bài giảng giới hạn một phía

Nêu các đònh nghóa giới hạn của
Nêu các đònh nghóa giới hạn của
hàm số tại một điểm
hàm số tại một điểm


Áp dụng đònh nghóa tính giới hạn
Áp dụng đònh nghóa tính giới hạn
hàm số
hàm số
2
x 1
x x 2
lim
x 1
→
+ −
−
Hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn
(a;b)\{x
0
}, ta nãi f(x) →L khi
x →x
0
nÕu mäi d·y sè
(x
n
)⊂(a;b)\{x
0
} sao cho

limx
n
=x
0
th× ta ®Ịu cã
limf(x
n
)=L
Bài cũ
Bài cũ
Mäi d·y sè (x
n
)⊂R\{1},
ta cã f(x
n
)=x
n
-2
Suy ra limf(x
n
)=-1 khi
limx
n
=1



Dùng định nghĩa để tính giới hạn:
Dùng định nghĩa để tính giới hạn:
( )

x 0
x 1 x
lim
x


Mọi dãy số (
Mọi dãy số (
x
x
n
n
)
)


(0;+
(0;+


), ta có
), ta có
f(x
f(x
n
n
) =x
) =x
n
n

- 1
- 1
. Do đó:
. Do đó:
lim
lim
f
f
(
(
x
x
n
n
) = -1 khi lim
) = -1 khi lim
x
x
n
n
= 0.
= 0.
Xét hàm số f(x) =
Xét hàm số f(x) =
( )
x 1 x
x

Nh vậy ta có thể viết
Nh vậy ta có thể viết

( )
x 0
x 0
x 1 x
lim 1
x

>

=
Mọi dãy số (x
Mọi dãy số (x
n
n
)
)


(-
(-


;0), ta có
;0), ta có
f
f
(x
(x
n
n

) =-x
) =-x
n
n
+ 1 . Do đó:
+ 1 . Do đó:
lim
lim
f
f
(x
(x
n
n
) = 1 khi limx
) = 1 khi limx
n
n
= 0.
= 0.
Ta cũng có thể viết
Ta cũng có thể viết
( )
x 0
x 0
x 1 x
lim 1
x

<

=
Giới hạn một bên
Giới hạn
bên trái
Giới hạn
bên phải

Qua ví dụ trên nêu định nghĩa giới hạn bên trái, giới hạn
Qua ví dụ trên nêu định nghĩa giới hạn bên trái, giới hạn
bên phải, định nghĩa giới hạn một bên?
bên phải, định nghĩa giới hạn một bên?
Cho hàm số f xác định trên (x
0
;b),(x
0
R). Hàm số f đ
ợc gọi là có giới hạn bên phải là L khi x dần tới x
0
nếu
với mọi dãy số (x
n
) thuộc khoảng (x
0
;b) mà limx
n
=x
0
thì
limf(x

n
)=L. KH:
0
x x
lim f (x) L
+

=
1.Giới hạn hữu hạn
1.Giới hạn hữu hạn
Cho hàm số f xác định trên (a;x
0
),(x
0
R). Hàm số f đ ợc
gọi là có giới hạn bên trái là L khi x dần tới x
0
nếu với
mọi dãy số (x
n
) thuộc khoảng (a;x
0
) mà limx
n
=x
0
thì
limf(x
n
)=L KH:

0
x x
lim f (x) L


=
0
0
x x
x x
lim f (x) L

>
=
0
0
x x
x x
lim f (x) L

<
=
Định nghĩa giới hạn một phía
Định nghĩa giới hạn một phía

Chó ý 1:
0 0
x x x x
lim f (x) lim f (x) L
+ −

→ →
⇔ = =
NÕu
NÕu
0
x x
lim f (x) L
→
=
th×
th×


0
x x
lim f (x) ?
+
→
=
vµ
vµ
0
x x
lim f (x) ?
+
→
=
Vµ ng îc l¹i?
Vµ ng îc l¹i?
0

x x
lim f (x) L
→
=
Chó ý 2: C¸c ®Þnh lý vÒ giíi h¹n vÉn ®óng
®èi víi giíi h¹n mét bªn

Vd1: Cho hµm sè
Vd1: Cho hµm sè
( )
3
2
x , x 1
f x
2x 3 , x 1

< −

=

− ≥ −


TÝnh c¸c giíi h¹n sau (nÕu cã):
TÝnh c¸c giíi h¹n sau (nÕu cã):
( ) ( ) ( )
x 1 x 1 x 1
lim f x , lim f x , lim f x
− +
→− →− →−

Víi x<-1 th× f(x) = x
Víi x<-1 th× f(x) = x
3.
3.
Do ®ã
Do ®ã


( )
3
x 1 x 1
lim f x lim x 1
− −
→− →−
= = −
T ¬ng tù x>-1 th× f(x) = 2x
T ¬ng tù x>-1 th× f(x) = 2x
2
2
– 3. Do ®ã
– 3. Do ®ã


( )
2
x 1 x 1
lim f x lim (2x 3) 1
+ +
→− →−
= − = −

VËy
VËy


( )
x 1 x 1 x 1
lim f x lim f (x) lim f (x) 1
+ −
→− →− →−
= = = −
VD2: Cho hµm sè
VD2: Cho hµm sè
2
ax 2 , x 1
f (x)
x 2ax , x 1
+ >

=

+ ≤

x 1
lim f (x)
→


T×m a ®Ó giíi h¹n sau tån t¹i
T×m a ®Ó giíi h¹n sau tån t¹i

Vd3: Cho hµm sè
Vd3: Cho hµm sè
( )
2
x 4
, x 2
x 2
f x
1
, x 2
x

−
>


−
=


≤


TÝnh c¸c giíi h¹n sau (nÕu cã):
TÝnh c¸c giíi h¹n sau (nÕu cã):


( ) ( ) ( )
x 2
x 2 x 2

lim f x , lim f x , lim f x
− +
→
→ →
Vd4: Cho hµm sè
Vd4: Cho hµm sè
( )
x 3 x
f x
x 2 x
−
=
+
XÐt sù tån t¹i cña giíi h¹n sau
XÐt sù tån t¹i cña giíi h¹n sau


( )
x 2
lim f x
→
Vd5: Cho hµm sè
Vd5: Cho hµm sè
( )
x 2
, x 4
x 4
f x
1
, x 2

x

−
>


−
=


>


Khi ®ã
Khi ®ã
( )
x 4
lim f x ?
→
=
1
A)
4
1
B)
2
C)1
D)Kh«ng tån t¹i
D)Kh«ng tån t¹i

Cho hàm số f xác định trên (x
0
;b),(x
0
R). Hàm số f đ
ợc gọi là có giới hạn bên phải là + khi x dần tới x
0
nếu
với mọi dãy số (x
n
) thuộc khoảng (x
0
;b) mà limx
n
=x
0
thì
limf(x
n
)= +. KH:
0
x x
lim f (x)
+

= +
2.Giới hạn vô cực
2.Giới hạn vô cực
Cho hàm số f xác định trên (a;x
0

),(x
0
R). Hàm số f đ ợc
gọi là có giới hạn bên trái là + khi x dần tới x
0
nếu với
mọi dãy số (x
n
) thuộc khoảng (a;x
0
) mà limx
n
=x
0
thì
limf(x
n
)=+ KH:
0
x x
lim f (x)


= +
0
0
x x
x x
lim f (x)

>
= +
0
0
x x
x x
lim f (x)

<
= +
Tính
Tính
x 0 x 0 x 0
lim f (x), lim f (x), lim f (x)
+

biết
biết
1
f (x)
x
=
Tính
Tính
x 0 x 0 x 0
lim f (x), lim f (x), lim f (x)
+

biết
biết

1
f (x)
x
=

Vd6: T×m c¸c giíi h¹n sau
Vd6: T×m c¸c giíi h¹n sau
2
x 2
4 x
a) lim
2 x
−
→
−
−
2
2
x 3
x 7x 12
b) lim
9 x
−
→
− +
−
Néi dung bµi häc
Néi dung bµi häc
0 0
0

x x x x
x x
1) lim f (x) L lim f (x) L
+
→ →
>
= ⇔ =
0 0
0
x x x x
x x
2) lim f (x) L lim f (x) L
−
→ →
<
= ⇔ =
0 0
0
x x x x
x x
3) lim f (x) lim f (x)
+
→ →
>
= +∞ ⇔ = +∞
0 0
0
x x x x
x x
4) lim f (x) lim f (x)

−
→ →
<
= +∞ ⇔ = +∞
0 0 0
x x x x x x
5) lim f (x) L lim f (x) lim f (x) L
+ −
→ → →
= ⇔ = =
Bµi tËp vÒ nhµ:
Bµi tËp vÒ nhµ: