tuyển tập các đề thi học sinh giỏi, đề thi môn toán vào lớp 10 môn toán (14)

Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
đề thi vào lớp 10
1994 - 1995
Bài 1: (1,5)
a) Tính giá trị của biểu thức:
32
1
32
1

+
+
b) Cho A =
222
2
1
babab
ba
+

với a > b
Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức với b =
13
Bài 2: (2,5)
Cho phơng trình x
2
+ (2m 1)x + m 1 = 0 (1)
a) Giải phơng trình với m = 2
b) Chứng tỏ phơng trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá
trị của m.

Bài 3: (4)
Cho đờng tròn tâm O và đờng thẳng d, đờng kính AB của đờng tròn vuông
góc với đờng thẳng d tại H (B nằm giữa O và H). M là một điểm bất kì trên đờng
tròn không trùng với A, B. Các đờng thẳng AM, BM và tiếp tuyến tại M của đờng
tròn cắt đờng thẳng d lần lợt tại D, C, I, AC cắt đờng tròn tại E.
a) Chứng minh AMHC là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác ICM cân.
c) Chứng minh AM, EB, CH luôn cắt nhau tại một điểm
Bài 4: (1)
Cho P =
2
32
2
2
+
++
x
xx
Với giá trị nào của x thì P đạt GTNN, hãy tìm GTNN đó.
1995 - 1996
1) (3đ). Rút gọn
1
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
a) A =
2
15
120
4
1

)56(
2
1
2
+
b) B =
)2233(
12
22
3
323
+
+
+
+
c) C =
2
2
491
1694
x
xxx

+
, Với x <
3
1
, x
7
1

2) (2,5đ). Cho Parabol y =
2
2
1
x
(P)
a) Vẽ đồ thị (P)
b) Với m nào thì y = 2x + m cắt (P) tại 2 điểm A, B. Tìm tọa độ 2 giao điểm
đó
3) (3đ)
Cho (O), đờng kính AB. Trên OC lấy B. Vẽ (O) đờng kính BC. M là trung
điểm của AB, qua M kẻ dây DE vuông góc với AB, DC cắt (O) tại I.
a) ADBE là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh I, B, E thẳng hàng
c) Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O) và MI
2
= MB.MC
4) (1đ). Cho 2 số x, y thỏa mãn x > y, x.y = 1. Tìm GTNN của
yx
yx

+
22
1996 - 1997
Câu 1: (3đ)
Cho hàm số y =
x
.
a) Tìm tập xác định của hàm số

2
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
b) Tính y biết: 1) x = 9, 2) x =
2
)21(
c) Các điểm: A(16; 1) và B(16; -1) điểm nào thuộc đồ thị của hàm số,
điểm nào không thuộc đồ thị của hàm số? Tại sao?
d) Không vẽ đồ thị, hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã
cho và đồ thị hàm số y = x 6
Câu 2: (1đ)
Xét phơng trình x
2
12x + m = 0 (x là ẩn số)
Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn điều kiện x
2
= x
1
2
Câu 3: (5đ)
Cho đờng tròn tâm B bán kính R và đờng tròn tâm C bán kính R cắt nhau tại
A và D. Kẻ các đờng kính ABE và ACF.
a) Tính các góc ADE và ADF, từ đó chứng minh E, D, F thẳng hàng.
b) Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của các đờng thẳng AM
và EF. Chứng minh ABNC là hình bình hành.
c) Trên các nửa đờng tròn đờng kính ABE và ACF không chứa điểm D,

lần lợt lấy các điểm I và K sao cho góc ABI bằng góc ACK (điểm I không
thuộc đờng thẳng NB, K không thuộc đờng thẳng NC). Chứng minh tam giác
BNI bằng tam giác CKNvà tam giác NIK là tam giác cân.
d) Giả sử R < R. Chứng minh AI < AK, MI < MK
Câu 4: (1đ)
Cho a, b, c là số đo của các góc nhọn thỏa mãn cos
2
a + cos
2
b + cos
2
c > 2.
Chứng minh: (tga.tgb.tgc)
2
<
8
1
1997- 1998
Câu 1: (3đ)
Cho parabol y = x
2
và điểm A(1; 4)
a) Điểm A(1; 4) có thuộc parabol y = x
2
không? tại sao?
b) (d) là đờng thẳng đi qua A và có hệ số góc k. Lập phơng trình của đ-
ờng thẳng (d)
- Với k = 2, hãy tìm tọa độ giao điểm của (d) với parabol y = x
2
- Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của k, đờng thẳng (d) luôn cắt parabol y

= x
2
3
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
Câu 2: (2đ)
Giải các phơng trình:
a) x 2 =
x
b)
462 =++ xx
Câu 3: (4đ)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O. M là một điểm thuộc cung CD
(cung không chứa đỉnh nào của tứ giác). E, F, G, H lần lợt là hình chiếu vuông góc
của M trên đờng thẳng AB, BC, CD, DA. Chứng minh:
a) M, G, D, H cùng nằm trên một đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn
đó.
b) Góc MHG và góc MEF bằng nhau
c) ME.MG = MF. MH
Câu 4: (1đ)Cho a, b, c là 3 số đôi một khác nhau thỏa mãn
ma
2
+ na + p = 0
mb
2
+ nb + p = 0
mc
2
+ nc + p = 0
Chứng minh: m = n = p = 0

1998 -1999
Bài 1: (2đ): Rút gọn các biểu thức sau:
1) A =
12
223
12
1
+
+


2) B =
2
3
2
32


Bài 2 (2đ): Giải các phơng trình sau:
1)
0112 =++ xx
2) 3x
2
+2x = 2
xxx
++
1
2
Bài 3 (2đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = 2x
2

và đờng thẳng:
y=kx + 4 + k. (k là tham số)
4
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
1) Tìm giá trị của k để đờng thẳng đi qua đỉnh của (P), gọi đờng thẳng trong
trờng hợp này là (d). Tìm tọa độ giao điểm thứ 2 của (d) và (P).
2) Viết phơng trình đờng thẳng song song với (d) và tiếp xúc với (P)
Bài 4 (4đ): Cho đờng tròn (O) và đờng tròn (O) cắt nhau tại A và B. Kẻ cát tuyến
CAD (Ctrên đờng tròn O, D trên đờng tròn O).
1) Chứng minh các góc của tam giác BCD không đổi khi cát tuyến quay
quanh điểm A.
2) Kẻ các đờng kính COC, DOD. Chứng minh A, C, D thẳng hàng.
3) Xác định vị trí của cát tuyến CAD sao cho đoạn thẳng CD là lớn nhất. ở
vị trí CD lớn nhất hãy chứng minh diện tích tam giác BCD bằng 4 lần
diện tích tam giác OAO
4) Biết bán kính đờng tròn (O), (O) lần lợt là r, r và góc OAO = 90
0
.
Chứng minh: tg
22
''
2
rrr
rCDB
++
=
1999 - 2000
Bài 1 (3,5đ).
1) Rút gọn biểu thức: A =

+

+

x
x
x
x
x
x 1
.
1

1
1
1
2) Cho biểu thức: B =
x
x
+ 11
a) Tìm x để B có nghĩa
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của B.
Bài 2 (2,5đ): Cho phơng trình: x
2
+ (2m 5)x n = 0 (x là ẩn).
1) Giải phơng trình khi m = 1 và n = 4
2) Tìm m, n để phơng trình có 2 nghiệm là 2 và -3
3) Cho m = 5. Tìm n nguyên nhỏ nhất để phơng trình có nghiệm dơng.
Bài 3 (4đ): Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O, 3 đờng cao
AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau ở H. Kéo dài AH cắt đờng tròn tại K, kéo
dài AO cắt đờng tròn tại M. Chứng minh rằng:
5
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
1) MK // BC
2) DH = DK
3) HM đi qua trung điểm của BC
4)
9++
HF
CF
HE
BE

HD
AD
2000 - 2001 (đề 1)
Bài 1 (2đ): Rút gọn các biểu thức sau (với điều kiện các biểu thức đã cho là có
nghĩa).
1) M =
xyyx
yx
yx
yx
++




22
3322
2) N =
4444 ++ xxxx
Bài 2 (2đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) có phơng trình y = x
2
và
điểm A(-1;1) thuộc (P).
1) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A với hệ số góc bằng 1.
2) Tìm tọa độ giao điểm thứ 2 của (d) và (P) (gọi giao điểm thứ 2 là B).
Chứng minh tam giác OAB là tam giác vuông và tìm diện tích của tam
giác này.
Bài 3 (2đ).
1) Giải và biện luận bất phơng trình: 1 + x mx +m ; m là tham số
2) Giải phơng trình: 2x

4
x
3
2x
2
x + 2 = 0
Bài 4 (4đ): Cho góc xAy = 60
0
, vẽ đờng tròn tâm J tiếp xúc với 2 cạnh của góc ở D
và E. Từ điểm M thuộc cung nhỏ DE (M khác D, M khác E) vẽ tiếp tuyến với đờng
tròn (J), tiếp tuyến cắt 2 cạnh của góc xAy tại B và C (B ở giữa AD).
6
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
1) Tính góc DJE
2) Chứng minh BJM = BJD và tính góc BJC
3) Gọi P, Q lần lợt là giao điểm của JB, JC với DE. Chứng minh tứ giác
CEJP nội tiếp và 3 đờng thẳng BQ, JM, CP đồng quy
4) Biết bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 6cm, tính bán kính
đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ.
2000 - 2001 (đề 2)
Bài 1 (2đ).
1) CMR: H =
ab
baba
22
)()( +
không phụ thuộc vào a, b (a, b khác 0)
2) CMR: K =
32)13(2 +

là số nguyên
Bài 2 (2,5đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng thẳng (d): y = 4x + k và
Parabol (P) có phơng trình y = 2x
2
.
1) Tìm k để (d) tiếp xúc (P). Chỉ rõ tọa độ tiếp điểm
2) Tìm k để (d) cắt (P) tại 2 điểm A, B và cắt Oy tại M sao cho MA = 3MB.
Bài 3 (1,5đ): Giải hệ phơng trình.



=++
=+
555
24277
xyyx
xyyx
Bài 4 (4đ). Cho tam giác ABC có AH là đờng cao, AD là phân giác trong. Gọi E, F
lần lợt là hình chiếu của B và C trên AD.
1) Chứng minh: A, H, F, C cùng nằm trên một đờng tròn.
2) Chứng minh: ABC HEF và HD là phân giác của góc EHF
3) Giả sử góc A = 90
0
.
a) Tính AD biết AB = c, AC = b
b) Chứng minh BE + CF 2AD
7
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
2000 -2001 (đề 3)

Bài 1 (2đ).
1) Tính: A =
( )
2
3
24
4
1
32
2
1
2
+
2) Rút gọn: B =
2
2
91
144
x
xxx

+
(với x <
3
1
,
2
1
x
)

Bài 2 (2đ): Giải hệ phơng trình



=+
=
23
32
yx
yx
, Từ đó suy ra nghiệm của hệ:







=
+
+
=
+

2
1
31
3
1
12

n
m
n
m
, với m, n là ẩn số
Bài 3 (2đ). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) có phơng trình y = -x
2
và
điểm M(0; -2)
1) Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua M với hệ số góc k (kR)
2) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt
với mọi k.
3) Xác định k để đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm A, B sao cho MA = 2MB
(A là điểm có hoành độ âm).
Bài 4 (4đ). Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O,R), trên cung BC nhỏ lấy
M, trên tia MA lấy D sao cho MD = MC.
1) Tính góc MDC
2) CM: BM = AD
3) Tính diện tích hình giới hạn bởi cạnh của tam giác và đờng tròn (O) theo
R.
8
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
4) Từ M hạ MI, MH, MF vuông góc với AB, BC, CA. Chứng minh 3 điểm
H, I, F thẳng hàng.
2001 - 2002 (đề 1)
Bài 1 (1,5đ): Rút gọn M =

+
a
a
a
a
a
1
:
1
1
; với a > 0, a 1
Bài 2 (2đ): trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng thẳng (D) có phơng trình:
y=mx+1 (m R)
1) Tìm những giá trị của m để đờng thẳng (D):
a) Đi qua điểm M(5;8)

b) Vuông góc với đờng thẳng y = 2x 1
2) Tìm những giá trị của m để (D) tiếp xúc với (P) có phơng trình y = -
2
2
x
và
tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 3 (2,5đ).
1) Cho phơng trình x
2
-
0
2
1
=
a
xa
(a > 0)
a) Giải phơng trình khi a = 1/4
b) Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x
1
, x
2
. Chứng minh: x
1
4
+x
2
4
2+

2
2) Tìm GTNN của biểu thức: P =
18902001 + mm
; với m R
Bài 4 (4đ): Cho nửa đờng tròn tâm O bán kính R, đờng kính AB. Tiếp tuyến tại M
bất kì trên nửa đờng tròn đã cho (M khác A, B) cắt các tiếp tuyến của đờng tròn
tâm O tại A và B lần lợt ở C và D.
1) Chứng minh: góc MDO = góc MBO
2) Chứng minh: AC. BD = R
2
3) Gọi P, Q lần lợt là giao điểm của OC, OD với nửa đờng tròn đã cho. Tia AQ
cắt tia BP tại K. Khi M chuyển động trên nửa đờng tròn đã cho thì K chuyển
động trên một cung tròn. Hãy xác định cung tròn mà K chuyển động trên nó.
4) Gọi E, F lần lợt là giao điểm của OC với AM và OD với BM. Chứng minh tứ
giác CEFD nội tiếp đợc đờng tròn.
9
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
2001 - 2002 (đề 2)
Bài 1 (1,5đ): Rút gọn biểu thức M =
a
a
a
aa
+

+


1
1
.
1
1
; với a 0; a 1
Bài 2 (1,5đ) Tìm x, y thỏa mãn các điều kiện:



=
=+
12
25
22
xy
yx
Bài 3 (2đ): Hai ngời cùng làm chung một công việc sẽ hoàn thành trong 4 giờ. Nếu
mỗi ngời làm riêng để hoàn thành công việc thì thời gian ngời thứ nhất làm ít hơn
ngời thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi ngời phải làm trong bao lâu sẽ hoàn
thành công việc.
Bài 4 (2đ): Cho các hàm số y = x
2
(P) và y = 3x +m

2
(d).
1) Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của m, đờng thẳng (d) luôn cắt
Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt.
2) Gọi y
1
, y
2
là tung độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để có đẳng thức:
21
yy +
= 11y
1
y
2
Bài 5 (3,5đ). Cho tam giác ABC vuông ở đỉnh A. Trên cạnh AC lấy điểm M (khác
với A, C). Vẽ đờng tròn (O) đờng kính MC. Gọi T là giao điểm thứ 2 của BC với đ-
ờng tròn (O). nối BM và kéo dài cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ 2 là D, đờng thẳng
AD cắt (O) tại điểm thứ 2 là S. Chứng minh:
1) ABTM là tứ giác nội tiếp
2) Khi M chuyển động trên AC thì góc ADM có số đo không đổi
3) AB // ST
2002 - 2003
10
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
Bài 1 (1đ): Rút gọn biểu thức:
yxxy
xyyx

+
1
:
; với x > 0, y > 0, x y
Bài 2 (1,5đ). Cho đờng thẳng (d) có phơng trình y = 2x + k 1 (k là tham số) và
Parabol (P) có phơng trình y =
2
3
1
x
1) Tìm giá trị của k để đờng thẳng (d) đi qua A(1; 3)
2) Tìm giá trị của k để đờng thẳng (d) và Parabol (P) không có điểm chung.
Bài 3 (2đ). Cho hệ phơng trình:



