một số dạng sóng cơ khó và cách giải

/>MỘT SỐ BÀI VIẾT HAY VỀ SÓNG CƠ HỌC
Kính thưa quý thầy cô, thưa các em học sinh yêu quý. Sau khi dạy xong chương “SÓNG CƠ
HỌC” tôi có một vài suy nghĩ, một số bài viết sưu tầm hay, những kinh nghiệm nhỏ thu được từ quá
trình dạy, tham khảo tài liệu của các thầy, cô từ các diễn đàn. Hôm nay mạn phép tổng hợp lại và gửi
tới các thầy cô và các em học sinh đang luyện thi đại học. Tất nhiên, những suy nghĩ mang tính cá
nhân có thể có đôi chỗ chưa được xác đáng, mong thầy cô và các em học sinh đóng góp chân tình để
ngày càng hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Dương, thầy Thạnh, thầy Hiệp, thầy
Biên, thầy Duy Văn trên thuvienvatly.com đã có những bài viết hay và sâu sắc giúp một số giáo
viên chúng tôi và các em học sinh hiểu rõ hơn bản chất vấn đề.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Nguyễn Bá Linh.
GV THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân.
1
/>Bài v i

ế t s ố 1
"Điều kiện về khoảng cách giữa hai nguồn trong giao thoa sóng cơ – Thầy Đậu Quang
Dƣơng
– Chuyên
Lƣơng
Thế Vinh – Đồng Nai".
a. Đ ặ t v ấ n đ

ề :
Trong rất nhiều đề thi thử của các trung tâm, diễn đàn và kể cả đề tuyển sinh đại học các năm
gần đây, ta gặp nhiều bài toán giao thoa sóng mà khoảng cách giữa hai nguồn được cho trước. Theo
tôi, hầu hết các bài toán này sẽ dẫn tới các kết quả kì dị và làm hoang mang cho học sinh cũng như
một số giáo viên mới ra trường.
Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1 : Biên độ sóng đổi trong quá trình truyền.
Cho hai nguồn sóng giống nhau A và B cách nhau một khoảng AB = (n + ½).λ ; n

∈
N dao
động với phương trình
u
A
=
u
B
=
a cos 2
π
ft
. So sánh hình ảnh dao động của một điểm rất gần
nguồn A và của nguồn A.
Phương trình sóng tổng hợp tại một điểm M cách A và B lần lượt đoạn d
1
và d
2
u
=
2a
cos



π

d
2
−

d
1


cos



2
π
ft
−

π

d
1
+
d
2

M

λ
 
λ

  

Nếu xét tại một điểm rất gần nguồn A ta có :

d
2
−
d
1
≈
AB và d
1
+
d
2
≈

A
B

AB


(
n
+

1
)

λ


Do đó A

M
=
2a
cos



π

λ


=
2a
cos



π
λ


=

0
 


Như vậy, nguồn dao động với biên độ a
nhƣng

điểm M nằm sát nó lại đứng yên!
Ví dụ 2 : Biên độ sóng không đổi trong quá trình truyền
Cho hai nguồn sóng giống nhau A và B cách nhau một khoảng AB = 2nλ ; n
∈
N* , dao động
với phương trình
A.
u
A
= u
B
= a cos 2πft . So sánh hình ảnh dao động của một điểm rất gần A và nguồn
Biên độ dao động tại M:
Pha dao động tại M :
A
M
≈
2a
2
π
ft
−

π

d
1
+
d
2

=
2
π
ft
−

2n
π
λ
Điểm M dao động cùng pha với A.
Như vậy, Khi điểm A có li độ cực đại bằng a thì điểm M rất gần A có li độ cực đại A
M
=
2a và tạo ra một hình ảnh khá kì dị của giao thoa sóng.
Ví

dụ 3 : Biên độ sóng đổi trong quá trình truyền
Cho hai nguồn sóng giống nhau A và B cách nhau một khoảng
AB
=



2n
+

1


λ

; n
∈
N*
,

4

2
/>dao động với phương trình
 
u
A
= u
B
= a cos 2πft . Viết phương trình dao động tại một điểm nằm sát
3
w

w w

. T a

iLi eu L u y

e n T hi . c o m
nguồn A và nằm trên đoạn AB và so sánh hình ảnh dao động của một điểm rất gần nguồn A và của
nguồn A.
Biên độ dao động tại M :
Pha dao động tại M :
A

M
≈ a
2
2
π
ft
−

π

d
2
+
d
1
≈
2
π
ft
−

π
λ
4
Điểm M dao động vuông pha với A.
Như vậy: Khi M có li độ cực đại u
M
≈
a
2

thì nguồn A lại đang ở vị trí cân bằng!
Bạn đọc có thể cho khoảng cách AB một cách tùy ý thì ta thấy hình ảnh dao động của một điểm rất
gần nguồn và của nguồn đôi khi rất phi lí. Hoặc lấy trong các đề tuyển sinh sau:
- 2009 (mã 135) câu 30 : AB = 5λ.
- 2010 (mã 642) câu 28 : AB = 40λ/3
- 2011 (mã 817) câu 23 : AB = 9λ ; câu 50 : AB = 2,5λ
- 2012 (mã 958) câu 10 : AB = 20λ/3.
Thông thường một số giáo viên chống chế bằng lí lẽ như nguồn là cha là mẹ nên không tuân
theo quy luật giống như các điểm còn lại (con). Lí luận này không thể thừa nhận trong suy luận của
môn Vật lí.
b. P

h ả i t

hừa nh ậ n c ó s

ự p

h ả n x

ạ sóng t ạ i vị trí các

n g u

ồn
Đến đây, ta thử xét điều kiện để có được hình ảnh giao thoa hợp thực tế nhất và tất cả các
điểm trong miền giao thoa tuân theo quy luật thống nhất.
* Giả sử khô n

g c ó sự ph ả

n x

ạ sóng t ạ i vị trí c á c n

g u

ồn:
- Phần tử A tham gia đồng thời hai dao động:
+ Dao động do nguồn bên ngoài gây ra :
u
A
=
a cos 2
π
ft .

2
π
.AB

+ Dao động do sóng từ B truyền tới : u
A
'
=
a
cos



2
π
ft
−
λ




AB
 
π
.AB

Vậy, dao động tổng hợp của A phải là : u
A
=
2a
cos



π

λ


cos



2
π
ft
−


(1)
λ
  

Mặt khác, A chỉ dao động cưỡng bức do nguồn ngoài gây ra :

2a cos


π

AB


=
a
u
A
= a cos
2πft
(2)



λ


Từ (1) và (2) ta phải có:

 
(3)

π

AB
=
2n
π

 λ
Dễ thấy hai đẳng thức trong (3) không thể tồn tại đồng thời !
Kế t l u

ậ n

: Phải có sự phản xạ sóng tại vị trí các nguồn.
Phần tử môi trường tại A đồng thời chịu tác dụng của 3 dao động :
+ Dao động cưỡng bức do nguồn bên ngoài gây ra : u
A
.
+ Dao động do sóng từ nguồn B truyền tới A : u
BA
.
+ Dao động do sóng phản xạ tại A gây ra : u'

BA
.
Mà dao động tổng hợp tại A : u
A
+ u
BA
+ u'
BA
= u
A
. Do vậy u
BA
= - u'
BA
Vậy các nguồn đóng vai trò vật cản cố định đối với sóng do nguồn kia truyền tới.
c. Đi ề u ki ệ n để hình

ảnh

g iao thoa ổn định
Như đã chứng minh từ trên: Từ A đồng thời truyền đi hai sóng :
+ Dao động cưỡng bức do nguồn bên ngoài gây ra tại A : u
A
+ Dao động do sóng phản xạ tại A gây ra: u'
BA
Như vậy, để hình ảnh giao thoa là ổn định thì hai sóng truyền từ A đi (u
A
và u'
BA
) phải cùng

pha với nhau.
Xét trường hợp hai nguồn có cùng pha : 2πft
Pha của sóng tại A do B truyền đến :
Pha của sóng phản xạ tại A :
Điều kiện cùng pha của u
A
và u'
BA
cho ta :
2
π
ft
−
2
π

AB
λ
2
π
ft
−
2
π

AB
−

π
λ

−
2
π

AB
−

π

=

−
2n
π
→
AB
=



n
+

1


λ
;
n
∈

N
λ

2



Bằng cách lập luận tương tự, ta dễ dàng chứng minh được điều kiện để hình ảnh giao thoa ổn
định trong trường hợp hai nguồn kết hợp không đồng bộ là:
AB
=



n
+

1
−

∆ϕ


λ

2
π





∆φ là độ lệch pha giữa nguồn A so với nguồn B.
Ý k i

ế n nh

ỏ c ủ

a c á nh

â n .
- Bài viết của thầy Quang Dương đã giúp chúng ta khi ra đề phải thận trọng về điều kiện
khoảng cách giữa hai nguồn. Không nên cho khoảng cách giữa hai nguồn là những giá trị bất kì nào
cũng được.
- Nhân bài viết này của thầy Dương tôi cũng mạn phép đưa ra một vấn đề nhỏ mà nhiều em
học sinh và một số bạn mới ra trường thắc mắc đó là « Bài toán giao thoa tìm số
đƣờng
(số điểm)
cực đại trên đoạn thẳng nối hai nguồn. Khi giải bất
phƣơng
trình để tìm số giá trị của k có lấy
dấu bằng trong bất đẳng thức hay không? »
Theo ý kiến của tôi là không thể lấy dấu bằng vì hai lí do :
+ Thứ nhất, trong toán học các đường hypebol không đi qua tiêu điểm mà ở hiện tượng giao
thoa hai nguồn sóng đóng vai trò là hai tiêu điểm của các đường hypebol cực đại, cực tiểu.
w

w w

. T a

iLi eu L u y

e n T hi . c o m
+ Thứ hai, như lập luận trong bài viết của thầy Quang Dương, khoảng cách giữa hai nguồn
phải thỏa mãn điều kiện nhất định như ở trên.
Nếu các bạn để ý, B à i

8 .

4

– s ác h

b à i

t

ậ p

v ậ t

lí

12

– b a n c ơ b ả n đã cho một bài rất điển hình
về vấn đề có lấy cực đại qua nguồn hay không ? Và câu trả lời là không.
Bài v i

ế t s ố 2
GIAO THOA SÓNG VỚI HAI NGUỒN LỆCH PHA BẤT KÌ
Bài toán mở đầu
Cho hai nguồn A, B dao động với phương trình lần lượt là: u
1
= acos(10π.t) ; u
2
= acos(10π.t
+ π/3). Cho vận tốc truyền sóng v = 20cm/s và khoảng cách hai nguồn L = 16,8cm. Tính số điểm
dao động với biên độ cực đại, cực tiểu trong miền giao thoa.
Lời giải
Cách

1
* Bước sóng : λ = v/f = 4cm.
- Độ lệch pha của hai sóng tại một điểm:
∆ϕ

=


10
π
t
−

2
π
d
1



−


10
π
t
+

π

−

2
π
d
2


=

2
π

(
d
2
−
d

1
)

−

π
(1)

λ


3
λ

λ
3
  

- Điểm có biên độ dao động cực đại thỏa mãn điều kiện : ∆ϕ = 2kπ ; k
∈

Z
- Từ (1) và (2) ta có : d
2
– d
1
= (k + 1/6)λ (3)
(2)
w

w w

. T a

iLi eu L u y

e n T hi . c o m
- Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có
−AB < d
2
− d
1
<
AB
(
4
)
1 2
2 1
1 2
1 2
2 1
1 2
1 2
d
- Từ (3) và (4) ta được
−

AB
−

1
<
k
<

AB
−

1
→

−
4,
37
<
k
<

4,

03
λ 6 λ
6
Cách

2
Như vậy, k có 9 giá trị nên có 9 đường cực đại.
* Làm tương tự với các đường cực tiểu.
* Hai nguồn phát sóng cùng tần số, cùng biên độ:

u
S
1
=

A

c
os

(
ω
t

+

ϕ
1
)
(2.1)
u
S
2
=

A

c
os

(
ω
t

+

ϕ
2
)
(2.2)
* Xét điểm M thuộc vùng giao thoa sao cho S
1
M = d
1
và S
2
M = d
2
Phương trình sóng từ S
1
và S
2
truyền tới M
u
=

A

cos



ω
t
+

ϕ

−

2
π
d
1

M
1

1
λ

 
d
2
1
u
=

A

cos



ω
t
+

ϕ

−

2
π
d
2

l
2

2
λ

S
1
S
2


*Tại M, phần tử môi trường đồng thời nhận được hai sóng từ S

1
, S
2
truyền tới. Hai sóng này
thỏa mãn điều kiện của hai sóng kết hợp. Phần tử môi trường tại M thực hiện đồng thời hai dao động
điều hòa cùng phương, cùng tần số.
u
=
A cos


ω
t
+

ϕ

−

2
π
d
1


+
A cos


ω

t
+

ϕ

−

2
π
d
2

M

1
λ
 
2
λ

   


ϕ

−

ϕ
π

(
d
−
d
)

 
ϕ

+

ϕ
π

(
d
+
d
)


= 2A cos + cos ωt + −

2
λ
 
2
λ

   



∆ϕ
π

(
d
−
d
)

 
ϕ

+

ϕ
π

(
d
+
d
)


= 2A cos + cos ωt + −
(2.3)


2
λ
 
2
λ

   
a. Biên độ sóng tại M:


π

(
d
2

−

d
1

)
∆ϕ


u =
2A
cos
+
(2.4)

M

λ
2

b. Pha dao động tại M:


ϕ
1
+

ϕ
2
π

(
d
1

+
d
2
)
Pha dao động tại M = ωt +
−
2 λ
(2.5)
c. Điều kiện M thuộc cực đại, cực tiểu:
* M thuộc cực đại

(
A
)


