118 hệ phương trình hay và khó có lời giải

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Chú ý : .
 Các bài toán hệ phương trình sau đây được trích trong tập “Hệ phương trình luyện thi đại học” của lớp
11C1K35-Trường THPT Đặng Thúc Hứa, Thanh Chương, Nghệ An.
 Lời giải: Phan Thị Minh Ngọc (10C1K36), có tham khảo lời giải của các thành viên của diễn đàn
www.k2pi.net
 Mọi góp ý các bạn vui lòng cập nhật thông tin tại diễn đàn www.k2pi.net

Một số bài toán đã được lược bỏ trong quá trình biên soạn. Đã chỉnh sửa lại đề cho cái bài sau: 16;37;69


Bài 1 (Nguyễn Thế Anh)
1.


 
3 2 2
3 2
3 3 3 4 1 1
3 6 6 12 1 2
x x y x y
y xy x y y





    

     

Lấy




1 2
 ta có:
 
 
2 2
2 2
1 0
1 4 2 6 0
4 2 6 0
x y
x y x xy y x y
x xy y x y




  
        
     

 Trường hợp 1:



2 2 2 2
4 2 6 0 2 4 6 0
x xy y x y y x x xy
            

Ta có:
 
2
2 8 0
3
y
x
    
 Nên phương trình trên vô nghiệm.
 Trường hợp 2 :
1 0 1
x y y x
     
.Thay vào


1
Ta có:
3 2
0
6 0 3 2 2
3 2 2
x
x x x x
x




     


 


o Với
0 1
x y
  

o Với
3 2 2 4 2 2
x y    
o Với .
3 2 2 4 2 2
x y     .
Vậy hệ có nghiệm là:
   




; 0;1 , 3 2 2;4 2 2 , 3 2 2;4 2 2
x y     
2.
2 2

2
1 0
1 0
y x y x
xy
xy x y
  
 
   






ĐK:
; 0
x y


Từ phương trình đầu tiên của hệ ta có:
  
2 0
2 0
2 0
y x y x xy
x y
y x y x
y x
    



    

 



 Với
x y

. Thay vào phương trình thứ hai ta có:
2
1 0 1
x x
   

 Với
2 0
y x
 
.Do
; 0
x y

. Nên phương trình vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có nghiệm :





; 1;1
x y 
Bài 2 (Nguyễn Văn Anh)
3.




3 3 2 2
3 3 2 2
2 3
5( )
8 0
5
5 1 2
2
x y x y
x y
xy
x y x y
x y
x y
 

   





 







ĐK:
1
; 0 2
5
x y
  

Phương trình thứ nhất của hệ thương đương với:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
   
 
3 2
2
3 3 2 2
2 3
2 0 2 0
x y x y
x y x y
x y x y

xy xy
x y x y
 
 
          

Với
x y

Ta thế vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
     
2 2
1 1
2 2
5 5
5 1 2 3
5 1 2 2 5 1 2 9 2 5 1 2 9 4 1
x x
x x x
x x x x x x x x x
 
   
 
     
 
 
           
 

 

  
 
 
2
3 2
2
2 13
2 13
2
2
9
9
1
9 1 9 3 1 0
9 4 1 4 5 1 2 0
x
x
x
x x x x
x x x x




 
 


   
 

 
    
     



Vậy hệ phương trình có nghiệm là




; 1;1
x y 
Bài 3 (Hoàng Đình Chung).

6.
2 2
2 2 2 2
10 3 29 2 20
2 5 5 5 2 5 5 5
x y x xy x y
x y x y x x x y x y y y
    
                






Từ phương thứ hai của hệ ta được
 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 5 2 5 5 5 5 5 0
1 1 1
10 0
2 5 2 5 5 5
5 5
10
x y x y x y x x y y x y
x y
x y x y x y
x y x x y y
x y
                 
 
 
     
 
       
      
 
  

Thay
10
x y
 
Vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:

         


2 2
2
10 10 10 3 10 27 10 0 10 17 73 0 10
y y y y y y y y y y
              

Với
10 0
y x
  

Vậy hệ phương trình có nghiệm là




; 0;10
x y 
7.
3 2 2 2
2 2 2 2
5 2 2 2 0
1
0
2
x x x y xy xy
x x y xy y

    
   






Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
 
2 2
2 2
0
5 2 2 2 0
5 2 2 2
x
x x xy x y y
x xy y x y


     

   


Với
0 0
x y
  

Với:
2 2
5 2 2 2
x xy y x y
    kết hợp phương trình thứ hai của hệ ta có:
2 2
2 2 2 2
5 2 2 2
2 2 2 0
x xy y x y
x x y xy y

   


   



Xét thấy




; 0;0
x y  là 1 nghiệm của hệ. Với
; 0
x y

Đặt

x ay

ta có hệ :


2 2 2
2 3 3 2 2 2
5 2 2 2 2 1
2 2 2
a y ay y y y
a y ay a y y

   


  



    
 
  
2
2 2 2
2 2
2 2
5 2 2 2
5 2 2 2 1 2 2 2 0
2 2 2 1
1 3

2
5 2 2 2 2 1 0
1 3
2
a a a
a a a a a a
a a a
a
a a a a
a
  
         
 





      






Với .
1 3
2
a


 . Thế vào


1
ta tìm được:
3 1 1
y x
   

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Với
1 3
2
a

 Thế vào


1
ta tìm được:
3 1 1
y x
    

Vậy hệ có nghiệm:
   





; 0;0 , 1; 3 1 , 1; 3 1
x y
   

8.
2 2 6 2 3 4 2 4
2 0
2
4
x x y xy y xy y x y
x
xy
y
      
 






Hướng dẫn: Rút
y
từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ nhất rồi phân tích có nhân tử chung
2
1
y



9.
3 3 2 2 2
2 3 2 0
1
1 0
4 2
x y xy xy x y
y
x y
     
  
 






Từ phương trình thứ của hệ ta có:
   
2
3 3 2 2 2
2 3 2 0 2 1 0
1
2
x y
x y xy xy x y x y x y
x

y



           
 




Với
1
2
x
y
 
 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
2
1 1
1 0 2 0
2
x
x x
x
 
       

Vô nghiệm
Với
x y


Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
1
1 0
5 1
y
y
   

Vô nghiệm
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
11.
   
2 2
2
2
( ) 3 3 2 3 15 23
2 2 3
x y x y xy y y
x x y
 
        
 
   






Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
       
3 3
3 2 3 2
6 16 9 31 23 2 4 2 3 4 3
x x x y y y x x y y
             

Xét hàm số:
3
( ) 4
f t t t
 



2
' 3 4 0
f t t
   
Hàm số đồng biến
Phương trình thứ nhất của hệ có dạng:


( 2) 3 2 3 1
f x f y x y y x
         

Thay 1
x y

 
vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
 
2
4
3 1 3 1 1 0 1
3 1 2
x x x x x
x
 
         
 
 
 

Với
1 0
x y
  

Vậy hệ có nghiệm:




; 1;0
x y 
Bài 7 (Đậu Thị Giang)

13.

3 3 2
2 2
3 17 18 3 13 9
6 5 10 0
y xy x x x y
x y xy y x
      
     





Rút
xy
từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
   
3
3 2 3 3
5 3 3 2 1 2 1 2
y y y x x y y x x
          

Xét hàm số:
3
( ) 2 0
f t t t
   
Hàm số đồng biến





1 1
f y f x x y
    

Thay
1
x y
 
vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
2
8
3 14 16 0
3
2
y
y y
y



   






Với
8 5
3 3
y x
  

Với
2 1
y x
  

Vậy hệ có nghiệm:
   
5 8
; 1;2 , ;
3 3
x y
 

 
 


14.
2 2
2 2
4 2 2 5 3

2 5 2 3 10
x xy y y x
x xy y x
    
   




Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
  
1
1 4 2 3 0
4 3
2
x y
x y x y
x
y
 


     





 Với 1
x y

 
thay vào phương trình thứ hai của hệ cho ta :
2
4 1
3 3
9 6 8 0
2 5
3 3
x y
x x
x y


  

   


   



 Với
4 3
2
x
y


Thay vào phương trình thứ hai của hệ cho ta:

11 89
15 11 0
15 30
x x y     
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:
 
4 1 2 5 11 89
; ; , ; , ;
3 3 3 3 15 30
x y

     
 
     
     

15.
2 2
2
3 3 3 9 3 4 0
3 6 2 10 3 0
x xy y x y
y xy x y
     
    




Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:

  
1
1 3 2 3 0
3
2 3
y
y x y
y x



    

 



Với
1
3
y

thay vào phương trình thứ nhất của hệ cho ta:
2
2
16
3
3 10 0
8
3

3
x
x x
x



   






Với
2 3
y x
 
thay vào phương trình thứ nhất của hệ cho ta:
2
15 27 31 0
x x
   
Vô nghiệm
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Bài 8 (Nguyễn Thị Giang)
16.
3 3 2 2
2 2
4 6 3 0

3 4 7 0
x y x x y y
x y x xy y
      
     




Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
     
3 2
3 3 2 2 3 2
4 6 3 0 1 4 1 6 1 4 6
x y x x y y x x x y y y
               
Xét hàm số:
3 2
( ) 4 6
f t t t t
  
ta có:
2
'( ) 3 8 6 0
f t t t
   
nên hàm số đồng biến.
Phương trình thứ nhất của hệ có dạng :
Thay
1

y x
 
vào phương trình thứ hai của hệ ta được :
2
3 4 12 0
x x
   
Vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
17.
2 2 0
3 5
x x y y xy y y x
x y x y xy
      
   






ĐK :
; 0
x y


HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Thế
xy
từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ ta có :


3
3 4 2 0 1 1
x x y y x x y x x y y y
           

Xét hàm số :


3
f t t t
 
ta có :


2
' 3 1 0
f t t
  
. Nên hàm số đồng biến
Phương trình có dạng :





1 1
f x f y x y
    
Thay
1
y x
 
vào phương trình thứ hai của hệ ta có :
0 0 1
x x x y
     

Vậy hệ phương trình có nghiệm




; 0;1
x y 
Bài 9 (Nguyễn Thị Trà Giang)
18.
3
3
1
4 2
1 1 1
2
3 4 8 1
x y
y x y

x y y


 

 
  








ĐK:
1; 3 4 8
y x y
  

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
   
2
3 4 2 4 1 0 1
3 2
x y y x y x y
y x y
 
       
 

 
 
 

Do
2 2 2 1
1 3 3 3 2 3 1
3 3
3 2 3 2
y y y x y
y x y y x y
           
   

Nên từ


1
ta có:
4
x y

. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
3
1 1 1
2
2 1 1y y
  
 
.

Đặt
6
1
1
a
y


. Ta có:
 
 
2 3 2
1 1
1 2 1 0 1
2 2
a a a a a a
         
. Hay
6
1
1 1 1 2
1
y y
y
     


Với
2 8
y x

  

Vậy hệ có nghiệm:




; 8;2
x y 

19.
1 4 4
2 1 0
1 1
1
1
( 1)( 1) 1 2 1 2
2
x
x x
y y
y
y
y x x y


     

 






      



ĐK:
1 ; 1
x y
 

Đặt


1 ; 1 0 ; 0
x a y b a b
     

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:


 
2
2 2 2 2 2 2
1 2 4 4 0 2 2 0
a b ab b ab b a b ab ab
           

Do
0 ; 0
a b
 
Nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
 
2
2 2 2
2
2 0
0
2 0
b
b
a
a ab a b


 



 


  



Khi đó:

1 0
1
5
1 2
x
x
y
y

 




 

 




Nhân thấy rằng
1
5
x
y






thõa mãn phương trình thứ hai của hệ.
Vậy hệ có nghiệm:




; 1;5
x y  .
Bài 10 (Nguyễn Phương Hà)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
3 2
3 3 2 2 2 2
43
2 3 4 0
27
6 3 5 6 2 1
xy y xy
x y xy xy x y x y
   
     






Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
   
2
3 3 2 2 2 2 2
1
6 3 5 6 2 1 3 1 1 0
3
x y xy xy x y x y xy x y x xy
 
             
 

Thay
1
3
xy

vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

2
1 1
1
9 3
y y x
      

Vậy hệ có nghiệm:
 
1 1

; 1; , 1;
3 3
x y
   
  
   
   

22.
2
2
2 2
3 10 0
x x y y y
y xy x y
    
    






Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
  
 
2 1
2 1 2 2 0
2 2
x y y

x y y x y y
x y y

  
       

   


 Với
2
2 1 1
x y y x y
     
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
3 2
4 4 9 0 1 2
y y y y x
       

 Với


2 2 2
x y y y
     
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
3 2
1
3 8 15 6 0

3
y y y y
     
(Loại)
Vậy hệ có nghiệm:




; 2;1
x y 

Bài 11 (Phan Thị Hằng)

24.
 
3
3 2 2
2 2
( 1)(2 1) ( 2 ) 7 1
3 2 9 8 3
x y x xy x y x y x
x y x y
         
   






Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
 
 
2 2
2 2
2
2 3 4 1 0
3 4 1 0
y x
x y x x y y
x x y y
 

      

    


 Trường hợp 1 :
2
y x
 
thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
2
5 3 0
x
  
Vô nghiệm
 Trường hợp 2:

2 2
3 4 1 0
x x y y
    
kết hợp phương trình thứ hai của hệ ta có hệ mới:
 
2 2
2 2
3
2 2
2 2
3 4 1 0
3 4 1 0 0
5 20 0
4
3 3 2 9 8 9
3 2 9 8 3
x x y y
x x y y y
y y
y
x y x y
x y x y

    

     

 
    

 

 
   
   






Với
0
y

Thay vào giải ta được
3 13
2
x


Với
4
y
 
. Thay vào giải ta được
3 13
2
x



Vậy hệ có nghiệm:
 
3 13 3 13
; ;0 , ; 4
2 2
x y
   
 
 
   
   
   

Bài 12 (Vương Thị Hiền)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
25.
2( ) 2
1 1
4
x y x y
xy
xy
x y xy
x y
y x
 

  

   








ĐK:
; 0
x y


Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:


2
2 2 2 2
2 2 2 0 0 2
x y x y xy y xy x xy y x xy x y xy x y x y xy
                

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:





2 2
3 4 0 1 4 0 1
x y xy xy xy xy xy xy xy
          

Khi đó ta có:
3 5
3
2
1
3 5
2
x
x y
xy
y




 



 









Thử lại thấy rằng hệ chỉ có nghiệm:
 
3 5 3 5
; ;
2 2
x y
 
 

 
 
 

26.
2 2
2 2 2
(2 ) 2( ) 6
x x y y
x x xy x y
    

    





Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất có dạng
2 2
0
A B
 

Đáp số:




; 1;1
x y 
27.
3 3
2 2
10 10
7 3 10
x y x
x y xy x y
  
   




Hướng dẫn: Cộng vế với vế của hai phương trình làm xuất hiện nhân tử chung
x y


Đáp số:




; 1;1
x y 
Bài 13 (Nguyễn Tài Hiếu). Giải các hệ phương trình sau :
28.
2 2
2 2
2 3 5
8 8 0
x y x y
x y x y
   
    




Hướng dẫn: Phương trình thứ hai có nhân tử
x y


ĐS :
 
5 65 5 65 5 65 5 65
; ;
4 4 4

; ,
4
x y
   

 
  
 
 
    
 
   

29.
3 2 2
3 2 2 2
1 0
2 1 4
x xy y
x y x x y
   
  




Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất có nhân tử:
1
x


ĐS
   
3
; 1;1 , 1;
4
x y

 

 
 

30.
3 2 2
2 2 6
x xy x x y x y
y x x y
    
    





ĐS :
3
3
x
y







Hướng dẫn:Phương trình thứ nhất có nhân tử
x y


ĐS:




; 3;3
x y 

Bài 15 (Phan Thị Ngọc Huyền).
33.
 
 
2
3 2 2 2 2 2
2 2
2
2
2 4 2 3 2 1
4 4 0
y x y x y y x y x

y
y x y y
 
       
 
 
   








HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
ĐK:
0 ; 1
y y
 

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:







2 2 2 2
4 2 2 4 0
y x y y x y y y y
       

 


 
2
2
2
2
2
9
2 2
y x y
y x y y
y
y x y y


   

  

  


 Với


2
2
y x y y
   
thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
 
2
2 2
35
2 4 4 0 8 0 8
4
y y y y y x

            (Loại)
 Với


2
2 2
y x y y
  
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:

      
2
4 1 4 1 0 2 1 0 1
y y y y y

         

Với
2
1 1 1
y x x
     

Vậy hệ có nghiệm là:




; 1;1
x y  
34.
6 3 2 2
3
3
3 24 (2 )(9 18 11) 0
1 2 2 1 6 1
x y y x x y
y x x y
     
 

   






Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:




2 4 2 2 2
2 3 6 9 12 18 1 0
x y x x y x y y
      

 Với
4 2 2 2
3 6 9 12 18 1
x x y x y y
    
=0 Ta có
 


 
2
2 2
2
6 9 12 12 18 11 27 2 1 24 0
x
y y y y
          
Phương trình vô nghiệm

 Với
2
2
x y
 . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :
 
      
3 3
2 2
3 3
3
2 1
1 2 1 4 1 1 0 1
1
4 1 2 1 4 1 2 1
x x x x x
x
x x x x
 
 
          
 

     
 

Với
1
1
2

x y
  

Vậy hệ có nghiệm :
 
1
; 1;
2
x y
 

 
 

35.
2 2
2 2
( )(2 ) 5 3 3
( ) 2 7
x y x y x y y
x y x y x y

     


     



ĐK:

2
x y


Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:




2
3 2 1 0
x y x y
    

Do
2 2
2 1 0
x y x y
    
nên 3 0 3
x y x y
     
.Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
 
  
2
2
2
4
4

1
3
33 4 3
13
1 10 13 0
3 4 3
10
y
y
y
y y y
y
y y
y y y






 

      
 


 
  

   





Với
1 2
y x
  

Với
13 17
10 10
y x  
Vậy hệ có nghiệm:
   
17 13
; 2;1 , ;
10 10
x y
 

 
 

Bài 16 (Hoàng Thu Hương)
36.





3 3 2 2
2 2
3 2 1 3 2 1 0
7 6 14 0
x y x y y y x x
x y xy x y

         


     



HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
ĐK:
; 1
x y
 

Từ phương trình thứ hai ta có:
 
2 2
2 2
10
2
0

( 7) 6 14 0
1 1
3
0
7
6 7 14 0
1 1
1
3
x
y
x
x x y y y
x y
y y x x x
y x
y

 
 

 
     
  

   
  
   
 
     


  

 



 



Từ phương trình thứ nhất ta lại có:








3 3
1 3 1 1 3 1
x y x y y x y x
          

Xét hàm số





3
3 1
f t t t t
  
. Ta có




2
' 3 1 0
f t t
  
. Hàm số đồng biến
Phương trình thứ nhất có dạng:
1 1
x y y x
    

Xét hàm số:




1 0
g a a a a
   
. Ta có
 
1

' 1 0
2 1
g a
a
  

. Hàm số đồng biến.
Phương trình có dạng




g x g y x y
  

Với
x y

. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
2
2
3 13 14 0
7
3
x
x x
x




   





Vậy hệ phương trình có nghiệm:
   
7 7
; 2;2 , ;
3 3
x y
 

 
 

37.




  
2 2
4 3 2 2 2
1
1
2
1 1
4 6 2 4 4 2 1

x y xy
x y
x x x y y xy x x y
  


 


        


Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
 
 
2
2
2
2 1 0 1
x x y y x
      

Thay
 
2
1
y x
 
vào phương trình thứ nhất ta có:





 
 
 
 
  
 
2 3 2
4
2 2 3 2
4
2
2
4
1 2 1
1
1 1 1 2 1 2 1 0
2
1 1 1
1
1 0
0
x x x x x
x x x x x x x
x x
x
x x
x

     
 
           
 
 
  
 


   




Với
1 0
x y
  

Với
0 1
x y
  

Vậy hệ có nghiệm là:







; 0;1 1;0
x y 
38.
4
4
2 2 2
1 1 32
2 6 0
x y
y x
x y x y x y

 
 

   

 
 

 
 

     



Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
 

4
4
4
4
1
1 1 1 1 1
1
x y
y x
 
 
 
      
 
 
 
 
 
 

Xét hàm số:
     
4
4
1
1 1 0
f t t t
t
 
    

 
 
.Ta có
   
3
3
1
' 4 1 4 0
f t t t
t
 
    
 
 
Nên hàm số đồng biến.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Phương trình thứ nhất có dạng
 
1 1
x y
x x
f f
x y
y y
  

   

 

 

 

Với
x y

. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
3 2
2 3 6 0 2 2
x x x x y
         

Với
x y
 
.Thay vào phương trình thứ hai cảu hệ ta có:
3 2
2 6 0 3 3
x x x x y
         

Vậy hệ có nghiệm







; 2; 2; , 3; 3
x y
   


39.
 


 
2
2 2 2 2
2 2
15 9 15 94
6 94 4 6 2 0
y xy x y y
y x y xy
x y x x y
x
      
  

  
  





Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
 
 
 


 
 
2
2
2 2
2 2 2
2
3 4 4 6 9 0
4 2 3 4 6 9 0
' 0
3 1
' 0
3 1
4 2 3 4 6 9 0
3 4 4 6 9 0
x
y
y y y
x x y y y
y
x
y y x x x
x x x


    

     
 

  

  
  
   
 
  
     


    
 





Thế
2
xy
từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
3 2 3 2
6 9 4 6 85
x x x y y y

     

Xét hàm số:


3 2
6 9
f x x x x
  
và


3 2
4 4
g y y y y
    với


; 3;1
x y  . Ta có:


2
' 3 6 9 0
f x x x
   
Nên hàm số đồng biến





1 4
f x f
  



2
' 3 8 6 0
g y x x
    
Nên hàm số nghịch biến




3 81
g y g
   

Khi đó ta có:




       
85
1 3 85
f x g y
f x g y f g

  


    


Hệ có nghiệm khi và chỉ khi




   
1
1
3
3
f x f
x
y
g y g
 




 
 
 





Thử lai thấy rằng




; 1; 3
x y
 
Không thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ. Vậy hệ vô nghiệm.

Bài 17 (Tôn Lương Khuê).

40.
2
2 2
( 1) 1
( ) 2 (1 )
x y
x y xy x

  


  



Hướng dẫn: Thế
y
từ phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai.
ĐS:






; 0;0 , 1;1
x y 

41.
3 3
2 2
( 1) ( 1) 12( ) 24 0
1
2
x y x y
x y x y

      


   



Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất có nhân tử

2
x y
 
.
ĐS:
 
3 1 1 3
; ; , ;
2 2 2 2
x y
 
   

   
   

Bài 18 (Trần Phan Trung Kiên)

42.
1 8
10 5 8
x y
x y

  


   



Hướng dẫn: Lấy phương trình thứ nhất cộng (trừ) phương trình thứ hai rồi đặt ẩn phụ
ĐS:




; 26;9
x y 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
43.
2 2
2 2
5 5
( ) 2 6 7
y x x
x y x y

  


   



Hướng dẫn: Lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai có nhân tử
2 1

y


ĐS:






; 0; 1 , 24;11
x y  

Bài 19. (Đặng Thị Lê )
44.
3 2 3
2 2
1
3 5 3 0
36
3 3 6 1 0
y y y x x
x y x y

     



    


Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:


2 2
' 9 3 3 1 9 3 8 0
x
y y y y
         
Nên phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

45.
4
4
2
3 1 1
x y x x x y y y y x x y
x x y

      


   



ĐK:
; 0
x y



Đặt


4
4
; ; 0
x a y b a b
  
. Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:


5 4 5 4 4 4 4 3 2 2 3 2 3 2 4 3
0
2 2 2 1 0
a b a a b b ab a b a b a a b a b a a b ab ab b b

 
                  
 


a b
 
Hay
4
4
x y x y
  

Thay
x y

vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
2
2 2
1
3 1 2 1 4
2
3 1 4 4 1
x
x x x
x x x



     


   


Vậy hệ có nghiệm:




; 4;4
x y 

46.
2
2
2
( ) 1
2
3
x xy
x
xy x y x y
y y
x x
y y

 
    

 
 

 


 



Hướng dẫn:Phương trình thứ hai là phương trình đẳng cấp.
ĐS:
 

1
; 3;
3
x y
 

 
 

Bài 20 (Lê Thị Kim Liên).
47.


 
2 2 2
3 3
2
2 2 2 2
2
2
3
3
8 3 1 3 1
4 3 1 2 1 1
1
2 1 4
y x y y
y y x y x

    




       



Đặt:
 
2
3
1 ; 1 4 0
y a x b b
    
. Ta có:
3 2 2
2
3 2 2
3 2 3 0
3 2 0
a a a b b
a b b
a a a b

    

  

   




Thay
2
a b b
 
vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
       
3 2
2 2 2 2 5 4 3 2
3 2 3 0 3 6 7 2 1 0 0
b b b b b b b b b b b b b b b
                

Với
0 0
b a
  
. Khi đó:
2
2
1
1 4 0
2
1 0
1
x
x
y
y



 
 
 

 
 
 
 



HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Hệ có nghiệm là:
 
1
; ; 1
2
x y
 
  
 
 

48.
2

2 2
( 1) ( 1)( ) 1
( )( 2 ) 1 ( ) ( 2 3)
y x x y
x x y x x x y x y

    


       



Đặt 1 ; 1
x a y b
   
. Ta có:
2 2
3 2 2 3
1
2 3 2 2
b a ab
b a b ab a a b

   


     



(Hệ đẳng cấp)

Bài 21 (Lê Thị Diệu Linh)
49.
2 1 ( 1)( 1) 4 0
1
1 1 1
3 2 1
x y x x y
y
x y
x x

       



    

  


Hướng dẫn:Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra hệ vô nghiệm.
50.
       
2 2
3 3
3 3
( 1) 5( 1) 6( 1)
( 1) 1 1 1 1 3( 1)

x y y
x x y y x y

    


        



Hướng dẫn: Phương trình thứ hai là phương trình đẳng cấp.
ĐS:








; 0;0 , 2; 2 , 1; 1
x y
    

Bài 22 (Nguyễn Thanh Mai).
51.
2 2 3 3 2
2 2 2 2 2 2
(2 )(4 2 1) 7
x y x y x y xy x y x

x y x y xy x y

       


    


Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất là phương trình đẳng cấp :
    
2 2 2 2
2 0
x y x y y x y x
      

ĐS






; 0;0 , 1; 1
x y
 


52.
2 3 2
3 2 3 3 2 2

4( 1) 8 2 ( 2 1) ( 2)
( ) ( 3) 3 4 ( 2) ( 2)
xy y y x y
y x y x y xy y xy y

      


         




Bài 23 (Nguyễn Viết Mạnh).
53.
3 3 2 2
3 2
2 0
2 2
x y x y xy xy x y
x y x x y

      


    



ĐK:

0
x y
 

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
 
 
2 2
2 2
1
1 0
0
y x
x y x y x y
x y x y
 

      

   


Trường hợp 1:
1
y x
 
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
3 2
0 1
2 0

1 0
x y
x x x
x y
   

   

  


Trường hợp 2:
2 2
0
x y x y
   
. Do
2 2
0
0 0
0
x
x y x y x y
y


       




Thử lại thấy rằng




; 0;0
x y  không thỏa mãn phương trình thứ hai.
Vậy hệ có nghiệm là :






; 0; 1 , 1;0
x y  
Bài 24 (Trần Thị Bích Ngọc).

55.
2 2
3 3 2
10 5 2 38 6 41 0
6 1 2
x y xy x y
x xy y y x

     



     



HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Từ phương trình thứ nhất ta có:


2 2
10 2 19 5 6 41 0
x x y y y
     

Để phương trình có nghiệm:
 
2
' 0 49 1 0 1
x
y y
       

Thay
1
y

vào phương trình thứ nhất của hệ ta được
2

10 40 40 0 2
x x x
    

Thử lại thấy rằng




; 2;1
x y  Thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ.
Vậy hệ có nghiệm:




; 2;1
x y 
56.


 
4 4 2 2
2 2
2 2 2
2 2
22
3 2
3 4 8
x y x y

x y
y x
x y
xy y x

 

 



  



ĐK:
; 0
x y


Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:


 
 




 

2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 0 0 0
x y x xy y x xy y
x y x y x y
x y
y x xy x y
x y x y x y
x y
x y
x y
 
    
   
 
 
         
   
 

   
 
 



  

 



Với
x y

.Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
3 2
3 4 8 0 1 1
x x x x y
       

Với
x y
 
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
3 2
3 4 8 0 1 1
y y y y x
         

Vậy hệ có nghiệm:







; 1;1 , 1; 1
x y
 
.
57.
3 3 2
4
4
4
3 4 2 0
1 1
2 2
2 2
x y x x y
y x y x

     


      



ĐK:
0; 0
y x
 

.
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
   
3
3
1 1
x x y y
    

Xét hàm số


3
f t t t
 
ta có


2
' 3 1 0
f t t
  
. Nên hàm số đồng biến
Phương trình thứ nhất của hệ có dạng :




1 1 1
f x f y x y x y

        

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :
4 4
4 4
1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
y y y y
          

Xét hàm số :




4 4
1 1 0 1
f t t t t t t
       
. Ta có :
 
 
4 3 3
4
1 1 1 1
' 0
2 2 1
4
4 1

f t
t t
t
t
    


Nên hàm số đồng biến.
Phương trình có dạng
 
1 1 1
2 2 2
f y f y x
 
    
 
 

Vậy hệ có nghiệm :
 
1 1
; ;
2 2
x y
 

 
 
.
Bài 25 (Biện Thị Nguyệt)

58.
2
2 2
( 1) ( 3) 2 0
( 3) 8 6 2 11 0
x x y y
x x xy x

    


     



Hướng dẫn: Từ phương trình thứ nhất của hệ xét hàm số:


3
2
f t t t x y
    

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
ĐS:





; 1;1
x y 
59.
2 2
2 2
3 3 0
2 1 2 3 1 0
x y x y
y x y x

   


     



Hướng dẫn: Chuyển vế và bình phương hai vế của phương trình thứ nhất.
ĐS:
   


; 1;1 , 2 2;2 2
x y   
60.
3 3 2 2
2 2
2 1

2 6 2 3 0
x y x y y
x y x y

    


    



Hướng dẫn: Từ phương trình thứ nhất của hệ xét hàm số:


3 2
1
f t t t t x y
     

ĐS:






; 0; 1 , 2;1
x y  
Bài 26 (Lê Thị Nguyệt).
61.

 
     
 
4
9 18 8
2
1 1 0
1 1 3 1 2
y x
x y y y y x

   


      



Đặt
   
2
1 ; 1 0 , 2
y b x a b a
     

Ta có hệ:

 
 
2

2
8 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8
9 8 9
2
2
4 0
3 4 0
a b
a b
a b a a b a b a b a b a b a b ab b
a ab b

 

 
 

 
         
  





2
2
2
2 0
a b

b b
a b

 
     



Vô nghiệm
Vậy hệ vô nghiệm.
62.
3 2
2 2
20 3 3 0
3 1
y y xy x y
x y y

     


  



Hướng dẫn: Thế
3 1
y

từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ.

ĐS:
 
3 1 3 1
; ; , ;
2 2 5 5
x y
 
   

   
   

63.
2
1 2
2
1 12
x
x y
y
x y

 
 

 

  

 


 
 


 


Hướng dẫn: Chia phương trình một cho
x
,chia phương trình hai cho
y
.
ĐS: VN
Bài 27 (Nguyễn Thanh Nhàn)
64.
 
   
2 2
4 ( 2) 4 1 2
2 3 4 0
x y x y x y x y y x x
x x y y

        



   


ĐK:
; 0
x y


Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
 
 
 
   
 
2
2
1
0
2 2 2
x y
x y
x y
x y x y x y x y
 

 
  
 

 
     
 

Do
 
 
   
 
2
2
1
0
2 2 2
x y
x y
x y x y x y x y

 

     
Nên 0
x y x y
   

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Thế
x y

vào phương trình thứ hai của hệ ta có:

2
0
5 5 0
1
x
x x
x


  




Vậy hệ có nghiệm:






; 0;0 , 1;1
x y 
65.
2 2
2 2
156 208
18 32 52 2 2 0
5 5
7 4 8

x y xy x xy y xy
x y

    



 


Đặt


; 2 ; 0
x a y b a b
  

Xét thấy




;0 , 0;
a b
đều không phải là nghiệm của hệ nên
; 0
a b


Đặt



0
a kb k
 

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
4 4 4 2 4 3 4 4
90 40 130 156 104 0
k b b k b k b kb
    

 
 
3
2
3 2 30 32 22 20 0
3
1
k
k k k k
k



      





Với
2
3
k

Hay
8
9
x y
 . Thay vào giải ta được nghiệm:
 
8 2 162
; ;
193
193
x y
 

 
 
 

Với
1
k

Hay
x y


. Thay vào giải ta được nghiệm:
 
1
; 1;
2
x y
 

 
 

Vậy hệ có nghiệm:
 
8 2 162
; ;
193
193
x y
 

 
 
 
1
1;
2
 
 
 

66.
2 2
3 4 5 6 1
1 17 4 16
x x y y
x y x

     


   



Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
 
2
2 2
2 2
1 6 1
3 4 5 6 1
2
6 8 10 6 0 1
y y
x x y y
x x y y
  
      
     

Từ phương trình thứ hai của hệ ta lại có:
2
1 17 4 16 18 4 16 0
x y x x x y
        

Kết hợp


1
và


2
ta có:
   
2 2
2 2 2
1
6 8 10 6 18 4 16 5 1 1 0
1
x
x x y y x x y x y
y


             

 


Thử lại thấy rằng




; 1; 1
x y
 
không thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ.
Vậy hệ vô nghiệm.
Bài 28 (Nguyễn Thị Nhung).
67.
2 2
( 1)( 1 ) 12
3 2 1 1 2 1 0
x y x y xy xy
y x x x y y xy
     



       



ĐK:
2
2
1

1
3 2 1 0
2
1
1 2 0
1
2
x
x x
y y
y

 


  
 

 
  



  



  
1 0
12 1 1 0 0 0

1
1
2
x y
xy x y x y xy xy y
x y xy
  


            

   



HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Lúc này ta có:
 
1
1
0 1 1
2
0 1
x
xy
y


 

  


 


Mặt khác theo
AM GM

ta có:
  


 
3 3
3
12 1 1 3 2 2 12 .
. 1 2
xy x y x y xy xy xy xy xy xy
xy xy xy xy
        
   


Từ





1 , 2 1 1
xy x y
    

Thử lại thấy rằng




; 1;1
x y  là nghiệm của phương trình
69.
2
(2 1)( ) 2
(2 2 5) ( 3) 3 0
x y x y xy y
x x y y y

    


     



ĐK:
; 0
x y


.
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
 
  
 
2
2 1
0 1
2 1
x y y y
x y
xy y
x y x y y
 
  
 
  
 

   
 

Từ phương trình thứ hai ta lại có:
     
     
2 2
2
3 2 1 0
3 2 0 1 2 2
x y x y x

x y x y x y
      
         

Kết hợp




1 2
cho ta
x y


Thay vào giải ta nhận được nghiệm:
   
3 3
; 1;1 , ;
5 5
x y
 

 
 

Bài 29 (Lê Thị Oanh)
70.
 
 
6 4 2 2 2 2

2
2
8 6 2 2 4
3 3
2 3
2 2
2 1
y
x y x y y y x y x y
x
x x x y x


    



    


Hướng dẫn: Phương trình thứ hai có dạng
2 2
A B


71.
 
4 3 2 2 4 3 2
3 2
2

3 36 9 12 6 9 24 115
2
3
2 6 4
x x x xy x y x xy xy xy x
x x
x
x x xy
y y

         



   



Hướng dẫn: Cả phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ đều có nhân tử
x

Bài 30 (Nguyễn Thị Hà Phương).
72.
 
 
 
2
2
2 2 2 2
1 2

1 1
4 1 6 5 1 1 ( 1)( 1)
x y
y
x y
x y x x x y


 


  


       



Đặt
 
2
1 ; 1 ; 0
x a y b a b
    
.Ta có:


2
3 2 2
2

4 5 6
b a b
a ab a b

 


  


(Hệ đẳng cấp)
73.




   
2
3
3 7 4 3 2 1 2 4 0
6 2 0
x xy y x y x y
x y y x y

      



   


Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất là PT đẳng cấp:








2 2
2 2 3 2 0
x y x y x y x y
      

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
74.


2 2 2 2
2
( 5) 2 3 2 2 1
3 6
x x y x y x y
x y

      




 


Hướng dẫn: Thế
2
x
từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ.

Bài 32 (Nguyễn Đình Thành).
76.
 


 
 
 
2 2 2
2
3
2 14 8 3 24 12 5
1 2 3 2 3 5
x y x y xy y y
y x y x y

      



     



Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
     
2
2 2
2
5 27
1 1 2 0 1
2 4
x y x x y y y x y
 
 
           
 
 
 
 
 

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
 
3 2 2
3
2
3
3
6

3 2 6 2 3 5 4 1 4 6 0
(3 5) 2 3 5 4
y y y y y y y
y y
 
 
           
 
   
 

Trường hợp 1:
1 2
y x
   

Trường hợp 2:
2
2
3
3
6
4 6 0
(3 5) 2 3 5 4
y y
y y
   
   

 

2
2
3
3
2
3
3
18
2 (3 5) 2 3 5 4 0 2 1
(3 5) 3 5 1
y y y y x
y y
 
 
            
 
   
 

Vậy hệ có nghiệm là:






; 1;2 , 2; 1
x y
  

Bài 33 (Trần Thị Phương Thảo).

78.
   
2 2
2 2
2 2
2 4 1 4 13
2 2
x y xy
x xy y
x y
x y
x y

    



 
  







Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc hai ẩn

2
x y

.

79.


2 2
3 3
2 2 2 2
4
3 2 0
( ) 1
3 3
x y y y x
x y
x y x y
x
y
x y x y

    




  
  


 



Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất có nhân tử chung
x y



80.
3 3 2
2 2
4 4( 3 ) 3( 1) 7
( 1) ( 1) 4
x y x y x
x y

     


   



Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
 
 
 
 
2

2
3;1
1 4
1;3
1 4
x
x
y
y


 
 
 

 
 
  




Từ phương trình thứ nhất của hệ ta được:
3 2 3
3 4 2 4 12 8 0
x x x y y
      

Xét hàm số:





3 2
3 4 2 3 1
f x x x x x
      
.Ta có:


2
' 3 6 4 0
f x x x
   
.Hàm số đồng biến




1 0
f x f
  

Xét hàm số :




3
4 12 8 1 3

g y y y y
      
. Ta có :
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa




2
' 12 12 . ' 0 1
g y y g y y
     

BBT :


Dựa vào bảng biến thiên ta thấy :




1 0
g y g
 

Lúc này ta có :





       
0
1 1 0
f x g y
f x g y f g
  


   


Hệ có nghiệm khi và chỉ khi




   
1
1
1
1
f x f
x
y
g y g
 





 






Thử lại thấy rằng




; 1;1
x y  Thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ.
Vậy hệ có nghiệm là :




; 1;1
x y 
Bài 34 (Nguyễn Thị Thuận).
81.
2
2 2
( ) (2 2) 2
3 4 4 1 0

x y x x y
x y x y

    


    



Đặt: ; 1
x y a x b
   
. Ta có hệ:
 
 
 
2
2
2
2
2 2
2 1 2 1 0
3 2 3
a b a
b a a b
b a a b

 


     

   



 Trường hợp 1:
1
1
2 1 0
2
2
a
b b
a


    

 


Với
1
2
1
b
a








Hay
3
1
2
1
1
1
2
2
x y
x
x
y

 



 

 
 
 
 





Với
2
1
2
a
b
 






Hay
3
2
2
1
7
1
2
2
x y
x
x
y


  



 

 
 
 
 




 Trường hợp 2:
2
2
1
2 1 0
2
a a
a a b b
 
      .Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
 
  
 
2 2 2
1
1 2 0 1 2 1 0

2
a
a a a a a a a
a


          

 


Với
 
1 3 1
1 ; ;
2 2 2
a b x y
 
     
 
 

Với
 
1 3 7
2 ; ;
2 2 2
a b x y
 
      

 
 

Vậy hệ có nghiệm là:
 
3 1 3 7
; ; , ;
2 2 2 2
x y
   
  
   
   

Bài 35 (Đậu Bá Tiệp).
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
82.
3 2 2 3 2 2
3
3
8 20 18 8 16 5 13 9 4
5 16 7
x x x x y xy y y y xy
y x

       



 



Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:




2 2
2 5 6 13 4 10 8 0
x y y xy y x x
      

 Trường hợp 1:
2 0 2
x y y x
   
.Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
3 3
5 2 7 1 2
y y y x
     

 Trường hợp 2:
2 2
5 6 13 4 10 8 0
y xy y x x
     

.Ta có:
 
2
44 1 0 1 108
x
y y x         
Thử lại thấy rằng hệ chỉ có nghiệm:




; 1;2
x y 
83.
4 2 2
6 3 2
4 2
1
3
4
2
4 20
3 2
x x y y
x y y
x x


   






   



Bài 36 (Trần Đức Tín).
84.
5 2 3 3 2 5
4 4 4 3
0
0
x x y x y y
x y x y
   
  




Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất có nhân tử
 
2
x y

Bài 37 (Lê Văn Tố).
85.
2

4 2 2
3 3( ) 0
9 ( ) 5 0
x xy x y
x y x y x
   
   




HPT
 
 
2
2
2
2
2 2 2
3 3 3
3 3 3 5 0
3 3 5
0
4
3
1
3
0
x y x xy
x y

x
y
y
y
x y x y x
  
 
     
 
   







 









Với
0 0
x y

  

Với:
4
3
y
 
Vô nghiệm
Với
1
1
3
y x
  

Vậy hệ có nghiệm
   
1
; 0;0 1;
3
x y
 

 
 

86.
2 2
1 1 3
2013 2010 2

2012( 2012) ( )( 4024)
x y
x y
x y x y xy x y x y
   
 
        






Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
  
2012
2012 2 2012 0
2012 2
y
y x y
x y


    

 


Với
2012 2012

y x
   

Với:
2012 2
x y
 
. Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
2012 2012
1 1 3 11
2012 2012 11 2012
4025 2 2010 2 2
11
2012 11 2012
2
y x
y y x
y y
y x


   


         


 


     



Vậy hệ có nghiệm:
   
11 11
; 2012; 2012 , 11 2012;2012 , 11 2012;2012
2 2
x y
   
      
   
   
   

Bài 38 (Nguyễn Thị Trang).

87.
3 2 3 2
2 2 2
4 5 3(2 3 ) 9
1 6 8 1
x x y y x y
x x y y
      
      







Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
           
3 2 3 2
1 1 1 2 2 2
x x x y y y
          

Xét hàm số:


3 2
f t t t t
  
. Ta có:


2
' 3 2 1 0
f t t t
   
Nên hàm số đồng biến.
Phương trình thứ nhất có dạng :





1 2 1 2 3
f x f y x y x y
         

Thế
3
x y
 
Vào phương trình thứ hai của hệ ta được :


Vậy hệ có nghiệm :






; 1;4 , 1;2
x y  
88.
3
3 2 2
2 2
2 367 2
3 8 3
3 18 3
7 6 14

x x
y y x y
y x xy x y
     
    






Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
 
 
2 2
2 2
7
1
7 6 14 0
0
3
0
10
6 7 14 0
2
3
x
y
y
x x y y y

y y x x x
x

 

     
 

  
 
  
 
     

 


 



Từ phương trình thứ nhất của hệ ta lại có:
3 2 3 2
12 12 367 54 54 18 144
x x x y y y      
Xét hàm số:


3 2
12 12 367

f x x x x
   với
10
2;
3
x
 

 
 

Ta có:


2
' 36 24 367 0
f x x x
   
Nên hàm số đồng biến




2 878
f x f  
Xét hàm số:


3 2
54 54 18

g x y y y
    Với
7
1;
3
y
 

 
 

Ta có:


2
' 162 108 18 0
g y y y
    
. Nên hàm số nghịch biến
 
7
1022
3
g y g
 
   
 
 

Lúc này ta có:





     
144
7
2 144
3
f x g y
f x g y f g
   


 
    
 

 

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi




 
2
2
7
7

3
3
f x f
x
y
g y g
 


 

 
 


 
 

 


Thử lại thấy rằng
 
7
; 2;
3
x y
 

 

 
thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ.
Vậy hệ có nghiệm
 
7
; 2;
3
x y
 

 
 
.

   
2 2
4 1
3 2 1 3 1
2 1
y x
y y
y x
  

     

  

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP

Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa

90.
2 2 2 2 2 2
2 2
4 3 7 4( 5 6 ) 3 2
3 10 34 47
x xy y x xy y x xy y
x xy y
       
  






Hướng dẫn: Nhân lien hợp phương trình thứ nhất của hệ.

89.
3 3 2 2
2 2
87
4 5 16 6
8
2 2 2 2 1
x y y x x y
x y x y
     

   






Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
3 1
;
0
2 2
0
1 3
;
2 2
x
y
y
x
 
 


 
 

   

 

 
 



 
 

 


Xét hàm số:
 
3 2
1 3
4 16
2 2
f x x x x x
 
     
 
 
. Ta có:


' 0
f x
 
Vô nghiệm
BBT :

Từ bảng biến thiên ta thấy :
 
1 31
2 4
f x f
 
  
 
 

Xét hàm số :
 
3 2
3 1
5 6
2 2
g y y y y y
 
      
 
 
.Ta có :
 
5 7
' 0
3
g y y
 
  

BBT :

Dựa và bảng biến thiên thấy :
 
3 9
2 8
g y g

 
 
 
 

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Ta có :
   
   
71
8
1 3 71
2 2 8
f x g y
f x g y f g

 




   

     
   

   

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi
 
 
1
1
2
2
3
3
2
2
f x f
x
y
g y g

 

 
 
 



   

 
 
 
 
 
 



 


Thử lại thấy rằng
 
1 3
; ;
2 2
x y
 
  
 
 
.Thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ.
Vậy hệ có nghiệm
 
1 3
; ;

2 2
x y
 
  
 
 
.
Bài 39 (Phạm Thị Trà)
92.
3 3 2 2
2 2
5 8 100
( ) 5 13
3 3 3
3 4 4 0
x y x y x xy x
x y xy x y

      



     


Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
 
 
  
 

2 2
2 2
7
1
3 4 4 0 1 3 7 0
0
3
0
4
4 3 0
4 3 4 0
0
3
x
y
y
x x y y y y y
x x
y y x x x
x

 

        
 

   
  
   
 

 
     


 



 



Thế
xy
từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
3 2 3 2
3 18 45 3 2 8 108
x x x y y y     
Xét hàm số:
 
3 2
4
3 18 45 0
3
f x x x x x
 
    
 
 
. Ta có:

2
9 6 45 0
x x
  
.
Nên hàm số đồng biến
 
4 892
3 9
f x f
 
  
 
 

Xét hàm số :
 
2
7
3 3 8 1
3
g y y y y y
 
    
 
 
. Ta có
 
4
' 0

3
g y y
  

BBT :

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy :
 
4 80
3 9
g y g
 
 
 
 

Ta có :




   
108
4 4
3 3
f x g y
f x g y f g
  



   
  
   

   

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi
 
 
4
4
3
3
4
4
3
3
f x f
x
y
g y g

 



 


   


 
 
 


 



 


Thử lại thấy rằng
 
4 4
; ;
3 3
x y
 

 
 
. Thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Vậy hệ có nghiệm :
 

4 4
; ;
3 3
x y
 

 
 
.
93.
 
(11 6 9) 14 9 (2 )(2 3 )
11 3 7
2
3
2
y x y x xy x x y y y x
x
y x
x

       



 




Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
 
  
 
3 11 9
2 2 3 0 1
11 9 9 14 9
x y
x y y xy
y x y x xy x
 
 
 
   
 
    
 

Từ phương trình thứ hai của hệ ta lại có :
11 1
2 3 2 2 3
3
2
11
3 11 3 9 0
3
y x x
x
y x y
    


      

  
3 11 9
2 3 0
11 9 9 14 9
x y
y xy
y x y x xy x
 
  
    

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0
0
3 11 9 0
y
xy
x y




 


  



Vô nghiệm
Nên từ


1
ta có :
2 0 2
x y y x
   
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được :
2
22 3 7
2 73 74 147 0 1 2
3
2
x
x x x x x y
x

         


Vậy hệ có nghiệm là :




; 1;2
x y  .

Bài 40 (Nguyễn Thị Trinh)
94.
3 3 3 2 2
4 2
( 3 )( 3 ) (3 4) 28 32
4 1 5
x y x y y x x y
x y

      


   



Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:




   
3
2 2
1 1 3 3
x x y y
      

Xét hàm số:



3
f t t t
 
.Ta có:


2
' 3 1 0
f t t
  
Nên hàm số đồng biến.
Phương trình thứ nhất có dạng




2 2
1 3 4
f x f y x y
     
. Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
 
2
2 2 2
4 2 6
4 4 1 5 4 3 5 1 9 14 16 0
3 3
y y y y y y y x                 
Vậy hệ có nghiệm:

 
2 6 8
; ;
3 3
x y
 
 
 
 
 

Bài 41(Trần Thị Cẩm Tú)
95.
2 2
2 2
8
2 2
2 1
3 3 5 8
x y
y
x y
y x

  



 


   
 

 


ĐK :
; 0
x y


HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
   
 
 
2 2
3 3 2 2 2 2
3 3
3 2 2 3 2 2
2 2 8
3 3 5 2 2 2 2 2
3 3 5 16 8
2 2 0 2 1 0 2 0 2
x y y y
HPT x y xy xy x x y y y y x y y y
x y xy xy x y
x xy x y y x y x y x xy y x y x y


  

         

   


                 

Thế
2
x y

Vào phương trình thứ nhất của hệ ta có :
3 2
4 2 2 8 0 1 2
y y y y x
       

Vậy hệ có nghiệm :




; 2;1
x y 
96.
3 3
2

2
( ) ( 1)
x y x y
xy y x x y

  


   



 
       
3 3
3 3
2
2 2
2
2 1 2 1
3 3 3 3 1
x y x y
HPT x y x y y y
xy x y x y

  

        

   




Xét hàm số:


3
2
f t t t
 
.Ta có:


2
' 3 2 0
f t t
  
Nên hàm số đồng biến.
Phương trình có dạng




1 2 1
f x y f y x y
     

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có :
3 2
0 1

2 2
6 12 3 0 1 2
2
2 2
1 2
2
y x
y y y y x
y x


  

 

        


 

    



Vậy hệ có nghiệm :
   
2 2 2 2
; 1;0 , ; 1 2 , ; 1 2
2 2
x y

   
   
    
   
   
   

98.
( )(6 6 1) 3 7
( )(6 6 1) 2 11 0
x y x y xy
x y y x xy
    


     


2 2
2 2
6 6 3 7 0
4
2 4 0
2
6 6 2 11 0
x x y y xy
HPT x xy x
y
x x y y xy


     

      


      



Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
  
 
4 3 3 2
3 4
6 23 39 52 60 0 3 3 2 2 3 10 0
2 3
2 2
y x
y y y y y y y y
y x
  


            

    


Vậy hệ có nghiệm là:
   

3 2
; 4;3 , ;
2 3
x y
 
  
 
 

99.
2
( 6 3) 3 (8 3 9)
8 24 417 ( 3) 1 3 17
x y xy y y x y
x x y y y y

     


        



Với
0
y

Thì hệ vô nghiệm
Với
0

y

. Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :




3 3 3 3 6 3 8 0 3 2 4 3
x x x y y x y y x y x y
             

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :
    
4 4 6 3 1 2 17
y y y y y
      

ĐK:
1 6
y
 

 
  
1 5 19
1 3 0 1 1
3 17 4 4 6
y y
PT y y y x
y y y

 
 
 
        
 
   
 

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP


Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
100.
2
2
3 2 4 91 0
2 3 61 0
x xy x y
y xy x y

    


    





 

  
2
2 2
2
2 3 2 4 91 0
6 6 5 5 1 0 2 3 1 3 2 1 0
3 2 3 61 0
x xy x y
HPT x y x y xy x y x y
y xy x y

    

             

    



Với
3 1
2 3 1 0
2
y
x y x

     . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :
2
3 4
13 2 123 0

41 68
13 13
y x
y y
y x
  


   

    



Với :
2 1
3
y
x
 
 . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :
2 1
61 92 61
3
y
y x
 
     

Vậy hệ có nghiệm là :

     
61 41
; 4;3 , ; , 61; 92
13 13
x y
 
   
 
 

Bài 42 (Trần Thị Ái Vân):
101.
 
2
2
3 7 4
2 1 (2 1)
x y y x
y y xy x x xy

   



    


Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :





2
3 3 1 1
x y x y x x
      

Xét hàm số :




2
3 0
f t t t t
  
Ta có :


' 6 1 0
f t t
  
Nên hàm số đồng biến.
Phương trình thứ nhất có dạng:


2 1 1
y x 
Từ phương trình thứ hai của hệ ta lại có :





4 4 4 0
x y x y x y y x
      

Với
x y
 Thay vào


1
thì phương trình vô nghiệm.
Với
4 4 4 0
x y x y y x
     
kết hợp


1
ta có :
 
0 1
4 7 11 0
1 9
x y
x x x
x y

  

   

  


Vậy hệ có nghiệm là :






; 0;1 , 1;9
x y 
103.




2 2
4 2 2
3 3 3
2 2 2
x x y y
x y

    




   


Hướng dẫn : Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra
x y
 

106.
2 2 2 2 2
2 2 2
3 8 5 3(5 ) 3 9 10
(3 5 ) (5 3 ) 27 509
x xy y y xy x xy y
x y x y x

      


    



Hướng dẫn: Nhân liên hợp phương trình thứ nhất của hệ.
108.
2
(4 11) 2 7 (3 4 ) 2 3 0
2 2 3 4 3 2 8 10
x x y y

x y y x y y

     


       



Hướng dẫn: Từ phương trình thứ nhất của hệ xét hàm số:


3
2 3
f t t t
 

109.
2 2
3 3
4
3
( 4) 4 ( 4) 3 0
15 15
x x x x
x x
y y y y
x xy x

   

     

 
 

   

 


Hướng dẫn: Từ phương trình thứ nhất có nhân tử
2
3
x
y
.