Bài tập hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 1
KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯNG GIÁC



0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
0
6


4


3


2


2
3


3
4


5
6




sin

0
1
2

2
2

3

2

1

3
2

2
2

1
2

0
cos

1

3
2

2
2

1
2

0
1
2



2
2


3
2


1

tan

0
3
3

1

3

||
,


3

1

3
3


0
cot

||
,


3

1

3
3

0
3
3


1

3

||
,


www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 2

180
0
210
0
225
0
240
0
270
0
300
0
315
0
330
0
360
0


7
6


5

4


4
3


3
2


5
3


7
4


11
6


2

sin

0
1
2



2
2


3
2


1

3
2


2
2


1
2


0
cos

1

3

2


2
2


1
2


0
1
2

2
2

3
2

1

tan

0
3
3

1

3

||
,


3

1

3
3


0
cot

||
,


3

1

3
3

0

3
3


1

3

||
,


A. Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản

 
22
sin cos 1 R    


tan .cot 1 k ,k Z
2


     




1
tan k ,k Z

cot 2


    





1
cot k ,k Z
tan 2


    





2
2
1
1 tan k ,k Z
2
cos


       






 
2
2
1
1 cot k ,k Z
sin
      


Hệ quả



22
sin 1 cos   

22
cos 1 sin   


1
tan
cot



1
cot
tan



www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 3
B. Giá Trò Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt
1. Hai cung đối nhau (Tính đối xứng)


2. Hai cung bù nhau


3. Hai cung khác nhau
2
(Tính tuần hoàn)


4. Hai cung khác nhau




5. Hai cung phụ nhau (Tính tònh tiến)


sin x cosx

2






cos x sinx
2







tan x cotx
2






cot x tanx
2







sin( x) sinx
tan( x)
cos( x) cos
tanx
cot( x) cotx
x
  
  
  


cos( x) cosx
tan( x
sin( x) sinx
) tanx
cot( x) cotx
   
   
   
  

sin(x 2 ) sinx
cos(x 2 ) cosx
tan(x 2 ) tanx
cot(x 2 ) cotx
  
  
  

  

sinx sin(x k2 )
cosx cos(x k2 )
tanx tan(x k )
cotx cot(x k )
  
  
  
  

 
kZ

sin( x) sinx   

cos( x) cosx   

tan( x) tanx  

cot( x) cotx  

www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 4
C. Bảng giá tri lượng giác
1. Tìm giá trò lượng giác theo bảng
Như trên
2. Tìm giá trò lượng giác theo đường tròn lượng giác
a. Theo trục sin

cos
sin
O
A

www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 5
b. Theo trục cos
cos
sin
O
A

www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 6
c. Theo trục tan
cos
sin
tan
O
A

www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 7
d. Theo trục cot
cos
sin

cot
O
A

www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 8
D. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng
Với mọi cung có số đo ,  ta có:



2. Công thức nhân đôi


3. Công thức nhân ba


 
cos a b cos cos sin sin      


 
cos cos cos sin sin      


 
sin sin cos cos sin       

 
sin sin cos cos sin       


 
tan tan
tan
1 tan .tan
  
   
  


 
tan tan
tan
1 tan .tan
  
   
  


 
1 tan tan
cot
tan tan
  
   
  

 
1 tan tan
cot
tan tan
  
   
  


sin2 2sin cos   

1
sin cos sin
2
   


22
2
2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
    
  
  

2
2tan
tan2
1 tan





3
sin3 3sin 4sin    


3
cos3 4cos 3cos    

www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 9
4. Công thức hạ bậc


2
1 cos2
tan
1 cos2




22
1 cos4
sin cos
8

  



6. Công thức biến đổi tổng thành tích



2
1 cos2
cos 2
2




2
1 cos2
sin 2
2



3
3sin sin3
sin
4
  



3
3cos cos3
cos
4
  



4
cos4 4cos2 3
sin
8
   



4
cos4 4cos2 3
cos
8
   


cos cos 2cos cos
22
   
    
   
