Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt động giải các bài toán

MỤC LỤC
i
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
VIẾT TẮT VIẾT ĐẦY ĐỦ
DH Dạy học
GV Giáo viên
HS Học sinh
KN Khái niệm
PPDH Phương pháp dạy học
SGK Sách giáo khoa
SGV Sách giáo viên
ii
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng Nội dung Trang
2.1
So sánh phương pháp bổ sung và phương pháp nhúng đẳng
cấu
56
3.1 Mục tiêu, yêu cầu của việc dạy học phân số 76
3.2 So sánh “phân số - thương” và “phân số - tỉ số” 89
3.3
Tổng kết các cách tiếp cận khái niệm phân số ở các cấp độ
khác nhau
90
3.4
Thống kế số lượng bài tập liên quan đến khái niệm phân số
92
3.5 Phân loại kiểu nhiệm vụ theo các cách tiếp cận phân số 93
3.6
Thống kê các bài tập phân loại theo các cách tiếp cận phân
số

94
5.1
Thống kê chiến lược giải của HS đối với Bài toán 1
134
5.2 Thống kê chiến lược giải các nhóm đối với Bài toán 1 136
5.3 Thống kê chiến lược giải của HS đối với Bài toán 2 và 3 144
5.4
Thống kê chiến lược giải của các nhóm đối với Bài toán 2
và 3
145
5.5 Thống kê chiến lược giải của HS đối với Bài toán 4 152
5.6 Thống kê chiến lược giải của các nhóm đối với Bài toán 4 153
5.7
Thống kê chiến lược giải của HS đối với câu a của bài toán
5
165
iii
5.8
Thống kê chiến lược giải của HS đối với câu b của bài toán
5
166
5.9
Thống kê chiến lược giải của các nhóm đối với câu a của
bài toán 5
167
5.10
Thống kê chiến lược giải của các nhóm đối với câu b của
bài toán 5
167
iv

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ
Sơ đồ Nội dung Trang
1
Cơ chế hoạt động của khái niệm gắn liền với hoạt động
giải toán
4
2 Tiến trình nghiên cứu của luận án 13
3.1 Quan hệ giữa các cách tiếp cận phân số 90
3.2 Tiến trình đưa vào các loại phân số trong các SGK 91
3.3 Tiến trình đưa vào phân số theo các cách tiếp cận 91
3.4 Hình thức thể hiện của khái niệm phân số 91
3.5 Tiến trình đưa vào phân số theo cơ chế hoạt động 91
4.1
Tiến trình dạy học kiến thức mới thông qua hoạt động giải
toán
103
v
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Khái niệm phân số là nội dung dạy học quan trọng trong chương trình toán
ở tiểu học
Ở Việt Nam, khái niệm (KN) phân số được đề cập ở hầu hết tất cả khối lớp ở
tiểu học trừ khối 1. Thậm chí, nó còn được tiếp tục nghiên cứu trong chương trình
toán ở lớp 6. Điều đó cho thấy tầm quan trọng của mảng kiến thức số học này trong
chương trình toán phổ thông.
Ngoài ra, việc dạy học (DH) KN phân số có mối liên hệ chặt chẽ đến DH các
kiến thức số học: số tự nhiên, hỗn số, số thập phân,…Bên cạnh đó, phân số còn là
cơ sở ban đầu để hình thành hỗn số và số thập phân. Do vậy, DH KN phân số ít
nhiều cũng ảnh hưởng đến DH các loại số khác. Hơn nữa, KN phân số còn hiện
diện trong các mạch kiến thức khác ở tiểu học: hình học, số đo đại lượng, giải toán

có lời văn, yếu tố thống kê,…Tóm lại, phân số có mặt ở hầu hết trong chương trình
toán ở tiểu học.
Trong những năm gần đây, các nhà giáo dục Việt Nam đã biên soạn lại toàn bộ
sách giáo khoa (SGK) chương trình tiểu học và điều đó chính thức hoàn thành vào
năm 2006. Do vậy, các nội dung liên quan KN phân số cũng khác đi so với chương
trình trước đó. Chính sự thay đổi này kéo theo sự điều chỉnh trong đào tạo của các
trường đại học, cao đẳng sư phạm có tham gia đào tạo SV Giáo dục tiểu học.
Bên cạnh đó, sự điều chỉnh này cũng ảnh hưởng phần nào đến quá trình DH
của giáo viên (GV) và cách học tập của học sinh (HS). Việc đổi mới về chương
trình cũng dẫn đến sự đổi thay về nội dung và phương pháp dạy học (PPDH) là một
tất yếu. Điều này buộc GV phải chỉnh sửa lại bài giảng cũng như phương pháp
truyền thụ của mình đối với các nội dung của chủ đề phân số.
Sự thay đổi của bộ đôi này có thật sự tạo điều kiện thuận lợi để cho GV và HS
tiếp cận các nội dung của chủ đề phân số hay chưa?
Ngoài ra, các nhà giáo dục đang có định hướng viết lại SGK vào năm 2015. Vì
vậy, những nghiên cứu về nội dung DH phân số trước khi đổi mới là cần thiết.
1
Trong đó, những điều hay hiện có của SGK thì giữ lại và tiếp tục phát huy còn
những hạn chế thì thay đổi cho phù hợp với quan điểm DH hiện nay.
1.2. Dạy học thông qua hoạt động giải toán giữ vai trò thiết yếu trong dạy học
toán
1.2.1. Dạy học thông qua hoạt động giải toán thể hiện được ý nghĩa của việc dạy
học toán
Hoạt động giải toán được sử dụng nhằm chứng minh cho việc giảng dạy toán
học. Để thuyết phục HS thấy được giá trị của toán học, nội dung DH cần liên quan
đến việc giải quyết vấn đề thực tiễn. Hoạt động giải toán cũng được thực hiện để
gợi động cơ cho các em, làm dấy lên mối quan tâm của họ trong một chủ đề toán
học cụ thể thông qua những tình huống thực tế. Nó còn dùng giải trí, xem như một
hoạt động thú vị thường được áp dụng trong giờ giải lao. Hoạt động giải toán có thể
được vận dụng rộng rãi để củng cố các kĩ năng và KN đã được giảng dạy trước đó.

