Tải bản đầy đủ (.doc) (5 trang)

PT BẬC HAI VÀ MỘT SỐ DẠNG BT CƠ BẢN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (178.79 KB, 5 trang )

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
A/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
I/ Khái niệm phương trình bậc hai một ẩn số:
Phương trình bậc hai một ẩn số (x) là phương trình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0 (với a, b, c

R và a

0)
II/ Cách giải phương trình bậc hai một ẩn số:
1. Dạng khuyết c (c=0) – Dạng ax
2
+ bx = 0:
ax
2
+ bx = 0

x.(ax+b)=0

0
0
0
x
x
b
ax b
x
a
=


=





+ =
= −


2. Dạng khuyết b (b=0) – Dạng ax
2
+ c = 0:
* Trường hợp c>0: phương trình vô nghiệm (vì khi đó ax
2
+ c > 0

x )
* Trường hợp c<0, ta có: ax
2
+ c = 0

2 2
ax
c
x
c
a
c x
a

c
x
a

= −


=− ⇔ = − ⇔

= − −


3. Dạng đầy đủ – Dạng ax
2
+ bx + c = 0 (với a, b, c

0 :
- Bước 1: Xác định hệ số a,b,c.
- Bước 2: Lập ∆ = b
2
- 4ac (hoặc ∆' = b'
2
– ac) rồi so sánh với 0
(Trong trường hợp ∆>0 (hoặc ∆'>0) ta tính

(hoặc tính
'∆
)
- Bước 3: Xác định và kết luận nghiệm theo bảng sau:
C«ng thøc nghiÖm C«ng thøc nghiÖm thu gän

∆ = b
2
- 4ac
-NÕu ∆ > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a
b
x
2
1
∆+−
=
;
a
b
x
2
2
∆−−
=
- NÕu ∆ = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp :

a
b
xx
2
21

==
- NÕu ∆ < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
∆' = b'

2
- ac (víi b’ =
2
b
2b')
- NÕu ∆' > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a
b
x
''
1
∆+−
=
;
a
b
x
''
2
∆−−
=
- NÕu ∆' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp:

a
b
xx
'
21

==

- NÕu ∆' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
* Chú ý: Nếu a.c < 0 thì phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt (trái dấu)
III/ Định lí Vi-ét:
1/ Vi-ét thuận: NÕu x
1
, x
2
lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a≠0) th×:
1 2
1 2
.
b
S x x
a
c
P x x
a


= + =




= =


2/ Vi-ét đảo: Hai sè u vµ v thỏa mãn u + v = S; u.v = P thì u,v là nghiệm của ph¬ng tr×nh:

x
2
- Sx + P = 0
(§iÒu kiÖn: S
2
- 4P ≥ 0)
3/ NhÈm nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0):
*/ NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x
1
= 1 ; x
2
=
c
a
*/ NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x
1
= -1 ; x
2
=
c
a

* Chỳ ý: Nếu x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình bậc hai ax
2

+ bx + c = 0 (a0) thì:
ax
2
+ bx + c = a(x-x
1
)(x-x
2
)
IV/ Gii cỏc phng trỡnh quy c v phng trỡnh bc hai:
1/ Phng trỡnh tớch:
( ) 0
( ). ( ) 0
( ) 0
A x
A x B x
B x
=

=

=

2/ Phng trỡnh cha n mu:
- Bc 1: Tỡm KX ca phng trỡnh (l K ca n tt c cỏc mu u khỏc 0)
- Bc 2: Qui ng v kh mu hai v
- Bc 3: Gii phng trỡnh nhn c trong bc 2
- Bc 4: i chiu giỏ tr n va tỡm c vi KX v kt lun nghim
3/ Phng trỡnh trựng phng: ax
4
+ bx

2
+ c = 0 ( a

0 )
+ t : x
2
= y

0 , ta cú PT ó cho tr thnh : ay
2
+ by + c = 0 (*)
+ Gii phng trỡnh (*)
+ Chn cỏc giỏ tr y tha món y

0 thay vo: x
2
= y

x=
y
+ Kt lun nghim ca phng trỡnh ban u
4/ Phng trỡnh sau khi t n ph quy v phng trỡnh bc hai:
+ t n ph, t iu kin ca n ph nu cú.
+ Gii phng trỡnh n ph.
+ Chn cỏc giỏ tr n ph tha món iu kin thay vo ch t suy ra giỏ tr n ban u.
+ Kt lun nghim ca phng trỡnh ban u.
V/ Cỏch gii mt s dng toỏn v phng trỡnh bc hai:
Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( trong đó

a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm.
Có hai khả năng để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm:
1. Hoặc a = 0, b 0
2. Hoặc a 0, 0 hoặc ' 0
Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc điều kiện 2.
Bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a, b, c
phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm phân biệt.
Điều kiện có hai nghiệm phân biệt



>

0
0a
hoặc



>

0
0
'
a
Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax

2
+ bx + c = 0 ( trong
đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:




=
0
0
b
a
hoặc



=

0
0a
hoặc



=

0
0
'

a
Bài toán 4: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( trong
đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép.
Điều kiện có nghiệm kép:



=

0
0a
hoặc



=

0
0
'
a
Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( trong
đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:




<

0
0a
hoặc



<

0
0
'
a
Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( trong
đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:




=
0
0
b
a
hoặc




=

0
0a
hoặc



=

0
0
'
a
Bài toán 7 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a, b, c
phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm cùng dấu.
Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu:






>=


0
0
a
c
P
hoặc





>=

0
0
'
a
c
P
Bài toán 8 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a, b, c
phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm dơng.
Điều kiện có hai nghiệm dơng:











>=
>=

0
0
0
a
b
S
a
c
P
hoặc









>=
>=

0

0
0
'
a
b
S
a
c
P
Bài toán 9 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( trong
đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm âm.
Điều kiện có hai nghiệm âm:










<=
>=

0
0
0

a
b
S
a
c
P
hoặc









<=
>=

0
0
0
'
a
b
S
a
c
P
Bài toán 10 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax

2
+ bx + c = 0 ( a, b,
c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm trái dấu.
Điều kiện có hai nghiệm trái dấu:
P < 0 hoặc a.c<0.
Bài toán 11 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (*) ( a,
b, c phụ thuộc tham số m) có một nghiệm x = x
1
.
Cách giải:
- Thay x = x
1
vào phơng trình (*) ta có: ax
1
2
+ bx
1
+ c = 0 m
- Thay giá trị của m vào (*) x
1
, x
2
- Hoặc tính x
2
= S - x
1
hoặc x
2

=
1
x
P
Bài toán 12 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a, b, c
phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn các điều kiện:
a.

=+
21
xx
b.
kxx
=+
2
2
2
1
Điều kiện chung: 0 hoặc ' 0 (*)
Theo định lí Viet ta có:








==
=

=+
)2(.
)1(
21
21
P
a
c
xx
S
a
b
xx
a. Trờng hợp:

=+
21
xx
Giải hệ






=+

=+

21
21
xx
a
b
xx
Thay x
1
, x
2
vào (2) m
Chọn các giá trị của m thoả mãn (*)
b. Trờng hợp:
kxxxxkxx
=+=+
21
2
21
2
2
2
1
2)(

Thay x
1

+ x
2
= S =
a
b

và x
1
.x
2
= P =
a
c
vào ta có:
S
2
- 2P = k Tìm đợc giá trị của m thoả mãn (*)
B/ BI TP:
Dng 1: Gii phng trỡnh:
Bi 1: Gii phng trỡnh
a) 2x
2
+ 5x = 0 b) x - 6x
2
= 0 c) 2x
2
+ 3 = 0 d) 4x
2
-1 = 0
e) 2x

2
+ 5x + 2 = 0 f) 6x
2
+ x + 5 = 0 g) 2x
2
+ 5x + 3 = 0 h)
2
25x 20x 4 0 + =
i)
2
3x 2 3x 2 0 =
j)
( )
2
3x 3 2 x 2 0+ =
k)
( )
2
x 2 3 x 2 3 0 + + =
Bi 2: Gii phng trỡnh
a) 3x
4
+ 2x
2
5 = 0 b) 2x
4
+ x
2
7 = 0 c)
4 2

3x 5x 2 0 =
Bi 3: Gii phng trỡnh
a) 16 x
3
5x
2
x = 0 b)
( ) ( )
2 2
2 2
x 3x 5 2x 1 0+ =
c)

+ =
+
3x 2 6x 5
x 5 x 5 4
d)
( ) ( )
2
x 3x 5 1
x 3
x 3 x 2
+
=

+
e)
7
16

2
1
2
1
=


+
xx
Bi 4: Gii phng trỡnh
a) x 7
x 1 0 =
b)
x 5 5 x 1 0+ =
c)
( ) ( )
2
2 2
2x x 13 2x x 12 0+ + + =
d)
( ) ( )
2
2 2
8x 2x 11 2 8x 2x 11 3 0 + + + + =
e) ( x 6)
4
+ (x 8)
4
= 16
f) (x

2
3x 1 )
4
13x
2
(x
2
3x 1)
2
+ 36x
4
= 0
Dng 2: Khụng gii phng trỡnh tớnh tng, tớch hai nghim; tớnh nghim cũn li khi bit trc
mt nghim ca PTBH:
Bi 1: Cho phng trỡnh:
2
x 8x 15 0 + =
, khụng gii phng trỡnh hóy tớnh:
a)
1 2
x x+
b)
1 2
.x x
c)
2 2
1 2
x x+
d)
( )

2
1 2
x x+
e)
1 2
1 1
x x
+
f)
1 2
2 1
x x
x x
+
Bi 2: Cho phng trỡnh:
2
x 3x 15 0+ + =
, khụng gii phng trỡnh hóy tớnh:
a)
1 2
x x+
b)
1 2
.x x
Bi 3: a) Cho phng trỡnh:
2
x 2mx 5 0 + =
cú mt nghim bng 2, hóy tỡm m v tớnh nghim cũn li.
b)Cho phng trỡnh:
2

x 5x q 0+ + =
cú mt nghim bng 5, hóy tỡm q v tớnh nghim cũn li.
x
1
, x
2
Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm:
Bài 1: Tìm hai số u và v biết:
a) u+v=3 và u.v=2 b) u+v= -3 và u.v=6 c) u-v=5 và u.v=36 d) u
2
+v
2
=61 và u.v=30
Bài 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
a)
1
8x =

2
3x =
b)
1
5x =

2
7x = −
c)
1
1 2x = +


2
1 2x = −
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn về sự có nghiệm của phương trình bậc hai:
Bài 1: Cho phương trình:
2
x 2x m 1 0− + − =
, tìm m để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt.
b) Có nghiệm kép.
c) Vô nghiệm.
d) Có hai nghiệm trái dấu.
e) Có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn
2 2
1 2
5x x+ =
Bài 2: Cho phương trình:
2
3x 2x m 1 0− − + =
, tìm m để phương trình:
a) Có nghiệm .
b) Có hai nghiệm trái dấu.
c) Có hai nghiệm dương.
Dạng 5: Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt (có nghiệm kép; vô
nghiệm) với mọi tham số:
Bài 1: a) Chứng minh rằng phương trình:
2 2

x 2x m 4 0− − − =
luôn có hai nghiệm phân biệt

m.
b) Chứng minh rằng phương trình:
( )
2
x 2 m 1 x m 4 0− + + − =
luôn có hai nghiệm phân biệt

m.
c) Chứng minh rằng phương trình:
( )
2
x 2 m 2 x 4m 12 0+ + − − =
luôn có nghiệm

m.
d) Chứng minh rằng phương trình:
( )
2 2 2 2 2 2
c x a b c x b 0+ − − + =
vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh
của một tam giác.
Dạng 6: Toán tổng hợp:
Bài 1: Cho phương trình:
( )
2
x 2 m 1 x 4m 0− + + =
.

a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
d) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn: x
1
= 2x
2
.
e) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2
5x x+ =
.
f) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
sao cho A=
2 2
1 2 1 2
2 2 .x x x x+ −
đạt giá trị nhỏ

nhất.

×