tuyển tập các đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 tham khảo bồi dưỡng thi (15)

Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số
GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
CÁC BƯỚC GIẢI CHUNG:
- Bước 1: Chọn ẩn (kèm theo đơn vị) và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
- Bước 2: Biểu thị các đại lượng chưa biết thơng qua ẩn và các đại lượng đã biết.
- Bước 3: Lập phương trình (hệ phương trình) biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng.
- Bước 4: Giải phương trình (hệ phương trình).
- Bước 5: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm được với ĐK và trả lời
A. DẠNG TỐN TÌM SỐ.
L u ý: + Sè tù nhiªn cã 2 ch÷ sè:
10xy x y= +
+ Sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè:
100 10xyz x y z= + +
Bµi 1: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số .Tổng các chữ số bằng 8,nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì số
tự nhiên đó giảm đi 36 đơn vò.
Giải: Gọi số cần tìm là
xy
(ĐK:
x,y ;1 9;0 9N x y∈ ≤ ≤ ≤ ≤
)
Ta có:
10xy x y= +
Khi đổi chỗ hai chữ số ta được số :
10yx y x= +
Theo đề bài toán ta có hệ phương trình:



=+−+
=+
36)10()10(

8
xyyx
yx
Giải HPT ta có:
x = 6
y = 2



(TMĐK)
Vậy số cần tìm là 62
Bµi 2: T×m sè tù nhiªn cã 2 ch÷ sè biÕt r»ng hiƯu ch÷ sè hµng chơc vµ ch÷ sè hµng ®¬n vÞ b»ng 3 vµ
tỉng cđa sè ®ã víi sè viÕt ®¶o vÞ trÝ hai ch÷ sè cđa nã b»ng 77.
Bµi 3: T×m hai sè biÕt r»ng tỉng cđa hai sè ®ã b»ng 17 ®¬n vÞ. NÕu sè thø nhÊt t¨ng thªm 3 ®¬n vÞ, sè
thø hai t¨ng thªm 2 ®¬n vÞ th× tÝch cđa chóng b»ng 105 ®¬n vÞ.
B. DẠNG TỐN CHUYỂN ĐỘNG.
L u ý:
+ Q®êng = Vtèc . Tgian; Tgian = Q®êng : Vtèc; Vtèc = Q®êng : Tgian
+ v(xu«i)= v(riªng)+v(níc); v(ngỵc)= v(riªng)-v(níc)
+ v(riªng)= [v(xu«i) + v(ngỵc)]:2; v(níc)= [v(xu«i) - v(ngỵc)]:2
* Chó ý:
- VËn tèc dßng níc lµ vËn tèc cđa ®¸m bÌo tr«i, cđa chiÕc bÌ tr«i.
- VËn tèc thùc cđa can« cßn gäi lµ vËn tèc riªng (hay vËn tèc cđa can« khi níc yªn lỈng).
Bài 1: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc
thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi
từ A đến B.
Giải: Gọi x (km/h ) là vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B (ĐK: x > 0)
Khi đó: vận tốc của người đó khi đi từ B về A là : x + 3 (km/h)
Thời gian người đó đi từ A đến B là:
x

36
(h)
Thời gian người đó đi từ B về A là:
3
36
+x
(h)
Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số
Theo đề bài toán ta có phương trình:

36 36 3
3 5x x
− =
+

Biến đổi phương trình trên ta được: x
2
+ 3x - 180 = 0
Giải phương trình trên ta được: x
1
= 12 (thoả mãn điều kiện của ẩn)
x
2
= -15 (khơng thoả mãn điều kiện của ẩn)
Vậy vận tốc của người đó đi từ A đến B là 12 km/h.
Bài 2: Hai thành phố A và B cách nhau 50km. Một người đi xe đạp từ A đến B. Sau đó 1giờ 30
phút, một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn người đi xe đạp 1giờ. Tính vận tốc của mỗi
người biết rằng vận tốc của người đi xe máy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 18km/h.
Gọi x(km/h) là vận tốc của người đi xe đạp, ta có phương trình:
50 50 5

18 2x x
- =
+
Bài 3: Mét ca n« chạy xu«i dßng tõ bÕn A ®Õn bÕn B, sau ®ã chạy ngỵc dßng tõ B vỊ A hÕt tỉng thêi
gian lµ 5 giê . BiÕt qu·ng ®êng s«ng tõ A ®Õn B dµi 60 km vµ vËn tèc dßng níc lµ 5 km/h . TÝnh vËn tèc
thùc cđa ca n«.
Gọi x(km/h) là vận tốc của ca nơ, ta cã PT:
60
5x +
+
60
5x −
= 5
Bài 4: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/giờ thì
đến sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/giờ thì đến muộn 1 giờ.Tính vận tốc dự định và thời gian dự
định.
Giải: Gọi thời gian dự định là x(h) và vận tốc dự định là y(km/h) (ĐK: x > 0, y > 0)
* Qng đường AB dài là: x.y (km)
* Nếu vận tốc giảm đi 4km/h thì thời gian đi sẽ tăng thêm 1 giờ nên ta có:
(x + 1)(y - 4) = x.y
⇔
-4x + y = 4
* Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì thời gian đi sẽ bớt đi 2 giờ nên ta có:
(x - 2)(y + 14) = x.y
⇔
14x - 2y = 28
Theo đề bài ta có hệ phương trình:
4x y 4 8x 2y 8 x = 6
14x 2y 28 14x 2y 28 y = 28
− + = − + =

  
⇔ ⇔
  
− = − =
  
(TMĐK)
Vậy : Thời gian dự định là 6 giờ và vận tốc dự định là 28km/h.
Bài 5: Mét ngêi ®i tõ tØnh A ®Õn tØnh B c¸ch nhau 78 km. Sau ®ã 1 giê ngêi thø hai ®i tõ tØnh B ®Õn
tØnh A hai ngêi gỈp nhau t¹i ®Þa ®iĨm C c¸ch B 36 km. TÝnh thêi gian mçi ngêi ®· ®i tõ lóc khëi hµnh
®Õn lóc gỈp nhau, biÕt vËn tèc ngêi thø hai lín h¬n vËn tèc ngêi thø nhÊt lµ 4 km/h.
Gäi x (h) lµ thêi gian cđa ngêi ®i tõ A ®Õn C (ĐK: x> 0), ta có phương trình:
36
1x −
-
x
42
=4
C. DẠNG TỐN LÀM CHUNG – LÀM RIÊNG.
Bài 1: Hai ngêi thỵ cïng lµm mét c«ng viƯc trong 16 giê th× xong. NÕu ngêi thø nhÊt lµm trong 3 giê,
ngêi thỵ thø hai lµm trong 6 giê th× hä lµm ®ỵc 25% khèi lỵng c«ng viƯc. Hái mçi ngêi thỵ lµm mét
m×nh c«ng viƯc ®ã trong bao l©u.
Gi¶i:
Gäi x(giê) lµ thêi gian ®Ĩ ngêi thø nhÊt lµm mét m×nh xong c«ng viƯc.
Gäi y(giê) lµ thêi gian ®Ĩ ngêi thø hai lµm mét m×nh xong c«ng viƯc
(§K: x > 16; y > 16).
Trong 1 giê, ngêi thø nhÊt lµm ®ỵc:
x
1
(c«ng viƯc).
Trong 1 giê, ngêi thø hai lµm ®ỵc:

y
1
(c«ng viƯc).
Trong 1 giê, c¶ hai ngêi lµm ®ỵc:
1
16
(c«ng viƯc).
Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số
Theo ®Ị bµi ta cã hƯ ph¬ng tr×nh:







=+
=+
.
4
163
16
111
yx
yx

Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh ta ®ỵc:




=
=
48
24
y
x
( tháa m·n ®iỊu kiƯn )
VËy: thêi gian ®Ĩ ngêi thø nhÊt lµm mét m×nh xong c«ng viƯc lµ: 24 ( giê ).
thêi gian ®Ĩ ngêi thø hai lµm mét m×nh xong c«ng viƯc lµ: 48 ( giê) .
Bài 2: An vµ T©m cïng lµm mét c«ng viƯc trong 7 giê 20 phót th× xong. NÕu An lµm trong 5 giê vµ
T©m lµm trong 6 giê th× c¶ hai lµm ®ỵc
4
3
khèi lỵng c«ng viƯc. Hái mçi ngêi lµm riêng c«ng viƯc ®ã
trong mÊy giê th× xong.
Gäi x(giê) lµ thêi gian ®Ĩ An lµm mét m×nh xong c«ng viƯc.
Gäi y(giê) lµ thêi gian ®Ĩ Tâm lµm mét m×nh xong c«ng viƯc
Theo bµi ra ta cã hƯ ph¬ng tr×nh:







=+
=+
.
4
365

22
311
yx
yx

Bài 3: Hai tỉ thanh niªn t×nh ngun cïng sưa mét con ®êng trong 4 giê th× xong . NÕu lµm riªng th× tỉ
1 lµm nhanh h¬n tỉ 2 lµ 6 giê . Hái mçi ®éi lµm mét m×nh th× bao l©u sÏ xong viƯc ?
Gi¶i :
Gäi x( giê ) lµ thêi gian mét m×nh tỉ 1 sưa xong con ®êng ( §K: x >4 )
Thêi gian mét m×nh tỉ 2 sưa xong con ®êng lµ x + 6 ( giê )
Trong 1 giê, tỉ 1 sưa ®ỵc:
x
1
( con ®êng )
Trong 1 giê, tỉ 2 sưa ®ỵc:
6
1
+x
(con ®êng )
Trong 1 giê, c¶ hai tỉ sưa ®ỵc:
4
1
(con ®êng )
Theo bµi ra ta cã hƯ ph¬ng tr×nh:
x
1
+
6
1
+x

=
4
1

Biến đổi phương trình trên ta được:
2
2 24 0x x− − =
Giải phương trình trên ta được: x
1
= 6 (thoả mãn điều kiện của ẩn)
x
2
= -4 (khơng thoả mãn điều kiện của ẩn)
VËy: mét m×nh tỉ 1 sưa xong con ®êng hÕt 6 ngµy
mét m×nh tỉ 2 sưa xong con ®êng hÕt 12 ngµy
Bài 4: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể (ban đầu khơng chứa nước) thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu chảy
một mình cho đầy bể thì vòi I cần nhiều thời gian hơn vòi II là 5 giờ. Hỏi nếu chảy một mình để đầy bể
thì mỗi vòi cần bao nhiêu thời gian ?
Gäi x( giê ) lµ thêi gian vòi II chảy một mình đầy bể( §K: x >6 )
phương trình :
1
x 5+
+
1
x
=
1
6
Bài 5: Một cơng việc nếu giao cho hai đội cơng nhân làm chung thì làm xong trong 4 giờ 48 phút. Hỏi
nếu làm riêng thì mỗi đội hồn thành cơng việc trong bao lâu? Biết rằng thời gian làm riêng xong cơng

việc của đội II nhiều hơn thời gian của đội I là 4 giờ.
Gäi x( giê ) lµ thêi gian đội I làm riêng xong cơng việc ( §K: x >
24
5
)
Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số
phương trình :
1
x
+
1
x 4+
=
5
24
D. DẠNG TỐN PHÂN CHIA ĐỀU.
Bài 1: Một đồn học sinh gồm có 180 häc sinh ®ỵc ®iỊu vỊ th¨m quan diƠu hµnh. NÕu dïng lo¹i xe lín
chuyªn chë mét lỵt hÕt sè häc sinh th× ph¶i ®iỊu ®éng Ýt h¬n dïng lo¹i xe nhá lµ 2 chiÕc. BiÕt r»ng mçi
xe lín nhiỊu h¬n mçi xe nhá lµ 15 chç ngåi. TÝnh sè xe lín ?
Gi¶i:
Gäi sè xe lín lµ x (chiÕc) (ĐK: x nguyªn d¬ng).
Sè xe nhá lµ: x + 2. ( chiÕc )
Sè học sinh mçi xe lín chë ®ỵc lµ:
x
180
( Hs).
Sè học sinh mçi xe nhá chë ®ỵc lµ:
2
180
+x

( Hs).
V× mçi xe lín nhiỊu h¬n mçi sè xe nhá lµ 15 chç ngåi, do ®ã ta cã ph¬ng tr×nh:

x
180
-
2
180
+x
= 15
Biến đổi phương trình trên ta được:
2
2 24 0x x+ − =
Giải phương trình trên ta được: x
1
= 4 (thoả mãn điều kiện của ẩn)
x
2
= -6 (khơng thoả mãn điều kiện của ẩn)
VËy sè xe lín lµ 4 chiÕc
Bài 2: Trong mét bi lao ®éng trång c©y ,mét tỉ häc sinh ®ỵc trao nhiƯm vơ trång 56 c©y .V× cã 1 b¹n
trong tỉ ®ỵc ph©n c«ng lµm viƯc kh¸c nªn ®Ĩ trång ®đ sè c©y ®ỵc giao ,mçi b¹n cßn l¹i trong tỉ ®Ịu
trång t¨ng thªm 1 c©y víi dù ®Þnh lóc ®Çu Hái tỉ häc cã bao nhiªu b¹n biÕt sè c©y ®ỵc ph©n cho mçi
b¹n ®Ịu b»ng nhau.
Gọi x là số học sinh của tổ (x ngun và x>1), ta có ph¬ng tr×nh:
56 56
1
1x x
− =
−

Bài 3: Mét phßng häp cã 360 ghÕ ngåi ®ỵc xÕp thµnh tõng d·y vµ sè ghÕ cđa tõng d·y ®Ịu nh nhau.
NÕu sè d·y t¨ng thªm 1 vµ sè ghÕ cđa mçi d·y t¨ng thªm 1, th× trong phßng cã 400 ghÕ. Hái trong
phßng häp cã bao nhiªu d·y ghÕ, mçi d·y cã bao nhiªu ghÕ.
Gäi x(d·y) lµ sè d·y ghÕ ban ®Çu, ph¬ng tr×nh:
400 360
1
1x x
− =
+
Bài 4: Mét ®éi c«ng nh©n hoµn thµnh mét c«ng viƯc víi møc 420 ngµy c«ng. H·y tÝnh sè c«ng nh©n
cđa ®éi, biÕt r»ng nÕu ®éi t¨ng thªm 5 ngêi th× sè ngµy ®Ĩ hoµn thµnh c«ng viƯc sÏ gi¶m ®i 7 ngµy.
Gọi x là số cơng nhân của đội (x ngun và dương), ph¬ng tr×nh:
x
420
-
5
420
+x
= 7
E. DẠNG TỐN HÌNH HỌC.
Bài 1: Mét thưa rng h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 250 m. TÝnh diƯn tÝch cđa thưa rng biÕt r»ng nÕu
chiỊu dµi gi¶m 3 lÇn vµ chiỊu réng t¨ng 2 lÇn th× chu vi thưa rng kh«ng ®ỉi.
Gi¶i:
Gäi x(m) lµ chiỊu réng cđa thưa rng h×nh ch÷ nhËt
y(m) lµ chiỊu dµi cđa thưa rng h×nh ch÷ nhËt
(ĐK:0< x< y < 125).
V× chu vi thưa rng h×nh ch÷ nhËt lµ 250 m do ®ã ta cã ph¬ng tr×nh: x + y = 125.
V× chiỊu dµi gi¶m 3 lÇn vµ chiỊu réng t¨ng 2 lÇn th× chu vi thưa rng kh«ng ®ỉi do ®ã ta cã ph-
¬ng tr×nh: 2.x +
3

y
= 125.
Theo bµi ra ta cã hƯ ph¬ng tr×nh:





=+
=+
125
3
2
125
y
x
yx

Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số
Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh ta ®ỵc



=
=
75
50
y
x
( tháa m·n ®iỊu kiƯn )

VËy: chiều rộng của thửa ruộng là 50m, chiều rộng của thửa ruộng là 75m.
Do đó: diện tÝch cđa thưa rng HCN lµ: 50. 75 = 3750 (m
2
).
Bài 2: Mét thưa rng h×nh ch÷ nhËt cã chiỊu réng ng¾n h¬n chiỊu dµi 45m. TÝnh diƯn tÝch thưa rng,
biÕt r»ng nÕu chiỊu dµi gi¶m ®i 2 lÇn vµ chiỊu réng t¨ng 3 lÇn th× chu vi thưa rng kh«ng thay ®ỉi.
Bài 3: Mét h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 160m vµ diƯn tÝch lµ 1500m
2
. TÝnh chiỊu dµi vµ chiỊu réng h×nh
ch÷ nhËt Êy
Bài 4: T×m hai c¹nh cđa mét tam gi¸c vu«ng biÕt c¹n hun b»ng 13 cm vµ tỉng hai c¹nh gãc vu«ng
b»ng 17.
Gi¶i:
Gäi c¹nh gãc vu«ng thø nhÊt cđa tam gi¸c lµ x ( cm ), (ĐK: 0< x < 17 ).
Ta cã: c¹nh gãc vu«ng cßn l¹i lµ: ( 17 - x ) ( cm).
V× c¹nh hun cđa tam gi¸c vu«ng lµ 13cm, do ®ã ta cã ph¬ng tr×nh:
x
2
+ ( 17 - x )
2
= 13
2

⇔
x
2
- 17x + 60 = 0
Gi¶i PT trªn ta ®ỵc: x
1
= 12, x

2
= 5. ( tháa m·n ®iỊu kiƯn )
VËy ®é dµi c¸c c¹nh gãc vu«ng lÇn lỵt lµ 12 cm, 5 cm.
F. MỘT SỐ DẠNG TỐN KHÁC.
Bµi 1: B¹n H¶i ®i mua trøng gµ vµ trøng vÞt. LÇn thø nhÊt mua n¨m qu¶ trøng gµ vµ n¨m qu¶ trøng vÞt
hÕt 10.000®. LÇn thø hai mua ba qu¶ trøng gµ vµ b¶y qu¶ trøng vÞt hÕt 9.600®. Hái gi¸ mét qđa trøng
mçi lo¹i lµ bao nhiªu?
Bµi 2: Tỉng sè c«ng nh©n cđa hai ®éi s¶n st lµ 125 ngêi .Sau khi ®iỊu 13 ngêi tõ ®éi thø I sang ®éi
thø II th× sè c«ng nh©n cđa ®éi thø I b»ng 2/3 sè c«ng nh©n ®éi thø II .TÝnh sè c«ng nh©n cđa mçi ®éi
lóc ban ®Çu.