Ví dụ: GV có thể trình bày KN phân số thông qua hoạt động giải toán “Có 3
quả cam chia đều cho 4 bạn. Hỏi mỗi bạn được bao nhiều phần của quả cam?” Bằng
cách cung cấp bối cảnh hoạt động giải toán như thế, GV có thể đạt nhiều mục tiêu:
tạo ra các cơ hội cho HS khám phá KN phân số (gợi động cơ), làm cho KN phân số
càng cụ thể hơn, cung cấp cho HS thấy được ý nghĩa của việc học phân số.
Trong quyển “Sáng tạo toán học” [49], George Polya giới thiệu rằng hoạt động
giải toán có thể được giảng dạy như là một nghệ thuật thực tế, giống như chơi piano
hay bơi lội. Polya nhận thấy hoạt động giải toán như là một nghệ thuật nhận thức và
khám phá. Ông khuyến khích nên trình bày toán học không phải là tập hợp các sự
kiện và qui tắc, mà như là một khoa học thực nghiệm và qui nạp.
Hoạt động giải toán như là một nghệ thuật có ý nghĩa phát triển khả năng của
HS để trở thành người giải quyết vấn đề khéo léo và nhiệt tình, suy nghĩ độc lập,
những người có khả năng ứng phó với các bài toán có kết thúc mở hay bài toán khó.
1.2.2. Dạy học thông qua hoạt động giải toán phù hợp với quan điểm sư phạm
hiện nay
 Hoạt động giải toán thích ứng với xu hướng DH của thực tiễn nước ta:
2
- Trong những năm gần đây, chủ trương của Bộ Giáo dục và Đào tạo tập trung
vào quan điểm DH “lấy HS làm trung tâm”. Trong đó, vai trò tự khám phá tri thức
của HS được nhấn mạnh. Hoạt động giải toán thích hợp với yêu cầu này bởi vì các
em sẽ tự mình kiến tạo tri thức mới thông qua việc tìm kiếm lời giải cho bài toán.
- Trong DH toán, người ta quan tâm đến một số lí thuyết DH hiện đại: lí thuyết
hoạt động, lí thuyết kiến tạo, lí thuyết tình huống Điểm chung của các lí thuyết
này là tập trung vào vai trò hoạt động của HS. Do vậy, hoạt động giải toán vẫn đảm
bảo được yếu tố hoạt động của HS, trong đó bản thân trẻ khám phá ra các chiến
lược giải bài toán, cùng với bạn bè và GV để thể chế hóa được kiến thức mới.
- Ngoài ra, nhà trường chú trọng hơn những PPDH tích cực: DH khám phá, DH
phát hiện và giải quyết vấn đề, DH theo dự án, DH hợp tác,… Các PPDH này yêu
cầu GV giữ vai trò chủ đạo, điều khiển, trong khi đó HS tích cực chủ động, sáng
tạo, tự giác để kiến tạo tri thức mới. Hơn thế nữa, chúng luôn tạo điều kiện cho

người học được làm việc với các hoạt động tích hợp. Nếu xét về khía cạnh này, hoạt
động giải toán sẽ hỗ trợ cho việc sử dụng các PPDH tích cực trong DH toán.
- Thêm vào đó, theo PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu [6,tr.67-68] để nâng cao năng
lực hiểu biết toán học cho HS, chúng ta không thể coi nhẹ DH toán thông qua DH
mô hình hoá. Mô hình DH này có thể thực hiện theo tiến trình:
Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn  Xây dựng mô hình toán học  Câu trả lời
cho bài toán thực tế  Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định
nghĩa, định lí hay công thức  Vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác.
Theo tiến trình trên, hoạt động giải toán đóng vai trò quan trọng trong việc xây
dựng nên tri thức. Tri thức nảy sinh với tư cách là kết quả hay phương tiện của hoạt
động giải toán. Vì vậy, hoạt động giải toán phù hợp với xu hướng DH bằng mô hình
hóa như hiện nay.
 Bên cạnh thích nghi với xu hướng DH trong nước, hoạt động giải toán cũng
phù hợp với quan điểm sư phạm của một số nước khác, trong đó có Pháp. Theo
[101,tr.171], sau cải cách toán học, DH toán ở nước này có đặc trưng: nhấn mạnh
trên các hoạt động giải toán, những tri thức sẽ lấy “nghĩa” qua việc giải bài toán, và
3
nghiên cứu các điều kiện nảy sinh tri thức. Nói chung, quốc gia này coi trọng việc
DH toán thông qua hoạt động giải toán.
1.2.3. Dạy học thông qua hoạt động giải toán tạo điều kiện dạy học theo quan
điểm khoa học luận
Ngày nay, DH toán quan tâm nhiều hơn đến những đặc trưng khoa học luận của
đối tượng tri thức cần giảng dạy và khả năng nhận thức của HS về đối tượng này.
Thực hiện nghiên cứu khoa học luận cho một KN toán học chỉ ra rằng nó thường
xuất hiện theo tiến trình sau:
Sơ đồ 1: Cơ chế hoạt động của khái niệm gắn liền với hoạt động giải toán
Do vậy, đa số những KN toán học đều xuất hiện thông qua hoạt động giải toán.
Trong trường hợp này, chúng đều là công cụ hay phương tiện của hoạt động giải
toán trong nội bộ toán học, đời sống thực tế hay các khoa học khác (vật lí, hóa học,
địa lí,…). Hơn thế nữa, lịch sử toán học chỉ ra rằng chúng sẽ lấy nghĩa qua những

bài toán mà cho phép nó giải quyết. Hiện nay, GV cung cấp cho HS những vấn đề
rất “sạch sẽ”, các KN hoàn hảo, không cho phép các em thấy được nguồn gốc hay
điều kiện nảy sinh gắn liền với tri thức. Điều này đôi khi không đảm bảo được qui
trình nhận thức của HS.
Tóm lại, nghiên cứu hoạt động giải toán cho phép nối khớp giữa đặc trưng khoa
học luận của KN và qui trình nhận thức toán học của HS. Để minh chứng cho điều
này, chúng tôi sẽ tiếp cận những hoạt động giải toán liên quan đến chủ đề phân số.
1.3. Khái niệm phân số là một chủ đề được quan tâm trong nhiều nghiên cứu
khoa học
Tác giả Nguyễn Hoài Anh nghiên cứu về việc sử dụng máy tính điện tử trong
DH phân số ở tiểu học. Thêm vào đó, tác giả này cũng xuất bản một bài báo trên
Tạp chí Sách và thiết bị với tên là “So sánh nội dụng chủ đề phân số trong chương
trình môn toán ở tiểu học của hai nước Việt Nam và Brunei” (trích từ [105]).
Công cụ ngầm ẩn
→
Đối tượng
→
Công cụ tường minh
Giải bài toán
→
Nghiên cứu KN
→
Giải toán
4
Một nghiên cứu khác liên quan đến KN phân số thuộc về tác giả Phạm Ngọc
Bảo [1]. Tác giả nghiên cứu “Đào tạo GV tiểu học về bước chuyển từ phân số như
là những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị đến phân số như là thương ở lớp 3 và lớp
4”. Trong luận văn này, tác giả tiến hành một thực nghiệm để chỉ ra rằng HS gặp
nhiều khó khăn trong việc giải quyết những tình huống nhắm tới thiết lập mối quan
hệ giữa phép chia hai số tự nhiên và phân số, giữa phân số đơn vị và phân số

thương, được đưa vào bởi SGK toán 4 hiện hành. Tác giả chưa có những nghiên
cứu khoa học luận của KN phân số.
Tác giả Trương Thị Vinh Hạnh (2007) [19] nghiên cứu đề tài luận án: “Dạy
học môn Toán ở trường trung học phổ thông thông qua hoạt động giáo khoa”. Mặc
dù, tác giả này không nghiên cứu về chủ đề phân số nhưng có nội dung “gần” với
chủ đề của chúng tôi. Trong luận án đó, tác giả đưa ra quan điểm về hoạt động, DH
thông qua hoạt động giáo khoa. Tuy nhiên, tác giả không đi nghiên cứu sâu KN bài
toán, DH thông qua hoạt động giải toán. Hơn nữa, các bài toán do tác giả này đề
xuất không được xem xét trên phương diện của một nghiên cứu khoa học luận.
Saenz-Ludlow (1990, 1992, 1994, 1995) xây dựng và phát triển việc DH phân
số trên “case studies” (nhưng Hunting 1986 đã công bố tác phẩm tương tự), tức là
phân tích quá trình DH liên quan đến chủ đề mà tập trung vào các chiến lược cá
nhân để hiểu KN phân số và biểu diễn phép cộng các phân số (trích theo [85]).
Cách hướng dẫn truyền thống trong nhà trường tiểu học thường nhấn mạnh sự
hiểu biết số phần / toàn thể để giúp HS học phân số, trong đó cái toàn thể được chia
thành các phần bằng nhau và HS xác định số phần được tô màu (Carrahar 1996;
Gould, 2005) (trích theo [85]).
Trong hơn bốn thập kỉ qua, các nhà nghiên cứu đã phát triển các giải thích về
KN số phần / toàn thể và một số mô hình liên quan đến chương trình giảng dạy. Ba
nhánh được phát triển độc lập: Dự án về số hữu tỉ (Behr, Lesh, Post & Silver, 1983;
Behr, Khoury, Harel, Post, & Lesh 1997) dựa trên nghiên cứu của Kieren (1980),
người mà đầu tiên đưa ra mô hình số phần / toàn thể để nghiên cứu phân số; nhóm
người Hà Lan phát triển một chương trình trong đó hiểu số phần / toàn thể trong các
5
tình huống chia đều (Streefland, 1991) và Steffe (2002) đưa ra lời giải thích cho số
phần / toàn thể như là KN phân số đơn vị được chia phần (trích theo [80]).
Bonotto (1991) trình bày một phân tích khá chi tiết cho một số phương pháp
tiếp cận khác nhau đối với số hữu tỉ và các thực nghiệm sư phạm có liên quan. Tuy
nhiên, các cách tiếp cận này không được nghiên cứu dưới ánh sáng của đặc trưng
khoa học luận (trích theo [85]).

Figueras (1991) trình bày bản tóm tắt của việc sử dụng các phân số và số hữu tỉ
trong thực tế. Nghiên cứu của ông cung cấp một số quan điểm DH hữu ích cho các
ví dụ SGK dựa trên những tình huống thực tế mà trong đó có sử dụng phân số.
Nghiên cứu này phù hợp với xu hướng DH toán hiện nay – DH bằng mô hình hóa
(trích theo [85]).
Behr, Lesh, Post, Silver (1992, 1993) tổ chức buổi thảo luận về hoạt động
giảng dạy, trong đó phân biệt các giai đoạn học tập KN phân số và số hữu tỉ, đồng
thời phân tích ngôn ngữ của việc dạy phân số trong lớp học (trích theo [89]).
Streefland (1990, 1991, 1993) cung cấp các ví dụ học tập và giảng dạy phân số
trong thực tiễn nhằm giải thích nhu cầu học tập phân số xuất phát từ cuộc sống hàng
ngày. Nghiên cứu này tương đồng với nghiên cứu của Figueras (trích theo [89]).
Graeber, Tanenhaus (1993) đề xuất cách tiếp cận phân số thông qua các tình
huống đo lường và do đó chúng mang lại nghĩa cho HS xây dựng kiến thức theo
chủ đề này. Thế nhưng, nghiên cứu này chưa mang lại đầy đủ các nghĩa khác nhau
của phân số như trong lịch sử (trích theo [86]).
Gray (1993) được nhắc đến như tác giả nghiên cứu những vấn đề thường gặp
trong việc chuyển từ số tự nhiên sang phân số cũng như các khó khăn có liên quan.
Đây là một nghiên cứu khá thú vị, thế nhưng các nguyên nhân của khó khăn, sai
lầm không được giải thích dưới ngôn ngữ của didactic toán (trích theo [93]).
Davis, Hunting, Pearn (1993a, b) đề xuất sử dụng các sơ đồ để biểu diễn mối
quan hệ giữa các số tự nhiên và các phân số. Nghiên cứu của họ gắn liền một thực
nghiệm giảng dạy hơn 2 năm với các em HS từ 8 đến 10 tuổi (trích theo [90]).
6
Giménez (1994) cho rằng cần phân biệt giữa "chia" theo ngôn ngữ đời thường
và "phân số" trong toán học, bằng cách sử dụng những kinh nghiệm, những câu
chuyện để kích thích nhận thức của HS. Tất cả được thiết kế nhằm tạo ra mối liên
kết giữa các tình huống trong đó có sử dụng phân số (trích theo [92]).
Kamii, Clark (1995) xem xét các câu hỏi về những khó khăn cho việc hiểu biết
mối quan hệ tương đương giữa các phân số (phân số bằng nhau). Nghiên cứu này
cho biết thêm về cách tiếp cận phân số dựa trên lí thuyết tập hợp (trích theo [91]).

Barbero, Carignano, Magnani, Tremoloso (1996) đưa ra các dữ liệu có liên
quan đến sai lầm mà HS gặp phải khi làm việc với phân số, trong đó họ còn phân
tích các tình huống và những nguyên nhân có thể. Nghiên cứu này cũng tương tự
như Gray đã tiến hành trước đó (trích theo [93]).
Singh (2000) trình bày một nghiên cứu về tỉ số và tỉ lệ. Nó được đánh giá là
khá quan trọng trong việc giải thích KN phân số. Ngoài ra, kết luận của ông khẳng
định các hoạt động liên quan đến tỉ lệ đòi hỏi khả năng nắm vững hai tỉ số. Nghiên
cứu của ông đánh dấu cách tiếp cận phân số theo tỉ số. Mặc dù vậy, nó cũng không
được thực hiện dưới sự so sánh với lịch sử của phân số (trích theo [81]).
Wu (2001) nhận xét rằng HS nên được giải quyết các vấn đề đến từ thực tế
cuộc sống có liên quan phân số bởi vì “các KN toán học gắn liền những hoạt động
được bắt nguồn từ một số tình huống và vấn đề”. Nghiên cứu này cũng tương tự
như một số tác giả trước đó như: Figueras và Streefland (trích theo [81]).
Kosbob & Moyer (2004) chỉ ra: trẻ em hiểu biết mối quan hệ số phần / toàn thể
được xem như là nền tảng kiến thức số hữu tỉ; là cơ sở xây dựng KN phân số như là
số phần bằng nhau được lấy ra từ cái toàn thể và là mục tiêu đầu tiên cho trẻ em
hiểu biết phân số. Nghiên cứu này tiếp cận phân số dựa trên số phần / toàn thể mà
chưa giới thiệu các cách tiếp cận khác của phân số (trích theo [80]).
Xenia Vamvakoussi (2004) nghiên cứu sự hiểu biết của HS về cấu trúc đại số
và các tính chất của tập hợp số hữu tỉ. Ông cũng chỉ ra được kiến thức trước đó của
HS về số tự nhiên (tính rời rạc) có thể giúp các em học tập tính trù mật của số hữu
7
tỉ. Nghiên cứu của tác giả tập trung vào tính chất trù mật của số hữu tỉ (phân số) mà
không đi sâu các tính chất khác (trích theo [81]).
Douglas Ruby (2004) nhấn mạnh việc hiểu được “độ lớn” của phân số cần phải
biết rút gọn phân số. Ông cũng chỉ ra các kiến thức liên quan đến rút gọn phân số:
chia hết, đưa về tích số, khả năng nhận ra hai số nguyên tố, sự hiểu biết về tính chất
giao hoán và tính chất kết hợp của phép nhân,…Trong nghiên cứu của mình, ông
cũng tìm hiểu qua về lịch sử của rút gọn phân số. Tuy nhiên, kết quả chỉ mang tính
điểm qua lịch sử mà không phải là một nghiên cứu khoa học luận (trích theo [88]).

Bernardo Gómez Alfonso (2005) nghiên cứu những khó khăn liên quan đến
nhân và chia các phân số. Ông cố gắng giải thích các khó khăn theo hướng tiếp cận
lịch sử. Cụ thể, các nguyên nhân sai lầm như thế có nguồn gốc từ việc áp dụng các
phép tính đối với số tự nhiên. Tuy vậy, tác giả chưa chỉ ra cách để tạo điều kiện
thuận lợi cho việc thay đổi quan niệm ở trẻ (trích theo [89]).
Trong một nghiên cứu của Brizuela (2006), đối với trẻ “phân số là một phần
thiết yếu của cuộc sống hàng ngày của họ” mặc dù họ không nhất thiết phải hiểu
được ý nghĩa của một phân số (trích ra từ [89]).
Trong bài viết “Mở rộng nghĩa của kí hiệu phân số: một thực nghiệm sư
phạm”, K. Subramanariam (2006) mở rộng nghĩa phân số với quan hệ số phần /
toàn thể sang quan hệ nhân với vai trò là một toán tử. Thực nghiệm giúp HS hiểu
sâu hơn về suy luận của phép nhân. Từ đó, nó tạo điều kiện cho HS trong việc giải
quyết vấn đề và học tập các phép tính đại số ([82]).
Neumer (2007) được nhắc đên vì ông đã chỉ ra KN hỗn số và phân số thực sự
gây nhầm lẫn cho HS, bởi vì họ không hiểu tử số lớn hơn mẫu số, cũng như thực tế
là một số nguyên có thể được viết bên cạnh một phân số (trích theo [89]).
Trong bài báo “The development, and the developing of the conception of a
fraction”, László Filep trình bày sơ lược về lịch sử KN phân số. Thế nhưng trong
nghiên cứu này ông chỉ làm rõ cách tiếp cận phân số dựa trên phép chia và những
điều cần lưu ý về mặt sư phạm. Rõ ràng, đây cũng không phải là công trình nghiên
8
cứu khoa học luận. Hơn thế nữa, KN phân số không chỉ hình thành dựa trên phép
chia mà còn nhiều cách tiếp cận khác ([83]).
Mathar Isabel Fandino Pinila (2007) đưa ra một nghiên cứu về phân số trong
“Fractions: Conceptual and Didactic Aspects”. Trong đó, ông nhấn mạnh rằng việc
DH phân số thường không thành công do bởi một số nguyên nhân. Tác giả tập hợp
các nguyên nhân dẫn đến việc học phân số không thành công dựa trên những nghiên
cứu giáo dục toán. Các nguyên nhân đó có thể là: hợp đồng didactic, chướng ngại
khoa học luận, khó khăn,…Do vậy, nghiên cứu này được thực hiện dưới một số
công cụ lí thuyết của didactic toán. Tuy nhiên, tác giả cũng chưa tiến hành công

việc dưới một nghiên cứu đặc trưng khoa học luận (trích theo [85]).
Susanne Prediger (2008) viết bài “The relevance of didactic categories for
analyzing obstacles in conceptual change: Revisiting the case of multiplication of
fractions”. Tác giả chỉ ra cơ sở lí luận của chướng ngại khoa học luận và nghiên cứu
trường hợp cụ thể: nhân hai phân số. “Nhân luôn làm kết quả lớn hơn” được kiểm
chứng là chướng ngại khoa học luận đối với HS trong việc học phép nhân phân số.
Sự chưa hoàn chỉnh của nghiên cứu là chỉ làm rõ được một trong các chướng ngại
có liên quan đến KN phân số (trích dẫn theo [92]).
Mokashi (2009) đưa ra một số ý tưởng về hoạt động để tăng cường sự hiểu biết
của HS về phân số. Bà đề nghị sử dụng origami và nghệ thuật xếp giấy để dạy HS
nhận ra các phân số cơ bản. Bà cũng cho thấy bằng cách sử dụng thanh sô-cô-la
(được chia thành các phần bằng nhau) để cho HS nhận ra mối quan hệ số phần /
toàn thể. Điều này làm cho các phân số liên quan đến bối cảnh thực tế cuộc sống,
một điều khá quan trọng đối với HS để nhận ra. Tác giả này đưa ra nhiều mô hình
khác nhau để tiếp cận phân số, nhưng tất cả chỉ tiếp cận phân số dựa trên số phần /
toàn thể (trích theo [81]).
Suhrit K. Dey (2010) [90] đưa ra một nghiên cứu về việc DH các phép tính của
phân số bằng cách sử dụng các mô hình hình học trong “Teaching Arithmetic of
fractions using geometry”. Tác giả sử dụng nhiều minh họa khác nhau trong hình
học để dạy phép cộng, trừ, nhân, chia các phân số. Ông cũng nêu ra sự hữu ích khi
9
sử dụng hình học bởi vì hầu hết các phép tính đối với phân số thì như những “đám
mây” trong mắt trẻ em và mô hình hình học góp phần làm tan đi các “đám mây” đó.
Tuy vậy, một số mô hình đưa ra khá phức tạp bởi vì chúng đòi hỏi HS phải xác
nhận và so sánh diện tích của các hình chữ nhật.
Blena Castro Rodríguez (2012) nhấn mạnh rằng để HS có hiểu biết sâu về phân
số, trước tiên cần tạo cơ hội cho GV cải thiện nhận thức về KN này. Nghiên cứu của
ông tập trung giới thiệu cho GV tiểu học mối quan hệ số phần / toàn thể (được xem
như là nền tảng DH phân số). Sự hạn chế của nghiên cứu này là chỉ giới thiệu cách
tiếp cận số phần / toàn thể mà không đưa ra nhiều cách tiếp cận khác ([75]).

Tóm lại, KN phân số được rất nhiều nhà giáo dục quan tâm. Tất cả thể hiện
được ý nghĩa và vai trò của nó trong giảng dạy và khoa học toán. Có rất nhiều công
trình liên quan KN phân số. Thế nhưng, ở Việt Nam chưa có công trình nào nghiên
cứu KN phân số theo tiến trình: nghiên cứu khoa học luận  nghiên cứu thể chế
đào tạo GV  nghiên cứu thể chế DH toán ở tiểu học  nghiên cứu thực nghiệm.
Những phân tích trên đặt ra cho chúng tôi nhiều câu hỏi mà việc giải đáp chúng
sẽ gợi ra những cái mới và đóng góp của luận án:
- Trong thể chế DH toán tiểu học ở Việt Nam, KN phân số được đưa vào như
thế nào? Xoay quanh những dạng toán nào?
- GV DH toán ở trường tiểu học Việt Nam có quan niệm như thế nào về KN
phân số và DH phân số?
- GV sử dụng những hoạt động giải toán gì để hình thành kiến thức gắn liền với
KN phân số? Đặc trưng của những hoạt động đó ra sao?
- Hoạt động giải toán nào được GV lựa chọn để giúp HS phát hiện và sửa chữa
các sai lầm khi học chủ đề phân số?
Từ những lí do trên đây, chúng tôi đặt vấn nghiên cứu của luận án:
“Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt động giải các bài
toán”
10
2. Giới hạn của đề tài
Ở đây, chúng tôi chọn ra một KN toán học có nhiều công trình nghiên cứu:
phân số. Bên cạnh đó, KN này chỉ được tiến hành nghiên cứu ở các cấp độ: lịch sử
toán, nhà trường đào tạo GV tiểu học và dạy toán ở tiểu học.
Hơn thế nữa, chúng tôi tập trung vào hai giáo trình chính để thực hiện phân tích
ở cấp độ nhà trường đào tạo GV tiểu học: Số học (Lí thuyết số) và Phương pháp
giảng dạy toán ở tiểu học. Để nghiên cứu phân số ở cấp độ DH toán tiểu học, chúng
tôi chỉ đề cập đến SGK, sách giáo viên (SGV) hiện hành.
3. Phạm vi lí thuyết tham chiếu và mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của lí thuyết về bài toán,
hoạt động giải toán, DH thông qua hoạt động giải toán.

