Chuyên đề giao điểm của hàm số phân thức

Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC
ax b
y
cx d
+
=
+
Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên
Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Bài toán 1: Bài toán về biện luận số giao điểm.
Phương pháp giải:
1. Lập phương trình hoành độ giao điểm:
dcx
bax
nmx
+
+
=+
⇔



−≠
=++
cdx
CBxAx
/
(*)0
2

2. Biện luận số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
Xảy ra các khả năng:
* d cắt (C) tại hai điểm phân biệt
⇔
(*) có hai nghiệm phân biệt khác -d/c .
* d cắt (C) tại một điểm
⇔
thỏa mãn một trong hai trường hợp:
- phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng -d/c
- phương trình (*) có nghiệm kép khác -d/c .
* d không cắt (C)
⇔
thỏa mãn một trong hai trường hợp:
- phương trình (*) vô nghiệm.
- phương trình (*) có nghiệm kép bằng -d/c .
Bài tập giải mẫu:
Lời giải: TXĐ: R\{- 2}.
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
23
+
+
=+
x
x
mx
⇔




−≠
=−+−+
2
022)1(
2
x
mxmx
.
(C) cắt d tại hai điểm phân biệt
⇔
022)1(
2
=−+−+
mxmx
có hai nghiệm phân biệt khác -2.
⇔



≠−+−−
>−−−=∆
022)1(24
0)1(8)1(
2
mm
mm
⇔
0910
2
>+−

mm

⇔
m
∈
(-
∞
; 1)
∪
( 9; +
∞
).
Vậy m
∈
(-
∞
; 1)
∪
( 9; +
∞
).
Chú ý: giả sử d cắt (C) tại hai điểm A(
),
11
yx
, B(
),
22
yx

* A, B cùng nhánh
⇔

cdxx /
21
−<<
hoặc
21
/ xxcd
<<−


⇔
0))((
21
>−−
c
d
x
c
d
x

⇔
0)(
2
2121
2
>++− dxxcdxxc
Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên

Bài 1: Xác định m để đồ thị hàm số
2
23
+
+
=
x
x
y
(C) cắt đường thẳng d: y = x + m tại hai
điểm phân biệt.
Bài 2: Chứng minh rằng đường thẳng d:
02
=+−
myx
luôn cắt đồ thị hàm số
1
1
−
+
=
x
x
y
(C)
tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị.
Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
* A, B khác nhánh
⇔
21

/ xcdx
<−<


⇔
0))((
21
<−−
c
d
x
c
d
x

⇔
0)(
2
2121
2
<++−
dxxcdxxc
Lời giải: TXĐ: R\{1}.
Phương trình hoành độ giao điểm:

1
1
2
−
+

=+
x
x
mx
⇔



≠
=−−−+
1
01)3(2
2
x
mxmx
(1)

016)1(172
22
>++=++=∆
mmm
với mọi m

⇔
(C) luôn cắt d tại hai điểm phân biệt A, B.
Khi đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
và x

1
.x
2
= -
2
1
+
m
, x
1
+ x
2
= -
2
3−m
Xét = -
2
1
+
m
+
2
3−m
+ 1 = - 1 < 0
⇔
x
1
< 1 < x
2
Vậy A và B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị.

Chú ý: Dấu về nghiệm của phương trình:
0
2
=++
cbxax
, a
≠
0
* Phương trình có 2 nghiệm dương
⇔






>
>
≥∆
0
0
0
P
S

* Phương trình có 2 nghiệm âm
⇔







>
<
≥∆
0
0
0
P
S
* Phương trình có 2 nghiệm trái dấu
⇔
P < 0.
Lời giải: TXĐ: R\{0}.
Phương trình hoành độ giao điểm:

x
x
xm
1
)2(
−
=−
⇔



≠
=++−

0
01)12(
2
x
xmmx
(1)
do m khác 0,
014
2
>+=∆
m
với mọi m
⇔
(C) luôn cắt d tại hai điểm phân biệt.
Khi đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
và x
1
+ x
2
= (2m + 1)/m, x
1
. x
2
= 1/m
Nếu m > 0: x
1
+ x

2
> 0 và x
1
.x
2
> 0. Suy ra x
1
, x
2
dương
Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên
Bài 3: Chứng minh đồ thị hàm số y =
x
x 1−
luôn cắt đường thẳng y = m(x-2), (m khác 0) tại
2 điểm phân biệt, trong đó có ít nhất 1 điểm có hoành độ dương.
Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Nếu m < 0: x
1
.x
2
< 0
⇒
x
1
, x
2
trái dấu nên có ít nhất một số dương.
Lời giải: TXĐ: R\{-2}.
Hai điểm A(

),
11
yx
, B(
),
22
yx
thỏa mãn:



=+−
=+−
0
0
22
11
myx
myx
thì A, B thuộc đường thẳng
d: x - y + m = 0
⇔
y = x + m. Do A, B thuộc (C) nên A, B nằm trên giao điểm của (C) và d.
Khi đó phương trình :
2
2
+
−
=+
x

x
mx
có hai nghiệm phân biệt

⇔
2
( 1) 2 2 0x m x m+ + + + =
có hai nghiệm phân biệt khác -2.

⇔
2
6 7 0
4 2 2 2 2 0
m m
m m

∆ = − − >

− − + + ≠


⇔
1m
< −
hoặc
7m
>
A, B cùng nhánh khi (x
1
+ 2)( x

2
+ 2) >0
⇔
x
1
.x
2
+ 2( x
1
+ x
2
) + 4 > 0

⇔
2m + 2 + 2(-m - 2) + 4 > 0: luôn đúng
Vậy
1m < −
hoặc
7m >
.
Bài toán 2: Bài toán về khoảng cách giữa hai giao điểm.
Phương pháp giải:
1. Lập phương trình hoành độ giao điểm và tìm điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên
Bài 4: Xác định m để trên đồ thị hàm số
2
2
+
−
=

x
x
y
(C) có hai điểm phân biệt A(
),
11
yx
, B(
),
22
yx
thuộc cùng một nhánh của (C) sao cho:



=+−
=+−
0
0
22
11
myx
myx
.
Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
2. Gọi giao điểm là A(x
1
; mx
1
+ n), B(x

2
; mx
2
+ n), với x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình (*).
Khi đó AB =
2
12
22
12
)()( xxmxx
−+−
=
]4))[(1(
12
2
12
2
xxxxm
−++
3. Áp dụng định lý Viet: tính x
1
+ x
2
và x
1
.x

2
theo tham số

⇒
khoảng cách AB biểu thị theo tham số.
4. Tìm điều kiện của tham số để bài toán được thỏa mãn.
* Định lý Viet: Nếu
21
, xx
là nghiệm của phương trình
, 0
2
=++
cbxax
a
≠
0 thì:

a
b
xx −=+
21
,
a
c
xx =
21
.
*
21

2
21
2
2
2
1
2)( xxxxxx −+=+
,
21
2
21
2
21
4)()( xxxxxx −+=−

Bài tập giải mẫu:
Lời giải: TXĐ: R\{1}.
Phương trình hoành độ giao điểm:

1
2
−
−
=+−
x
x
mx

⇔




≠
=−+−
1
02
2
x
mmxx
(1)
(C) cắt d tại hai điểm phân biệt
⇔
phương trình:
02
2
=−+−
mmxx
có hai nghiệm phân biệt
khác 1
⇔



≠−+−
>−−=∆
021
0)2(4
2
mm
mm

luôn đúng.
Gọi giao điểm là A(x
1
; -x
1
+ m), B(x
2
; -x
2
+ m), với x
1
, x
2
là nghiệm của (1)
Khi đó AB =
2
12
2
12
)()( xxxx
+−+−
=
]4)[(2
12
2
12
xxxx
−+
do x
1

