Một số kinh nghiệm giáo dục năng lực học sinh bằng các bài toán đơn giản

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ KINH NGHIỆM MỞ RỘNG, PHÁT TRIỂN,
ĐẶT CÁC ĐỀ TOÁN TỪ MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN
Năm học: 2013 - 2014
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Cơ sở lí luận:
Ở bậc tiểu học môn toán là một trong những môn học hết sức quan
trọng. Môn toán nhằm giúp học sinh phát triển óc sáng tạo, kỹ năng tưởng
tượng, suy luận phán đoán và giải quyết vấn đề một cách chính xác góp
phần hình thành, phát triển toàn diện nhân cách học sinh. Vì vậy môn toán
là một môn học khó, khó không những ở phần tiếp thu kiến thức mới mà
khó ở cả phần vận dụng kiến thức vào giải các bài tập.
Đối với học sinh Tiểu học nhận thức nặng về cảm tính, cụ thể, năng
lực tư duy còn hạn chế do đó trong quá trình giải các bài tập các em còn
máy móc, thụ động và rất lúng túng khi phân tích, tưởng tượng, liên kết
các mối quan hệ của kiến thức để giải bài tập hơi phức tạp.
Môn toán ở tiểu học được cấu trúc bao gồm các mảng kiến thức về: số
học, các yếu tố đại số, đo đại lượng, các yếu tố hình học và giải bài toán
có lời văn. Với đặc điểm của môn học, đặc điểm tư duy của học sinh như
trên và với nội dung chương trình cũng như các dạng toán ở tiểu học vô
cùng đa dạng và phong phú nên trong phạm vi đề tài này tôi chỉ đưa ra
mỗi mạch kiến thức một vài bài tập đại diện để phân tích từ đó phát triển
ra một số đề bài phức tạp hơn so với bài toán ban đầu giúp học sinh khá
giỏi lớp 4, 5 tự giải, đồng thời giúp các bạn đồng nghiệp có thể có những
hướng mới trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán hay tự ra đề bài
cho học sinh làm.
2. Cơ sở thực tiễn:
Căn cứ nội dung chương trình môn toán ở tiểu học nói chung và ở lớp
4, 5 nói riêng, Căn cứ vào quá trình giảng dạy đại trà cũng như bồi dưỡng

cho học sinh khá giỏi lớp 4, 5 tôi đã rút ra một số kinh nghiệm mở rộng,
phát triển đặt các đề toán tứ bài toán đơn giản hơn.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi thấy đối với một bài toán khi
hướng dẫn học sinh giải nếu chỉ đơn thuần phân tích các dữ kiện của bài
toán để phục vụ cho việc tìm ra cách giải bài toán đó thì sau này nếu học
sinh gặp các bài toán dạng tượng tự hoặc có thêm bớt dữ kiện, yêu
cầu….thì học sinh sẽ rất lúng túng khó tự tìm ra cách làm nếu không có
gợi ý dẫn dắt của giáo viên nhưng nếu cũng giải bài toán đó mà giáo viên
trong quá trình phân tích hướng dẫn học sinh giải có liên hệ mở rộng thêm
một số yếu tố liên quan, phân tích thêm các dữ kiện của bài toán thì học
sinh sẽ dễ liên tưởng để giải các bài toán dạng tương tự mà không cần sự
hỗ trợ thêm của cô giáo.
Mặt khác qua quá trình phân tích hướng dẫn học sinh giải một bài
toán giáo viên cũng có thể tự ra các đề bài khác tương tự hay phát triển
thêm bằng cách thay đổi dữ kiện, thêm, bớt dữ kiện….mà không cần phải
máy móc tìm kiếm đề trong sách tham khảo,….mà lại phát huy tích liên
kết kiến thức, khắc sâu kiến thức cho học sinh.
Từ những lí do trên, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm và thực tế áp
dụng đã có hiệu quả khi hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4, 5 giải bài toán
như sau:
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
1. Phạm vi nghiên cứu:
Nội dung chương trình toán tiểu học lớp 4, 5.
2. Đối tượng thể nghiệm:
Học sinh khá giỏi lớp 4, 5.
3. Nội dung chính:
Trong chương trình toán lớp 4 học sinh được học về dạng toán trung
bình cộng - một dạng toán điển hình và cũng rất lí thú nếu chúng ta biết
khai thác sâu hơn. Sau đây là một hướng phân tích và phát triển từ một bài
toán cơ bản nhất của dạng toán trung bình cộng:

Ví dụ 1: Số học sinh của 3 lớp lần lượt là 25 học sinh, 27 học sinh, 32
học sinh. Hỏi trung bình cộng mỗi lớp có bao nhiêu học sinh? (số 2 trang
27 sách toán 4).
Phân tích: Đây là một bài toán rất đơn giản để tính được trung bình
mỗi lớp có bao nhiêu học sinh trước hết phải tính tổng số học sinh cả 3
lớp. Sau đó thực hiện phép chia cho 3.
Giải:
Tổng số học sinh của 3 lớp là:
25 + 27 + 32 = 84 ( học sinh )
Trung bình mỗi lớp có:
84 : 3 = 28 ( học sinh )
Mở rộng: Sau khi giải bài toán này giáo viên mở rộng thêm cho học
sinh thêm bằng câu hỏi: Nếu biết trung bình cộng, muốn tính tổng thì ta
làm thế nào?
Từ bài toán trên phát triển thành các bài toán khác cho học sinh làm
như sau:
1. Khối 4 của một trường tiểu học có 3 lớp, trong đó lớp 4A có 25 học
sinh, lớp 4B có 27 học sinh và trung bình số học sinh của mỗi lớp là 28
học sinh. Hỏi lớp 4C có bao nhiêu học sinh?
Phân tích: Bài toán này cho biết trung bình cộng => sẽ biết được tổng
số học sinh của cả khối 4 từ đó có thể dễ dàng giải bài toán.
Giải:
Tổng số học sinh của cả 3 lớp khối 4 là:
28 x 3 = 84 ( học sinh )
Số học sinh của lớp 4C là:
84 - ( 25 + 27) = 32 ( học sinh )
Đáp số: 32 học sinh
2. Tại một trường tiểu học có 3 lớp 4. Trong đó lớp 4A có 25 học
sinh, lớp 4B có số học sinh nhiều hơn trung bình số học sinh 2 lớp 4A và
4B là 1 học sinh, lớp 4C có 32 học sinh. Hỏi trung bình mỗi lớp có bao

nhiêu học sinh?
Phân tích: Mấu chốt để giải bài toán này là từ dữ kiện lớp 4B có số
học sinh nhiều hơn trung bình số học sinh của 2 lớp 4A và 4B là 1 HS.
Từ dữ kiện đó sẽ lí luận ra được trung bình số HS của 2 lớp 4A và 4B
=> tổng số học sinh của 2 lớp đó.
Giải:
Coi trung bình số HS của 2 lớp 4A và 4B một phần thì tổng số HS của
2 lớp là 2 phần như thế.
Khi đó số HS lớp 4B bằng 1 phần như thế cộng thêm 1 em.
Ta có sơ đồ:
4A 1 4B
TB số HS của
2 lớp 4A và 4B
Nhìn vào sơ đồ ta thấy số HS lớp 4A ít hơn trung bình số HS của 2
lớp là 1 em. Vậy trung bình số HS của 2 lớp 4A và 4B là:
25 + 1 = 26 ( em )
Tổng số HS của 3 lớp 4 là:
26 x 2 + 32 = 84 ( em )
Trung bình mỗi lớp có số HS là:
84 : 3 = 28 ( em )
Đáp số: 28 em.
3. Khối lớp 4 của một trường tiểu học có 3 lớp. Trong đó lớp 4A có
25 HS, lớp 4B có số HS nhiều hơn trung bình số HS của 2 lớp 4A và 4B
là 1 em, lớp 4C có số HS nhiều hơn trung bình số HS của cả 3 lớp là 4
em. Tính số HS của cả 3 lớp khối 4?
( Cách phân tích để giải bài toán này tương tự bài toán trên)
Giải:
Coi trung bình số HS của cả 3 lớp là 1 phần thì tổng số HS của cả 3
lớp bằng 3 phần như thế. Khi đó số HS của lớp 4C bằng 1 phần cộng thêm
4 em.

Ta có sơ đồ:
4
4A + 4B 4C
Từ sơ đồ ta thấy tổng số HS của 2 lớp 4A và 4B bằng 2 phần bớt đi 4
em. Do đó trung bình số HS của lớp 4A và 4B bằng một phần trừ đi 2 em
suy ra số HS của lớp 4B bằng 1 phần bớt đi 1 em và số HS lớp 4A bằng 1
phần bớt đi 3 em nên 1 phần ứng với số HS là: 25 + 3 = 28 ( em )
Số HS của 3 lớp khối 4 là:
28 x 3 = 84 ( em )
Đáp số: 84 em
4. Khối 4 của một trường tiểu học có 3 lớp. Biết rằng trung bình mỗi
lớp có 28 HS, trong đó số HS của lớp 4B ít hơn của lớp 4C là 5 em và
nhiều hơn lớp 4A là 2 em. Tính xem mỗi lớp có bao nhiêu HS?
Phân tích: Biết trung bình mỗi lớp có 28 HS => biết tổng số HS của cả
khối 4 => vẽ sơ đồ để giải.
Giải:
Tổng số HS của 3 lớp là:
28
×
3 = 84 (em)
Ta có sơ đồ:
Số HS lớp 4A
Số HS lớp 4B 2
Số HS lớp 4C 5
Nhìn vào sơ đồ ta thấy số HS của lớp 4A là:
(84 - 2 - 2 - 5) : 3 = 25 (em)
Số HS của lớp 4B là:
25 + 2 = 27 (em)
Số HS của lớp 4C là:
27 + 5 = 32 (em)

Đáp số: 25 em, 27 em, 32 em
Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số tự nhiên khác 0, biết c - b = a. Hãy chứng
tỏ rằng:
cb
a
×
=
b
1
-
c
1
Phân tích: Đây là 1 bài toán đơn giản HS chỉ việc thực hiện phép trừ
hai phân số bằng cách quy đồng mẫu số.
Giải:
b
1
-
c
1
=
bxc
c
-
bxc
b
=
bxc
bc −
=

cb
a
×
Vậy:
cb
a
×
=
b
1
-
c
1
Từ bài toán này có thể mở rộng, phát triển thành các bài toán cho HS
giải như sau:
1. Tính tổng sau bằng cách thuận tiện nhất:
2
1
+
32
1
x
+
43
1
x
+
54
1
x

Phân tích: Ta thấy: 3 - 2 = 1, 4 - 3 = 1, 5 - 4 = 1 vậy theo bài toán ở ví
dụ 1, ta có thể phân tích mỗi số hạng thành hiệu 2 phân số để giải.
Giải:
Ta thấy:
2
1
= 1 -
2
1
;
32
1
x
=
2
1
-
3
1
;
43
1
x
=
3
1
-
4
1
;

54
1
x
=
4
1
-
5
1
Vậy:
2
1
+
32
1
x
+
43
1
x
+
54
1
x
= 1 -
2
1
+
2
1

-
3
1
+
3
1
-
4
1
+
4
1
-
5
1
= 1 -
5
1
=
5
4
2. Tính tổng:
a.
21
1
x
+
32
1
x

+
43
1
x
+ …….+
9998
1
x
+
10099
1
x
(Cách giải bài này tương tự như bài ở trên)
b.
6
1
+
12
1
+
20
1
+
30
1
+ …….+
90
1
+
110

1
( Ở bài này cần viết mẫu số thành tích 2 số tự nhiên liên tiếp để đưa về
dạng như bài trên: 6 = 2 x 3, 12 = 3 x 4, 20 = 4 x 5, … , 90 = 9 x 10, 110
= 10 x 11 )
c.
1311
2
x
+
1513
2
x
+
1715
2
x
+
1917
2
x
+
2119
2
x
+
2321
2
x
( Ở bài này cũng dễ dàng nhận ra dạng của bài giống bài 1 vì 13 - 11 =
2, 15 - 13 = 2, 19 - 17 = 2, 21 - 19 = 2, 23 - 21 = 2 nên có thể phân tích

mỗi số hạng thành hiệu của 2 phân số
1311
2
x
=
11
1
-
13
1
,
1513
2
x
=
13
1
-
15
1
;
…….)
d.
4
3
+
28
3
+
70

3
+
130
3
+
208
3
( Đưa bài này về dạng giống bài c. bằng cách phân tích các mẫu số
thành tích của 2 số tự nhiên hơn kém nhau 3 đơn vị: 4 = 1 x 4, 28 = 4 x 7,
70 = 7 x 10, 130 = 10 x 13, 208 = 13 x 16.)
Ngoài các dạng trên có thể mở rộng thêm các bài khó hơn như:
3. Tính tổng:
a.
31
1
x
+
53
1
x
+
75
1
x
+ … +
9997
1
x
Phân tích: Theo cách nhận dạng nhanh ở các bài trên, ta thấy: 3-1 =2,
5-3 =2, …. HS sẽ suy nghĩ đến việc làm xuất hiện số 2 ở tử số bằng cách:

Đặt tổng đó bằng S rồi tính S x 2, ta có:
S x 2 =
31
2
x
+
53
2
x
+
75
2
x
+ ….+
9997
2
x
Bài toán trở về giống với bài 2c. Tính kết quả rồi chia đôi để tính S.
b.
51
2
x
+
95
2
x
+ ……+
9793
2
x

Phân tích: Cũng theo cách suy luận như bài 3a.: Vì 5-1= 4, 9-5= 4,
…., 97-93= 4 nên HS sẽ suy nghĩ làm xuất hiện số 4 ở tử số bằng cách:
Đặt tổng đó bằng A rồi tính A x 2, ta có:
A x 2=
51
4
x
+
95
4
x
+ ……+
9793
4
x
Bài toán trở về giống bài 3a.
c.
21
3
x
+
32
3
x
+ ….+
10099
3
x
Phân tích: Ta thấy 2 - 1= 1, 3 - 2= 1, … 100 - 99= 1 cho nên HS sẽ có
suy nghĩ làm xuất hiện số 1 ở tử số bằng cách: Đặt tổng đó bằng S rồi tính

S : 3. Cách giải giống như các bài trên, tính được kết quả đem nhân 3 để
tính S.
d.
75
4
x
+
97
4
x
+
119
4
x
+ … +
9997
4
x
Phân tích: Vì 7 - 5 = 2, 9 - 7 = 2, …., 99 - 97 = 2 nên phải làm xuất
hiện số 2 ở tử số bằng cách: Đặt tổng trên bằng S rồi tính S : 2. Tính được
kết quả đem nhân 2 để tính S.
Ví dụ 3: Tìm 2 số tự nhiên M và N biết M gấp 5 lần N nếu cộng thêm
3 đơn vị vào N thì M gấp 4 lần N.
Phân tích: Ta thấy ở bài này đại lượng M là không đổi. Vậy chúng ta
cần dựa vào M để giải bài toán này.
Giải:
Ban đầu M gấp 5 lần N nên N =
5
1
M

Sau khi thêm 3 đơn vị vào N thì M gấp 4 lần N, như vậy lúc này N+3
=
4
1
M
Vậy 3 đơn vị ứng với:
4
1
-
5
1
=
20
1
(M)
M = 3 :
20
1
= 60
N = 60 : 5 = 12
Từ bài toán trên có thể thay đổi giả thiết bằng cách bớt N và giữ
nguyên M hoặc thay đổi M giữ nguyên N với cách giải tương tự bài trên
GV có thể cho HS làm các bài sau:
1. Tìm 2 số tự nhiên M và N biết M gấp 5 lần N. Nếu bớt N đi 2 đơn vị
thì M gấp 6 lần N.
Phân tích: Ở bài này cần dựa vào đại lượng không đổi M.
Giải:
Ban đầu: N =
5
1

M
Sau khi N bớt 2 đơn vị thì : N - 2 =
6
1
M
2 đơn vị ứng với:
5
1
-
6
1
=
30
1
(M)
M = 2 :
30
1
= 60; N = 60 : 5 = 12
Đáp số: M = 60, N = 12.
2. M và N là hai số tự nhiên, biết M gấp 5 lần N, nếu bớt M đi 12 đơn
vị thì M gấp 4 lần N. Tìm 2 số M và N.
Phân tích: Ở bài toán này N là đại lượng không đổi.
Giải:
Ban đầu M = 5 N
Sau khi bớt M đi 12 đơn vị thì : M - 12 = 4 N
12 đơn vị ứng với: 5N - 4 N = N
Vậy N = 12; M = 12x 5 = 60
Đáp số: M = 60, N = 12.
3. Cho 2 số tự nhiên M và N, biết M gấp 5 lần N. Nếu thêm vào M 2

đơn vị thì N =
16
3
M. Tìm M, N ?
Phân tích: Ở bài toán này đại lượng không đổi là N.
Giải:
Ban đầu m = 5 N
Sau khi thêm vào M 2 đơn vị thì: M =
3
16
N
2 đơn vị ứng với:
3
16
N - 5 N =
3
1
N
N = 2 :
3
1
= 6
M = 6 x 5 = 30
Đáp số: M = 30, N = 6
4. Tìm 2 số tự nhiên M và N biết M gấp 5 lần N. Nếu thêm vào N 3
đơn vị và bớt ở M đi 3 đơn vị thì lúc này N =
19
5
M
Phân tích: Ở bài toán này ta thấy cả 2 đại lượng M và N đều thay đổi.

Nhưng ta thấy ở đây thêm vào N và bớt ở M đi cùng 1 số đơn vị như nhau
(3) nên tổng (M + N) là không đổi. Nên để giải bài toán này cần dựa vào
tổng của M và N.
Giải:
M = 5N nên coi N là 1 phần thì M sẽ gồm 5 phần như thế. Vậy M + N
= 6 (phần) => N =
6
1
(M + N)
Sau khi thêm vào N 3 đơn vị và bớt ở M 3 đơn vị thì:
N + 3 =
195
5
+
(M + N) =
24
5
(M + N)
3 đơn vị ứng với:
24
5
-
6
1
=
24
1
(M + N)
M + N = 3 :
24

1
= 72
N = 72 : 6 = 12 ; M = 12 x 5 = 60
Đáp số: M = 60; N = 12
5. Tìm 2 số tự nhiên M và N, biết M gấp 5 lần N. Nếu cùng thêm vào
mỗi số 3 đơn vị thì lúc đó N =
21
3
M
Phân tích: Cũng như ở bài 4, 2 đại lượng M và N đều thay đổi nhưng ở
đây cùng thêm vào cả 2 số một số đơn vị như nhau (3) nên hiệu (M-N)
không thay đổi => Dựa vào hiệu M - N không đổi để giải bài toán.
Tóm tắt cách giải:
M = 5N nên M =
15
5
−
(M-N) =
4
5
(M-N)
Sau khi cùng thêm vào mỗi số 3 đơn vị thì:
M + N =
521
21
−
(M-N) =
16
21
(M-N)

3 đơn vị ứng với:
16
21
-
4
5
=
16
1
(M-N)
M - N = 3 :
16
1
= 48
M =
4
5
x 48 = 60
N = 60 : 5 = 12
Đáp số: M = 60; N = 12
Ví dụ 4: Cho phân số
16
15
. Hãy viết các phân số đã cho dưới dạng tổng
của các phân số có tử số là 1 và mẫu số khác nhau.
Phân tích: Để phân tích phân số
16
15
thành tổng các phân số có tử số = 1
và mẫu số khác nhau thì trước hết ta cần phân tích phân số đó thành tổng

các phân số khác nhau mà mẫu số chia hết cho tử số ( để rút gọn làm xuất
hiện tử số = 1, mẫu số khác nhau).
Từ đó ta suy nghĩ ra cách làm là: Phân tích tử số 15 thành tổng các số
khác nhau và đều là ước số của mẫu số 16. Ta có: 15 = 1 + 2 + 4 + 8 ( 1,
2, 4, 8 đều là ước của 16).
Giải:
16
15
=
16
8421 +++
=
16
1
+
16
2
+
16
4
+
16
8
=
16
1
+
8
1
+

