tóm tắt luận án tiến sĩ dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt động giải các bài toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

DƯƠNG HỮU TÒNG
DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHÂN SỐ Ở TRƯỜNG
TIỂU HỌC THÔNG QUA HOẠT ĐỘNG
GIẢI CÁC BÀI TOÁN
Chuyên ngành: Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 62 14 01 11
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
Công trình được hoàn thành tại
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN
Phản biện 1: PGS.TS. Vương Dương Minh

Phản biện 2: PGS.TS. Trần Vui
Phản biện 3: TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại
trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh
Vào hồi: . . . . giờ, ngày . . . . tháng . . . . năm 2014

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh
- Thư viện Khoa học tổng hợp Tp. Hồ Chí Minh
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Khái niệm phân số là nội dung dạy học quan trọng trong chương trình toán ở tiểu học
Ở Việt Nam, khái niệm (KN) phân số được đề cập ở hầu hết tất cả khối lớp ở tiểu học trừ khối 1. Thậm
chí, nó còn được tiếp tục nghiên cứu trong chương trình toán ở lớp 6. Điều đó cho thấy tầm quan trọng của
mảng kiến thức số học này trong chương trình toán phổ thông.

Ngoài ra, việc dạy học (DH) KN phân số có mối liên hệ chặt chẽ đến DH các kiến thức số học: số tự
nhiên, hỗn số, số thập phân,…Bên cạnh đó, phân số còn là cơ sở ban đầu để hình thành hỗn số và số thập
phân. Do vậy, DH KN phân số ít nhiều cũng ảnh hưởng đến DH các loại số khác. Hơn nữa, KN phân số còn
hiện diện trong các mạch kiến thức khác ở tiểu học: hình học, số đo đại lượng, giải toán có lời văn, yếu tố
thống kê,…Tóm lại, phân số có mặt ở hầu hết trong chương trình toán ở tiểu học.
1.2. Hoạt động giải toán giữ vai trò trọng yếu trong dạy học toán
1.2.1. Hoạt động giải toán thể hiện được ý nghĩa của việc dạy học toán
Hoạt động giải toán được sử dụng nhằm chứng minh cho việc giảng dạy toán học. Để thuyết phục HS
thấy được giá trị của toán học, nội dung DH cần liên quan đến việc giải quyết vấn đề thực tiễn. Hoạt động
giải toán cũng được thực hiện để gợi động cơ cho các em, làm dấy lên mối quan tâm của họ trong một chủ đề
toán học cụ thể thông qua những tình huống thực tế. Nó còn dùng giải trí, xem như một hoạt động thú vị
thường được áp dụng trong giờ giải lao. Hoạt động giải toán có thể được vận dụng rộng rãi để củng cố các kĩ
năng và KN đã được giảng dạy trước đó.
1.2.2. Hoạt động giải toán phù hợp với quan điểm sư phạm hiện nay
 Hoạt động giải toán thích ứng với xu hướng DH của thực tiễn nước ta:
- Trong những năm gần đây, chủ trương của Bộ Giáo dục và Đào tạo tập trung vào quan điểm DH “lấy
HS làm trung tâm”. Trong đó, vai trò tự khám phá tri thức của HS được nhấn mạnh. Hoạt động giải toán
thích hợp với yêu cầu này bởi vì các em sẽ tự mình kiến tạo tri thức mới thông qua việc tìm kiếm lời giải cho
bài toán.
- Trong DH toán, người ta quan tâm đến một số lí thuyết DH hiện đại: lí thuyết hoạt động, lí thuyết kiến
tạo, lí thuyết tình huống Điểm chung của các lí thuyết này là tập trung vào vai trò hoạt động của HS. Do
vậy, hoạt động giải toán vẫn đảm bảo được yếu tố hoạt động của HS, trong đó bản thân trẻ khám phá ra các
chiến lược giải bài toán, cùng với bạn bè và GV để thể chế hóa được kiến thức mới.
- Ngoài ra, nhà trường chú trọng hơn những PPDH tích cực: DH khám phá, DH phát hiện và giải quyết
vấn đề, DH theo dự án, DH hợp tác,… Các PPDH này yêu cầu GV giữ vai trò chủ đạo, điều khiển, trong khi
đó HS tích cực chủ động, sáng tạo, tự giác để kiến tạo tri thức mới. Hơn thế nữa, chúng luôn tạo điều kiện
cho người học được làm việc với các hoạt động tích hợp. Nếu xét về khía cạnh này, hoạt động giải toán sẽ hỗ
trợ cho việc sử dụng các PPDH tích cực trong DH toán.
- Thêm vào đó, theo PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu [6,tr.67-68] để nâng cao năng lực hiểu biết toán học cho
HS, chúng ta không thể coi nhẹ DH toán thông qua DH mô hình hoá. Mô hình DH này có thể thực hiện theo

tiến trình:
Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn  Xây dựng mô hình toán học  Câu trả lời cho bài toán thực tế 
Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa, định lí hay công thức  Vận dụng vào giải các
bài toán thực tiễn khác.
1
Theo tiến trình trên, hoạt động giải toán đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nên tri thức. Tri
thức nảy sinh với tư cách là kết quả hay phương tiện của hoạt động giải toán. Vì vậy, hoạt động giải toán phù
hợp với xu hướng DH bằng mô hình hóa như hiện nay.
 Bên cạnh thích nghi với xu hướng DH trong nước, hoạt động giải toán cũng phù hợp với quan điểm sư
phạm của một số nước khác, trong đó có Pháp. Theo [94,tr.171], sau cải cách toán học, DH toán ở nước này
có đặc trưng: nhấn mạnh trên các hoạt động giải toán, những tri thức sẽ lấy “nghĩa” qua việc giải bài toán, và
nghiên cứu các điều kiện nảy sinh tri thức.
1.2.3. Hoạt động giải toán tạo điều kiện dạy học theo quan điểm khoa học luận
Ngày nay, DH toán quan tâm nhiều hơn đến những đặc trưng khoa học luận của đối tượng tri thức cần
giảng dạy và khả năng nhận thức của HS về đối tượng này. Thực hiện nghiên cứu khoa học luận cho một KN
toán học chỉ ra rằng nó thường xuất hiện theo tiến trình sau:
Do vậy, đa số những KN toán học đều xuất hiện thông qua hoạt động giải toán. Trong trường hợp này,
chúng đều là công cụ hay phương tiện của hoạt động giải toán trong nội bộ toán học, đời sống thực tế hay
các khoa học khác (vật lí, hóa học, địa lí,…).
1.3. Khái niệm phân số là một chủ đề được quan tâm trong nhiều nghiên cứu khoa học
Tác giả Nguyễn Hoài Anh nghiên cứu về việc sử dụng máy tính điện tử trong DH phân số ở tiểu học.
Thêm vào đó, tác giả này cũng xuất bản một bài báo trên Tạp chí Sách và thiết bị với tên là “So sánh nội
dụng chủ đề phân số trong chương trình môn toán ở tiểu học của hai nước Việt Nam và Brunei”
Một nghiên cứu khác liên quan đến KN phân số thuộc về tác giả Phạm Ngọc Bảo. Tác giả nghiên cứu
“Đào tạo GV tiểu học về bước chuyển từ phân số như là những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị đến phân số
như là thương ở lớp 3 và lớp 4”. Trong luận văn này, tác giả tiến hành một thực nghiệm để chỉ ra rằng HS
gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết những tình huống nhắm tới thiết lập mối quan hệ giữa phép chia hai
số tự nhiên và phân số, giữa phân số đơn vị và phân số thương, được đưa vào bởi SGK toán 4 hiện hành. Tác
giả chưa có những nghiên cứu khoa học luận về phân số.
Luận án cũng trình bày nhiều kết quả nghiên cứu của những tác giả trên thế giới. Họ tập trung nghiên

cứu các cách tiếp cận của khái niệm phân số, cũng những khó khăn sai lầm của HS khi học phân số.
Tóm lại, KN phân số được rất nhiều nhà giáo dục quan tâm. Tất cả thể hiện được ý nghĩa và vai trò của
nó trong giảng dạy và khoa học toán. Có rất nhiều công trình liên quan KN phân số. Thế nhưng, ở Việt Nam
chưa có công trình nào nghiên cứu KN phân số theo tiến trình: nghiên cứu khoa học luận  nghiên cứu thể
chế đào tạo GV  nghiên cứu thể chế DH toán ở tiểu học  nghiên cứu thực nghiệm.
Những phân tích trên đặt ra cho chúng tôi nhiều câu hỏi mà việc giải đáp chúng sẽ gợi ra những cái mới
và đóng góp của luận án:
Trong thể chế DH toán tiểu học ở Việt Nam, KN phân số được đưa vào như thế nào? Xoay quanh những
dạng toán nào? GV DH toán ở trường tiểu học Việt Nam có quan niệm như thế nào về KN phân số và DH
phân số? GV sử dụng những hoạt động giải toán gì để hình thành kiến thức gắn liền với KN phân số? Đặc
trưng của những hoạt động đó ra sao? Hoạt động giải toán nào được GV lựa chọn để giúp HS phát hiện và
sửa chữa các sai lầm khi học chủ đề phân số?
Từ những lí do trên đây, chúng tôi đặt vấn nghiên cứu của luận án:
“Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt động giải các bài toán”
2
Công cụ ngầm ẩn
→
Đối tượng
→
Công cụ tường minh
Giải bài toán
→
Nghiên cứu KN
→
Giải toán
2. Giới hạn của đề tài
Chúng tôi chọn ra một KN toán học có nhiều công trình nghiên cứu: phân số. Bên cạnh đó, KN này chỉ
được tiến hành nghiên cứu ở các cấp độ: lịch sử toán, nhà trường đào tạo GV tiểu học và dạy toán ở tiểu học.
3. Phạm vi lí thuyết tham chiếu và mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của lí thuyết về bài toán, hoạt động giải toán, DH

thông qua hoạt động giải toán, Bên cạnh đó, một số công cụ lí thuyết của didactic toán được vận dụng để
nghiên cứu tri thức cần giảng dạy: Nghiên cứu khoa học luận ; Lí thuyết nhân chủng học: chuyển đổi
didactic, quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học ; Lí thuyết tình
huống. Luận án được thực hiện với mục tiêu nghiên cứu DH chủ đề phân số thông qua hoạt động giải toán
mà bây giờ được cụ thể hóa và mở rộng trong phạm vi lí thuyết tham chiếu thông qua các câu hỏi:
1. Trong quá trình hình thành và phát triển, phân số có những đặc trưng khoa học luận cơ bản nào?
2. Mối quan hệ thể chế với KN phân số ở nhà trường đào tạo GV tiểu học có những đặc trưng cơ bản
nào? Sự tương đồng và khác biệt của nó so với quá trình phát triển của nó trong lịch sử?
3. Mối quan hệ thể chế với KN phân số trong thể chế DH toán ở tiểu học có đặc trưng cơ bản nào? Sự
tương đồng và khác biệt so với quá trình phát triển của nó trong lịch sử và so với mối quan hệ thể chế đào tạo
GV tiểu học?
4. Những ràng buộc của thể chế DH toán ở tiểu học ảnh hưởng ra sao đến mối quan hệ cá nhân của GV
và HS? Đặc trưng của các hoạt động giải toán được triển khai ra sao?
5. Xây dựng hệ thống các hoạt động giải toán như thế nào để tạo điều kiện cho HS kiến tạo kiến thức
mới liên quan chủ đề phân số? Hiệu quả của chúng ra sao?
6. Làm thế nào để thiết kế các tình huống DH mà trong đó HS khám phá ra kiến thức mới (phân số)
thông qua hoạt động giải toán? HS sẽ ứng xử ra sao trước những tình huống như thế?
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Nghiên cứu lí luận
- Trước tiên, chúng tôi phân tích, tổng hợp cơ sở lí luận của DH thông qua hoạt động giải toán cũng như
một số cơ sở lí thuyết của didactic toán, một số chủ trương, chính sách của Chính phủ, Bộ Giáo dục và Đào
tạo về định hướng đổi mới PPDH.
- Nghiên cứu trước đó là cơ sở để chúng tôi phân tích, tổng hợp các công trình có liên quan đến đến đặc
trưng khoa học luận của KN phân số. Công việc này được tiến hành thông qua nghiên cứu các tài liệu lịch sử
toán, các nghiên cứu trước đó về KN phân số.
- Tiếp theo nghiên cứu khoa học luận, chúng tôi phân tích chương trình và các giáo trình toán (được sử
dụng để dạy cho GV tiểu học) nhằm tìm hiểu KN phân số được nghiên cứu như thế nào ở cấp độ nhà trường
sư phạm và mối quan hệ thể chế đào tạo GV với đối tượng phân số.
- Hai nghiên cứu trên là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích thể chế DH phân số ở tiểu học. Phân tích
chương trình và SGK, sách GV toán, tài liệu hướng dẫn giảng dạy sẽ làm rõ mối quan hệ thể chế với đối

tượng phân số.
- Sau đó, chúng tôi tiến hành tìm kiếm giải pháp để DH hiệu quả chủ đề phân số - đó là DH thông qua
hoạt động giải toán. Chính vì vậy, chúng tôi đã vận dụng cơ sở lí thuyết để thiết kế hoạt động giải toán cho
chủ đề phân số.
4.2. Thực nghiệm sư phạm
Sau những nghiên cứu trước đó, cho phép chúng tôi đề xuất các giả thuyết nghiên cứu. Tính thỏa đáng
của chúng được kiểm chứng bằng một số thực nghiệm trên đối tượng HS.
3
5. Giả thuyết nghiên cứu
Hai giả thuyết dưới đây có được từ việc phân tích mối quan hệ thể chế DH toán ở tiểu học, thiết kế các
hoạt động giải toán (trong chương 3, 4). Việc kiểm chứng tính đúng đắn của chúng được thực hiện trong
chương 5 của luận án.
H1: Tổ chức dạy học thông qua hoạt động giải toán, được thiết kế theo những tiêu chí ở mục 4.1.1,
cho phép học sinh tự kiến tạo kiến thức gắn liền với khái niệm phân số và mang lại cho các em nghĩa
đúng của kiến thức này.
H2: Tình huống dạy học trong đó bao gồm hoạt động giải toán còn cho phép học sinh tiếp cận với
nghĩa của khái niệm phân số như là phương tiện “biểu thị một điểm cụ thể trên tia số” và hình thành
cho các em biểu tượng ban đầu về tính trù mật của tập hợp các phân số.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
6.1. Về mặt lí luận
- Phân tích và tổng hợp một số yếu tố cơ sở lí luận về DH thông qua hoạt động giải toán, các lí thuyết
của didactic toán, một số chủ trương, chính sách của Chính phủ, Bộ Giáo dục và Đào tạo về định hướng đổi
mới PPDH.
- Làm rõ các đặc trưng của KN phân số trong tiến trình hình thành và phát triển của nó.
- Dựa trên cơ sở lí luận trên, cho phép phân tích các nội dung có liên quan đến chủ đề phân số trong nhà
trường đào tạo GV tiểu học và thể chế DH toán ở tiểu học.
6.2. Về mặt thực tiễn
- Xây dựng các tiêu chí để tổ chức DH thông qua hoạt động giải toán, đề xuất tiến trình DH thông qua
hoạt động giải toán.
- Đề xuất một hệ thống hoạt động giải toán cho chủ đề phân số.

- Luận án cũng xây dựng các tình huống DH theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của HS trong
việc lĩnh hội KN phân số, từ đó góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả DH chủ đề phân số.
7. Những luận điểm đưa ra bảo vệ
- Những luận điểm quan trọng của cơ sở lí luận về DH thông qua hoạt động giải toán, trong đó kể cả tiến
trình DH thông qua hoạt động giải toán.
- Một số kết quả chính có được khi phân tích khoa học luận KN phân số.
- Những ghi nhận đáng chú ý từ việc phân tích mối quan hệ thể chế ở nhà trường đào tạo GV tiểu học và
thể chế DH toán ở tiểu học.
- Hệ thống hoạt động giải toán được thiết kế để vận dụng vào DH chủ đề phân số trong SGK toán 4.
- Một số kết quả chú ý của các thực nghiệm sư phạm trong chương 5.
8. Cấu trúc của luận án
Luận án gồm: Mở đầu, 5 chương, kết luận, tài liệu tham khảo. Trong đó:
Chương 1. Cơ sở lí luận
Chương 2. Nghiên cứu khoa học luận của khái niệm phân số
4
Chương 3. Khái niệm phân số trong thể chế đào tạo giáo viên tiểu học và thể chế dạy học toán ở
tiểu học
Chương 4. Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt động giải các bài toán
Chương 5. Thực nghiệm sư phạm
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN
Chương 1 có mục tiêu xác định cơ sở lí luận cho toàn bộ nghiên cứu trong luận án. Về nguyên tắc, chúng
tôi cần làm rõ các KN cơ bản: hoạt động, bài toán, hoạt động giải toán, DH thông qua hoạt động giải toán.
Trong đó, KN “Hoạt động” là đối tượng nghiên cứu quan trọng của Triết học và nhiều Lí thuyết về học tập,
đặc biệt là Lí thuyết hoạt động, đặt cơ sở trên Tâm lí học hoạt động. Tuy nhiên, trong phạm vi luận án này,
chúng tôi không đi sâu vào khía cạnh triết học, tâm lí hay giáo dục của KN “hoạt động”, mà chỉ dùng nó như
một thuật ngữ thông thường, chỉ việc tiến hành một nhiệm vụ nào đó. Cụ thể, hoạt động giải các bài toán
được hiểu là việc thực hiện giải các bài toán. Từ đó, chúng tôi hạn chế phạm vi cơ sở lí luận mà chúng tôi
cần làm rõ trong chương này là các nhóm công cụ lí thuyết sau đây:
- Nhóm công cụ lí thuyết gắn liền với chủ đề “DH thông qua hoạt động giải toán”, như các KN: bài toán,

đề toán, DH thông qua hoạt động giải toán. Ngoài ra chúng tôi cũng bổ sung trong phần này một số yếu tố
khoa học luận và cơ sở thực tiễn của “DH thông qua hoạt động giải bài toán”.
- Nhóm công cụ lí thuyết hình thành nên phương tiện nghiên cứu các thể chế DH, chủ yếu là nghiên cứu
chương trình, sách giáo khoa (hay giáo trình) và nghiên cứu thực nghiệm.
- Nhóm chủ trương, định hướng về giáo dục nói chung và đào tạo nói riêng của Chính phủ, của Bộ Giáo
dục và Đào tạo ở Việt Nam.
Sau khi trình bày những yếu tố lí luận và thực tiễn nêu trên, chúng tôi sẽ xác định quan điểm của mình
về “DH thông qua hoạt động giải các bài toán”.
1.1. Cơ sở lí luận về dạy học thông qua hoạt động giải toán
1.1.1. Khái niệm Bài toán
Có nhiều quan niệm khác nhau về KN “Bài toán”. Rất thông thường, thuật ngữ này được dùng lẫn lộn
với thuật ngữ “Bài tập”. Từ “Problème” trong ngôn ngữ tiếng pháp và “Problem” trong tiếng Anh đều được
dịch sang tiếng Việt với hai nghĩa: “Bài toán” và “Vấn đề”.
1.1.1.1. Từ góc độ từ nguyên và lịch sử ngôn ngữ
Tóm lại, hai trong các đặc trưng cơ bản gắn với KN bài toán thể hiện qua từ điển lịch sử ngôn ngữ Pháp,
mà chúng tôi giữ lại là:
- Luôn gắn với khó khăn, chướng ngại cần vượt qua.
- Gắn với đề nghị chứa một yêu cầu cần giải quyết hoặc một chứng minh cần thực hiện.
1.1.1.2. Từ quan điểm của tâm lí học
Nhìn từ góc độ tâm lí, thuật ngữ “problème” được dùng trong ngôn ngữ tiếng Việt là “Vấn đề”.
1.1.1.3. Từ góc độ của Lí luận và Phương pháp dạy học môn toán ở Việt Nam
GS. Nguyễn Bá Kim (2011) đề xuất các KN cơ bản sau làm nền tảng cho nghiên cứu xu hướng “DH
phát hiện và giải quyết vấn đề”: Tình huống bài toán (đối với chủ thể) là tình huống, trong đó chủ thể chưa
biết ít nhất một phần tử của khách thể. Trong một tình huống bài toán, nếu trước chủ thể đặt ra mục đích tìm
phần từ chưa biết nào đó dựa vào một số phần tử cho trước ở trong khách thể thì ta có một bài toán. Vấn đề
là bài toán, trong đó chủ thể chưa có trong tay một thuật giải nào để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán.
5
1.1.2. Về khái niệm “Đề bài toán” hay gọi tắt là “Đề toán”
Qua phân tích từ góc độ từ nguyên, lịch sử, tâm lí, M.Priolet (2008) nêu lên những đặc trưng sau đây
của KN Đề toán (đặt trong ngữ cảnh trường học) mà Priolet dùng làm cơ sở cho luận án của mình: “Đề toán