   
   


cos cos 2sin sin
22
   
    
    
   
   


sin sin 2sin cos
22
   
    
   
   
   


sin sin 2cos sin

22
   
    
   
   
   

www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 10




7. Công thức biến đổi tích thành tổng


Công thức nghiệm


1
cos .cos cos( ) cos( )
2

        



1
sin .sin cos( ) cos( )

2

      



1
sin .cos sin( ) sin( )
2

         



1
cos .sin sin( ) sin( )
2

         



u v k2
sinu sinv ,k Z
u v k2

  
  

    




u v k2
cosu cosv ,k Z
u v k2

  
  

   



tanu tanv u v k ,k Z     


cotu cotv u v k ,k Z     


sin cos 2sin 2cos
44
   

        
   
   


sin cos 2sin 2 cos

44
   

         
   
   


cos sin 2 cos 2sin
44
   

         
   
   


sin( )
tan tan , k ,k Z
cos .cos 2

   
         





sin( )
tan tan , k ,k Z

cos .cos 2

   
         




www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 11
Công thức nghiệm đặc biệt


Đề kiểm tra 1 tiết (Chương trình chuẩn)
Ngày 6 tháng 10 năn 2011
Đề bài. (Đề số 1)
Câu 1. (2 điểm) Tìm tập xác đònh của hàm số
a.
 
y tan x 1
b.
x.sin3x
y
cos2x


Câu 2. (2 điểm) Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất củ hàm số

 

3
y cos 2x 1 2    

Câu 3. (6 điểm) Giải các phương trình
a.
2sin 3x 3 0
5


  


b.
   
00
cos x 30 3sin x 30 1   

c.
tan3x 3cot3x 2 0  
d.
44
sin x cos x sin2x


Đềø bài. (Đề số 2)
Câu 1. (2 điểm) Tìm tập xác đònh của hàm số
a.
 
y cot x 3
b.

x.cos3x
y
sin2x


Câu 2. (2 điểm) Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

 
y 3sin 2x 1 2    

Câu 3. (6 điểm) Giải các phương trình
a.
2cos 3x 3 0
5


  


b.
   
00
sin x 30 3cos x 30 1   

c.
2
tan 3x 3tan3x 2 0  
d.
44
sin x cos x 2cos2x 0  

sinu 1 u k2
2

    

sinu 1 u k2
2

      


sinu 0 u k   

cosu 0 u k
2

    


cosu 1 u k2   

cosu 1 u k2     

www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 12
Đề bài. (Đề số 3)

Câu 1. (2 điểm) Tìm tập xác đònh của hàm số
a.
sinx
y
1 2cos


b.
y tan x
5






Câu 2. (6 điểm) Giải các phương trình
a.
 
00
2sin x 30 2, x 0;90

  

b.
2
2cos x 3sinx 1 0  

c.
sin4x 3cos4x 3

d.
cotx 3tanx 2 0  

Câu 3. (2 điểm) Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

 
3
y 3sin x x 2 2  


Đề bài. (Đề 4)
Câu 1. (2 điểm) Tìm tập xác đònh của hàm số
a.
sinx
y
1 2sinx


b.
y cot x
5






Câu 2. (6 điểm) Giải các phương trình
a.
 

00
2cos x 30 2, x 0;90

  

b.
2
2sin x 3sinx 1 0  

c.
3sin2x cos2x 3
d.
tanx 3cotx 2 0  

Câu 3. (2 điểm) Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

2
y 2 3cos (x 1)  

www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 13
PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản theo sin

Bài 1. (Học sinh tự giải tương tự)
a.
1
sin 2x
32






b.
 
0
2
sin 2x 10
2
  

c.
sin 2x sin x
34
   

  
   
   
d.
sin 2x cos2x
6






e.
sin x cos x
63
   

  
   
   
f.
sin 2x 1
6


  




_____Giải_____
a.
1
sin 2x
32


  





sin 2x sin
36
   

  
   
   



2x k2
36
2x k2
36


    




     





2x k2
36

2x k2
36


    




      





2x k2
2
5
2x k2
6


   




  





 
xk
4
, k Z
5
xk
12


   





  



a.
1
sin 2x
32


  



b.
 
0
2
sin 2x 10
2


c.
sin 2x sin x
34
   

  
   
   
d.
sin 2x cosx
5






e.
2
sin x cos x
33

   

  
   
   
f.
sin 2x =1
3






www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 14
b.
 
0
2
sin 2x 10
2



 
00
sin 2x 10 sin45


0 0 0
0 0 0 0
2x 10 45 k360
,k Z
2x 10 180 45 k360

  



   




0 0 0
0 0 0 0
2x 10 45 k360
,k Z
2x 10 180 45 k360

  



   



00
00
2x 55 k360
,k Z
2x 145 k360









00
00
x 27 30 k180
,k Z
x 72 30 k180










c.
sin 2x sin x
34
   

  
   
   




2x x k2
34
,k Z
2x x k2
34


    





      





2x x k2
34
,k Z
2x x k2
34


     





       






7
x k2
3
,k Z
11
3x k2
12



   




  





7
x k2
3
,k Z
11 2
xk
36 3


   










d.




sin 2x cosx
5




sin 2x sin x
52
   

  
   
   

2x x k2
52
,k Z
2x x k2
52


    






      



www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 15


2x x k2
52
,k Z
2x x k2
52


     





       





3
3x k2
10
,k Z
3
x k2
10


  





  





2
xk
10 3
,k Z
3
x k2
10









  



e.
2
sin x cos x
33
   

  
   
   



2
sin x sin x
3 2 3
   
  
   

   
   


sin x sin x
36
   

   
   
   



x x k2
36
x x k2
36


     




      





0.x k2
36
7
2x k2
36


    




     





0.x k2 ,(pt vn)
34
5
2x k2
6


    





   




 
5
x k , k Z
12

    

f.
=1sin 2x
3









2x k2 ,k Z
32

    


2x k2 ,k Z
32

    




5
2x k2 ,k Z
6

   



5
x k ,k Z
12

   

www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 16
Bài 2. Giải các phương trình lượng giác cơ bản theo cos


Bài 2 (Học sinh tự giải)

A.
2cos2x 1 0
B.
2cos3x 2 0

C.
2
cos 2x cos x
63
   

  
   
   
D.
cos 2x cos
55






E.
cos x sinx
3






F.
cos 2x =sin2x
3







_____Giải_____
a.
1
cosx
2




2
cosx cos
3





2
x k2 ,k Z

3

    

b.
2
cos3x
2




3
cos3x cos
4





3
3x k2 ,k Z
4

    




2

x k ,k Z
43

   

c.
   

  
   
   
3
cos 2x cos x
34




3
2x x k2
34
3
2x x k2
34


    





     




3
2x x k2
34
3
2x x k2
34


    




    



a.
1
cosx
2

b.
2

cos3x
2


c.
3
cos 2x cos x
34
   

  
   
   
d.
2
cos 2x cos
57






e.
cos x sinx
3






f.
cos x =sin5x
3






www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 17



 
5
x k2
12
, k Z
13
3x k2
12


  






  




 
5
x k2
12
, k Z
13 2
xk
36 3


   








d.
2
cos 2x cos
57










2
2x k2
57
2
2x k2
57


   




    





2
2x k2

57
2
2x k2
57


    




    






3
2x k2
35
17
2x k2
35


  





   





 
3
xk
70
, k Z
17
xk
70


  





   



e.
cos x sinx
3









cos x cos x
32
   

  
   
   




x x k2
32
x x k2
32


    





     





x x k2
32
x x k2
32


      




      






0.x k2 ,pt vn
6
5
2x k2
6



  




    





 
5
2x k2 , k Z
6

     




 
5
x k , k Z
12

   

f.

cos x sin5x
3









cos x cos 5x
32
   

  
   
   


x 5x k2
32
x 5x k2
32


    





     



www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 18



x 5x k2
32
x 5x k2
32


    




    





5
6x k2

6
4x k2
6


  




    






 
5
xk
36 3
, k Z
xk
24 2













Bài 3. Giải các phương trình lượng giác cơ bản theo tan


Bài 3. (Học sinh tự giải)
a.
tanx 3 0
b.
 