+ x
2
= m, x
1
.x
2
= m - 2 nên AB =
1682
2
+− mm

1. AB = 4
⇔

1682
2
+−
mm
= 4
⇔
m = 0, m = 4.
2. AB =
228)2(2
2
≥+−m
. Suy ra AB nhỏ nhất khi m = 2.
Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên
Bài 1: Tìm m để đường thẳng d: y = - x + m cắt đồ thị hàm số
1
2

−
−
=
x
x
y
(C) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho:
1. độ dài đoạn AB bằng 4.
2. độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
Bài 2: Tìm m để đường thẳng
∆
: y = - x + 1 cắt đồ thị
4
2
+
+−
=
x
mx
y
(C) tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng
2
.
Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Lời giải: TXĐ: R\{- 4}.
S =
2
1

d(O,
∆
).AB. Ta có d(O,
∆
) =
2
1
. Do đó: S =
2

⇔
AB = 4.
Áp dụng cách giải bài 3.1 ta tìm được m = 9/4.

Lời giải: TXĐ: R\{- 2}.
Ta tìm được A(-1; -1), B(2; 2)
⇒
AB =
23
.
ABCD là hình bình hành
⇔
AB//CD và AB = CD.
* AB//CD khi đường thẳng y = x song song với y =
mx
+
⇔
m
≠
0.

* CD = AB
⇒
CD =
23
:
Phương trình hoành độ giao điểm:

2
23
+
+
=+
x
x
mx

⇔



−≠
=−+−+
2
022)1(
2
x
mxmx

(1) cắt d tại hai điểm phân biệt
⇔

02
2
=−+−
mmxx
có hai nghiệm phân biệt khác - 2
⇔



≠−++−
>+−=∆
022224
0910
2
mm
mm

⇔
m < 1 hoặc m > 9.
Gọi giao điểm C(x
1
; x
1
+ m), D(x
2
; x
2
+ m). Khi đó AB =
]4)[(2

12
2
12
xxxx
−+
do x
1
+ x
2
= m - 1, x
1
.x
2
= 2m - 2 nên CD =
18202
2
+−
mm

CD =
23
⇔

18202
2
+−
mm
=
23

⇔
m = 0(loại) , m = 10( thỏa mãn).
Vậy m = 10.
Bài toán 3: Bài toán về vị trí hai giao điểm đối với một điểm cho trước.
Phương pháp giải:
Cho hai điểm A(
),
11
yx
, B(
),
22
yx
Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên
Bài 3: Cho đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số
2
23
+
+
=
x
x
y
(1) tại hai điểm A và B. Xác
định m để đường thẳng d: y =
mx
+
cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm C, D sao cho ABCD
là hình bình hành.
Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức

* A, B đối xứng nhau qua điểm I(
),
00
yx
⇔



=+
=+
021
021
2
2
yyy
xxx
.
* A, B cách đều điểm M
⇔
MA = MB
Bài tập giải mẫu:
Lời giải: TXĐ: R\{- 2}.
A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O
⇒
d đi qua O
⇒
b = 2.
Khi đó d: y = ax. Phương trình hoành độ giao điểm:

2

23
+
+
=
x
x
ax

⇔



−≠
=−−+
2
02)32(
2
x
xaax
(1)
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
⇔





≠−+−
>+−=∆
≠

02644
08)32(
0
2
aa
aa
a
: luôn đúng
Gọi A(x
1
; ax
1
), B(x
2
; ax
2
)
A, B đối xứng nhau qua O
⇔
O là trung điểm của AB
⇔
1 2
1 2
0
0
x x
ax ax
+ =



+ =

⇔
x
1
+ x
2
= 0
⇔
a = 3/2.
Lời giải: TXĐ: R\{1}.
Phương trình hoành độ giao điểm:

1
12
2
−
+
=−+
x
x
mmx

⇔



≠
=−+−
1

032
2
x
mmxmx
(1)
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
⇔





≠−+−
>−−=∆
≠
032
0)3('
0
2
mmm
mmm
m

⇔
m > 0.
Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên
Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng d: y =
42
−+
bax

cắt đồ thị hàm số
2
23
+
+
=
x
x
y
(C) tại
hai điểm A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
Bài 2: Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2- m cắt đồ thị hàm số
1
12
−
+
=
x
x
y
tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho tam giác MAB cân tại M với M(2; 1).
Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Khi đó A(x
1
; mx
1
+ 2 - m), B(x
2
; mx

2
+ 2 - m), x
1
, x
2
là nghiệm của (1).
Tam giác ABM cân tại M
⇔
MA = MB và A, B, M không thẳng hàng.
* A, B, M không thẳng hàng: M
∉
d: 1
≠
2m + 2 - m
⇔
m
≠
-1.
* MA = MB
⇔
2
2
2
2
2
1
2
1
)1()2()1()2( mmxxmmxx
−++−=−++−

⇔
04)1(2))(1(
21
2
=−−+++ mxxm
thay
21
xx
+
= 2

⇔
04)1(22)1(
2
=−−++
mm
nghiệm m = 0(loại), m = 2: thỏa mãn
Vậy m = 2.
Bài toán 4: Bài toán về vị trí hai giao điểm đối với một đường thẳng.
Phương pháp giải:
1) A, B đối xứng nhau qua đường thẳng
∆
⇔
thỏa mãn cả hai điều kiện:
Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên
Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
* AB
∆⊥
.

* trung điểm I của đoạn AB thuộc
∆
.
2) A, B cách đều đường thẳng d
⇔
thỏa mãn một trong hai điều kiện:
* AB
∆
//
.
* trung điểm I của đoạn AB thuộc
∆
.
Bài tập giải mẫu:
Lời giải: TXĐ: R\{- 2}.
2
2
1
:
+=∆
xy
. A, B đối xứng nhau qua đường thẳng
∆
thì d
⊥
∆
. Suy ra a = -2.
Khi đó d: y = -2x + b. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):

2

2
+
=+−
x
x
bx

⇔



−≠
=−−−
2
02)5(2
2
x
bxbx
(1). Ta có:



≠−−+
>+−=∆
02)5(24
08)5(
2
bb
bb
với mọi b nên d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.

A(x
1
; -2x
1
+ b), B(x
2
; -2x
2
+ b), với x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình (1)
Gọi I là trung điểm của AB
⇒
I(
bxx
xx
+−−
+
21
21
;
2
) = (
2
5
;
4
5

+−
bb
).
A, B đối xứng nhau qua đường thẳng
∆

⇔
I thuộc
∆

⇔
b = -3.
Vậy a = -2, b = -3.
Lời giải: TXĐ: R\{1}.
Phương trình hoành độ giao điểm:
1
2
2
−
+
=+
x
mx
mx
⇔




≠

=−−−
1
02
2
x
mmxmx
.
Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên
Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng d: y =
bax
+
cắt đồ thị hàm số
2+
=
x
x
y
(C) tại hai
điểm A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua đường thẳng
042:
=+−∆
yx
.
Bài 2: Cho hàm số
1
2
−
+
=
x

mx
y
và đường thẳng d: y = mx + 2.
1. Tìm m để đồ thị hàm số và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, C sao cho khoảng cách từ
A, C đến trục hoành bằng nhau.
2. Tính diện tích hình chữ nhật nhận A, C là các đỉnh đối diện và các cạnh song song với các
trục tọa độ. Xác định m để diện tích hình chữ nhật bằng 20.
Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
d cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, C
⇔





≠−−−
>++=∆
≠
02
0)2(4
0
2
mmm
mmm
m

⇔





>
−<
0
5
8
m
m
Gọi A(x
1
; mx
1
+ 2), C(x
2
; mx
2
+ 2)
⇒
trung điểm AB: I(
2
4)(
;
2
2121
+++
xxmxx
)
1. A, C cách đều Ox khi:
TH1: d//Ox
⇔

m = 0: không thỏa mãn (*)
TH2: Trung điểm I của AB thuộc Ox:
04)(
21
=++
xxm
⇔
m = - 4: thỏa mãn (*)
2. B(x
2
; mx
1
+ 2), D(x
1
; mx
1
+ 2)
AB =
21
xx
−
, AD =
m

21
xx
−
S =
m

2
21
)( xx
−
=
m

m
m 85
+
.
S = 20 khi:
* m > 0: 5m + 8 = 20
⇔
m = 12/5
* m < 0: 5m + 8 = -20
⇔
m = -28/5
y
B A
O
C D
Bài toán 5: Bài toán liên qua đến góc
1. Góc AOB tù khi: OA
2
+ OB
2
< AB
2
hoặc

0.
<
→→
OBOA
.
Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên
Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
2. Góc AOB vuông khi: OA
2
+ OB
2
= AB
2
hoặc
0.
=
→→
OBOA
.
3. Góc AOB nhọn khi: OA
2
+ OB
2
> AB
2
hoặc
0.
>
→→
OBOA

.
Lời giải: TXĐ: R\{2}.
Tam giác OMN vuông tại O khi
0.
=
→→
ONOM
.
Phương trình hoành độ giao điểm:

2
12
3
−
+
=+
x
x
mx

⇔



≠
=−−−
2
07)12(
2
x

xmmx
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N
⇔





≠−−
>+−=∆
≠
0544
028)12(
0
2
mm
mm
m
(*)
Gọi x
1
, x
2
là nghiệm phương trình (*), ta có M(x
1
, mx
1
+ 3), N(x
2
, mx

2
+ 3).
0.
=
→→
ONOM
⇔
x
1
x
2
+ (mx
1
+ 3)( mx
2
+ 3) = 0.

⇔
(1 + m
2
) x
1
x
2
+ 3m(x
1
+ x
2
) + 9 = 0,
thay x

1
+ x
2
= (2m - 1)/m, x
1
x
2
= -7/m ta có m
2
- 6m + 7 = 0
⇔
m =
23
±
: tm (*)
Lời giải: TXĐ: R\{2}.
Góc AOB nhọn khi
0.
>
→→
OBOA
. Phương trình hoành độ giao điểm:

2
3
1
−
+
=++−
x

x
mx

⇔



≠
=+++−
2
052)2(
2
x
mxmx
.
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N
⇔
0164
2
>−−
mm
.(*)
Gọi x
1
, x
2
là nghiệm phương trình, A(x
1
, - x
1

+ m + 1), B(x
2
, - x
2
+ m + 1).
Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên
Bài 1: Xác định m sao cho đường thẳng y = mx + 3 cắt đồ thị hàm số
2
12
−
+
=
x
x
y
tại hai
điểm phân biệt M, N sao cho tam giác OMN vuông tại O.
Bài 2: Cho hàm số
2
3
−
+
=
x
x
y
có đồ thị (C). Tìm m sao cho đường thẳng d: y = - x + m +1
cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho góc AOB nhọn.
Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
0.

>
→→
OBOA
⇔
x
1
x
2
+ (- x
1
+ m + 1)( - x
2
+ m + 1) > 0.

⇔
2 x
1
x
2
- (1+ m)(x
1
+ x
2
) + (m + 1)
2
> 0.
thay x
1
+ x
2

= m +2, x
1
x
2
= 2m + 5 ta có m > - 3.
Kết hợp (*) có -3 < m <
32
−
hoặc m >
32
+
.
Lời giải: TXĐ: R\{1}.
Đường tròn đường kính AB đi qua O
⇔
góc AOB vuông
⇔
0.
=
→→
OBOA
.
Phương trình hoành độ giao điểm
⇔
02
2
=++−
mmxx
, x
≠

1. (1)
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
⇔
084
2
>−− mm
.(*)
Gọi x
1
, x
2
là nghiệm phương trình (1), A(x
1
, - x
1
+ m), B(x
2
, - x
2
+ m).
0.
=
→→
OBOA
⇔
x
1
x
2
+ (- x

1
+ m)( - x
2
+ m ) = 0.

⇔
2 x
1
x
2
- m(x
1
+ x
2
) + m
2
= 0.
thay x
1
+ x
2
= m, x
1
x
2
= m + 2 ta có m = - 2: thỏa mãn điều kiện
Vậy m = - 2.
Bài toán 6: Bài toán về tiếp tuyến của đồ thị tại hai giao điểm
Phương pháp giải:
Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên

Bài 3: Tìm m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số
1
2
−
+
=
x
x
y
tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho đường tròn đường kính AB đi qua gốc tọa độ O.
Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
* Lập phương trình hoành độ giao điểm và tìm điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
* Gọi giao điểm là A(x
1
; mx
1
+ n), B(x
2
; mx
2
+ n), với x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình (*)
* Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B: k
1
= y'(x
1

), k
2
= y'(x
2
)
* Tìm điều kiện của tham số để bài toán được thỏa mãn.
Chú ý:
- Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song với nhau thì y'(x
1
) = y'(x
2
).
- Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B vuông góc với nhau
⇔
thì y'(x
1
) . y'(x
2
) = - 1.
Bài tập giải mẫu:
Lời giải: TXĐ: R\{1}.
Phương trình hoành độ giao điểm:

1
1
2
−
+
=+
x

x
mx
⇔



≠
=−−−+
1
01)3(2
2
x
mxmx
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
⇔



≠−−−+
>++−=∆
0132
0)1(8)3(
2
mm
mm
: luôn đúng
Khi đó A(x
1
; 2x
1

+ m), B(x
2
; 2x
2
+ m).
Tiếp tuyến của đồ thị tại A có hệ số góc y'(x
1
) =
2
1
)1(
2
−
−
x
.
Tiếp tuyến của đồ thị tại B có hệ số góc y'(x
2
) =
2
2
)1(
2
−
−
x
.
Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song với nhau thì y'(x
1
) = y'(x

2
)
⇔
2
2
2
1
)1()1(
−=−
xx

⇔
2
21
=+
xx

⇔
2
2
3
=
−
−
m

⇔
m = - 1.
Thử lại: tiếp tuyến của đồ thị tại A: y = -2x - 1, tiếp tuyến tại B: y = - 2x + 7: thỏa mãn.
Vậy m = - 1.

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên
Bài 1: Xác định m để đường thẳng y =
mx
+
2
cắt đồ thị hàm số
1
1
−
+
=
x
x
y
tại hai điểm
A, B sao tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song với nhau.
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y =
mx
+
luôn cắt đồ thị hàm số
12
1
−
+−
=
x
x
y
tại 2 điểm A, B. Gọi
21

,kk
lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại A, B.
Tìm m để
21
kk +
đạt giá trị lớn nhất.
Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Lời giải: TXĐ: R\{1/2}
Phương trình hoành độ giao điểm
⇔
0122
2
=−−+
mmxx
, x
≠
1/2 (1)
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
⇔



≠−−+
>++=∆
012/1
022
2
mm
mm
: luôn đúng

Gọi x
1
, x
2
là nghiệm phương trình (1), có x
1
+ x
2
= - m, x
1
. x
2
= - (m + 1)/2
khi đó A(x
1
; 2x
1
+ m), B(x
2
; 2x
2
+ m).
Tiếp tuyến của đồ thị tại A có hệ số góc k
1
=
2
1
)12(
1
−

−
x
.
Tiếp tuyến của đồ thị tại B có hệ số góc k
2
=
2
2
)12(
1
−
−
x
.
k
1
+ k
2
=
2
1
)12(
1
−
−
x
+
2
2
)12(

1
−
−
x
=
2
2121
2121
2
21
]1)(24[
2)(48)(4
++−
++−−+
−
xxxx
xxxxxx
=
684
2
−−−
mm
=
22)1(4
2
−≤−+−
m
.
Vậy k
1

+ k
2
lớn nhất khi m = -1.
Bài toán 7: Một vài bài toán khác
Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên
Bài 1: Cho hàm số
1
2
+
−
=
mx
mx
y
(
≠
m
0) có đồ thị (C) và đường thẳng
∆
: y = 2x -2m.
∆
cắt
(C) tại 2 điểm phân biệt A, B.
∆
cắt Ox, Oy tại C, D.
Tìm m để diện tích tam giác OAB gấp 3 lần diện tích tam giác OCD.
Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Lời giải:
S
OAB

=
2
1
d(O,
∆
).AB với d(O,
∆
) =
5
2 m
.
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C)
⇔
0122
2
=−−
mxx
, x
≠
-1/m. (1)
ta có A(x
1
, 2x
1
- 2m), B(x
2
, 2x
2
- 2m)
AB =

]4)[(5
12
2
12
xxxx
−+
=
)2(5
2
+
m

⇒
S
OAB
=
2
2
+
mm
∆
cắt Ox tại C(m; 0),
∆
cắt Oy tại D(0; -2m)
⇒
S
OCD
= m
2
S

OAB
= 3S
OCD

⇔
2
2
+
mm
= 3 m
2

⇔
m = 1/2 và m = -1/2
Lời giải:
Phương trình
∆
: y = k(x - 1).
Phương trình hoành độ giao điểm của
∆
và (C)
⇔
2
(2 1) 2 0kx k x k
− + + − =
, x
≠
1. (1)
∆
cắt (C) tại hai điểm phân biệt

⇔
k > -1/12, k
0≠
. Khi đó M(x
1
, kx
1
- k), N(x
2
, kx
2
- k).
* M và N khác nhánh
⇔
k > 0: ta có
2AM AN
→ →
= −

⇔
1 2
1 2
1 2( 1)
2( )
x x
kx k kx k
− = − −


− = − −


Theo ĐL Viét:
1 2
2 1k
x x
k
+
+ =

⇒
x
1
= (k + 2)/k, x
2
= (k -1)/k,
Thay vào
1 2
2k
x x
k
−
=
có k = 2/3: thoả mãn. < M(4; 2). N(-1/2; -1)>
* M và N cùng nhánh
⇔
-1/12 <k < 0: ta có
2AM AN
→ →
=

⇔
1 2
1 2
1 2( 1)
2( )
x x
kx k kx k
− = −


− = −

Theo ĐL Viét:
1 2
2 1k
x x
k
+
+ =

⇒
x
1
= (3k + 2)/3k, x
2
= (3k +1)/3k,
Thay vào
1 2
2k
x x

k
−
=
có k = -2/27: thoả mãn. < M(-8; 2/3). N(-7/2; 1/3)>
Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên
Bài 2: Cho hàm số
1
2
−
+
=
x
x
y
có đồ thị (C) và đường thẳng
∆
đi qua A(1; 0) và có hệ số góc
k. Tìm k để
∆
cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N và AM = 2AN.
Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Vậy k = 2/3 và k = -2/27
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài toán 1: Biện luận
Bài 1: Xác định m để:
a) đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị hàm số
1
−
=
x

x
y
tại 2 điểm phân biệt.
b) đường thẳng d: y = 2x +m không cắt đồ thị hàm số
2
12
+
+
=
x
x
y

Bài 2: Tìm m để đường thẳng y = m x + 3 không cắt đồ thị hàm số
1
43
−
+
=
x
x
y
.
Bài toán 2: Khoảng cách
Bài 1: Tìm m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số
2
12
+
+
=

x
x
y
tại 2 điểm phân biệt A, B
sao cho độ dài đoạn AB là nhỏ nhất.
Bài 2: Chứng minh rằng đường thẳng y =
2
1
x - m cắt đồ thị hàm số
2
3
+
+
=
x
x
y
tại hai điểm
phân biệt A, B.Tìm m để độ dài đoạn AB là nhỏ nhất.
Bài 3: Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số
1
1
−
+
=
x
x
y
tại 2 điểm phân
biệt A, B.Tìm m để độ dài đoạn AB là nhỏ nhất.

Bài 4: Xác định m sao cho đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số
2
2
−
=
x
x
y
tại 2 điểm phân
biệt thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị và khoảng cách giữa hai điểm đó là nhỏ nhất.
Bài 5: Xác định m sao cho đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số
2
12
+
+
=
x
x
y
tại 2 điểm phân
biệt M, N sao cho MN nhỏ nhất.
Bài 6: Xác định m sao cho đường thẳng y = m(x -1) +1 cắt đồ thị hàm số
x
x
y
−
+
=
1
42

tại hai
điểm phân biệt M, N sao cho MN =
103
.
Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên
Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Bài 7: Cho hàm số
1
2
−
−
=
x
x
y
có đồ thị (C). Gọi d là đường thẳng đi qua giao điểm hai tiệm cận
và có hệ số góc k. Tìm k sao cho đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao
cho AB =
22
.
Bài 8: Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số
1
22
+
−
=
x
x
y
tại 2 điểm phân biệt A, B

sao cho AB =
22
. (ĐS: m = - 1, m = 7)
Bài 9: Xác định m sao cho đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số
1−
=
x
x
y
tại 2 điểm phân
biệt M, N sao cho MN =
10
.
Bài 10: Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số
1
22
+
−
=
x
x
y
tại 2 điểm phân biệt A, B
sao cho AB =
5
.
Bài 11: Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số
1
3
+

+
=
x
x
y
tại 2 điểm phân biệt A, B
sao cho AB = 5.
Bài 12: Tìm m để đường thẳng y = x -2m cắt đồ thị hàm số
1
12
−
+
=
x
x
y
tại 2 điểm phân biệt A, B
sao cho AB = 6.
Bài 13: Xác định m sao cho đường thẳng 2x + 2 y - 1 = 0 cắt đồ thị hàm số
2+
−
=
x
xm
y
tại 2
điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng
8
3
.

Bài 14: Tìm m sao cho đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số
1
12
+
+
=
x
x
y
tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng
3
. (B2010)
Bài 15: Xác định m sao cho đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số
2
32
−
+
=
x
x
y
tại 2 điểm phân
biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng
32
.
Bài toán 3: Vị trí đối với 1 điểm
Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên
Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức
Bài toán 4: Vị trí đối với 1 đường thẳng

Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng y =
bax +
cắt đồ thị hàm số
1
1
+
−
=
x
x
y
tại 2 điểm A, B sao
cho A, B đối xứng nhau qua đường thẳng
Bài 2: Xác định m để đường thẳng y =
mx
+
2
1
cắt đồ thị hàm số
1
2
−
=
x
x
y
tại 2 điểm A, B sao
cho A, B cách đều đường thẳng
042:
=−+∆

yx
Bài 3: Xác định m để đường thẳng y = mx + 2m + 1 cắt đồ thị hàm số
1
12
+
+
=
x
x
y
tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A, B đến trục hoành bằng nhau.(D2011)
Bài toán 5: Góc
Bài 1: Cho hàm số
2
3
+
+
=
x
x
y
có đồ thị (C). Tìm m sao cho đường thẳng d:
y = 2x + 3m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho góc
4. −=
→→
OBOA
.
Bài toán 6: Tiếp tuyến
Bài 1: Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số

1
22
+
−
=
x
x
y
tại 2 điểm phân biệt A,
B sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại A, B vuông góc với nhau.
Bài toán 7: Dạng khác
Bài 1: Cho hàm số
22
2
−
+
=
x
x
y
(C) .Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại 2 điểm phân
biệt A, B sao cho
2
37
22
=+ OBOA
.
Bài 2: Tìm m để đường thẳng d: 2mx - 2y + m +1 cắt
12
1

+
+
=
x
x
y
(C) tại hai điểm phân biệt A, B
sao cho biểu thức P =
22
OBOA +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: Tìm m sao cho đường thẳng d: y = -2x + m cắt đồ thị hàm số
1
42
+
+
=
x
x
y
tại 2 điểm phân
biệt A, B. Khi đó hãy tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB.
Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên