tuyển tập các đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 tham khảo bồi dưỡng thi (12)

Bài 1: (4,5 điểm)
a) Cho biểu thức A =
1 1 1 1

1 2 3 24
+ + + +
Chứng minh rằng A > 8
b) Rút gọn biểu thức:
B = 2+ 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3+ + + + + − + +
Bài 2:(3,5 điểm)
a) Giải hệ phương trình sau:
12
2 - 3 12
- 2 - 9
x y z
x y z
x y z





+ + =
+ =
+ =
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x – 3y = 2xy – 11
Bài 3: (3,5 điểm)
Tìm số có bốn chữ số biết rằng chữ số hàng nghìn và hàng trăm giống nhau, chữ số
hàng chục và hàng đơn vị giống nhau, số phải tìm có thể viết được thành một tích của ba
thừa số, mỗi thừa số gồm hai chữ số giống nhau.
Bài 4: (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC. Chứng minh:
4 4 2
cos C - sin C = 2cos C - 1
Bài 5: (4,5 điểm)
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AH. Trên cạnh BC lấy hai điểm M
và E sao cho
1
2
ME BC=
(BM < BE). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB
tại D. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt đường thẳng AH tại N.
a) Chứng minh:
BM.BH = MD.HN
b) Chứng tỏ N là một điểm cố định.
c) Biết AB = 5cm, BC = 6cm. Tính khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và
tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
Bài 6: (2,5 điểm)
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và B (R > r). Gọi I là trung điểm của
OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt các đường tròn (O;R)
và (O’; r) theo thứ tự tại C và D (khác A).
a) Chứng minh rằng: AC = AD.
b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc
với AB.
Hết
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỊ XÃ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
BẬC THCS CẤP THỊ XÃ
MÔN TOÁN 9
NĂM HỌC 2010 - 2011

Thời gian : 150’ (Không kể thời gian phát đề)
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9
Bài 1(4,5 điểm):
Đáp án Thang điểm
a) (2,5 điểm)
1 1 1 1
A =
1 2 3 24
2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 24 24
2 2 2 2

1 2 2 3 3 4 24 25
2 1 3 2 25 24
2( )
1 1 1
2( 25 1) 8
+ + + +
= + + + +
+ + + +
> + + + +
+ + + +
− − −
= + + +
= − =
Vậy A > 8
b) (2 điểm)
(
)

2
B = 2+ 3. 2 2+ 3 . 2 2 2+ 3+ − +
= 2+ 3. 2 2+ 3 . 2 2+ 3+ −

( )
2
2+ 3. 2 2+ 3= −

2+ 3. 2- 3
1
=
=

1 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 2(3,5 điểm):
Đáp án Thang điểm
a) (2 điểm)
x + y + z = 12 (1)
2x - 3y + z = 12 (2)
x + y - 2z = - 9 (3)






Từ (1) ta có: x + y = 12 – z thay vào (3)
12 – z – 2z = - 9
⇒
z = 7
Thay z = 7 vào (1) và (2)
⇒
y = 1.
Thay z = 7 và y = 1 vào (1)
⇒
x = 4
Vậy: (x; y; z) = (4; 1; 7)
b) (1,5 điểm)
Ta có

( ) ( )
5 3 2 11 2 3 5 11
2 3 5 11 1
2 3 0
x y xy xy y x
y x x
Do x x
− = − ⇔ + = +
⇔ + = +
∈ ⇒ + ≠¢
Do đó (1)
1 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm

0,25 điểm

( )
3 2 3
5 11 2
2 3 2 3 2 3
2
3
2 3
x
x x
y
x x x
x
x
+
+ −
⇔ = = −
+ + +
−
= −
+
Để
y ∈¢
ta phải có:
( ) ( )
( )
2 2 3 2 3 7 2 3
7 2 3
x x x x

x
− + ⇔ + − +
⇔ +
M M
M

2 3x
⇔ +
là ước của 7
Mà 7 có các ước là:
1; 7± ±
Ta có bảng:
2x + 3
1−
1
7−
7
x
2−
1−
5
−
2
y
1−
6 2 3
Các cặp số (-2;-1); (-1;6); (-5;2); (2;3) là nghiệm của phương trình.

0,25 điểm

0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
Bài 3 (3,5 điểm):
Đáp án Thang điểm
Gọi số phải tìm là
( , ,1 9,0 9)xxyy x y N x x∈ ≤ ≤ ≤ ≤
Ta có:
. . ( , , ,1 , , 9)xxyy zz tt uu z t u N z t u= ∈ ≤ ≤
Hay: 1100x + 11y = 11z .11t . 11u
100x + y = 121. ztu
Hay:
0 121. 0x y ztu x y= ⇒
chia hết cho 121.
Các bội của 121 có ba chữ số là: 121,242,363,484,605,726,847,968, trong đó chỉ có 605 có
chữ số hàng chục là 5.
Vậy
0 605 6, 5, 5.x y x y ztu= ⇒ = = =
Trong ba số z, t, u có một số là 5, hai số là 1.
Vậy số phải tìm là 6655.
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
1 điểm

0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 4 (2điểm):
Đáp án Thang điểm
( ) ( )

4 4 2 2 2 2
os sin os sin os sinc C C c C C c C C− = − +
Do
2 2
os sin 1c C C+ =
nên ta có
4 4 2 2
os sin os sinc C C c C C− = −
Mà
2 2
sin 1 osC c C= −
( )
4 4 2 2 2
os sin os 1 os 2 os 1c C C c C c C c C⇒ − = − − = −
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 5 (4,5 điểm):
Đáp án Thang điểm
Vẽ hình
0,5 điểm
a) Xeùt MDE vaỡ HEN coù:

ã
DME
=
ã
EHN
= 90
0

ã
MDE
=
ã
HEN
(goùc coù caỷnh tổồng ổùng vuọng
goùc)
nón MDE ng dng vi HEN , suy ra:
HN
ME
HE
MD
=
Hay MD.HN = HE.ME
Do BH = ME (
BC
2
1
=
) nón BM = HE
Do õoù: MD.HN = BM.BH (1)
b) Tổỡ (1)
HN
BH
BM
MD
=
(2)
ABH coù MD//AH nón

BH
AH
BM
MD
=
(3)
Tổỡ (2) vaỡ (3)
BH
AH
HN
BH
=

AH
BH
HN
2
=
N AH cọỳ õởnh vaỡ HN khọng thay õọứi nón N laỡ õióứm cọỳ õởnh.
c)
BC = 6cm BH = 3cm
AHB (
0
90H

=
) coù AH
2
= AB
2

- BH
2

= 5
2
- 3
2
= 16 = 4
2
AH = 4cm
Goỹi K laỡ tỏm õổồỡng troỡn nọỹi tióỳp ABC, thỗ BK laỡ phỏn giaùc cuớa
à
B
vaỡ K

AH.
Do õoù:
5
3
BA
BH
KA
KH
==
Suy ra:
5,0
8
4
8
KAKH

5
KA
3
KH
==
+
==


0,5 im
0,5 im
0,5 im
0,5 im
0,5 im
KH = 1,5cm
KA = 2,5cm
Goỹi I laỡ tỏm dổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp ABC thỗ IP laỡ õổồỡng trung trổỷc cuớa caỷnh
AB vaỡ I

AH nón
5
2,5( )
2 2
AB
PA cm= = =
.
ABH (
0
90H

=
) coù cos (
ã
BAH
)
8,0
5
4
AB
AH
===
ã
cos( ) 0,8PAI =
API (
0
90P

=
) coù cos (
ã
PAI
)
AI
AP
=

ã
2,5
3,125
0,8

cos( )
AP
AI
PAI
= = =
Do õoù KI = AI - AK = 3,125 - 2,5 = 0,625 (cm)
Vỏỷy khoaớng caùch giổợa tỏm õổồỡng troỡn ngoỹai tióỳp vaỡ tỏm õổồỡng troỡn nọỹi tióỳp cuớa tam
giaùc ABC laỡ 0,625cm.
0,25 im
0,5 im
0,5 im
0,25 im
Bi 6(2,5 im):
ỏp ỏn Thang im
V hỡnh ỳng ghi
a) K OM

AC, ON

AD

OM // IA // ON
Xột hỡnh thangOMNO cú IO =IO (gt)

IA l ng trung bỡnh ca hỡnh thang

AM = AN
Cú OM

AC

MC = MA =
2
AC
(nh lớ ng kớnh v dõy)
0,5 im
0,25 im
0,25 im
0,25 im
Chứng minh tương tự có AN = ND =
2
AD
Mà AM = AN
⇒
AC = AD
b) (O) và (O’) cắt nhau tại A và B
⇒
OO’
⊥
AB tại H và HA = HB (t/c đường nối tâm)
Xét
∆
AKB có: AH = HB (chứng minh trên)
AI = IK (gt)
⇒
IH là đường trung bình của tam giác
⇒
IH // KB
Có OO’
⊥

AB
⇒
KB
⊥
AB
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa.