Tản mạn về một bất đẳng thức

Nguyenhuyen_AG
The Simplest Solution Is The Best Solution Nguyenhuyen_AG
TẢN MẠNG VỀ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC
Như chúng ta đã biết thì có rất nhiều cách khác nhau để sáng tạo ra một nên
một bài toán bất đẳng thức. Có thể kể ra ở đây một số phương pháp mà chúng
ta thường thấy như tổng quát hóa một bài toán, làm chặt một kết quả đã biết hay xây
dựng các bất đẳng thức mới từ một bất đẳng thức cơ sở, hoặc tiên tiến hơn đó là sử
dụng các công cụ lập trình để tạo ra các bài toán mới. Chính vì thế mà mỗi ngày
có rất nhiều các bất đẳng thức mới được tạo ra và được đăng lên khắp nơi trên
các diễn đàn toán học ở Việt Nam cũng như trên thế giới. Và như thế vô tình hay
cố ý mà có những bài toán được sáng tạo một cách tr ùng lặp mặc dù về hình thức
thì chúng hoàn toàn khác xa nhau, có thể kể ra đây hai ví dụ điển hình
Ví dụ 1.1. Nếu a, b, c là ba số thực không âm thỏa mãn ab + bc + ca > 0, tìm giá
trị nhỏ nhất của
P = (ab + bc + c a)

1
(a + b)
2
+
1
(b + c)
2
+
1
(c + a)
2

.
(Ji Chen, Iran TST 1996)
Ví dụ 1.2. Với mọi tam giác AB C, hãy tìm giá trih nhỏ nhất của

S =
cos
2
A
2
cos
2
B
2
cos
2
C
2
+
cos
2
B
2
cos
2
C
2
cos
2
A
2
+
cos
2
C

2
cos
2
A
2
cos
2
B
2
.
(Trần Nam Dũng, Việt Nam TST 2007)
Ví dụ 1.3. Cho tam giác ABC không tù. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
F =

sin A sin B
sin C

2
+

sin B sin C
sin A

2
+

sin C sin A
sin B

2

.
(Hojoo Lee)
Ví dụ 2.1. Với ba số không âm a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng

a
3
+ a +

b
3
+ b +

c
3
+ c ≥ 2
√
a + b + c.
(Iran TST 2008)
1
Nguyenhuyen_AG
The Simplest Solution Is The Best Solution Nguyenhuyen_AG
Ví dụ 2.2. Với ba số không âm a, b, c thỏa mãn (a + b)(b + c)(c + a) > 0. Chứng minh

a
b + c
+

b
c + a
+


c
a + b
≥ 2

1 +
ab c
(a + b)(b + c)(c + a)
.
(Vũ Đình Quý)
Các ví dụ 1.1, 1.2, 1.3 nhìn có vẻ khác nhau nhưng thực chất thì chỉ là một. Ví dụ
1.1 được phát biểu dưới dạng đại số, hai ví dụ còn lại được phát biêu dưới dạng
lượng giác và tương tự cho 2.1 và 2.2. Trong 2.2 nếu ta quy đồng phân thức lên và
chuẩn hóa cho ab + bc + ca = 1 t hì ta sẽ được ví dụ 2.1.
Trong bài viết nhỏ này mình cũng xin được giới thiệu với các bạn một bất đẳng
thức tương tự như vậy, có thể phát biểu được dưới 4 dạng khác nhau, các bạn
cùng xem nhé.
Bài toán 1. Hãy tìm số thực k lớn nhất để bất đẳng thức sau đây luôn đúng
1
a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
≥

k
|ab + bc + ca|
, (1)
trong đó a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện abc = 0 và a + b + c = 0.
(Nguyễn Văn Huyện)
LỜI GIẢI 1. Trước hết, ta sẽ tìm cách khử dấu giá trị tuyệt đối, đồng thời làm
giảm số lượng biến số của bài toán bằng cách sử dụng điều kiện a + b + c = 0.
Thay c = −(a + b) vào biểu thức ở mẫu của phân thức bên vế phải, ta được
ab + bc + ca = ab + c(a + b) = ab − (a + b)
2
= −(a
2
+ ab + b
2
) < 0.
Do đó ta có thể viết bất đẳng thức (1) lại như sau
1
a
2
+
1
b
2
+
1
(a + b)
2
≥
k
a

2
+ ab + b
2
.
Từ đây, bằng cách cho a = b, ta được k ≤
27
4
. Ta sẽ đi chứng minh đây chính là
giá trị lớn nhất cần tìm, tức chứng minh bất đẳng thức sau đây
1
a
2
+
1
b
2
+
1
(a + b)
2
≥
27
4(a
2
+ ab + b
2
)
,
tương đương với
[(a + b)

2
− ab]
2
a
2
b
2
(a + b)
2
≥
27
4[(a + b)
2
− ab]
,
hoặc
4[(a + b)
2
− ab]
3
≥ 27a
2
b
2
(a + b)
2
.
Đặt x = (a + b)
2
, y = ab ta sẽ có ngay x ≥ 4y. Bất đẳng thức trên trở thành

(x −y)
3
≥
27
4
· xy
2
,
bằng một số biến đổi, ta thấy nó sẽ tương đương với
(x −4y)
2
(2x + y)
2
≥ 0.
2
Nguyenhuyen_AG
The Simplest Solution Is The Best Solution Nguyenhuyen_AG
Là một bất đẳng thức hiển nhiên đúng, nên ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a, b, c) là hoán vị của (t, t, −2t).
LỜI GIẢI 2. Sau khi đã tìm được giá trị lớn nhất của k, ta đưa bài toán về chứng
minh bất đẳng thức
2|ab + bc + ca|

1
a
2
+
1
b
2

+
1
c
2

≥
27
2
. (1.1)
Chú ý rằng nếu a + b + c = 0 thì ta sẽ được a
2
+ b
2
+ c
2
= 2|ab + bc + ca|, nên bất
đẳng thức (1.1) sẽ tương đương với
(a
2
+ b
2
+ c
2
)

1
a
2
+
1

b
2
+
1
c
2

≥
27
2
. (1.2)
như vậy, để chứng minh (1.1) thì thay vào đó, ta sẽ đi chứng minh (1.2) và lời
giải của chúng ta như sau.
Bằng cách đặt
u =
a
b
+
b
c
+
c
a
, v =
a
c
+
b
a
+

c
b
,
ta sẽ được
u + v =
c + a
b
+
a + b
c
+
b + c
a
= −3,
và (1.2) sẽ trở thành
u
2
−2v + v
2
−2u + 3 ≥
27
2
,
u
2
+ v
2
−2(u + v) + 3 ≥
27
2

.
u
2
+ v
2
≥
9
2
.
Nhưng điều này là đúng, vì theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
u
2
+ v
2
≥
(u + v)
2
2
=
9
2
.
Chứng minh hoàn tất.
Đây là một bài toán khá dễ và không có gì để bàn về những chứng minh của bài
toán này, vì chúng ta chỉ cần sử dụng những kiến thức cơ bản. Tuy nhiên, chúng
ta hãy cùng để ý đến nhưng phát triển tiếp theo sau đây.
Vì a + b + c = 0 nên 2(ab + bc + ca) = −(a
2
+ b
2

+ c
2
) < 0 nên ngoài (1.2)
ra thì ta còn có thể viết (1.1) lại như sau
−2(ab + bc + ca)

1
a
2
+
1
b
2
+
1
c
2

≥
27
2
.
Khai triển vế trái ra, ta được
a
b
+
b
c
+
c

a
+
a
c
+
b
a
+
c
b
+
ab
c
2
+
bc
a
2
+
ca
b
2
≤ −
27
4
,
3
Nguyenhuyen_AG
The Simplest Solution Is The Best Solution Nguyenhuyen_AG
mà chúng ta đã biết

a
b
+
b
c
+
c
a
+
a
c
+
b
a
+
c
b
= −3
nên từ đó ta được
ab
c
2
+
bc
a
2
+
ca
b
2

≤ −
15
4
.
Vậy ta thu được bài toán mới sau đây
Bài toán 2. Với ba số thực a, b, c thỏa mãn các điều kiện abc = 0 và a + b + c = 0.
Chứng minh rằng
ab
c
2
+
bc
a
2
+
ca
b
2
≤ −
15
4
.
(Nguyễn Đình Thi)
LỜI GIẢI. Theo nguyên lí Dirichlet thì trong ba số a, b, c sẽ có hai số cùng dấu, ta
có thể giả sử ab ≥ 0, khi đó bằng cách đặt t =
ab
(a + b)
2
ta sẽ được 0 < t ≤
1

4
.
Và bằng một số biến đổi nhỏ, ta thấy
bc
a
2
+
ca
b
2
=
c(a
3
+ b
3
)
a
2
b
2
= −
(a + b)
2
(a
2
− ab + b
2
)
a
2

b
2
= −
1
t

1
t
−3

,
nên bất đẳng thức được viết lại như sau
t −
1
t

1
t
−3

≤ −
15
4
.
Hay là
t
2
+
15
4

·t −
1
t
+ 3 ≤ 0.
Bất đẳng thức này đúng vì 0 < t ≤
1
4
, nên ta có
t
2
+
15
4
·t −
1
t
+ 3 ≤

1
4

2
+
15
4
·
1
4
−4 = 3 = 0.
Chứng minh hoàn tất.

Quay trở lại bài toán của chúng ta, vì a + b + c = 0 nên ta thấy sẽ tồn tại ba số
thực x, y, z thỏa mãn điều kiện a = x − y, b = y −z, c = z − x khi đó ta có thể
viết (1.2) lại như sau

(x −y)
2
+ (y −z)
2
+ (z −x)
2


1
(x −y)
2
+
1
(y − z)
2
+
1
(z − x)
2

≥
27
2
,
hoặc


x
2
+ y
2
+ z
2
− x y −yz − zx


1
(x −y)
2
+
1
(y − z)
2
+
1
(z − x)
2

≥
27
4
.
Và dẫn đến một bài toán mới
Bài toán 3. Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau, chứng minh rằng
(a
2
+ b

2
+ c
2
− ab −bc −ca)

1
(a −b)
2
+
1
(b − c)
2
+
1
(c − a)
2

≥
27
4
. (1.3)
4
Nguyenhuyen_AG
The Simplest Solution Is The Best Solution Nguyenhuyen_AG
LỜI GIẢI. Không mất tính tông quát của bài toán, ta có thể giả sử a > b > c. Khi
đó sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được
a
2
+ b
2

+ c
2
− ab −bc −ca =
1
2
[(a − b)
2
+ (b −c)
2
+ (c −a)
2
]
≥
1
2

(a −b + b −c)
2
2
+ (c −a)
2

=
3
4
·(c −a)
2
.
Và theo bất đẳng thức AM-GM, thì
1

(a −b)
2
+
1
(b − c)
2
≥
2
(a −b)(b −c)
≥
8
(a −b + b −c)
2
=
8
(c − a)
2
.
Nhân hai bất đẳng thức này lại với nhau, ta được
(a
2
+ b
2
+ c
2
− ab −bc −ca)

1
(a −b)
2

+
1
(b − c)
2
+
1
(c − a)
2

≥
3
4
·(c −a)
2
·
9
(c − a)
2
=
27
4
.
Chứng minh hoàn tất.
Nhận Xét. Ngoài chứng minh ở trên thì ta còn có thể giải bài toán này bằng
phương pháp đặt ẩn phụ.
Tiếp đến, ta sử dụng một kết quả quen thuộc sau đây
"Nếu a, b, c là ba số bất kỳ thỏa mãn a + b + c = 0, thì a
3
+ b
3

+ c
3
= 3abc."
Sử dụng kết quả này ta có thể biến đổi
ab
c
2
+
bc
a
2
+
ca
b
2
≤ −
15
4
,
ab c

1
c
3
+
1
a
3
+
1

b
3

≤ −
15
4
,
a
3
+ b
3
+ c
3
3
·

1
c
3
+
1
a
3
+
1
b
3

≤ −
15

4
.
Và tiếp tục thu được một bất đẳng thức mới là
Bài toán 4. Với a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện abc = 0 và a + b + c = 0.
Chứng min rằng
(a
3
+ b
3
+ c
3
)

1
a
3
+
1
b
3
+
1
c
3

≤ −
45
4
. (1.4)
(Nguyễn Văn Huyện)

LỜI GIẢI. Sử dụng giả thiết a + b + c = 0 và hằng đẳng thức quen thuộc
x
3
+ y
3
+ z
3
−3xyz = (x + y + z)(x
2
+ y
2
+ z
2
− x y −yz − zx),
5
Nguyenhuyen_AG
The Simplest Solution Is The Best Solution Nguyenhuyen_AG
ta có
a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc,
và
a
3
b
3

+ b
3
c
3
+ c
3
a
3
= 3a
2
b
2
c
2
+ (ab + bc + c a)
3
= 3a
2
b
2
c
2
−
(a
2
+ b
2
+ c
2
)

3
8
.
Ta đưa bài toán về chứng minh
9 −
3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
3
8a
2
b
2
c
2
≤ −
45
4
,
hay là
54a
2
b
2
c
2

≤ (a
2
+ b
2
+ c
2
)
3
.
Chú ý rằng ab · bc ·ca = a
2
b
2
c
2
≥ 0 nên trong ba số ab , bc , ca sẽ có ít nhất một số
không âm, ta có thể giả đó là bc và được b c ≥ 0.
Bây giờ, thay a = −(b + c) và bất đẳng thức, ta được
4(b
2
+ bc + c
2
)
3
≥ 27b
2
c
2
(b + c)
2

.
Nhưng đây là một bất đẳng thức đúng vì ta có
b
2
+ bc + c
2
≥
3(b + c)
2
4
≥ 3bc ≥ 0.
Chứng minh hoàn tất.
Bất đẳng thức trên quả là một kết quả thú vị phải không các bạn, từ một bài toán
ban đầu bằng cách thay đổi hình thức và sử dụng một số phép biến đổi nhỏ ta
thu được những bài toán khá thú vị hơn và quan trọng là mỗi bài toán đều tồn tại
các lời giải độc lập nhau.
6