Chuyên đề số nguyên tố

Chuyên đề số nguyên tố
Ngời thực hiện : Lê Huy Toàn
Học sinh chuyên toán khoá 09-12 THPT Chuyên Thái Bình
__________________________________________________________________________
__________
Từ trớc Công Nguyên, Ơclít đã khẳng định số nguyên tố và số nguyên là 2 phạm trù cơ bản
của Số học. Thực tế đã chứng minh, Toán học dù phát triển đến đâu thì vai trò của số nguyên
tố cũng không hề thay đổi. Nó vẫn là 1 vùng đất kì lạ du bao năm qua đã có nhiều ngời thám
hiểm. Số nguyên tố- 3 tiếng đó đã thôi thúc trong tôi từ khi đọc đợc định lí Ơle-Gônbach và
rồi cứ ngỡ mình đã giải đợc bài toán mà cha nha bác học nào giải đợc. Bởi vì khi đó tôi chi
biết đến tập số tự nhiên mà không biết con nhiêu tập số khác nữa. Viết chuyên đề về số học,
lại mới chỉ là 1 học sinhtrung bình trong đội tuyển, tôi đã suy nghĩ rất nhiều về việc lựa chọn
đề tài. Và hình ảnh định lí ngày nào lại hiện về trong tôi. Và tôi quyết định chọn số nguyên tố
làm đề tài. Với rất ít tài liệu trong tay, cùng với tầm hiểu biết ít, nhng mong rằng chuyên đề
này sẽ không nhàm chán chỉ là những kiến thức mà chúng ta đã đợc học mà nó còn có thể
hữu ích 1 phần nhỏ cho mọi ngời.



Mục lục:


1. Định nghĩa 2
2. Lịch sử xuyên suốt thiên niên kỉ và một vài định lí 3
3. Một số dạng số nguyên tố 7
4. Các cặp số nguyên tố 12
5. Các dạng bài tập cơ bản 14
6. ứng dụng số nguyên tố trong đời sống 30

I/ Định nghĩa :

!
"#$%&'()%*+,!$&
'()%*#--.! -/$0$ 1
023#4" %5"6s nguyờn t&
'78#4149"#1:51;*<=&
'(:5s nguyờn t c nh ngha l mt s lớn hơn 1 ch cú 2 c s l 1
v chớnh nú.
Có thể thấy 1 điều định nghĩa rất dễ hiểu. Nhng vấn đề nằm ở chỗ làm sao ta có thể dựa vào
định nghĩa mà xác định 1 số có phải số nguyên tố hay không?
1
Từ xa đã có sàng lọc những số nguyên tố gọi là sàng Eratosthenes . Nhng với những số lớn
thì việc sử dụng sàng này không hiệu quả. Dựa vào định nghĩa ta có thể thấy cách chứng
minh đơn giản nhất là chia số đó cho các số nguyên tố nhỏ hơn nó nhng việc này tốn không
ít thời gian nh việc sử dụng sàng Eratosthenes . Do đến ngày nay cha tìm đợc công thức của
số nguyên tố nên ta chỉ có thể hạn chế việc thử chứ không có phơng pháp nào hữu hiệu nếu
không sử dụng máy vi tính.
Ta sẽ chứng minh 1 bài toán nhỏ :
n

N*
n khụng chia ht cho mi s nguyờn t nh hn hoc bng
CM: n l s nguyờn t

Giải:
>?#=#4"%*#4! 3
@A-:
B1(:3?*?+
Ta cũng có những nhận xét cơ bản sau đây:
C3D#4EF#4G*H*:*)I"=E$J#4
"K"%3:#4147"3HGL23DM8N#O1P

o QD#4R(72S$2T&
o QD#4MIU(7S$T&
o QD#4V#4:#4$(7S$T&
o QD#4$ (7 &
o QD#4V#4:#4WR"XU(7
S$T&
o Y+*FD#414HGL2&
o G,?:*N*-/$!G"#414&
Tuỳ thuộc vào kinh nghiệm , khi nhìn 1 số chúng ta sẽ co thể đoán đó là số nguyên tố hay
không ma chỉ cần vài phép thử. Do trong các đề thi ít khi ngời ta ra những con số khổng lồ
nên việc này coi nh không đáng ngại.

II/ Lịch sử xuyên suốt thiên niên kỉ và một vài định lí:

Với phần này ta sẽ đến với các định lí nhng không phải bằng cách thông thờng. Ta sẽ dọc
theo dòng lịch sử để không chỉ biết về Toán mà còn biết nguồn gốc cái ta đang nghiên cứu.
Số nguyên tố có quê hơng ở vùng Hi Lạp cổ đại . Ngời có công gây dựng và chứng minh 1
định lí cơ bản của số nguyên tố là Ơclit. Ông đã chứng minh tập hợp số nguyên tố là vô hạn.
Đây là định lí đầu tiên và rất dễ để chúng ta có thể chứng minh. Công biểu diễn sô nguyên tố
thuộc về Eratosthenes với sàng số nguyên tố.
Số nguyên tố thực sự có bớc phát triển vợt bậc khi vào năm 18/10/1640 , Fermat gửi cho
bạn ông 1 bức th . Trong đó có định lí Fermat nhỏ . Nguyên văn bức th nh sau:
2
Z[*(*##NN("(#*((####(#
*((#\]^#(#"N#(#^_**(N#_((*"&`
G một thói quen lạ kì của nha Toán học này. Ông không chứng minh định lí ông đa ra. Và
đến tận năm 1736 , Euler mới công bố công trình chứng minh của mình . Nhng theo 1 tài liệu
mật , Leibniz đã có bản thảo chứng minh với ý tởng tơng tự trớc năm 1683. Lạ kì là 1 cách
độc lập các nhà toán học Trung Quốc trớc đó đã đa ra giả thiết (Up"6#414

0 &B$"p"#414! &
BO1"()%*A;Ja"bJc(&'1%"S
!p"#414T"#&
Định lí nhỏ Fermat đợc phát biểu nh sau:
Zp -p"14a"#414I3p& p
-p"14a"#414I3p&`
@ột cách tổng quát hơn :
Gp"#414mn":#41H9
! &`
Bên cạnh đó , Euler khi nghiên cứu cũng đã dựa vào định lí trên để xây dựng 1 định lí
mới :
Z3"n,-d#41a,-d"#414I3En
(eSnT"-b;J*["(#4:#41Dn14I
3n`BO1"V]:Ja"bc(!nfp"#414!
eSpTfpg&
ở đây eSnTf&
2

& &&&&&&&&&&
k
p p p



ữ
ữ ữ


ới n=

i
k
i
i
p

=

Bây giờ ta sẽ chứng minh định lí Fermat nhỏ theo nhiều cách khác nhau:
YPh1*&
Gf!K+"$&>?#=;$3f-ij

kI?]1* &
Y2PYl6:+Da"bc(N"IV%*#P
'?:#P@6)(l%*U&m
:/:Unm:/%]6*N*]1%"
4&
3
Q)?P':#4:7*&G-/E*N*]1! :/:
&GE*N*]1!o6:/2(W"#pU("3*3*
:/-:&Y:/0I&C!#4:/#p"
C!#4:/*?"6#41*?+&
Y:+"&q?-/:n
Yl:--:"8N;AK1J/r*&GS*Tf!8#p1
];AK1J*-81];AK1J*&B<":
+a"b["(S1;AK1JU;A5T&
Có thể còn rất nhiều cách khác. Mong mọi ngời bổ sung thêm
Đứng trớc 1 định lí ta thờng đặt câu hỏi định lí đó đa ra để làm gì. ở đây cũng vậy. Là 1 định
lí nổi tiếng, định lí Fermat nhỏ có những ứng dụng nh thế nào va định lí tông quát của nó ra
sao. Ta cùng xét 1 vài ví dụ về định lí Fermat

Ta xét 1 bài thi trong đề thi HSG lớp 12 tỉnh Bình Định năm vừa rồi :
VD2: Y"#41H# &Y@sP
GiảPtN &'a"Ec(
%P fi A S3
uN

T&
k,1 "3H *?+&
Ta tiếp tục với bài toán tiếp theo:
VD3: Y@s3*"#414vS*rTwxy*
um()%**f2"$SU:-+T
u'#p+()%**i2&z*"#4"X&
':*Fa"bcP3*14"#41H#
S*Tf&z


p
a


S*T
C!*14S*Tf\S2*Tf\&&&&S*r*Tf\
{*Fa"bcP
S*rT
p


S*T
S*r2T
p

S*T
&&&&
4
2
p

S*T\


p

rS*rTS@*T\
GO%P
vS*rTwy
p

rS*rTS*T
s$5P
vS*rTwy
2p
yvS*r2Twy
p
y

rS*T
QBQc!
SS*r2Tw*Tf
fivS*r2Twy
p

S*TP
vS*rTwy
2p

rS*T\
k*"XS*r2T<"XfiS*rTwfrS*T
G:-:!S*rTwxhết*
B"*?+&
Tiếp theo thành công của định lí Fermat , có thêm hàng loạt định lí khác ra đời . Trong đó kể
đến định lí
Wilson, Trêbsep,
* Định lí Wilson: Đợc công bố vào năm 1773 bởi John Wilson .
Yp"#4|"3H-*"#414-0-SprTwx
p&
* Định lí Trêbsep:
Y5#4G1i"/'}6#4G14UD2r2
&CEFffi2r2f~fiqf vG14y
&Y5#4G1i"/'}6#4G142
&CEFf~fi2ffiqfqfvG14y
ua"b1"#(P
Gi-!(:4x&&&xv-ry64"_6#4_J64G1
4qvqi-y
&CEFf -fqf
&
f xfjf2&v"6#4Jqfy
* Định lí Chen P5#4J"3%3VJ#41
4AJ6#4146#4=14SEJ#414T&
Định lí Chen là 1 phần nhỏ của 1 giả thiêt mà đến ngày nay cha 1 nhà toán học nào có thể
chứng minh hoàn toàn . Đó là giả thuyết Euler Goldbach . G. 2:5B+

>"["((U/(:P@5#4|"3
H%3VJ#414&["((?")(U/5
#4"3H2%3VJ2#414&G+
%6(;!#p+%;l"&2jj.#.
:5Qt/C(9?]1K(5:U:
+(U5#4"XJ"3%3VJ#41
4&G;J["("$91+;>"&
5
>?PY#4|i#p+(U%3VJ#4
14&tNP
& '()%*PG!f2x3i&!#4i2-*"
I"i!%3V2#414&
2& '()%*2P"X!fx3i2&';["(
i2%3V#414&k%3
VJ#414&
u>?1>"(
G91:#414+|7N"3S?#4KT&BK
W+,",1:(a1;4J;2#414"*&'*",1:
(a1;4J;#4"*W+,&&&D"KM14
I#pM%"#4&
Đây là 1 giả thuyết mới . Rất khó hiểu. Ta cùng xem biểu diễn giả thuyết qua hình học
'ùng đến với 1 số bài tập sử dụng các định lí trên.
2&Y+}vô số các cặp 2#4E*HE,jjj#414W
D.
B1I định lí: Y#4|!(v\2y"/}E,#41
4
tNjjjv\2y\v2\y\v y
5"#4E*Hthì ta có n và
jjj
2

.n là số chính phơng .
3.CMR: G#4c( "#414!*?"3J
6
'c-/ A c"#414!*?-/
E*HScT&
CM1
1(
B?"?#=
1(
>5",*Jc
1(cr1 fi
S3
G ! k
SOT
CM1 C!
1(cr
ficrf
#1(c"#414
& "#414+ &>?#=3 P &Y+
(UP
Từ fi
2
2 2 &&&&&
n n
P P P P+ + + + +
&
áp dụng định lí Trêbsep : Y5#4G1i"/'}6#4G14UD
2r2
fi

2 2
n n
P P
+
+
fiđpcm

III/ Một số dạng số nguyên tố :
1. Số nguyên tố Fermat: - 414c2
2
n
xSGT
Trong 1 thời gian dài, ngời ta đã lầm tởng Fermat đã tìm ra công thức cho số nguyên tố . Thế
nhng chính nhà toán học Euler đã chứng minh với n=5 thì số Fermat không còn là số nguyên
tố nữa . Nhng điều đó không có nghĩa số nguyên tố dạng Fermat không còn giá trị . ta cùng
xét bài toán :
Tìm k sao cho : k.
2
n
+ 1 là hợp số
un N


Đặt
2
2
m
m
F = +
thì

j 2
F F F F F

P
và F

=641.p ( p
P
) , p > F

Xét : x
2
S2 T&
và x
S Tp
=>
x k
=
thoả mãn
ta sẽ chứng minh với k > p thoả mãn bài toán
Đặt n =
2 &S2 T
m
t m t N+
+) Nếu m
{ }
j2
thì k.
2
n

+ 1
2 &S2 T 2
2 S 2 T
n
t+
+
Dễ thấy
2
2 j2
m
F m =M
và
2 &S2 T 2
2 2 j2
m m
t
m
+
+ + =M
nên k.2

n
+
m
FM
lại có k.2

n
+
>k>

F
=> k.2
n
+1 là hợp số
+)Nếu m=5 : tơng tự k.2

n
+
M
, k.2

n
+
>641
+)Nếu m

6 : tơng tự k.2

n
+
M
p , k.2

n
+
>p
ta có đpcm
7
2. Sè nguyªn tè Mersenne : 6số MersenneS#4"<17J2(7P2


g6
#4aŠ1K"<17ST*?"#414T"6#414
B-;K@

"#414"n"#4142
ƒ
rf"%*#4!ƒ-/"
14%"-/$PEF#4@(#2jƒ f2

g-/"1
4!~†2AI#4"#414&
m;1:#414"3,%!,1)"#414@(#&
Y:#414@(#];Ap3:#4;Š":#4U
V:3OEJ&'("a#=;+:#414@(#
97a1V:"]1\-‹ƒ'YG["*:(U@"
#414@(#!@S@xTL2"#4&C-‹~Q(["(+
(U,?:#4;…1&z/6#4;"X
%))(U$-/}&
*) T×m sè nguyªn tèMersenne :
BR+
(UM
n
"#4140En"#414"?
"%3;!:#414@(#&@;?(UM
n
"#414
n"#414"#&•4,EF1"2ŒŒrf2•~†"%*#4&
B9:M:!#414@(#;19:#4
14@(#(,"3&

4#414@(#KM
2
fM

f M

fM

f2 9%
7V8&•4+.M

f~†%!,1(3.ƒ•\#4*
SM

M
†
T!,1WY".~~&•H6-‹M

%-(
W["(. j&•4*S("a#=-/+|#4T"M
2

Q#!,1.~ •#M
•
q(#!.~~&m#4D
SM
~†
M
j
T%!,1-‹2jWqŽ(#.††ƒ&

'7-‹ :#41%:5q:*@(@(#)9
+6":#414@(#3#4<"42 &k#:J
/9•6#4#"K}?M
•
M
2
]M
•
M
~†
M
j
&
qH*:*4,-(E14J:#4@(#%|#|
E:691K%*:KWQ#.~ ~+
WQ(D.†j&m;1%5"-(Q#rQ(
3#414@(#&BA;+(US3ni2TM
n
f2
n
g
"#4140M
n
S
n-2
(S
j
fƒ3ki
j &
8

B}a#4:D#4J#414@(#"3,97
.J-‹1;=&Y$b(U(F69%"(&
C;!:#414@(#|#|%:W::1E;=
#4&'/KJW16#414@(#M
2
)o
"|-N"N"$jPjjq&@&1jr†2-#=F:1E|6•#(
‘&•&G"(’•(#S••„YT“#’(G("
„"1##6B5Y"’(Q#„"#3#|-(|*
JQ(#=FH(!1W>•s&@&s#&G"#41
4@(#K!,1#~.\#4*M
•j
9%!,1
*(1#K)1:1&#4*”M
2 †
M
22j
M
22~
”9%
!,13IH(!(#:D&M
ƒ2
"#414@(#
K"#414#"3S(jjjD#4M**OrTM
ƒƒƒ†
"#4
14•(j&jjjD#4M**OST&
B:†.2jj~03ƒ•#414@(#\#4"3,9"#4
S2
ƒ2•j†

gT&Y<#414@(#(3%!()|
:E:*O:(“(%35Tìm kiếm số nguyên tố
Mersenne khổng lồ trên InternetS>(“(@(#q(•(r>“@q•T&
*) C¸c ®Þnh lÝ :
 xTGn"#41Ha"ba+P

1
)Acf2
a
dfnfb
chứng minh
9
fa
n
rb
n
xTG2
n
r"#414!n"#414&
Chứng minh
k
Gn-/"14Anfab(–ab–n&k2
a
g"3J2
n
g
A2
n
g-/"14&
T•—G>‘˜™G'—>„‘••

@6#4G1>##"6#4q+3*K'|*Kš®":#4G1&'M*
:#4G1>##"6@1)›%zb;"œviy&
Y:qK=G14Jœviy<›%5":#4G14>##&@6#4
G14/)S®/-›*O;$›%5":•#4G14mD‹•T
-/*?":#4G14>##&
YR2fSxiTSriTfS2xiTS2riT&
Y:#4G14mD‹›}3SƒT"#4G14>##&Yl:#4G1
4mD‹®}SƒT!-/&
€"!#4G14ƒkx"/3'VJ#4!
*žS®a"bc(T®
*f
2
x
2
fSxTSrT&
GY•J#4G1>##Ÿ"6#4G14!Ÿ<"#4G14>##!
5‘3-/'K)JŸ<"‘3-/'K)JY•&
YR2x"6#4G14>##!Y•J"ƒx†f&
ƒT•—G>‘˜™G'—Ym[G
•4G14p®%5"#4G14YS'(KTpx2<"#4G14A
"'EJ#4G14&
C9†••'(KY?GMSChen JingrunT›9Y+(UC/#4G1
4M1&
@6#4•414Y®K"
10
2  †22† ƒƒ †•  ~~†jS#]
„j†• [“•T
s"’ (^-S†2~r2jjT›9!›%6m!/zd?8J†#4Y
C:jr2jj@c"(q(c(®9!,1#4G14Y"3
,;1

S2~ƒ†††¡2
†~j
xT¡S†•j•j2~¡2
 j
xTg23 jjD#4&
•4ž(6YA*#4G14•:›/"#4G14YS®aŠT&
€92jj•:•4G14•:®/"3,!,1"jjƒ2ƒƒj¡2
 †•j
¢
\
G®%!,1W:':5m(#œ":£:(>(c(-#'
Y#^-£#z#Ÿ„"£:(&
G ~jD#4&
'('>(92jj®9Y+(UC/:Y,*#4
Y6(r(J:•4G14Y&
T•—G>‘˜™G'—s„@„G‘£„G
G9††s^Y/46:Y+›a›((C-$4
+1s^($(6z"M
¤SxTg¤SxL2T¥2ƒ&&&x¥2 2†ƒ&&&
(›m¤(x)"#4:•4G14¦x&
z]?1-›5%"(W®aŠJ•4G14s^:#4
2 2†ƒ"D#4®K(:•4G14s^&
G:-:P•4G14s^":#4R
n
#R
n
"#4nhỏ nhất'9
®-;¤SxTg¤SxL2T¥n5x¥R
n
••4G14s^":#4G1R

n
#R
n
"#4Ghỏ nhất?®?
n#4G14Dxx/25x¥R
n
C!R
n
"#4G1,'9®-;(R
n
*?"#4G14•
•T•—G>‘˜™G'—>“„“'m§„
•4G14>7S’("*(T"6#4G14žA"3ž6#
36>7AYE"6>7&
@6#4G14>7"
11
2 2 †j†††•~jƒ †jj††~  ~2†††&&&S [“•‚f„j~~jƒT
¨›O12f2w\f2wx\fwr\ fwx\2fƒwr\ †f•wr\j†f wr††•~jfwx\
ƒ †jj††f2wx\~  ~2†††fƒwx&&&
•4G14>71,®$">70"#42f2w&
Y:#4G14>7®%]O(Qb1#4!$•A(k91
"*:m%*#4&
YR#4G14*•22 j2j "•22 j2j~• &
Y:#4G14>7(l(QM+(U-/"#4G14&
•Gn"6#4'|p"6#4G14
nwxp-/"G143p–n!#p"66Jp<Enw&
Gnwx0••"6Jˆ"#4G14&•S€®<®$
3nwrpnwrT&
IV) C¸c cÆp sè nguyªn tè:


TY©q•—G>‘˜™G'—
m#4G14*]®%5"Y•G'‚*ª]‚f2&
Y'M*%*:Y•G'"mD1C/&
YI3:Y•G'M(P &&&<:Y•G'
-:"3jj•† jj•††
2T•—G>‘˜™G'—m«m¬G>
YA*•4G14m5S#*(T"6YA*#4G14";4›ža
Y:#4G14m53jjj„j22jj„jƒ•2S( [“•T
S TS TS TS†2TS ƒTSƒƒ TS•  TS †~TS† jTSjj T
Sj†TS2 TS•• TS†† TS2222 TS22†2TS2 2~TSj T
S TSƒ†TS †~TS† ƒjTSƒ†ƒƒTSƒ ƒ•TSƒ~ ƒ†TSƒ††jT
S•• TS•ƒ•ƒ TS• • TS † ƒTS   •TS •† TS~2~2 TS~~ T
S~†~•TS~ ~~TS~~~~ TS†j †TS† †ƒTS†• † T
€:r2jj#4145"3®%"SppxƒT3
pfS† ††ƒ2¡SS2~¡ ~ †-T
2
rTx2jT¡2~¡ ~ †-L~x
GjƒD#4®%!,13'(^®(„"@c"(£#z(#
„(#S ~ †-"-b;JprimorialJ ~ †T&
12
'3:r2jj•#4145"3,®%"S•jj•2¡2 x•jj•2¡
2 x T&GD#4k£#!,12jjƒ&Yl6
M:M"%®-:#41"14-/n
Y?m(1rQ"Ž(U:#4145M®6;M4
:#414#:›/&
@6U#4ž|•#4(:#414#:®/:#4145
•K3S TP
u
zI:#414532
ƒ2

:(aJB
ƒ
›%EW@(-•"’9
††•"B
ƒ
¯&† jƒƒ†
z/"ˆU#413U#4(_#:#41464<›%-E
;"B
ƒ
&
T•—G>‘˜™G'—•[t˜
YA*#4G14•81"YA*#4G14;U#:&
•3:YA*#4G14•:›/":YA*#4G14;U2YA*#4
G14m5"YA*#4G14;"ƒ&
'••4G14•81•8,*:7Q••8•"#4#:S•T&
Y:•4G14•81S#]#„j22j„jƒ• ( [“•T
STS TS TS†TS 2TS22†TS TS ƒTSƒƒ TSƒ TS†T
S•• TS•  TS  †TS~~†TS† jTSjj TSjj†TSj TS T
S TS •TS•  TS  †TS†† TS†††TS2222†TS22 2T
S22†TS22 TS2•2•†TS2 2 TS2 2~TSj TS TS T
Sƒ TS†TS•  TS  †TS~~†TSƒƒ†TSƒƒƒƒ†TSƒ ƒ•T
Sƒ•ƒ• T
Y<:#4G14•:®/:#4G14#81W(6:6
#4G14#81Sppx•px2T
#*x~"m%*#4
Y:6#4G14#81„jƒ•~„jƒ•†„jƒ•2j [“•T3jjj"
S †TS 22†TS ƒTSƒ †TS•   †TS† jj†TS •T
S•   †TS22 22†TS2 2•2•†TS2 2 2~TSƒ †TS•   †T
S ••†TS~ †††TS•j ••†TS•ƒ ••†TS 2   †TS†ƒ†ƒ †T
S† † †~T

'E®:r2jj•6#4G14#81"3,›%!,1Wzk#
2D#4
*fS~ƒj• •†¡2j~~¡ƒjj-¡S2j~~¡ƒjj-xTx2jT¡S2j~~¡ƒjj-rTL
x
Y:64#4G14#81S#]#„jƒ•2„jƒ•22„jƒ•2„jƒ•2ƒ
[“•Tžjjj
S 2TS 22†TSƒƒ †TS••   †TS22 2•2•†T
S•j•j ••†TS•ƒ•ƒ ••†T
13
:r2jj64#4G14#81đ%"3,"Sppxpx2px~T
Êz(#!,1jj2D#4
pf ~ Ă2 xj
C!5#4+9J6nÂ0669#4G14
#81}"S 22T-/69#4G181"&

V/ Các dạng bài tập cơ bản :

Các định lí cơ sở :
1. nh lý 1P'M*%*:#414"/
2. nh lý 2P3#4,-:J6%*#4"6#414-/"3H.
MJ#4
3. nh lý 3PY6#4|6#414*&zA*L.S*Tf
4. nh lý 4PY*"#414

\
2
\

\&&&&&&\

":#4|z*L

n
i=



!*L

Sf
n
T
5. nh lý c bn ca s hc
@5#4|"3HHaS"3HT0*OE7#41
46:1,S-/-+|:7#4T
Các dạng toán :
D ạng 1: CHNG MINH MT S, MT BIU THC L S NGUYấN T, L
HP S.
+)Loại 1: Chng minh mt s, mt biu thc l s nguyờn t.
'/)+6#46+"#414)
I*H*:*+U*?+&
Bi toỏn 1PY2

ê"#414&Y+(U"#414&
Chng minh:>?#="6%*#4

f*&]S*]i*\]

GT
'P2

êf2
*]
êf2
S*T]
rfS2
*
rTv2
*S]rT
x2
*S]r2T
x&&&xy
C!*i

2
*
ri2
*S]rT
x2
*S]r2T
x&&&xi

2

r"%*#4&B1
(:3?&
Gf

2

êf-/*?"#414&
CM1*?"6#414&
m12

ê"#414

"#414&
Bi toỏn 2:Y+(U*S*êTwx!*14&
>?P>?#=*"%*#4&'P*LS*êTw
@A-:?*LS*êTwx

*LS/"bT
14
CM1**?"#414&
Bài toán 3: Y+(UPx2

xƒ

S
∈
œ
x
T"#414!
f
-
3-
∈
G&
GiảiPBAf
-

&S-/
-
T
≥
STf
f2

k
S
≥
2\
∈
GT
>?#=i8N2()%*#Pfxfx2
uGfxS
∈
GTPx2

xƒ

fSxx
2
TxS
x
rTx
2
S
•
r
2

T
M
xx
2
!
•
ª
2

M
Sxx
2
T
M
S

rT
M
S

rT
M
Sxx
2

T@A
-:"Px

x
2

ixx
2

GPx2

xƒ

"%*#4S/"bT
uGf2x2S
∈
GTH|x2

xƒ

"%*#4S/"bT&CM1f
+f
-
S-
∈
GT
Bài toán 4: Y+(U*~*
2
x"#414!~*
2
r"#41
4&
GiảiP>?#=*"#414"3H!*-
±
S-
∈

GT
⇒
*
2
fS-xT
2
fS-
2

±
2-Txfx
⇒
~*
2
xf~SxTxf2ƒx†
M

⇒
~*
2
x"%*#4S(:?T
CM1*f-*14
⇒
*f
~*
2
xf~&
2
xf S14T
~*

2
ªf~&
2
ªf S14T
CM1*~*
2
x"#414!~*
2
r"#414&
Bài tập vận dụng:
1. Y+(U :#414"3H2-
±

2&Y+(U
2
ª
2
"#414!"2#4|"*&
&•4
ƒ
x
2
x"6#414-/n
ƒ&Y ""<17J#4143 1H&Y+ 1
4
&Y "#414&
cmrP <"#414
xTLo¹i 2: Chứng minh một số, một biểu thức là hợp số
Bài toán 1:Y
∈

GY+(U„f
ƒ
xƒ

"%*#4&
>?P uT…
⇒
„
M
2
⇒
„"%*#4&
15
uT"XAf2-x
⇒
„f
ƒ
xƒ

f
ƒ
xƒ
2-x
fS
2
x2
2-x
T
2
ª2&

2
&2
2-x

„fS
2
x2
2-x
T
2
ªS&
2-x
T
2
f
2
x2
2-x
ª&2
-x
TS
2
x2
2-x
x&2
-x
T
„fvSª2
-
T

2
x2
2-
yvSx2
-
T
2
x2
2-
y"%*#4&
Bài toán 2: Y\\
∈
G
u
9f&Y+(U
„f

x

x

x

"%*#435
∈
G
u

Giải: >?#=S\Tf-f


f

3S



Tf&'7f
⇒


f


S



Tf
M


BAf-


⇒


f

-



⇒


f-


zP„f

x

x

x

f



n
x-



n
x




n
x-



n

⇒
„fS

x-

TS

n
x

n
T
C!-\\

\


∈
G
⇒
„"%*#4
Bài toán 3PY
∈

G
u
Y+(UP
2
j 
2
n
+
x†2
ƒ 

n
+
x
ƒ 
2
n
+
x"D%*#4&
GiảiP
&'+2
j 
2
n
+
x†
M
235
≥


'P2
j

≡
ST
⇒
2
j

≡
ST
⇒
2&2
j

≡
2S22T
⇒
2
jx
f22&-x2S-
∈
GT
'cP2
22

≡
S2T
⇒
2

j 
2
n
+
f2
22-x2

≡
ƒS2T
⇒
2
22-x2
x†
M
2ST 2
j 
2
n
+
x†i2S2T
'7STS2T
⇒
2
j 
2
n
+
x†"%*#4
&'+2
ƒ 


n
+
x
ƒ 
2
n
+
x
M
35
≥

'P
ƒ

≡
SjT
⇒

ƒx

≡
SjT

ƒx
fj-x
'cP2
j


≡
ST
⇒
2
ƒ 

n
+
f2
j-x

≡
~ST
2
ƒ

≡
ST
⇒
2
ƒx

≡
2SjT
2
ƒx
fj"x2
'cP
j


≡
ST
⇒

ƒ 
2
n
+
f
j"x2



≡
†ST
⇒
2
ƒ 

n
+
x
ƒ 
2
n
+
x
≡
~x†xST
2

ƒ 

n
+
x
ƒ 
2
n
+
x
≡
jST12
ƒ 

n
+
x
ƒ 
2
n
+
x
M

@A-:P2
ƒ 

n
+
x

ƒ 
2
n
+
xi
⇒
2
ƒ 

n
+
x
ƒ 
2
n
+
x"%*#4
16
Bài toán 4: Y+(U"%*#4!2

ª<"%*#4&
Giải: %*#4#1(f*&]S*\]i*]
∈
GT
2

ªfS2
*
T
]

ªfS2*ªTS2
*S]ªT
x2
*S]ª2T
x&&&xT
@2
*
ªi2
*S]ªT
x2
*S]ª2T
x&&&xi2

r"%*#4&
Bài tập vận dụng:
&Y+(U3
∈
Gi!:#4#"%*#4
&
ƒ
xƒ  &
ƒ
xƒ

  &
ƒ
x
2
x
2&Y*2*x"#4143*i&Y+ƒ*x"%*#4&

&Y
∈
G&Y+:#4#"%*#4P
&„f2
2 
2
n
+
x &f2
ƒ 
2
n
+
x  &Yf2
• 
2
n
+
x
ƒ&SIMO 2001)Y    "  :  #4  1  H    9P 

S-
uN∈
T
YP -/"#414&
& Y+(U}-# "%*#4351H&
k ¹ng 2: TÌM SỐ NGUYÊN TỐ KHI BIẾT MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN
+) Lo¹i 1: Tìm số nguyên tố p biết ®iÒu kiÖn một số, một biểu thức
Bài toán 1: '!:#414*P
&*xj\*xƒ<":#414

&*x2\*x•\*x~\*x2\*xƒ<":#414&
>?P&3*f*xjf"#414
*xƒf "#414&
C3*i**f•-
±

uG*f•-x!*xƒf•-x1*xƒ-/"1
4&CM1*f•-x-/9
uG*f•-ª*xjf•-x†1*xƒj-/"#41
4&CM1*f•-ª-/9&
CM1*f9-;:&
&C3*f,1:#4("#414&
C3*
≠
!*f-
±
\-
±
2
17
uG*f-x!*xƒf-x
M

⇒
*xƒ-/14&
uG*f-ª!*x•f-x
M

⇒
*x•-/"14&

uG*f-x2!*x~f-xj
M

⇒
*x~-/"14&
uG*f-r2!*x2f-
M

⇒
*x2-/"14&
CM10*f91K:&
Bài toán 2: '!#414*\]\(#*
2
x]
2
f(&
>?P>?#=#414*\]\(#*
]
x]
*
f(&-(i
⇒
("X&CM1*\]-/IE…"X*?6#414…"2&
>?#=*f2-2
]
x]
2
f(
xTG]-/
⇒

]
2

≡
ST
@A-:]"X
⇒
2
]

≡
rST
⇒
2
]
x]
2

M
S-/14T&
CM1]
M
]14
⇒
]fz(f2

x
2
f
k*](l*f\]f2

CM126#4%!"S2\\ TS\2\ T
Bài toán 3P'!#4|S8\1T#P

x

±


y
f

p
S*"#414T&
>?Pk8\1
∈
G
⇒


x

±


y
f

p

⇔

S8ª*TS1ª*Tf*
2

*148i*1i*:-?.#
u
{
2
x p
y p p
− =
− =

⇔

{
2
x p
y p p
= +
= +
u
{
x p p
y p p
− =
− =
⇔

{
2

2
x p
y p
=
=
u
{
2

x p p
y p
− =
− =
⇔

{
2

x p p
y p
= +
= +

Bài toán 4P'!#414*#P
2*x""M**HJ6#4|&
Giải:2*xf

S
∈
GT

⇔
2*f

ªfSªTS
2
xxT
p = 2 
⇒
2*xf
⇒
z/}9&
⇒
*i2*14S*\2Tf
18
@A-:Pª–
2
xx
⇒
ªf2
⇒
f
*f
2
xxS14T&CM1*f91K:&
Bài toán 5P'!#414
abcd
#
ab

ac

"#414
2
f
cd
xª
&
>?P!
abcd

ab

ac
":#414
⇒
":#4"X-:&
2
f
cd
x
ª
⇔
SªTf
cd
rfjxªf†x
k†x
≥
j SªT
≥
j
⇒


≥
ƒ&CM1f Af†&
uTGf P†xfƒ2
M

⇒

M

⇒
fAf†&
Gf
⇒
†f†
⇒
-/}6G
Gf†
⇒
†x
M
†lƒ2-/
M
†S"5T
uTGf†P†xf 2
M
†
⇒

M

†M1f†
†x†f 2
⇒
f

ab
f
†a
"#414
⇒

≠
\•\†\ƒ
ac
f
a
"#414
⇒

≠
2\\ \~
@A-:
≠
j
⇒
f
CM1#4K!"† †SC!† †"#414T
:•P'! #414"*S Tž9P
Y@'V]:3#4<&
YP>?#=

k,1
C3  -/Yq
C3  -/Yq
C3 ! "/   l -/}:#414
9
Y2P'
Sc(T
CM1-#4m·n
Bài tập vận dụng:
&'!,?:#414**7"V7";J#414
2&'!#414*#*x""M**HJ6#4|&
19
&'!**x\*x\*x\*x†\*x\*x"D#414&
4.'! }:#41H 9P

& '!,?:#414  #P "6#4E*H&
•&

'!#414#
S
u8N fi S"T
u8N-:2fi"pfi  #4…#4"pfi(#4…
?#="fif21
 1fif
 
≠
fi A 3-|"3HAU
12()%*,1C'fi/"bT
&S„s@Q†~~TP'!#414*\]\(#
2 2

p q r− =
__________________
Lo¹i 2: Tìm số tự nhiên n để một số - một biểu thức là số nguyên tố.
Bài toán tổng quát:'!#4|+q
ST
"#414&
Thuật toán:zA*:1*OEq
ST
O=q
ST

fq

ST
&q
2
ST
&-
!q
ST
"#414q

ST
fAq
2
ST
f
'/)8N+Sq

ST

\q
2
ST
Tf?*H(!1:(aK
!&
Bài toán 1P'!,?:#41#P
a&
ƒ
xƒ"#414&
&
††
x
††•
x"#414&
GiảiP
&
ƒ
xƒfS
2
x2T
2
ªƒ
2
fS
2
x2r2TS
2
x2x2T
'
2

x2ª2–
2
x2x2
ƒ
xƒ"#414!
2
x2ª2f
⇔
Sª
T
2
fj
⇒
f&
z
ƒ
xƒf"#414&CM1f9:&
&
††
x
††•
xfS
††
r
2
TxS
††•
rTxS
2
xxTf

2
S
††
rTxS
††
rTxS
2
xxT
fS
2
xTS
††
rTxS
2
xxT
'P
††
rfS

T
••
rfS

rTvS

T
••ƒ
xS

T

••
x&&&&&&&x
2
xy
fSrTS
2
xxTvS

T
••ƒ
xS

T
••
x&&&&&&&x
2
xy
M
S
2
xxT
kij
⇒

2
xxi&C!M1
††
x
††•
x"#414!

††
x
††•
xf
2
x
x
⇒
f
20
Bài toán 2P'!:#4|\P„f
2
 • •m n
+ −
xƒ"#414&
Giải:'
2
x•ª•2&A
2
x•r•f-x2S-
∈
GT
⇒
„f
-x2
xƒf†&2
-
xƒ
k,1(U†&2
-


≡
†ST
⇒
†&2
-
xƒ
M
&
B„14!„f
⇒

-x2
f†
⇒
-fj

2
x•r•f-x2f2S!-fjT
⇒

2
x•r•fj
⇒

2
x2r2fj
⇒
–&k2…
⇒


2
*?"#4"X
⇒

2
f
2
f†
uTG
2
f
⇒
ffj&
uTG
2
f†
⇒
f\f•&CM1::(aK!"S\jT\S\•T
Bµi to¸n 3: Solympic bungari 1996)
Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho
z/,EV]:?#=
k,1P "#4"X -:
G !-f
'#pL6( #4 }E, #4U &
>?#=*?+
kP 1 S*T
'*M8N(UP
G  STT ST!P
ST

@A-:a"Ec(!P S*T&
z:*FM8N%P
sž(P &kP
Oˆ&
CM1 &
G ! !
Yl -(,19&
CM1,?:6 "
Bài tập vận dụng:
&'!,?:#4#P
&
ƒ
x
2
x"#414& &
††~
x
††
x"#414&
&

r
2
xr"#414& &
††
x
††
x"#414&
2&:W(6P
'!

∈
G#4
x2
x
x
x"#414&(U
∈
G
2
x
2

≠
j
3'! #414S-,-:T(U "KEJ:#4,1(7V
:!*HJ$!U &
D¹ng 3: ¸p dông gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn , chia hÕt :
Bµi to¸n 1:Y+35#414*i2!=#4J*O#44?
21

*
YP',1=#4J*O#4 E"
YK++*&
',1,?*r#4#p$7A*V*#P
'Vl"(ž("#41+(*&'*&
Y2P
k*"#414"3H2S*rT"#4…:#4JV
 &
'P
k*"#414:7#4Wˆ!H*#-?3W=#4ˆ

l7#4*&
'%*
Bµi to¸n 2: '!,?:#41H81Ÿ9*H(!P
Theo bất đẳng thức , ta có:
Suy ra
>5 "6314,-!J &z
>?#= &z/,EV]:?#= &BA &'P
G  &
@A-: #1(/"E&
CM1 &CM1 &'
&•1( &'1P
&k  &
Bµi to¸n 3: Y#41HG$23#4H-:-?E
0314-:&>?#=V:314"2j&'E:(a
,JG
kG4"23
BA SijT
SxTSxTSxTSxTf2f&2&2&ST
k!ijS2T
7STS2Tfi/"b
CM1
22
!G,
"
SxTSxTSxTf2f2&2&
fi2(#4f#4l"f2
!
fi#4f2
?#=
S -/fi ifT":#414

+% ":#49G
CM1 
Bµi to¸n 4: SThi chọn đội tuyển 30/4 Lê Quý Đông Đà Nẵng vòng 2)
Y ":#41 "#414"X&Y@s "3J  
! <"3J
>¶i: 
Bµi to¸n 5: '!:#414 P 
'm&
'1*H(!9%
'm2&
'7 
&•1( A &
'7O1()%*K8N
m()%*1!% 
Bµi to¸n 6: Y+(U "#414"X! 
 
'(3P
'M8NP
'7P
23
k
'"
CM1 
Bµi to¸n 7:SC;G„'•'2jjTYm"#41H&Y+(U -
314 3-1H
tN "6314J
rG …A #1( "AM2J 0
 ST
rG "XA #1( "AM2J 0
 A S2T

'7STS2T#1(*&
Bµi to¸n 8PY"6#41-/]:3#414
Y@sPr
φ
ST!"6#414
tN 314,1$
tN 2314
'?P
BA
C3 !
C3 
 "
CM1()%*1/"E
tN

>?(;-":#414fi"
24
Bµi to¸n 9:( IMO Shortlist 2002. )
Y"#41H\ ":#414*O;"3H&Y+
(UP E, 3&
3 !  "
-/,EV]:?#=
A
n
f - &
  
Bµi tËp vËn dông :
1. '!:#414*]#P
2. (Iran 2008)
Y+(U}/#414 9

 D¹ng 4: ¸p dông mét sè bæ ®Ò cña sè nguyªn tè
*) Bæ ®Ò 1:
>?#= "#414"X3-":#4|-"#4|"X&
z:#4|81#
!81})*&
Y+VP'#=F*N*+U*?+&>?#=8-/
*7?#1(1<-/*&'a"bcrP
m1P
•1(P
@?

Sk-"XT
CM1?#=(J"#&'"*&
Y$b(U !*"#414"X&zff2:;]?#&
M*PY#414*fƒ-x&
Y@sPG:#4|819 !81*&
M*2PY#414*fƒ-x-"#4|"X&
Y@sPG:#4|819 !81*&
M*P>?#="#4|-:j14I&z:3#4
14"XJ 0ƒx3"#4|&
Y:M*OS•=Fa"b:;]?(?]1TP
25