
12
12
2
12
12
2
x y
x y
y x
y x
+ −
− ≤
+ −
− ≤
. Nên
( )
2
12 12 12x y y x− + − ≤
. Do ñó:
( )
2
0
1
12
x
y x
≥
⇔
= −
Thay vào phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược
( )
( )
( )
( )
3 2 3 2
2
2
8 1 2 10 8 3 2 1 10 0
2 3
3 3 1 0 3
1 10
x x x x x x
x
x x x
x
− − = − ⇔ − − + − − =
+
⇔ − + + + =
+ −
Do
0x ≥
nên
( )
2
2
2 3
3 1 0
1 10
x
x x
x
+
+ + + >
+ −
Do ñó:
( )
3 3x⇔ =
thay vào hệ phương trình và ñối chiếu ñiều kiện ta thu ñược nghiệm của
hệ phương trình là
( ) ( )
; 3;3x y =
.
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2014:
Giải hệ phương trình sau:
( ) ( )
2
1 2 1
2 3 6 1 2 2 4 5 3
x x y x x y y
y x y x y x y
− − + = + − −
− + + = − − − −
trong ñó
( )
,x y∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Ta có
( ) ( ) ( )
( )
2
1 2 1 1
2 3 6 1 2 2 4 5 3 2
x x y x x y y
y x y x y x y
− − + = + − −
− + + = − − − −
ðiều kiện:
0
2
4 5 3
y
x y
x y
≥
≥
≥ +
Ta có
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1 1 1 0
1 1
1 1 0 3
1 1
y x y x y y
y x y
x y y
⇔ − − − + − − − =
⇔ − − − + =
− + +
Do
1 1
0
1 1x y y
+ >
− + +
nên phương trình (3) tương ñương với
1
1
y
y x
=
= −
Với
1y =
, phương trình (2) trở thành
9 3 0 3x x− = ⇔ =
Với
1y x= −
, ñối chiếu ñiều kiện thì phương trình 2 trở thành
( )
( )
( )
2 2
2
2 3 2 2 1 1 2 0
1
1 2 0
1 2
x x x x x x x
x x
x x
− − = − ⇔ − − + − − − =
⇔ − − + =
− + −
Do
1
2 0
1 2x x
+ >
− + −
nên (3)
2
1 5
1 0
2
x x x
±
− − = ⇔ =
ðối chiếu ñiều kiện và kết hợp với trường hợp trên ta ñược nghiệm của hệ phương trình ñã
cho là
( ) ( )
1 5 1 5
; 3;1 , ;
2 2
x y
+ − +
=
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2014:
Giải bất phương trình
( ) ( )
2
1 2 6 7 7 12x x x x x x+ + + + + ≥ + +
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện:
2x ≥ −
. Bất phương trình ñã cho tương ñương với
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
1 2 2 6 7 3 2 8 0
1 6
2 4 0 1
2 2 7 3
x x x x x x
x x
x x
x x
+ + − + + + − − + − ≥
+ +
⇔ − + − − ≥
+ + + +
Do
2x ≥
nên
2 0x + ≥
và
6 0x + >
. Suy ra
1 6 2 2 6 6 1
4 0
2 2
2 2 7 3 2 2 7 3 2 2
x x x x x x
x
x x x x x
+ + + + + +
+ − − = − + − − <
+ + + + + + + + + +
Do ñó
( )
1 2x⇔ ≤
ðối chiếu ñiều kiện, ta ñược nghiệm của bất phương trình ñã cho là
2 2x− ≤ ≤
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
( )
4
4
2 2
1 1 2
2 1 6 1 0
x x y y
x x y y y
+ + − − + =
+ − + − + =
trong
ñ
ó
( )
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện:
1
x
≥
Từ phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược
( )
2
4 1 , 0y x y y= + − ⇒ ≥
ðặt
4
1, 0u x u= − ⇒ ≥
. Phương trình (1) của hệ phương trình trở thành
( )
4 4
2 2 3u u y y+ + = + +
Xet hàm số
( )
4
2
f t t t
= + +
, Với mọi
0t ≥
.
Ta có:
( )
3
4
2
' 1 0
2
t
f t
t
= + >
+
,Với mọi
0t ≥
.
Do ñó phương trình (3) tương ñương với
y u=
, nghĩa là
4
1
x y= +
Thay vào phương trình (2) ta thu ñược
( )
( )
7 4
2 4 0 4
y y y y+ + − =
Hàm số
( )
7 4
2 4f y y y y= + + −
có
( )
6 3
' 7 8 1 0g y y y= + + >
, với mọi
0
y ≥
Mà
( )
1 0g =
, nên phương trình (4) có hai nghiệm không âm là
0
1
y
y
=
=
Với
0
y =
ta ñược nghiệm của
( ) ( )
; 1;0x y =
Với
1
y =
ta ñược nghiệm là
( ) ( )
; 2;1x y =
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là
( ) ( ) ( )
; 1;0 , 2;1x y =
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013:
Giải hệ phương trình sau:
2 2
2 2
2 3 3 2 1 0
4 4 2 4
x y xy x y
x y x x y x y
+ − + − + =
− + + = + + +
trong ñó
( )
,x y∈ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
2 0
4 0
x y
x y
+ ≥
+ ≥
Tử phương trình (1) của hệ ta thu ñược
1
2 1
y x
y x
= +
= +
Với
1y x= +
, thay vào phương trình (2) ta ñược
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
3 3 3 1 5 4
3 1 3 1 2 5 4 0
1 1
3 0
1 3 1 2 5 4
1
0
0
x x x x
x x x x x x
x x
x x x x
x
x x
x
− + = + + +
⇔ − + + − + + + − + =
⇔ − + + =
+ + + + + +
=
⇔ − = ⇔
=
Khi ñó ta thu ñược nghiệm
( ) ( ) ( )
; 0;1 , 1;2x y =
Với
2 1y x= +
, thay vào phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược
( ) ( )
3 3 4 1 9 4
3 4 1 1 9 4 2 0
4 9
3 0 0
4 1 1 9 4 2
x x x
x x x
x x
x x
− = + + +
⇔ + + − + + − =
⇔ + + = ⇔ =
+ + + +
Khi ñó nghiệm của hệ phương trình là
( ) ( )
; 0;1x y =
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh Cao
ñẳ
ng kh
ố
i A-2013:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
2
3 1 0
4 12 0
xy y
x y xy
− + =
− + =
trong
ñ
ó
( )
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Hệ phương trình ñược ñược viết lại
( )
( )
2
3 1 0 1
4 12 0 2
xy y
x y xy
− + =
− + =
Nhận xét
0y =
không thỏa mãn phương trình (1).
Từ phương trình (1) ta ñược
( )
3 1
3
y
x
y
−
=
Thay vào phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược
3 2
1
3 11 12 4 0 2
2
3
y
y y y y
y
=
− + − = ⇔ =
=
Vậy nghiệm của hệ tích phân là
( ) ( )
5 3 2
; 2;1 , ;2 , ;
2 2 3
x y
=
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2012: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
3 2 2 2
2 0
2 2 0
xy x
x x y x y xy y
+ − =
− + + − − =
trong
ñ
ó
( )
,x y∈ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
H
ệ
ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
( )
( )
( )
( )
2
2 0 1
2 1 0 2
xy x
x y x y
+ − =
− + − =
V
ớ
i
2 1 0 2 1
x y y x
− + = ⇔ = +
thay vào ph
ương trình 1 của hệ ta ñược
2
1 5
1 0
2
x x x
− ±
+ − = ⇔ =
.
Do
ñ
ó ta có các nghi
ệ
m
( ) ( )
1 5 1 5
; ; 5 , ; ; 5
2 2
x y x y
− + − −
= = −
V
ớ
i
2 2
0 .
x y y x
− = ⇔ = Thay vào ph
ươ
ng trình (1) c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình ta
ñượ
c
( )
( )
3 2
2 0 1 2 0 1
x x x x x x
+ − = ⇔ − + + = ⇔ = . Do
ñ
ó ta
ñượ
c nghi
ệ
m
( ) ( )
; 1;1x y =
V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
;
x y
ñ
ã cho
là
1 5 1 5
; 5 , ; 5
2 2
− + − −
−
và
( )
1;1
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2012: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
− − + = + −
+ − + =
trong ñó
( )
,x y∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
( )
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9 1
1
2
2
x x x y y y
x y x y
− − + = + −
+ − + =
Hệ phương trình ñã cho tương ñương với
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
2 2
1 12 1 1 12 1
1 1
1
2 2
x x y y
x y
− − − = + − +
+ + + =
Từ (2), suy ra
1 3 1
1 1 1
2 2 2
1 1 3
1 1 1
2 2 2
x x
y y
− ≤ − ≤ − ≤ − ≤
⇔
− ≤ − ≤ − ≤ − ≤
Xét hàm số
( )
3
12
f t t t
= −
trên
3 3
;
2 2
−
;
( )
( )
2
' 3 4 0f t t= − < , suy ra
( )
f t
là hàm nghịch biến.
Do
ñó (1) tương ñương
( )
1 1 2 3x y y x− = + ⇔ = −
Thay vào (2), ta ñược
2 2
2
1
1 3
2
1 4 8 3 0
3
2 2
2
x
x x x x
x
=
− + − = ⇔ − + = ⇔
=
Thay vào phương trình (3), ta ñược nghiệm của hệ phương trình
( )
;
x y
là
1 3
;
2 2
−
ho
ặ
c
3 1
;
2 2
−
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2011: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
( )
( )
2 2 3
2
2 2
5 4 3 2 0
2
x y xy y x y
xy x y x y
− + − + =
+ + = +
trong
ñ
ó
( )
,x y∈ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 3
2
2 2
5 4 3 2 0 1
2 2
x y xy y x y
xy x y x y
− + − + =
+ + = +
T
ừ
ph
ươ
ng trình (2) t
ươ
ng
ñươ
ng
( )
( )
2 2
2 2
1
1 2 0
2
xy
xy x y
x y
=
⇔ − + − = ⇔
+ =
+
1;xy = từ phương trình (1) suy ra
4 2
2 1 0 1y y y− + = ⇔ = ±
Do ñó, nghiệm
( ) ( )
; 1;1x y =
hoặc
( ) ( )
; 1; 1x y = − −
+
2 2
2x y+ = , từ phương trình (1) suy ra
( )
( )
( )
( )( )
2 2 2 2
2 2
3 4 2 2 0
6 4 2 2 0
1
1 2 0
2
y x y xy x y x y
y xy x y x y
xy
xy y x
x y
+ − + − + =
⇔ − + − + =
=
⇔ − − = ⇔
=
Với 2
x y
= , từ
( )
2 2
2 10 10
2 ; ;
5 5
x y x y
+ = ⇒ =
ho
ặ
c
( )
2 10 10
; ;
5 5
x y
= − −
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho cho 4 nghi
ệ
m
( ) ( )
2 10 10
1;1 , 1; 1 , ;
5 5
− −
2 10 10
;
5 5
− −
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2011: Tìm m
ñể
h
ệ
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m
( )
3 2
2
2 2
1 2
x y x xy m
x x y m
− + + =
+ − = −
trong
ñ
ó
( )
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðặ
t
2
1
, ; 2
4
u x x u v x y= − ≥ − = −
H
ệ
ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho tr
ở
thành
( ) ( )
2
2 1 0 1
1 2
1 2
uv m
u m u m
u v m
v m u
=
+ − + =
⇔
+ = −
= − −
H
ệ
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m th
ỏ
a mãn
1
4
u ≥ −
V
ớ
i
1
4
u ≥ − , ta có : (1)
( )
2
2
2 1
2 1
u u
u u u m
u
− +
⇔ + = − + ⇔ =
+
Xét hàm s
ố
( )
2
2 1
u u
f u
u
− +
=
+
V
ớ
i
1
4
u ≥ − , ta có
( )
( )
( )
2
2
2 2 1 1 3
' ; ' 0
2
2 1
u u
f u f u u
u
+ − − +
= − = ⇔ =
+
Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng-2011: Giải hệ phương trình sau
2 2
2 2 3 2
2 2
x y x y
x xy y
+ = − −
− − =
trong ñó
( )
,x y∈ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện 2 0x y+ ≥ , ñặt
2 , 0t x y t= + ≥
.
Phương trình (1) trở thành :
( )
2
1
2 3 0
3
t
t t
t loai
=
+ − = ⇔
= −
V
ớ
i t =1, ta có 1 2y x= − . Thay vào (2) ta
ñượ
c
2
1
2 3 0
3
x
x x
x
=
+ − = ⇔
= −
V
ớ
i x=1 ta
ñượ
c 1y = −
V
ớ
i
3x = − ta
ñượ
c 7y =
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
( )
;
x y
là
( )
1; 1−
và
( )
3;7−
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2010: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
2
2
2
4 2 0
2log 2 log 0
x x y
x y
− + + =
− − =
trong
ñ
ó
( )
,x y∈ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện
( )
2; 0 1x y> >
Từ hệ phương trình ñã cho ta có :
2 2
0
2
4 2 0 3 0
2 2
3
1
x
y
x x y x x
x y y x
x
y
=
= −
− + + = − =
⇔ ⇔
− = = −
=
=
ðối chiếu nghiệm của hệ phương trình với ñiều kiện ta thấy nghiệm của hệ là
( ) ( )
; 3;1x y =
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i B-2010: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
2
2
log 3 1
4 2 3
x x
y x
y
− =
+ =
trong
ñ
ó
( )
,x y∈ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện
1
3
y >
, phương trình thứ nhất của hệ phương trình cho ta
3 1 2
x
y − =
Do ñó, hệ phương trình ñã cho tương ñương với
( )
2
2
2
1
1
2
3 1 2
3 1 2
2
1
1
6 3 0
3 1 3 1 3
2
2
x
x
x
x
y
y
y
y y
y y y
y
= −
=
− =
− =
⇔ ⇔ ⇔
=
− =
− + − =
=
Vậy hệ phương trình có nghiệm
( )
1
; 1;
2
x y
= −
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2010: Giải hệ phương trình sau
( )
( )
2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 4 2 3 4 7
x y y
x y x
+ + − − =
+ + − =
trong ñó
( )
,x y∈ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
3 5
;
4 2
x y≤ ≤
. Phương trình thứ nhất của hệ phương trình tương ñương với
( )
( ) ( )
2
4 1 2 5 2 1 5 2 1x x y y+ = − + −
Nhận xét phương trình (1) có dạng
( )
( )
2 2 2
f x f y
= −
, với
( )
( )
2
1
f t t t
= +
Ta có
( )
2
' 3 1 0f t t= + >
suy ra f là hàm số ñồng biến trên R.
Do ñó:
( )
2
0
1 2 5 2
5 4
2
x
x y
x
y
≥
⇔ = − ⇔
−
=
The vào phương trình thứ hai của hệ phương trình , ta ñược
( )
2
2 2
5
4 2 2 3 4 7 0 3
2
x x x
+ − + − − =
Nhận thấy
0x =
và
3
4
x =
không phải là nghiệm của phương trình (3)
Xét hàm số
( )
2
2 2
5
4 2 2 3 4 7
2
g x x x x
= + − + − −
, trên khoảng
3
0;
4
( )
( )
2 2
5 4 4
' 8 8 2 4 4 3 0
2
3 4 3 4
g x x x x x x
x x
= − − − = − − ≤
− −
Suy ra
( )
g x
là hàm số nghịch biến.
