tuyển tập các đề thi học sinh giỏi, đề thi môn toán vào lớp 10 môn toán (4)

Phòng GD-ĐT Đức Thọ Bộ đề tự luyện thi vào lớp 10
một số đề thi của sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh
kì thi tốt nghiệp THCS năm học 2002 2003
Thời gian làm bài 120 phút
Đề thi chính thức
A/ Phần lí thuyết (2 đ): Học sinh chọn một trong hai câu
Câu 1: a/ Nêu quy tắc khai phơng một tích các biểu thức không âm
b/ áp dụng: Tính
25.81.0,36
Câu 2: a/ Thế nào là đờng tròn ngoại tiếp tam giác ?
b/ áp dụng: Tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6 cm và AC = 8 cm. Tính bán
kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác đó
B/ Bài toán bắt buộc (8 đ)
Bài 1: Cho biểu thức A =
2
2
a 6a 9
a 3a
+

a/ Tìm các giá trị của a để biểu thức A có nghĩa
b/ Rút gọn biểu thức A
c/ Với giá trị nào của a thì A < 1
Bài 2: Một ngời đi xe máy, đi hết quãng đờng từ A tới B dài 50 km với vận tốc không đổi. Khi từ B trở
về, do tăng thêm vận tốc 10 km/h nên thời gian về tới A ít hơn thời gian lúc đi là 15 phút. Tính vận tốc
của xe máy lúc về.
Bài 3: Cho tam giác ABC có các góc A, B, C đều nhọn. Các đờng cao AM, BN của tam giác cắt nhau tại
H (M BC; N AC). Trong nửa mặt phẳng không chứa điểm A, có bờ là đờng thẳng BC, vẽ nửa đờng
tròn đờng kính BC cắt tia HM tại P.
a/ Chứng minh tứ giác BNCP là tứ giác nội tiếp đờng tròn
b/ Cho

ã
BAC
= 75
0
;
ã
NPC
= 50
0
. Tính
ã
BAP
c/ Chứng minh MH. MA = MP
2
Bài 4: Giải phơng trình x +
x 2 2 x 1 =
kì thi tốt nghiệp THCS năm học 1999 2000
Thời gian làm bài 120 phút
Đề thi chính thức
A/ Phần lí thuyết (2 đ): Học sinh chọn một trong hai câu
Câu 1: a/ Phát biểu định nghĩa phơng trình bậc hai một ẩn số
b/ áp dụng: Xác định các hệ số của phơng trình bậc hai sau đây:
x
2
(k + 1)x + k 1 = 0
Câu 2: Phát biểu và chứng minh định lí về số đo của góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn.
B/ Bài toán bắt buộc (8 đ)
Bài 1: Giải hệ phơng trình
2x y 3
3x 2y 1

+ =


=

Bài 2: Cho phơng trình: x
2
x + 2m 2 = 0
a/ Giải phơng trình trên khi m = 1
b/ Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có một nghiệm bằng 3
c/ Tìm giá trị của m để phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt đều dơng
Bài 3: Cho đờng tròn (O) bán kính R và đờng thẳng xy tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. Từ điểm B trên
kẻ BH vuông góc với xy tại H (H A)
1. Tứ giác OBHA là hình gì ?
2. Chứng minh BA là phân giác của góc OBH
3. Chứng minh rằng phân giác ngoài của góc OBH đi qua một điểm cố định khi B di động trên đ-
ờng tròn (O), sao cho H A
kì thi tốt nghiệp THCS năm học 1998 1999
Thời gian làm bài 120 phút
S u tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng GV THCS Hoàng Xuân Hãn - Đức Thọ
15
Phòng GD-ĐT Đức Thọ Bộ đề tự luyện thi vào lớp 10
Đề thi chính thức
A/ Phần lí thuyết (2 đ): Học sinh chọn một trong hai câu
Câu 1: a/ Phát biểu và viết công thức của hệ thức Viét
b/ áp dụng: Không giải phơng trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm của phơng
trình: -x
2
+ 5x 4 = 0
Câu 2: a/ Phát biểu định nghĩa về đờng thẳng song song với mặt phẳng

b/ Chứng minh định lí: Nếu đờng thẳng a không thuộc mặt phẳng (P) mà song
song với một đờng thẳng c nằm trên mặt phẳng (P) thì a song song với mặt phẳng (P)
B/ Bài toán bắt buộc (8 đ)
Bài 1: (2 đ) Cho biểu thức A =
2
2x x 2(2x 1)
2x 1
+