0
3tan 3x 60 3 0  

c.
2
tan x 1 0
3


  


d.
2x
tan 3 0
35



  



e.
3cot 2x 3 0
3


  


f.
4
2011cot 3x 0
3






_____Giải_____

a.
tanx 3



tanx tan
3








x k ,k Z
3

    

a.
tanx 3
b.
0
3x 3
tan 60
23

  



c.
2

tan x 1
3





d.
2x
tan 3
35


  



e.
cot 2x 3
3





f.
4
cot 3x 0
3







www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 19
b.
0
3x 3
tan 60
23

  






 
00
3x
tan 60 tan 30
2

  





0 0 0
3x
60 30 k180 ,k Z
2
    




0 0 0
3x
60 30 k180 ,k Z
2
   




00
3x
30 k180 ,k Z
2
  




00
3x 60 k360 ,k Z  




00
x 20 k120 ,k Z  

c.
2
tan x 1
3








2
x k ,k Z
34

    




2
x k ,k Z
34

    



11
x k ,k Z
12

   

d.
2x
tan 3
35


  






 
2x

arctan 3 k ,k Z
35

     




 
2x
arctan 3 k ,k Z
35

      




 
3
2x 3arctan 3 k3 ,k Z
5

      




 
3 3 3

x arctan 3 k ,k Z
10 2 2

     

e.
cot 2x 3
3









cot 2x cot
36








2x k ,k Z
36


    

www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 20



2x k ,k Z
36

      



2x k ,k Z
6

     




x k ,k Z
12 2

  

f.
4

cot 3x 0
3









4
3x k ,k Z
32

    



4
3x k ,k Z
32

     




5
3x k ,k Z

6

    



5
x k ,k Z
18 3

   

Bài 4. Giải các phương trình lượng giác biến đổi về cơ bản

Bài 4. (Học sinh tự giải)
a.
 
0
2cos 3x 10 2 0  
b.
4sin x 2 0
3


  



c.
3tan 2x 3 0

4


  


d.
 
0
5cot 3x 15 1

_____Giải_____

a.
2 cosx 2 0




2cosx 2



2
cosx
2





cosx cos
4





x k2 ,k Z
4

    

b.
4 sin x 2 0
4


  






4sin x 2
4









1
sin x
42






a.
2cosx 2 0
b.
4sin x 2 0
4


  



c.
3tan2x 3 0
d.
5cot3x 1

www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 21



sin x sin
46








x k2
46
, k Z
x k2
46


   





     







x k2
46
, k Z
5
x k2
46


   





   





5
x k2
12
, k Z

13
x k2
12


  





  



c.
3 tan2x 3 0




3tan2x 3



3
tan2x 3
3




tan2x tan
3





2x k ,k Z
3

   




x k , k Z
62

  

d.
5cot3x 1




1

cot3x
5




1
cot3x cot arccot
5








1
3x arccot k ,k Z
5
   



11
x arccot k ,k Z
3 5 3

  

Bài 5. Giải các phương trình lượng giác theo phương trình bậc hai

a.
2
2sin x 3sinx 1 0  

b.
2
cos x 4cosx 3 0  

c.
2
6sin 3x 2sin3x 4 0  
d.
2
tan x tanx 2 0  

e.
2
5tan x 3tan x 8 0
33
   

     
   
   

f.
 

2
3cot 2x 1 3 cot2x 1 0   

g.
 
2
3 1 tan 2x 2 3tan2x 3 1 0    

www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 22
_____Giải_____
a.
2
2 sin x 3sinx 1 0  




sinx 1
1
sinx
2










x k2
2
sinx sin
6


  










x k2
2
x k2 ,k Z
6
5
x k2
6


  





   




  



b.
2
cos x 4 cosx 3 0  




cosx 1
cosx 3,ptvn








cosx 1



x k2 , k Z   


c.
2
6 sin 3x 2sin3x 4 0  




sin3x 1
2
sin3x
3










3x k2
2

2
3x arcsin k2 ,k Z
3
2
3x arcsin k2
3


   



   



    






2
xk
63
1 2 2
x arcsin k ,k Z
3 3 3
1 2 2

x arcsin k
3 3 3 3


  




  




  



d.
2
tan x tanx 2 0  




tanx 1
tanx 2









xk
, k Z
4
x arctan2 k


   



  



e.
2
5 tan x 3 tan x 8 0
33
   

     
   
   

www.VNMATH.com

Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 23



tan x 1
3
8
tan x
35











  








xk
34
,k Z
8
x arctan k
35


   






    








xk
34
,k Z
8
x arctan k
35



   






    








7
xk
12
,k Z
8
x arctan k
35


  







    





f.
 
2
3 cot 2x 1 3 cot2x 1 0   




cotx 1
13
cotx
3
3




   





xk
4
,k Z
2
cotx cot
3


  











xk
4
,k Z
2
xk
3



  




  



g.
 
2
3 1 tan 2x 2 3 tan2x 3 1 0    




tan2x 1
31
tan2x 2 3
31





  







2x k
4
, k Z
tan2x tan
12


  












xk
82
, k Z
2x k
12








  





xk
82
, k Z
xk
24 2











www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác

Lê Xuân Hiếu – 0966004478 24
Bài 6. Giải các phương trình lượng giác theo phương trình bậc hai

_____Giải_____

a.
2
cos 2x sin2 x 1 0  




2
1 sin 2x sin2x 1 0   



2
sin 2x sin2x 2 0   




sin2x 1
sin2x 2 , ptvn








sin2x 1




2x k2 ,k Z
2

    



x k ,k Z
4

    

b.
2
3sin 3x 7cos3x 3 0  




 
2
3 1 cos 3x 7cos3x 3 0   



2
3cos 3x 7cos3x 6 0   




cos3x 3,ptvn
2
cos3x
3










2
cos3x
3





2
3x arccos k2
3
,k Z
2
3x arccos k2
3


   







    









1 2 2
x arccos k

3 3 3
,k Z
1 2 2
x arccos k
3 3 3



  








   






c.
2
6 cos x 5sinx 7 0  




 
2
6 1 sin x 5sinx 7 0   

a.
2
cos 2x sin2x 1 0  
b.
2
3sin 3x 7cos3x 3 0  

c.
2
6cos x 5sinx 7 0  
d.
cos2x 5sinx 3 0  

e.
cos2x cosx 1 0  
f.
42
4sin x 12cos x 7

g.
2
3cot x 1 0
5



  


h.
7tanx 4cotx 12

www.VNMATH.com
Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác
Lê Xuân Hiếu – 0966004478 25



2
6sin x 5sinx 1 0   




1
sinx
3
1
sinx
2












1
x arcsin k2
3
1
x arcsin k2
3
sinx sin
6

  



    











1
x arcsin k2
3
1
x arcsin k2
3
,k Z
x k2
6
5
x k2
6

  



    





  




  




d.
cos2x 5 sinx 3 0  




2
1 2sin x 5sinx 3 0   




2
2sin x 5sinx 2 0   



2
2sin x 5sinx 2 0  




1
sinx
2
sinx 2,ptvn











1
sinx sin
26


   






x k2
6
,k Z
7
x k2
6


   






  



Vậy …
e.
cos2x cos x 1 0  




 
2
2cos x 1 cosx 1 0   




2
2cos x cosx 0

www.VNMATH.com