Mặt khác
1
0
2
g
=
, do ñó phương trình (3) có nghiệm duy nhất
1
2
2
x y= ⇒ =
Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm
( )
1
; ;2
2
x y
=
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2009: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
( )
2
2
1 3 0
5
1 0
x x y
x y
x
+ + − =
+ − + =
trong
ñ
ó
( )
,x y∈ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Hệ phương trình ñã cho tương ñương với
( )
2
2
2 2
2
1
1
1
3
3 3
1
2 1
1 0 1
1 1 2
5 4 6
3 5
1 0 2 0
1 1 0
2
3
1
2
2
x
x
x y
x y y
x y x y
x
x x
x
x y
x
x x x
x x
y
x y
=
=
+ = −
+ = =
+ + − = + = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
=
=
+ − + = − + =
− − + =
= −
+ =
Vậy
Hệ phương trình ñã cho có nghiệm
( )
;
x y
là
( )
1;1
và
3
2;
2
−
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i B-2009: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
+ + =
+ + =
trong
ñ
ó
( )
,x y
∈ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Hệ phương trình ñã cho tương ñương với
( )
( )
2
2
2
2
1
5
1
1
1 1
7
7
20 0
12
1
1
1 1
13
4
13 1
3
x
x
y
I
x
x
x
x x
y y
x y
y y
y y
x
x x
x
x
x x
y y
y
II
y y y y
x y
+ = −
+ + =
+ + =
+ + + − =
=
⇔ ⇔ ⇔
+ + =
+ =
+ − = = − +
=
+ Hệ phương trình (I) vô nghiệm
+ Hệ phương trình (II) có nghiệm
( )
1
; 1;
3
x y
=
và
( ) ( )
; 3;1x y
=
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2009: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
( )
2 2
2 2
2 2
log 1 log
3 81
x xy y
x y xy
− +
+ = +
=
trong
ñ
ó
( )
,x y
∈ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện:
( )
0 *xy
>
, hệ phương trình ñã cho tương ñương với
2 2
2
2 2
2
2
4
4
x y
x y xy x y
y
y
x xy y
=
+ = =
⇔ ⇔
= ±
=
− + =
Kết với với ñiều kiện ta thấy hệ phương trình ñã cho có nghiệm
( )
2;2
và
( )
2; 2
− −
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2008: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
( )
2 3 2
4 2
5
4
,
5
1 2
4
x y x y xy xy
x y
x y xy x
+ + + + = −
∈
+ + + = −
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Ta có biến ñổi:
( )
( )
( )
( )
2 3 2 2 2
2
4 2 2
5 5
4 4
*
5 5
1 2
4 4
x y x y xy xy x y xy xy x y
x y xy x x y xy
+ + + + = − + + + + = −
⇔
+ + + = − + + = −
ðặt
2
u x y
v xy
= +
=
. Hệ phương trình (*) trở thành
2
2 3 2
5 5 5
0,
4 4 4
5 1 3
0 ,
4 4 2 2
u v uv v u u v
u
u v u u u v
+ + = − = − − = = −
⇔ ⇔
+ = − + + = = − = −
Giải ta ñược nghiệm của hệ phương trình
( )
;
x y
là
3
3
5 25
;
4 16
−
và
3
1;
2
−
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i B-2008: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
+ + = +
+ = +
trong
ñ
ó
( )
,x y∈ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Hệ phương trình ñã cho tương ñương với
( )
( )
2
2
2
2
3
2 4 3 2
2
2 9
0
3 3 2 9 12 48 64 0 4 0
4
2
3 3
2
x xy x
x
x
x x x x x x x x x
x
x
xy x
+ = +
=
⇒ + + − = + ⇔ + + + = ⇔ + = ⇔
= −
= + −
+ Với x=0 không thỏa mãn hệ phương trình
+ Với
17
4
4
x y= − ⇒ =
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
( )
17
; 4;
4
x y
= −
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2008: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
2 2
2
,
2 1 2 2
xy x y x y
x y
x y y x x y
+ + = −
∈
− − = −
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện:
1, 0x y≥ ≥
Hệ phương trình ñã cho tương ñương với
( )( ) ( )
( )
2 1 0 1
2 1 2 2 2
x y x y
x y y x x y
+ − − =
− − = −
Từ ñiều kiện ta có
0x y+ >
nên
( ) ( )
1 2 1 3y⇔ +
Thay (3) vào(2) ta ñược
( ) ( ) ( )
1 2 2 1 2 1 0 5y y y y do y x+ = + ⇔ = + >
⇒
=
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
( ) ( )
; 5;2x y =
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2007:
Xác ñịnh m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
y y
+ + + =
+ + + = −
trong
ñ
ó
( )
,x y∈ℝ
Hướng dẫn giải
ðặt
( )
1
2, 2
1
u x
x
u v
v y
y
= +
≥ ≥
= +
. Hệ phương trình ñã cho tương ñương với
( )
3 3
5
5
8
3 15 10
u v
u v
uv m
u v u v m
+ =
+ =
⇔
= −
+ − + = −
Vậy u và v là hai nghiệm của phương trình
( )
2
5 8 1t t m− + =
Hệ phương trình ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm thỏa
1 2
2, 2t t≥ ≥
, (Hai nghiệm này không nhất thiết phân biệt)
Xét hàm số
( )
2
5 8
f t t t
= − +
với
2t ≥
.
Bảng biến thiên của hàm số
( )
f t
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy ñể hệ phương trình có nghiệm thì
22m ≥
hoặc
7
2
4
m≤ ≤
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2006:
Tìm a ñể hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ) ( )
( )
ln 1 ln 1
,
x y
e e x y
x y
y x a
− = + − +
∈
− =
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện: : x, y>-1. Hệ phương trình ñã cho ñường thẳng với
( ) ( ) ( )
( )
ln 1 ln 1 0 1
2
x a x
e e x a x
y x a
+
− + + − + + =
= +
Hệ phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm duy
nhất trong khoảng
( )
1;− + ∝
.
Xét hàm số
( ) ( ) ( )
ln 1 ln 1
x a x
f x e e x a x
+
= − + + − + +
với x>-1
Do f(x) liên tục trong khoảng
( )
1;− + ∝
. và
( ) ( )
1
lim ; lim
x
x
f x f x
+
→+∝
→−
= − ∝ = + ∝
Nên phương trình
( )
0f x =
có nghiệm trong khoảng
( )
1;− + ∝
.
Mặt khác
( )
( )
( )( )
1 1
' 1 0, 1.
1 1 1 1
x a x x a
a
f x e e e e x
x a x x a x
+
= − + − = − + > ∀ > −
+ + + + + +
Suy ra f(x) là hàm số ñồng biến trong khoảng
( )
1;− + ∝
.
Do ñó, phương trình
( )
0f x =
có nghiệm duy nhất trong khoảng
( )
1;− + ∝
Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2006: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
3
,
1 1 4
x y xy
x y
x y
+ − =
∈
+ + + =
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện: :
1, 1; 0x y xy≥ − ≥ − ≥
. ðặt
( )
0t xy t= ≥
. Từ phương trình thứ nhất của hệ
phương trình ta suy ra:
3
x y t
+ = +
Bình phương hai vế của phương trình thứ hai ta ñược
( )
2 2 1 16 2x y xy x y+ + + + + + =
Thay
2
, 3
xy t x y t
= + =
vào phương trình (2) ta ñược
( )
( )
2 2
2
2
2
0 11
0 11
3 2 2 3 1 16 2 4 11 3
4 4 11
3 26 105 0
t
t
t t t t t t t
t t t
t t
≤ ≤
≤ ≤
+ + + + + + = ⇔ + + = − ⇔ ⇔ ⇔ =
+ + = −
+ − =
Với
3t =
ta có
6
9
x y
xy
+ =
=
suy ra nghiệm của hệ phương trình là
( ) ( )
; 3;3x y =
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i B-2005: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
2 3
9 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y
− + − =
− =
trong
ñ
ó
( )
,x y∈ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
+ Ta có:
( )
( )
( )
2 3
9 3
1 2 1 1
3log 9 log 3 2
x y
x y
− + − =
− =
; ðiều kiện:
1
0 2
x
y
≥
< ≤
Từ phương trình (2) của hệ suy ra
( )
3 3 3 3
3 1 log 3log 3 log log
x y x y x y
+ − = ⇔ = ⇔ =
Thay
y x=
vào phương trình (1) ta có
( )( ) ( )( )
1
1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 0
2
x
x x x x x x x x
x
=
− + − = ⇔ − + − + − − = ⇔ − − = ⇔
=
Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm
( ) ( )
; 1;1x y =
và
( ) ( )
; 2;2x y =
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2004: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
1
1 3
x y
x x y y m
+ =
+ = −
trong
ñ
ó
( )
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðặt
u x
v y
=
=
ñiều kiện
0
0
u
v
≥
≥
Hệ phương trình ñã cho trở thành
3 3
1
1
1 3
u v
u v
uv m
u v m
+ =
+ =
⇔
=
+ = −
Vậy u, v là hai nghiệm của phương trình
( )
2
0 **t t m− + =
Hệ phương trình ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi hệ (*) có nghiệm sao cho
0
0
u
v
≥
≥
. ðiều này
tương ñương phương trình (**) có nghiệm t không âm
1 4 0
1
1 0 0
4
0
m
S m
m
∆ = − ≥
⇔ = ≥ ⇔ ≤ ≤
≥
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2004: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
1 4
4
2 2
1
log log 1
25
y x
y
x y
− − =
+ =
trong
ñ
ó
( )
,x y∈ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện: y > x và y > 0
( ) ( )
1 4 4 4 4
4
1 1 3
log log 1 log log 1 log 1
4
y x y
y x y x x
y y y
−
− − = ⇔ − − − = ⇔ − = ⇔ =
Thay vào phương trình
2 2
25
x y+ =
ta có
2
2
3
25 4
4
y
y y
+ = ⇔ = ±
So sánh ñiều kiện ta ñược
4 3y x= ⇒ =
thỏa mãn ñiều kiện
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
( ) ( )
; 3;4x y =
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2003: Giải hệ phương trình sau
( )
2
2
2
2
2
3
,
2
3
y
y
x
x y
x
x
y
+
=
∈
+
=
ℝ
trong
ñ
ó
( )
,x y∈ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện:
0; 0x y≠ ≠
Khi ñó hệ phương trình ñã cho tương ñương với
( )( )
2 2
2 2
2 2
3 0
3 2
3 2
3 2
x y xy x y
x y y
xy x
xy x
− + + =
= +
⇔
= +
= +
Trường hợp 1:
2 2
1
1
3 2
x y
x
y
xy x
=
=
⇔
=
= +
Trường hợp 2:
2 2
3 0
3 2
xy x y
xy x
+ + =
= +
vô nghiệm vì từ (1) và (2) ta có x, y >0
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
1
x y
= =
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2003: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
3
1 1
,
2 1
x y
x y
x y
y x
− = −
∈
= +
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện:
0xy ≠
Ta có phương trình (1) tương ñương
( )
1
1 0
1
x y
x y
xy
xy
=
− + = ⇔
= −
Trường hợp 1:
( )
( )
2
3 3
1
1 5
1 1 0
2
2 1 2 1
1 5
2
x y
x y
x y x y
x y
x x x
y x x x
x y
= =
=
= =
− +
⇔ ⇔ ⇔ = =
− + − =
= + = +
− −
= =
Trường hợp 2:
( )
( )
3
4
3
1
1
3
1
2
2 1
2 0 4
1
y
y
xy
x
x
y x
x x
x
x
= −
= −
=
⇔ ⇔
= +
+ + =
− = +
Phương trình (4) của hệ vô nghiệm vì
2 2
4 2
1 1 3
2 0;
2 2 2
x x x x x
+ + = − + + + > ∀
Vậy hệ phương trình có nghiệm
( )
;
x y
là
( )
1;1
,
1 5 1 5
;
2 2
− + − +
và
1 5 1 5
;
2 2
− − − −
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2002: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+
= −
+
=
+
trong
ñ
ó
( )
,x y∈ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Hệ phương trình ñã cho tương ñương với
3 2
3 2
2 0
2 5 4 2 0
0
1
2 5 4 0
4
x
x x
x
y
y y y
y
y
y y y y
y
= >
= − = >
=
⇔ ⇔
=
= − + =
=
So sánh ñiều kiện ta thấy hệ phương trình có nghiệm
( )
;
x y
là
( )
0;1
và
( )
2;4
Trích t
ừ
ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i B-2002: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
3
2
x y x y
x y x y
− = −
+ = + +
trong
ñ
ó
( )
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Ta có:
( )
( )
3
1
2 2
x y x y
x y x y
− = −
+ = + +
ðiều kiện:
( )
0
3
0
x y
x y
− ≥
+ ≥
Từ phương trình (1) tương ñương
( )
3 6
1 0
1
x y
x y x y
x y
=
− − − = ⇔
= +
Thay
x y
=
vào phương trình (2), giải ra ta ñược
1
x y
= =
Thay
1
x y
= +
vào phương trình (2), giải ra ta ñược
3 1
;
2 2
x y= =
Kết hợp với ñiều kiện (3) ta có nghiệm của hệ phương trình
( )
;
x y
là
( )
1;1
và
3 1
;
2 2
E mail:
-
Trang
14
-
i:
