BÀI GIẢNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (bài giảng giải tích 11)

1
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
Chơng I
HàM Số LƯợNG GIáC Và PHƯƠNG TRìNH LƯợNG GIáC
BàI HọC 1: HàM Số LƯợNG GIáC
A. Tóm tắt lí thuyết
1. Hàm số y = sinx
a) TXĐ: D = R (Vì lấy bất kỳ giá trị nào của x, thay vào hàm số ta đều tính đợc y)
Tập giá trị [ -1 ; 1 ] (Vì các giá trị tính đợc của y chỉ nằm trong đoạn [ -1 ; 1 ], nghĩa là
1 sinx 1
)
b) Hàm y = sinx là hàm số lẻ (Vì
x D x D

và sin(-x) = - sinx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O).
Chu kỳ T =
2

(Vì
sin(x 2 ) sinx+ =
- Cứ mỗi khi biến số cộng thêm
2

thì giá trị hàm số trở về nh cũ -
đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ
2

- tính chất này giúp vẽ đồ thị đợc thuận tiện)
c) Bảng biến thiên trên đoạn
[ ]
;

(trên 1 chu kỳ)
d) Đồ thị hàm số
Chú ý ! Nhờ tính chất tuần hoàn, ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = sinx trên R có dạng sau: (Ta chỉ cần khảo
sát hàm số đó trên 1 đoạn có độ dài
2
, rồi tịnh tiến phần đồ thị vừa vẽ sang trái, phải các đoạn có độ dài
2 ;4 ;6 ;
thì ta sẽ đợc toàn bộ đồ thị.
*Nhận xét:
+ Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng
( k.2 ; k.2 )
2 2

+ +
+ Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng
3
( k.2 ; k.2 ) k Z
2 2

+ +
+ Có thể vẽ đồ thị hàm số y = sinx bằng cách khác nh sau:
Hàm số y = sinx là hàm số lẻ trên R, tuần hoàn với chu kỳ
2

. Do đó muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ
thị của hàm số y = sinx trên R, ra chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn
[ ]
0;
(nửa chu kỳ) sau đó
lấy đối xứng qua gốc tọa độ O ta đợc đồ thị trên đoạn

[ ]
;
(1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu
đợc sang trái, sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài
2 ;4 ;6 ;
Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email:

2


2


0
10
-1
0y = sinx
0x
2

2




2
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
2. Hàm số y = cosx
a) TXĐ: D = R (Vì lấy bất kỳ giá trị nào của x, thay vào hàm số ta đều tính đợc y)
Tập giá trị [ -1 ; 1 ] (Vì các giá trị tính đợc của y chỉ nằm trong đoạn [ -1 ; 1 ], nghĩa là

1 cosx 1

)
b) Hàm y = cosx là hàm số chẵn (Vì
x D x D
và cos(-x) = cosx:
đồ thị đối xứng qua trục tung Oy
).
Chu kỳ T =
2
(Vì
cos(x 2 ) cos x+ =
- Cứ mỗi khi biến số cộng thêm
2
thì giá trị hàm số trở về nh cũ -
đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ
2
- tính chất này giúp vẽ đồ thị đợc thuận tiện: )
c) Bảng biến thiên trên đoạn
[ ]
;
(trên 1 chu kỳ)
d) Đồ thị hàm số
Chú ý ! Nhờ tính chất
tuần hoàn, ta có thể suy ra đồ thị hàm số y =
cosx trên R có dạng sau: (Ta chỉ cần khảo sát
hàm số đó trên 1 đoạn có độ dài
2

, rồi tịnh tiến

phần đồ thị vừa vẽ sang trái, phải các đoạn có độ
dài
2 ;4 ;6 ;
thì ta sẽ đợc toàn bộ đồ thị.
*Nhận xét:
+ Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng
( k.2 ;k.2 ) +
+ Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng
(k.2 ; k.2 ) k Z +
+ Ta thấy
sin(x ) cos( x) cos x
2

+ = =
nên đồ thị hàm số y = cosx có thể vẽ bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm
số y = sinx sang trái một đoạn có độ dài
2

Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email:

2


2


-1
01
0
-1

y = cosx
0x
1
-1
2


2

2


0

3
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
+ Ngoài ra, có thể vẽ đồ thị hàm số y = cosx bằng cách khác nh sau:
Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên R, tuần hoàn với chu kỳ
2
. Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị hàm số y = cosx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn
[ ]
0;
(nửa chu kỳ), sau đó
lấy đối xứng đồ thị qua trục Oy ta đợc đồ thị trên đoạn
[ ]
;
(1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu
đợc sang trái, sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài
2 ;4 ;6 ;

3. Hàm số y = tanx
a) TXĐ:
D R \ k / k Z
2


= +


(Vì
cos x 0
) Tập giá trị: R
b) Hàm y = tanx là hàm số lẻ (Vì
x D x D

và tan(-x) = - tanx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O).
Chu kỳ T =

(Vì
tan(x ) tan x+ =
- Cứ mỗi khi biến số cộng thêm

thì giá trị hàm số trở về nh cũ - đồ
thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ

)
c) Bảng biến thiên trên đoạn
[ ]
;
(2 chu kỳ)

Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email:
4
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
d) §å thÞ hµm sè
2
π
-
-
π
0
+∞
−∞
y
x
t
Giáo viên: Nguyễn Hữu Biển – Email:
−π
2
π
−
2
π
π
0
00
y = tanx
0x
+∞
+∞
−∞

−∞
5
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
*Nhận xét:
+ Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng
( k. ; k. ) k Z
2 2

+ +
+ Hàm số không có khoảng nghịch biến.
+ Mỗi đờng thẳng vuông góc với trục hoành, đi qua điểm
( k. ;0)
2

+
gọi là 1 đờng tiệm cận của đồ thị hàm
số y = tanx (Đồ thị hàm số nhận mỗi đờng thẳng
x k.
2

= +
làm 1 đờng tiệm cận)
+ Có thể vẽ đồ thị hàm số y = tanx bằng cách nh sau:
Hàm số y = tanx là hàm số lẻ trên
R \ k / k Z
2


+

, tuần hoàn với chu kỳ

. Do đó, muốn khảo sát sự
biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn
0;
2




(nửa
chu kỳ), sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O ta đợc đồ thị trên đoạn
;
2 2





(1 chu kỳ), cuối cùng
tịnh tiến đồ thị vừa thu đợc sang trái, sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài
;2 ;3 ;
Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email:
6
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
4. Hàm số y = cotx
a) TXĐ:
{ }
D R \ k / k Z=

(Vì
sin x 0

) . Tập giá trị: R
b) Hàm y = cotx là hàm số lẻ (Vì
x D x D
và cot(-x) = - cotx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O).
Chu kỳ T =

(Vì
cot(x ) cot x+ =
- Cứ mỗi khi biến số cộng thêm

thì giá trị hàm số trở về nh cũ - đồ
thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ

)
c) Bảng biến thiên trên đoạn
[ ]
;
(2 chu kỳ)
d) Đồ thị hàm số
*Nhận xét:
+ Hàm số y = tanx nghịch biến trên mỗi khoảng
(k. ; k. ) k Z +
+ Hàm số không có khoảng đồng biến biến.
+ Đồ thị hàm số nhận mỗi đờng thẳng
x k.
=
làm 1 đờng tiệm cận

+ Có thể vẽ đồ thị hàm số y = tanx bằng cách nh sau:
Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email:

2


2


y = cotx
0x
+

0
+

0
2

-
-

0
+

y
x
t
0
2

3
2

2
2



y
x
7
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
Hàm số y = tanx là hàm số lẻ trên
{ }
R \ k / k Z
, tuần hoàn với chu kỳ

. Do đó, muốn khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn
0;
2




(nửa chu
kỳ), sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O ta đợc đồ thị trên đoạn
;

2 2





(1 chu kỳ), cuối cùng tịnh
tiến đồ thị vừa thu đợc sang trái, sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài
;2 ;3 ;
B. Giải toán
I/ Vấn đề 1: Tìm tập xác định của hàm số lợng giác
Phơng pháp
+ Hàm số y = sinx có TXĐ: D = R
+ Hàm số y = cosx có TXĐ: D = R
+ Hàm số y = tanx có TXĐ:
D R \ k / k Z
2


= +


(Vì
cos x 0
)
+ Hàm số y = cotx có TXĐ:
{ }
D R \ k / k Z=
(Vì
sin x 0

)
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
2
5cos x sinx 7
a) y=
1 sinx
+


2 cos x sinx 2
b) y=
cos x
+
Hớng dẫn
a) Hàm số
2
5cos x sinx 7
y=
1 sinx
+

xác định khi
1 sinx 0 sinx 1 x k.2 (k Z)
2

+
Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email:
8
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC

Vậy TXĐ:
D R \ k.2 ,k Z
2


= +


b) Hàm số
2 cos x sinx 2
y=
cos x
+
xác định khi
cos x 0 x k. (k Z)
2

+
Vậy TXĐ:
D R \ k. ,k Z
2


= +


Bài 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau
a)
1 sinx
y

1 cos x
+
=

b)
2
1 cos x
y
cos x

=
Hớng dẫn
a) Vì
1 s inx 0+
và
1 cos x 0
với mọi x nên
1 s inx
0
1 cos x
+


với mọi x thỏa mãn điều kiện
1 cos x 0
.
Vậy hàm số
1 sinx
y
1 cos x

+
=

xác định khi
1 cos x 0
hay
cos x 1 x k.2
.
Vậy TXĐ:
{ }
D R \ k.2 ,k Z=
b) Vì
1 cos x 0
và
2
cos x 0
với mọi x nên
2
1 cos x
0
cos x


với x thỏa mãn điều kiện
cos x 0 x k.
2

+
. Vậy TXĐ:
D R \ k. ,k Z

2


= +



Bài 3: Tìm tập xác định của các hàm số sau
a)
x 3
y 2 sin 3x 3cos
x 2
+
= + +

b)
2x 2x
y sin 5cos
x 3 2x 1
=
+
Hớng dẫn
a) Hàm số
x 3
y 2 sin 3x 3cos
x 2
+
= + +

xác định

x 2 0 x 2
. Vậy TXĐ:
{ }
D R \ 2=
b) Hàm số
2x 2x
y sin 5cos
x 3 2x 1
=
+
xác định
x 3
x 3 0
1
2x 1 0
x
2


+









. Vậy TXĐ:

1
D R \ 3;
2

=


Bài 4: Tìm tập xác định của các hàm số sau
a)
y t anx c otx= +
b)
y tan(2x )
4

= +
Hớng dẫn
a) tanx xác định khi và chỉ khi
x k. ,k Z
2

+
, cotx xác định khi và chỉ khi
x k. ,k Z
.
Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email:
9
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
Vậy
y t anx c otx= +
xác định khi và chỉ khi

x k.
k.
(k Z) hay x (k Z)
2
2
x k.


+







.
TXĐ:
k.
D R \ ,k Z
2


=


b)
y tan(2x )
4

= +
xác định khi và chỉ khi
k.
2x k. hay x (k Z)
4 2 8 2

+ + +
.
Vậy TXĐ:
k.
D R \ ,k Z
8 2


= +


Bài 5: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)


x
y
x x
+
=

b)
y x x= + +

c)


tgx
y
x
+
=
+

d)


y tgx g x


= +
ữ

Hớng dẫn
a) Biểu thức


x
y
x x
+
=
có nghĩa khi và chỉ khi:
x x x k

Vậy tập xác định của hàm số là:
{ }
D R k k

= Ơ
b) Do
( ) ( )
x x x x+ + = + + + >

Do đó hàm số
y x x= + +
đợc xác định với mọi
x
.
Vậy tập xác định của hàm số là:
D R=
c) Biểu thức


tgx
y
x
+
=
+
có nghĩa khi và chỉ khi:

x k
x k
x k
x
x k









+


+

+



+

Vậy tập xác định của hàm số là:


D R k k



= +


Ơ
d) Biểu thức


y tgx g x


= +
ữ

có nghĩa khi và chỉ khi :



x k x k
x k x k

+ +





+


Vậy tập xác định của hàm số là:
D D A B
=
với


A x x k



= +


và


B x x k

= +


.
II/ Vấn đề 2: Tìm chu kỳ của hàm số lợng giác
Phơng pháp
+ Hàm số y = sinx và y = cosx tuần hoàn với chu kỳ
T 2=
Mở rộng: Hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kỳ:
2
T
a

=
+ Hàm số y = tanx và y = cotx tuần hoàn với chu kỳ
T
=
Mở rộng: Hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) tuầ
Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email:
10
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
n hoàn với chu kỳ
T
a

=
Bài 1: Chứng minh hàm số y = f(x) = sin2x tuần hoàn với chu kỳ
T =

, tức là:
f(x ) f(x), x (*)+ =
và
T =
là số dơng nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (*)
Hớng dẫn
HS y = f(x) = sin2x có TXĐ: D = R.
x D

, ta có:
f(x ) sin 2(x ) sin(2x 2 ) sin 2x f(x)+ = + = + = =
.
Giả sử có số
0
T
sao cho:
0
0 T< <
và
0
f(x T ) f(x), x+ =
.
Cho
x
4

=
, ta đợc:
0 0
sin 2( T ) sin 2. sin( 2T ) sin 1

4 4 2 2

+ = + = =
0 0
2T k.2 (k Z) T k. (k Z)
2 2

+ = + =
. Điều này trái với giả thiết
0
0 T< <
Nghĩa là
T
=
là số dơng nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện
f(x T) f(x), x+ =
.
Vậy y = sin2x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ
T
=
.
Bài 2: Tìm chu kỳ của các hàm số sau
a)
2
y 2 sin 3x=
b)
2
y 4cos (5x )
6

= +
Hớng dẫn
a)
2
y 2 sin 3x 1 cos6x= =
. Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ
2
T
6 3

= =
b)
2
y 4cos (5x ) 2 2cos(10x )
6 3

= + = + +
. Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ
2
T
10 5

= =
Bài 3: Tìm chu kỳ của các hàm số
a)
y tan(3x 2)=
b)
y cot( 5x )
4

= +
Hớng dẫn
a)
y tan(3x 2)=
là hàm số tuần hoàn với chu kỳ
T
3

=
b)
y cot( 5x )
4

= +
là hàm số tuần hoàn với chu kỳ
T
5 5

= =

III/ Vấn đề 3
+ Xét tính chẵn , lẻ .
+ Sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số lợng giác
+ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lợng giác
Phơng pháp
Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email:
11
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
+ Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D. Hàm số f gọi là hàm số chẵn nếu với mọi
x thuộc D, ta có x cũng thuộc D (D là tập đối xứng) và f(-x) = f(x)

+ Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D. Hàm số f gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x
thuộc D, ta có x cũng thuộc D (D là tập đối xứng) và f(-x) = -f(x)
+ Ta có:
1 sin(ax b) 1, x R
1 cos(ax b) 1, x R
+
+
Bài 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số
a)
y x cos5x= +
b)
2
y 3 cos x sin x= +
Hớng dẫn
a) Hàm số
y f(x) x cos5x= = +
có TXĐ: D = R. Ta có
x D x D
.
x D, f( x) x cos( 5x) x cos5x f(x) = + = + =
. Vậy f(x) là hàm số chẵn.
b) Hàm số
2
y f(x) 3 cos x sin x= = +
có TXĐ: D = R. Ta có
x D x D

.
2 2 2
x D, f( x) 3cos( x) sin ( x) 3 cos x ( sinx) 3 cos x sin x f(x) = + = + = + =

.
Vậy f(x) là hàm số chẵn.
Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số
a)
2
y sin x.sin 2x=
b)
2
c otx
y
1 cos x
=
+
Hớng dẫn
a) Hàm số
2
y sin x.sin 2x=
có TXĐ: D = R. Ta có
x D x D
.
2 2
x D, f( x) sin ( x).sin( 2x) sin x. sin 2x f(x) = = =
. Vậy
2
y f(x) sin x.sin 2x= =
là hàm số lẻ.
b) Hàm số
2
c otx
y f(x)

1 cos x
= =
+
có TXĐ:
{ }
D R \ k. / k Z=
. Ta có
x D x D
.
2 2
cot( x) cotx
x D, f( x) f(x)
1 cos ( x) 1 cos x

= = =
+ +
. Vậy f(x) là hàm số lẻ.
Bài 3: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, vẽ đồ thị của hàm số
y s inx=
Hớng dẫn
Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có:
sinx nếu sinx 0
sinx (y 0)
sinx nếu sinx 0


=

<

Nh vậy, đồ thị hàm số
y s inx=
trên trục số đợc suy ra
bằng cách nh sau:
+ Phần đồ thị với
sinx 0

thì lấy bằng chính nó (giữ
nguyên) (Vì
sinx sinx nếu sinx 0=
)
Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email:
12
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
+ Phần đồ thị với
sinx 0
<
thì lấy đối xứng qua trục hoành (Vì
sinx s inx nếu sinx 0= <
)
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số
a)
y 2cos(x ) 3
3

= + +
b)
y 4 sin x=
Hớng dẫn
a)

x

, ta có:
1 cos x 1
3


+
ữ

nên
2 2cos x 2 1 2cos x 3 5 1 y 5
3 3


+ + +
ữ ữ

Vậy giá trị lớn nhất của y là 5 và giá trị nhỏ nhất của y là 1. (Khi )
b)
x 0

, ta có:
1 sin x 1 4 4sin x 4 4 y 4
.
Vậy giá trị lớn nhất của y là 4 và giá trị nhỏ nhất của y là -4. (Khi )
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1
y 3 sin x cos x
4

= +
Hớng dẫn
Ta có:
1 1
y 3 sin x cos x 3 sin2x
4 8
= + = +
.
x
, ta có:
1 sin 2x 1
nên:
1 1 1 1 1 1 23 25
sin 2x 3 3 sin 2x 3 y
8 8 8 8 8 8 8 8
+ +
.
Vậy giá trị lớn nhất của y là
25
8
đạt đợc khi: sin2x = 1
2x k.2 x k (k Z)
2 4

= + = +
Vậy giá trị nhỏ nhất của y là
23
8
đạt đợc khi: sin2x = -1
2x k.2 x k (k Z)

2 4

= + = +
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y 1 sinx 3= +
Hớng dẫn
x
, ta có
1 sinx 1 0 1 sinx 2 0 1 sinx 2 3 1 sinx 3 2 3 3 y 2 3 + + +
Vậy giá trị lớn nhất của y là
2 3
đạt đợc khi: sinx = 1
x k.2 (k Z)
2

= +
Vậy giá trị nhỏ nhất của y là -3 đạt đợc khi: sinx = -1
x k.2 (k Z)
2

= +
Bài 7: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a)
y x=

b)
y x=

c)
y x x=

d)

y x x tgx= +
Hớng dẫn
a) Gọi
( )
f x x=
, hàm số có tập xác định
D R=

Với mọi
x R

, ta có:
x R

( ) ( ) ( )
f x x x f x = = =

Vậy
y x=
là một hàm số lẻ.
Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email:
13
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
b) Gọi
( )
f x x=
, hàm số có tập xác định

D R=
. Lấy

x

=
ta có:


f


=
ữ

và


f


=
ữ

Suy ra:

f f

ữ ữ

và

f f



ữ ữ

Vậy hàm số
y x=
là hàm số không chẵn cũng không lẻ.
c) Gọi
( )
f x x x=
, hàm số có tập xác định
D R=
.
+ Lấy

x

=
ta có:



f cos

= =
ữ

+ Lấy

x

=
ta có:



f cos


= =
ữ ữ ữ

Suy ra:

f f



ữ ữ

và

f f

ữ ữ

Vậy hàm số
y x x=
là hàm số không chẵn cũng không lẻ.
d) Gọi
( )

f x x x tgx= +

Hàm số có tập xác định


D R k k



= +


Ơ
Với mọi
x D

, ta có:
x R

( ) ( ) ( ) ( )
( )

f x x x tg x x x tgx = + = +
Vậy

y x x tgx= +
là một hàm số lẻ.
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a)


y x


= + +
ữ


b)
( )

y x=

c)
y x=
Hớng dẫn

a) Hàm số


y x


= + +
ữ

có tập xác định là
D R=
.
Với mọi
x R
ta luôn có:


cos x


+ +
ữ

hay
y
.
y =
xảy ra khi:

x x k



+ = + =
ữ



x k


= +
.
y =
xảy ra khi:


x x k



+ = + = +
ữ




x k

= +
Vậy hàm số có GTLN là 5 và GTNN là 1.
b) Hàm số:
( )

y x=
có tập xác định là
D R=
Với mọi
x R
ta luôn có:
( )

x
y
.
y =
xảy ra khi:
( )
( )



x x k k


= = +
y =
xảy ra khi:

( )
( )



x x k k


= = +
Vậy: hàm số có GTLN là

và GTNN là

c) Hàm số
y x=
có tập xác định là
[
)
D = +
.
Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email:
14
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Trªn
D
ta cã:
  x− ≤ ≤
hay
 y− ≤ ≤
 y =

x¶y ra khi :
    

x x k k
π
π
= ⇔ = + =
 y = −
x¶y ra khi:
    

x x k k
π
π
= − ⇔ = − + =
VËy hµm sè cã GTLN lµ 4 vµ GTNN lµ
−
.
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau trên miền xác định của chúng
f(x) =
x

−
HƯỚNG DẪN



⇒




∀

∈
¡
 !"#$%
x

−
&'()*
∀

∈
¡

+,-


⇒
./


∀

∈
¡
01#$%
.

