Sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng và khai thác một bất đẳng thức

Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác một bất đẳng thức- Nguyễn Xuân Phan
A- Đặt vấn đề
Trong giảng dạy môn toán, ngoài việc giúp học sinh năm chắc kiến
thức cơ bản, thì việc phát huy tính tích cực của học sinh để khai thác thêm
các bài toán mới từ những bài toán điển hình, đồng thời biết ứng dụng các
bài toán đơn giản vào việc giải các bài toán phức tạp là điều rất cần thiết
cho công tác bồi dỡng học sinh giỏi.
Chúng ta đều biết một bài toán dù có khó, phức tạp đến đâu lời giải của nó
cũng có thể đa đợc về một chuỗi hữu hạn các bớc suy luận đơn giản, việc
giải bài toán phức tạp đều có thể đa về việc áp dụng, tiền đề là các bài
toán đơn giản. Nên việc thờng xuyên ứng dụng, khai thác các bài toán đơn
giản để giải các bài toán khó là một cách nâng cao dần khả năng suy luận,
t duy sâu cho học sinh. Qua một số năm giảng dạy, tôi đã học hỏi đợc ở
các đồng nghiệp và với kinh nghiệm của bản thân tôi luôn giúp học sinh
khai thác, ứng dụng nhiều bài toán, nhất là các bài toán về chứng minh bất
đẳng thức, trên cơ sở đó tôi viết sáng kiến kinh nghiệm. ứng dụng, khai
thác một bất đẳng thức . Dù đã có nhiều cố gắng, song sáng kiến kinh
nghiệm này cha phải là hoàn chỉnh, còn có thiếu sót. Tôi rất mong đợc Hội
đồng khoa học và các đồng nghiệp bổ sung thêm ý kiến đóng góp cho tôi,
để trong quá trình giảng dạy sau này, tôi sẽ giúp đợc học sinh của mình
nhiều hơn nữa trong lĩnh vực tìm tòi và chiếm lĩnh các tri thức, khám phá
môn toán học
.
3
Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác một bất đẳng thức- Nguyễn Xuân Phan
B- Nội dung
I- Cơ sở lý thuyết
1. Định nghĩa bất đẳng thức
Cho hai số a và b. Ta nói :
a lớn hơn b, ký hiệu a > b, nếu a - b > 0
a nhỏ hơn b, ký hiệu a < b, nếu a - b < 0

2. Một số tính chất của bất đẳng thức
+ a > b

b < a + a > b , b > c

a > c
+
dbca
dc
ba
+>+



>
>
+
cbca
c
ba
..
0
>



>
>
+
cbca

c
ba
..
0
<



<
>
+
dbca
dc
ba
..
0
0
>



>>
>>
3. Một số hằng bất đẳng thức
+
0
2

a
;

0
2

a
xảy ra đẳng thức khi a = 0.
+
0

a
. Xảy ra đẳng thức khi a = 0
4. Một số ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức
4.1. Dùng định nghĩa
Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A - B và chứng minh rằng A - B > 0
4.2. Dùng các phép biến đổi tơng đơng
Để chứng minh A > B ta biến đổi tơng đơng
....
2211 nn
BABABABA
>>>>
Trong đó bất đẳng thức A
n
> B
n
luôn đúng, do quá
trình biến đổi là tơng đơng nên ta suy ra A > B là đúng.
4.3. Dùng bất đẳng thức phụ
Để chứng minh A > B, ta xuất phát từ một hằng bất đẳng thức hoặc một bất đẳng thức
đơn giản (gọi là bđt phụ) và biến đổi tơng đơng suy ra A > B.
II- Các nhận xét và các bài toán minh hoạ cho việc ứng
dụng, khai thác một bất đẳng thức lớp 8

Nhận xét :Trong chơng trình toán T.H.C.S có một bất đẳng thức quen thuộc mà việc
4
Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác một bất đẳng thức- Nguyễn Xuân Phan
ứng dụng của nó trong khi giải các bài tập đại số và hình học rất có hiệu quả. Ta thờng
gọi đó là bất đẳng thức kép. Đó là bất đẳng thức sau :
Với mọi a, b ta luôn có :
ab
ba
ba 2
2
)(
2
22

+
+
(*)
Nhận thấy (*)





+
+
++

)3(
)2(
)1(

..................2
.................4)(
.......)()(2
22
2
222
abba
abba
baba
Cả ba bất đẳng thức trên đều tơng đơng với hằng bất đẳng thức
0)(
2
ba
và do đó
chúng xảy ra đẳng thức khi a = b.
ý nghĩa của bất đẳng thức (*) là nêu nên quan hệ giữa tổng hai số với tích hai số và với
tổng các bình phơng của hai số đó.
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ việc vận dụngvà khai thác bất đẳng thức (*).
Bài toán 1:
Cho a + b = 1 . Chứng minh rằng:
2
1
22
+
ba
;
8
1
44
+

ba
;
128
1
88
+
ba
* Giải : áp dụng bất đẳng thức (1) và giả thiết a + b = 1 ta có:
2
1
2
)(
2
22
=
+
+
ba
ba
;
8
1
2
)
2
1
(
2
)(
2

222
44
=
+
+
ba
ba
128
1
2
)
8
1
(
2
)(
2
244
88
=
+
+
ba
ba
.Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1/2.
* Khai thác bài toán
Nhận xét 1: Nếu tiếp tục áp dụng bđt (1) và tăng số mũ của biến ta thu đợc các kết
quả nh:
.........
2

1
2
)
128
1
(
2
)(
15
2
288
1616
=
+
+
ba
ba
Tổng quát ta có bài toán sau:
5
Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác một bất đẳng thức- Nguyễn Xuân Phan
Bài toán 1.1:
Cho a + b = 1 . Chứng minh rằng:
12
2
1
22

+
n
n

b
n
a
Cách giải bài toán 1.1 ta áp dụng phơng pháp quy nạp toán học và làm tơng tự bài toán
1.
Nhận xét 2: Tiếp tục khái quát bài toán 1.1 khi thay giả thiết a + b = 1 bởi giả thiết a
+ b = k , làm tơng tự nh trên ta có
12
2
22

+
n
n
k
n
b
n
a
Vậy có bài toán 1.2 nh sau:
Bài toán 1.2:
Cho a + b = k . Chứng minh:
12
2
22

+
n
n
k

n
b
n
a
Nhận xét 3: Từ bài toán 1.2 nếu ta thay giả thiết a + b = k bởi b = k - a ta đợc
Bài toán 1.3:
Chứng minh :
12
2
2
)(
2

+
n
n
k
n
ak
n
a
với mọi k .
* Khai thác sâu bài toán
Nhận xét 1: Nếu áp dụng bất đẳng thức (1) liên tiếp 2 lần ta có kết quả:
( )
( )
3
4
2
2

222
44
2
2
2
2
)( ba
ba
ba
ba
+
=






+

+
+
Tổng quát ta có bài toán sau:
Bài toán1.4:
Chứng minh :
a)
( )
3
4
44

2
ba
ba
+
+

b)
( )
12
2
2
22

+
+
n
n
ba
n
b
n
a
Nhận xét 2:
Nếu áp dụng bất đẳng thức (1) liên tiếp nhiều lần và tăng số biến ta có:
6
Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác một bất đẳng thức- Nguyễn Xuân Phan
( ) ( )
( )
3
4

44
2
2
2
2
222222
4444
2.88
)()(
2
22
2
)()(
dcbadcba
dcba
dcba
dcba
+++

+++
=
=






+
+

+

+++
+++
( )
4
3
4
4444
4
2.8.4
4






+++
=
+++

+++

dcbadcbadcba
.
Vậy có bài toán 1.5:
Chứng minh:
4
4444
44






+++

+++
dcbadcba
Cứ tiếp tục suy luận sâu hơn nữa ta thu đợc nhiều bài toán tổng quát hơn.
Bài toán 2:
Cho a, b, c > 0.Chứng minh rằng:
.8)).().(( abcaccbba
+++
* Giải: áp dụng bất đẳng thức (2) ta có :





+
+

+
acca
cbbc
abba
4)(
4)(
4)(
2
2
2
[ ]
222
2
64))()(( cbaaccbba
+++
(vì a, b, c > 0)
abcaccbba 8))()((
+++
( vì (a+b)(b+c)(c+a) > 0 và 8abc > 0).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c .
* Khai thác bài toán
Nhận xét 1: Nếu cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Khi đó ta có 1 - a, 1- b,
1 - c > 0 và có 1 + c = 1 + 1 - a - b = (1 - a ) + (1 - b ). áp dụng bài toán 2 ta đợc :
)1)(1)(1(8)1)(1)(1( cbacba
+++

Vậy có bài toán 2.1:
Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1.
Chứng minh:
)1)(1)(1(8)1)(1)(1( cbacba

+++
Nhận xét 2: Ta tiếp tục khai thác sâu hơn bài toán bằng cách cho
a + b + c = n > 0 . Khi đó tơng tự nh bài toán 2.1 ta có
Bài toán 2.2:
7