Hệ phương trình hay và khó thi Dai Hoc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (584.54 KB, 65 trang )
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 108 -
1, Hệ phương trình hai ẩn không đối xứng:
3
2 3
3 4
2 6 2
y x x
x y y
Giải:
Gọi hai phương trình lần lượt là phương trình (1) và (2).
Ở phương trình (1), ta có
3 2
2 3 2 (2 )( 1) .
y x x x x
Ở phương trình (2), ta có
3 2
2 2 6 4 2( 2)( 1) .
x y y y y
Từ đây ta nhận xét rằng, nếu y>2 thì ta sẽ đồng thời suy ra x>2 và x<2 (vô lí). Tương tự y<2 ta
cũng sẽ ra vô lý. Như vậy, ta phải có
2
y
, từ đó suy ra
2
x
. Như vậy, hệ có nghiệm duy nhất là
bộ
( 2, 2).
x y
2, Giải hệ phương trình:
3 2 2 2
3 2 2 2
3 1 2
3 1 2
x xy x x xy y
y x y y y xy x
Giải:
Cách 1:
Đây là một bài hệ cực hay đối với mình cả về hình thức và lời giải cho nó. Hệ này nhìn vào cách xếp
hình thức cực kì đẹp và đường lối để giải nó cũng khá thú vị vì chỉ sử dụng một chất liệu đơn giản là
phép thế và kiểm tra xét điều kiện nghiệm. Nhưng để đến sử dụng chất liệu đơn giản đó không phải
là đoạn đường quá dể nếu không nói là sẽ rất lúng túng nếu ta không khéo léo sắp đặt. Cụ thể ta thấy
ở phương trình thứ nhất trong hệ nếu để nguyên như nguyên thủy thì sẽ chẳng tìm được ý đồ để giải.
Bây giờ ta biến đổi một chút phương trình thứ nhất trong hệ thành như sau
3 2 2 2 3 2 2 2 2
3 1 2 1 2 2 ( )
x xy x x xy y x x xy x y xy xy a
Ta quan sát thấy vế
trái phương trình
( )
a
là một phương trình bậc
3
theo biến
x
và có
1
x
thỏa nên ta bằng việc
chia đa thức hoặc sơ đồ Horner ta sẽ được phương trình mới như
sau
2 2
( 1)( 1) 2 ( 1) (1)
x x y xy y Tương tự phương trình thứ hai trong hệ ta cũng biến đổi
được thành phương trình
3 2 2 2 3 2 2 2 2
2 2
3 1 2 1 2 2
( 1)( 1) 2 ( 1) (2)
y x y y y xy x y y x y x x y xy
y y x xy x
Vậy hệ phương trình đã cho được viết lại thành hệ mới
2 2
2 2
( 1)( 1) 2 ( 1) (1)
( 1)( 1) 2 ( 1) (2)
x x y xy y
y y x xy x
Tới
đây ta sẽ đi xét nghiệm và thế vào sẽ giải quyết được bài toán này. Ở đây theo phân tích các bạn sẽ
thấy nếu ta xét trường hợp
2 ( 1) 0 và 1
xy x y
thì lập tỉ số vế theo vế ta có phương trình
2 2
2 2 2 2
2 2
1 0
( 1)( 1) 2 ( 1)
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 1
1 0
( 1)( 1) 2 ( 1)
x
x x y xy y
x y x y x y
y
y y x xy x
Rõ ràng
trong trường hợp này hệ vô nghiệm. Bây giờ ta xét trường hợp
Chuyên đ
ề II: PT L
ư
ợng giác, PT
-
H
ệ PT
Phần 2: Hệ Phương Trình
Coppy right ©: Mobile_lam
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 109 -
2 ( 1) 0 0 0 1
xy x x y x
+ Với
0
x
thì hệ phương trình trở thành
2
2
1 0
( 1)( 1) 0
y
y y
Rõ ràng hệ này vô nghiệm.
+ Với
0
y
thì hệ phương trình trở thành
2
2
( 1)( 1) 0
1
1 0
x x
x
x
+ Với
1
x
thì hệ phương trình trở thành
2
( 1) 0
0 1
( 1) 0
y y
y y
y y
Từ đây ta có kết luận
nghiệm của hệ đã cho.
P/S . Bài toán này còn có một cách khác giải bằng số phức cực kì độc đáo các bạn thử tìm hiểu nhé.
Và bài toán này khi giải bằng số phức sẽ tôn thêm vẻ đẹp của hệ này!
Cách 2:
Lời giải độc đáo bằng số phức mà anh Caonguyenbuon nói đến chính là đây :D
Lấy phương trình (1) - phương trình (2) nhân
i
ta được:
3 2 2 3 2 2 2 2
3 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) 2
x x yi x yi yi x yi i x xyi yi xyi x i
Tương đương
3 2 2
( ) ( ) 1 ( ) ( )
x yi x yi i x yi i x yi
Đặt
z x yi
ta viết lại thành phương trình:
3 2
( 1) 1 0
z i z z i
Với
1
z
ta có tỏng các hệ số bằng 0 vậy
1
z
là một nghiệm . Do đó ta viết lại phương trình thành
( 1)( 1)( 1) 0
z z z i
Vậy ta có:
1
z
hay
1; 0
x y
.
1
z
hay
1, 0
x y
.
1
z i
hay
1; 1
x y
.
Cách 3:
Tới đây em xin trình bày tiếp hướng tiếp cận khác như sau:
Ta dễ dàng nhận ra rằng
1
x y
là một nghiệm của hệ phương trình.
Ta xét TH khi:
1; 1
x y
, khi đó ta đưa hệ về dạng:
2 2
2 2
2 ( 1)
1
1
2 ( 1)
1
1
xy y
x y
x
xy x
y x
y
Cộng vế theo vế ta có ngay:
2 2
2 ( 1) ( 1)
0
2 ( 1) 2 ( 1)
0 0
0
1 1 ( 1)( 1)
xy x y
x
xy y xy x
y
x y x y
3, Giải hệ phương trình
2
4 2 2 2 2 2
( 1) 6 2
2 ( 1) 12 1
x y y
x y x y y x y
Giải:
Cách 1:
Ta có hệ phương trình tương đương với
2
4 2 2 2 2 2
( 1) ( 1) (6 2) ( 1)
( 2 ) ( 1) 13 1
x y y y y
x y x y y x y
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 110 -
hay
2
2 2 2 2 2
( 1)( 1) 7 1
( 1) ( 1) 13 1
x y y
y x y x y
Từ đây ta có
2
2 2 2 2 2
( 1)( 1) (7 1)
( 1) ( 1) 13 1
y x y y y
y x y x y
Đặt
2
( 1),
a y x
ta được
2
2 2
( 1) 7
(1)
13 1
y a y y
a a y
Từ đây ta suy ra
2 2 2
( 1) (13 1) (7 ),
a a y a y y y
hay
2 2
( 2) (20 1) 0.
a y a y y
Xem đây là một phương trình bậc hai theo a, giải ra ta được
4 1
a y
hoặc
5 1.
a y
Xét
4 1,
a y
thay vào phương trình thứ nhất của hệ
(1),
ta được
2
( 1)(4 1) 7 ,
y y y y
hay
2
3 4 1 0.
y y
Từ đây suy ra
1
y
hoặc
1
,
3
y
và ta dễ dàng tìm được các giá trị tương ứng của
a
là
3
hoặc
1
.
3
Với
3
a
và
1,
y
ta có
2.
x
Dễ thấy các bộ
2,1 , 2,1
thỏa mãn hệ đã cho ban đầu.
Với
1
3
a
và
1
,
3
y
ta có
0.
x
Và ta cũng dễ dàng kiểm tra được bộ số
1
0,
3
thỏa mãn hệ đã
cho.
Xét
5 1,
a y
thay vào phương trình thứ nhất của hệ
(1),
ta được
2
( 1)(5 1) 7 ,
y y y y
hay
2
12 5 1 0.
y y
Phương trình này vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho có tất cả ba nghiệm là
1
2,1 , 0,
3
và
2,1 .
Cách 2:
Nhận thấy
0
y
không thỏa mãn hệ phương trình nên ta chia hai vế của phương trình đầu trong hệ
cho
y
và hai vế phương trình thứ hai trong hệ cho
2
y
ta được một hệ mới:
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 111 -
2 2
2 2 2
2
1 1
1 ( 1) 7
1 1
( 1) ( 1) 13
x x
y y
x x
y y
Tới đây đặt :
2
2
2
1
1
, 4 0
1
( 1)
S x
y
S P
P x
y
Lúc đó ta được hệ mới là :
2
7
13
S P
S P
4, Giải hệ phương trình
5
5
2 2
10
2 4
xy
x y xy
x y xy
xy
Giải:
Hệ đã cho tương đương
5
5
2 2
.
10
2 4
xy
x y xy
x y xy
xy
Đặt
2
xy
a
và
2 .
x y xy b
Hệ trên trở thành
5
5 (1)
5
4 (2)
a
b
b
a
Quy đồng và lấy
(1)
trừ
(2)
ta được
5 4 .
b a
Từ đó rút
b
theo
a
hoặc
a
theo
b
và thay vào hệ.
5, Giải hệ phương trình:
3 2
2 2
2
0
x y
x xy y y
Giải:
Từ hệ phương trình thứ hai ta có:
2
2 2 2
1 3
2
4
4
0
3
y x xy y x y y
y
Từ điều kiện này theo phương trình thứ nhất ta cũng có được:
0
x
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 112 -
Xem phương trình thứ hai là một phương trình bậc hai theo
y
ta có:
2 2
2
2 2
1 0
1 4 3 2 1 1 1 3 0
1
3
0
y y x x
y x x x x x x
x
Từ đây ta có:
3 2
3 2
1 4 49
3 3 27
x y
Từ đó ta có hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
6, Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1 4
( ) 2 7 2
x y xy y
y x y x y
Giải:
Đứng trước một hệ phương trình không mẫu mức so với các hệ ở các loại hệ có cách giải cơ bản
thường ta nên đoán xem ta nên đi từng phương nào trong hệ trước hoặc ta kiểm tra điều kiện của các
biến trong hệ để từ đó ta xây dựng lên hướng giải cho bài toán hệ đó. Rõ ràng với cách ghép hai
phương trình trong hệ ta đang xét " có thể khó" trong việc chọn lựa phương trình nào để đi trước .
May mắn là cách ghép phương trình trong hệ giúp ta có thể nhìn thấy " tính đúng " của nghiệm trong
hệ.
Rõ ràng ta có thể nhận thấy ngay rằng cách xếp đặt ở phương trình thứ hai trong hệ cho ta kiểm tra
được khi
0
y
ta thu được hệ phương trình vô nghiệm.
Vậy câu hỏi đặt ra cho chúng ta liệu rằng khi
0
y
ta có thu được gì may mắn không ? Ta thử nháp
nó bằng cách chia cả 2 vế của hai phương trình trong hệ cho
y
ta thu được gì .??
Đối với phương trình
(1)
khi chia cho
y
ta thu được :
2
1
( ) 4
x
x y
y y
Đối với phương trình
(2)
khi chia cho
y
ta thu được :
2
2
2 2
( ) 7
x
x y
y y
Và tới đây ta thấy rõ về hướng đi của bài toán này rồi .Bây giờ ta hoàn thành lời giải nhé .
Lời giải
- Nhận xét
0
y
hệ phương trình đã cho vô nghiệm
- Với
0
y
ta chia hai vế của hai phương trình trong hệ ta thu được hệ mới như sau :
2
2
2
1
( ) 4
2 2
( ) 7
x
x y
y y
x
x y
y y
2
2
2
1
( ) 4
1
( ) 2 7
x
x y
y y
x
x y
y y
Đặt :
2
1
x
a
y y
b x y
. Lúc đó ta thu được hệ phương trình mới :
2
4
2 7
a b
b a
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 113 -
2
1
4
5
3
1
9
5
2 0
a
b
a
b
a b
b b
Trường hợp 1 . Với
1
3
a
b
2
2
1
1
1
3
3
x
x y
y y
x y
x y
2
2
1
2 3
x y
x x
Trường hợp 2 . Với
9
5
a
b
2
2
1
9
1 9
5
5
x
x y
y y
x y
x y
2
9 46 0
5
x x
y x
( Hệ này vô
nghiệm).
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm
( ; ) (1;2);( 2;5)
x y
7, Giải phương trình
2 2
2 3 1
4 3 8 4 6 8 6
x x
x x x x
Giải:
Đặt
2
4 3 8
a x x
và
2
4 6 8.
b x x
Ta có
.
9
a b
x
Thay vào, phương trình đã cho tương
đương:
2 2
2
2( ) 3( ) 3
6 5 4 0
2
4
3
6 5 4 0
1
2
a b a b
a ab b
a b
t
t t
t
Trong đó
.
a
t
b
8, Giải hệ phương trình:
3 3
2 2
4 16
1 5(1 )
x y y x
y x
Giải:
Ta viết lại hệ như sau:
3 3
2 2
16 4
5 4
x y x y
y x
Ta thấy khi:
2 2
;4 ; 5
x y x y y x
. đều không thỏa mãn.
Do đó khi:
2 2
;4 ; 5
x y x y y x
, nhân chéo 2 vế của phương trình ta có:
3 3 2 2
(4 )( 5 )
x y x y y x
3 3 2 2
(4 )( 5 )
x y x y y x
Rõ ràng đó là phương trình đẳng cấp bậc 3. .
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 114 -
9, Giải phương trình
3 2
2
3 9
3.
3 3
x x x
x
x x
Giải:
3 2
2
3 9
3.
3 3
x x x
x
x x
Điều kiện:
0.
x
Dễ thấy
0
x
không phải là nghiệm của phương trình. Xét
x>0. Phương trình đã cho tương đương:
2
2
2 2
2
3 9
1
3 9 3 1 3
.
1 3
3 3
3
x x x
x x
x x x x x
x x
Đặt
2
1 3
t
x x
. Phương trình đã cho trở thành:
2
3
2
1 3
( 1) 0.
3
t
t t
t
10, Giải hệ phương trình:
4 3 3 2 2
3 3
9 9
( ) 7
x x y y y x y x x
x y x
Giải:
Trước tiên ta đi biến đổi phương trình
(1)
trong hệ ta được
2 2 2 2 2
( ) ( ) 9( ) 0,
x x y xy x y x y
hay
2
( ) ( ) 9 0.
x y x x y
Rõ ràng với
0
x y
thì hệ vô nghiệm khi đó ta đưa hệ phương trình
ban đầu về hệ phương trình
2
3 3
( ) 9 (3)
( ) 7 (2)
x x y
x y x
Từ phương trình
(3)
ta suy ra được
, 0.
x y
Cũng
từ
(3)
bằng phép rút ẩn ta thu được
3
.
y x
x
Thay vào phương trình
(2)
ta thu được phương
trình
3
3
3
7. (5)
x x x
x
Đặt
( 0).
t x t
Lúc đó ta đưa
(5)
được về phương trình mới
ẩn
t
như sau
3
2 3 3 9 3 3
3
7 (3 ) 7 0.
t t t t t t
t
Xét hàm số
9 3 3
( ) (3 ) 7 ( 0).
f t t t t t
Ta có
8 2 3 2
( ) 9 9 (3 ) 7 0.
f t t t t
Vậy phương trình
( ) 0
f t
có
tối đa một nghiệm. Mặt khác ta có
(1) 0
f
nên suy ra
1
t
là nghiệm duy nhất của phương trình
( ) 0.
f t
Từ đó ta được
1, 2.
x y
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
( , ) (1,2).
x y
11, Giải hệ phương trình
2 2 2
2 2 2
2 4 7
2 6 3
x y y xy
x y y xy
Giải:
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 115 -
Xét
0, 0
x y
không phải là nghiệm của hệ. Hệ đã cho tương đương:
2
2
2 3
2 0
2
2 3 0
x
x
y y
x
x
y y
Đặt
2
, ,
x
a x b
y y
ta được hệ phương trình mới:
2
2
3 2 0
3 2 0
a b
b a
Ui da hệ đối xứng @@. Ngoài
ra bài toán có thể đưa về phương trình bậc
4
của
x
và phân tích được thành:
2
( 1)( 2)( 2 4) 0.
x x x x
12, Giải hệ phương trình sau:
3 3 3
2 2
27 7 8
9 6
x y y
x y y x
Giải:
Dễ thấy
0, 0
x y
không thỏa mãn hê phương trình. Ta đưa hệ phương trình đã cho về dạng:
3
3
3
2
3
2
2
2
8
2
2 6 4
27 7
(3 ) 7
3 9 7 (1)
9 6
2
3 2
1
3 (2)
3 1
3
x
x
x
x x
y
y
y y y
x x
y
x
x
x
y y
y x
y y
Thay các giá tri ở
(2)
vào
(1)
ta được,
2
4 1 4
3 5 0 9( ) 15 4 0
3 3 3
xy xy xy xy xy
xy
13, Giải phương trình:
3 2
2
2
7 126 49
12 7
2 3 14
x x x
x x
x x
Giải:
Viết pt dưới dạng:
2 2 2
7 ( 18 7) (2 3 14)( 12 7)
x x x x x x x
Đặt
2
7
t x
pt trở thành
7 ( 18 ) (2 13)( 12 ) 0
x t x t t x
Thu gọn pt trên lại ta được pt:
2 2
14 45 0
t xt x
Ta tìm được
5
t x
hoặc
9
t x
14, Giải hệ
2 2
3
1 1 13
x y
x y
Giải:
Rút 3
y x
.Thay vào phương trình dưới ta có:
2 2
( 1) (4 ) 13
x x
15, Giải hệ phương trình:
3 2
2
13 3 1
4 1 5 4
x y
y y x xy
Giải:
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 116 -
Nhận thấy
5
4
y
do đó:
3 2
3 2
2
2
13 3 1
13 3 1
4 1
4 1 5 4
5 4
x y
x y
y y
xy y x xy
y
3
2
2
4 1
13 3 1
5 4
y y
y
y
3 2
( 2) ( 2)(13 16 7) 0
y y y y
16, Giải hệ phương trình:
2 2 2
3 6 18 5 4
2 4 8 16 9 9 4 78 18 26
x y x y x
x xy y x y x x y xy
Giải:
Bài toán này quả thực có cách phát biểu rất lạ lùng, mới nhìn vào ta đã thấy sợ rồi!Thật sự rất khó để
định hướng phương pháp giải!
Thế nhưng không vì thế mà ta nản lòng, hãy cứ bình tĩnh biết đâu lại ngộ ra được một điều gì đó!
Hệ phương trình nhìn thế này chắc chắn ý tưởng đầu tiên trong đầu chúng ta là làm một cách nào
đấy cho nó gọn hơn, dễ nhìn hơn rồi, và cách nhanh nhất chính là khai triển ra!Bế tắc quá phải dùng
cách nàyThật vậy, ta có:
2 2
( 3 )(6 18 5) 4 6 54 15
x y x y x x x y y
2 2 2 3 3 2
( 2 4 )(8 16 9) 9 4 78 18 26 8 4 64 36 78 26
x xy y x y x x y xy x x y y y
Như vậy ta viết hệ thành:
2 2
3 3 2
6 54 15
8 4 64 36 78 26
x x y y
y x y y y
Bây giờ nhìn hệ có vẻ đỡ cồng kềnh hơn rồi, ta nghĩ đến việc tìm mối liên hệ giữa
x
và
y
.Hệ dạng
này làm ta nhớ đến việc sử dụng hằng đẳng thức!
Ta nhân phương trình thứ nhất với
2
rồi cộng với phương trình thứ hai thì thu được:
3 3
(2 1) (4 3)
x y
.Từ đây ta có:
2 1
x y
.
Thay vào phương trình thứ nhất ta được:
2
30 11 7 0
y y
.Giải ra ta có:
7 1
,
10 3
y y
.Từ đây:
12 1
,
5 3
x x
Tóm lại hệ đã cho có nghiệm:
12 7 1 1
( ; ),( ; )
5 10 3 3
17, Giải hệ phương trình:
4 4
2 2 3
2
.
( ) 3
x x y y
x y
Giải:
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 117 -
Đặt ; ;
2 2
a b a b
a x y b x y x y
Ta có:
2 2
4 4 2
( )
( )( )[( ) ) 2 ]
2
ab a b
x y x y x y x y xy
Ta có hệ phương trình đã cho tương đương với:
2 2
2 2
3 3
3 3
( )
( ) 3
0
2 2
9
3
ab a b a b
ab a b a b
a
a b
a b
2 2 2 2 2 2 2
3 3
( ) 9 6
3
a b a b a ab b
a b
Do
0
a
hay
0
b
không phải là nghiệm của hệ nên với
0
ab
nên ta nhân chéo hệ phương trình
trên ta được:
2 2 2 2 2 3 3
3( ) (9 6 ) ( 3 )(3 ) 0
a b ab a ab b a b a b
18, Giải hệ phương trình:
4 4
2 2 5
3 1
4 2
( ) 5 0
x y
y x
x y
Giải:
Điều kiện:
0
xy
. Hệ phương trình đã cho tương đương với:
4 4
2 2 5
3 2
4
( ) 5
x y
x y
xy
x y
Tới đây, đặt
0
; voi
ab
a x y b x y
a b
. Suy ra: ;
2 2
a b a b
x y
Và dễ thấy:
2 2 2 2
2 2
4 4 2 2 2 2
; 4
5
3 2 2( )
2
( )
( )( )
2
x y ab xy a b
a b
x y x x y
ab a b
x y x y x y
Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:
2 2
4 4 4 6
2 2
5 5
5 5
( ) 5
( ) 1
(I)
2 2( )
5
5
ab a b a b
b a b a b
a b
a b
a b
Để ý rằng:
4 4 4 6 5 4 4
( ) 1 ( 1)( 1) 0 1 1
b a b a b b a b b a b
Do đó, hệ phương trình
( ),
I
tương đương với:
4
5 5
5 5
1
a b=1
(II) (III)
5
a b =-5
b
a b
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 118 -
19, Giải phương trình:
2
2
2
4
12
4 4
x
x
x x
Giải:
ĐK :
2
x
Ta nhận thấy
2
2
2
4 2
( )
4 4 2
x x
x x x
nên vế trái là tổng 2 bình phương ta nghĩ ngay đến việc thêm bớt
làm xuất hiện hằng đẳng thức.
Phương trình tương đương với
2
2
2 2 2
2 4 4
12 12
2 2 2 2
x x x x
x
x x x x
Đặt
2
2
x
t
x
thì ta được phương trình :
2
4 12 0
t t
20, Giải hệ phương trình:
2
2 2
2 3
2
x xy x y
x y
Giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương với
2 2
( 1)( 2) 0
2
x x y
x y
Phương trình thứ nhất của hệ tuơng đương với:
1
2
x
y x
Thay
2 ,
y x
vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:
2 2 2
(2 ) 2 0 2 1 0
x x x x
21, Giải hệ phương trình sau:
2 2
2 2
2
3
2 4 1
2
x y
x y y xy x
Giải:
Phương trình thứ hai của hệ đã cho tương đương:
2 2
3( ) 4 2 8 2 0
x y y xy x
2 2
3 2 ( 2) 3 8 2 0
y y x x x
Có
2
10( 1)
y
x
vv
22, Tìm số nghiệm thực của hệ phương trình sau:
3 2
3 2
4(2 7 8 2)
3
4(2 7 8 2)
3
x x x
y
y x y
x
Giải:
Rõ ràng nhìn vào hệ phương trình ta được nhận xét quan trọng là khi thay vai trò các ẩn cho nhau
trong từng phương trình trong hệ thì phương trình này sẽ biến đổi thành phương trình kia nên đây
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 119 -
chính là dấu hiệu để ta nhận thấy hệ phương trình bài toán cho chính là hệ phương trình cơ bản đối
xứng loại hai.Về tổng quan hướng giải cho hệ này là ta trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ để
bắt nhân tử chung.
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ :
3 2
3 2
3
2 7 8 2 (1)
4
3
2 7 8 2 (2)
4
y
x x x
x
y y y
Lấy
(1) (2)
ta được phương
trình:
3 3 2 2
3
2( ) 7( ) 8( ) ( )
4
x y x y x y x y
2 2
35
( ) 2 (2 7) 2 7
4
x y x y x y y
2 2
0
35
2 (2 7) 2 7 0 (3)
4
x y
x y x y y
Với phương trình
(3)
ta xem đó là phương trình bậc hai theo
x
lúc đó ta có
:
2
2 2
35 7 14
(2 7) 8 2 7 12 0 ,
4 3 3
y y y y y
Vậy phương trình
(3)
vô nghiệm.
Với
x y
ta thay vào phương trình
(1)
trở thành :
3 2
8 28 29 8 0 (4)
x x x
Xét hàm số
3 2
( ) 8 28 29 8 ,y f x x x x x
Ta có hàm số
( )
y f x
liên tục với mọi
x
thuộc
Mặt khác ta có :
3 1
(0) 8 ; (1) 1; ; (2) 2
2 2
f f f f
Suy ra :
3 3
(0). (1) 0; (1). 0; . (2) 0
2 2
f f f f f f
Điều này chứng tỏ phương trình
( ) 0
f x
có ba nghiệm phân biệt.Dẫn đến hệ phương trình đã cho
có ba nghiệm
( ; )
x y
phân biệt
23, Giải hệ phương trình :
3 2
2 2
2 5
2 4
x xy
x xy y x y
Giải:
Với bài toán trên ta để ý thấy rằng
0
x
không thỏa hệ nên việc đầu tiên ta nghỉ đến khi giải hệ này
chính là phương pháp thế.
Nhưng với cách giải này ta buộc lòng phải có sự thuận lợi trong việc bắt nhân tử chung hoặc tìm một
ràng buộc rõ ràng có lợi ví dụ như một phương bậc hai hai ẩn có biệt số
kì diệu, hoặc đưa về một
phương đẳng cấp ,đặt ẩn phụ
Nên ta thử xem trong phương pháp thế mà ta đang xét bài toán sẽ cho ta con đường thuận lợi nào.
Với nhận xét ban đầu ta rút
3
2
5
2
x
y
x
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 120 -
Thế kết quả này vào phương trình còn lại trong hệ ta xem thử.Cụ thể:
3
2
5
2 4 (1)
2
x
x xy x y
x
Ở phương trình mới này nếu không kiểm soát hay nóng vội ta sẽ dể dàng gạch bỏ bước này vì qua
phương trình ta thấy sau khi thế vào hai ẩn
,
x y
còn đầy đủ nhưng ta hãy để ý một chút ta sẽ thấy
một điều có lợi.Thật
sự:
3 2 2 2
(1) 3 8 5 2 2 ( 1)(3 5 5) 2 ( 1) 0
x x xy x y x x x xy x
2
( 1)(3 5 5 2 ) 0
x x x xy
Tới đây ta thấy hoàn toàn thuận lợi để giải hệ này bằng phương pháp thế.