Bên cạnh đó, một số công cụ lí thuyết của didactic toán được vận dụng để
nghiên cứu tri thức cần giảng dạy:
- Nghiên cứu khoa học luận.
- Lí thuyết nhân chủng học: chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế và quan hệ cá
nhân đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học.
- Lí thuyết tình huống,…
Luận án được thực hiện với mục tiêu nghiên cứu DH chủ đề phân số thông qua
hoạt động giải toán mà bây giờ được cụ thể hóa và mở rộng trong phạm vi lí thuyết
tham chiếu thông qua các câu hỏi:
1. Trong quá trình hình thành và phát triển, phân số có những đặc trưng khoa
học luận cơ bản nào?
2. Mối quan hệ thể chế với KN phân số ở nhà trường đào tạo GV tiểu học có
những đặc trưng cơ bản nào? Sự tương đồng và khác biệt của nó so với quá trình
phát triển của nó trong lịch sử?
3. Mối quan hệ thể chế với KN phân số trong thể chế DH toán ở tiểu học có đặc
trưng cơ bản nào? Sự tương đồng và khác biệt so với quá trình phát triển của nó
trong lịch sử và so với mối quan hệ thể chế đào tạo GV tiểu học?
11
4. Những ràng buộc của thể chế DH toán ở tiểu học ảnh hưởng ra sao đến mối
quan hệ cá nhân của GV và HS? Đặc trưng của các hoạt động giải toán được triển
khai ra sao?
5. Xây dựng hệ thống các hoạt động giải toán như thế nào để tạo điều kiện cho
HS kiến tạo kiến thức mới liên quan chủ đề phân số? Hiệu quả của chúng ra sao?
6. Làm thế nào để thiết kế các tình huống DH mà trong đó HS khám phá ra
kiến thức mới (phân số) thông qua hoạt động giải toán? HS sẽ ứng xử ra sao trước
những tình huống như thế?
12
4. Phương pháp nghiên cứu
Sau đây là sơ đồ thể hiện phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi sử dụng nhằm
tìm ra câu trả lời cho các câu hỏi:

Sơ đồ 2: Tiến trình nghiên cứu của luận án
4.1. Nghiên cứu lí luận
- Trước tiên, chúng tôi phân tích, tổng hợp cơ sở lí luận của hoạt động giải toán
cũng như một số cơ sở lí thuyết của didactic toán, một số chủ trương, chính sách
của Chính phủ, Bộ Giáo dục và Đào tạo về định hướng đổi mới PPDH.
NGHIÊN CỨU
KHOA HỌC LUẬN
NGHIÊN CỨU TRI THỨC
CẦN GIẢNG DẠY
(Thể chế đào tạo GV tiểu học)
NGHIÊN CỨU
CƠ SỞ LÍ LUẬN
NGHIÊN CỨU TRI THỨC
CẦN GIẢNG DẠY
(Thể chế DH toán ở tiểu học)
ĐỀ XUẤT CÁC HOẠT ĐỘNG
GIẢI TOÁN
NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
(Quan hệ cá nhân của HS)
13
- Nghiên cứu trước đó là cơ sở để chúng tôi phân tích, tổng hợp các công trình
có liên quan đến đến đặc trưng khoa học luận của KN phân số. Công việc này được
tiến hành thông qua nghiên cứu các tài liệu lịch sử toán, các nghiên cứu trước đó về
KN phân số.
- Tiếp theo nghiên cứu khoa học luận, chúng tôi phân tích chương trình và các
giáo trình toán (được sử dụng để dạy cho GV tiểu học) nhằm tìm hiểu KN phân số
được nghiên cứu như thế nào ở cấp độ nhà trường sư phạm và mối quan hệ thể chế
đào tạo GV với đối tượng phân số.
- Hai nghiên cứu trên là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích thể chế DH phân
số ở tiểu học. Phân tích chương trình và SGK, sách GV toán, tài liệu hướng dẫn

giảng dạy sẽ làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng phân số.
- Sau đó, chúng tôi tiến hành tìm kiếm giải pháp để DH hiệu quả chủ đề phân
số - đó là DH thông qua hoạt động giải toán. Chính vì vậy, chúng tôi đã vận dụng
cơ sở lí thuyết để thiết kế hoạt động giải toán cho chủ đề phân số.
4.2. Thực nghiệm sư phạm
Sau những nghiên cứu trước đó, cho phép chúng tôi đề xuất các giả thuyết
nghiên cứu. Tính thỏa đáng của chúng được kiểm chứng bằng một số thực nghiệm
trên đối tượng HS.
5. Giả thuyết nghiên cứu
Hai giả thuyết dưới đây có được từ việc phân tích mối quan hệ thể chế DH toán
ở tiểu học, thiết kế các hoạt động giải toán (trong chương 3, 4). Việc kiểm chứng
tính đúng đắn của chúng được thực hiện trong chương 5 của luận án.
H1: Tổ chức dạy học thông qua hoạt động giải toán, được thiết kế theo
những tiêu chí ở mục 4.1.1, cho phép học sinh tự kiến tạo kiến thức gắn liền với
khái niệm phân số và mang lại cho các em nghĩa đúng của kiến thức này.
H2: Tình huống dạy học phân số dựa trên tia số còn cho phép học sinh tiếp
cận với nghĩa của khái niệm phân số như là phương tiện “biểu thị một điểm cụ
thể trên tia số” và hình thành cho các em biểu tượng ban đầu về tính trù mật của
tập hợp các phân số.
14
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
6.1. Về mặt lí luận
- Phân tích và tổng hợp một số yếu tố cơ sở lí luận về DH thông qua hoạt động
giải toán, các lí thuyết của didactic toán, một số chủ trương, chính sách của Chính
phủ, Bộ Giáo dục và Đào tạo về định hướng đổi mới PPDH.
- Làm rõ các đặc trưng của KN phân số trong tiến trình hình thành và phát triển
của nó.
- Dựa trên cơ sở lí luận trên, cho phép phân tích các nội dung có liên quan đến
chủ đề phân số trong nhà trường đào tạo GV tiểu học và thể chế DH toán ở tiểu học.
6.2. Về mặt thực tiễn

- Xây dựng các tiêu chí để tổ chức DH thông qua hoạt động giải toán, đề xuất
tiến trình DH thông qua hoạt động giải toán.
- Đề xuất một hệ thống hoạt động giải toán cho chủ đề phân số.
- Luận án cũng xây dựng các tình huống DH theo hướng tích cực hóa hoạt động
nhận thức của HS trong việc lĩnh hội KN phân số, từ đó góp phần nâng cao chất
lượng và hiệu quả DH chủ đề phân số.
7. Những luận điểm đưa ra bảo vệ
- Những luận điểm quan trọng của cơ sở lí luận về DH thông qua hoạt động giải
toán, trong đó kể cả tiến trình DH thông qua hoạt động giải toán.
- Một số kết quả chính có được khi phân tích khoa học luận KN phân số.
- Những ghi nhận đáng chú ý từ việc phân tích mối quan hệ thể chế ở nhà trường
đào tạo GV tiểu học và thể chế DH toán ở tiểu học.
- Hệ thống hoạt động giải toán được thiết kế để vận dụng vào DH chủ đề phân
số trong SGK toán 4.
- Một số kết quả chủ yếu của các thực nghiệm sư phạm trong chương 5.
15
8. Cấu trúc của luận án
Tương ứng với mục tiêu và nhiệm vụ đặt ra, ngoài phần mở đầu và kết luận, nội
dung chính của luận án được trình bày trong 5 chương, sau cùng là phần danh mục
các tài liệu tham khảo.
Chương 1. Cơ sở lí luận
Chương 2. Nghiên cứu khoa học luận của khái niệm phân số
Chương 3. Khái niệm phân số trong thể chế đào tạo giáo viên tiểu học và
thể chế dạy học toán ở tiểu học
Chương 4. Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt
động giải các bài toán
Chương 5. Thực nghiệm sư phạm
16
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN

Chương 1 có mục tiêu xác định cơ sở lí luận cho toàn bộ nghiên cứu trong luận
án. Về nguyên tắc, chúng tôi cần làm rõ các KN cơ bản: hoạt động, bài toán, hoạt
động giải toán, DH thông qua hoạt động giải toán. Trong đó, KN “Hoạt động” là
đối tượng nghiên cứu quan trọng của Triết học và nhiều Lí thuyết về học tập, đặc
biệt là Lí thuyết hoạt động, đặt cơ sở trên Tâm lí học hoạt động.
Tuy nhiên, trong phạm vi luận án này, chúng tôi không đi sâu vào khía cạnh
triết học, tâm lí hay giáo dục của KN “hoạt động”, mà chỉ dùng nó như một thuật
ngữ thông thường, chỉ việc tiến hành một nhiệm vụ nào đó. Cụ thể, hoạt động giải
các bài toán được hiểu là việc thực hiện giải các bài toán.
Từ đó, chúng tôi hạn chế phạm vi cơ sở lí luận mà chúng tôi cần làm rõ trong
chương này là các nhóm công cụ lí thuyết sau đây:
- Nhóm công cụ lí thuyết gắn liền với chủ đề “DH thông qua hoạt động giải
toán”, như các KN: bài toán, đề toán, DH thông qua hoạt động giải toán. Ngoài ra
chúng tôi cũng bổ sung trong phần này một số yếu tố khoa học luận và cơ sở thực
tiễn của “DH thông qua hoạt động giải bài toán”.
- Nhóm công cụ lí thuyết hình thành nên phương tiện nghiên cứu các thể chế
DH, chủ yếu là nghiên cứu chương trình, SGK (hay giáo trình) và nghiên cứu thực
nghiệm.
- Nhóm chủ trương, định hướng về giáo dục nói chung và đào tạo nói riêng của
Chính phủ, của Bộ Giáo dục và Đào tạo ở Việt Nam.
Sau khi trình bày những yếu tố lí luận và thực tiễn nêu trên, chúng tôi sẽ xác
định quan điểm của mình về “Dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán”.
1.1. Cơ sở lí luận về dạy học thông qua hoạt động giải toán
1.1.1. Khái niệm Bài toán
Có nhiều quan niệm khác nhau về KN “Bài toán”. Rất thông thường, thuật ngữ
này được dùng lẫn lộn với thuật ngữ “Bài tập”. Từ “Problème” trong ngôn ngữ
17
tiếng pháp và “Problem” trong tiếng Anh đều được dịch sang tiếng Việt với hai
nghĩa: “Bài toán” và “Vấn đề”.
Ở đây, chúng tôi không đi sâu tìm hiểu và phản biện về các quan niệm khác

nhau đó, mà chỉ trình bày một số yếu tố lí luận mà chúng tôi chọn làm cơ sở cho
luận án này.
1.1.1.1. Từ góc độ từ nguyên
1
và lịch sử ngôn ngữ
Thông qua từ điển lịch sử ngôn ngữ Pháp, M.Priolet (2008) đã làm rõ những
đặc trưng chủ yếu sau đây của KN bài toán:
- Danh từ “Bài toán” có nguồn gốc từ thuật ngữ latin “Problema” được người
Hy Lạp sử dụng vào khoảng năm 1380 với nghĩa chỉ cái mà người ta đối mặt, một
chướng ngại, một chủ đề gây tranh cãi, một vấn đề cần giải quyết.
- Từ thế kỉ 17, thuật ngữ “Bài toán” bắt đầu được dùng trong toán học và vật lí
để chỉ một vấn đề cần giải quyết bằng những phương pháp suy luận hợp lí hoặc
bằng quan sát.
- Cuối thế kỉ 17 cho đến đầu thế kỉ 19, trong toán học, bài toán luôn được dùng
với nghĩa là một “mệnh lệnh” cần thực hiện các thao tác toán học: “bài toán trong
toán học là một đề nghị trong đó người ta yêu cầu làm một số các thao tác theo các
qui tắc toán học và người ta chỉ rõ là chúng đã được thực hiện. Ví dụ: đề nghị đo
độ cao của một cái tháp khi chỉ biết khoảng cách từ điểm quan sát tới tháp là một
bài toán (Académie française, 1762, 1798)”.
Tóm lại, hai trong các đặc trưng cơ bản gắn với KN bài toán thể hiện qua từ điển
lịch sử ngôn ngữ Pháp, mà chúng tôi giữ lại là:
- Luôn gắn với khó khăn, chướng ngại cần vượt qua,
- Gắn với đề nghị chứa một yêu cầu cần giải quyết hoặc một chứng minh cần
thực hiện.
1.1.1.2. Từ quan điểm của tâm lí học
Nhìn từ góc độ tâm lí, thuật ngữ “problème” được dùng dưới đây trong ngôn
ngữ tiếng Việt là “Vấn đề”.
1
Từ nguyên (étymologie): nghiên cứu khoa học về nguồn gốc của từ.
18

Theo M.Priolet (2008), các quan niệm tâm lí dưới đây là sự nối kết giữa quan
điểm của các nhà tâm lí Richelle và Droz (1976) và quan điểm khoa học luận về
kiến thức được phát triển bởi Bachelard (1938) [94]: “Đối với tư duy khoa học, tất
cả kiến thức đều là lời giải đáp cho một vấn đề (question). Không có vấn đề thì
không có kiến thức toán học. Không có gì là tự nó. Không có gì được cho. Tất cả
đều được kiến tạo”
2
.
Theo các nhà tâm lí học Richelle và Droz (1976): có vấn đề (problème) khi mà
chủ thể không thể có được ngay tức thì câu trả lời bằng cách áp dụng thói quen cũ
vào tình huống.
Phát triển quan điểm này, Vergnaud (1981) [102] quan niệm: vấn đề là tất cả
những gì dẫn chủ thể tới việc thiết lập một câu trả lời hay một hành động tạo ra một
kết quả nào đó. Theo ông, cần phải hiểu thuật ngữ vấn đề theo nghĩa rộng trọng tâm
lí, đó là tất cả tình huống trong đó cần khám phá các mối quan hệ; phát triển các
hoạt động nghiên cứu, hoạt động nêu giả thuyết và kiểm tra để thiết lập cách giải
quyết tình huống.
Brun (2003) đề nghị định nghĩa sau đây:
“Theo quan điểm tâm lý học, vấn đề được định nghĩa một cách khái quát như một tình
huống khởi đầu với một mục tiêu xác định, đòi hỏi chủ thể thiết lập một dãy các hành
động hoặc các thao tác để đạt được mục tiêu này. Chỉ có vấn đề trong mối quan hệ chủ
thể / tình huống, trong đó lời giải đáp chưa có ngay được, nhưng có thể xây dựng”.
Theo M.Priolet (2008), có ba luận điểm quan trọng rút ra từ các quan niệm trên:
- Các quan niệm về “Vấn đề” như trên có thể áp dụng vào tất cả các lĩnh vực khoa học
khác nhau, khi các tình huống xem xét dẫn chủ thể tới việc kiến tạo kiến thức.
- Chỉ nói đến KN “Vấn đề” trong mối quan hệ chủ thể / tình huống. Nói cách khác,
không có vấn đề tồn tại tự thân mà không có chủ thể nào đó đặt mục đích giải quyết nó
(đặc trưng này xuất hiện ngầm ẩn trong các quan niệm về bài toán xét từ góc độ từ
nguyên và lịch sử ngôn ngữ nêu ở mục 1.1.1.1 ở trên).
- Chủ thể vận dụng kiến thức cũ của mình để thiết lập một đối tượng nghiên cứu mới và

để giải quyết vấn đề. Mỗi khi vấn đề đã được giải quyết, thì câu trả lời chính xác có được
2
“Pour un esprit scientifique, toute connaissance est une réponse à une question. S’il n’y a pas eu de
question, il ne peut y avoir de connaissance scientifique. Rien ne va de soi. Rien n’est donné. Tout est
construit (Bachelard, 1938)”.
19
mang tên “lời giải” sẽ lấy thể chế của kiến thức. Nói cách khác, kiến thức là sản phẩm
của hoạt động giải quyết vấn đề.
1.1.1.3. Từ góc độ của Lí luận và Phương pháp dạy học toán ở Việt Nam
GS. Nguyễn Bá Kim (2011) [38] đề xuất các KN cơ bản sau làm nền tảng cho
nghiên cứu xu hướng “DH phát hiện và giải quyết vấn đề”:
- Hệ thống là một tập hợp những phần tử cùng với những quan hệ giữa những
phần từ của tập hợp đó.
- Một tình huống là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể (có thể là người) và
khách thể (một hệ thống nào đó).
- Tình huống bài toán (đối với chủ thể) là tình huống, trong đó chủ thể chưa
biết ít nhất một phần tử của khách thể.
Trong một tình huống bài toán, nếu trước chủ thể đặt ra mục đích tìm phần tử
chưa biết nào đó dựa vào một số phần tử cho trước ở trong khách thể thì ta có một
bài toán.
Vấn đề là bài toán, trong đó chủ thể chưa có trong tay một thuật giải nào để tìm
ra phần tử chưa biết của bài toán.
1.1.2. Về khái niệm “Đề bài toán” hay gọi tắt là “Đề toán”
Việc làm rõ đặc trưng của KN đề toán (énoncé d’un problème) cũng quan trọng
với luận án này vì nó sẽ hình thành nên một trong những tiêu chí làm cơ sở cho việc
phân tích SGK toán mà chúng tôi sẽ thực hiện trong chương 3.
Cũng như ở Việt Nam, ở Pháp, người ta thường dùng lẫn lộn hai KN “Bài toán”
và “Đề toán”, chẳng hạn, khi GV nói: “các em hãy đọc thật kĩ bài toán sau đây và
giải bài toán đó trong 15 phút”.
Qua phân tích từ góc độ từ nguyên, lịch sử ngôn ngữ, tâm lí, M.Priolet (2008)

nêu lên những đặc trưng sau đây của KN đề toán (đặt trong ngữ cảnh trường học)
mà Priolet dùng làm cơ sở cho luận án của mình:
- Đề toán là thông báo về bài toán mà HS cần giải, được thực hiện qua một trình
bày bằng lời hay viết. Chính qua trung gian đề toán mà diễn ra quan hệ đầu tiên
giữa bài toán và chủ thể giải bài toán.
20