π

(
d
2

−

d
1

)
∆ϕ


⇔ cos + =
±1
M
max

λ
2




2π

∆ϕ


d
2
−
d
1
=



k
−


λ
 
(2.6)
*M thuộc c ực t i

ể u
(
A
)


π

(
d
2

−

d
1

)
∆ϕ


⇔ cos + =
0
M
min

λ
2



d
2
−
d
1
=

(
2k

+
1
)
λ

−

∆ϕ

λ
2
2π
(2.7)
4. Khoảng cách giữa các cực đại, cực tiểu giao thoa
* Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
+ Gốc O trùng trung điểm của hai nguồn S
1
S
2
S
1
+ Chiều dương từ trái sang phải.
Xét điểm M có tọa độ x:
l
l
x

M
O S
2
x
d
1
d
2
d
1
=

2
+
x
và
d
1
− d
2
=
2x
Nếu M thuộc cực đại :
d
2
=

2
−

x
∆ϕ
(
1
)
d
2
−
d
1
=
2x
=
k.
λ

−

2
π

λ
⇔
x
=



k
−

∆ϕ



λ
(
2
)

2
π



2


Nếu M thuộc cực tiểu :
d
2
−
d
1
=
2x '
=

(
2k

+

1
)
.
λ

−

∆ϕ

λ
2 2π
2
⇔
x '
=

(
k
+

0,

5
)

λ

−

∆ϕ

λ
2
2π
2
(
3
)
Vậy dễ thấy - Khoảng cách giữa hai cực đại liên tiếp bằng
λ
2
- Khoảng cách giữa hai cực tiểu liên tiếp bằng
λ
2
Kết lu

ận
- Khoảng cách giữa cực đại và cực tiểu liền kề bằng
λ
4
- Cách 2 có thể dùng để giải nhanh bài toán trắc nghiệm nếu:
Gọi ∆φ là độ “sớm pha” của nguồn 2 so với nguồn 1. (∆φ có giá trị đại số)
* Số đường cực đại được tính bởi :
−

AB
−

∆ϕ

<
k
<

AB
−

∆ϕ
λ 2π λ
2π
* Số đường cực tiểu được tính bởi :
−

AB
−

∆ϕ

−

1
<
k
<

AB
−

∆ϕ

−

1
Chú

ý 1
λ 2π
2
λ 2π
2
- Công thức tính độ lệch pha của hai sóng tới một điểm trong vùng giao thoa :
2
1
2
π

(
d
−
d
)
∆ϕ

= +

(
ϕ

−

ϕ

)
λ
- ĐK điểm đó cực đại :
2
1
∆ϕ = 2kπ ; k
∈

Z
- ĐK điểm đó cực tiểu :
∆ϕ

=

(
2k

+
1
)

π
; k
∈

Z
- ĐK vuông pha :
∆ϕ

=

(
2k

+

1
)

π

; k
∈

Z
2
Chú

ý 2
- Điều kiện cực đại TQ :
d
2
−
d
1

=
k
λ

+

ϕ
2
−

ϕ
1
.
λ
2π
- Điều kiện cực tiểu TQ :
d
2
−

d
1
=

(
2k

+
1
)

λ

+

ϕ
2
−

ϕ
1
.
λ
2
2π
S
( )
( )
Bài v i

ế t s ố 3
"Tìm số điểm thuộc miền giao thoa thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
cực đại (cực tiểu) và cùng pha
(ngƣợc
pha)"
Bài 1: Trên mặt chất lỏng có hai nguồn kết hợp phát ra hai dao động
u
S
1
= a cos ωt và

u
=

a
sin
ω
t . Khoảng cách giữa hai nguồn S
1
S
2
= l = 2,75λ. Hỏi trên đoạn S
1
S
2
có mấy điểm cực
2
đại, dao động cùng pha với nguồn u
S1
?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Gợ i ý
- Phương trình sóng tại điểm M bất kì trên S
1
S
2
cách S
1
, S
2
khoảng d

1
, d
2
là:
u
=
a
cos



ω
t
−

2
π
d
1


+
a
cos



ω
t
−

π

−

2
π
d
2

M

λ


2
λ

  



π
π

(
d
2

−

d
1
)

 
π

(
d
1

+
d
2
)
π


u = 2a cos + cos ωt −
−
M


4
λ


λ
4


  

- Mà d
1
+ d
2
= S
1
S
2
= 2,75λ. Do đó


π
u = 2a cos
+
π

(
d
2
−
d
1
)


cos

(

ω
t

−

3
π
)
M


4
λ





π
π

(
d
2

−
d
1
)


u = −2a cos + cos
ωt
M


4
λ



M cùng pha với nguồn, M thuộc cực đại giao thoa


π
π

(
d
2
−
d
1
)