Hướng giải
Nhận thấy với
0
x
không thỏa hệ phương trình đã cho.
Do đó với
0
x
từ phương trình
(1)
ta có :
3
2
5
2
x
y
x
Thế vào phương trình
(2)
ta được phương trình
:
3
3 2
5
2 4 3 8 5 2 ( 1)
2
x
x xy x y x x xy x
x
2 2
( 1)(3 5 5) 2 ( 1) ( 1)(3 5 5 2 ) 0
x x x xy x x x x xy
24, Giải hệ phương trình
3 2 3
3
4 12 9 6 5.
xy x y
x x x y y
Giải:
Phương trình thứ 2 của hệ (có sử dụng phương trình thứ nhất) có thể viết thành dạng
2
( 1)(2 2 ) 0.
x y x y
25, Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
2 2 2 0
x y xy y x
x y y
Giải:
Một kinh nghiệm của batigoal để giải dạng bài toán hệ phương trình này như sau :
2 2
2 2
0
ax by cxy dy ex f
a x b y c xy d y e x f
Quan sát ta thấy cả 2 phương trình của hệ đã cho đều có dạng bậc 2 , trong đó các phần tử tự do của
x
và
y
đều có dạng bậc nhất. Điều này gợi nhớ cho chúng ta tìm cách đưa về hệ phương trình đồng
bậc 2 để giải quyết . Vậy chúng ta có mẹo nhỏ như sau: Đó là đặt ,
x u a y v b
thay vào hệ
phương trình. Sau đó muốn hệ đồng bậc hai với u, v thì chúng ta cho hệ số bậc nhất của u,v bằng
không. Từ đó chúng ta tìm được a,b. Minh họa bằng bài toán trên như sau:
2 2
2 2
2 2
2 2 2 0
x y xy y x
x y y
Chúng ta làm ra nháp như sau:
Đặt ,
x u a y v b
thay vào hệ phương trình ta được:
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 121 -
2 2
2 2
( ) ( ) ( )( ) 2( ) ( ) 2
2( ) ( ) 2( ) 2 0
u a v b u a v b v b u a
u a v b v b
.
Khai triển hệ phương trình ra cho các hệ số bậc 1 của u,vbằng 0 . ta giải ra được:
0, 1
a b
.
Vậy làm bài thi thì ta làm như sau :
Đặt
, 1
x u y v
ta sẽ đưa về hệ phương trình đơn giản như sau:
2 2
2 2
3
2 1
u uv v
u v
Đến đây ta có hệ đẳng cấp bậc 2 đơn giản rồi, mời bạn đọc triển khai nốt nhé. :)>-
26, Giải hệ phương trình :
2
(2 )( ) (2 1) 7 2
(4 1) 7 3
x y x y x x y
x x y
Giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
3 2 2 2
2
2 2 2 7 2
4 7 3
x x y xy y x x x
x x y
Trừ vế theo vế ta có:
3 2 2 2 2
2 2 2 ( 1)(2 ) 0
x x y xy y x y x y x y
Tới đó thì mọi việc ổn rồi.
27, Giải hệ phương trình:
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y
Giải:
Bài toán này là bài toán cơ bản.Thật vậy khi thay đổi vai trò hai ẩn trong từng phương trình trong hệ
thì từng phương trình trong hệ không có gì thay đổi.Đó chính là dấu hiệu nhận biết loại hệ phương
trình đối xứng loại 1.Phương pháp chính để giải hệ này là ta dùng các hằng đẳng thức để đưa bài
toán về hai đại lượng quan trọng đó là tổng và tích.
Cụ thể ở bài toán này ta biến đổi như sau
:
2 2 2
( ) 2
x y x y xy
2
4 4 2 2 2
( ) 2 ) 2
x y x y xy x y
Bây giờ ta đi cụ thể vào bài toán.Xét hệ phương trình :
2
2 2
2
4 2 2 4
2 2 2
( ) 2 5
5
( )
13
( ) 2 ) 3 13
x y xy
x y
I
x x y y
x y xy x y
Tới đây ta đặt :
2
, 4 0
S x y
S P
P xy
Khi đó hệ
( )
I
trở thành hệ mới :
2
2
2
2
2 2
2 5
2 5
25 3 13
2 3 13
S P
S P
P
S P P
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 122 -
28, Giải hệ phương trình:
2 2 3 3
4
( )( ) 280
x y
x y x y
Giải:
2 2 2 2
(2) 70
x y x y xy
2
2 2
2 2 2 2
70
2
x y x y
x y x y
2 2 2 2
3 16 140(3)
x y x y
Đặt
2 2
t x y
, khi đó (3) được viết lại:
2
3 16 140 0
t t
29, Giải hệ phương trình:
2
4 2 2 2
2 0
4 3 0
x xy x y
x x y x y
Giải:
Quan sát hệ ta thấy ngay được là hệ luôn có nghiệm
( ; ) (0 ; 0)
x y
.
Do đó với
0
x
ta chia hai vế phương trình
(1)
cho
x
, chia hai vế phương trình
(2)
cho
2
x
ta
được một hệ mới :
2 2 2
2
2
2 1 0 3 6 3 0 (3)
2 1 0
4 3 0
6 3 0 6 3 0 (4)
y y
y
x y x y
x y
x x
x
y
y y
x y
x y x y
x
x x
Lấy
(4) (3)
vế theo vế ta được :
2
0
3 0
3
y
x
x
y y
x x
x x
y
x
x
30, Giải hệ phương trình:
2 2
2
5
8( ) 4 13
( )
1
2 1
x y xy
x y
x
x y
Giải:
Điều kiện:
0
x y
Bây giờ ta sẽ mổ xẽ nó nhé. Điều quan trọng và mấu chốt của bài toán này là chỗ này
đây:
2 2 2 2
8( ) 4 5( ) 3( ) ; 2
x y xy x y x y x x y x y
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 123 -
Lúc đó hệ phương trình đã cho trở thành hệ mới sau:
2 2
2
5
5( ) 3( ) 13
( )
1
1
x y x y
x y
x y x y
x y
Tới đây ta đặt ẩn phụ sau:
1
(| | 2)
t x y t
x y
n x y
Bây giờ thì ta có hệ mới :
2 2
5( 2) 3 13
1
t n
t n
31, Giải hệ phương trình
3 3
2 2
8 2
3 3( 1)
x x y y
x y
Giải:
Hệ phương trình tương đương với:
3 3
2 2
8 2
3 6
x y x y
x y
+)Khi:
2 2
;8 2 0; 3 0
x y x y x y
, đều không thỏa mãn hệ phương trình:
+) Khi:
2 2
;8 2 0; 3 0
x y x y x y
,nhân chéo 2 vế phương trình ta được:
3 3 2 2
6( ) ( 3 )(8 2 ) ( 3 )( 4 ) 0
x y x y x y x x y x y
32, Giải hệ phương trình:
3 3
2 2
9
2 4
x y
x y x y
Giải:
Nhân PT (2)với 3 rồi lấy (1)-(2) được
3 2 2 3
3 3 1 8 12 6
x x x y y y
3 3
( 1) (2 )
x y
đến đây dễ rồi
33, Giải hệ phương trình:
3 3
4 2 2 4
8 2
2 3 0
x x y y
x x y y
Giải:
Rõ ràng phương trình phía dưới đồng bậc, ta sẽ biến đổi được:
2 2 2 2 2 2 2 2
( )( 3 ) 0 0; 3
x y x y x y x y
+) Với:
2 2
0 0
x y x y
.Thỏa mãn.
+) Với:
2 2
3
x y
. Ta có:
3 3 6 4 2 6 4 2
8 2 16 64 4 4
x x y y x x x y y y
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 124 -
Thế :
2 2
3
x y
vào phương trình trên ta được:
6 4 2 6 4 2 2 4 2
27 144 192 4 4 (13 70 94) 0
y y y y y y y y y
34, Giải hệ phương trình:
2 2
2
2 2 8 6 0
4 1 0
x y x y
x xy y x
Giải:
Quan sát hệ ta thấy hai phương trình này khá phức tạp vậy việc đầu tiên cần làm là dùng một biến
đổi nào đó để đưa hệ về dạng gọn gàng hơn.
Ta sẽ tiến hành biến đổi phương trình thứ nhất trước.Ta viết phương trình này như sau:
2 2 2 2
2 2 8 6 0 ( 1) 2( 2) 3
x y x y x y
Phương trình này đã khá gọn gàng, hơn nữa ta thấy trong phương trình có xuất hiện các biểu thức
1
x
và
2
y
, một cách tự nhiên ta sẽ cố biến đổi phương trình thứ hai theo hai biểu thức này, như
thế việc giải hệ có thể sẽ đơn giản hơn nhiều!Suy nghĩ thế ta tiến hành như sau:
2 2
4 1 0 ( 1) ( 1)( 2) 2
x xy y x x x y
Tới đây mọi thứ đã quá rõ ràng, ta đặt
1, 2
a x b y
thì thu được hệ:
2 2
2
2 3
2
a b
a ab
35, Giải hệ phương trình:
2 2
3 2
8 12
2 12 0
x y
x xy y
Giải:
Thay
2 2
8 12
x y
vào phương trình cuối, ta được
3 2 2 2
2 ( 8 ) 0,
x xy y x y
hay
3 2 2 3
2 8 0.
x x y xy y
Để ý rằng
0 0
x y
nhưng
0
x y
không là nghiệm của hệ nên ta
chỉ xét
0
x
và
0
y
. Khi đó ta chia cả hai vế của phương trình cho
3
y
để có
3 2
3 2
2 8 0,
x x x
y y y
từ đó ta đặt
x
t
y
để đưa về phương trình theo
t
:
3 2
2 8 0.
t t t
36, Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 3
3( )
7( )
x xy y x y
x xy y x y
Giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
2
2 3
( ) 3( )
( ) 3 7( )
x y xy x y
x y xy x y
Tới đây thì ẩn phụ đã xuất hiện rõ ràng. Ta đặt: ;
a x y b xy
Ta thu được hệ:
2
2 3
3
3 7
a b a
a b a
Lấy phương trình trên nhân 3 rồi trừ cho phương trình dưới ta được:
2 3 2
2 9 7 (7 2 9) 0 ( 1)(7 9) 0
a a a a a a a a a
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 125 -
37, Giải hệ phương trình
3 2
2 2
3 6 3 49
8 10 25 9
x xy xy x
x xy y y x
Giải:
Nhân phương trình dưới với 3 rồi cộng với phương trình trên ta được:
3 2 2 2
3 3 24 3 6 3 49 30 75 27
x xy x xy y xy x y x
3 2 2 2
( 1) 3 ( 1) 30 ( 1) 75( 1) ( 1) ( 1) 3 30 75 0
x y x y x x x x y y
2 2
1 0 ( 1) 3 30 75 0
x x y y
) ?
V i
x+1=0 \Leftrightarrow x=-1. Thay vào phương trình
trên ta có:
2
3 6 45 0 5; 3
y y y y
Suy ra có 2 nghiệm:
( 1;5); ( 1; 3)
+) Với:
2 2 2 2
1
( 1) 3 30 75 0 ( 1) 3( 5) 0
5
x
x y y x y
y
Đây chính là một nghiệm của trường hợp trên.
Kết luận hệ phương trình có 2 nghiệm:
( 1;5); ( 1; 3)
38, Giải hệ phương trình:
4 4
2 2 2 2
1 1
2( )
2
1 1
(3 )(3 )
2
y x
x y
x y y x
x y
Giải:
Trước tiên ta viết hệ thành:
4 4
4 2 2 4
1 1
2( )
2
1 1
3 10 3
2
y x
x y
x x y y
x y
Quan sát hệ thì ta thấy ý tưởng đầu tiên sẽ là sử dụng phương pháp cộng đại số!Thật vậy:
Cộng hai phương trình với nhau ta thu được:
4 2 2 4
2
10 5
x x y y
x
hay
5 3 2 4
10 5 2
x x y xy
Tương tự như thế, trừ hai phương trình cho nhau ta có:
5 2 3 4
10 5 1
y x y x y
Từ đó ta viết hệ thành:
5 3 2 4
5 2 3 4
10 5 2
10 5 1
x x y xy
y x y x y
Đến đây ta có thể giải quyết tiếp như sau:
Các phương trình ở trên làm ta nhớ tới hằng đẳng thức bậc năm, với tư tưởng đó ta tiến hành cộng,
trừ hai phương trình cho nhau thì ta thu được hệ:
5 3 2 4 5 2 3 4
5 3 2 4 5 2 3 4
10 5 10 5 3
10 5 ( 10 5 ) 1
x x y xy y x y x y
x x y xy y x y x y
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 126 -
Vận dụng hằng đẳng thức, ta viết hệ thành:
5
5
( ) 3
( ) 1
x y
x y
hay :
5
3
1
x y
x y
Đến đây ta tìm được ngay:
5 5
3 1 3 1
,
2 2
x y
Vậy hệ đã cho có nghiệm:
5 5
3 1 3 1
;
2 2
39, Giải hệ phương trình:
4 3 2 2
3 2
1
1 0
x x y x y
x y x xy
Giải:
Trước tiên ta thấy ngay
0
x
không thỏa hệ. Mặt khác ở hệ này nếu ta để ý kỉ ta sẽ thấy sự xuất
hiện sánh đôi của cặp đại lượng
2
; .
x xy
Vì vậy để đơn giản hình thức cho hệ ta lựa chọn phương án
đặt ẩn phụ như sau.
Đặt
2
( 0)
t x t
n xy
. Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành :
2 2 2
1 ( ) 1 (1)
1 ( ) 1 (2)
t tn n t n tn
tn t n tn t n
Lấy
(1) (2)
vế theo vế ta được phương trình sau:
2
1 0
( ) ( ) 2 0
2 3
t n tn
t n t n
t n tn
Với:
2
1 1
0 0
1 1
1
0 ( 1) 0
0
0 1
(lo?i)
1 0
t x
n y
t n t n
x
tn n n
xy
t x
n y
Tương tự cho trường hợp còn lại các bạn tiếp tục nhé!
40, Giải hệ phương trình:
2 3
( )( 2) 2 ( 1)( 1) 3
xy x y
x y x y xy x y
Giải:
Ở hệ này ta thấy ngay về ý tưởng giải có lẻ đến nhanh nhất là chọn phương án thế và rõ ràng để thế
hiệu quả ta chọn sự đơn giản của phương trình
(1).
Thật vậy từ phương trình
(1)
ta có
:
2 3 ( 1) 3 2 (3)
xy x y y x x
Để việc thế thành công ta kiểm tra ngay với giá trị
1
x
vào hệ xem có thỏa không? Và không quá
khó khăn ta thấy ngay
1
x
không thỏa hệ. Vậy với
1
x
thì từ
(3)
ta có
3 2
1
x
y
x
. Lúc này thế
y
vào phương trình
(2)
ta được phương trình mới :
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 127 -
4 3 2 2
3 2 3 2 3 2 3 2
2 2 ( 1) 1 3
1 1 1 1
0 3
2 1
5 10 10 20 0 5 ( 2)( 2) 0
2 2 1
2 2 1
x x x x
x x x x
x x x x
x y
x y
x x x x x x x
x y
x y
Vậy hệ phương trình đã cho có
4
nghiệm
( ; )
x y
như đã tìm ở trên
41, Giải hệ phương trình
4 3 2
3 2
4 8
4 2 ( 2) 4
x x y
x x xy x
Giải:
Nhân 2 vào phương trình dưới rồi cộng vào phương trình trên ta được:
4 3 2 2 2
4 4 2 4 0
x x x y x y xy
2 2 2 2 2 2
( 2 ) 2 ( 2 ) 0 ( 2 ) 0
x x y x x y x x y
2
2
y x x
Thế vào phương trình trên ta được:
4 3 2 2 4 2
4 (2 ) 8 2 4 0
x x x x x x
42, Giải hệ phương trình:
2
2
3 0
2 1 0
x xy x y
y xy y
Giải:
Cộng trực tiếp hai phương trình ta được:
2 2 2
2 3( ) 1 0 ( ) 3( ) 1 0
x xy y x y x y x y
43, Giải hệ:
2 2
2 2
1
( 1) ( 1) 2
3 1
x y
y x
xy x y
Giải:
Từ phương trình thứ hai ta có:
1
( 1)( 1) 4
xy
x y
Kết hợp với phương trình đầu tiên thì có:
2
2 2
2 2
2
0
( 1) ( 1) ( 1)( 1) 1 1
x y xy x y
y x x y y x
44, Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
( )( ) 13
( )( ) 25
x y x y
x y x y
Giải:
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 128 -
2 2
2 2
2 2
2
( ) ( )
( )( ) 13
( ) 13
2
( )( ) 25
( ) ( ) 25
x y x y
x y x y
x y
x y x y
x y x y
Ta có:
2 3
2
( ) ( ) ( ) 26
( )( ) 25
x y x y x y
x y x y
Trừ vế tho vế ta có ngay:
3
( ) 1 1
x y x y
Tới đó thì dễ rồi.
Ta có cách khác là quan sát thấy ngay hệ trên là một hệ đồng bậc nên tư tưởng là sẽ nhân chéo, để là
được điều đó ta cần chia ra 2 TH:
+) TH 1: Khi:
2 2
;
x y x y x y
, dễ thấy không phải là nghiệm của hệ.
+) TH 2: Khi:
2 2
x y
, ta nhân chéo 2 phương trình ta được:
2 2 2 2 2 2 2
25( )( ) 13( ) ( ) 25( ) 13( 2 )
x y x y x y x y x y x y xy
2 2
6 13 6 0 (2 3 )(3 2 ) 0
x xy y x y x y
45, Giải hệ phương trình:
( 2) ( 1) 3
( 2) 1
x x y y x
y x x
Giải:
Lấy (1) + (2) ta được:
2
1 1 6 0
x y x y
4
x y
hoặc
1
x y
46, Giải hệ phương trình
3
3
(2 3 ) 8
( 2) 6
x y
x y
Giải:
Hệ này khá đơn giản, ta sẽ làm như sau:
+) Với:
0
x
, dễ thấy không thõa mãn.
+) Với:
0
x
, ta đưa hệ về dạng:
3
3
8
2 3
6
2
y
x
y
x
Cộng vế theo vế ta có:
3
3
8 6
3y y
x x
Xét hàm sô:
3
( ) 3
f t t t
dễ thấy hàm số đồng biến, suy ra:
2 2
( ) ( ) 2
f y f y xy
x x
47, Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 2
( 1) (2 3 ) ( 2) 2 (1 5 )
( 17 12) 4( 7)( 3 8 5)
x x xy x y y x y y
x y x y x x y
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 129 -
Giải:
Ta viết phương trình này thành:
3 2 2 2 3
2 3 2 2 10 0
x x x y xy xy y y y
Bây giờ ta phải phân tích thế nào? Một kinh nghiệm nhỏ là ta sẽ gom tất cả các đa thức cùng bậc vào
một nhóm, như thế ta viết phương trình thành:
3 2 2 3 2
2 3 10 2 2 0
x x y xy y xy y x y
Đến đây không khó để các bạn rút được nhân tử chung như sau:
2 2
( 2 )( 4 5 1) 0
x y x xy y y
Rõ ràng
2 2 2 2
1 3
4 5 1 ( 2 ) ( ) 0
2 4
x xy y y x y y
.Như thế từ phương trình trên ta có:
2
x y
.
Ta đã có được mối liên hệ đẹp giữa
x
và
y
, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
2 2 2
(4 17 12) 4(3 7)(4 14 5)
y y y y y
Công việc còn lại của ta là giải phương trình này!
Để ý một tý thì ta thấy:
2 2
(3 7) (4 14 5) 4 17 12
y y y y y
. Như vậy nếu coi
2
3 7, 4 14 5
a y b y y
thì phương trình viết lại thành:
2
( ) 4
a b ab
Tới đây các bạn có ngay:
a b
hay
2
4 11 2 0
y y
.Công việc còn lại đã quá đơn giản, các bạn
hoàn thành nốt nhé!
48, Giải hệ phương trình:
3 3
4 3 3 2 2
( ) 7
9 9
x y x
x x y y y x x y x
Giải:
Từ PT thứ nhất suy ra
x y
.
Biến đổi PT thứ hai:
3 3 2
( ) ( ) 9( )
x x y x y x y x y
2 2 2
( )[ ( ) 9] 0
x y x x xy y x y
2
( ) 9
x x y
(do
x y
)
Như vậy hệ tương đương với:
3 3
2
( ) 7(1)
( ) 9(2)
x y x
x x y
Từ PT (2) suy ra x>0, kết hợp với PT (1) suy ra y>x>0
(2)
3
y x
x
Thay vào (1):
3
3
3
. 7
x x x
x
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 130 -
Đặt
2
x t
thì ta được PT
3
2 2 6
3
7
t t t
t
3 3 7
(3 ) 7
t t t
3 3 7
( 3) 7 0
t t t
Tới đây bằng cách xét đạo hàm, ta thấy VT là một hàm đồng biến theo biến t. Mặt khác PT có
nghiệm t=1 nên đó cũng là nghiệm duy nhất của PT.
Từ đó hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 2).
49, Giải hệ phương trình
3 2 2
2 2
2 2 4
( , )
2 2 2 4
x xy x y
x y
x xy y y
Giải:
Sử dụng phân tích sau :
3 2 2 2 2 2
2(2 2 4) (2 2 2 4) ( 2 4)(2 2).
x xy x y x x xy y y x x x y
50, Giải hệ phương trình:
2 3 2
3
2
2
x y y
x y y
Giải:
Cách 1 :
Ta có: (2)
3
2 (3)
x y y
Thế (3) vào (1) ta được:
6 4 3 2
4 2 0
y y y y
2 2
1 2 1 0
y y y y y
Cách 2:
2 3 2
3
2
2
x y y
x y y
2 2 2 3
3
x y y y
x y y y
2
1
1 1
x y x y y y
x y y y y
2
1 1 1
1 1
y y y x y y y
x y y y y
2
3
1 0
2
y y x xy y
x y y
51, Giải hệ phương trình:
4 4
3 3 2 2
240
2 3( 4 ) 4( 8 )
x y
x y x y x y
Giải:
Phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ 2 nhân với 8 ta được:
4 3 2 4 3 2
8 24 32 16 16 96 256 256
x x x x y y y y
4 4
( 2) ( 4)
x y
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 131 -
52, Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2
3
x y
x y x y
Giải:
Cách 1:
Nhìn vào các biểu thức của hệ phương trình , chúng ta thấy có
x y
và xy, điều này giúp chúng ta
nhớ ngay tới Viet để giải quyết bài toán này:
Viết lại hệ phương trình:
2
2 2
( ) 2 2
3
x y xy
x y x y
Đặt
,
u x y v xy
với điều kiện
2
4
u v
, ta đưa về hệ phương trình :
2
2
2 2
3
nu v
nv u
Đến đây ta được hệ phương trình đơn giản rồi. các bạn triển khai nốt nhé.
Cách 2:
Đặt
2 sin , 2 cos
x t y t
ta được phương trình:
2 2
4sin cos 2(sin cos ) 3
t t t t
Đặt
sin cos .| | 2
u t t u , ta có :
2
1
sin cos
2
u
t t
, ta được phương trình:
2 2
( 1) 2 3
u u
Có 1 nghiệm
2
u
, và còn nghiệm nào nữa thì các bạn khám phá nốt nhé
Cách 3:
Bài toán này cũng làm ta nhớ đến phương pháp đánh giá, thật vậy:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM thì ta có
2 2
2| |
x y xy
kết hợp với
2 2
2
x y
ta thu được
2 2
| | 1 1
xy x y
Mặt khác ta có
2 2 2 2 2
2( ) ( ) ( ) ( )
x y x y x y x y
lại chú ý tới
2 2
2
x y
nữa ta có
2
x y
.Từ đó:
2 2
3
x y x y
Như thế để hệ được thõa mãn thì ta phải có:
2 2
2 2
1
, 3
2
x y
x y x y x y
x y
Tới đây ta thu được ngay nghiệm của hệ!
52, Giải hệ phuơng trình:
3
3
2 3 1
2 3
x y
x y
Giải:
Hệ này giải bằng phương pháp hàm số.
Với:
0
x
, dễ thấy không phải là nghiệm của hệ phương trình.
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3
E-mail: :01645362939
- 132 -
Với:
0
x
, ta đưa hệ về dạng:
3
3
1
2 3
3
2
y
x
y
x
Cộng vế theo vế ta có:
3
3
1 3
3y y
x x
Xét hàm số đặc trưng:
3
( ) 3
f t t t
, dễ thấy hàm số đồng biến. Suy ra:
1 1
( ) ( ) 1
f y f y xy
x x
Thay vào phương trình trên ta được:
3 3 3 2 2
2 3 1 2 3 1 ( 1) (2 1) 0
x x y x x x x
53, Giải hệ phương trình:
2
3 3
9
7
x y y
x y
Giải:
Từ phương trình (1) của hệ ta suy ra y>0 kết hợp điều này với phương trình
2
của hệ ta suy ra x>0
Rút x theo phương trình
(1)
ta có:
3
x y
y
. Đặt
0
y t
thế vào phương trình thứ
(2)
của hệ
ta được phương trình:
3 3 9 3
(3 ) 7 0
t t t
Xét hàm số:
3 3 9 3
( ) (3 ) 7
f t t t t
với t>0.
Ta có:
2 3 2 8 2
( ) 9 (3 ) 9 21 0
f t t t t t
với mọi t>0
Như vậy hàm số
( )
f t
là hàm nghịch biến trên
(0; )
. Ta có
(1) 0
f
nên
1
t
là nghiệm duy nhất
. Suy ra
1, 2
y x
Thử lại ta thấy cặp nghiệm
( ; ) (2;1)
x y
thỏa mãn hệ.
Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất:
(x; y)=(2; 1)
54, Giải hệ phương trình:
3
3
2
2
x y
y x
Giải:
Trừ (1) cho (2) ta được:
2 2
1
x y
x y xy
Trường hợp 1:
x y
. Thay vào hệ ta được
1
x y
Trường hợp 2:
2 2
1
x y xy
Không mất tính tổng quát giả sử
x y
, từ (1) ta có:
3 3
2 1
x y x x x
1 2 0 1
x y
, khi đó ta có:
3 3
x y x y
.