a/ Rút gọn biểu thức A
b/ Tìm x để A > 0
Bài 2: (2,5 đ) Hai ngời đi xe đạp xuất phát cùng một lúc, đi từ A đến B. Vận tốc của ngời tứ nhất kém
hơn vận tốc của ngời thứ hai là 3 km/h, nên ngời thứ nhất đến B muộn hơn ngời thứ hai là 30 phút. Tính
vận tốc của mỗi ngời, biết rằng quãng đờng AB dài 30 km
Bài 3: (3,5 đ) Cho tam giác ABC có AB < AC và nội tiếp đờng tròn (O). Từ một điểm M trên cung BC
(MB < MC) kẻ MN, ME, MF lần lợt vuông góc với các đờng thẳng BC, AB, AC.
1. Chứng minh rằng các tứ giác MNFC, MNBE nội tiếp đợc
2. Chứng minh tam giác MBE đồng dạng với tam giác MCF
3. Chứng minh 3 điểm E, N, F thẳng hàng
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 - năm học 2006 - 2007
Thời gian làm bài 120 phút
Đề thi chính: MS 01
Phần I. Trắc nghiệm khách quan (10 câu 2,5 đ)
Trong các kết quả A, B, C, D sau đây, kết quả nào đúng, em hãy ghi vào bài làm
Câu 1: Với mọi giá trị của a, b thì
( )
22
ba
bằng:
A. |ab| B. -|ab| C. ab D. (-a)b

Câu 2: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, điểm đối xứng với điểm I(1; -2) qua trục Ox là điểm:
A. M(-1; 2) B. N(-1; -2) C. P(1; 2) D. Q(-2; -1)
Câu 3: Đờng thẳng y = -2x + 4 không thể:
A. Đi qua điểm I(1; 2) B. Cắt đờng thẳng y = -2x
C. Song song với đờng thẳng y = -2x D. Cắt trục Ox tại điểm K(2; 0)
Câu 4: Nếu hệ



=+
=
3ny3x
62ymx
có nghiệm (x; y) là (2; -1) thì
A. m = 2 và n = -3 B. m = 4 và n = 3
C. m = 4 và n = -3 D. m = 2 và n = 3
Câu 5: Biểu thức
( )( )
2525 +
có giá trị bằng:
A. 3 B. -3 C. 1 D. -1
Câu 6: Nếu đờng tròn (O; R) với R = 5 cm có dây AB = 8 cm thì O cách dây AB một khoảng là:
A. 5 cm B. 4 cm C. 3 cm D. Cả 3 kết quả A, B, C đều sai
Câu 7: Tam giác ABC vuông tại A, có đờng cao AH thì:
A. tgB =
AH
BH
B. cotgC =
BH
AH

C. sinB =
AB
AC
D. cosC =
AC
BC
Câu 8: Cho đờng tròn (O; R) và dây AB = R
3
, khi đó số đo góc AOB là:
A. 45
0
B. 60
0
C. 90
0
D. 120
0
Câu 9: Một hình trụ có bán kính đáy R bằng 2 lần đờng cao h, S
xq
= 12 cm
2
thì R bằng:
A. 2
3
cm B.
3
cm C. 2
6
cm D.
6

cm
Câu 10: Phơng trình a bx cx
2
có nghiệm x = -1 nếu:
A. a + b + c = 0 B. a b c = 0 C. a b + c = 0 D. a + b c = 0
Phần 2: Tự luận
Câu 11: (3,5 đ). Cho phơng trình: 2x
2
+ (m 2)x m
2
+ m = 0 (1)
a/ Giải phơng trình (1) khi m = -1
b/ Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có nghiệm x = 3
c/ Chứng minh phơng trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m
S u tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng GV THCS Hoàng Xuân Hãn - Đức Thọ
16
Phòng GD-ĐT Đức Thọ Bộ đề tự luyện thi vào lớp 10
Câu 12: (3,5 đ). Từ điểm S ở ngoài đờng tròn (O; R), vẽ 2 tiếp tuyến SA, SB (A, B là các tiếp điểm). Cát
tuyến qua S (cắt bán kính OB) cắt đờng tròn tại C, D. Gọi H là trung điểm của dây CD.
a/ Chứng minh tứ giác SAOH nội tiếp đờng tròn
b/ Chứng minh tia HS là tia phân giác của góc AHB
c/ Qua O, vẽ đờng thẳng vuông góc với OS cắt các tia SA, SB thứ tự tại M, N. Khi đờng tròn (O;
R) và đờng thẳng CD cố định, tìm vị trí của S trên đờng thẳng CD để diện tích tam giác SMN nhỏ nhất
Câu 13: (0,5 đ). Giải phơng trình
( )( )
3x31x11x ++++
= 4x
kì thi tuyển sinh vào lớp 10 PTth - năm học 1995 1996
Thời gian làm bài 150 phút
Đề thi chính thức

Bài 1: Chứng minh rằng
a b a b 2 ab
a b a b
+ +

+
Bài 2: Cho phơng trình 2x
2
+ (2m 1)x + m 1 = 0
a/ Giải phơng trình khi m = -1
b/ Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu
c/ Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình đã cho. Hãy tìm m để các nghiệm thoã mãn đẳng
thức 3x
1
4x
2
= 11
Bài 3: Để chở một số vật liệu đến công trờng phải điều động 30 xe loại nhỏ làm 8 giờ và 9 xe loại lớn
làm 6 giờ. Nếu điều động 30 xe loại nhỏ làm 6 giờ và 9 xe loại lớn làm 8 giờ thì mới chở đợc 13 tấn vật
liệu. Hỏi 30 xe loại nhỏ chở hết số vật liệu trong bao lâu ?
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đờng tròn tâm O, bán kính R. Điểm M thuộc cung nhỏ
AC )M A và M C). Gọi Cx là tia đi qua M.
a/ Chứng minh rằng MA là tia phân giác của góc BMx
b/ Gọi D là điểm đối xứng với A qua O. Trên tia đối của tia MB ta lấy MH = MC. Chứng minh
rằng MD song song với CH
c/ Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC và CH. Tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác

EFC. Biết góc BAC =
Bài 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và tâm O. Từ A kẻ nửa đờng thẳng Ay vuông góc với
mp(ABCD). Trên Ay lấy điểm S sao cho đoạn AS = a
a/ Tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác SBO
b/ Tính khoảng cách từ D tới mp(SAC)
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trờng THPT chuyên Hà Tĩnh
Năm học 2005-2006. Thời gian 120 phút
Bài 1: Cho biểu thức M =
a 1 a 1 a 1
2
2 a a 1 a 1

+

ữ ữ
ữ ữ
+

a/ Đơn giản biểu thức M
b/ Tìm những số chính phơng a sao cho M là số nguyên
c/ Tìm a để M > 2
Câu 2: a/ Giải phơng trình: (x
2
+ 2x 8)(x
2
+ 8x + 7) = 280
b/ Tìm các bộ số nguyên không âm (x, y, z) sao cho x < y < z và thoã mãn phơng trình x + y + z
+ xy + yz + zx + xyz = 29
Câu 3: Cho x và y là hai số thực thoã mãn x
2

+ y
2
= 4. Chứng minh rằng
xy
2 1
x y 2

+ +
Câu 4: a/ Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trên đờng chéo AC. Gọi N là chân đờng vuông góc hạ
từ điểm M xuống cạnh AB và O là trung điểm của đoạn M
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 - năm học 2007 - 2008
Thời gian làm bài 120 phút
Đề thi chính: MS 01
Phần I. Trắc nghiệm khách quan (7 câu 3,5 đ)
Trong các kết quả A, B, C, D sau đây, kết quả nào đúng, em hãy ghi vào bài làm
Câu 1: Phơng trình: 2x
2
5x 1 = 0 có tổng hai nghiệm là:
S u tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng GV THCS Hoàng Xuân Hãn - Đức Thọ
17
Phòng GD-ĐT Đức Thọ Bộ đề tự luyện thi vào lớp 10
A. -
5
2
B.
5
2
C. -
1
2

D.
2
5
Câu 2: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị hàm số y =
1
2
x
2
đi qua điểm:
A. M(-2; 2) B. N(-2; -2) C. P(-2; 1) D. Q(-2; -1)
Câu 3: Nếu tam giác MNP vuông tại M, có đờng cao MH thì:
A. MN
2
= NH. HP B. MN
2
= NP. HP
C. MH
2
= NH. NP D. MH
2
= NH. HP
Câu 4: Phơng trình: x
2
+ 5x 6 = 0 có 1 nghiệm là:
A. -1 B. 5 C. -6 D. 6
Câu 5: Đờng thẳng y =
4x
3
+ 1 có hệ số góc là:
A. 4 B. 1 C.

