bài tập và lý thuyết Đạo hàm

1. Đònh nghóa đạo hàm tại một điểm
 Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a; b) và x
0


(a; b):

0
0
0
xx
0
f(x) f(x )
f '(x ) lim
xx




=
x0
y
lim
x




(x = x – x
0
, y = f(x
0
+ x) – f(x
0
)
 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x
0
thì nó liên tục tại diểm đó.
2. Ý nghóa của đạo hàm
 Ý nghóa hình học:
+ f

(x
0
) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = f(x) tại
 
00
M x ;f(x )
.
+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = f(x) tại
 
00
M x ;f(x )
là:
y – y

0
= f

(x
0
).(x – x
0
)
 Ý nghóa vật lí:
+ Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác đònh bởi phương trình s = s(t) tại thời
điểm t
0
là v(t
0
) = s

(t
0
).
+ Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t
0
là I(t
0
) = Q

(t
0
).
3. Qui tắc tính đạo hàm
 (C)' = 0 (x) = 1 (x

n
) = n.x
n–1

nN
n1






 
1
x
2x



 (u  v) = u  v (uv) = uv + vu
2
u u v v u
v
v


  




(v  0)
(ku) = ku
2
1v
v
v







 Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u

x
và hàm số y = f(u) có
đạo hàm tại u là y

u
thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là:
x u x
y y .u   

4. Đạo hàm của hàm số lượng giác

x0
sinx
lim 1
x



;
0
xx
sin u(x)
lim 1
u(x)


(với
0
xx
lim u(x) 0


)
 (sinx) = cosx (cosx) = – sinx
 
2
1
tanx
cos x


 
2
1
cot x
sin x

  

5. Vi phân

dy df(x) f (x). x   

0 0 0
f(x x) f(x ) f (x ). x     

6. Đạo hàm cấp cao

 
f ''(x) f '(x)


;
 
f '''(x) f ''(x)


;
(n) (n 1)
f (x ) f (x )





(n  N, n  4)
 Ý nghóa cơ học:

Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t
0
là a(t
0
) = f

(t
0
).



CHƯƠNG V
ĐẠO HÀM


VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng đònh nghóa
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
bằng đònh nghóa ta thực hiện các bước:
B1: Giả sử

x là số gia của đối số tại x
0
. Tính

y = f(x
0
+


x) – f(x
0
).
B2: Tính
x0
y
lim
x



.

Bài 1: Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:
a)
2
y f(x) 2x x 2   
tại
0
x1
b)
y f(x) 3 2x  
tại x
0
= –3
c)
2x 1
y f(x)
x1




tại x
0
= 2 d)
y f(x) sinx
tại x
0
=
6


e)
3
y f(x ) x
tại x
0
= 1 f)
2
x x 1
y f(x)
x1



tại x
0
= 0
Bài 2: Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)

2
f(x) x 3x 1  
b)
3
f(x) x 2x
c)
f(x) x 1, (x 1)   

d)
1
f(x)
2x 3


e)
f(x) sinx
f)
1
f(x)
cosx



VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm.
Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp.

Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
43

1
y 2x x 2 x 5
3
   
b)
2
32
y x x x.
3
x
  
c)
32
y (x 2)(1 x )  

d)
2 2 2
y (x 1)(x 4)(x 9)   
e)
2
y (x 3x)(2 x)  
f)
 
1
y x 1 1
x

  



g)
3
y
2x 1


h)
2x 1
y
1 3x



i)
2
2
1 x x
y
1 x x




k)
2
x 3x 3
y
x1




l)
2
2 x 4x 1
y
x3



m)
2
2
2x
y
x 2x 3



Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
24
y (x x 1)  
b)
25
y (1 2x )
c)
3
2x 1
y

x1







d)
2
3
(x 1)
y
(x 1)



e)
22
1
y
(x 2x 5)


f)
 
4
2
y 3 2x

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2
y 2x 5x 2  
b)
3
3
y x x 2  
c)
y x x

d)
2
y (x 2) x 3  
e)
2
4x 1
y
x2



f)
2
4x
y
x



g)
3
x
y
x1


h)
3
y (x 2)
i)
 
3
y 1 1 2x  



Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2
sinx
y
1 cosx





b)
y x.cosx

c)
3
y sin (2x 1)

d)
y cot2x
e)
2
y sin 2 x
f)
y s in x 2x

g)
35
21
y tan2x tan 2x tan 2x
35
  
h)
23
y 2sin 4x 3cos 5x

i)
23
y (2 sin 2x)
k)
 
22
y sin cos xtan x
l)

2
x1
y cos
x1








Bài 5: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng:
a)
n n 1
(sin x.cosnx)' nsin x.cos( n 1)x


b)
n n 1
(sin x.sin nx)' n.sin x.sin(n 1)x



c)
n n 1
(cos x.sin nx)' n.cos x.cos(n 1)x


d)

n n 1
(cos x.cosnx)' n.cos x.sin(n 1)x

  



VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = f(x)
1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x
0
, y
0
)
(C)
là:
0 0 0
y y f '(x )(x x )  
(*)
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k:
+ Gọi x
0
là hoành độ của tiếp điểm. Ta có:
0
f (x ) k
(ý nghóa hình học của đạo hàm)
+ Giải phương trình trên tìm x
0
, rồi tìm
00
y f(x ).

+ Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*)
3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x
1
, y
1
) cho trước:
+ Gọi (x
0
, y
0
) là tiếp điểm (với y
0
= f(x
0
)).
+ Phương trình tiếp tuyến (d):
0 0 0
y y f '(x )(x x )  

(d) qua A
1 1 1 0 0 1 0
(x , y ) y y f'(x ) (x x ) (1)   

+ Giải phương trình (1) với ẩn là x
0
, rồi tìm
00
y f(x )
và

0
f '(x ).

+ Từ đó viết phương trình (d) theo công thức (*).
4. Nhắc lại: Cho (

): y = ax + b. Khi đó:
+
d
(d) ( ) k a   
+
d
1
(d) ( ) k
a
    


Bài 1: Cho hàm số (C):
2
y f(x) x 2x 3.   
Viết phương trình tiếp với (C):
a) Tại điểm có hoành độ x
0
= 1.
b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0.
c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0.
d) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ.
Bài 2: Cho hàm số
2

2 x x
y f(x)
x1



(C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4).
b) Viết phương trình ttiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1.
Bài 3: Cho hàm số
3x 1
y f(x)
1x



(C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d:
1
y x 100
2

.
e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với : 2x + 2y – 5 = 0.
Bài 4: Cho hàm số (C):
32

y x 3x .

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) tại điểm I(1, –2).
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thò (C) không đi qua I.
Bài 5: Cho hàm số (C):
2
y 1 x x .  
Tìm phương trình tiếp tuyến với (C):
a) Tại điểm có hoành độ x
0
=
1
.
2

b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0.


VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao
1. Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ta dùng công thức:
(n) n 1 /
y (y ) .



2. Để tính đạo hàm cấp n:


Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n.


Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng.

Bài 1: Cho hàm số
f(x) 3(x 1)cosx
.
a) Tính
f '(x),f ''(x)
b) Tính
f ''( ), f '' ,f ''(1)
2






Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra:
a)
y cosx, y'''
b)
4 3 2
y 5x 2 x 5x 4x 7, y''    
c)
x3
y , y' '
x4




d)
2
y 2x x , y''
e)
y xsinx, y''
f)
y xtanx, y''

g)
23
y (x 1) ,y''
h)
6 3 (4)
y x 4x 4, y  
i)
(5)
1
y , y
1x



Bài 3: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng:
a)
(n)
n
n1
1 ( 1) n!
1x

(1 x)








b)
(n)
n.
(sinx) sin x
2





c)
(n)
n.
(cosx) cos x
2






Bài 4: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a)
1
y
x2


b)
2
1
y
x 3x 2


c)
2
x
y
x1



d)
1x
y
1x



e)

2
y sin x
f)
44
y sin x cos x

Bài 5: Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra:
a)
y xsinx
xy'' 2(y' sinx) xy 0



   

b)
2
3
y 2x x
y y'' 1 0








c)
2 2 2

y x tan x
x y'' 2(x y )(1 y) 0



   

d)
2
x3
y
x4
2y (y 1)y''












VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn dạng
0
xx
sin u(x)
lim

u(x)


Ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi và sử dụng công thức

0
xx
sin u(x)
lim 1
u(x)


(với
0
xx
lim u(x) 0


)

Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a)
x0
sin3x
lim
sin2x

b)
2
x0

1 cosx
lim
x


c)
2
x
2
1 sin x
lim
x
2








d)
x
4
cosx sin x
lim
cos2x




e)
x0
1 sinx cosx
lim
1 sin x cosx



f)
x0
tan2x
lim
sin5x

g)
x
2
lim x tanx
2







h)
x
6

sin x
6
lim
3
cosx
2










VẤN ĐỀ 6: Các bài toán khác

Bài 1: Giải phương trình
f '(x) 0
với:
a)
f(x) 3cosx 4sinx 5x  
b)
f(x) cosx 3són 2x 1   

c)
2
f(x) sin x 2cosx
d)

cos4x cos6x
f(x) sinx
46
  

e)
3x
f(x) 1 sin( x) 2cos
2

    
f)
f(x) sin3x 3 cos3x 3(cosx 3sinx)   

Bài 2: Giải phương trình
f '(x) g(x)
với:
a)
4
f(x) sin 3x
g(x) sin6x





b)
3
f(x) sin 2x
g(x) 4cos2x 5sin 4x







c)
22
2
x
f(x) 2x cos
2
g(x) x x sin x







d)
2
x
f(x) 4xcos
2
x
g(x) 8cos 3 2xsin x
2







  



Bài 3: Giải bất phương trình
f '(x) g'(x)
với:
a)
32
f(x) x x 2, g(x) 3x x 2     

b)
2
3 2 3
x
f(x) 2x x 3, g(x) x 3
2
     

c)
3
2
f(x) , g(x) x x
x
  

Bài 4: Xác đònh m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  R:
a)
3
2
mx
f '(x) 0 với f(x) 3x mx 5
3
    

b)
32
mx mx
f '(x) 0 với f(x) (m 1)x 15
32
     