=++
=++
032
01)1(
yx
yxm
1) Giải hệ phơng trình với m = 1
2) Tìm giá trị của m để hệ phơng trình vô nghiệm
Bài 4 (1,5đ) Cho biểu thức P(x) = 3x
2
-
1
2
x

1) Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa
2) Giải phơng trình P(x) = 5
Bài 5 (4đ). Cho (O; R) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC không cân, đờng thẳng đi
qua A và trực tâm H của tam giác cắt đờng tròn tai P, vẽ đờng kính AQ.
1) Chứng minh: BCQP là hình thang
2) Chứng minh: góc BAP = góc CAQ
3) Gọi I là trung điểm của BC, chứng minh 3 điểm H, I, Q thẳng hàng
4) Gọi số đo góc PAQ = . Tính diện tích tam giác APQ theo R và .
2003 - 2004
Bài 1 (1,5đ). Cho biểu thức A =
yx
yx
xy
xyyx

++
:
(x, y dơng, x khác y)
a) Rút gọn biểu thức A.
11
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
b) Tính số trị của A với x =
347,347 =+ y
Bài 2 (3đ).
1) Giải các phơng trình sau:
a) x
2
(
3

- 2)x - 2
3
= 0
b) (x
2
+ x + 1)(x
2
+x + 2) = 12
c) (x+1)
2
+ (x + 2)
3
+ (x + 3)
4
= 2
2) Cho phơng trình bậc hai: x
2
(a
2
+ 3)x + a
2
+ 2 = 0
a) Chứng minh phơng trình đã cho có 2 nghiệm x
1
, x
2
dơng
b) Tìm a để 2 nghiệm x
1
, x

2
thỏa mãn
2
21
+=+ axx
Bài 3 (1,5đ).
1) Cho 3 đờng thẳng: (d
1
): y = -x + 2, (d
2
): y = (m
2
+ 1)x 2m, (d
3
): y =2x-1.
Xác định giá trị của tham số m để 3 đờng thẳng đồng quy.
2) Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện:



=++
=++
6
0
222
cba
cba
, Tính giá trị biểu thức
P=a
4

+ b
4
+ c
4
+ 2
4
Bài 4 (4đ). Cho tam giác vuông ABC (góc A bằng 1v) đờng cao AH (H thuộc BC),
vẽ đờng tròn đờng kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại I, K. Gọi M, N theo thứ
tự là trung điểm của BH, HC. Chứng minh:
1) AIHK là hình chữ nhật
2) Góc IKH bằng góc KCH
3) Diện tích tứ giác MNKI bằng một nửa diện tích tam giác ABC
4) Biết các tia HI, HK cắt đờng thẳng bất kì qua A theo thứ tự ở E, F. Chứng
minh BE // CF.
2004 - 2005
Bài 1 (2đ). Cho biểu thức A =
xx
B
x

+
=
1
1
1
1
;
1
1
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa

b) Với x là số dơng khác 1, hãy rút gọn biểu thức C = A. B
c) Tìm x để biểu thức C có giá trị là một số nguyên
Bài 2 (1,5đ).
12
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
a) Cho hàm số y = mx
2
. Xác định m biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm
M(2; 2).
b) Viết phơng trình của đờng thẳng (d) có hệ số góc k khác 0 và đi qua điểm
N(2; 0). Tìm k để đờng thẳng (d) tiếp xúc với parabol y = 1/2x
2
Bài 3 (2đ). Cho phơng trình bậc hai x
2
+ kx + k 2 = 0
a) Giải phơng trình với k = 5
b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của k
c) Tìm k để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn 3x
1
+ x
2
= 5.
Bài 4 (4,5đ). Cho tam giác vuông ABC (góc C = 90
0
, AC < BC) nội tiếp đờng tròn

tâm O, đờng kính AB = 2R. Đờng cao CH của tam giác cắt đờng tròn (O) tại D, gọi
I là trung điểm của BC, tia OI cắt đờng tròn tại M. Gọi K là giao điểm của AM và
BC.
a) Chứng minh 4 điểm O, H, C, I cùng nằm trên một đờng tròn
b) Chứng minh MA là tia phân giác của góc CMD
c) Qua M vẽ đờng thẳng (c) vuông góc với AC. Chứng minh đờng thẳng (c) là
tiếp tuyến của đờng tròn (O)
d) Đặt góc CBA = , chứng minh KC = KB.sin. Trong trờng hợp = 30
0
, hãy
tính độ dài của đoạn thẳng KC theo R.
2005 - 2006
Bài 1 (3,5đ).
1) Giải các phơng trình sau:
a) 2x
2
3x 9 = 0
b)
01
6
443
2
2
=

+
xx
xx
2) Rút gọn các biểu thức:
a) P =

2
6
223
2

+
b) Q =
xxxx 2121 +++
; với x 0
Bài 2 (2,5đ). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 điểm: A (-5; -1), B(-1; 4), C(3; 2).
1) Vẽ tam giác ABC
2) Viết phơng trình đờng thẳng BC
13
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
3) Không dùng đồ thị, hãy xác định tọa độ của điểm D với D là giao điểm của
đờng thẳng qua A song song với BC và đờng thẳng qua B song song với Oy
Bài 3 (3đ). Cho điểm A nằm ngoài đờng tròn (O; R). Từ A kẻ đờng thẳng (d) không
đi qua tâm O, cắt (O; R) tại B, C (B nằm giữa A và C). Các tiếp tuyến với (O; R) tại
B, C cắt nhau tại D. Từ D kẻ DH vuông góc với AO (H nằm trên AO) cắt cung nhỏ
BC tại M. Gọi E là giao điểm của DO và BC. Chứng minh:
1) DHOC là tứ giác nội tiếp
2) OH.OA = OE. OD
3) AM là tiếp tuyến với (O; R).
Bài 4 (1đ) Với x thỏa mãn
)1(2)1(2
2
++= xxx
Tính giá trị biểu thức: T =
217692

119132
234
23
+
++
xxxx
xxx
2006 2007
Bài 1 (3đ)
1) Rút gọn biểu thức sau: A =
8
1
.
21
1
21
1








+
2) Giải bất phơng trình: (3 2x)
2
x(x 5) 3 + (2-x)(5 3x)
3) Giải hệ phơng trình:

=+
=+
73
3
4
326
yx
yx
Bài 2 (2,5đ): Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol: y = -2x
2
1) Tìm điểm trên (P) có: a) Tung độ bằng
8
1

b) Hoành độ và tung độ bằng nhau
2) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m thì đờng thẳng y=-2x+m
2
-
3m+3 không có điểm chung với (P).
14
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
Bài 3 (1đ): Tìm m để phơng trình (x 7)(x 6)(x + 2)(x + 3) = m có 4 nghiệm
phân biệt x
1

, x
2
, x
3
, x
4
và
4
1111
4321
=+++
xxxx
Bài 4 (3,5đ): Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, điểm B nằm giữa điểm A và điểm C,
đờng tròn tâm O
1
đờng kính AB, đờng tròn tâm O
2
đờng kính BC. Hai điểm phân
biệt M, N lần lợt trên đờng tròn (O
1
) và đờng tròn (O
2
) thỏa mãn góc MBN bằng
90
0
. Gọi P là giao điểm của AM và CN.
1) Chứng minh: MN = PB
2) Gọi I là trung điểm của MN, chứng minh khi M, N thay đổi thì điểm I nằm
trên một đờng tròn cố định
3) Chứng minh rằng khi tứ giác AMNC là tứ giác nội tiếp thì PB là tiếp tuyến

chung của đờng tròn (O
1
) và đờng tròn (O
2
).
đề chuyên chung
1999- 2000
Bài 1: (2đ): Cho biểu thức: M =
1
1
:
1
1
1










+
+
+++
+
x
x

x
xxxx
xx
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tìm số chính phơng x để biểu thức M nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (2đ)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 điểm A(3; 5), B(-1; 3), C(1; 1).
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua A, B. Điểm C có thuộc đờng thẳng (d)
không?
b) Tìm tọa độ của điểm M trên (d) sao cho đoạn MC ngắn nhất.
Bài 3: (2đ): Cho 2 phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (1) và cx
2
+ bx + a = 0 (2), (với ac
< 0). Gọi , tơng ứng là nghiệm lớn nhất của (1) và (2). CMR: + 2
Bài 4 (4đ)
15
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
Từ một điểm A nằm ngoài đờng tròn (O), kẻ 1 cát tuyến ABC không qua tâm
O (B, C nằm trên đờng tròn) và tiếp tuyến AT với đờng tròn (T là tiếp điểm), cát
tuyến và tiếp tuyến khác phía nhau đối với O. Từ điểm chính giữa D của cung BC
lớn vẽ đờng kính DE, DE cắt cát tuyến tại K, ET cắt BC tại I
a) Chứng minh AT
2
= AB.AC
b) Chứng minh DT là đờng phân giác góc ngoài của đỉnh T của tam giác BCT
c) Giả sử A, B, C cố định, đờng tròn tâm O thay đổi nhng luôn đi qua BC. CM:
TE luôn đi qua một điểm cố định.

d) Trên tia AC lấy điểm J sao cho AJ = AB + AC, giả sử đờng tròn (O) cố định,
cát tuyến ABC thay đổi nhng vẫn qua A cố định. Hỏi điểm J chuyển động
trên đờng nào?
2000 - 2001
Bài 1 (2đ): Cho bt: A =
xx
x
xx
8)2(
12)3(
2
2
222
++
+
a) Rút gọn A.
b) Tìm những giá trị nguyên của x để A nguyên.
Bài 2 (2đ). Cho phơng trình bậc hai ẩn x: mx
2
2(m+1)x +m + 3 = 0 (m là tham
số)
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Trong trờng hợp phơng trình có 2 nghiệm phân biệt, hãy tính: B=
21
2
12
1
33 xx
x
xx

x

+

theo tham số m (với đk B có nghĩa).
Bài 3 (2đ)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 điểm A(0; -3), B(4; 2) và đờng thẳng (D)
có phơng trình y = 2x - 1
a) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua B và vuông góc với (D)
b) Xác định tọa độ điểm B đối xứng với B qua (D)
c) Tìm trên (D) điểm M sao cho MA + MB ngắn nhất.
Bài 4 (4đ). Cho 2 đờng tròn (O; R) và (O; R) tiếp xúc trong tại M(R > R). Kẻ 2
cát tuyến MEB, MDA sao cho D, E thuộc (O), B, A thuộc (O), góc BMA = 120
0
.
Vẽ tiếp tuyến chung Mx (x, B cùng thuộc nửa mf bờ OM). Chứng minh:
16
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
a) Góc xME = góc EDM và DE // AB
b) Lấy C trên (O) sao cho tam giác ABC đều. Chứng minh: MA + MB = MC
c) Kẻ tiếp tuyến AI, BK tới đờng tròn (O) chứng minh:
BE
AD
BK
AI
=
2001 - 2002
Câu 1: (2đ): Cho biểu thức: M =

+










x
x
x
2
2
1
:1
4
1
2
a) Tìm những giá trị của x để biểu thức có nghĩa

b) Rút gọn biểu thức M
c) Tính số trị của M biết x =
22
1
+
Câu 2: (1,5đ): Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là
A(1;2); B(-1; 0), C(2; 0)
a) Tính diện tích tam giác
b) Tính độ dài đờng cao của tam giác hạ từ đỉnh B
c) Tìm phơng trình đờng trung tuyến qua đỉnh C của tam giác
Xét phơng trình x
2
12x + m = 0 (x là ẩn số)
Câu 3: (2,5đ) : Cho phơng trình ẩn x: x
2
mx 2 = 0 (1), m R
a) Chứng minh rằng phơng trinh luôn có 2 nghiệm phân biệt. Tìm giá trị của m
để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
x
2
= 4
b) Gọi 2 nghiệm của phơng trình (1) là x
1
, x
2

. Tùy theo giá trị của m tính
x
1
3
+x
2
3.
c) Tìm đa thức bậc ba f(x) có hệ số nguyên sao cho đa thức đạt giá trị bằng 0
khi x =
3
3
3
8
3
Câu 4(4đ): Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đờng cao AA, BB, CC cát
nhau tại H.
a) Hãy viết tất cả các tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ. Chứng minh một trong
các tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.
17
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
b) Gọi M là trung điểm của BC, P là điểm đối xứng của H qua M. Chứng minh
tứ giác HBPC là hình bình hành và P thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.
c) Kéo dài AA cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ 2 là D.
Chứng minh DP // BC
d) Từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với đờng phân giác góc A của tam giác ABC,
đờng vuông góc này cắt AB, AC lần lợt tại I, J. Chứng minh BI=CJ
2002 - 2003
Câu 1: (2đ)

a) Tính : A =
5353 +
b) Rút gọn: M =
ab
ba
aab
b
bab
a +

+
+
+
, với a, b > 0
Câu 2: (1,5đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = 2x
2
và đờng thẳng
(d) có phơng trình y = mx + 2 - m
a) Chứng tỏ rằng (d) và (P) luôn có điểm chung với mọi m
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác AOB vuông
ở O.
Câu 3: (1,5đ): Hai ngời cùng làm chung một công việc trong 3 giờ thì hoàn thành.
Nếu ngời thứ nhất làm trong 20, ngời thứ 2 làm trong 1 giờ thì cả 2 ngời làm đợc
1/5 công việc. Hỏi nếu làm một mình thì môĩ ngời hết bao nhiêu thời gian để hoàn
thành công việc.
Câu 4: (4đ): Cho đờng tròn (O; R), I là 1 điểm nằm trong đờng tròn, kẻ 2 dây bất
kì MIN, EIF, gọi M, N, E, F lần lợt là trung điểm của IM, IN, IE, IF.
a) Chứng minh: IM.IN = IE.IF
b) Chứng minh: MNEF là tứ giác nội tiếp
c) Xác định tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MNEF

d) Giả sử 2 dây MIN, EIF vuông góc với nhau. Xác định vị trí của MIN, EIF
sao cho diện tích MNEF đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó biết
OI = R/2
2003 - 2004
18
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
Bài 1: (2đ):
1) Rút gọn:
yxyx
xyyx
+
+
1
:
4)(
2
, với x, y > 0 và x khác y
2) Cho 2 biểu thức: A =
22
24 xx +
; B =
22
24 xx
a. Tìm x để A có nghĩa
b. Biết B = 1. Tính A, tìm x với A vừa tìm đợc
Bài 2 (2đ):
1) Cho 3 điểm A(-2; 5), B(1; 2), C(m; -2). Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng
hàng.
2) Biết Para bol (P) có phơng trình y = 4x

2
và đờng thẳng (d) có phơng trình
y = x + 3.
a) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
b) Tìm điểm M trên (P) cách đều 2 trục tọa độ
Bài 3 (2đ):
1) Một ngời đi xe đạp từ A đến B mất 4h20 và đi môtô từ B đến C mất
2h40. Biết quãng đờng AB ngắn hơn quãng đờng BC là 55km và vận tốc
khi đi bằng xe đạp chậm hơn vận tốc khi đi môtô là 30km/h. Tính vận tốc
khi ngời đó đi bằng môtô
2) Biết a, b, c dơng và a + b + c = 4. Chứng minh rằng: a+ b abc
Bài 4 (4đ): Cho hình thang cân ABCD (AD = BC, AB // CD, đáy nhỏ AB), hai đờng
chéo AC, BD cắt nhau tại O và góc AOB = 60
0
, gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm
của OA, OD, BC, DC. Chứng minh rằng:
1) BC = 2MP
2) Tam giác MNP đều
3) Góc NMC = góc BNP
4) H là trực tâm của tam giác MNP, chứng minh O, Q, H thẳng hàng.
2004 - 2005
Bài 1 (2đ). Cho x; y R
+
19
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
1) Rút gọn biểu thức: A =
yx
xyyx
xy

yx
yx
yx
+
+










+


233
)(
:
, với xy
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =
201761022 +++ yxxyyx
Bài 2 (1,5đ): Cho phơng trình: x
2
2mx + m
2
- 1 = 0 (x là ẩn, m R).

1) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
2) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu
3) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm thỏa mãn -2 < x < 4
Bài 3 (2,5đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y =
2
1
x
2
, điểm I(0; 2)
và điểm M(m; 0) với m 0
1) Viết phơng trình đờng thẳng (D) đi qua 2 điểm M, I
2) Chứng minh đờng thẳng (D) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B với
mọi m 0
3) Gọi H, K thứ tự là hình chiếu của A, B lên trục hoành. Chứng minh tam
giác IHK là tam giác vuông
4) Chứng minh độ dài đoạn AB lớn hơn 4 đơn vị dài
Bài 4 (4đ). Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh 2R. Gọi O là tâm của hình
vuông, E là trung điểm của AB. Trên cạnh BC, CD thứ tự lấy 2 điểm F, G sao cho
EF // AG.
1) Tính tích DG.BF theo R
2) Chứng minh tam giác DOG đồng dạng với tam giác BFO
3) Tính góc GOF
4) Chứng minh GF là tiếp tuyến đờng tròn nội tiếp hình vuông ABCD
2005 -2006
Bài 1 (1đ): Rút gọn các biểu thức sau
A =
9
27
3
6

++


+
+
xx
xx
x
xx
, với x 0
20
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
Bài 2 (3đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) có phơng trình y =
3
2

x
2
và điểm A(-1; -
3
2
), B(-
3
; 2)
1) Các điểm A, B điểm nào thuộc (P), không thuộc (P)? Tại sao?
2) Không dùng đồ thị, chứng minh đờng thẳng (d): y = 4x + 7 không có
điểm chung với (P). Đờng thẳng AB có song song với (d) không ? Tại
sao?
3) Tìm điểm trên (P) có khoảng cách đến trục Oy gấp 2 lần khoảng cách đến

trục Ox
Bài 3 (2đ).
1) Cho x, y, z là các số thỏa mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị bé nhất của biểu
thức P = x
2
+ y
2
+ z
2
-3xy 3yz 3zx
2) Cho p là số nguyên, chứng minh phơng trình (p + 2)
2
-2x+p-p
3
=0 luôn có
nghiệm là số hữu tỷ
Bài 4 (4đ): Cho tam giác ABC đều nội tiếp đờng tròn tâm O bán kính R, M là điểm
thuộc cung BC không chứa điểm A. Trên tia MA ta đặt đoạn thẳng MD = MB
1) Chứng minh tam giác BDA = tam giác BMC
2) Chứng minh MA = MB + MC
3) Chứng minh MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= 6R
2
4) Từ M hạ các đờng vuông góc xuống BC; AC; AB lần lợt ở H, I, K. chứng
minh:

MKMIMH
111
+=
2006 - 2007
Bài 1 (2,5đ) : P =








+











+
+

13
23
1:
19
8
13
1
13
1
a
a
a
a
aa
a
; với a 0, a
9
1
1) Rút gọn biểu thức P
2) Tính giá trị của P khi a =
324
Bài 2 (2đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng thẳng (d): 2x y a
2
= 0 và
parabol (P): y = ax
2
(a là tham số dơng)
21
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam

1)Tìm a để đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B. Chứng minh
rằng khi đó A, B nằm bên phải trục tung.
2)Gọi u, v theo thứ tự là hoành độ của A, B. Tìm giá trị nhỏ nhất của T=
uvvu
14
+
+
Bài 3 (1,5đ):
1) Giải phơng trình:
1215
2
++=+ xxxx
2) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x
2
+ 2xy +7(x+y) + 2y
2
+ 10 = 0.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của S = x + y.
Bài 4 (4đ). Cho điểm A nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, biết OA = 2R. Qua
A kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Từ điểm I bất
kì trên cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ 3 với đờng tròn cắt AB, AC theo thứ tự ở M,
N. Đờng thẳng qua O vuông góc với AO cắt AB, AC theo thứ tự ở D, E.
1) Chứng minh tam giác ABC và tam giác ADE là các tam giác đều
2) Tính tích DM.EN theo R.
3) Gọi giao điểm của BC với OM, ON lần lợt là P, Q. chứng minh 3 đờng
thẳng OI, MQ, NP đồng quy
4) Chứng minh từ 3 đoạn BP, PQ, QC có thể dựng đợc một tam giác. Tính
giá trị lớn nhất của diện tích tam giác đó theo R.
đề chuyên toán
1999- 2000

Bài 1: (2đ): Rút gọn biểu thức: A =
91229122 + xxxx
Bài 2: (2đ)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = 2x
2
và điểm A thuộc (P) có
hoành độ bằng 2. Tìm tọa độ điểm M trên phần đồ thị của (P) từ O đến A sao cho
diện tích tam giác OAM đạt giá trị lớn nhất.
22
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
Bài 3: (2đ): Giải hệ phơng trình:















+=
+=
+=

+=
)
1
(
2
1
)
1
(
2
1

)
1
(
2
1
)
1
(
2
1
1
12000
2000
20001999
3
32
2
21

x
xx
x
xx
x
xx
x
xx

Bài 4 (2đ)
Cho đờng tròn (O) đờng kính AH. I, K là 2 điểm thuộc 2 nửa đờng tròn khác
phía đối với AH sao cho AI, AK kéo dài cắt HK, HI lần lợt tại B, C.
a) Lấy H đối xứng với H qua BC. Chứng minh ABHC nội tiếp
b) Chứng minh các tiếp tuyến với đờng tròn đờng kính BC tại K và I và AH
đồng quy.
Bài 5 (2đ). Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R, bán kính OC AB. Vẽ đ-
ờng tròn tâm O đờng kính OC. Dựng đờng tròn tâm K tiếp xúc trong với nửa đờng
tròn (O), tiếp xúc ngoài với đờng tròn (I) và tiếp xúc với đoạn thẳng OB.
2000 - 2001
Bài 1 (2đ):
a) Tính:
322
32
322
32


+
++
+

b) Cho hàm số: y = f(x) =
( )
5353 ++ x
x , tính x
0
biết [f(x
0
)]
2
= 8+2
15
Bài 2 (2đ). Cho phơng trình ẩn x tham số m R:
m
x
x
xxx =

+
++
3
1
)3(4)1)(3(

a) Giải phơng trình với m = -3
23
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
b) Giải và biện luận phơng trình theo tham số m
Bài 3 (2đ)
Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp đờng tròn (O) đờng kính AD, F là một

điểm trên đờng tròn sao cho BF và BD khác phía nhau đối với OB. BF, BD lần lợt
cắt nhau tại E và H
a) Chứng minh: BC
2
= BE.BF và tứ giác EHDE nội tiếp đợc đờng tròn.
b) Gọi J là điểm đối xứng của B qua O, AJ cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác
AHD tại K. Chứng minh góc AHK = 90
0
c) N là một điểm trên đờng tròn (O), (N khác B), NC cắt AD tại Q. Tìm tập hợp
tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác NBQ khi điểm N chuyển động trên đờng
tròn (O).
Bài 4 (4đ). Cho tam giác ABC với phân giác trong AD. Lấy E, F nằm giữa A, D
(theo thứ tự A, E, F, D) sao cho góc ABE = góc CBF. Chứng minh: góc BCF = góc
ACE.
2001 - 2002
Câu 1: (2đ): Cho biểu thức: Q=
1
2
1
2
+
+

+
+
x
xx
xx
xx
, với x > 0

a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm x để Q = 2
c) Với 0 < x < 1 tính Q +
Q
Câu 2: (2đ): Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): y = x
2
và điểm A(1; 4)
a) Viết phơng trình đờng thẳng (D) qua A với hệ số góc k (k R). Chứng minh
đờng thẳng (D) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
b) Tìm k để (D) cắt (P) tại 2 điểm M, N sao cho:
+) Tổng các tung độ của các giao điểm đạt giá trị nhỏ nhất
+) MA = 2AN, (Trong đó M là điểm có hoành độ âm, N là điểm có hoành độ
dơng).
24
Đề thi vào lớp 10
Hà Nam
Câu 3: (2,0đ) :
a) Tìm những giá trị x 0 thỏa mãn:
)3(2)2()1( =+ xxxxxx
b) Cho x > 0, y > 0, x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:






+

+=
2
2
2
2
11
y
x
x
y
A
Câu 4(3đ): Cho đoạn thẳng AB và 1 điểm M trên AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ
AB vẽ 2 hình vuông AMED và BMCF. Các đờng tròn ngoại tiếp 2 hình vuông này
cắt nhau tại 2 điểm M, N
a) Chứng minh đờng thẳng AN đi qua C và đờng thẳng BE đi qua N
b) Chứng minh rằng đờng thẳng MN đi qua một điểm cố định khi M thay đổi
trên AB.
c) Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng O
1
O
2
khi M chuyển động trên AB
(O
1
, O

2
là tâm của 2 hình vuông nói trên)
Bài 5 (1đ). Chứng minh có hay không một điểm P nằm trong tam giác có 3 cạnh là
5; 12; 13 mà khoảng cách từ P đến mỗi cạnh của tam giác đều nhỏ hơn 2.
2002 - 2003
Câu 1: (2,5đ). Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phơng trình: x
2
+ x -1 = 0
a) Chứng minh: S = (x
1
10
+ x
2
10
) + (x
1
9
+ x
2
9
) (x
1
8
+ x
2
8

) = 0
b) Tính A =x
1
7
+x
2
7

Câu 2: (2,5đ): Cho 2 phơng trình: x
2
+ (m+1)x +1 = 0 (1) và x
2
+ x +m +1 = 0 (2) ,
(m là tham số).
a) Tìm những giá trị của m để tổng các bình phơng các nghiệm của phơng trình
(1) đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm những giá trị của m để 2 phơng trình đã cho tơng đơng.
Câu 3: (2đ):
a) Giải hệ phơng trình:





=+
=+
8
4
33
22

yx
yx
b) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x
1
4
+x
2
4
+x
3
4
+ +x
14
4
=2015
Câu 4: (3đ): Cho góc xOy, các đờng tròn (O
1
; R
1
), (O
2
; R
2
) không cắt nhau lần lợt
tiếp xúc với Ox tại M
1
, M
2
, tiếp xúc với Oy tại N
1

, N
2
.
a) Tiếp tuyến chung trong của các đờng tròn tâm O
1
, O
2
cắt O
1
O
2
tại K. Chứng
minh: OO
1
.KO
2
= OO
2
.KO
1
25