là thông báo về bài toán mà HS cần giải, được thực hiện qua một trình bày bằng lời hay dạng viết. Chính qua
trung gian đề toán mà diễn ra quan hệ đầu tiên giữa bài toán và chủ thể phải giải nó”. Đề toán thường được
trình bày dưới dạng nghi vấn hay yêu cầu (mệnh lệnh). Đề toán chỉ tập trung vào bài toán cần giải. Nói cách
khác, nó không chứa những cái gì không gắn với nội dung của bài toán. Theo cách hiểu của chúng tôi, đề
toán chính là “cái biểu đạt” cho “cái được biểu đạt” (bài toán). Nói cách khác, đề toán là hình thức tồn tại
bên ngoài của bài toán.
1.1.3. Khái niệm dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán
1.1.3.1. Khái niệm chung về dạy học thông qua hoạt động giải toán
Để tránh cách truyền thụ “một chiều” như trên, có thể tổ chức DH thông qua hoạt động giải các bài toán,
theo nghĩa: GV không truyền thụ trực tiếp kiến thức mới ngay từ đầu, mà đề nghị HS giải một hay một số bài
toán. Sau khi kết thúc hoạt động này, kiến thức mới sẽ được thiết lập như là kết quả của hoạt động giải các
bài toán vừa đề nghị.
1.1.3.2. Vai trò của bài toán (vấn đề) trong lịch sử phát triển của toán học và trong dạy học toán
1.1.3.3. Dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán ở Pháp
Các tác giả ở Pháp rất quan tâm đến hoạt động giải toán. Các quan niệm về hoạt động giải toán có điểm
chung: HS là chủ thể của hoạt động; sự hướng dẫn, can thiệp của GV bị hạn chế ở mức thấp nhất, điều này
khác với Việt Nam. Đặc trưng của các bài toán trong thể chế DH toán ở Pháp: HS không biết trước qui trình
giải, gợi lên sự thách thức đối với HS, đề bài ngắn gọn, dễ hiểu, Ngoài ra, họ còn chú ý đến hoạt động giải
toán để hình thành kiến thức mới cho HS hay kiến thức cũ được cấu trúc lại.
1.1.3.4. So sánh với dạy học thông qua hoạt động giải toán ở Singapore
+ Điểm chung: HS là người thực hiện hoạt động, sự can thiệp của GV được hạn chế ở mức độ ít nhất.
Qua hoạt động, HS sẽ khám phá kiến thức mới cần dạy hoặc huy động kiến thức cũ với mục đích tổ chức lại
chúng.
+ Điểm khác biệt: trong các bài toán cần giải, vẫn có “những tìm hiểu có hướng dẫn” nhằm giúp HS dễ
dàng hơn trong việc tìm hiểu một qui tắc, một vấn đề,…
1.1.4. Khái niệm “Nghĩa” của tri thức
Hầu hết các nhà giáo dục đều thống nhất rằng: dạy học một tri thức là dạy học nghĩa của tri thức đó.
Như Sierpinska (1990) [87] đã làm rõ: “Hiểu KN sẽ (…) được xem như hành động nắm được nghĩa của nó”
1.1.4.1. Quan điểm của Thuyết duy thực (thuyết hiện thực - théorie réaliste)
Từ quan điểm trên của chủ nghĩa duy thực, có thể suy luận ra rằng, nghĩa của một tri thức toán học chỉ là

thuộc tính có tính ngữ nghĩa mà người ta gán cho từ (hay cụm từ) nêu danh tri thức này. Chúng tôi gọi nghĩa
của tri thức theo quan điểm này là “nghĩa hình thức”.
1.1.4.2. Quan điểm của Thuyết thực dụng (théorie pragmatique)
Theo thuyết thực dụng, nghĩa của một đối tượng toán học phụ thuộc vào (hay đặc trưng bởi) hệ thống
những cách sử dụng nó.
1.1.4.3. Quan niệm của GS Hồ Ngọc Đại
Dựa trên những đoạn trích trên và nghiên cứu tác phẩm “Cái và cách” có thể khẳng định, GS Hồ Ngọc
Đại cũng quan niệm “nghĩa” của một đối tượng phụ thuộc vào ngữ cảnh và cách sử dụng nó, như quan
điểm của thuyết thực dụng nêu trên.
6
1.1.4.4. Quan niệm của Didactic toán (theo trường phái Cộng hòa Pháp)
Trong Didactic toán, các tác giả cũng quan niệm nghĩa của tri thức toán phụ thuộc vào cách sử dụng và
lí do tồn tại của nó. Didactic toán còn đưa ra KN “nghĩa đúng” và giải thích: Nghĩa đúng ở đây được hiểu là
đúng so với lịch sử hình thành và nảy sinh của tri thức hay so với bối cảnh xã hội và cộng đồng khoa học.
1.1.5. Quan điểm đầu tiên của luận án về dạy học thông qua hoạt động giải bài toán
1.1.5.1. Khái niệm bài toán, đề toán và hoạt động giải toán
KN bài toán trong luận án này có những đặc trưng cơ bản sau đây (các đặc trưng này không độc lập với
nhau):
- Bài toán là một hệ thống, trong đó chủ thể có mục đích tìm các phần tử chưa biết nào đó dựa vào một
số phần tử cho trước ở trong khách thể. Trong đó có ít nhất một phần tử cần tìm, nhưng chủ thể không thể áp
dụng y nguyên các thuật giải đã có để đạt được mục đích đó.
- Trong bài toán, luôn có khó khăn cần vượt qua.
- Khi bài toán đã được giải quyết thì có kiến thức mới được thiết lập. Kiến thức mới này nảy sinh như
công cụ, phương tiện của việc giải bài toán. Nói cách khác, bài toán phải mang lại “nghĩa” cho kiến thức mà
HS kiến tạo. Hoạt động giải toán là thực hiện nhiệm vụ tìm kiếm và thiết lập lời giải bài toán.
1.1.5.2. Khái niệm kiến thức mới
Chúng tôi dùng KN “Kiến thức mới” theo quan niệm của tác giả Lê Văn Tiến (2005): đó là một kiến
thức hoàn toàn mới với chủ thể (một KN mới, định lí mới, thuật toán mới, một định lí, một qui tắc, một tính
chất …) hoặc là kiến thức cũ được cấu trúc lại.
1.1.5.3. Khái niệm dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán

Trong luận án này, chúng tôi dùng khái niệm “Dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán” (hay gọi
tắt là DH thông qua hoạt động giải toán), theo nghĩa: DH bằng cách tổ chức cho HS tiến hành hoạt động giải
các toán nhằm kiến tạo kiến thức mới cần dạy. Trong đó, khái niệm “bài toán” và “hoạt động giải toán” được
mô tả như trong các mục trên, cùng với một số điều kiện và ràng buộc khác mà chúng tôi sẽ làm rõ trong
phần sau về kịch bản của hoạt động giải toán, về vai trò, vị trí của GV và HS,…
1.2. Một số yếu tố lí thuyết didactic toán
Trong nghiên cứu DH thông qua hoạt động giải toán, người ta còn quan tâm đến: kiến thức nảy sinh như
thế nào? Trong những tình huống nào? Đặc trưng của bài toán ra sao? Cách phân tích SGK hay phân tích lời
giải của HS ra sao?…
Do vậy, để trả lời được các câu hỏi trên cần có những công cụ phân tích hữu ích. Chính vì lí do này,
chúng tôi lựa chọn thêm một số yếu tố lí thuyết của didactic toán: nghiên cứu khoa học luận, lí thuyết tình
huống, lí thuyết nhân chủng học,…(tham khảo chi tiết trong [2]).
1.2.1. Nghiên cứu khoa học luận
1.2.2. Nghiên cứu sự chuyển đổi didactic
Sự chuyển đổi didactic đi theo tiến trình: tri thức bác học  tri thức cần giảng dạy  tri thức được dạy.
Chúng tôi sẽ thực hiện nghiên cứu sự chuyển đổi này trong chương 2, 3 và 4 của luận án. Chương 2 cho phép
nghiên cứu phân số với tư cách là một tri thức bác học, sau đó chúng tôi tiến hành nghiên cứu sự chuyển đổi
sang tri thức cần giảng dạy (ở thể chế đào tạo GV và thể chế DH toán ở tiểu học), tiếp đến là nghiên cứu tri
thức được dạy trong chương 5 của luận án.
1.2.3. Lí thuyết nhân chủng học
7
1.2.4. Các khái niệm trong lí thuyết tình huống
Chương 5 của luận án sử dụng một số KN của lí thuyết tình huống: phân tích tiên nghiệm, phân tích hậu
nghiệm, tình huống cơ sở, biến didactic, chiến lược, môi trường,…Nó tạo điều kiện để giải thích cho sự lựa
chọn của chúng tôi đối với từng tình huống thực nghiệm. Tuy nhiên, trong phần này chúng tôi chỉ trích dẫn
một số KN cần thiết, các KN khác có thể tham khảo trong [2].
1.3. Một số chủ trương, định hướng về giáo dục nói chung và đào tạo nói riêng của Chính phủ, của Bộ
Giáo dục và Đào tạo Việt Nam
Luật giáo dục sửa đổi năm 2010 tại mục 2 điều 5 chương I: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả

năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”.
Tổng Bí thư Nguyễn Phú Trọng (2013) đã ký ban hành Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành
Trung ương khóa XI (Nghị quyết số 29-NQ/TW) với nội dung Đổi mới căn bản, toàn diện Giáo dục và Đào
tạo: “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công
dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo
dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và
kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học
tập suốt đời”. Từ đây, chúng tôi nhận thấy vấn đề nghiên cứu của luận án là phù hợp với xu hướng chung của
Giáo dục Việt Nam. Trong đó, HS tự mình chiếm lĩnh tri thức thông qua hoạt động giải toán. Hơn nữa, người
học cần khai thác tất cả các điều kiện có thể để được định hướng vào việc phát triển năng lực.
1.4. Kết luận chương 1
Chương 1 đã làm rõ được cơ sở lí luận của DH thông qua hoạt động giải toán và một số yếu tố lí thuyết
của didactic toán. Những cơ sở lí thuyết này sẽ được vận dụng một cách hiệu quả vào các chương sau của
luận án.
CHƯƠNG 2
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM PHÂN SỐ
Mục tiêu chương 2 là làm rõ các đặc trưng khoa học luận của KN phân số. Cụ thể hơn, chúng tôi cố gắng
đi tìm câu trả lời các câu hỏi sau:
1. KN phân số hình thành và phát triển qua những giai đoạn lịch sử nào?
2. KN phân số xuất hiện và tác động trong những kiểu bài toán, kiểu tình huống và phạm vi nào? Đặc
trưng của chúng? Những tình huống này mang lại nghĩa gì cho KN phân số ? Hoạt động giải toán có vị trí và
vai trò gì trong lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm phân số? Có những cách tiếp cận nào với KN
phân số?
3. Những đối tượng, KN toán học nào có liên quan và góp phần làm nảy sinh và phát triển KN phân số?
Lịch sử nảy sinh và phát triển của KN phân số có thể được chia làm 3 giai đoạn:
2.1. Giai đoạn 1: từ thời kỳ nguyên thủy đến thời cổ đại
- Nguồn gốc làm xuất hiện KN phân số là nhu cầu chia đều mà kết quả chia không là số tự nhiên. Theo
ngôn ngữ toán học, phân số xuất hiện trong tình huống “Có a đối tượng chia đều cho b người” trong đó, a, b
là các số tự nhiên và b khác 0. Thêm vào đó, nhu cầu đo đạc cũng là nguyên nhân để loài người tìm đến một
loại số mới bởi vì đôi khi đo đạc dẫn đến kết quả không là số tự nhiên.

8
- Các bài toán có liên quan: bài toán về diện tích, thể tích, phân chia thức ăn, phân chia quỹ chung,…
Phân số thể hiện chức năng “công cụ ngầm ẩn” của mình. Cơ chế đối tượng của phân số chỉ được nhắc đến
một cách mờ nhạt. Trong giai đoạn này, phân số lấy cơ chế của một KN tiền toán học.
- Phân số được ghi nhận qua một số cách tiếp cận: tiếp cận dựa trên phép chia, tiếp cận độ đo, tiếp cận số
phần / toàn thể, tiếp cận tỉ số. Từ đó, phân số lần lượt lấy các nghĩa: “biểu diễn kết quả của phép chia a cho
b”, “biểu diễn kết quả của độ đo”, “biểu thị a phần được lấy ra từ b phần bằng nhau của một đơn vị”, “biểu
diễn quan hệ so sánh giữa hai đại lượng”.
2.2. Giai đoạn 2: Toán học thời Trung cổ
- Lĩnh vực chiếm ưu thế của phân số trong giai đoạn này là số học. Có rất nhiều nhà số học nhưng họ
không quan tâm nhiều đến yếu tố “đối tượng” của phân số mà chỉ tập trung vào yếu tố công cụ. Phạm vi xuất
hiện của phân số: thần học, Kinh Cựu ước, Kinh Tân ước, thơ, Số học, Đại số, đại lượng, hình học,…
- Trong giai đoạn này, có nhiều tập hợp số mới được hình thành: số hữu tỉ, số âm, số vô tỉ,…Tuy nhiên,
phân số vẫn chưa được định nghĩa. Nói chung, phân số lấy cơ chế của KN cận toán học.
- Điểm nhấn trong giai đoạn này là các nhà toán học cung cấp các kí hiệu phân số thông dụng như ngày
nay: tử số và mẫu số ngăn cách bởi dấu gạch ngang hay gạch chéo (/). Thêm vào đó, họ còn cho thấy mối
quan hệ của phân số với phép chia hay phân số với tỉ số. Người ta chỉ ra được phân số a/b có thể hiểu là
:a b
. Phân số có nghĩa “biểu diễn kết quả của phép chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b khác 0”.
- Ngoài ra, với sản phẩm “đường thẳng thực” của Descartes đánh dấu bước tiếp cận phân số a/b dựa trên
tia số. Lúc này, “biểu thị một điểm cụ thể trên trục số” là một nghĩa khác của phân số.
2.3. Giai đoạn 3: Toán học hiện đại
- Tình huống để đưa đến một định nghĩa chính xác cho phân số là sự ảnh hưởng mạnh mẽ của sự phát
triển lí thuyết tập hợp. Chính vì thế, các nhà toán học cần phải xem xét cơ sở của các tập hợp số. Đóng góp
chính thuộc về nhà toán học Cantor: xây dựng thành tập hợp số Q và mang lại nghĩa mới cho phân số: “biểu
diễn một lớp tương đương”.
- Sự xuất hiện của định nghĩa phân số làm cho nó mang cơ chế của KN toán học. Đặc trưng thứ tự và các
phép tính của nó được đề cập một cách tường minh. Phạm vi hoạt động chủ yếu của phân số trong giai đoạn
này: số học, lí thuyết tập hợp, hình học, xác suất – thống kê,
2.4. Kết luận chương 2

2.4.1. Các giai đoạn nảy sinh và phát triển
Cũng giống như các KN toán học khác, lịch sử hình thành KN phân số trải qua rất dài và nảy sinh gắn
liền với các tình huống thực tiễn. Quá trình này có thể được phân chia thành 3 giai đoạn tương ứng với 3 cơ
chế hoạt động của nó.
2.4.1.1. Giai đoạn 1
Trong giai đoạn này, phân số lấy cơ chế của một KN tiền toán học. Nó xuất hiện như là một công cụ
ngầm ẩn để giải quyết các bài toán: nhu cầu chia đều a đối tượng cho b người (con thú săn được, hoa màu,
…), nhu cầu đo đạc.
2.4.1.2. Giai đoạn 2
Phân số lấy cơ chế của KN cận toán học. Nó được dùng như một công cụ nhưng không được định nghĩa.
Các nhà toán học tập trung nghiên cứu các liên phân số.
2.4.1.3. Giai đoạn 3
9
Tập hợp số hữu tỉ được định nghĩa bởi Cantor. Các nhà toán học chính thức nghiên cứu KN, quan hệ thứ
tự và các phép tính đại số của Q. Khi đó, phân số lấy cơ chế của một KN toán học. Lúc này, phân số trở
thành công cụ tường minh để giải quyết các bài toán trong nhiều lĩnh vực toán, trong đó có lí thuyết tập hợp.
2.4.2. Phạm vi tác động của khái niệm phân số và các bài toán có liên quan
2.4.2.1. Phạm vi tác động của khái niệm phân số
KN phân số xuất hiện đầu tiên ngầm ẩn dưới dạng bài toán chia đều thức ăn, ngân quỹ, xác định số phần
bằng nhau lấy ra trong tổng thể,…,sau đó, nó được dùng như một công cụ để giải quyết các bài toán trong:
đo lường, số học, đại số, hình học, số luận, xác suất thống kê, lí thuyết tập hợp,…Một số lĩnh vực khác mà
phân số cũng xuất hiện như một công cụ: kinh tế thương gia, vật lí, thiên văn, thần học, kinh thánh, thơ ca,…
2.4.2.2. Các bài toán có liên quan
Bài toán chia đều thức ăn, ngân quỹ,…, liên quan đến đo đạc ; Bài toán xác định số phần bằng nhau lấy
ra trong tổng thể ; Các bài toán liên quan đến số học, đại số, hình học và lí thuyết tập hợp. Chẳng hạn, giải
phương trình
b x a× =
(b khác 0), hay xác định độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật khi biết diện tích và
độ dài một cạnh.
2.4.3. Các đối tượng có liên quan

KN đầu tiên có liên quan mật thiết đến KN phân số là chia đều. Phân số ban đầu được hình thành thông
qua việc chia đều các vật thể. Những KN khác có vai trò quan trọng lịch sử hình thành KN phân số: phân số
Ai Cập, phần bằng nhau, tỉ số, tỉ lệ, số đo đại lượng (độ dài, diện tích, thể tích, vận tốc,…), liên phân số,
phương trình, tia số, đường thẳng thực. Một số KN khác có vị trí quan trọng trong cách tiếp cận của lí thuyết
tập hợp: số hữu tỉ, lớp thương, phần tử,…
2.4.4. Các cách tiếp cận khái niệm phân số
Từ việc nghiên cứu các tài liệu lịch sử, chúng tôi nhận thấy việc mở rộng hệ thống số từ số tự nhiên sang
số biểu diễn bởi phân số được tiến hành theo hai cách: xuất phát từ nhu cầu của cuộc sống và xuất phát từ nội
bộ toán học. Thứ nhất, phân số ra đời để giải quyết các vấn đề thực tế: nhu cầu đo đạc (nhiều khi ta gặp cả
những đại lượng không chứa đựng một số tự nhiên lần đơn vị đo) và nhu cầu chia những vật ra nhiều phần
bằng nhau. Thứ hai, tập hợp số biểu diễn bởi phân số ra đời xuất phát từ nội bộ toán học: để cho phép chia
các số nguyên cho một số khác 0 luôn luôn thực hiện được, hoặc các phương trình dạng
b x a× =
(b khác
0) luôn luôn có nghiệm. Trong quá trình mở rộng như trên, phân số được tiếp cận chủ yếu theo 6 cách:
2.4.4.1. Cách tiếp cận dựa trên số phần của cái toàn thể
Cách tiếp cận này liên quan đến bài toán: “Lấy ra một số phần của một đối tượng được chia thành các
phần bằng nhau”. Theo bài toán này, phân số a/b lấy nghĩa “biểu thị a phần được lấy ra từ b phần bằng
nhau của một đơn vị”. Trong lịch sử, KN về đại lượng phân số phát triển từ thời cổ đại khi “phân số” đã
được quan niệm như “không chia được và không chia hết”.
2.4.4.2. Cách tiếp cận độ đo
Người ta tìm thấy phân số từ các số tự nhiên qua các số đo và tỉ lệ, giải quyết nhu cầu tìm một đơn vị đo
lường chung đối với hai đại lượng. Trong lịch sử, thuật ngữ bao gồm số đo đại lượng và tỉ lệ là “tính có thể
so sánh được” được định nghĩa bởi nhà toán học Hy Lạp, Euclide (thế kỷ 3, trước công nguyên) như sau:
“Những độ lớn được cho là có thể so sánh được với nhau nếu được đo lường bởi cùng đơn vị đo, và chúng
không thể so sánh được nếu chúng không có đơn vị đo lường chung”.
Theo ý nghĩa hiện đại, nếu A và B (khác 0) là hai số có thể so sánh được với nhau nếu tồn tại đại lượng
C sao cho A = mC và B = nC với m, n là các số nguyên và
0n ≠
. Euclide không xem đại lượng C như là

một số, nhưng như là “một phần hay các phần của một số”. Nếu kết quả của phép đo đó không bằng một số
10
nguyên lần đơn vị đo thì người ta nghĩ đến một loại số khác là phân số. Từ đây, ta có thể hiểu nghĩa phân số
là “biểu diễn kết quả của độ đo”.
2.4.4.3. Cách tiếp cận dựa trên phép chia
Cách tiếp cận này xuất hiện ngầm ẩn từ thời cổ đại trong các tình huống: Có a đối tượng chia đều cho b
người nhận. Sau đó, nó tường minh hơn trong lúc người ta đi tìm nghiệm cho phương trình
b x a× =
với a,
b là các số nguyên, b khác 0. Chúng tôi gọi đây là cách tiếp cận dựa trên phép chia vì nhu cầu phải có phân
số a/b là kết quả của sự cần thiết để có một tập hợp số trong đó phép chia là đóng kín (tức là tồn tại phần tử
nghịch đảo và thỏa mãn các tiên đề của trường) nhằm giải quyết các vấn đề đại số. Vì vậy, nghĩa của phân số
được hiểu như: “biểu diễn kết quả của phép chia a cho b” và “biểu diễn nghiệm của phương trình
b x a× =
”.
2.4.4.4. Cách tiếp cận dựa trên tỉ số
Cách tiếp cận tỉ số có ngầm ẩn từ thời Euclide và Eudoxe. Bởi lẽ, tập hợp các tỉ số và các tỉ lệ được xem
như là tập hợp tham chiếu để so sánh các đại lượng. Tuy nhiên, phân số được tiếp cận tường minh theo cách
này là nhờ vào sự đóng góp của William Oughtred (1547-1660). Cách tiếp cận này có thể được phát biểu: a
là số phần tử của tập hợp A, b là số phần tử của tập hợp B. Khi đó, tỉ số số phần tử của tập hợp A so với tập
hợp B được viết là a/b. Lúc này, phân số a/b được hiểu là tỉ số số phần tử của tập hợp A so với tập hợp B.
Tuy nhiên, chúng ta không chỉ lập tỉ số cho hai số mà có thể mở rộng việc lập tỉ số cho hai độ dài, hai diện
tích, hai thể tích,…Do đó, một tình huống cơ sở cho cách tiếp cận này: So sánh quan hệ của hai đại lượng. Ở
đây, phân số có nghĩa “biểu diễn quan hệ so sánh giữa hai đại lượng”.
2.4.4.5. Cách tiếp cận dựa tia số
Ngoài ra, còn có cách tiếp cận dựa trên tia số của Descartes phát minh. Bởi vì, nó được xem như là các
trường hợp riêng của cách tiếp cận dựa trên số phần / toàn thể và cách tiếp cận độ đo. Nhưng lúc này, nó
mang lại một nghĩa khác cho phân số “biểu thị một điểm cụ thể trên tia số”. Bên cạnh đó, cách tiếp cận phân
số dựa tia số có các ưu điểm. Thứ nhất, nó đưa ra một kĩ thuật để so sánh hai phân số. Phân số nào càng gần
gốc tọa độ O thì càng nhỏ và ngược lại. Thứ hai, trên hình ảnh trực quan của tia số, ta thấy được sự dày đặc

của các phân số. Hay nói cách khác, tập hợp biểu diễn bởi phân số có tính chất trù mật khác với tính chất rời
rạc của tập hợp số tự nhiên.
2.4.4.6. Cách tiếp cận dựa trên lí thuyết tập hợp
Theo cách tiếp cận này, người ta định nghĩa các phân số như là tập hợp các cặp số nguyên có thứ tự. Cụ
thể, các nhà toán học tiếp cận như sau: Lấy tập hợp S gồm các cặp số nguyên có thứ tự (a, b), với b khác 0 .
Phân chia tập S thành các tập hợp con với qui tắc: hai cặp (a, b) và (c, d) nằm trong cùng một tập hợp con
nếu tỉ số a/b bằng với tỉ số c/d, tức là, nếu và chỉ nếu
ad bc=
.
2.4.5. Các tình huống cơ sở gắn liền với chủ đề phân số
CHƯƠNG 3
KHÁI NIỆM PHÂN SỐ TRONG THỂ CHẾ ĐÀO TẠO
GIÁO VIÊN TIỂU HỌC VÀ THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN
Ở TIỂU HỌC
Trong chương 3, chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế đối tượng phân số nhưng được đối chiếu dưới
ánh sáng của phân tích khoa học luận trong chương 2.
3.1. Phân số trong thể chế đào tạo giáo viên tiểu học
Trong chương trình đào tạo GV tiểu học, đối tượng phân số được nghiên cứu một cách tường minh chủ
yếu trong 2 học phần: Số học (Lí thuyết số) và PPDH toán ở tiểu học.
11
- Tác giả của các giáo trình Lí thuyết số đề cập đến phân số theo tư tưởng “toán cao cấp” nên không trình
bày chi tiết nội dung DH thuộc chủ đề phân số. Ngoài ra, không có một tác giả nào đề xuất hoạt động giải
toán cho việc DH phân số.
- Hai giáo trình hướng đến việc xây dựng tập Q là sự mở rộng của tập hợp Z, tạo điều kiện phép chia cho
số khác 0 trong Q luôn luôn thực hiện được. Đây cũng chính là một trong những ý nghĩa quan trọng cho sự
ra đời của phân số.
Phân số được tiếp cận trong các giáo trình Lí thuyết số theo hướng riêng của mỗi tác giả. Vậy các nhà lí
luận DH toán sẽ đề cập chúng như thế nào trong các giáo trình PPDH toán?
Các tác giả này có những cách tiếp cận khác nhau đối với KN phân số. Đôi khi, có sự không tương đồng
giữa các tác giả với nhau. Một số cách tiếp cận chưa cho thấy được tình huống dẫn đến sự xuất hiện phân số.

Rất ít bài toán nảy sinh KN phân số cũng được kể đến. Nhưng, dường như nghĩa của KN phân số chưa được
chú ý. Nhiều nội dung liên quan đến phân số được các nhà lí luận nêu ra tường minh. Các tác giả còn đề xuất
các giải pháp để hình thành các kiến thức cho HS.
3.2. Phân số trong thể chế dạy học toán ở tiểu học
DH phân số ở tiểu học cung cấp cho HS một loại số mới, biểu diễn được thương đúng của hai số tự
nhiên, cũng nhằm đáp ứng nhu cầu biểu diễn chính xác các số đo đại lượng trong đời sống thực tiễn. Phân số
được chính thức đưa vào giảng dạy một cách đầy đủ ở chương trình toán lớp 4.

DH phân số trong toán 4 là
sự tiếp nối mạch kiến thức về phân số ở lớp 2 và lớp 3, đồng thời làm cơ sở vững chắc để DH phân số thập
phân và hỗn số ở lớp 5. Từ đó, SGK hệ thống hóa và hoàn chỉnh nội dung DH phân số ở tiểu học, chuẩn bị
cho DH số thập phân.
3.2.1. Mục tiêu, yêu cầu của việc dạy học chủ đề phân số
- Tác giả đưa ra mục tiêu, yêu cầu cụ thể hơn trong các giáo trình PPDH toán. Họ đưa thêm vào các nội
dung cụ thể của từng bài chẳng hạn: bài “phân số” có nhắc thêm mẫu số, tử số; bài “phép nhân phân số”
thêm vào nhân phân số với một số tự nhiên; bài “phép chia phân số” bổ sung thêm chia phân số cho một số
tự nhiên.
- Tuy vậy, các tác giả chưa đưa ra yêu cầu gì đối với HS trong việc nắm vững một số nghĩa của phân số,
vai trò, ý nghĩa của nó, hay nhận ra những tính chất khác biệt của nó so với số tự nhiên.
3.2.2. Cách hình thành khái niệm phân số trong các sách giáo khoa
3.2.2.1. Giai đoạn ngầm ẩn
- Chương trình toán 2 giới thiệu các phân số: 1/2 ; 1/3; 1/4; 1/5 . Trong khi đó, SGK toán 3 cho HS làm
quen với những phân số đơn vị 1/b với
10b ≤
.
- Nói chung, các tác giả theo tiến trình: chia một đơn vị thành b phần bằng nhau, sau đó tô màu một phần
để có được phân số 1/b. Do đó, trong tình huống này tạo nên các phân số có dạng 1/b hay phân số đơn vị.
Điều này dẫn đến phân số 1/b lấy nghĩa “ biểu thị một phần lấy ra từ đơn vị được chia thành b phần bằng
nhau”.
- Chính cách tiếp cận đặc trưng như thế dẫn đến kết quả các phân số luôn có tử số bằng 1, mẫu số b,

10b ≤
, vì thế phân số tạo nên luôn luôn nhỏ hơn 1. Tóm lại, SGK toán 2 và 3 hoàn toàn giới thiệu các phân
số đơn vị. Tuy nhiên, các tác giả không nêu tên phân số mà chỉ đề cập một cách ẩn tàng thông qua KN “phần
bằng nhau”. Phân số được xem như là “công cụ ngầm ẩn” để giải quyết các dạng toán “Tìm một trong các
phần bằng nhau của một số” và “So sánh số bé bằng một phần mấy số lớn”.
3.2.2.2. Giai đoạn tường minh
12
Tổng kết các cách tiếp cận khái niệm phân số ở các cấp độ khác nhau
Các cách tiếp cận KN phân số
Phạm vi
Lịch sử Thể chế đào
tạo GV
Thể chế ở tiểu
học
Cách tiếp cận dựa trên số phần của cái toàn thể X X X
Cách tiếp cận độ đo
X
X
Ngầm ẩn
X
Ngầm ẩn
Tiếp cận dựa trên tia số X Không Không
Cách tiếp cận dựa trên phép chia
X X X
Cách tiếp cận dựa trên tỉ số
X X X
Cách tiếp cận dựa trên lí thuyết tập hợp
X X
X
Ngầm ẩn

Tiến trình đưa vào các loại phân số trong các SGK
Tiến trình đưa vào phân số theo các cách tiếp cận
Hình thức thể hiện của khái niệm phân số
Tiến trình đưa vào phân số theo cơ chế hoạt động
3.2.3. Tổ chức toán học liên quan đến khái niệm phân số
13
Phân số đơn vị
(Lớp 2 và 3)
Tiếp cận: số phần/
toàn thể
Phân số nhỏ hơn 1
(a < b); (Lớp 4)
Tiếp cận: số phần/
toàn thể; phép chia,
tỉ số
Phân số lớn hơn 1
(a > b); (Lớp 4)
Tiếp cận: phép chia,
tỉ số
Tiếp cận: số
phần / toàn thể
(Lớp 2, 3, 4)
Tiếp cận:
phép chia
(Lớp 4)
Tiếp cận: dựa
trên lí thuyết
tập hợp
(Lớp 4)
Tiếp cận: tỉ số

(Lớp 4)
Tiền toán học
(trước lớp 2)
Cận toán học
(Lớp 2, 3)
Toán học
(Lớp 4)
Công cụ ngầm
ẩn (Lớp 2, 3)
Đối tượng
(Lớp 4)
Công cụ tường
minh (Lớp 4)
SGK đề cập 16 kiểu nhiệm vụ liên quan đến KN phân số. Những thông tin cụ thể về chúng được trình
bày tường minh trong phần phụ lục 3.1. Phần này bao gồm bảng thống kê số lượng và sự phân chia các kiểu
nhiệm vụ theo cách tiếp cận.
Bảng: Thống kế số lượng bài tập liên quan đến khái niệm phân số
Kiểu
nhiệm vụ
Tên kiểu nhiệm vụ
Số lượng bài tập
Phần trăm
T
1
Nhận dạng phân số 3 2,22%
T
2
Tìm phân số bằng phân số đã
cho
6 4,44%

T
3
Rút gọn phân số 7 5,19%
T
4
Qui đồng mẫu số hai phân số 11 8,15%
T
5
So sánh hai phân số 17 12,59%
T
6
Sắp xếp dãy các phân số theo
thứ tự từ bé đến lớn
7 5,19%
T
7
Cộng hai phân số 10 7,41%
T
8
Cộng một số tự nhiên với một
phân số hoặc Cộng một phân
số với một số tự nhiên
3 2,22%
T
9
Trừ hai phân số 12 8,89%
T
10
Trừ một số tự nhiên cho một
phân số hoặc Trừ một phân số

cho một số tự nhiên
3 2,22%
T
11
Nhân hai phân số 6 4,44%
T
12
Nhân một số tự nhiên với một
phân số hoặc Nhân một phân
số với một số tự nhiên
3 2,22%
T
13
Tìm phân số của một số 6 4,44%
T
14
Chia hai phân số 10 7,41%
T
15
Chia một số tự nhiên cho một
phân số hoặc Chia một phân số
cho một số tự nhiên
2 1,48%
T
16
Tìm hai số khi biết tổng (hiệu)
và tỉ số của hai số đó
29 21,48%
Tổng cộng 135 100%
 Phân loại kiểu nhiệm vụ theo các cách tiếp cận phân số

14
Bảng: Phân loại kiểu nhiệm vụ theo các cách tiếp cận phân số
Các loại Tiêu chuẩn phân loại
Các kiểu nhiệm vụ được
phân loại
Loại 1
Cách tiếp cận dựa trên số phần của cái
toàn thể, cách tiếp cận độ đo
T
1
, T
5
,T
6
, T
7
, T
8
, T
9
, T
10
Loại 2 Tiếp cận dựa trên tia số Không có
Loại 3 Cách tiếp cận dựa trên phép chia T
11
, T
12
, T
13
, T

14
, T
15
Loại 4 Cách tiếp cận dựa trên tỉ số T
16
Loại 5 Cách tiếp cận dựa trên lí thuyết tập hợp T
2
, T
3
, T
4
3.3. Kết luận chương 3
3.3.1. Về các cách tiếp cận phân số
- Các giáo trình Số học (Lí thuyết số) đều chọn cho mình một cách tiếp cận phân số, không đi sâu nghiên
cứu PPDH KN này. Thêm vào đó, các giáo trình không làm rõ các tình huống nảy sinh phân số cũng như
nghĩa của nó. Tóm lại, SV được cung cấp những tri thức khoa học về phân số (nhưng được phi hoàn cảnh
hóa, phi cá nhân hóa, phi thời gian hóa).
- Một điểm chung của các giáo trình PPDH toán là cố gắng đưa ra “cách” để hướng dẫn các SV DH các
nội dung của chủ đề phân số. Nhưng không một ràng buộc nào của thể chế được lựa chọn để cho phép SV
thấy được các tình huống nảy sinh phân số, hay nghĩa của nó ra sao? Nói một cách khác, các giáo trình chưa
cho thấy mối quan hệ của GV và HS với phân số, ứng xử của HS trước các tình huống đưa vào phân số, hiểu
nghĩa của phân số trong các tình huống đó, Điều này dẫn đến sự thiếu hụt các công cụ giúp ích cho SV:
phân tích tri thức cần giảng dạy, lựa chọn các hoạt động (tình huống nảy sinh tri thức), quan sát hoạt động
lớp học (khó khăn, sai lầm, quan niệm của HS, ).
- Các tác giả SGK lựa chọn một số cách tiếp cận KN phân số. Có một số cũng tương đồng như trong lịch
sử và thể chế đào tạo GV tiểu học. Một số tình huống đưa vào phân số và nghĩa của nó như sau:
 Tình huống đưa vào phân số đơn vị ở lớp 2, 3 chủ yếu: chia một đơn vị (hình vuông, hình tròn, )
thành b phần bằng nhau, lấy đi một phần. Phân số xuất hiện với nghĩa “biểu thị một phần lấy ra từ đơn vị
được chia thành b phần bằng nhau”.
 Tình huống đưa vào phân số

a
b
(1 < a < b) ở lớp 4 là sự mở rộng của tình huống được nghiên cứu ở
lớp 2, 3: chia đơn vị thành b phần bằng nhau, lấy đi a phần. Các đơn vị được chọn chịu sự ràng buộc của thể
chế phải là đối tượng chia được bằng nhau về mặt trực giác: hình vuông, hình tròn, đoạn thẳng, hình lục giác
đều,… Phân số cũng có nghĩa “ biểu diễn số phần lấy ra từ đơn vị được chia thành b phần bằng nhau”.
 Tình huống giới thiệu phân số - thương (
:
a
a b
b
=
): “Có a đối tượng chia đều cho b người”. Phân số
mang lại một nghĩa mới so với trước đó “biểu diễn kết quả của phép chia a cho b”.
 Tình huống so sánh hai phân số bằng nhau gợi ra một nghĩa khác của phân số “biểu diễn một lớp
tương đương”.
15
 Tình huống gắn liền phân số - tỉ số là “So sánh quan hệ hai đại lượng”. Về mặt kí hiệu thì phân số - tỉ
số không khác so với phân số - thương. Thế nhưng, nghĩa đã có sự khác biệt - “biểu diễn quan hệ so sánh
của hai đại lượng”.
 Tuy nhiên, SGK chưa cho phép phân số xuất hiện theo cách tiếp cận tia số. Điều này dẫn đến sự thiếu
vắng đi một nghĩa của phân số - “biểu thị một điểm cụ thể trên tia số” (ghi chú: nghĩa này HS được tiếp cận
nhiều trong trường hợp DH số tự nhiên). Cách tiếp cận tia số còn mang lại một ý nghĩa khác. Nó cho phép
thấy được tính trù mật của tập hợp các phân số. Tính chất này được nhắc đến trong thể chế đào tạo GV
nhưng không được quan tâm trong SGK toán 4.
Các kết quả có được gợi cho chúng tôi một số câu hỏi cần nghiên cứu:
- Thể chế DH toán ở tiểu học có thật sự tạo điều kiện cho HS phân biệt và nắm vững các nghĩa khác
nhau của phân số hay không?
- Các em có khả năng phân biệt và nắm vững các nghĩa trên như thế nào?
- Có thể xây dựng những tình huống bổ sung nghĩa của phân số theo cách tiếp cận tia số hay không?

Hiệu quả như thế nào?
- Trong những tình huống nhắm đến tính chất trù mật của tập hợp các phân số, trẻ sẽ ứng xử ra sao? Gặp
phải những khó khăn gì?
3.3.2. Về phạm vi tác động của khái niệm phân số
- Các tác giả trong thể chế đào tạo GV tiểu học tiếp cận phân số trong phạm vi của lí thuyết tập hợp và
đại số. Phân số ra đời gắn liền với việc xây dựng tập hợp số hữu tỉ và giải quyết bài toán tìm nghiệm của
phương trình
b x a
× =
(
0b
≠
).
- SGK đề cập phân số gắn liền với những tình huống thực tế (nhu cầu chia đều đối tượng a cho b người).
Ngoài ra, khi xây dựng những bài tập liên quan các phép tính đại số, một số bài toán trong phạm vi hình học
đã hiện hữu.
3.3.3. Về các đối tượng liên quan khái niệm phân số
- Một số KN trong lí thuyết tập hợp: số hữu tỉ, lớp thương, phần tử có vai trò xây dựng tập hợp số Q.
Đó là các KN trong thể chế đào tạo GV, tuy nhiên chúng không tồn tại trong SGK vì những lí do sư phạm.
- KN tỉ số gắn liền với cách tiếp cận phân số - tỉ số. Nó có vai trò lịch sử và tiếp tục có ý nghĩa trong thể
chế đào tạo GV tiểu học, trong SGK toán 4. Nó được trình bày trong chương 5 của SGK toán 4, tách rời chủ
đề phân số.
- KN chia đều, phép chia có mặt trong SGK thể hiện sự liên hệ mật thiết giữa phân số và phép chia số tự
nhiên.
- Một số KN: phần bằng nhau, toàn thể,…có trong lịch sử thì nó vẫn hiện hữu trong thể chế đào tạo GV,
thể chế DH toán trong SGK tiểu học như là các công cụ để hình thành KN phân số theo cách tiếp cận số phần
/ toàn thể.
- KN tia số có trong lịch sử nhưng không có trong chủ đề DH phân số ở lớp 2, 3 và 4. Mặc dù, KN này
tồn tại rất nhiều trong các kiểu nhiệm vụ có liên quan đến số tự nhiên.
16

3.3.4. Nhìn từ quan điểm dạy học thông qua hoạt động giải toán
Những phân tích trong chương 3 gợi ra một số vấn đề:
- Hoạt động hình thành kiến thức mới của các bài dạy theo tiến trình chung:
+ Bước 1: GV trình bày vấn đề (có thể là hình vẽ hoặc một đề toán).
+ Bước 2: GV phát vấn, HS trả lời.
+ Bước 3: HS nêu lên kiến thức mới dựa trên câu hỏi GV hoặc GV phát biểu kiến thức mới.
Tiến trình trên chưa tạo điều kiện cho HS cơ hội tham gia giải quyết vấn đề, tự các em kiến tạo nên tri
thức. Tất cả hoạt động của HS đều có sự can thiệp của GV bằng hệ thống câu hỏi. Vì vậy, nên chăng chúng
ta cần tạo điều kiện cho HS tham gia vào các hoạt động giải quyết vấn đề mà trong đó các em có thể khám
phá ra kiến thức mới, kĩ năng mới hay cấu trúc lại các kiến thức cũ đã có.
Hơn nữa, nhiều tình huống DH trong SGK không nêu hẳn một đề toán, mà chỉ nêu mô hình trực quan
hoặc các câu dẫn, sau đó đưa ra kiến thức mới. Lúc này, hoạt động lĩnh hội kiến thức mới không được tổ
chức thông qua hoạt động giải toán. Kiến thức mới không nảy sinh như là công cụ, phương tiện của hoạt
động giải quyết vấn đề. Trong các tình huống DH phân số như thế, hầu như nó chỉ mang nghĩa hình thức vì
nó không được đề cập gắn liền với cách sử dụng của nó.
Những nhận xét trên mang lại một số câu hỏi cần lời giải đáp:
- Xây dựng các tình huống DH mà trong đó HS khám phá ra kiến thức mới (phân số) thông qua hoạt
động giải toán như thế nào? Cần thiết kế các tình huống ra sao để phân số không còn mang “nghĩa hình
thức”?
- Các kiến thức cũ (phân số đơn vị, phép chia hết, phép chia có dư, so sánh số lớn bằng mấy lần số bé, so
sánh số bé bằng một phần mấy số lớn,…) có thực sự tạo được thuận lợi cho HS giải quyết bài toán trong
những tình huống trên không?
- HS sẽ ứng xử như thế nào đối với các tình huống? Những khó khăn nào trẻ có thể gặp phải?
CHƯƠNG 4
DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHÂN SỐ Ở TRƯỜNG TIỂU HỌC THÔNG QUA
HOẠT ĐỘNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN
Những nghiên cứu trong chương 1, 2 và 3 là cơ sở chính cho chúng tôi tiến hành một nghiên cứu khác
trong chương 4 với mục tiêu:
- Trình bày việc tổ chức DH thông qua hoạt động giải toán, các đặc trưng của bài toán, vai trò của GV,
vai trò của HS, một số cách thiết kế bài toán, tiến trình DH kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán,…

- Thiết kế các hoạt động giải toán vào từng bài dạy cụ thể cho chủ đề phân số trong SGK toán 4.
4.1. Tổ chức dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán
4.1.1. Đặc trưng của bài toán
- Các bài toán, đề toán cần thỏa các điều kiện được nêu ra trong mục 1.1.5.1:
+ Bài toán là một hệ thống, trong đó chủ thể có mục đích tìm các phần tử chưa biết nào đó dựa vào một
số phần tử cho trước ở trong khách thể. Trong đó có ít nhất một phần tử cần tìm, nhưng chủ thể không thể áp
dụng y nguyên các thuật giải đã có để đạt được mục đích đó.
+ Trong bài toán, luôn có khó khăn cần vượt qua.
17
+ Khi bài toán đã được giải quyết thì có kiến thức mới được thiết lập. Kiến thức mới này nảy sinh như
công cụ hay phương tiện của việc giải bài toán. Nói cách khác, bài toán phải mang lại nghĩa cho kiến thức
mà HS kiến tạo.
+ Đề toán là thông báo dưới hình thức viết về bài toán mà HS cần giải, chứa những câu hỏi cần trả lời
hay yêu cầu cần thực hiện.
+ Đề toán chỉ tập trung vào bài toán cần giải và không chứa những yếu tố không gắn với nội dung của
bài toán. Nói cách khác, đề toán chỉ thể hiện mối quan hệ giữa bài toán và chủ thể giải bài toán (ở đây là
HS).
- Ngoài ra, những bài toán được lựa chọn có liên hệ với các cách tiếp cận khái niệm phân số trong
chương 2. Nói khác đi, chúng tôi đánh giá cao những bài toán trong nghiên cứu khoa học luận, cố gắng mang
lại “nghĩa đúng” cho phân số.
- Hơn nữa, các bài toán này cần gắn liền với cách sử dụng của phân số, làm cho nó không còn mang
“nghĩa hình thức” như SGK hiện hành.
4.1.2. Đặc trưng của tình huống dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán
Tình huống DH thông qua hoạt động giải toán phải chứa đựng một đề toán thực sự. Đó không phải là
quá trình mô tả mô hình trực quan, các nhận xét, rồi sau đó phát biểu kiến thức mới. Giải quyết được bài toán
chứa đựng trong tình huống, kiến thức mới nảy sinh như là công cụ hay phương tiện của hoạt động giải toán.
4.1.3. Kịch bản dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán
Việc thiết kế kịch bản dạy học thông qua giải các bài toán chỉ mang tính tương đối, nó có thể thay đổi
cho phù hợp với từng điều kiện. Mỗi GV có thể tự thiết kế kịch bản riêng cho lớp học của mình. Tuy nhiên,
theo chúng tôi cần có những pha cơ bản dưới đây:

* Pha 1: HS làm bài cá nhân. Pha 1 được tổ chức cho các em hiểu được đề toán. Ngoài ra, pha này còn
cho phép tìm hiểu mối quan hệ của cá nhân HS.
* Pha 2: HS làm bài theo nhóm. Trong pha 2, các em không còn phân xử vấn đề một cách đơn lẽ mà có
sự cộng tác từ các bạn trong nhóm. Pha này tạo cơ hội cho HS bảo vệ chính kiến của mình. Tuy nhiên, trẻ
cũng có thể phát hiện nhận định của mình chưa chính xác nếu được bạn khác thuyết phục bằng những chứng
cứ hợp lí.
* Pha 3: Lớp học vẫn làm việc theo nhóm. Các nhóm phát biểu, nhóm còn lại tranh luận. GV xác nhận
tính đúng sai cùng với HS. Sau đó, GV ghi nhận lại những nội dung quan trọng đối với HS.
Pha 3 là sự nhận xét, đánh giá các kết quả có được từ những pha trước nhưng có sự can thiệp từ GV (rất
hạn chế). Đây cũng chính là pha hợp thức hóa của tình huống DH. Nó cho phép ghi nhận lại những gì quan
trọng, các yếu tố mà các em có thể học tập được thông qua tình huống.
4.1.4. Vai trò, nhiệm vụ của giáo viên
Không giống như các hoạt động DH khác, đối với hoạt động giải toán, GV không tham gia nhiều. Trong
hoạt động này, GV chuyển giao trách nhiệm giải bài toán cho HS. GV có vai trò: xây dựng bài toán, thiết kế
tình huống, kịch bản, quản lí lớp học và thể chế hóa kiến thức.
+ Đề bài của bài toán: GV chuẩn bị trước khi cho HS giải quyết.
18
+ Thông báo bài toán: GV đưa ra những yêu cầu cụ thể trong bài toán, cũng như những dụng cụ cần thiết
phục vụ cho việc giải toán.
+ Kịch bản: do GV biên soạn, trong đó bao gồm đối tượng giải bài toán, thời gian cho từng pha và hình
thức làm việc của HS. Ngoài ra, mỗi pha đều có mục tiêu riêng của nó.
+ Cách thức tác động vào HS: theo quan niệm của chúng tôi, yếu tố này càng ít sử dụng càng tốt. Bởi vì,
hiện nay trong thể chế DH toán ở Việt Nam, tác động của GV rất nhiều. Những tác động này có thể là những
gợi ý, hướng dẫn, hay các câu hỏi gợi mở.
+ Môi trường làm việc cho HS: GV cần tạo ra môi trường làm việc thích hợp cho HS, trong đó chứa
đựng cả yếu tố môi trường vật chất (vật dụng, mô hình, đồ dùng, hình vẽ, máy tính, phần mềm,…) và môi
trường phi vật chất (kiến thức cũ, kiến thức mới,…).
4.1.5. Vai trò, nhiệm vụ của học sinh
Các em đảm nhận nhiệm vụ giải quyết bài toán từ GV. Thêm vào đó, HS trở thành chủ thể trực tiếp của
hoạt động giải toán với một số công cụ nhất định.

Trong hoạt động giải toán, HS không thể trả lời ngay tức khắc mà cần biết hệ thống lại kiến thức cũ mới
có cơ hội giải quyết được vấn đề. Nói một cách khác, các em cần tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi
đối tượng hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có. Tóm lại, HS đóng vai trò kiến tạo tri thức mới trong hoạt động
DH này. Ngoài ra, HS còn cùng với GV và bạn học để hợp thức hóa kiến thức.
4.1.6. Một số cách để thiết kế một bài toán
Một số cách để GV thiết kế bài toán nhằm phục vụ cho việc DH thông qua hoạt động giải toán:
- Thứ nhất, nghiên cứu lịch sử phát triển của KN để phát hiện các bài toán có liên quan mà các nhà toán
học gặp phải trong quá trình phát triển KN đó. Các bài toán này có thể được GV lựa chọn để hình thành kiến
thức mới cho HS.
Ví dụ: Để tạo ra được các bài toán DH đối tượng phân số, GV cần thực hiện một nghiên cứu khoa học
luận của KN phân số. Thêm vào đó, các cách tiếp cận của phân số cũng nên được quan tâm.
- Thứ hai, nghiên cứu toán cao cấp gợi ra một số vấn đề giúp GV có thể nghĩ đến việc thiết kế các bài
toán thích hợp.
Ví dụ: để DH phân số, GV có thể tìm đọc chủ đề này thông qua tập hợp số hữu tỉ trong các giáo trình
“Số học” hay “Lí thuyết số”.
- Thứ ba, nghiên cứu chương trình toán ở tiểu học có thể giúp GV nắm được logic của các nội dung, tạo
điều kiện cho GV thiết kế các bài toán trong đó yêu cầu HS sử dụng được kiến thức cũ để giải quyết vấn đề.
Ví dụ: phân số chính thức được dạy từ lớp 4, nhưng ở lớp 2 và lớp 3 phân số cũng đã xuất hiện một cách
ngầm ẩn. Do vậy, nghiên cứu nội dung DH phân số ở hai lớp dưới này cũng cần thiết trước khi DH chủ đề
phân số ở lớp 4.
- Thứ tư, nghiên cứu các tổ chức toán học giúp GV hiểu rõ các kiểu nhiệm vụ. Từ đó, GV có thể thiết kế
các dạng bài toán khác nhau trong đó yêu cầu HS phải khám phá ra được yếu tố kĩ thuật. Đây cũng chính là
kĩ năng mới mà GV cần truyền thụ cho các em.
4.1.7. Tiến trình tổ chức dạy học kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán
Việc tổ chức DH kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán có thể được sơ đồ hóa như sau:
19
Tiến trình dạy học kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán
Để cho HS thấy được sự cần thiết của việc học kiến thức mới, GV cần tạo động cơ mở đầu cho HS.
Hay nói khác đi, GV tổ chức cho HS thấy được vai trò, lợi ích của kiến thức mới. Cụ thể ở đây, kiến thức
mới nảy sinh như là một công cụ hay phương tiện của hoạt động giải quyết bài toán, từ đó có thể mang lại

“nghĩa” của tri thức mới.
Bước 2 là khâu quan trọng trong tiến trình trên. Nó làm cho hoạt động nhận thức kiến thức mới theo
đúng nghĩa là DH thông qua hoạt động giải bài toán. Sự thành công của bước này phụ thuộc nhiều yếu tố:
kịch bản do GV thiết kế, trình độ nhận thức của HS, thời gian cho phép, điều kiện dạy học,….
Trong bước 3, GV cần tạo điều kiện cho HS trình bày kiến thức mới trên cơ sở hiểu biết của mình.
Trong đó, cần có pha tranh luận giữa các HS về các dự đoán, về kiến thức sắp nảy sinh. Sau đó, GV nhận
xét, đánh giá và hợp thức hóa nó.
Bước 4 tạo cơ hội cho HS hiểu thấu đáo hơn kiến thức mới và sử dụng nó trong những tình huống khác
nhau. Để củng cố, GV có thể tổ chức cho HS phân tích các thuộc tính, đặc trưng của kiến thức mới, song
song đó là các hoạt động nhận dạng và thể hiện nó. Tiếp đến, HS sẽ được thấy thêm sự cần thiết của kiến
thức mới thông qua việc giải quyết các bài toán khác. Ở đây, GV được khuyến khích đưa vào các bài toán có
yếu tố thực tiễn, đời sống hằng ngày.
Cũng nói thêm rằng, không phải lúc nào GV cũng tổ chức DH kiến thức mới theo tiến trình trên bởi
những lí do nêu trong bước 2. Thêm vào đó, nếu HS đã được người thân dạy trước hay học thêm thì những
“ý đồ” của GV sẽ không thành công.
4.2. Sử dụng hoạt động giải toán vào dạy học chủ đề phân số ở tiểu học
Trước khi thiết kế hoạt động DH kiến thức mới cho một bài học cụ thể, chúng tôi có đưa ra một số bình
luận về những hoạt động mà SGK hiện hành đang trình bày hoặc một số nhận xét mà SGK, SGV chưa làm
rõ cho các em biết.
Việc trình bày các thành phần trên cho mỗi bài dạy đòi hỏi nhiều không gian của luận án. Vì vậy, trong
chương này chúng tôi chỉ đưa ra: mục tiêu, lí do và bài toán (có các đặc trưng đã nêu ra trong phần cơ sở lí
luận). Ngoài ra, chúng tôi còn thiết kế những hoạt động (có định hướng gợi ý) dành cho những HS yếu kém
khi chính các em không tự mình khám phá ra được tri thức mới.
Mặc dù, trong phần Lí do chọn đề tài, chúng tôi có đưa ra nhiều lí do cho sự cần thiết tổ chức DH thông
qua hoạt động giải bài toán nhưng nó không phải là “một chìa khóa vạn năng”. Do đó, không phải lúc nào
cũng tổ chức hoạt động DH thông qua hoạt động giải bài toán trong DH môn Toán nói chung, chủ đề phân số
nói riêng. Vì vậy ở tiểu học, không thể sử dụng riêng lẻ DH thông qua hoạt động giải bài toán mà thường kết
20
Bước 1: Tạo động cơ
Bước 2: Giải các bài toán

Bước 3: Trình bày kiến thức mới
Bước 4: Củng cố, vận dụng
hợp giảng giải với minh họa, với đàm thoại gợi mở, với việc sử dụng đồ dùng trực quan,…Nói chung, các
PPDH khác vẫn cần thiết sử dụng.
Thêm một lí do khác cho việc lựa chọn DH chủ đề phân số thông qua hoạt động giải bài toán là điều kiện
DH cụ thể. Chúng tôi quan tâm đến một số điều kiện như sau: trình độ nhận thức của HS, thời gian tiết dạy,
đặc điểm của kiến thức mới, kiến thức, năng lực của GV (sự hiểu biết và khả năng của GV về việc tổ chức
DH thông qua hoạt động giải toán), đặc điểm tâm sinh lí của HS, sĩ số lớp, việc HS có được học bài mới
trước đó hay chưa,…Tùy vào những điều kiện này mà GV có thể áp dụng một cách uyển chuyển việc DH
thông qua hoạt động giải toán.
Tóm lại, trong phạm vi của luận án, chúng tôi sẽ đề xuất các hoạt động giải toán cho toàn bộ chủ đề phân
số. Nhưng việc sử dụng chúng đòi hỏi GV phải linh hoạt, tùy thuộc vào các điều kiện DH nêu trên.
Chúng tôi đã xây dựng hoạt động giải bài toán cho các bài trong SGK Toán 4: PHÂN SỐ, PHÂN SỐ
VÀ PHÉP CHIA SỐ TỰ NHIÊN, PHÂN SỐ BẰNG NHAU, RÚT GỌN PHÂN SỐ, QUI ĐỒNG MẪU SỐ
CÁC PHÂN SỐ, SO SÁNH HAI PHÂN SỐ CÓ CÙNG MẪU SỐ, SO SÁNH HAI PHÂN SỐ KHÁC MẪU
SỐ, PHÉP CỘNG PHÂN SỐ, PHÉP TRỪ PHÂN SỐ, PHÉP NHÂN PHÂN SỐ, TÌM PHÂN SỐ CỦA
MỘT SỐ, PHÉP CHIA PHÂN SỐ, TỈ SỐ. Sau đây là một số ví dụ minh họa:
4.2.1. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÂN SỐ” [27,tr.106]
4.2.1.1. Mục tiêu: Bài toán sau giúp HS khám phá tri thức mới: nghĩa của phân số theo cách tiếp cận số
phần / toàn thể.
4.2.1.2. Lí do: được trình bày trong 3.2.2.2.
4.2.1.3. Bài toán: Năm nay, trường học của An tổ chức thi đấu thể thao trong sân trường. Đây là kế
hoạch sử dụng phần đất cho mỗi môn chơi trong sân trường.
Nhảy dây
Đá cầu
Cầu lông
Kéo co
Bóng đá
a) Phần đất của môn đá cầu chiếm bao nhiêu phần đất của sân trường?
b) Tổng phần đất của môn bóng đá và môn kéo co chiếm bao nhiêu phần đất của sân trường?

c) Phần đất của môn nhảy dây bằng bao nhiêu lần phần đất của môn bóng đá?
4.2.2. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÂN SỐ VÀ PHÉP CHIA SỐ TỰ NHIÊN” [24,tr.108]
4.2.2.1. Mục tiêu: Giúp HS tiếp cận phân số theo phép chia và từ đó các em nắm được nghĩa của phân
số theo cách tiếp cận này.
4.2.2.2. Lí do: Như đã phân tích trong chương 2, SGK chưa tạo cơ hội cho HS tiếp cận phân số dựa trên
hoạt động giải toán. Do đó, chúng ta có thể nêu lên những bài toán cho HS giải với mong muốn để trẻ tiếp
cận phân số theo tinh thần như vậy.
4.2.2.3. Bài toán 1: Nhà Lan có 4 anh chị em. Mẹ Lan mua cho họ 3 quả cam. Mỗi người đều muốn có
số phần cam như nhau và không muốn quả nào dư lại.
a) Hỏi mỗi người có bao nhiêu cam?
b) Hãy biểu diễn phần cam của mỗi người dưới dạng phân số.
21
4.2.2.4. Bài toán 2: Cô giáo muốn thưởng cho 4 học sinh xuất sắc của lớp. Phần thưởng là 5 quả cam.
Mỗi bạn đều muốn có số phần cam như nhau và không muốn quả nào dư lại.
a) Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu cam?
b) Hãy biểu diễn phần cam của mỗi bạn dưới dạng phân số.
4.2.15. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “TỈ SỐ” [27,tr.146]
4.2.15.1. Mục tiêu: Giúp HS tiếp cận phân số theo tỉ số trong đó có sử dụng kiến thức cũ để giải quyết
bài toán.
4.2.15.2. Lí do: Những bình luận về bài này được nêu ra trong chương 3 (mục 3.2.2.2). Do đó, chúng tôi
không trình bày lại mà chỉ nêu ra bài toán để hướng dẫn HS tìm kiếm tri thức mới.
4.2.15.3. Bài toán: Tổ 1 có 5 bạn nam và 7 bạn nữ.
a) So sánh số bạn nam bằng mấy lần số bạn nữ.
b) So sánh số bạn nữ bằng mấy lần số bạn nam.
4.3. Kết luận chương 4
Điểm nhấn của chương 4 là hệ thống lại cơ sở của việc tổ chức DH thông qua hoạt động giải toán ; nội
dung thiết kế và sử dụng hoạt động giải toán vào DH chủ đề phân số trong SGK toán 4. Điều này cũng làm
nên sự phong phú và linh hoạt của các hoạt động giải toán. Nó tạo cơ hội cho GV có nhiều lựa chọn để thực
hành DH thông qua hoạt động giải toán.
Đến đây, các giả thuyết nghiên cứu được đề xuất:

H1: Tổ chức dạy học thông qua hoạt động giải toán, được thiết kế theo những tiêu chí ở mục 4.1.1,
cho phép học sinh tự kiến tạo kiến thức gắn liền với khái niệm phân số và mang lại cho các em nghĩa
đúng của kiến thức này.
H2: Tình huống dạy học phân số dựa trên tia số còn cho phép học sinh tiếp cận với nghĩa của khái
niệm phân số như là phương tiện “biểu thị một điểm cụ thể trên tia số” và hình thành cho các em biểu
tượng ban đầu về tính trù mật của tập hợp các phân số.
CHƯƠNG 5
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
Chương 5 được định hướng với các mục tiêu:
- Nghiên cứu mối quan hệ cá nhân HS về đối tượng phân số ở tiểu học, cũng như hệ quả của mối quan hệ
thể chế lên các mối quan hệ cá nhân này. Trong đó, chúng tôi có vận dụng hoạt động giải toán trong chương
4 để làm rõ hơn những mối quan hệ này.
- Thử nghiệm trong việc xây dựng các tình huống DH mà trong đó HS khám phá ra kiến thức mới (KN
phân số a/b với
1a
≠
) thông qua hoạt động giải toán. Ngoài ra, các bài toán được thiết kế có mối quan hệ
chặt chẽ trong đó bài toán này có thể là sự đầu tư lại của bài toán kia với mục tiêu khác.
- Trọng tâm của các nghiên cứu là đưa vào kiểm chứng hai giả thuyết được nêu trong kết luận của
chương 4:
H1: Tổ chức dạy học thông qua hoạt động giải toán, được thiết kế theo những tiêu chí ở mục 4.1.1,
cho phép học sinh tự kiến tạo kiến thức gắn liền với khái niệm phân số và mang lại cho các em nghĩa
đúng của kiến thức này.
22
H2: Tình huống dạy học trong đó bao gồm hoạt động giải toán còn cho phép học sinh tiếp cận với
nghĩa của khái niệm phân số như là phương tiện “biểu thị một điểm cụ thể trên tia số” và hình thành
cho các em biểu tượng ban đầu về tính trù mật của tập hợp các phân số.
Để hoàn thành việc kiểm chứng các giả thuyết, có hai thực nghiệm:
- Thực nghiệm A đối với HS: một số bài toán được thiết kế theo các cách tiếp cận phân số để HS giải
quyết mà kiến thức các em có được như là kết quả hay phương tiện của hoạt động giải toán. Trong đó, trẻ có

thể sử dụng một số kiến thức cũ (phân số đơn vị, phép chia hết, phép chia có dư, so sánh số lớn bằng mấy lần
số bé, so sánh số bé bằng một phần mấy số lớn,…) để giải quyết bài toán.
- Thực nghiệm B đối với HS: bài toán đưa ra với định hướng cho các em huy động kiến thức cũ về so
sánh số tự nhiên, so sánh phân số nhằm tổ chức lại các kiến thức này, bổ sung nghĩa phân số theo cách tiếp
cận tia số, ngầm ẩn sau đó là giới thiệu cho HS tính chất trù mật của tập hợp biểu diễn bởi phân số.
Những kết quả đạt được từ thực nghiệm A và B cho phép chúng tôi xác nhận tính đúng đắn của 2 giả
thuyết H1 và H2. Trong đó, việc DH KN phân số được thực hiện thông qua các hoạt động giải toán. Hơn
nữa, một số cách tiếp cận KN phân số được khai thác triệt để. Một cách tiếp cận này có thể được cấu trúc lại
để tạo thuận lợi cho HS học phân số theo cách tiếp cận kia.
Ngoài ra, các thực nghiệm có sử dụng các biện pháp (bài toán) được nêu ra trong chương 4. Kết quả
khẳng định được sự hiệu quả của hoạt động DH phân số mà có vận dụng hoạt động giải toán. Nó còn củng
cố thêm tính hợp lí của hoạt động DH toán trong đó khai thác hoạt động giải toán từ phía HS.
KẾT LUẬN
1. Kết luận của luận án
1.1. Những đóng góp của luận án về mặt lí luận
Những đóng góp chính của luận án về mặt lí luận bao gồm:
- Luận án ghi nhận những nghiên cứu về KN bài toán, đề toán, nghĩa của tri thức, Điều quan trọng nhất
là luận án đưa ra một số luận điểm mới về DH thông qua hoạt động giải toán, trong đó vai trò, nhiệm vụ của
GV, của HS cũng được nhìn nhận khác đi. Nhìn chung, những cơ sở lí thuyết về DH thông qua hoạt động
giải toán góp phần bổ sung vào kho tàng lí luận và PPDH bộ môn toán.
- Ngoài ra, luận án hệ thống hóa một số công cụ lí thuyết của didactic toán: nghiên cứu khoa học luận, lí
thuyết nhân chủng học, lí thuyết tình huống, Những công cụ này cùng với cơ sở lí thuyết DH thông qua
hoạt động giải toán có quan hệ tương hỗ, góp phần làm cho việc nghiên cứu chủ đề phân số được hoàn thiện
hơn. Điều này minh chứng thêm rằng sẽ rất hữu ích nếu có sự kết hợp trong việc sử dụng phương pháp luận
của didactic toán và lí luận DH để nghiên cứu tri thức giảng dạy.
- Thêm vào đó, luận án còn phân tích một số chủ trương, chính sách về giáo dục và đào tạo của Chính
phủ, của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Hơn nữa, các định hướng đổi mới PPDH cũng được làm rõ, từ đó chỉ ra
nội dung nghiên cứu của đề tài hoàn toàn phù hợp với xu hướng giáo dục của nước ta hiện nay.
1.2. Những đóng góp của luận án về mặt thực tiễn
Bên cạnh về mặt lí luận, luận án còn mang lại một số giá trị thực tiễn:

- Luận án làm rõ những đặc trưng khoa học luận của KN phân số. Chúng tôi có một nghiên cứu sự
chuyển đổi didactic của KN phân số từ tri thức bác học đến tri thức cần giảng dạy, rồi từ tri thức cần giảng
23