4
3
D.
4x
3
Câu 6: Thực hiện phép tính:
2 2
( 3) ( 2) +
, ta có kết quả là:
A. 1 B. -1 C. -5 D. 5
Câu 7: Bán kính của một đờng tròn tăng lên hai lần thì diện tích hình tròn của nó tăng lên:
A. 4 lần B. 4 lần C. 2 lần D. 2 lần
Phần 2: Tự luận
Câu 8: (1 đ). Giải phơng trình: 2x
2
-3x - 2 = 0
Câu 9: (1 đ). Giải hệ phơng trình
2x y 4
3x 2y 13
+ =


=

Câu 10: (1 đ) Tìm điều kiện để biểu thức sau có nghĩa rồi rút gọn
P =
5. x 5 5x
1 :
x 25
x 5

+
+




Câu 11: (3 đ). Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính BC = 2R không đổi. Vẽ hai dây BM, CN sao cho
cắt nhau tại H. Tia BN cắt tia CM tại A.
a/ Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp đờng tròn
b/ Gọi giao điểm của tia AH với BC là P. Chứng minh tia NC là tia phân giác của góc PNM
c/ Tìm vị trí của điểm P trên đoạn thẳng BC để tích PH. PA đạt giá trị lớn nhất
Câu 12: (0,5 đ) Tìm các giá trị của m, n để phơng trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt:
x
2
+ (m
2
+ 8n)
x
+ n
2
4 = 0
kì thi tốt nghiệp THCS năm học 2003 2004
Thời gian làm bài 120 phút
Đề thi chính thức (Dành cho học sinh lớp 9 thí điểm)
Phần I. Trắc nghiệm khách quan (3 đ)
Trong các kết quả A, B, C, D sau đây, kết quả nào đúng, em hãy ghi vào bài làm
Câu 1: (0,5 đ) Biểu thức
2
( a)

bằng:
A. a B. -a C.
a
D. -
a
Câu 2: (0,5 đ) Hệ số góc của đờng thẳng y = -
x
2
+ 1 là:
A. -1 B. 1 C. -
x
2
D. -
1
2
Câu 3: (0,5 đ) Đồ thị hàm số y = -
1
2
x
2
đi qua điểm:
A. M(-2; 2) B. N(-2; -2) C. P
1
1;
2


ữ

D. Q

1
1;
2

ữ

Câu 4: (0,25 đ) Phơng trình bậc hai: x
2
- ax 1 = 0 có biệt thức bằng:
S u tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng GV THCS Hoàng Xuân Hãn - Đức Thọ
18
Phòng GD-ĐT Đức Thọ Bộ đề tự luyện thi vào lớp 10
A. a
2
+ 4 B. -a
2
+ 4 C. a
2
- 4 D. -a
2
- 4
Câu 5: (0,25 đ) Phơng trình bậc hai: -
1
2
x
2
+ x + 1 = 0 có tổng hai nghiệm là:
A. -
1
2

B.
1
2
C. -2 D. 2
Câu 6: (0,5 đ) Trong hình vẽ bên thì:
A. cosN =
MN
MP
B. cosN =
MN
NP
C. cosN =
MP
NP
D. cosN =
MP
MN
Câu 7: (0,25 đ) Hình tròn (O) có diện tích S, bán kính R = 2 cm. Hình tròn (O
1
) có diện tích s, bán kính
r = 1 cm thì S : s bằng:
A. 1 : 2 B. 1 : 4 C. 2 : 1 D. 4 : 1
Câu 8: (0,25 đ) Ba đờng tròn cắt nhau từng đôi một thì số giao điểm nhiều nhất là:
A. 4 B. 3 C. 6 D. 2
Phần 2: Tự luận
Câu 9: (2 đ). Cho biểu thức P =
2
1 x 2x 1
1 :
x 2x

+ +

+
ữ

với x 0 và x -1
a/ Rút gọn P
b/ Tính giá trị của biểu thức P khi x =
3
Câu 10: (2 đ) Một ô tô dự định đi hết quãng đờng từ A đến B dài 140 km trong một thời gian nhất định.
Đi đợc nửa quãng đờng thì xe tăng thêm vận tốc 10 km/h nên về tới B sớm hơn dự định là 10 phút. Tính
vận tốc của ô tô trên nửa quãng đờng đầu.
Câu 11: (3 đ). Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 4 cm. Từ trung điểm C của AO, vẽ tia Cx
vuông góc với AO, cắt nửa đờng tròn (O) tại D. Gọi E là điểm chính giữa của cung DB; F là giao điểm
của AE và CD
a/ Chứng minh tứ giác CFEB là tứ giác nội tiếp đờng tròn
b/ Tính AD
c/ Gọi giao điểm của AE với OD là I. Chứng minh đờng thẳng EO là tiếp tuyến của đờng tròn
ngoại tiếp tam giác FCI.
kì thi tốt nghiệp THCS năm học 2000 - 2001
Thời gian làm bài 120 phút
Đề thi chính thức
A/ Phần lí thuyết (2 đ): Học sinh chọn một trong hai câu
Câu 1: a/ Nêu điều kiện để
A
có nghĩa
b/ áp dụng: Tìm các giá trị của x để mỗi căn bậc hai sau đây có nghĩa:
a.
2x 1
b.

1
4 2x
Câu 2: a/ Phát biểu định nghĩa về tiếp tuyến của một đờng tròn
b/ Chứng minh định lí: Nếu một đờng thẳng là tiếp tuyến của một đờng tròn thì
nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
B/ Bài toán bắt buộc (8 đ)
Bài 1: (2 đ) Cho biểu thức E =
2
2
2a a
4a 4a 1

+
a/ Tìm giá trị của a để biểu thức E có nghĩa
b/ Rút gọn biểu thức E
c/ Với giá trị nào của a thì E >
1
2
Bài 2: Một khu vờn hình chữ nhật, có chiều dài hơn chiều rộng 12 m. Hãy tính chu vi của khu vờn đó.
Biết rằng diện tích của khu vờn là 325 m
2
S u tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng GV THCS Hoàng Xuân Hãn - Đức Thọ
19
N
M
P
Phòng GD-ĐT Đức Thọ Bộ đề tự luyện thi vào lớp 10
Bài 3: Hai đờng tròn tâm (O) và (O) cắt nhau ở A và B. Qua B kẻ cát tuyến CBD vuông góc với AB (C
thuộc đờng tròn (O); D thuộc đờng tròn (O)). Đờng thẳng CA cắt đờng tròn (O) tại I. Đờng thẳng DA
cắt đờng tròn (O) tại K

1. Chứng minh bốn điểm C, K, I, D cùng nằm trên một đờng tròn
2. Chứng minh rằng AB là phân giác của
ã
KBI
3. Chứng minh rằng các đờng thẳng CK, AB, DI cùng đi qua một điểm
Bài 4: Giải phơng trình: 3x
2
- x
( )
2 3 1 2 3+
= 1
thi tuyển vào lớp 10 PTTH - năm học 1997 1998
Thời gian làm bài 150 phút
Đề thi chính thức
Bài 1: Cho biểu thức A =
2
x x 2x x
1
x x 1 x
+ +
+
+
1. Tìm tập xác định của A
2. Rút gọn A. Tìm x để A = 2
3. Cho x > 1, chứng minh A -
A
= 0
Bài 2: Với giá trị nào của m thì phơng trình: x
2
x + 2(m 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt đều dơng

Bài 3: Một ca nô chạy trên sông, xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63 km hết tất cả 7 giờ. Nếu ca nô
chạy xuôi dòng 81 km và chạy ngợc dòng 84 km thì cũng hết 7 giờ. Tính vận tốc nớc chảy và vận tốc ca
nô.
Bài 4: Cho đờng tròn (O) và dây cung AB, đờng kính PQ vuông góc với AB tại E (điểm P thuộc cung
lớn AB). Một điểm C ở ngoài đờng tròn nhng nằm trên tia AB. Tia CP cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là I.
Dây QI cắt dây AB tại K.
1. Chứng minh PEKI là tứ giác nội tiếp
2. Chứng minh CI. CP = CK. CE
3. Chứng minh IC là tia phân giác ngoài ở đỉnh I của tam giác AIB
4. Giả sử A, B, C cố định. Chứng minh rằng đờng tròn (O) thay đổi vẫn đi qua A và B thì đờng
thẳng QI luôn đi qua một điểm cố định
S u tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng GV THCS Hoàng Xuân Hãn - Đức Thọ
20