4
1
+
2
1
( Hoàn toàn tương tự với các bài toán mà tay phân số
16
15
bằng các
phân số
27
25
,
18
17
,
35
13
,
32
31
,
16
11
,
30
14
, … )
Hoặc mở rộng thêm các bài như sau:
1. Hãy viết phân số

30
14
thành tổng các phân số khác nhau có mẫu số
khác nhau và tử số dều bằng 1. Có mấy cách viết như vậy ?
Phân tích: Đối với yêu cầu thứ nhất thì cách làm hoàn toàn giống bài
ở ví dụ 3. Còn ở yêu cầu thứ 2 lưu ý thêm cho HS khi phân tích tử số 14
thành tổng của các số đều là ước của 30 thì cần tìm hết xem có bao nhiêu
cách phân tích thì bài toán sẽ có bấy nhiêu cách viết.
Ta thấy: 14 = 1 + 2 + 5 + 6 = 3 + 5 + 6 = 1 + 3 + 10
Có 3 cách phân tích do đó bài toán sẽ có 3 cách viết.
Giải:
Cách 1:
30
14
=
30
6521 +++
=
30
1
+
30
2
+
30
5
+
30
6
=

30
1
+
15
1
+
6
1
+
5
1
Cách 2:
30
14
=
30
653 ++
=
30
3
+
30
5
+
30
6
=
10
1
+

6
1
+
5
1
Cách 3:
30
14
=
30
1031 ++
=
30
1
+
30
3
+
30
10
=
30
1
+
10
1
+
3
1
2. Phân tích phân số dưới đây thành tổng của 2 phân số tối giản có

cùng mẫu số: a.
5
4
b.
21
17
Phân tích: Nếu như bài toán ở ví dụ 4 phân tích phân số theo hướng
thành tổng các phân số rút gọn được (tử số là ước của mẫu số) thì ngược
lại ở bài toán này ta lại phân tích tử số thành tổng của các số mà mẫu số
không chia hết (không phải là ước của mẫu số).
a. Ta thấy: 4 = 1 + 3 = 2 + 2 ( 1, 2, 3 đều không phải là ước của 5). Từ
đó ta có cách giải như sau:
Giải:
Cách 1:
5
4
=
5
31+
=
5
1
+
5
3
Cách 2:
5
4
=
5

22 +
=
5
2
+
5
2
Lưu ý: Vì ở bài toán này không yêu cầu viết thành tổng 2 phân số khác
nhau nên ta có cách 2. Mặt khác ở đề bài chỉ yêu cầu phân tích thành tổng
2 phân số nên chỉ có 2 cách trên nếu bài toán yêu cầu phân tích thành tổng
các phân số thì ta còn có thêm 2 cách nữa là:
Cách 3:
5
4
=
5
211 ++
=
5
1
+
5
1
+
5
2
Cách 4:
5
4
=

5
1
+
5
1
+
5
1
+
5
1
b. Cách giải tương tự bài a.
3. Phân tích phân số
12
11
thành tổng 2 phân số khác nhau và tối giản?
Phân tích: Đối với bài này chúng ta chỉ việc phân tích tử số 11 thành
tổng 2 số khác nhau chứ không cần quan tâm đến các dấu hiệu chia hết
hay không chia hết như ở các bài trên, ở đây đề bài yêu cầu phân số tối
giản nên sau khi phân tích xong phân số nào rút gọn được thì ta rút gọn
đến tối giản. Từ đó ta có các cách phân tích số 11 thành tổng 2 số như sau:
11 = 1 + 10 = 2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6 (5 cách)
Giải:
Cách 1:
12
11
=
12
1
+

12
10
=
12
1
+
6
5
Cách 2:
12
11
=
12
2
+
12
9
=
6
1
+
4
3
Cách 3:
12
11
=
12
3
+

12
8
=
4
1
+
3
2
Cách 4:
12
11
=
12
4
+
12
7
=
3
1
+
12
7
Cách 5:
12
11
=
12
5
+

12
6
=
12
5
+
2
1
Lưu ý: Từ bài này lập ra các đề bài khác bằng cách yêu cầu phân tích
thành tổng 3 phân số, 4 phân số,……….
Ví dụ 5: Cho hình thang ABCD có 2 đường chéo AC và BD. Hãy
chứng tỏ rằng:
a. Diện tích tam giác ACD bằng diện tích tam giác BCD.
b. Diện tích tam giác ADB bằng diện tích tam giác ACB.
Vẽ hình:
A B


D C
Phân tích: => để chứng tỏ 2 tam giác có diện tích bằng nhau cần nghĩ
đến việc so sánh đáy và chiều cao của chúng.
a. Xét ACD và BDC có:
- Chiều cao hạ từ A và B bằng nhau (vì chúng cùng bằng chiều cao
hình thang ABCD)
- Chung đáy CD.
Vậy diện tích ACD = diện tích BDC.
b. Tương tự trên ADB và ACB có:
- Chiều cao hạ từ D và C bằng nhau (vì chúng cùng bằng chiều cao
hình thang ABCD)
- Chung đáy AB.

Vậy diện tích ADB = diện tích ACB.
Mở rộng: Từ bài toán này HS có thể vận dụng để giải các bài tập sau:
1. Cho hình thang ABCD có 2 đáy là AB và CD. Hãy chứng tỏ rằng
diện tích tam giác AID bằng diện tích tam giác BIC (hoặc so sánh diện
tích tam giác AID và BIC), biết I là giao điểm AC và BD.
A B
I
D C
Tóm tắt cách giải:
Diện tích DAC = diện tích DBC (vì chiều cao hạ từ A và B bằng
nhau, chung đáy DC).
Mặt khác: Diện tích AID = diện tích DAC - diện tích DIC
Diện tích BIC = diện tích DBC - diện tích DIC
=>Diện tích AID = diện tích BIC
2. Trong hình vẽ sau, ABCD là hình thang, biết diện tích tam giác
APD là 12 cm
2
, diện tích tam giác BQC là 13 cm
2
. Tính diện tích tứ giác
PMQN ?
A M B
P Q
D C
N
Tóm tắt cách giải:
Nối MN ta có: Diện tích DAN = diện tích DMN (chiều cao hạ từ
A và M bằng nhau và cùng bằng chiều cao hình thang MAND, chung đáy
DN).
Diện tích APD = diện tích DAN - diện tích DPN

Diện tích MPN = diện tích DMN - diện tích DPN
=>Diện tích APD = diện tích MPN = 12 cm
2
(1)
Hoàn toàn tương tự: Ta có diện tích MQN = diện tích BQC = 13 cm
2
(2)
Từ (1) và (2) ta có: Diện tích tứ giác PMQN = diện tích MPN + diện
tích
MQN = 12 + 13 = 25 (cm
2
).
Đáp số: Diện tích tứ giác PMQN = 25
(cm
2
)
3. Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo AC và BC cắt nhau tại I có IB
=
2
1
ID; IA =
2
1
IC. Hãy chứng tỏ rằng:
a. Tứ giác ABCD là hình thang.
b. Cạnh đáy AB =
2
1
cạnh đáy CD.
A B

I
D C
Tóm tắt cách giải:
a. Diện tích AID =
2
1
diện tích DIC (chung chiều cao từ D đáy AI
=
2
1
IC) (1)
Diện tích BIC =
2
1
diện tích DIC (chung chiều cao hạ từ C, đáy BI
=
2
1
ID) (2)
Từ (1) và (2) => Diện tích DAC = diện tích DBC mà 2 tam giác
này có chung đáy DC nên chiều cao hạ từ đỉnh A và đỉnh B xuống đáy
DC phải bằng nhau => tứ giác ABCD là hình thang.
b. Ta có: Diện tích IAB =
2
1
diện tích IBC (chung chiều cao từ B
đáy AI =
2
1
IC) (1)

Diện tích AID =
2
1
diện tích DIC (chung chiều cao hạ từ D, đáy IA
=
2
1
IC) (2)
Từ (1) và (2) ta có:
Diện tích AIB + diện tích AID =
2
1
diện tích IBC +
2
1
diện tích
DIC
=> Diện tích DAB =
2
1
diện tích DBC
Mà DAB và DBC có chiều cao hạ từ đỉnh D xuống đáy AB và
chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy DC cùng bằng chiều cao hình thang
ABCD. Do đó đáy AB phải bằng
2
1
đáy DC (điều phải chứng tỏ).
4. Kết quả:
Với thời gian đầu tư cho việc nghiên cứu nội dung chương trình toán
lớp 4 và lớp 5 nói chung và chương trình toán bồi dưỡng (trong các sách

toán tham khảo, báo chí, ….) nói riêng chưa nhiều, thời gian thể nghiệm
đề tài còn hạn chế nhưng bước đầu đã mang lại kết quả khả quan qua bài
làm của học sinh. Các em không còn bị động trước các bài toán khác lạ
nữa mà nhiều em còn rất thích thú phân tích, tìm tòi để tìm ra cách giải
tuy nhiên vẫn còn một số ít em khi giải còn mang tính áp đặt, máy móc,
thiếu linh động dẫn đến kết quả làm bài chưa cao. Nguyên nhân chính do
việc nắm kiến thức cơ bản chưa chắc chắn, trình độ của học sinh cũng
không đồng đều nên mức độ tiếp thu của mỗi em rất khác nhau, mặt khác
việc phân tích tìm ra dạng bài là việc vô cùng khó khăn, các bài toán được
mở rộng ra từ dạng bài mẫu nhưng khi giải cũng mang đầy tính sáng tạo
hơn nữa có khi cùng dạng nhưng mỗi bài mỗi cách diễn đạt nên đòi hỏi
học sinh phải biết tưởng tượng liên kết kiến thức để giải.
Kết quả cụ thể của 2 năm áp dụng chuyên đề bồi dưỡng cho học sinh
giỏi lớp 5 như sau: Sau khi áp dụng chuyên đề tôi ra bài khảo sát cho lớp
bồi dưỡng lớp 5 của trường, kết quả thu được:
- Năm học 2011 - 2012 trường có 26/30 em bồi dưỡng đạt điểm 5
trở lên
- Năm học 2012 - 2013 trường có 24/28 em bồi dưỡng đạt điểm 5
trở lên
Từ những thành công bước đầu cũng như những vấn đề đang tồn tại
khi thể nghiệm cho học sinh chuyên đề này, tôi rút ra một số đề xuất và
bài học kinh nghiệm là:
5. Đề xuất và bài học kinh nghiệm:
Trong quá trình giảng dạy nói chung và hướng dẫn thực hành giải bài
tập nói riêng để đạt kết quả cao giáo viên cần lưu ý những vấn đề sau:
- Cần trang bị cho học sinh có một lượng kiến thức cơ bản phù hợp,
vững chắc đạt mục tiêu yêu cầu.
- Trong quá trình giảng dạy không nên quan niệm chỉ giảng thật kỹ ở
phần lí thuyết mà ít quan tâm đến việc phân tích, mở rộng trong khi
hướng dẫn học sinh phần bài tập thực hành.

- Trong quá trình hướng dẫn học sinh luyện tập, giáo viên cung cấp hệ
thống bài tập đi từ những bài toán dễ phát triển dần lên bằng những bài
toán khó hơn.
- Mặt khác trong quá trình giảng dạy, giáo viên phải đầu tư thời gian
thích đáng trong việc tìm hiểu bài dạy, sưu tầm, nghiên cứu, phân tích,
phát hiện được cách nhận dạng nhanh một số bài để tìm ra cách giải dễ
hiểu nhất, mang lại hiệu quả cao.
III. KẾT LUẬN:
Trên đây là một số hướng phân tích, mở rộng các bài toán khác từ một
bài toán đơn giản hơn. Điều đó góp một phần trong việc phát triển tư duy
toán học của học sinh tiểu học và qua quá trình thử nghiệm bước đầu có
hiệu quả tôi muốn đưa ra để trao đổi với các bạn đồng nghiệp, rất mong
được sự góp ý của tất cả các bạn./.
Xin chân thành cảm ơn.