π
π

(

d
2
−
d
1
)
⇔ cos + =
−1
⇔ + = 2k
+
1
π


4
λ

4
λ


⇔ d −
d
=



2k
+

3


λ
2 1

4



* Theo bất đẳng thức trong tam giác :
⇔ −S S < d
−
d
=



2k
+

3


λ

<
S S
1 2 2 1


4

1 2
 
⇔

−
2, 75
λ

<



2k
+

3


λ

<
2, 75
λ

4

 
→ −1, 75 < k < 1 → k = −1; 0

Vậy, có hai điểm dao động cùng pha với S
1
và thuộc cực đại giao thoa.
S
2
S
2
( )
Bài 2: Trên mặt chất lỏng có hai nguồn phát ra sóng kết hợp có phương trình là

π



π


u
=
a
c
os



ω
t
−


và
1


u
=
a
cos



ω
t
+


. Khoảng cách giữa hai nguồn là l = S
1
S
2
= 3,6λ. Trong
2


đoạn S
1
S
2
có mấy điểm cực đại của sóng có dao động cùng pha với nguồn S
1

?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Gợ i ý


π

(
d
2

−
d
1
)
π


 π

(
d
1

+
d
2
)



- Phương trình sóng tại M :
u
M
= 2a
cos


λ
−


cos



ωt −

2
λ
  

d
1
+
d
2
=
S
1
S

2
=

3,

6
λ


π

(
d
2

−
d
1
)
π


u = 2a cos − cos ωt
−

3,

6π
M


λ
2



Do đó, pha ban đầu của M chi có thể là - 3,6π hoặc – 4,6π chứ không thể là – π/2 được.
Bài v i

ế t s ố 4
“Giao thoa tại một điểm nằm ngoài khoảng giữa hai nguồn”
Đặt

vấn

đ

ề : Hai nguồn sóng kết hợp S
1
và S
2
cùng biên độ , đồng thời gửi tới một điểm M trên
đường thẳng S
1
S
2
và ở ngoài đoạn S
1
S
2
. Dao động tổng hợp tại M có biên độ bằng biên độ của từng

w

w w

. T a

iLi eu L u y

e n T hi . c o m
dao động thành phần mà M nhận được. Cho biết tần số sóng f = 1Hz , vận tốc truyền sóng v =
12cm/s , coi biên độ sóng không đổi . Khoảng cách S
1
S
2
là :
A.10cm B . 4

c m C.2cm D.6cm
Gợ i ý
Nói chung vấn đề về giao thoa ngoài
d
khoảng hai nguồn có rất ít tài liệu đề cập
đến, gần như từ trước tới giờ các SGK
không sách nào đề cập tới vấn đề này, thậm
chí một số sách nâng cao, tìm hiểu sâu cũng
không nói tới.
M S S
d
Dựa trên tham khảo sách thầy Vũ Thanh Khiết (cuốn nào?), có thể làm như sau:
- Viết phương trình sóng tại M do hai nguồn truyền tới.



π

(
d
2

−
d
1
)



π

(
d
1
+
d
2
)


u
M
=

2A

cos


λ


cos



ω
t
−

λ
  



π

(
d
2

−
d
1

)

- Biên độ sóng tại M :
A
M
=
2A

c
os


λ

 


π

(
d
2

−
d
1
)


π

S
1
S
2
1
- Theo đề bài : A
M
=
2A

cos


λ


= A →
cos
12
= → S
1
S
2
=
4

cm
2



L

ờ i

b

àn : Tại điểm M nằm trên đường thẳng và ngoài đoạn S
1
S
2
như trên thì không có giao thoa
sóng được vì sóng của S
2
muốn tới M thì phải đi qua S
1
, tại đây S
1
là nguồn sóng tạo ra bởi vật rung
có kích thước nên không truyền qua nguyên vẹn (có thể bị phản xạ, tán xạ, nhiễu loạn ) nên sóng
do S
2
gửi tới M không biết trước quy luật, do vậy không xét giao thoa ở đây đ
ƣ
ợc.
Vấn đề này còn có nhiều tranh cãi !
Bài viết số 5.
A. Kiến thức cơ bản.
1. Sự phản xạ của sóng.
SÓNG DỪNG
Khi sóng gặp một vật cản hoặc điểm cuối của môi trường có sóng truyền tới thì ít nhất một

phần của sóng bị phản xạ lại.
a) Phản xạ của sóng trên vật cản cố định
- Thực nghiệm cho thấy, khi phản xạ trên
vật cản cố định biến dạng bị đảo chiều. P
Tại sao khi phản xạ trên vật cản cố định,
biến dạng bị đảo chiều?
Khi biến dạng (xung) tới đầu Q, nó tác
P
dụng một lực hướng lên vào giá đỡ (tường). Theo định
luật 3 niutơn, giá đỡ tác dụng một lực bằng và ngược
Q
a)
b)
Q
chiều vào dây. Phản lực này sinh ra một xung tại giá đỡ. Xung này truyền trên dây theo chiều ngược
với xung tới. Trong phản xạ này, phải có một nút tại giá đỡ, vì dây bị giữ cố định tại đó. Xung tới và
xung phản xạ trái dấu nhau, để chúng triệt tiêu lẫn nhau tại điểm đó.
Vậy, khi phản xạ trên vật cản cố định, sóng phản xạ luôn ngược pha với sóng tới ở
điểm phản xạ.
b) Phản xạ của sóng trên vật cản tự do
- Thực nghiệm cho thấy, khi phản xạ trên
vật cản tự do biến dạng của dây không bị đảo chiều.
P
Q
Tại sao khi phản xạ trên vật cản tự do,
a)
biến dạng không bị đảo chiều?
P
Q
Nếu điểm cuối dây để tự do thì nó không

b)
chịu lực kéo lại của giá đỡ hay của phần dây sau nó, nên
nó dịch chuyển vượt quá biên độ bình thường của sóng. Điểm cuối của dây kéo dây lên phía trên và
lực kéo này làm phát sinh một xung phản xạ đồng pha với xung tới.
Vậy, khi phản xạ trên vật cản tự do, sóng phản xạ luôn cùng pha với sóng tới ở
điểm phản xạ.
2. Sóng dừng
a) Định nghĩa : Sóng truyền trên sợi dây đàn hồi trong trường hợp xuất hiện các
nút và các bụng gọi là sóng dừng.
Sóng dừng được hình thành là kết quả của sự giao thoa sóng tới và sóng phản xạ.
Nhứng điểm trên dây, tại đó các sóng triệt tiêu nhau thì không dao động và được gọi là nút. Những
điểm tại đó các sóng đồng pha với nhau thì dao động với biên độ cực đại và được gọi là bụng.
Những nút và bụng xen kẽ, cách đều nhau.
b) Giải thích sự tạo thành sóng dừng trên dây.
Xét dao động của một phần tử tại
điểm M trên dây cách đầu cố định B một khoảng MB
= d. Giả sử vào thời điểm t, sóng tới đến B và truyền
tới đó một dao động có phương trình dao động là :
Sóng tới
B
A
d
M
Sóng phản xạ
u
B
u
B
=
A

cos ωt =
A
cos
2πft
Chọn gốc tọa độ tại B, chiều dương là chiều từ B đến M.
Phương trình sóng tới tại M:
(3.1)
u
=
A cos


ω
t
+

2
π
d

M

λ



Phương trình sóng phản xạ tại B :
'
= −A cos
(

ωt

)

= A cos
(
2πft
−
π
)
Phương trình sóng phản xạ tại M :
u
'
=
A cos


2
π
ft
−

π

−

2
π
d


(3.2)
M

λ



Như vậy, tại M đồng thời nhận được hai dao động cùng phương, cùng tần số. Do đó,
dao động tại M là tổng hợp của hai dao động do sóng tới và sóng phản xạ truyền đến :
u =
u
+

u
'
=

A

cos



2
π
ft
+

2
π

d


+

A

cos



2
π
ft
−

π

−

2
π
d

M M

λ

 
λ


  

u
=
2A cos


2
π
d
+

π



cos


2
π
ft
−

π


(3.3)


λ
2
 
2

* Biên độ sóng tại M :
  

A
=

2A

c
os



2
π
d
+

π


(3.4)
M


λ
2



Biên độ này phụ thuộc khoảng cách d từ M đến B (đầu cố định của dây).
λ
nút.
+ Nếu khoảng cách
d
=

k
2
thì theo (3.4) biên độ dao động tại M bằng 0, tại M có một
d
=



k
+

1


λ
+ Nếu khoảng cách

2



2
thì theo (3.4) biên độ dao động tại đó đạt giá


trị cực đại, ở đó có một bụng sóng.
c) Khoảng cách giữa nút và bụng trong sóng dừng
- Hai nút liên tiếp cách nhau một khoảng bằng
λ
2
- Hai bụng liên tiếp cách nhau một khoảng bằng
λ
2
- Khoảng cách giữa bụng sóng và nút sóng liền kề bằng
λ

.
4
3. Đặc điểm của sóng dừng
a. Sự truyền năng
lƣợng
trong sóng dừng (tham khảo VLTT – 106)
Tại sao gọi là sóng dừng? Có phải do năng lượng không truyền đi mà dừng lại? Nếu
dừng lại thì dừng lại ở đâu? Nếu có truyền đi thì truyền như thế nào? Ta hãy xem xét vấn đề này.
- Nút luôn đứng yên nên nó không thực hiện công. Do đó năng lượng không truyền
qua được nút. Bụng không biến dạng, sức căng dây tại bụng bằng 0, nên bụng cũng không thực
hiện công. Do đó, năng lượng cũng không truyền được qua bụng. Như vậy, năng lượng của mỗi
đoạn dây dài bằng 1/4 bước sóng có một đầu là nút, đầu kia là bụng thì không đổi. Nói cách khác,
năng lượng “dừng” trong mỗi đoạn dây như vậy. Năng lượng của mỗi đoạn dây là không đổi, không

có sự truyền năng lượng từ đoạn dây này sang đoạn dây kia.
- Trong mỗi đoạn dây có sự truyền năng lượng không? Có sự biến đổi từ động năng
sang thế năng không? Có sự truyền năng lượng từ điểm này sang điểm khác của mỗi đoạn dây mà ta
xét. Nếu trong 1/4 chu kì, năng lượng truyền từ trái sang phải ví dụ từ nút tới bụng thì trong 1/4 chu
kì tiếp theo năng lượng truyền từ phải sang trái, từ bụng tới nút.
- Tóm lại : Năng lượng “dừng” trong mỗi đoạn dây dài 1/4 bước sóng có một đầu là
nút, một đầu là bụng. Năng lượng không truyền ra khỏi đoạn dây cũng như không truyền vào đoạn
dây qua nút và bụng. Mặt khác, trong mỗi đoạn dây thì năng lượng lại truyền qua lại từ đầu này tới
đầu kia, đồng thời có sự chuyển đổi qua lại giữa động năng và thế năng. Vì thế, khi xét về sự bảo
toàn năng lượng, đoạn dây tương đương con lắc lò xo.
b. Sự dao động của các điểm trên dây khi có sóng dừng
- Trên đoạn dây, trong điều kiện lí tưởng, các nút hoàn toàn đứng yên, các điểm còn
lại vẫn dao động với vận tốc dao động (cần phân biệt được tốc độ dao động của phần tử môi trường
với tốc đột truyền sóng).
- Thời gian giữa hai lần sợi dây duỗi thẳng liên tiếp là
T
2
(Khi dây duỗi thẳng, li độ
của bụng = 0. Thời gian giữa hai lần liên tiếp li độ bụng sóng = 0 là một nửa chu kì).
c. Tính tuần hoàn của sóng dừng
* Tính tuần hoàn theo không gian:
- Biên độ của phần tử vật chất tại một điểm khi có sóng dừng:
A
=
2A
cos



2

π
d
+

π


M

λ
2

2
π

=
T
2
π

=

λ
2
π
λ


Vậy, ta coi biên độ của phần tử môi trường dao động điều hòa với chu kì
. Trong trường hợp chỉ xét riêng biên độ, nó có thể có giá trị âm hoặc dương, nhưng

khi xét chung với phương trình sóng dừng thì biên độ luôn dương.
- Khi chỉ quan tâm tới biên độ, ta dùng thuật ngữ : “ Độ lệch pha biên độ”
dao động trong sóng dừng. Như vậy, trên sợi dây đàn hồi đang có sóng dừng ổn định cách nhau một
∆ϕ
=
2
π
d
khoảng d thì độ lệch pha biên độ là :
λ
.
Công thức trên sẽ rất tiện lợi trong việc tính biên độ tại một điểm trên dây đang có sóng dừng khi
biết khoảng cách từ nó tới điểm nút hoặc bụng. Khi xét tới độ lệch pha biên độ này ta không cần
quan tâm tới sớm pha hay trễ pha vì điều ta quan tâm là độ lớn của biên độ dao động.
* Tính tuần hoàn theo thời gian:
- Phương trình sóng dừng tại một điểm :
u
=
2A cos


2
π
d
+

π



cos


2
π
ft
−

π



λ
2
 
2

  

Dựa vào phương trình trên có thể nhận xét rằng : Các điểm trên sợi dây đàn
hồi khi có sóng dừng chỉ có thể CÙNG PHA hoặc NG
Ƣ
ỢC PHA.
- Xét hai điểm M, N trên sợi dây đang có sóng dừng ổn định với phương trình
lần lượt là
u
=
2A cos


2
π
d
1
+

π



cos


2
π
ft
−

π


M

λ
2
 
2

 



u
=
2A cos


2
π
d
2
+

π



cos


2
π
ft
−

π


N

λ

2
 
2

 



2A cos


2
π
d
1
+

π





2A cos


2
π
d
2

+

π




>

0
+ Khi


λ
2





λ
2


thì M, N cùng

 







pha dao động nghĩa là phương trình biên độ mang cùng 1 dấu (tức cùng âm hoặc cùng dương) thì
chúng dao động cùng pha.

2A cos


2
π
d
1
+

π





2A cos


2
π
d
2
+

π




<

0
+ Khi


λ
2





λ
2


thì M, N

 






ngược pha dao động nghĩa là biểu thức biên độ trái dấu nhau.
- Vị trí các điểm dao động cùng pha,
ngƣợc
pha
+ Các điểm đối xứng qua một bụng thì đồng pha (đối xứng với nhau qua
đường thẳng đi qua bụng sóng và vuông góc với phương truyền sóng). Các điểm đối xứng với nhau
qua một nút thì dao động ngược pha.
u
B
Q
N t
P
M
Hình v

ẽ:
- M, P đối xứng qua bụng B
nên cùng pha dao động. Dễ
P
thấy phương trình biên độ của
M và P cùng dấu. Suy ra, M
O
B
và P dao động cùng pha.
- M, Q đối xứng qua nút N nên
Q
M
ngược pha dao động. Dễ thấy
N
+ Các điểm thuộc cùng một bó sóng (khoảng giữa hai nút liên tiếp) thì dao

động cùng pha vì tại đó phương trình biên độ không đổi dấu. Các điểm nằm ở hai phía của một nút
thì dao động ngược pha vì tại đó phương trình biên độ đổi dấu khi
qua nút.
N
2
Mọi điểm thuộc bó sóng N
1
mN
2
có phương
M
trình biên độ mang cùng dấu dương. Vậy, chúng dao động cùng
P
pha.
n
m
Các điểm thuộc hai bó sóng liên tiếp N
1
mN
2
có biên độ mang dấu dương và bó sóng N
2
nN
1
có biên độ mang
dấu âm. Từ đó M và P dao động ngược pha.
N
1
4. Điều kiện để có sóng dừng
* Sợi dây có hai đầu cố định.

l
=
k
λ
2
với k = 1, 2, 3…
(3.5)
k bằng số bụng quan sát được = số bó sóng
* Sợi dây có hai đầu tự do.
l
=



k
+

1


λ

=
m
λ
với k = 1, 2,

2


2 4
(3.6)


3…
k bằng số bó sóng, m là số lẻ.
B. Các dạng bài tập
D ạ

ng 1 SỐ NÚT, SỐ BỤNG SÓNG DỪNG
*
P h

ƣ ơ n

g

ph



áp

1. Hai đ

ầu d

ây cố định
λ = v.T =
v

f
l
=
k
λ

⇒
k
=

2l
=
l
Theo (3.5) ta có :
2 λ
0,5λ
=


l

2

Vậy, số bụng, số nút :


S
b

l

0,

5λ
(3.11)

S
n
= S
b
+

1
Ví

d

ụ

1 : Sợi dây AB có chiều dài l = 16cm. Đầu B cố định, đầu A gắn vào cần rung với tần
số f = 50Hz. Vận tốc truyền sóng trên sợi dây là v = 4m/s. Số nút và số bụng xuất hiện trên
dây?
A. 5 nút, 4 bụng. B. 4 nút, 4 bụng.
C. 8 nút, 8 bụng. D. 8 nút, 9 bụng.
Gi

ải
* λ = v/f = 0,08 m.


S

b
l
=

4
0,

5λ
* Số bụng, nút :


S
n
= S
b
+
1 =
5
. Chọn A.
Ví

d

ụ

2 : Sợi dây AB có chiều dài l = 60cm. Đầu B cố định, đầu A gắn vào cần rung với tần
số f = 220Hz. Số bụng sóng xuất hiện trên dây là 4. Tính vận tốc truyền sóng trên dây?
A. 44m/s. B. 88m/s. C. 66m/s. D. 550 m/s.
Gi

ải
*
S
b
= =
4
→

λ

=

0,

3
(
m
)

→
v
=

66

(
m
/
s

)

. Chọn C
0,

5λ
Ví

d

ụ

3 : (ĐH_2011) Một sợi dây đàn hồi căng ngang, hai đầu cố định. Trên dây có sóng
dừng, tốc độ truyền sóng không đổi. Khi tần số sóng trên dây là 42Hz thì trên dây có 4 điểm
bụng. Nếu trên dây có 6 điểm bụng thì tần số sóng trên dây là
A. 252 Hz. B. 126 Hz. C. 28 Hz. D. 63 Hz.
Gi

ải
S
b
=
l
0, 5
λ
l
= 4 ↔
l
.f
1

0, 5.v
l
.f
=
4



→
f
=
63H
z
S
= =
4
↔

2


=
6

b
Chọn D.
0, 5
λ
0, 5.v
2. M ột đầu

c ố đ

ị nh

, m ột

đ

ầu

tự do
Theo (3.5) ta có :
l
=



k
+
1


λ

⇒
k
=

2l

=
l
Số bụng, số
=
nút :

2

2
λ
0,5λ