tuyển tập các đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 tham khảo bồi dưỡng thi (9)

KỲ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC: 2009 - 2010
Môn: Toán
Phần thi: Tự luận
Ngày thi: 11/01/2010
Thời gian: 60 phút ( không kể thời gian giao đề)
ĐỀ:
Câu 1(1.5 điểm) : Tính
8 2 15 8 2 15− − +
Câu 2(2 .5 điểm) : Cho
2 9 2 1 3
( 0, 4, 9)
5 6 3 2
x x x
A x x x
x x x x
− + +
= + + ≥ ≠ ≠
− + − −
a) Chứng tỏ
1
3
x
A
x
+
=
−
b) Tìm các giá trị của x nguyên để A là số nguyên.
Câu 3(1.5 điểm ) : Biết a + b + c = 0.Chứng minh
3 3 3

3a b c abc+ + =
Câu 4(1.5 điểm) :Chứng minh
1 2 3 4 96 97 98 99
1 3 3 3 3 3 3 3 3S = + + + + + + + + +
chia hết cho 40.
Câu 5(3.0 điểm) :Cho hai đường tròn (O,R) và (I,r)có R> r tiếp xúc ngoài với nhau
tại A .Một cát tuyến bất kì BAD qua A cắt (O) tại B và (I) tại D.
a)Chứng minh rằng OB và ID song song.
b)Gọi C là điêm đối xứng với B qua tâm O.Chứng minh rằng CD đi qua điểm
cố định S khi cát tuyến BADquay quanh A.
c)Tính SO và SI
Hết
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9
Câu Đáp án Điểm
Câu 1
1.5đ
2 2
5 2 15 3 5 2 15 3
( 5 3) ( 5 3)
5 3 5 3
2 3
= − + − + +
= − − +
= − − −
= −
0.5
0.5
0.5
Câu 2 a

1.5đ
2 9 2 1 3
( 3)( 2) 3 2
2 9 (2 1)( 2) ( 3)( 3)
( 3)( 2)
2 9 2 4 2 9
( 3)( 2)
2
( 3)( 2)
2 2
( 3)( 2)
( 2)( 1)
( 3)( 2)
1
3
x x x
A
x x x x
x x x x x
A
x x
x x x x x
A
x x
x x
A
x x
x x x
A
x x

x x
A
x x
x
A
x
− + +
= + −
− − − −
− + + − − + −
=
− −
− + − + − − +
=
− −
− −
=
− −
− + −
=
− −
− +
=
− −
+
=
−
0.5
0.5
0.5

b
1.0đ
1 3 4 4
1
3 3 3
x x
A
x x x
+ − +
= = = +
− − −
A là số nguyên khi
3x −
là ước của 4,do vậy:
3 1 16
3 1 4
3 2 25
3 2 1
3 4 49
x x
x x
x x
x x
x x
− = ⇔ =
− = − ⇔ =
− = ⇔ =
− = − ⇔ =
− = ⇔ =
3x −

=- 4 vô nghiệm
Vậy x
{ }
1;4;16;25;49∈
thì A là số nguyên.
(tìm đúng
mỗi giá trị x
được 0.2)
Câu 3
1.5đ
a+b+c= 0 suy ra a=-b-c = -(b+c) 0.5
0.5
3 3 2 2 3 3 2 2 3
3 3 3
3 3 3
( 3 3 ) 3 3
3 ( )
3
a b b c bc c b b c bc c
a b c bc b c
a b c abc
= − + + + = − − − −
+ + = − −
+ + =
0.5
Câu 4
1.5đ
1 2 3 4 5 6 7 96 97 98 99
1 2 3 4 1 2 3 96 1 2 3
1 2 3 4 8 96

4 8 96
(1 3 3 3 ) (3 3 3 3 ) (3 3 3 3 )
(1 3 3 3 ) 3 (1 3 3 3 ) 3 (1 3 3 3 )
(1 3 3 3 )(1 3 3 3 )
40.(1 3 3 3 )
S
S
S
S
= + + + + + + + + + + + +
= + + + + + + + + + + + +
= + + + + + + +
= + + + +
S chia hết cho 40.
0.5
0.5
0.5
Câu5
3đ
2
1
O
A
I
S
C
B
D
0.5
a

OAB cân tại O
⇒
µ
µ
1
A B=
,tương tự
¶
¶
2
A ADI=
Nhưng
µ
¶
1 2
A A=
(đối đỉnh) suy ra
·
·
OBA IDA=
nên OB//ID
0.5
b Vì C là điểm đối xứng với B qua tâm O nên ta có :
OC//ID.Vì R>r suy ra CD cắt đường thẳng OI tại một
điểm S.Ta có :
SI ID r
SO OC R
= =
.Do đó S cố định khi cát tuyến BAD quay
quanh A.

1.0
c
( ) ( )
;
SI r SO SI R r R r R r
SO R SO R SO R
R R r r R r
SO SI
R r R r
− − + −
= ⇒ = ⇒ =
+ +
⇒ = =
− −
1.0
• Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa ứng với từng nội dung
.Đối với câu 5 học sinh chưa hoàn chỉnhđối với từng ý thì không cho điểm .