Lý thuyết, bài tập toán 12 va LTDH HKI

Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
NHẮC LẠI
CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
1
( ) .x x
α α
α
−
′
=

( )
1
2
x
x
′
=

2
1 1
x x
′
 
= −
 ÷
 

( )
1

' . .u u u
α α
α
−
′
=
( )
2
u
u
u
′
′
=
2
1 u
u u
′
′
 
= −
 ÷
 

( )
'
x x
e e=

( ) .ln

x x
a a a
′
=
( )
.
u u
e u e
′
=
( )
. .ln
u u
a u a a
′
′
=
( )
sin cosx x
′
=

(cos ) sinx x
′
= −

2
2
1
(tan ) 1 tan

cos
x x
x
′
= = +
2
2
1
(cot ) (1 cot )
sin
x x
x
′
= − = − +
( )
sin .cosu u u
′
′
=
(cos ) .sinu u u
′ ′
= −
2
2
(tan ) (1 tan )
cos
u
u u u
u
′

′ ′
= = +
2
2
(cot ) (1 cot )
sin
u
u u u
u
′
′ ′
= − = − +
( )
1
ln 'x
x
=

( )
1
ln x
x
′
=
( )
1
log '
ln
a
x

x a
=
( )
ln '
u
u
u
′
=
( )
ln
u
u
u
′
′
=
( )
log '
ln
a
u
u
u a
′
=
ƠN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương trình bậc 2:
2
0ax bx c+ + =

( 1)
a. Giải phương trình bậc hai:
Nếu b là số lẻ Nếu b là số chẵn
Tính
2
4b ac∆ = −
•
0∆ <
: Phương trình vơ nghiệm
•
0∆ =
: Pt có nghiệm kép
2
b
x
a
= −
•
0
∆ >
: Phương trình trình có hai nghiệm
phân biệt:
2
2
b
x
a
b
x
a


− − ∆
=



− + ∆
=


Tính
2
b ac
′ ′
∆ = −
với
2
b
b
′
=
•
0
′
∆ <
: pt vơ nghiệm
•
0
′
∆ =

: Pt có nghiệm kép
b
x
a
′
= −
•
0
′
∆ >
: Phương trình trình có hai nghiệm
phân biệt:
b
x
a
b
x
a

′ ′
− − ∆
=



′ ′
− + ∆
=



b. Định lí viét: Nếu phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
thì:
• Tổng hai nghiệm:
1 2
b
S x x
a
= + = −
, tích hai nghiệm:
1 2
.
c
P x x
a
= =
1 2
.
c
P x x
a
= =
Lưu ý:
1 2
2 '
x x
a a
∆ ∆
− = =

Trang 1
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
c. Dấu tam thức bậc hai: f(x) = ax
2
+ bx + c
1. Nếu
0∆ <
thì f(x) ln cùng dấu với a.
2. Nếu
0∆ =
thì f(x) có nghiệm
2
b
x
a
= −
và f(x) ln cùng dấu với a khi
2
b
x
a
≠ −
.
3. Nếu
0
∆ >
thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngồi khoảng 2
nghiệm f(x) cùng dấu với a.
d. Dấu các nghiệm của phương trình:

• Phương trình có hai nghiệm phân biệt
0
0
a ≠

⇔

∆ >

• Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0
• Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
0
0P
∆ >

⇔

>

• Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
0
0
0
S
P
∆ >


⇔ <



>

• Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
0
0
0
S
P
∆ >


⇔ >


>

2. Phương trình bậc 3:
Dạng:
2
( )( ) 0x ax bx c
α
− + + =
(1)
2
0 (2)
x
ax bx c
α
=


⇔

+ + =

Đặt
2
( )g x ax bx c= + +
,
2
4b ac∆ = −
• (1) có 3 nhiệm phân biệt
(2)⇔
có hai nghiệm phân biệt
x
α
≠
0
( ) 0g
α
∆ >

⇔

≠

• (1) có 2 nghiệm ⇔ (2) có nghiệm kép
x
α
≠

hoặc (2) có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm
x
α
=

0
( ) 0
0
( ) 0
g
g
α
α
 ∆ =



≠


⇔

∆ >



=




• (1) có 1 nghiệm
⇔
(2) vơ nghiệm hoặc (2) có nghiệm kép
x
α
=

0
( ) 0
0
g
α
 ∆ =



⇔
=



∆ <

3. Phương trình trùng phương:
4 2
0ax bx c+ + =
(1)
Đặt
2
t x=

, điều kiện :
0t ≥
, khi đó (1)
2
0at bt c⇔ + + =
(2)
• (1) có 4 nghiệm phân biệt
⇔
(2) có hai nghiệm dương phân biệt
0
0
0
S
P
∆ >


⇔ >


>

Trang 2
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
• (1) có 3 nghiệm phân biệt
⇔
(2) có 1 nghiệm t = 0và 1 nghiệm t > 0
0
0

c
b
a
=


⇔

− >


• (1) có 2 nghiệm pb
⇔
(2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc (2) có nghiệm kép dương
0
0
0
ac
S
<


⇔
∆ =




>



4. Phương trình chứa căn thức:
2
0B
A B
A B
≥

= ⇔

=

A B=
0 ( 0)A hayB
A B
≥ ≥

⇔

=

5. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối:
0B
A B
A B
≥

= ⇔

= ±



A B A B= ⇔ = ±
6. Bất phương trình chứa căn thức:

2
0
0
0
B
A
A B
B
A B
 <



≥


≥ ⇔

≥





≥




2
0
0
B
A B A
A B
≥


≤ ⇔ ≥


≤

7. Bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối:

A B B A B≤ ⇔ − ≤ ≤
A B
A B
A B
≥

≥ ⇔

≤ −

§1.

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Định lí : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a; b). Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng
biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) là f’(x) ≥ 0 (hoặc f’(x) ≤ 0), ∀ x ∈ (a; b), dấu đẳng thức xảy ra tại một
số hữu hạn điểm x
0
∈ (a; b) hoặc khơng xảy ra trên (a; b).
Các dạng tốn thường gặp:
 Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) trên tập xác định của nó.
Phương pháp:
B1. Tìm tập xác định D của f(x)
B2. Tìm y’. Tìm các điểm
0
x
mà tại đó y’ = 0 hoặc khơng có đạo hàm. Xét dấu y’. Lập bảng biến
thiên của y trên D
B3. Dựa vào bảng biến thiên suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số theo định lí ở phần
tóm tắt.
Bài 1.1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
Trang 3
CHUYÊN ĐỀ I. HÀM SỐ – CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN
CHUYÊN ĐỀ I. HÀM SỐ – CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN
Giaựo vieõn:Nguyeón Hửừu Chung Kieõn
Toaựn 12 vaứ LTẹH Cẹ HKI
( )
3 2 3 2 2 2
4 2
3 2 3 2 4 2
2 2
2
4 2

1/ 3 2 2 / 3 2 3 / 4
2 1 4
4 / 2 3 5 / 6 /
2 2
1 2 2 13 1 1
7 / 3 5 8 / 15 9 / 3 2
3 3 3 2 6 4
2 4
10 / y 11/ 12 / 4 3
2
1 1 3
13 / 14 / 12 / 2 3
2 1 4
y x x y x x y x x
x x
y x x y y
x x
y x x x y x x x y x x
x x x
y y x x
x x
x
y y y x x
x x
= + = + =
+
= + = =

= + = + + = +
+ +

= = =


= = = +
+
Dng 2 : Tỡm m hm s luụn tng, luụn gim
Hm nht bin:
ax b
y
cx d
+
=
+
Hm s tng trờn tng khong xỏc nh ca nú t s (ca y) > 0
Hm s gim trờn tng khong xỏc nh ca nú
' 0,y x D <
t s ( ca y ) < 0
Hm bc 3:
3 2
y ax bx cx d= + + +
Hm s tng trờn R
2
0
0, 3 2 0,
0
a
y x R ax bx c x R
>

+ +



Hm s gim trờn R
2
0
0, 3 2 0,
0
a
y x R ax bx c x R
<


+ +



Bi 1.2: Tỡm m cỏc hm s sau ng bin trờn tng khong xỏc nh ca nú
a/
( 2) 3m x
y
x m
+ +
=
+
b/
2
1
mx

y
x m

=
+
Bi 1.3: Tỡm m cỏc hm s sau nghch bin trờn tng khong xỏc nh ca nú
a/
2 1mx
y
x m
+
=
+
b/
( 1) 2 2
1
m x m
y
x m
+ +
=
+ +
Bi 1.4: Tỡm m cỏc hm s sau ng bin trờn cỏc khong xỏc nh ca nú:
a/ y = 4x
3
+ (m + 3)x
2
+ mx (S: m = 3) b/
3
2

4 1
3
mx
y mx x= +
(S: 0 m 4)
c/
1mx
y
x m
+
=
+
(S: m < 1 m > 1) d/
2
1
1
x mx
y
x
+
=

(S: 5 m
1
3
)
Bi 1.5: Tỡm m hm s
2 3 2
( 5 ) 6 6 1y m m x mx x= + + + +
ng bin trờn R.

Bi 1.6: Tỡm m cỏc hm s sau nghch bin trờn cỏc khong xỏc nh ca nú:
a/
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
+
=
+
(S: m = 0) b/ y =
1mx
x m
+
+
(S: 1 < m < 1)
c/ y = mx
3
+ 3x
2
+ 3mx (S: m 1)
Bi 1.7: Tỡm m hm s
a/
3 2
(2 1) (2 ) 2y x m x m x= + +
tng trờn R
b/
3 2
( 3) 2 2y x m x mx= + + +

ng bin trờn tp xỏc nh ca nú
c/
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1y x x m x m= + +
luụn gim
d/
3 2
1
(3 ) ( 3) ( 2) 3
3
y m x m x m x= + + +
tng trờn R
Bi 1.8: Chng minh rng vi mi m, hm s
3 2 2
( 1) ( 2 3) 3 2y x m x m m x m= + + + +
luụn ng
bin trờn tp xỏc nh ca nú
Trang 4
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Bài 1.9: Cho hàm số
2 3 2
( 5 ) 6 6 6y m m x mx x= − + + + −
. Tìm m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó
hàm số đồng biến hay nghịch biến ĐS:
5
; 0
3
m
 

∈ −
 
 
, hàm số đồng biến
Bài 1.10: Cho hàm số
3 2
3 ( 1) 4y x x m x m= + + + +
. Với gíá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên
khoảng
( )
1 ; 1−
ĐS:
10m
≤ −
Bài 1.11: Cho hàm sớ
3 2
3 4y x x mx= + − −
. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm sớ đã cho đờng biến
trên khoảng
(0 ; )+ ∞
ĐS:
0m
≤
Bài 1.12: Cho hàm sớ
3 2
1
(2 1) 2
3
y x mx m x m= − + − − +
. Với giá trị nào của m thì hàm sớ nghịch biến

trên khoảng
( )
2 ; 0−
ĐS:
1
2
m ≤ −
§2.
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D và có đạo hàm trên (a; b) ⊂ D (có thể trừ
điểm x
0
)
* Nếu
( ) ( )
( ) ( )
0
0





f' x > 0 trên a; x
f' x < 0 trên x ; b
thì x
0
là điểm cực đại của hàm số
* Nếu
( ) ( )

( ) ( )
0
0





f' x < 0 trên a; x
f' x > 0 trên x ; b
thì x
0
là điểm cực tiểu của hàm số
2. Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D, có đạo hàm cấp 2 trên (a; b) ⊂ D và f’(x
0
) = 0.
Khi đó :
a/ Nếu f”(x
0
) < 0 thì x
0
là điểm cực đại của hàm số
b/ Nếu f”(x
0
) > 0 thì x
0
là điểm cực tiểu của hàm số
Cụ thể: Cho hàm số
( )
y f x=

, đồ thị là (C).
− Nghiệm của phương trình
( )
' 0f x =
là hồnh độ của điểm cực trị.
− Nếu
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x
=


<


thì hàm số đạt cực đại tại x = x
0
.
− Nếu
( )
( )
0
0
' 0
'' 0

f x
f x
=


>


thì hàm số đạt cực tiểu tại x = x
0
.
3. Các dạng tốn thường gặp:
1. Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Phương pháp 1 (thường sử dụng):
B1. Tìm TXĐ D.
B2. Tìm y’. Tìm các điểm
0
x
mà tại đó y’ = 0 hoặc khơng có đạo hàm, tìm giá trị của hàm số tại các
điểm
0
x
, lập bảng biến thiên của y trên D.
B3. Dựa vào bảng biến thiên và định lí 1 ⇒ các giá trị CĐ, CT.
Phương pháp 2: Chỉ xét đối với các hàm số có đạo hàm các cấp liên tục trên miền xác định của nó
B1. Tìm TXĐ D.
B2. Tìm y’, y”
B3. Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm x
1
, x

2
và tìm y”(x
1
), y”(x
2
) …
* Nếu y”(x
i
) < 0 (hoặc y”(x
i
) > 0) thì hàm số đạt cực đại (hoặc đạt cực tiểu) tại x
i
, i = 1, 2,
Bài 2.1: Tìm cực trị của các hàm số sau
1)
3 2
3 9 4y x x x= + − +
2)
3 2
2 5
2
3 2
y x x x= − + −
3)
3 2
4
6 9 1
3
y x x x= − + −
Trang 5

Giaựo vieõn:Nguyeón Hửừu Chung Kieõn
Toaựn 12 vaứ LTẹH Cẹ HKI
4)
4 2
3 4y x x= +
5)
4 2
3 4y x x= +
6)
4 2
1 3
9
4 4
y x x= +

7)
3 2
1
x
y
x

=

8)
1
2 3
x
y
x

=
+
9)
1
4 1
1
y x
x
= + +

10)
3 2
1 2
2 5
3 3
y x x x= + + +
11)
4 2
3
2 4
4
y x x= +
12)
2
2
x
y
x
=

Bi 2.2: Tỡm cc tr ca cỏc hm s sau:
a)
2
1
x
y
x
=
+
b)
2
2y x x=
c)
2
( 2) 4y x x= +
Bi 2.3: Tỡm cc tr ca cỏc hm s sau:
a)
1
cos cos2
2
y x x= +
vi
4
0;
3
x

ữ

b)
sin 2y x x=
c)
sin 2 cos2y x x= +
d)
2 3
3sin cos
2
x
y x x
+
= + +
Dng 2: Tỡm m hm s t cc tr ti im
0
x
Cỏch 1:
- Hm s t cc i ti im
0
0
0
( ) 0
( ) 0
y x
x
y x

=

<

- Hm s t cc tiu ti im
0
0
0
( ) 0
( ) 0
y x
x
y x

=




>

- Hm s t cc tr ti im
0
0
0
( ) 0
( ) 0
y x
x

y x

=






Cỏch 2:
Hm s t cc tr ti im
0
x

0
( ) 0 ?y x m

= =
Th li: lp bng bin thiờn th li
Bi 2.4: Tỡm m hm s
1)
3 2 2
3 3( 1)y x mx m x m= + +
t cc i ti x = 2 S:
3m =
2)
2 3 2
( 5 ) 6 6 6y m m x mx x= + + +
t cc tiu ti x = 1 S:
2m =

3)
3 2
2 1y x x mx= + +
t cc tiu ti
1x =
( TN 2011) S:
1m =
4)
3 2 2
1
( 1) 1
3
y x mx m m x= + + +
t cc tr ti x = 1 S:
2m =
5) y = x
3
+ 2mx
2
+ mx + 1 t cc i ti x = 1 S: m =1
6) y = 3x
4
+ mx
2
1 t cc i ti
3
3
x =
S: m = 2
7) y = x

3
3mx
2
+ (m 1)x + 2 t cc tiu ti x = 2 S: m = 1
8) y = x
3
mx
2
+
2
3
m


ữ

x + 5 t cc tiu ti x =1 S: m =
7
3
Bi 2.5: Tỡm a, b hm s:
a)
4
2
4
x
y ax b= + +
cú cc tr ti
1x =
v giỏ tr cc tr tng ng ca hm s bng
2

.
b)
2 3 2
5
2 9
3
y a x ax x b= + +
cú cỏc giỏ tr cc tr l nhng s dng v
0
5
9
x =
l im C.
S: a)
1 7
;
2 4
a b= =
; b)
9 80
,
5 27
a b= >
hoc
81
, 4
25
a b= >
Trang 6
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên

Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Bài 2.6: Tìm các giá trị của m, n sao cho hàm số:
( )
n
y = f x = x + m +
x +1
đạt cực đại tại x = – 2 và có
f(–2) = – 2. ĐS: m = 1; n = 1.
Dạng 3: Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
Hàm bậc 3:
3 2
y ax bx cx d= + + +
và hàm hữu tỉ
2
' '
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
Hàm số có cực đại và cực tiểu
0y
′
⇔ =
có hai nghiệm phân biệt
0
0
a ≠


⇔

∆ >

Bài 2.7: Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu:
a)
3 2
( 3) 2 2y x m x mx= + − + +
ĐS:
6 3 3
6 3 3
m
m

< −

> +


b)
3 2
3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − +
ĐS:
1m
≠
c)
2
2 4
2
x mx m

y
x
+ − −
=
+
ĐS:
0m <
d)
2
2( 1) 5
1
x m x m
y
x
− + − − −
=
−
ĐS:
8m <
Bài 2.8: Tìm m để hàm số
3 2
(2 1) (2 ) 2y x m x m x= − − + − +
khơng có cực trị. ĐS:
5
1
4
m− ≤ ≤
Dạng 4: Chứng minh hàm số ln có cực đại và cực tiểu
Với hàm bậc 3:
3 2

y ax bx cx d= + + +
và hàm hữu tỉ
2
' '
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
. Ta chứng minh phương
trình
0y
′
=
ln có hai nghiệm phân biệt
Bài 2.9: a) Cho hàm số
3 2
1
1
3
y x mx x m= − − + +
. Chứng minh rằng hàm số ln có cực đại và cực tiểu
với mọi m.
b) Cho hàm số
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m,
hàm số ln đạt cực trị tại
1 2

,x x
với
2 1
x x−
khơng phụ thuộc m.
c) Cho hàm số
2 2
2 1x kx k
y
x k
− + +
=
−
. Chứng minh rằng với mọi giá trị của k, hàm số ln có
cực đại, cực tiểu và tổng tung độ của chúng bằng 0.
d) (B – 2005) Cho hàm số:
2
( 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
. Chứng minh rằng với m bất kì đồ thị của
hàm số ln có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng
20
.
e) Cho hàm số

3 2 2 2
3 3( 1) 1y x mx m x m= − + − + −
có đờ thị là (C
m
). Chứng minh rằng với
mọi m, hàm sớ ln có CĐ, CT đờng thời khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị (C
m
) bằng
20
.

Dạng 5 (Nâng cao – tham khảo) : Tìm m để hàm số có cực trị thoả điều kiện cho trước
− Để hàm số
( )
y f x=
có 2 cực trị
'
0
0
y
a ≠

⇔

∆ >

.
− Để hàm số
( )
y f x=

có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hồnh
. 0
CĐ CT
y y⇔ <
.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
. 0
CĐ CT
x x⇔ <
.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm phía trên trục hồnh
0
. 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
+ >

⇔

>

.

Trang 7
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm phía dưới trục hồnh
0
. 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
+ <

⇔

>

.
− Để hàm số
( )
y f x=
có cực trị tiếp xúc với trục hồnh
. 0
CĐ CT
y y⇔ =
.
Chú ý: Cách tìm y
CĐ,

y
CT
của các hàm số thường gặp:
a/ Đối với hàm số dạng:
( )
( )
u x
y
v x
=
nếu có cực trị thì y
CĐ
=
( )
( )
( )
( )
' '
;
' '
CT
CT
CT
u x u x
y
v x v x
=
CĐ
CĐ
b/ Đối với hàm số bậc 3: y = f(x) = ax

3

+ bx
2
+ cx + d, a ≠ 0
Nếu x
CĐ
, x
CT
đơn giản thì thay x
CĐ
, x
CT
vào y = f(x) để tìm y
CĐ
, y
CT
.
Nếu x
CĐ
, x
CT
phức tạp hoặc khơng tính cụ thể x
CĐ
, x
CT
để tìm y
CĐ
, y
CT

như sau:
* Phân tích hs về dạng y = (Ax + B).y’ + Cx + D (Bằng cách chia y cho y’, có thương là Ax + B
và phần dư là Cx + D)
* Nếu hàm số có cực trị thì y
CĐ
= Cx
CĐ
+ D; y
CT
= Cx
CT
+ D vì tại x
CĐ
, x
CT
có y’ = 0
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
Chia y cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đthẳng đi qua 2 điểm cực trị.
Bài 2.10: (CĐ – 2009) Cho hàm số
3 2
(2 1) (2 ) 2y x m x m x= − − + − +
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực
tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hồnh độ dương. ĐS:
5
2
4
m< <

Bài 2.11: a/ Cho hàm sớ
3
2
( 1) ( 5) 2 1
3
x
y m x m x m= + − + + + −
.Tìm m để hàm số có cực đại, cực
tiểu và các điểm cực trị của hàm số có hồnh độ âm. ĐS:
4m
>
b/ Cho hàm số
3 2
(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m= + − + − + +
. Tìm m để đờ thị của hàm sớ có điểm
cực đại điểm cực tiểu, đờng thời hoành đợ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. ĐS:
5 7
1
4 5
m m< − ∨ < <
Bài 2.12: a/ Cho hàm sớ
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x= + − + − −
có đờ thị là (C
m
). Với giá trị nào của m
thì (C
m
) có cực đại, cực tiểu thỏa
2

CÐ CT
x x+ =
ĐS:
1m
= −

b/ Cho hàm số
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + − + − + − +
. Tìm m để hàm số có cực
đại cực tiểu tại x
1
, x
2
và
( )
1 2
1 2
1 1 1
2
x x
x x
+ = +
ĐS:
1 5m m= ∨ =
Bài 2.13 (B – 2007) Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1y x x m x m= − + + − − −
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực
tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O. ĐS:

1
2
m = ±

Bài 2.14: Cho hàm số
3 2
1
1
3
y x mx x m= − − + +
. Chứng minh rằng với mọi m, hàm số ln có CĐ, CT.
Xác định m để khoảng cách giữa các điểm cực trị của (C
m
) là nhỏ nhất. ĐS: m = 0
Bài 2.15: Cho hàm sớ
3 2 3
3 4y x mx m= − +
. Tìm m để các điểm cực đại và cực tiểu của đờ thị (C
m
) đới
xứng nhau qua đường thẳng y = x. ĐS:
2
2
m = ±
Bài 2.16: Tìm m để hàm số
3 2
2 3( 1) 6y x m x mx= − + +
có cực đại, cực tiểu. Gọi y
1,
y

2
là tung độ của các
điểm cực trị, tìm m để
1 2
8y y− =
ĐS:
3; 1m m= = −
Bài 2.17: Cho hàm số
3 2
3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − +
. Xác đònh m để hàm số có cực đại, cực tiểu
đồng thời giá trò cực tiểu bằng 3. ĐS:
3
2
m =
Bài 2.18: Cho hàm số
3 2
4 3y x mx x= + −
. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại
1
x
,
2
x
thỏa
1 2
4x x= −
Trang 8
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI

Bài 2.19: Cho hàm số
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x= − − + − +
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và
hồnh độ của hai điểm cực trị thỏa điều kiện
1 2
2 1x x+ =
ĐS:
2
2
3
m m= ∨ =
Bài 2.20: Cho hàm sớ:
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
(C
m
). Tìm m để (C
m
) có hai điểm cực trị
đới xứng nhau qua đường thẳng y = x + 2 ĐS:
1 17
1
4
m m
− ±
= − ∨ =

Bài 2.21: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số sau đây:
a/ y = x
3
– 3mx
2
+ 3(2m – 1)x + 1 có CĐ, CT và tìm tọa độ các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số.
Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu đó. ĐS: m ≠1
b/ y = (x + m)
3
+ (x + 2m)
3
– x
3
có cực đại, cực tiểu ĐS: m ≠ 0
c/
( )
2
2
1
x m x m
y
x
+ − −
=
+
có cực đại, cực tiểu, tìm tọa độ của điểm cực đại, cực tiểu và viết phương
trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu đó. ĐS:
1
2
m < −

, y = 2x + m + 2
Hàm trùng phương:
4 2
y ax bx c= + +
,
3 2
4 2 (4 2 )y ax bx x ax b
′
= + = +

2
0 (4 2 ) 0y x ax b
′
= ⇔ + =
(1)
2
0
4 2 0 (2)
x
ax b
=

⇔

+ =

 Hàm số có 3 cực trị
⇔
y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔

phương trình (2) có hai nghiệm
phân biệt
0x
≠

0
2
b
a
⇔ − >
 Hàm số có 1 cực trị
0y
′
⇔ =
có đúng một nghiệm
⇔
phương trình (2) vơ nghiệm hoặc (2) có
nghiệm
0x =

0
0
a
b
=

⇔

≠


hoặc
0
0
a
b
a
≠



− ≤



Bài 2.22: Cho hàm số
4 2 2
( 9) 10y mx m x= + − +
(1)
a/ Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị. ĐS:
3 0 3m m< − ∨ < <
b/ Tìm m để hàm số (1) có một điểm cực trị ĐS:
3 0 3m m− ≤ < ∨ ≥

Bài 2.23: Cho hàm số
4 2
1
(3 1) 2( 1)
4
y x m x m= − + + +
, m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có

3 điểm cực trị lập thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ. ĐS:
1
3
m =

Bài 2.24: (ĐH khối B – 2011) Cho hàm số
4 2
2( 1) (1)y x m x m= − + +
, m là tham số. Tìm m để đồ thị
hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị
thuộc trục tung B và C là hai điểm cực trị còn lại. ĐS:
2 2 2m = ±
Bài 2.25: (ĐH khối A – 2007) Cho hàm số:
2 2
2( 1) 4
2
x m x m m
y
x
+ + + +
=
+
. Tìm m để hàm số có cực đại,
cực tiểu đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác vng
tại O. ĐS:
4 2 6m = − ±
Trang 9
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Bài 2.26: Cho hàm số

2
2 2
1
x mx
y
x
+ +
=
+
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ hai
điểm đó đến đường thẳng:
2 0x y+ + =
bằng nhau. ĐS:
7
8
m = −
Bài 2.27: Cho (C
m
):
3 2 2
3 ( 2 3) 4y x mx m m x= − + + − +
. Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị
1 2
,x x
:
a) Nằm về hai phía của trục tung ĐS: – 3 < m < 1
b) Nằm về mợt phía của trục tung ĐS: m < – 3 hoặc m > 1
Bài 2.28: Cho hàm sớ
3 2 2
3 ( 2 3) 4y x mx m m x= − + + − +

. Tìm m để hàm sớ có 2 điểm cực trị và
hồnh độ 2 điểm cực trị trái dấu. ĐS:
3 1m− < <
Bài 2.29: Cho (C
m
):
4 2 4
2 2y x mx m m= − + +
. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu
đồng thời các điểm cực trị của đồ thị (C
m
) lập thành một tam giác đều. ĐS:
3
3m =

§3.
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Số M gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên tập D
( )
( )
0 0
,
:
f x M x D
x D f x M
≤ ∀ ∈

⇔

∃ ∈ =



. Kí hiệu: M = Maxf(x)
2. Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập D
( )
( )
0 0
,
:
f x m x D
x D f x m
≥ ∀ ∈

⇔

∃ ∈ =


. Kí hiệu : m = Minf(x)
Các dạng tốn thường gặp:
Dạng 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sớ trên đoạn [a; b]
• Tính
y
′
• Giải phương trình
y
′
= 0
⇒
các nghiệm

1 2
, , x x
[ ; ]a b∈
• Tính
1 2
( ) , ( ) , , ( ), ( )f x f x f a f b
So sánh các giá trị trên
⇒
kết ḷn
Ghi chú: Nếu đề u cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà khơng chỉ ra trên đoạn nào thì ta
tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm sớ
Bài 3.1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm sớ sau:
1.
3 2
( ) 3 7 1f x x x x= − − +
trên [0; 2] ĐS:
max ( ) 7,min ( ) 4f x f x= = −
2.
3 2
( ) 8 16 9f x x x x= − + −
trên [1; 3] ĐS:
13
max ( ) , min ( ) 6
27
f x f x= = −

3.
4 2
( ) 2 4 3f x x x= − + +
trên [0; 2] ĐS:

max ( ) 5 , min ( ) 13f x f x= = −
4.
3 2
( ) 2 6 1f x x x= − +
trên [
1 ; 1−
] ĐS:
max ( ) 1 , min ( ) 7f x f x= = −
5.
9
( )f x x
x
= +
trên đoạn [2; 4] ĐS:
13
max ( ) , min ( ) 6
2
f x f x= =
6.
2 3
( )
1
x
f x
x
+
=
−
trên đoạn
[ 2;0]−

ĐS:
1
max ( ) , min ( ) 3
3
f x f x= = −
7.
3 2
3 9 35y x x x= − − +
trên đoạn
[ 4 ; 4]−
ĐS:
max ( ) 40 , min ( ) 41f x f x= = −
8.
3 2
( ) 2 3 12 1f x x x x= − − +
trên đoạn
5
2;
2
 
−
 
 
ĐS:
min ( ) 19f x = −
9.
3
2
( ) 2 3 4
3

x
f x x x= + + −
trên đoạn
[ ]
4;0−
ĐS:
16
max ( ) 4 , min ( )
3
f x f x= − = −
10.
2
2 3 3
1
x x
y
x
+ +
=
+
trên [0; 2] (ĐH khối D – 2011) ĐS:
17
max ( ) , min ( ) 3
3
f x f x= =
Trang 10
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
11.
4 2

( ) 8 5f x x x= − +
trên đoạn
[ ]
1;3−
(TN 2010) ĐS:
[ ]
[ ]
1;3
1;3
min ( ) 11;max ( ) 14f x f x
−
−
= − =
12.
10
( ) 3
3
f x
x
= −
+
trên đoạn
[ ]
2;5−
(TN 2011) ĐS:
[ ]
[ ]
2;5
2;5
7

min ( ) 7;max ( )
4
f x f x
−
−
= − =
13.
2
( ) 2 5f x x x= − +
trên đoạn
[ ]
0;3
(TN 2012) ĐS:
[ ]
[ ]
0;3
0;3
min ( ) 2;max ( ) 2 2f x f x= =
14.
9
( )
2
f x x
x
= +
+
trên đoạn
[ ]
1;2−
(TN 2013) ĐS:

[ ]
[ ]
1;2
1;2
min ( ) 4;max ( ) 8f x f x
−
−
= =
15.
4 3 2
( ) 2 5 1f x x x x= + − +
trên đoạn
[ ]
1;2−
(TN 2014) ĐS:
[ ]
[ ]
1;2
1;2
min ( ) 5;max ( ) 13f x f x
−
−
= − =
Bài 3.2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm sớ sau:
1.
2
2 5y x x= − +
trên đoạn
[ 1 ; 3]−
ĐS:

max ( ) 2 2 , min ( ) 2f x f x= =
2.
2
1 3 6 9y x x x= + + − + +
trên đoạn
[ 1 ; 3]−
ĐS:
max ( ) 6 , min ( ) 0f x f x= =
3.
2
2 , [ 2 , 2 ]y x x x= + − ∈ −
ĐS:
max ( ) 2 , min ( ) 2f x f x= = −
4.
2
1
1
x
y
x
+
=
+
trên
[ 1;2]−
(ĐH khới D – 2003) ĐS: GTLN:
2
, GTNN: 0
Bài 3.3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm sớ sau:
1.

2
4y x x= + −
(ĐH khới B – 03) ĐS:
max ( ) 2 2 , min ( ) 2f x f x= = −

2.
2
3 10y x x= + −
ĐS:
max ( ) 10,min ( ) 3 10f x f x= = −
3.
2
( 2) 4y x x= + −
ĐS:
max ( ) 3 3 , min ( ) 0f x f x= =
Bài 3.4 (Tham khảo): Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm sớ sau:
1.
( ) sin 2f x x x= −
trên đoạn
;
2 2
π π
 
−
 
 
ĐS:
max ( ) , min ( )
2 2
f x f x

π π
= = −
2.
( ) 2 cos2 4sinf x x x= +
trên đoạn
0 ;
2
π
 
 
 
ĐS:
max ( ) 2 2 , min ( ) 2f x f x= =
3.
3
4
( ) 2sin sin
3
f x x x= −
trên đoạn
[ ]
0 ;
π
ĐS:
2 2
max ( ) , min ( ) 0
3
f x f x= =
Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sớ trên mợt khoảng: Lập bảng biến
thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết ḷn

Bài 3.5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm sớ:
a)
4
y x
x
= +
( x > 0) b)
2
1
( )
1
x x
f x
x
− +
=
−
trên
( )
1 ;+ ∞
c)
1
( )f x x
x
= −
trên (0; 2]
d)
2
( ) 3 2 5f x x x= + − +
e)

2
4
1
y
x
=
+
f)
3 4
4 3y x x= −
ĐS: a) miny = y(2) = 4; b) miny = y(2) = 3; c) maxy = y(2) =
3
2

d) miny = y(1) = 5; e) maxy = y(0) = 4; f) maxy = y(1) = 1
BÀI TẬP NÂNG CAO (THAM KHẢO)
Bài 3.6: (A – 2011) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn
[ ]
1;4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 3
x y z
P
x y y z z x
= + +
+ + +
ĐS:
34
min
33

P =

Trang 11
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Bài 3.7: (B – 2011) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a
2
+ b
2
) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 2 2
3 3 2 2
4 9
a b a b
P
b a b a
   
= + − +
 ÷  ÷
   
. ĐS:
23
min
4
P = −

Bài 3.8: (CĐ – 2011) Tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình sau có nghiệm:
( ) ( )
( )

( )
6 2 4 2 2 4 4 2 2x x x m x x x R+ + − − = + − + − ∈
ĐS:
0 1m
≤ ≤

Bài 3.9: (A – 2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2 2
3 3 3 6 6 6
x y y z z x
P x y z
− − −
= + + − + +
ĐS:
min 3P
=

Bài 3.10: (B – 2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x
2
+ y
2
+ z
2
= 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
5 5 5
P x y z= + +
. ĐS:
5 6

36
maxP =

Bài 3.11: (D – 2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)
2
+ (y – 4)
2
+ 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
( ) ( )
3 3
3 1 2A x y xy x y= + + − + −
. ĐS:
17 5 5
min
4
A
−
=

Bài 3.12: (A – 2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4c
2
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
( ) ( )
3 3 2 2
3 3
32 32
3 3
a b a b

P
c
b c a c
+
= + −
+ +
. ĐS:
min 1 2P = −

Bài 3.13: (B – 2013) Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
( ) ( ) ( )
2 2 2
4 9
2 2
4
P
a b a c b c
a b c
= −
+ + +
+ + +
. ĐS:
5
8
maxP =

Bài 3.14: (D – 2013) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ y – 1. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
( )
2 2

2
6
3
x y x y
P
x y
x xy y
+ −
= −
+
− +
. ĐS:
5 7
3 30
maxP = +

Bài 3.15: (CĐ – 2013) Tìm m để bất phương trình:
( )
2 1 4x m x m− − − ≤ −
có nghiệm. ĐS:
2m
≥
Bài 3.16: (A – 2014) Cho x, y, z là các số thực dương khơng âm và thỏa mãn điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
= 2.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2
2
1
1 1 9
x y z yz
P
x yz x x y z
+ +
= + −
+ + + + + +
. ĐS:
5
max
9
P =

Bài 3.17: (B – 2014) Cho các số thực a, b, c khơng âm và thỏa mãn điều kiện (a + b)c > 0. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
( )
2
a b c
P
b c a c a b
= + +
+ + +
. ĐS:
3
min
2
P =

Bài 3.18: (D – 2014) Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 1 ≤ x ≤ 2; 1 ≤ y ≤ 2. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
( )
2 2
2 2 1
3 5 3 5 4 1
x y y x
P
x y y x x y
+ +
= + +
+ + + + + −
. ĐS:
7
min
8
P =

Bài 3.19: (CĐ – 2014) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
( )
2 5f x x x= + −
ĐS:
( ) ( ) ( ) ( )
min 0 5;max 4 5f x f f x f= = = =
§4.
TIỆM CẬN
1. Tiệm cận đứng: (Vng góc với trục hồnh Ox)
Nếu ∃x
0

(hữu hạn) sao cho
( )
0
lim
x x
f x
+
→
= ±∞
(hoặc
( )
0
lim
x x
f x
−
→
= ±∞
) thì đường thẳng có phương trình
x = x
0
là tiệm cận đứng bên phải (hoặc bên trái) của đồ thị hàm số.
2. Tiệm cận ngang: (Vng góc với trục tung Oy)
Nếu
( )
( )
0
lim f
x
x

x y
→−∞
→−∞
=
(hữu hạn) thì đường thẳng có phương trình y = y
0
là tiệm cận ngang bên trái
(hay bên phải) của đồ thị hàm số.
Trang 12
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Phương pháp tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số bậc nhất (hàm nhất biến)
ax b
y
mx n
+
=
+
+ TXĐ: D = R \
n
m
 
−
 
 
+ TCĐ:
( )
lim :
n
x

m
n
y d x
m
→−
= ±∞ ⇒ = −
+ TCN:
( )
lim :
x
a a
y d y
m m
→±∞
= ⇒ =
Bài 4.1: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
a)
3 2
5
x
y
x
−
=
+
b)
1
2 3
x
y

x
+
=
− +
c)
2 1
2 1
x
y
x
+
=
−
d)
2
3
x
y
x
+
=
−

Bài 4.2: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
a)
2
2
4 5
x
y

x x
+
=
− +
b)
2
2
3 1
3 2
x x
y
x x
− +
=
− +
c)
2
3 4 2
2
x x
y
x
− +
=
−
Bài 4.3: Cho (C):
2
1
x
y

x
+
=
−
. Tìm các điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm
cận của (C) bằng 4. ĐS:
(2;4) , (0; 2) ,(4;2) , ( 2;0)− −
Bài 4.4: Cho (C):
2 1
1
x
y
x
−
=
+
. CMR tích khoảng cách từ một điểm bất kì trên (C) đến 2 tiệm cận của (C)
là một hằng số. Tìm các điểm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất.
ĐS: b)
( )
1,2
1 3;2 3M − ± m
§5.
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Các bước tiến hành khảo sát hàm số:
 Tìm TXĐ.
 Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: Tính y, giải phương trình y’ = 0. Nêu các khoảng tăng, giảm.
- Cực trị:
- Giới hạn:

 Hàm đa thức (bậc 3 và trùng phương bậc 4) tính
lim
x
y
→±∞
 Hàm phân thức (nhất biến) tính
lim
x
y
→±∞
và
0 0
lim ; lim
x x x x
y y
+ −
→ →
- Bảng biến thiên.
- Bảng giá trị đặc biệt.
 Vẽ đồ thị.
Bài 5.1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số
a)
3
2
2 3 1
3
x
y x x= − + +
b)
3

3y x x= − +
c)
3 2
1
2 3
3
y x x x= − +
d)
3
3 2y x x= − +
e)
3 2
6 9 1y x x x= − + +
f)
3 2
3 2y x x= − + −
g)
3 2
1y x x x= − + − −
h)
3 2
1
2
3
y x x x= − + − +
i)
3 2
3 4 2y x x x= − + −
j)
2

(1 )( 2)y x x= − +
k)
3 2
4 4y x x x= − +
l)
3 2
1 1
2
3 3
y x x x= + + +
m)
3
2y x x= − − +
n)
3 2
3 3y x x x= − + −
p)
( )
3
1y x= −
Bài 5.2: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a)
4 2
2 3y x x= − −
b)
4 2
4 1y x x= − +
c)
4
2

2 1
2
x
y x= + −
d)
4
2
3
2 2
x
y x= − −
e)
4 2
2 4y x x= − +
f)
4 2
1 9
2
4 4
y x x= − + +
Trang 13
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
g)
4 2
1 3
4 2
y x x= − +
h)
4 2

2 1y x x= + +
i)
4
2
2 1
4
x
y x= − + +
j)
4 2
3 2y x x= + +
k)
4 2
1 1
4 4
y x x= − − +
l)
4 2
1 1
2 2
y x x= + +
m) y = – x
4
+ 2x
2
n)
4 2
1 3
3
2 2

y x x= − +
p) y = – x
4
+ 10x
2
– 9
Bài 5.3: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a)
2 1
1
x
y
x
−
=
−
b)
3 2
1
x
y
x
−
=
+
c)
2
1
x
y

x
=
+
d)
2
2 1
x
y
x
+
=
− +

e)
3 2
2 1
x
y
x
−
=
+
f)
4
4
y
x
=
−
g)

1
2 1
x
y
x
− +
=
−
h)
1
x
y
x
=
−

i)
3
1
x
y
x
+
=
+
j)
4
2
x
y

x
−
=
−
k)
3 2
2
x
y
x
+
=
+
l)
2
2 1
x
y
x
+
=
+
m)
2 4
3
x
y
x
−
=

−
n)
1
2
x
y
x
− +
=
+
p)
2
2 1
x
y
x
+
=
− +
q)
3 1
2 2
x
y
x
+
=
+
§6.
CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ

 Vấn đề 1 : Tiếp tuyến của đồ thị
 Nhắc lại về hệ số góc của một đường thẳng:
-Hệ số góc của đường thẳng:
tan( ; )k Ox d=
-Nếu d tạo với trục Ox một góc
α
thì
tan
d
k
α
= ±
-Nếu d đi qua hai điểm A, B thì
A B
d
A B
y y
k
x x
−
=
−
, d có phương trình y = ax + b thì
d
k a=
-d có phương trình
0
d
A C A
Ax By C y x k

B B B
+ + = ⇒ = − − ⇒ = −
-
/ /
d d
d d k k
′
′
⇒ =
-
1
. 1
d d d
d
d d k k k
k
′ ′
′
⊥ ⇔ = − ⇒ = −
Phương trình tiếp tuyến: có 3 dạng
Dạng 1: Cho (C):
( )y f x=
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
0 0
( ; ) ( )M x y C∈
Cách làm:
( ) ?y f x y
′
= ⇒ =
• Hệ số góc của tiếp tuyến tại M:

( )
0
' ?k f x= =
• Phương trình tiếp tuyến:
0 0
( )y k x x y= − +
Lưu ý: Nếu đề cho
0
x
thì ta thay
0
x
vào phương trình
0
( )y f x y= ⇒
Nếu đề cho
0
y
thì ta thay
0
y
vào phương trình
0
( )y f x x= ⇒
Dạng 2: Cho (C):
( )y f x=
. Viết pt tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc
k
Cách làm:
( ) ?y f x y

′
= ⇒ =
• Gọi
0 0
( ; )M x y
là tiếp điểm
( )
0
'f x k⇒ =
(1)
• Giải phương trình (1)
0 0
x y⇒ ⇒
• Phương trình tiếp tuyến:
0 0
( )y k x x y= − +
Trang 14
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Lưu ý: Nếu đề cho tiếp tuyến song song với đường thẳng d
tt d
k k⇒ =
Nếu đề cho tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d
1
tt
d
k
k
⇒ = −
Dạng 3*: (Nâng cao – tham khảo) Cho (C):

( )y f x=
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết
tiếp tuyến đi qua điểm
( ; )
A A
A x y
Cách 1:
• Gọi
0 0 0 0
( ; ) ( ) ( )M x y C y f x∈ ⇒ =
• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:
( )
0 0 0
( ) ( )y f x x x f x
′
= − +

( )∆
•
( )∆
đi qua A
( )
0 0 0
( ) ( )
A A
y f x x x f x
′
⇒ = − +
(1) ( thay tọa độ điểm A vào pt
( )∆

)
• Giải phương trình (1)
0
x⇒
, thay
0
x
tìm được vào phương trình
( )∆
ta được phương trình
tiếp tuyến
Cách 2:
• Phương trình tiếp tuyến đi qua A có dạng:
( )
A A
y k x x y= − +

( )∆
•
( )∆
tiếp xúc với (C)
⇔
hệ phương trình sau có nghiệm:
( ) ( ) (1)
( ) (2)
A A
f x k x x y
f x k
= − +



′
=

Thay k từ (2) vào (1)
x⇒
, thay x tìm được vào (2)
k⇒ ⇒
phương trình tiếp tuyến
BÀI TẬP
Bài 1.1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
a)
( ) : 4 1C y x= +
tại điểm
(2 ; 3)M
ĐS:
2 5
3 3
y x= +
b)
3 2
( ) :
1
x
C y
x
−
=
−
tại điểm

5
1;
2
M
 
− −
 ÷
 
ĐS:
1 11
4 4
y x= − −
c)
2
2 5
( ) :
1
x x
C y
x
− + −
=
−
tại điểm
(2 ; 5)A −
ĐS:
3 11y x= −
d) (C):
2
1

2 1
y x
x
= + −
−
tại điểm
(0 ; 3)B
ĐS:
5 3y x= +
Bài 1.2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
a)
3 2
1
( ) : 2 3
3
C y x x x= − + −
tại điểm có hồnh độ
2x =
ĐS:
8
3
y x= −

b)
3
( ) : 3
4
x
C y x= −
tại điểm có hồnh độ

2 3x =
ĐS:
6 12 3y x= −
c)
2
( ) :
1
C y
x
=
−
tại điểm có hồnh độ
1x = −
ĐS:
1 3
2 2
y x= +
Bài 1.3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
a)
2
( ) :
2 3
x
C y
x
+
=
−
tại điểm có tung độ
3y = −

ĐS:
7 4y x= − +

b)
2
( ) :
1
x
C y
x
=
+
tại điểm có tung độ
4
3
y =
ĐS:
2 8
9 9
y x= +
Bài 1.4: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung
a)
3 2
( ) : 4 1C y x x x= − + +
ĐS:
1y x= +
b)
1
2
x

y
x
−
=
+
ĐS:
3 1
4 2
y x= − +
Bài 1.5: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hồnh
a)
2 1
2
x
y
x
+
=
−
ĐS:
4 2
5 5
y x= − −
b)
3
2 2
x
y
x
−

=
+
ĐS:
1 3
8 8
y x= −
Bài 1.6: Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
Trang 15
Giaựo vieõn:Nguyeón Hửừu Chung Kieõn
Toaựn 12 vaứ LTẹH Cẹ HKI
a)
1
( ) :
2 1
x
C y
x
+
=
+
bit tip tuyn cú h s gúc bng 3 S:
3 1 , 3 5y x y x= + =
b)
4 2
1
( ) : 2 1
4
C y x x= + +
bit tip tuyn cú h s gúc bng 5 S:
7

5
4
y x=
c)
3 2
1
( ) : 2 5 1
3
C y x x x= + +
bit tt cú h s gúc bng
2
S:
1
2 , 2 1
3
y x y x= = +
Bi 1.7: Vit phng trỡnh tip tuyn ca
1
( ) :
1
x
C y
x
+
=

ti giao im ca (C) vi d:
2 1y x=
.
S:

2 1 , 2 7y x y x= = +

Bi 1.8: Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) song song vi ng thng d bit:
a)
3
( ) : 3 1C y x x=
, d:
9 1 0x y =
S:
9 15 , 9 17y x y x= + =

b)
2
5 4
( ) :
2
x x
C y
x
+
=

d:
3 2009y x= +
S:
3 3, 3 11y x y x= =
c) (C):
2 3
2
x

y
x

=
+
, d:
7 1 0x y =
S:
1 2 1 30
,
7 7 7 7
y x y x= + = +
Bi 1.9: Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) vuụng gúc vi ng thng d bit:
a)
3 2
( ) : 3 2C y x x= +
, d:
1
2
9
y x= +
S:
9 7 , 9 25y x y x= + =
b)
2
( ) :
1
x
C y
x

=

,
: 4 1d y x= +
S:
1 1 1 7
,
4 4 4 4
y x y x= = +
c)
1
( ) : 3
1
C y x
x
= +
+
, d: x + 3y = 0 S:
3 3, 3 11y x y x= + = +
d) (C):
4 2
6y x x= +
,
1
: 1
6
d y x= +
S:
6 10y x= +

Bi 1.10: Cho (C ):
2
1
2
x x
y
x
+
=
+
. Viờt phng trinh tiờp tuyờn cua (C) biờt tip tuyn o vuụng goc
vi ng phõn giac cua goc phõn t th nhõt cua hờ truc toa ụ. ẹS:
5 2 2y x=
Bi 1.11: Cho ham sụ
2
(3 1)m x m m
y
x m
+ +
=
+
. Vi gia tri nao cua m thi tai giao iờm cua ụ thi vi
truc hoanh, tiờp tuyờn song song vi ng thng y +10 = x. Viờt phng trinh tiờp tuyờn õy.
S:
2
0;
3
m =
Bi 1.12: Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s:
a) (C):

3 2
3 2y x x= +
bit tip tuyn i qua im
( )
0; 3A
S:
15
3 3 , 3
4
y x y x= =
b) (C):
2 1
1
x
y
x
+
=
+
bit tip tuyn i qua im
( )
1;3M
S:
1 13
4 4
y x= +
Bi 1.13: Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C)
a)
3 2
1

( ) : 2 3
3
C y x x x= +
bit tip tuyn cú h s gúc nh nht S:
8
3
y x= +
b)
3 2
( ) : 3 2C y x x= +
bit tip tuyn cú h s gúc ln nht S:
3 3y x=
Bi 1.14: Cho (C):
3
1
x
y
x
+
=

. Gi M l im bt kỡ trờn (C). Tip tuyn ca (C) ti im M ct hai tim
cn ca (C) ti cỏc im A, B. Chng minh M l trung im ca on AB.
Trang 16
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Bài 1.15: (D – 2007) Cho hàm số y =
2
1
x

x +
(C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C)
tại điểm M cắt Ox, Oy tại A, B và ∆OAB có diện tích bằng
1
4
. ĐS: M(1; 1) và
1
; 2
2
M
 
− −
 ÷
 

Bài 1.16: (A – 2009) Cho hàm sớ
2
2 3
x
y
x
+
=
+
(1). Viết phương trình tiếp tún của đờ thị hàm sớ (1),
biết tiếp tún đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A, B và
∆
OAB cân tại gớc tọa đợ O.
ĐS: b)
2y x= − −

Bài 1.17: Cho (C):
2 1
1
x
y
x
−
=
−
. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C)
sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vng góc với đường thẳng IM. ĐS: M(0; 1)
Bài 1.18: Cho hàm số
3 2
3 2y x x= − +
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) kẻ từ
điểm
23
; 2
9
A
 
−
 ÷
 
. ĐS :
5 61
2, 9 25,
3 27
y y x y x= − = + = − +
Bài 1.19: Cho hàm số

1
2 1
x
y
x
− +
=
+
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp
tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox. ĐS:
1 1
12 2
y x
 
= − +
 ÷
 
Bài 1.20: Cho (C):
4 2
1 3
3
2 2
y x x= − +
. Viết phương trình tiếp tún của (C) đi qua điểm
3
0;
2
A
 
 ÷

 
.
ĐS:
3 3
, 2 2
2 2
y y x= = ± +
Bài 1.21: (D – 2005) Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x= − +
. Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có
hồnh độ bằng
1−
. Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại điểm M song song với đường thẳng
5 0x y− =
.
ĐS:
4m =
Bài 1.22: Cho hàm số:
2 1
1

x
y
x
−
=
+
có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tìm
trên (C) điểm M có hồnh độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị (C) cắt 2 đường tiệm cận tại
A

và
B
thoả mãn
2 2
40IA IB+ =
. ĐS:
0
9 97x = +
 Vấn đề 2 : Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị:
Bài 2.1: Cho hàm số
3 2
1
2
3
y x x= + −
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1).
b) Tìm k để phương trình:
3 2
2 6 0x x k+ − =

có 3 nghiệm phân biệt
Bài 2.2: (TN – 2010) Cho hàm số
3 2
1
5
3
y x x= − − +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Tìm m để phương trình
3 2
3 0x x m+ + =
có 3 nghiệm thực phân biệt
Bài 2.3: Cho (C):
3 2
1 2
3 3
y x x= − +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
3 2
3 0x x m− + =
Trang 17
Giaựo vieõn:Nguyeón Hửừu Chung Kieõn
Toaựn 12 vaứ LTẹH Cẹ HKI
Bi 2.4: Cho hm s
3 2
1
2 3 1

3
y x x x= + +
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho
b) Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh
3 2
6 9 0x x x m + + =
Bi 2.5: Cho hm s
3 2
7
2
3 2 3
x x
y x= + +
cú th (C)
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho
b) Tỡm m phng trỡnh:
3 2
2 3 12 0x x x m+ + =
cú ỳng 1 nghim
Bi 2.6: Cho hm s
3 2
( ) 2 9 12 4y f x x x x= = +
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho
b) Tỡm m phng trỡnh
3 2
2 9 12x x x m + =
cú ỳng mt nghim dng
Bi 2.7: Cho hm s
3
2 6 1y x x= +

cú th (C)
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho
b) Da vo (C), bin lun theo m s giao im ca (C) v ng thng d:
2
m
y =
Bi 2.8: Cho hm s
3 2
2 3 1y x x= +
cú th (C)
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C)
b) Tỡm m phng trỡnh
3 2
2 3 0x x m =
cú ba nghim phõn bit
Bi 2.9: Cho (C):
4 2
8 10y x x= +

a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C)
b) Da vo (C), bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh:
4 2
8 10x x m + =
Bi 2.10: Cho (C):
4
2
2( 1)
2
x
y x=

a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho
b) Da vo (C), bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh
4 2
4 0x x m =
Bi 2.11: Cho hm s
4 2
1 9
2
4 4
y x x= + +
cú th (C)
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C)
b) Da vo (C), tỡm m phng trỡnh
4 2
8 0x x m + =
cú bn nghim thc phõn bit
Bi 2.12: Cho hm s
4 2
2y x x= +
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho
b) Tỡm m phng trỡnh
4 2
0x x m+ + =
cú hai nghim thc phõn bit
Bi 2.13: Cho hm s
4 2
2 4y x x=
cú th (C)
a) Kho sỏt v v th (C) ca hm s ó cho
b) Tỡm m phng trỡnh

4 2
2 0x x m + =
cú 3 nghim phõn bit
Bi 2.14: Cho hm s
4
2
2 1
4
x
y x= +
cú th (C)
a) Kho sỏt v v th (C ) ca hm s ó cho
b) Da vo (C), tỡm m phng trỡnh:
4 2
8 0x x m + =
vụ nghim
Bi 2.15: Cho hm s
4 2
4 1y x x= +

a) Kho sỏt v v th (C) ca hm s ó cho
b) Tỡm m phng trỡnh
4 2
4 0x x m + =
cú 4 nghim thc phõn bit
Trang 18
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Bài 2.16: Cho hàm số
3 2

2 1
x
y
x
+
=
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
1
2 1
x
m
x
+
= +
−
c) Tìm các điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ
 Vấn đề 3 : Giao điểm của hai đồ thị
Cho
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
: ; :C y f x C y g x= =
• Phương trình hồnh độ giao điểm của
1
( )C
và
2
( )C

là:
( ) ( ) (1)f x g x=
•
1
( )C
và
2
( )C
cắt nhau tại n điểm phân biệt ⇔ phương trình hồnh độ giao điểm (phương trình
(1)) có n nghiệm phân biệt
Cần nhớ:
1. Phương trình bậc 2:
2
0ax bx c+ + =
có hai nghiệm phân biệt
0
0
a ≠

⇔

∆ >


2
( 4 )b ac∆ = −
2. Phương trình bậc 3: Dạng:
2
( )( ) 0x ax bx c
α

− + + =
(1)
( )
2
0 2
x
ax bx c
α
=

⇔

+ + =


Đặt
2
( )g x ax bx c= + +

(1) có 3 nghiệm phân biệt
(2)⇔
có hai nghiệm phân biệt
x
α
≠
0
( ) 0g
α
∆ >


⇔

≠

3. Phương trình trùng phương:
4 2
0ax bx c+ + =
(1) Đặt
2
t x=
, điều kiện :
0t ≥
(1)
2
0at bt c⇔ + + =
(2)
(1) có 4 nghiệm phân biệt
⇔
(2) có hai nghiệm dương phân biệt
0
0
0
S
P
∆ >


⇔ >



>

• Tổng 2 nghiệm:
1 2
b
S x x
a
= + = −
, tích 2 nghiệm:
1 2
.
c
P x x
a
= =
,
1 2
2 '
x x
a a
∆ ∆
− = =
Bài 3.1: (CĐ – 2008) Cho hàm số
1
x
y
x
=
−
. Tìm m để đường thẳng d:

y x m
= − +
cắt đồ thị (C) tại hai
điểm phân biệt. ĐS: b)
( ) ( )
;0 4;m∈ −∞ ∪ + ∞
Bài 3.2: Cho hàm số
3 2
1
x
y
x
−
=
−
. Tìm m sao cho trên (C) có hai điểm
( ; ) , ( ; )
A A B B
A x y B x y
khác
nhau và:
2
2
A A
B B
mx y
mx y
− = −



− = −

ĐS:
{ }
( ; 6 2 5) ( 6 2 5 ; ) \ 0m∈ −∞ − − ∪ − + +∞
Bài 3.3: Cho (C):
2
1
x
y
x
+
=
+
. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm
( 1;3)M −
và có hệ số góc m. Tìm m để
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. ĐS:
1; 0m m> − ≠
Bài 3.4: Tìm m để đường thẳng
3y mx= +
cắt (C):
2 1
1
x
y
x
+
=
−

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam
giác OAB vng tại O. ĐS: m =
3 5±
Trang 19
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Bài 3.5: (C):
2 1
1
x
y
x
−
=
+
. Gọi (
∆
) là đường thẳng đi qua điểm I(2; 0) và có hệ số góc m. Tìm m để (
∆
)
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB. ĐS:
2
3
m =
Bài 3.6: (ĐH khối B – 2009) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng
y x m= − +
cắt đồ thị hàm
số
2
1x

y
x
−
=
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
4AB =
. ĐS:
2 6m = ±
Bài 3.7: Tìm m để d:
y m=
cắt (C):
2
3 3
2( 1)
x x
y
x
− + −
=
−
tại 2 điểm A, B sao cho
1AB =
. ĐS:
1 5
2
m
±
=
Bài 3.8: Tìm m để (C
m

):
2
1
mx x m
y
x
+ +
=
−
cắt trục hồnh tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hồnh
độ dương. ĐS:
1
0
2
m− < <
Bài 3.9: (D – 2009) Tìm m để đường thẳng
2y x m= − +
cắt đồ thị hàm số
2
1x x
y
x
+ −
=
tại 2 điểm A,
B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung. ĐS: m = 1
Bài 3.10: Chứng minh d:
3y x m= +
ln cắt (C):
4

y x
x
= +
tại 2 điểm phân biệt A, B. Gọi I là trung
điểm của đoạn thẳng AB, tìm m để I nằm trên đường thẳng (d’): y = 2x +3 ĐS: m = 4
Bài 3.11: Chứng minh rằng d:
1
2
y x m= −
ln cắt (C):
3
2
x
y
x
+
=
+
tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m
để AB ngắn nhất. ĐS:
min
10 2AB m= ⇔ = −
Bài 3.12: (B – 2010) Cho hàm số: y =
2 1
1
x
x
+
+
(C). Tìm m để d: y =

−
2x + m cắt (C) tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
3
(O là gốc tọa độ). ĐS:
2m = ±
Bài 3.13: ( ĐH khối D – 2006 ) Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
. Gọi d là đường thẳng đi qua A(3; 20) có hệ
số góc m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. ĐS:
15
4
m >
và
24m ≠

Bài 3.14: (CĐSP TPHCM – 2006) Cho hàm số
3 2
6 9 1y x x x= − + −
. Gọi d là đường thẳng đi qua A(2;
1) và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. ĐS:
3m
> −

Bài 3.15: (D – 2008) Cho hàm số
3 2
3 4y x x= − +
(C). CMR mọi đường thẳng đi qua I(1; 2) với hệ số
góc k (k >

3−
) đều cắt (C) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Bài 3.16: (A – 2010) Cho hàm số y = x
3
– 2x
2
+ (1 – m)x + m, m là số thực
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1, đồ thị là (C).
b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ x
1
, x
2
, x
3
thỏa
mãn điều kiện:
2 2 2
1 2 3
4x x x+ + <
ĐS:
1
1 0
4
m m− < < ∧ ≠
Bài 3.17: Cho (C
m
):
3 2
1 2
3 3

y x mx x m= − − + +
. Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
có hoành độ x
1
, x
2
, x
3
và thoả điều kiện:
2 2 2
1 2 3
15x x x+ + >
ĐS:
1m >
Bài 3.18: Cho hàm số
3 2
2 3( 1) 2y x mx m x= + + − +
có đồ thị là (C
m
), điểm M(3; 1), d:
2 0x y+ − =
.
Tìm các giá trị m để d cắt (C
m
) tại 3 điểm
(0;2)A
, B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng
2 6

.
ĐS:
2 5m m
= − ∨ =
Bài 3.19: (D – 2009) Cho hàm số
4 2
(3 2) 3y x m x m= − + +
có đồ thị là (C
m
). Tìm m để đường thẳng
1y = −
cắt (C
m
) tại 4 điểm phân biệt đều có hồnh độ nhỏ hơn 2. ĐS:
1
1, 0
3
m m− < < ≠

Trang 20
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Bài 3.20: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
3 ( 2) 2y x x m x m= + + + +
cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có
hồnh độ âm. ĐS:
1
0
4

m< <
Bài 3.21: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 2
( 1) (2 3 2) 2 (2 1)y x m x m m x m m= − + − − + + −
cắt trục hồnh tại 3
điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hồnh độ âm. ĐS:
1 1
0
2 3
m m< < ∧ ≠
Bài 3.22: Cho hàm số
4 2 2
2( 2) 5 5y x m x m m= + − + − +
(1). Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh
tại 4 điểm phân biệt. ĐS:
5 5
1
2
m
−
< <
Bài 3.23: Cho hàm số
4 2
( 1) 3y x m x= + − −
(1). Tìm m để d:
4y = −
cắt đồ thị hàm số (1) tại 4 điểm
phân biệt. ĐS: m < – 1
Bài 3.24: Cho (C
m

):
4 2
2( 2) 2 3y x m x m= − + + − −
. Tìm m để (C
m
) cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt
cách đều nhau.
Bài 3.25: (D – 2011) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Tìm
k
để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng
cách từ A và B đến trục hồnh bằng nhau ĐS:
3k
= −
Bài 3.26: (A – 2011) Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +

=
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Chứng minh rằng mọi đường thẳng
y x m
= +
ln cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi
1 2
,k k
lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để
1 2
k k+
đạt giá trị lớn nhất.
ĐS:
1 2 max
( ) 2k k+ = −
khi
1m = −
Ba ̀i 3.27 : Cho hàm số y =
−
4x
3
– 2x
2

−
9x (C). Xác định k để (d): y = kx cắt (C) tại ba điểm phân biệt
O; M; N và M là trung điểm của ON. ĐS: k = – 1
BÀI TẬP ÔN TỔNG HP
Bài 1: Cho hàm sớ

2 3
2
x
y
x
+
=
−

a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số trên
b) Viết phương trình tiếp tún của (C) tại giao điểm của (C) với các trục tọa đợ
c) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp
tún của (C) tại hai điểm đó song song với nhau ĐS:
2m = −
Bài 2: Cho hàm số
3 2 2
3 3( 1)y x mx m x m= − + − +
( 1)
a) Tìm m để hàm số ( 1) đạt cực tiểu tại x = 2
b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) khi m = 1
c) Dựa vào (C), biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
3 2
3 0x x a− + =
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9
Bài 3: Cho hàm số
1
ax b
y
x
+

=
−
a) Tìm a, b để đồ thò hàm số cắt trục tung tại A(0; – 1) và tiếp tuyến của đồ thò tại A có hệ số
góc bằng – 3. ĐS: a = 2; b = 1
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) với a, b vừa tìm được
Trang 21
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
c) Cho đường thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm B(
−
2, 2). Tìm m để (d) cắt (C) tại hai
điểm phân biệt M
1
, M
2
. ĐS:
12
0
13
m m< − ∨ >
d) Các đường thẳng đi qua M
1
và M
2
song song với các trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật
Tính các cạnh của hình chữ nhật đó theo m. ĐS:
3 1S m= +
e) Với giá trò nào của m thì hcn này trở thành hình vuông ĐS:
1m = ±
Bài 4: Cho (C):

4 2
2 1y x x= − +

a) Khảo sát và vẽ (C)
b) Dựa vào (C), tìm m để phương trình:
4 2
2 0x x m− + =
có 4 nghiệm phân biệt
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ
2x = −
Bài 5: Cho (C):
1
x
y
x
=
−

a) Khảo sát và vẽ (C)
b) Tìm m để d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 1
Bài 6: Cho (C):
3
3 1y x x= − −

a) Khảo sát và vẽ (C)
b) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3
3 0x x m− + =
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vng góc với đường thẳng

3
x
y =
Bài 7: Cho (C):
3 2
3 3 1y x x x= − + − −

a) Khảo sát và vẽ (C)
b) Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. Viết phương trình d
Bài 8: Cho (C):
2 1
1
x
y
x
+
=
−

a) Khảo sát và vẽ (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vng góc với đường thẳng: 3x – y + 2 = 0
c) Tìm k để d: y = kx + 3 cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho
∆
OMN vng tại O
d) Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là các số ngun
Bài 9: Cho hàm số
3 2
1y x ax bx= + + +
. Tìm a, b để đồ thị hàm số đi qua hai điểm
(1 ; 2)A

và
( 2 ; 1)B − −
. Khảo sát và vẽ (C) với a, b vừa tìm được. ĐS: a = 1; b = – 1
Bài 10: Cho (C):
2
2
y
x
=
−

a) Khảo sát và vẽ (C)
b) Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị của hàm số
2
1y x= +
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
tại mỗi giao điểm đó.
Bài 11: Cho (C):
3 2
1
2 3
3
y x x x= − + −

a) Khảo sát và vẽ đờ thị (C)
b) Dựa vào đờ thị (C), biện ḷn theo m sớ nghiệm của pt:
3 2
6 9 0x x x m− + + =
c) Viết pt tiếp tún của (C) tại điểm tḥc (C) có hoành đợ
1

2
x =
d) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm
16
1 ;
3
A
 
−
 ÷
 
và có hệ sớ góc k . Tìm tất cả các giá trị của k
để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. ĐS:
5
; 8
4
k < ≠ −
Trang 22
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Bài 12: Cho (C):
2 4
1
x
y
x
+
=
+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Chứng minh rằng đường thẳng (d): y = 2x + m ln cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B với
mọi m. Tìm m để đoạn AB ngắn nhất. ĐS: m = 2
c) Viết pt tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hồnh
Bài 1 3 : Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
−
=
+
có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ
4y = −
c) Gọi (
∆
) là đường thẳng đi qua điểm I(2; 0) và có hệ số góc m. Tìm m để (
∆
) cắt (C) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB. ĐS:
2
3
m =
d) Tìm các điểm M
∈
(C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) bằng 4.
ĐS:

0
0; 2; 4x = ± −
Bài 14: Cho hàm sớ
3 2
( ) 6 9 1y f x x x x= = − + +

a) Khảo sát và vẽ (C)
b) Dựa vào (C), biện ḷn theo m sớ nghiệm phương trình:
3 2
6 9 0x x x m− + + =
c) Viết phương trình tiếp tún của (C) tại điểm tḥc (C) có hồnh đợ là nghiệm của phương trình
( )f x
′′
=
9
−
d) Đường thẳng (d) đi qua M(4; 5) và có hệ sớ góc k. Tìm k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
ĐS:
0; 9k k> ≠
Bài 15: Cho hàm số
( )
1
2
m
mx
y C
x m
+
=
+

a) Định m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định của nó. ĐS:
2 2
2 2
m m< − ∨ >
b) Khảo sát hàm số khi m = 1, đồ thị gọi là (C)
c) Tìm các điểm M trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) là nhỏ nhất
ĐS: m = 1; – 3
Bài 16: Cho hàm số
4
2
3
2 2
x
y x= − − +

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Dựa vào (C), tìm m để phương trình
4 2
2 0x x m+ + =
có hai nghiệm phân biệt
Bài 17: Cho (C):
3 2
3 4 2y x x x= − + − +

a) Khảo sát và vẽ (C)
b) Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. Viết phương trình d
Bài 18: Cho hàm số
3 2
1
x

y
x
−
=
−
có đồ thị gọi là (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Viết pt tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x + 4y – 3 = 0
c) Tìm m để d: y = mx + 2 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
d) Tìm các điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ. ĐS:c)
6 2 5
6 2 5
m
m

< − −

> − +


; d)
1 13
2
x
− ±
=
Bài 19: Cho (C): y = x
3
– 2x
2

+ x
a) Khảo sát và vẽ (C)
b) Dựa vào (C), tìm k để phương trình
3 2
2 1 0x x x k− + + − =
có 3 nghiệm phân biệt
Trang 23
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
c) Với giá trị nào của m thì đường thẳng
2
27 6y x m m= − +
đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối
hai điểm cực đại và cực tiểu của (C) ĐS:
8 2
;
27 27
m m= = −
Bài 20: Cho hàm số
3 2
3 2y x x mx m= + + + −
có đồ thị là (C
m
)
a) Với giá trị nào của m thì (C
m
) đi qua điểm
(1 ; 3)M

b) Khảo sát và vẽ (C) khi m = 3

c) Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A. Tìm
m để (C
m
) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt ĐS: m < 3
Bài 21: Cho hàm số
( )
1
2
m
mx
y C
x
−
=
+
a) Đònh m để hàm số giảm trong từng khoảng xác đònh của nó. ĐS:
1
2
m < −
b) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số trên ứng với m = 2
c) Viết phương trình tt của đồ thò (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng:
5 1 0x y− + =
d) Tìm các điểm trên (C) có tọa độ ngun
B ài 22 : Cho hàm số y = x
3
+ (m – 3)x
2
+ 2mx + 2
a) Đònh m để hàm số có CĐ và CT. ĐS:
6 3 3

6 3 3
m
m

< −

> +


b) Khảo sát hàm số trên khi m = 0. Gọi (C) là đồ thò.
c) Tiếp tuyến của (C) tại
( )A C∈
có hoành độ x = –1 cắt (C) tại giao điểm thứ nhì là B (B khác
A). Xác đònh toạ độ B. ĐS: B(5; 52)
Bài 23: Cho (H):
1
2
x
y
x
− +
=
−
.
a) Khảo sát và vẽ (C)
b) Tìm trên (H) 2 điểm A, B sao cho AB = 4 và đường thẳng AB vng góc với đường thẳng
y x=
ĐS:
2 1x = ± ±
Bài 24 : Cho hàm số

3 2
( )
m
y x mx m C= + −
a) Tìm m để hàm số tăng trong khoảng
( ; )−∞ + ∞
ĐS: m ≠ 0
b) Khảo sát và vẽ (C) khi m = 3
c) Viết pt tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
9 1 0x y+ − =
d) Tìm k để
3 2
3 0x x k+ − =
có 2 nghiệm phân biệt thuộc [–1; 2] ĐS: 0 < k < 2
Bài 25: Cho hàm số:
3
1 2
3 3
y x x= − + −
có đồ thò là (C)
a) Khảo sát và vẽ (C)
b) Dùng đồ thò (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
3
3 0x x m− + =
c) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm M
20
3;
3
 
−

 ÷
 
và có hệ số góc k . Tìm k để (d) cắt (C) tại
ba điểm phân biệt. ĐS: c) y = 0, y =
−
3x – 6;
5
4
k < −
và k
8≠ −
Bài 26: Cho hàm số
3 2
4 1
(2 1) ( 2)
3 3
y x m x m x= − + + + +
có đồ thị (C
m
), m là tham số .
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên khi
2m
= −
b) Gọi A là giao điểm của (C
m
) với trục tung. Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại A tạo với hai trục
tọa độ một tam giác có diện tích bằng
1

3
ĐS:
5 7
;
3 3
m m= − = −
Bài 27: Cho hàm số
3
1 2
3 3
y x x= − +
.
Trang 24
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số trên
b) (ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội 2001) Tìm trên đồ thò (C) các điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thò
(C) vuông góc với đường thẳng
1 2
3 3
y x= − +
ĐS:
( )
4
2;0 ; 2;
3
 
−
 ÷
 

Bài 28: (ĐH khối B – 2008) Cho hàm số y = 4x
3
– 6x
2
+ 1 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số (1)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(
−
1;
−
9)
ĐS:
15 21
24 15 ,
4 4
y x y x= + = −
Bài 29: (ĐH khối A – 2006) Cho hàm số:
3 2
2 9 12 4y x x x= − + −
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số đã cho
b) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
3 2
2 9 12x x x m− + =
ĐS: 4 < m < 5
Bài 30: (ĐH khối B – 2009) Cho hàm số
4 2
2 4y x x= −
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

b) Với giá trị nào của m, phương trình
2 2
2x x m− =
có đúng 6 nghiệm thực phân biệt
Bài 31: (ĐH khối D – 2010)Cho hàm sớ
4 2
6y x x= − − +
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đờ thị (C) của hàm sớ đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tún của (C), biết tiếp tún vng góc với đường thẳng
1
1
6
y x= −
ĐS: y = − 6x + 10
Bài 32: Cho hàm số
3 2
3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − +
. (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
b) Tìm m để hàm số tăng trên R
c) Xác định m để hàm số có CĐ, CT đồng thời giá trị cực tiểu bằng 3. ĐS:
3 1
;
2 3
m m= =
Bài 33: Cho hàm sớ
3
2
11
3

3 3
x
y x x= − + + −
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đờ thị (C) của hàm sớ đã cho
b) Tìm trên đờ thị (C) hai điểm M, N đới xứng nhau qua trục tung
ĐS:
16 16
3 ; , 3 ;
3 3
M N
   
−
 ÷  ÷
   
hoặc
16 16
3 ; , 3 ;
3 3
M N
   
−
 ÷  ÷
   
Bài 34: Cho (C):
1
1
x
y
x
+

=
−

a) Viết phương trình tiếp tún của (C) biết tiếp tún tạo với trục hoành mợt góc 45
0
b) Tìm các cặp điểm trên (C) đới xứng nhau qua điểm
3 1
;
2 2
I
 
 ÷
 
ĐS:
( ) ( )
0; 1 , N 3;2M −
Bài 35: Cho (C):
2
2
x
y
x
=
+
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp
tuyến đó bằng
2 2
ĐS: y = x; y = x + 8

Bài 36: Cho hàm số
2 3
2
x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của
(C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B mà
2 2AB =
.
Bài 37: Cho hàm số
( ) ( )
3 2
2 3 2 1 6 1 1 (1)y x m x m m x= − + + + +
đồ thị (C
m
). Với giá trị nào của m thì
đồ thị (C
m
) của hàm số có 2 điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x + 4.
Trang 25