=







π
f
)
.$!$!, ==
∈
∈
xfvàxf
Rx
Rx
Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau trên miền xác định của chúng
f(x) = 2cos
2
x – cosx + 1
HƯỚNG DẪN
2 !"#$%

3&'()*
∀

∈
¡

45%6'-7
≤


≤

89 !":$%

3) -;<=;>?,@A
+B'-,-A
x R 1 t 1 x R 1 t 1
1 7
min f(x) min F(t) F ;max f(x) max F(t) max{F( 1);F(1)} max{4, 2} 4
4 8
∈ − ≤ ≤ ∈ − ≤ ≤
 
= = = = = − = =
 ÷
 
Bài 11:Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau trên miền xác định của chúng
f(x) = sin
2
x – 4sinx – 2
HƯỚNG DẪN
2 !"#$%

&'()*
∀

∈
¡

45%6'-+,-A

$!$!$!,$!,


tFxftFxf
tRx
tRx
≤≤−∈
≤≤−∈
==

C'D:$%


EF;<=;>?)*,!G;,

,-
Giáo viên: Nguyễn Hữu Biển – Email:
15
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
+B;<=;>?H?@H,A
1 t 1 1 t 1 x R x R
max F(t) F( 1) 3; min F(t) F(1) 5; max f(x) 3 v min fà (x) 5
− ≤ ≤ − ≤ ≤ ∈ ∈
= − = = = − ⇒ = = −
Bài 12: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số f(x) = sinxcos
2
x + tanx.
HƯỚNG DẪN
2 !"#$%


3,&'()*!I

k
π
π
≠ +
6
∈

¢

JKH =F&'('-L !M'"G=N@,="O*
∀

∈
,-A
#$%$

$3,$%

,%#$
#$L  !LPH?H?!M&'(%






∈+≠∈ ZkkxRx 


A
π
π
Bài 13: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số f(x) = 4sin2x + 3
HƯỚNG DẪN
2 !"#$%3&'(H?
¡
*
∀

∈

¡
,-A#$%$3%3
+B'-@H,,6Q=R-A#$%#$
∀

∈

¡
#$%#$
∀

∈

¡
 !"#$%36Q=F<L  !"ST=6Q=F<L  !"LPH?
¡

Bài 14: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số f(x) = 5cosx – 2;

HƯỚNG DẪN
2 !"#$%&'(H?
¡
*
∀

∈

¡
,-A#$%$%#$
#$%%#$#$%L  !"SH?
¡
Bài 15: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số f(x) = sin2x – cos 3x
HƯỚNG DẪN
2 !"#$%&'(H?
¡
JKH =
¡
L F'"G=N@,="O
U56&)*!I
∈

¡
,-A#$%$$%$
+B$@H,,6Q=R-A#$%#$
∀

∈

¡

$
VT=W#$%#$)*
∀

∈

¡
$
$)XYZ








+=−=






π
ππ
f









+−=−−=






−
π
ππ
f

H?
¡
 !"#$%6Q=F<L  !"ST=6Q=F<L  !"LP
Giáo viên: Nguyễn Hữu Biển – Email:
16
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
BàI HọC 2: PHƯƠNG TRìNH LƯợNG GIáC
I/ Các phơng trình lợng giác cơ bản
A. Tóm tắt lí thuyết
Các phơng trình lợng giác cơ bản là các phơng trình có dạng:
sinx = a; cosx = a; tanx = a; cotx = a
1. Phơng trình sinx = a.
a) Nếu

a 1>
: Phơng trình vô nghiệm
b) Nếu
a 1
: Đa phơng trình về dạng: sinx = sin


x k.2
(k Z)
x k.2
= +



= +

* Các trờng hợp đặc biệt:
sinx = 0
x k. (k Z) =
sinx = 1
x k.2 (k Z)
2

= +
sinx = -1
x k.2 (k Z)
2

= +
* Chú ý

a) Nếu số đo của

đợc tính bằng độ thì
0
0 0
x k.360
sinx sin (k Z)
x 180 k.360

= +
=

= +


b) Nếu có số thực

thỏa mãn điều kiện
arcsin a
2 2
sin a




=


=

Nh vậy khi
x arcsina k.2
a 1 thì sinx a (k Z)
x arcsin a k.2
= +

=

= +

2. Phơng trình cosx = a
a) Nếu
a 1>
: Phơng trình vô nghiệm
b) Nếu
a 1
: Đa phơng trình về dạng: cosx = sin


x k.2
(k Z)
x k.2
= +



= +

* Các trờng hợp đặc biệt:
cosx = 0

x k. (k Z)
2

= +
cosx = 1
x k.2 (k Z) =
sinx = -1
x k.2 (k Z) = +
* Chú ý
a) Nếu số đo của

đợc tính bằng độ thì
0
0
x k.360
sinx sin (k Z)
x k.360

= +
=

= +


b) Nếu có số thực

thỏa mãn điều kiện
arccosa
2 2
cos a

=


=

Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email:
17
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
Nh vậy khi
x arccos a k.2
a 1 thì cosx a (k Z)
x arccosa k.2
= +

=

= +

3. Phơng trình tanx = a. Điều kiện
x k. (k Z)
2

+
Đa phơng trình về dạng: tanx = tan

Ta có:

t anx tan x k. (k Z)= = +
* Chú ý
a) Nếu số đo của

đợc cho bằng độ thì:
0
t anx tan x k.180 (k Z)= = +
b) Với mỗi số a cho trớc, phơng trình tanx = a có đúng 1 nghiệm nằm trong khoảng
;
2 2



ữ

.
Ngời ta ký hiệu nghiệm đó là arctana. Khi đó
t anx a x arctan a k. (k Z)= = +
4. Phơng trình cotx = a. Điều kiện
x k. (k Z)
Đa phơng trình về dạng: cotx = cot

Ta có:
cot x cot x k. (k Z)= = +
* Chú ý
a) Nếu số đo của

đợc cho bằng độ thì:
0
cot x cot x k.180 (k Z)= = +

b) Với mỗi số a cho trớc, phơng trình cotx = a có đúng 1 nghiệm nằm trong khoảng
( )
0;
. Ngời
ta ký hiệu nghiệm đó là arccota. Khi đó
cot x a x arc cot a k. (k Z)= = +
B. Giải toán
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
a)
x

=

b)



x

+

=
ữ


c)


x
cos cos=

d)

.
cos x


+ =
ữ

Hớng dẫn
a)





x k
x k
x
x k
x k





= +

= +

=


= +


= +


b)







x
k
x x
x
k





+

= +

+ +

= =

ữ ữ ữ
+


= + +


Vậy:






x k
x k





= +

= +



c)


x x
cos cos k x k

= = + = +
.
d) Giải phơng trình:

.
cos x


+ =
ữ


Gọi

là cung sao cho


cos

=
, ta có:
Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email:
18
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC


. . .
cos x x k x k



+ = + = + = +
ữ

Bài 2: Tìm nghiệm của các phơng trình sau trong khoảng đã cho:
a)



x =
với
x

< <

b)
( )

cos x =
với
x

< <
Hớng dẫn
a)




[



x k
x x
x k






= +


= =

ữ


= +



[

x k
x k





= +




= +





x k k

< < < + < < <


k < <

Suy ra:
k =
. Do đó


x

=
[ [


x k k


< < < + < < <
[

k < <

Suy ra:
k =
. Do đó
[

x

=
Vậy: phơng trình có hai nghiệm trên
( )


là
[

x

=
và


x

=
.
b)
( ) ( )



cos x cos x cos x k x k


= = = + = +
[

x k k


< < < + + < < <
[

k

< <

Suy ra:
k
=
. Do đó



x

=
.
[


x k


< < < + <
[

k

< <

Suy ra:
k
=
. Do đó



x

=
Bài 3: Giải các phơng trình sau:
a)



tg x tg

=

b)
( )

tg x =

c)

( )
tg x =
d)



cotg x g

=
ữ


e)



x
cotg

+ =
ữ


f)



cotg x tg

=

Hớng dẫn
a)



tg x tg x k x k


= = + = +
b) Gọi

là cung sao cho
tg

=
(có thể chọn



< <
). Ta có:
( ) ( )

.tg x tg x tg x k

= = = +

.x k

= + +

c)
( ) ( )


tg x tg x tg x k


= = = +


x k

= + +
d)



cotg x g x k x k



= = + = +
ữ

e)
( )



x x

cotg g g

+ = + =
ữ ữ


.

x
k + = +

[x k = +
Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email:
19
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
f)



cotg x tg g x g x k


= = = +

x k

= +

Bài 4: Tìm nghiệm của các phơng trình sau trên khoảng đã cho:
a)

( )

tg x =
với

. x < <

b)



g =
với


x

< <
Hớng dẫn
a)
( )

. tg x x k x k = = + = +
Với

. x < <
ta có:

. k k < + < < <
[

k k < < =
Vậy:

x x x= = =
b)



g g x g x k x k



= = = + = +
ữ

Với


x

< <
, ta có:
[

.
x k k

< < < + < < <

[

k < <

Suy ra:
k k= =

Vậy:



x x

= =
.
Bi 5: Gii cỏc phng trỡnh sau: a)
tg x + =

b)
( )

cos x + + =
HNG DN
a)



tg x tg x tg x tg

+ = = =
ữ



x k x k


= + = +
b)
( ) ( )

cos x cos x+ + = + =
( )

cos x cos + =


x k + = +




x k
x k

=


= +

Bi 6: Gii cỏc phng trỡnh sau:
a)

x x+ =

b)

g x g x =
HNG DN
a)45
t x
=
$)*
t

,'W\FW]=H^

t t+ =

_W]=H^ -,=`!

t =
)



t =
$La=`!

t
bW)A


t x x k


= = = +

FW]=H^-!cI=`!


x k


= +

;45
g x =
,-FW]=H^

t t =
_W]=H^ -,=`!L
t =
)
t =

'-A

g x
g x g x
g x
=

=

=




g x x k x k


= = + = +



g x x ar g k x ar g k


= = + = +
Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email:
20
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
FW]=H^'d-&=`!L A

x k

= +
)



x ar g k

= +

Bi 7: Gii cỏc phng trỡnh sau:
a)
x =

b)
tg x =

c)
( )
( )
x cos x+ =
.
HNG DN
a)



x x x cos x k

= = = = +

b)


k
tg x tg x tg x tg x k x


= = = = + = +

c)
( )
( )





x
x cos x
cos x
=


+ =

=

x x k


= = +


.
cos x cos x cos x k x k


= = = + = +
FW]=H^-;,I=`!A

.
x k x k


= + = +

II/ Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx
A. Tóm tắt lí thuyết
asinx + bcosx = c (*) (a, b, c
R

và
2 2
a b 0+

)
* Phơng pháp hay dùng
+ Trờng hợp: a = 0,
b 0
hoặc
a 0
, b = 0 thì phơng trình (*) có thể đa ngay về dạng phơng
trình lợng giác cơ bản.
+ Trờng hợp c = 0:
b
(*) asin x bcos x 0 t anx
a
+ = =
+ Điều kiện để phơng trình (*) có nghiệm là:
2 2 2
a b c+
.
Suy ra cách giải trong trờng hợp tổng quát: Chia 2 vế của phơng trình (*) cho
2 2
a b+
ta đợc:
2 2 2 2 2 2
a b c
(*) .sin x . cos x
a b a b a b
+ =
+ + +
2 2
c
cos . sin x sin . cos x

a b
+ =
+
2 2
c
sin(x )
a b
+ =
+
- Đây là phơng trình lợng giác cơ bản
(Trong đó:
2 2 2 2
a b
cos ;sin
a b a b
= =
+ +
)
Ngoài ra, phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx+bcosx=c còn có 2 cách giải nữa nh sau:
Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email:
21
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
Cách 2:


b
a x x c
a

+ =

Đặt
[ ]
, ,
b
a x x c
a

= + =
$
c
x
a

+ =
Cách 3: Đặt
,

x
t =
ta có





t t
x x
t t

= =
+ +


$ b c t at b c + + =
Đăc biệt :
1.
$ $

x x x x

+ = + =
2.
$ $

x x x x

= = m
3.
$ $

x x x x

= = +
Điều kiện Pt có nghiệm :

a b c
+
B. Giải toán

Bài 1: Giải phơng trình:
3sin x 3 cos x 3+ =
Hớng dẫn
Chia 2 vế cho
2 2
a b 2 3+ =
ta đợc:
3 1 1
sin x cos x cos .sin x sin . cos x sin
2 2 2 6 6 6


+ = + =
ữ

x k.2
x k.2
6 6
sin x sin (k Z)
3
6 6
x k.2
x k.2
6 6



+ = +

= +



+ =

ữ ữ




= +
+ = + +



Bài 2: Giải phơng trình:
5 sin x 2 cos x 4+ =
Hớng dẫn
Ta có
2 2
2 2 2
2
a b 5 4 9
a b c
c 16

+ = + =

+ <

=


. Vậy phơng trình vô nghiệm
Bài 3: Giải phơng trình:
cos x 3 sin x 2 =
Hớng dẫn
Chia hai vế của phơng trình cho
( )
2
1 3 2+ =
ta đợc:
1 3 2
cos x sin x cos . cos x sin .sin x cos cos x cos
2 2 2 3 3 4 3 4


= = + =
ữ

x k.2
12
x k.2 (k Z)
7
3 4
x k.2
12

= +


+ = +



= +


Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email:
22
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bµi 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
sin 7x 3 cos7x 2+ =
Híng dÉn
Chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho
( )
2
1 3 2+ =
ta ®îc:
1 3 2
sin 7x cos . sin 7x sin .cos7x sin sin 7x sin
2 2 2 3 3 4 3 4
π π π π π
 
+ = ⇔ + = ⇔ + =
 ÷
 
k.2

7x k.2 7x k.2 x
3 4 12 84 7
(k Z)
5 5 k.2
7x k.2 7x k.2 x
3 4 12 84 7
π π π π π
  
+ = + π = − + π = − +
  
⇔ ⇔ ⇔ ∈
  
π π π π π
  
+ = π − + π = + π = +
  
  
Bµi 5: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a)
cos7x 3 sin 7x sin x 3 cos x− − =
b)
2 cos 2x cos x 3 sin x= +
Híng dÉn
a) Ta cã:
cos7x 3 sin 7x sin x 3 cos x cos7x 3 sin 7x 3 cos x sin x
1 3 3 1
cos7x sin7x cos x sin x cos cos7x sin sin7x cos cos x sin sin x
2 2 2 2 3 3 6 6
− − = ⇔ − = +
π π π π

⇔ − = + ⇔ − = +
k
7x x k.2 x
3 6 12 3
cos 7x cos x (k Z)
k
3 6
7x x k.2 x
3 6 48 4
π π π π
 
+ = − + π = − +
 
π π
   
⇔ + = − ⇔ ⇔ ∈
 
 ÷  ÷
π π π π
   
 
+ = − + + π = − +
 
 
b)
1 3
2 cos 2x cos x 3 sin x cos2x cos x sin x cos 2x cos cos x sin sin x
2 2 3 3
π π
= + ⇔ = + ⇔ = +

2x x k.2 x k.2
3 3
cos 2x cos x (k Z)
k.2
3
2x x k.2 x
3 9 3
π π
 
= − + π = − + π
 
π
 
⇔ = − ⇔ ⇔ ∈
 
 ÷
π π π
 
 
= − + + π = +
 
 
Bµi 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
3 sin 5x cos5x 3 cos2x sin 2x+ + =
Híng dÉn
Ta cã:
3 sin 5x cos5x 3 cos2x sin 2x 3 sin5x cos5x sin 2x 3 cos 2x+ + = ⇔ + = −
3 1 1 3
sin 5x cos5x sin 2x cos 2x cos sin 5x sin cos 5x cos sin 2x sin cos2x
2 2 2 2 6 6 6 6

π π π π
⇔ + = − ⇔ + = −
Giáo viên: Nguyễn Hữu Biển – Email:
23
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
k.2
5x 2x k.2 x
6 3 6 3
sin 5x sin 2x (k Z)
k.2
6 3
5x 2x k.2 x
6 3 6 7


+ = + = +



+ =

ữ ữ



+ = + + = +


Bài 7: Xác định m để phơng trình sau có nghiệm: (2m 1)cosx + msinx = 3m 1
Hớng dẫn

Phơng trình đã cho có dạng acosx + bsinx = c. Điều kiện để phơng trình có nghiệm là:
2 2 2
a b c+
2 2 2
1
(2m 1) m (3m 1) 0 m
2
+
Bài 8: Xác định m để phơng trình sau có nghiệm:
2
1
3 cos x sin 2x m
2
+ =
Hớng dẫn
Ta có:
2
1 1 cos 2x 1
3 cos x sin 2x m 3. sin 2x m 3 cos2x sin 2x 2m 3
2 2 2
+
+ = + = + =
Phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi:
( ) ( )
2 2
2
3 2 3 2
3 1 2m 3 m
2 2
+

+
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
cos x 2sin x
y
2 sin x

=

Hớng dẫn
Vì
2 sin x 0
với mọi x nên hàm số đã cho có TXĐ: D = R.
Giả sử
0
y
là một giá trị của hàm số, khi đó phải tồn tại
x R

sao cho:
0
cos x 2sin x
y
2 sin x

=

.
Nghĩa là phơng trình sau phải có nghiệm:
0 0
cos x (y 2)sin x 2y+ =

.
Tức là phải có:
2 2 2
0 0
2 19 2 19
1 (y 2) (2y )
3 3
+
+
Vậy giá trị lớn nhất của y là:
2 19
3
+
, giá trị nhỏ nhất của y là
2 19
3

Bài 10: Tìm x sao cho:
sin x 1
y
cos x 2

=
+
là số nguyên
Hớng dẫn
TXĐ: D = R. Giả sử
0
y
là một giá trị của hàm số, khi đó phải tồn tại

x R
sao cho:
0
sin x 1
y
cos x 2

=
+
Hay phơng trình:
0 0
sin x y cos x 2y 1 =
phải có nghiệm, tức là ta phải có:
2 2 2
0 2 0
4
1 y (2y 1) 0 y
3
+
.
Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email:
24
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
Trên đoạn
4
0;
3

,
0
y
có hai giá trị nguyên là:
0 0
y 0 hoặc y 1= =
+ Với
0
sin x 1
y 0 0 sin x 1 x k.2 (k Z)
cos x 2 2
+
= = = = +
+
+ Với
0
sin x 1
y 1 1 sin x 1 cos x 2 sin x cos x 1 2 sin x 1
cos x 2 4
+

= = + = + = =
ữ
+

x k.2
x k.2
4 4
(k Z)
2

x k.2
x k.2
4 4



= +


= +






= +
= +



Tóm lại các giá trị x cần tìm là:
x k.2
2
x k.2 (k Z)
2
x k.2


= +

= +


= +



Bi 11: Gii phng trỡnh
x x =
. (1)
HNG DN
+,-A
( )


+ =
V,,)>e,$,'W\A
( )



x x =

cos



=




=


?FW]=H^H?-R)>L A



cos x x

=
,


x


=
ữ

'-A








x k
x k
x k
x k








= +


= +

= +
= +



f>L@AFW]=H^$-&=`!


x k


= +
)
x k

= +

III/ Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx
A. Tóm tắt lí thuyết
2 2
asin x bsin x cos x cos x 0
+ + =
Phơng pháp
+ Chia 2 vế cho cosx (điều kiện:
cos x 0

) để đa về phơng trình đối với tanx
+ Hoặc chia 2 vế cho sinx (điều kiện:
sin x 0

) để đa về phơng trình đối với cotx
Dạng tổng quát:
2 2
asin x bsin x cos x cos x d
+ + =
(1)
Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email:
25
HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
Chú ý: (1)
2 2
d d(sin x cos x)= +
(2)
2
2
d
d(1 tan x)
cos x
= +
Phơng pháp
+ Cách 1:
- Thay trực tiếp
x k.
2

= +
vào phơng trình (1) để xem nó có phải là nghiệm của phơng
trình không
- Với
x k.

2

+
(Tức là
cos x 0

). Chia 2 vế của phơng trình (1) cho
2
cos x
ta đợc phơng
trình:
2
a tan x b tan x c 0+ + =
+ Cách 2
Đa về phơng trình bậc nhất theo sin2x và cos2x bằng cách dùng các công thức:
2 2
1 cos 2x 1 cos 2x 1
(1)sin x (2) cos x (3)sinxcosx= sin 2x
2 2 2
+
= =
B. Giải toán
Bài 1: Giải phơng trình:
2 2
3sin x 4 sin x cos x cos x 0 + =
(1)
Hớng dẫn
+ Với cosx = 0 hay
x k
2

= +
thay trực tiếp vào phơng trình (1) ta đợc: 3 4 . 0 + 0 = 0 (SAI)
Vậy cosx = 0 không thỏa mãn phơng trình (1)
+ Với cosx

0 hay
x k
2

+
. Chia 2 vế của phơng trình (1) cho
2
cos x
ta đợc:
2
tan x 1
x k.
4
3 tan x 4 tan x 1 0 (k Z)
1
1
tan x
x arctan k.
3
3


=
= +

+ =


=

= +



Bài 2: Giải phơng trình:
2 2
2sin x 5sin x cos x cos x 2 =
(2)
Hớng dẫn
+ Với cosx = 0 hay
x k
2

= +
thay trực tiếp vào phơng trình (2) ta đợc: 2 5 . 0 0 = - 2 (SAI)
Vậy cosx = 0 không thỏa mãn phơng trình (2)
+ Với cosx

0 hay
x k
2

+
. Chia 2 vế của phơng trình (2) cho
2
cos x
ta đợc:
Giỏo viờn: Nguyn Hu Bin Email: