Bài tập hình học giải tích lớp 12

Bi tp hỡnh hc gii tớch lp 12
I) mở đầu và các khái niệm cơ bản:
Câu 1: Cho ba véct
r
a
= (2; -5; 3)
b
r
= (0; 2; -1)
c
r
= (1; 7; 2). Tính tọa độ của các
véct sau:
a)
u
r
= 4
r
a
-
1
3
b
r
+ 3
c
r
b)
v
r
= 5

r
a
- 2
b
r
+ 7
c
r
c)
w
ur
= 12
r
a
+ 19
b
r
- 3
c
r

Câu 2: Hãy biểu diễn
r
a
theo các véct
u
r
,
v
r

,
w
ur
.
a)
r
a
= (3; 7; -7),
u
r
= (2; 1; 0),
v
r
= (1; -1; 2)
w
ur
= (2; 2; -1)
b)
r
a
= (8; 9; -1),
u
r
= (1; 0; 1),
v
r
= (0; -1; 1)
w
ur
= (1; 1; 0)

Câu 3: Cho
r
a
= (1; -3; 4)
a) Tìm y và z để
b
r
= (2; y; z) cùng phơng với
r
a

b) Tìm tọa độ của véct
c
r
biết rằng
r
a
và
c
r
ngợc hớng và
c 2 a=
r r
Câu 4: Bộ ba điểm nào sau đây thẳng hàng
a) A(1; 3; 1), B(0; 1; 2), C(0; 0; 1) b) A(1; 1; 1), B(-4; 3; 1), C(-9;
5; 1)
Câu 5: Chứng minh rằng 4 điểm A(3; -1; 2) B(1; 2; -1) C(1; 2; -1) D(3; -5; 3) là
bốn đỉnh của một hình thang
Câu 6: Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB, trọng tâm G của ABC, trọng tâm J
của tứ diện ABCD khi biết tọa độ các đỉnh A, B, C, D

a) A(1; 2; -3), B(0; 3; 7), C(12; 5; 0), D(9; -6; 7)
b) A(0; 13; 21), B(11; -23; 17), C(1; 0; 19), D(-2; 5; 5)
Câu 7:Cho A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2), C(1; 2; -3)
a) Xác định D sao cho ABCD là hình bình hành
b) Tìm tọa độ giao điểm hai đờng chéo
Câu 8: Cho hình hộp ABCDABCD có A(3; -1; 6) B(-1; 7; -2) D(5; 1; 6). Xác
định tọa độ
a) Tâm của hình hộp b) Đỉnh C
Câu 9:Tìm
u
r
biết rằng
a)
u
r
thỏa mãn đồng thời 3 phơng trình:
r
a
.
u
r
= -5;
u
r
.
b
r
= -11;
u
r

.
c
r
= 20 biết
r
a
= (2; -1; 3),
b
r
= (1; -3; 2),
c
r
= (3; 2; -4)
b)
u
r
vuông góc với cả hai véct
r
a
= (2; 3; -1)
b
r
= (1; -2; 3) và thỏa mãn:
u
r
.
c
r
= -6 với
c

r
= (2; -1; 1)
Câu 10: a) Tìm điểm E trên trục Oy cách đều hai điểm A(3; 1; 0), B(-2; 4; 1)
b) Tìm điểm F trên trục Ox cách đều hai điểm M(1; -2; 1) N(11; 0; -7)
Câu 11: Tìm điểm M cách đều ba điểm A, B, C. Nếu biết
a) M (Oxz) và A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1)
b) M (Oxy) và A(-3; 2; 4), B(0; 0; 7), C(-5; 3; 3)
GV: Phan quan xung
Trang: 1
C©u 12: TÝnh gãc t¹o thµnh bëi c¸c cỈp c¹nh ®èi cđa tø diƯn ABCD biÕt: A(1; 0; 0),
B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1)
C©u 13: Chøng minh r»ng ∆ABC cã A(4; 1; 4) B(0; 7; -4), C(3; 1; -2) lµ tam gi¸c tï
C©u 14: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A’B’C’D’ c¹nh a. Gäi M, N, P, Q lÇn lỵt lµ
trung ®iĨm cđa c¸c c¹nh A’D’, D’C’, CC', A’A. Chøng minh r»ng bèn ®iĨm M, N, P,
Q cïng thc mét mỈt ph¼ng. TÝnh chu vi cđa tø gi¸c MNPQ theo a
C©u 15: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A’B’C’D’ c¹nh b»ng 1. Trªn c¸c c¹nh BB’ CD,
A’D’ lÇn lỵt lÊy c¸c ®iĨm M, N, P sao cho B’M = CN = D’P = x (0 < x < 1). Chøng
minh r»ng AC’ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (MNP)
C©u 16: Cho ∆ABC biÕt A(1; 0; 2) B(-2; 1; 1) C(1; -3; -2). Gäi D lµ ®iĨm chia ®o¹n
AB theo tû sè -2 vµ E lµ ®iĨm chia ®o¹n BC theo tû sè 2.
a) T×m täa ®é c¸c ®iĨm D, E
b) T×m coossin cđa gãc gi÷a hai vÐctơ
AD
uuur
vµ
AE
uuur

C©u 17: Cho A(1; -1; -3), B(2; 1; -2), C(-5; 2; -6). TÝnh ®é dµi ph©n gi¸c ngoµi gãc
A cđa ∆ABC

C©u 18: TÝnh:
a b;
 
 
r r
,
( )
a 3b b;
 
+
 
r r r
trong c¸c trêng hỵp sau:
a)
r
a
= (6; -2; 3),
b
r
= (5; 0; -3)
II) ph ¬ng tr×nh mỈt ph¼ng:
A/ Phương trình của mặt phẳng.
Câu 1: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng(α) đi qua 3 đ A(2; –5; 1),
B(3; 4; –2) C(0; 0; –1).
Câu 2: Cho điểm M(2; –1; 3) và mặt phẳng(α) có phương trình 2x –y + 3z –1
= 0.
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng(β) đi qua M và song song với mặt
phẳng(α).
Câu 3: Hãy lập phương trình mặt phẳng(α) đi qua 2 điểm M(7; 2; –3), N(5; 6; –
4) và song song vơi trục Oz.

Câu 4: Lập phương trình mặt phẳng(α) đi qua điểm M(2; –1; 2) và vuông góc
với các mặt phẳng: 2x – z + 1 = 0 và y = 0.
Câu 5: Lập phương trình mặt phẳng(α) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với các
mặt phẳng: 2x – y + 3z – 1 = 0 và x + 2y + z = 0.
Câu 6: Lập phương trình mặt phẳng(α) đi qua hai điểm A(1; –1; –2) B(3; 1; 1)
và vuông góc với mặt phẳng x – 2y + 3z – 5 = 0.
GV: Phan quan xung
Trang: 2
Câu 8: Tính khoảng cách từ điểm A(7; 3; 4) đến mặt phẳng(α) có phương trình:
6x – 3y + 2z –13 = 0.
Câu 9: Cho mặt phẳng(α): 2x – 2y – z – 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng(β)
song song với mặt phẳng(α) và cách mặt phẳng(α) một khoảng d = 5.
Câu 10: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với trục Oy.
b/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với đường thẳng AB với A(0; 2; –3)
và B(1; –4; 1).
c/ Đi qua M(1; 3; –2) và song song với mặt phẳng: 2x – y + 3z + 4 = 0.
Câu 11: Cho hai điểm A(2; 3; –4) và B(4; –1; 0). Viết phương trình mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng AB.
Câu 12: Cho ∆ABC, với A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3) và C(4; 5; 6). Viết phương
trình mặt phẳng(ABC).
Câu 13: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 2điểm P(3; 1; –1) và Q(2; –1; 4)
và vuông góc với mặt phẳng: 2x – y + 3z + 1 = 0.
Câu 14: Cho A(2; 3; 4). Hãy viết phương trình mặt phẳng(P) đi qua các hình
chiếu của A trên các trục tọa độ, và phương trình mặt phẳng(Q) đi qua các hình
chiếu của A trên các mặt phẳng tọa độ.
Câu 15: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(2; –1; 2), ssong với trục Oy
và vuông góc với mặt phẳng: 2x – y + 3z + 4 = 0.
Câu 16: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a/ Qua I(–1;–2;–5) và đồng thời ⊥ với hai mặt phẳng (P): x + 2y –3z +1 =

0 và (Q): 2x – 3y + z + 1 = 0.
b/ Qua M(2; –1; 4) và cắt chiều dương các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt
tại P, Q, R sao cho : OR = 2OP = 2OQ.
c/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y –12z – 3 = 0, (Q): 3x + y
– 7z – 2 = 0 và vuông góc với mặt phẳng(R): x + 2y + 5z – 1 = 0.
d/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 3y + 5z – 4 = 0, mặt
phẳng(Q): x – y – 2z + 7 = 0 và song song với trục Oy.
e/ Là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 1; 0), B(–1; 2; 3).
f/ mặt phẳng(X) nhận M(1; 2; 3) làm hình chiếu vuông góc của N(2; 0; 4)
lên trên mặt phẳng(X).
Câu 17: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) qua A(1; 1; 1) vµ
1) // Ox vµ Oy 2) // Ox vµ Oz 3) // Oy vµ Oz
Câu 18: ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) qua A(1; -1; 1) B(2; 1; 1) vµ // Ox
GV: Phan quan xung
Trang: 3
Câu 19: ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng qua AB vµ // CD
A(5; 1; 3) B(1; 6; 2) C(5; 0; 4) D(4; 0; 6)
Câu 20: Cho A(-1; 2; 3) (P): x - 2 = 0 (Q): y - z -1 = 0
ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) qua A vµ ⊥ (P); (Q)
B/ Vò trí tương đối của hai mặt phẳng.
Câu 1: Xác đònh m để hai mặt phẳng: Song song với nhau? Trùng nhau? Cắt
nhau?
a/ (P): 2x –my + 3z –6 + m = 0; (Q): (m+3)x –2y + (5m +1)z–10 = 0
b/ (P): (1– m)x + (m + 2)y + mz + 1 = 0;
(Q): 4mx – (7m + 3)y –3(m + 1)z + 2m = 0
Câu 2: Tìm điểm chung của ba mặt phẳng:
a/ x + 2y – z – 6 = 0; 2x – y + 3z + 13 = 0; 3x – 2y + 3z + 16 = 0
b/ 4x + y + 3z – 1 = 0; 8x – y + z – 5 = 0; 2x – y – 2z – 5 = 0
Câu 3: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; –2; 1), C(–4; 1; 1) và D(1; 1; –
3).

a/ Viết phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD).
b/ Tính góc giữa (ABC) và (ABD).
c/ Tìm phương trình mặt phẳng(P) chứa CD và // với vectơ
v
ur
= (m; 1–m;
1+m). Đònh m để mặt phẳng(P) vuông góc với mặt phẳng(ABC).
d/ Đònh m, n để mặt phẳng(P) trùng với mặt phẳng: 4x + ny + 5z + 1 – m
= 0.
Câu 4: Viết phương trình mặt phẳng qua M(0; 2; 0), N(2; 0; 0) và tạo với mặt
phẳngOyz một góc 60
0
.
Câu 5: Cho tứ diện ABCD với A(–1; –5; 1), B(2; –4; 1), C(2; 0; –3) và D(0; 2;
2).
a/ Lập phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD).
b/ Tính cosin của góc nhò diện cạnh AB, cạnh BC.
Câu 6: Cho đường thẳng MN biết M(–6; 6; –5), N(12; –6; 1). Viết phương trình
tổng quát của mặt phẳng chứa đường thẳng MN và // với trục Oz.
C/ Chùm mặt phẳng:
GV: Phan quan xung
Trang: 4
Câu 1: Cho 3 mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0; (Q): x + 3y –z + 2 = 0 và (R):
–2x + 2y+ 3z + 3 = 0.
a/ Chứng minh (P) cắt (Q).
b/ Viết phương trình mặt phẳng(S) qua giao tuyến của hai mặt phẳng(P),
(Q) và qua điểm M(1; 2; 1).
c/ Viết phương trình mặt phẳng(T) qua giao tuyến của hai mặt phẳng(P),
(Q) và song song với mặt phẳng(R).
d/ Viết phương trình mặt phẳng(U) qua giao tuyến của hai mặt phẳng(P),

(Q) và vuông góc với mặt phẳng(R).
Câu 2: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a/ Đi qua M(2; 1; –1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng có phương
trình: x – y + z – 4 = 0 ; 3x – y + z – 1 = 0.
b/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng: y + 2z – 4 = 0; x + y – z – 3 = 0
đồng thời song song với mặt phẳng: x + y + z = 0.
c/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng: 3y – y + z –2 = 0; x + 4y –5 = 0
đồng thời vuông góc với mặt phẳng: 2x – z + 7 = 0.
III) PH¦¥NG TR×NH MỈT CÇU:
C©u 1: C¸c ph¬ng tr×nh sau cã lµ ph¬ng tr×nh mỈt cÇu kh«ng? NÕu cã tìm tâm và
bán kính mặt cầu đó:
a/ x
2
+ y
2
+ z
2
– 8x + 2y + 1 = 0
b/ x
2
+ y
2
+ z
2
+4x + 8y – 2z – 4 = 0
c/ 3x
2
+ 3y
2
+ 3z

2
+ 6x – 3y + 15z – 2 = 0
d/ x
2
+ y
2
+ z
2
– 2mx – 4y + 2mz + 8 = 0
e/ x
2
+ y
2
+ z
2
– 2mx + my + 3z – 2 = 0
C©u 2: Lập phương trình mặt cầu (S) biết:
a/ Có tâm I(2; 1; –2) và qua A(3; 2; –1).
b/ Có đường kính AB, với A(6; 2; –5) và B(–4; 0; 7).
c/ Qua ba điểm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm nằm trên mặt
phẳngOxy.
d/ Có tâm I(6; 3; –4) và tiếp xúc với Oy.
e/ Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(1;
1; 1)
f/ Qua ba điểm A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) và có tâm nằm trên mặt
phẳngOyz.
C©u 3: Cho S(–3;1;–4), A(–3;1; 0), B(1; 3; 0), C(3;–1; 0), D(–3;–3;0).
a/ CMR: ABCD là hình vuông và SA là đ/cao của h/chóp S.ABCD.
GV: Phan quan xung
Trang: 5

b/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Iv) ® êng th¼ng trong kh«ng gian:
A/ Phương trình của đường thẳng.
Câu 1: Lập phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm
M(2; 0;–3) và nhận
(2; 3;5)a
→
= −
làm vectơ chỉ phương.
Câu 2: Lập phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M(–2; 6; –3) và:
a/ Song song với đường thẳng a:
x t
y t
z t
= +
= − −
= − −





1 5
2 2
1
b/ Lần lượt song song với các trục Ox, Oy, Oz.
Câu 3: Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d
đi qua hai điểm A(1; 0; –3), B(3, –1; 0).
Câu 4: Trong mặt phẳngOxyz cho 3 điểm A(–1; –2; 0) B(2; 1; –1) C(0; 0; 1).
a/ Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

b/ Tính đường cao CH của ∆ABC và tính diện tích ∆ABC.
c/ Tính thể tích hình tứ diện OABC.
Câu 5: Viết phương trình tam số, chính tắc, chính tắc của đường thẳng d biết:
a/ d qua M(2; 0; –1) và có vectơ chỉ phương là (–1; 3; 5).
b/ d qua M(–2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương là (0; 0; –3).
c/ d qua M(2; 3; –1) và N(1; 2; 4).
Câu 6: Viết phương trình của đường thẳng d biết:
a/ d qua M(4; 3; 1) và // với đường thẳng ∆:
x 1 2t
y 3t
z 3 2t
= +


= −


= +

b/ d qua M(–2; 3; 1) và song song với đường thẳng ∆:
x 2 2t
y 1
z 2 3t
= +


= −


= − +


c/ d qua M(1; 2; –1) và song song với đường thẳng ∆:
1
x 4t
3
10
y 7t
3
z 3t

= −



= − +


=



.
Câu 7: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
1 2 3
2 3 1
x y z− + −
= =
GV: Phan quan xung
Trang: 6
a/ Trên mặt phẳngOxy b/ Trên mặt phẳngOxz c/ Trên mặt

phẳngOyz
Câu 8: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
x 1 t
y 4 4t
z 1 2t
= − +


= +


= +


trên mặt phẳng: x + y + z – 7 = 0.
Câu 9: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a/ Đi qua điểm M(–2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y – 2z
= 0
b/ Đi qua điểm N(2; –1; 1) và vuông góc với hai đường thằng:
(d
1
):
y 1 z
x
1 2
+
= =
−
; (d
2

):
x 1 t
y 1 2t
z 0
= +


= − −


=

Câu 10: Cho A(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(6; 3; 7) và D(–5; –4; 8). Viết phương
trình tham số và chính tắc của:
a/ Đường thẳng BM, với M là trọng tâm của ∆ACD.
b/ Đường cao AH của tứ diện ABCD.
Câu 11: Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng(P):
x + 3y – z + 4 = 0 và vuông góc với đường thẳng d:
x 3 y
z
2 2
−
= =
tại giao điểm A
của đường thẳng d và mặt phẳng(P). KQ:
x 1 5t
y 2 3t
z 1 4t
= +



= − −


= − −

Câu 12: Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(3; 2; 1), vuông góc và
cắt đường thẳng d:
1
2 4 3
x y z +
= =
.
Câu 13: Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm (–4; –5; 3) và cắt cả hai
đường thẳng: (d
1
):
1 3 2
3 2 1
x y z+ + −
= =
− −
; (d
2
):
2 1 1
2 3 5
x y z− + −
= =
−

.
Câu 17: Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm (0; 0; 1),
vuông góc với đường thẳng (d
1
):
1 2
3 4 1
x y z− +
= =
và cắt đường thẳng (d
2
):
x 1
y t
z 1 t
= −


=


= +

.
Câu 18: Cho đường thẳng d:
1 1 2
2 1 3
x y z+ − −
= =
và mặt phẳng(P): x – y- z – 1 = 0.

a/ Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; –2),
song song với mặt phẳng(P) và vuông góc với d.
b/ Gọi N = d ∩ (P). Tìm điểm K trên d sao cho KM = KN.
GV: Phan quan xung
Trang: 7
Câu 19: Lập phương trình các đường thẳng giao tuyến của mặt phẳng: 5x – 7y
+ 2z – 3 = 0 với các mặt phẳng tọa độ. Tìm giao điểm của mặt phẳng đã cho
với các trục tọa độ.
Câu 20: Lập phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d:
a/ Đi qua điểm M(2; –3; –5) và ⊥ với mặt phẳng(α): 6x – 3y – 5z + 2 =
0.
b/ Đi qua điểm N(1; 4; –2) và // với các mặt phẳng : 6x + 2y + 2z + 3 = 0
và 3x – 5y – 2z – 1 = 0.
Câu 21: Lập phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d:
a/ Đi qua hai điểm A(1; –2; 1), B(3; 1; –1).
b/ Đi qua điểm M(1; –1; –3) và ⊥ với mặt phẳng(α): 2x – 3y + 4z – 5 =
0.
Câu 22: Cho đường thẳng a có phương trình:
x 3 y
z
2 2
−
= =
và mặt phẳng(α) có
phương trình: z + 3y – z + 4 = 0.
a/ Tìm giao điểm H của a và mặt phẳng(α).
b/ Lập phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng(α), đi qua điểm
H và vuông góc với đường thẳng a.
Câu 23: Cho đường thẳng a:
7

x t
5
51
y t
5
z t

= − −



= +


=



và mặt phẳng(α): 3x–2y + 3z + 16 = 0.
a/ Tìm giao điểm M của đường thẳng a và mặt phẳng(α).
b/ Lập phương trình của đường thẳng a’, với a’ là hình chiếu vuông góc
của đường thẳng a trên mặt phẳng(α).
Câu 24: Cho mặt phẳng(α) có phương trình: 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và mặt
phẳng(β) có phương trình: 3x – 5y – 2z – 1 = 0.
a/ Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(1; 4;
0) và song song với (α) và (β).
b/ Lập phương trình của mặt phẳng(γ) chứa đường thẳng d và đi qua giao
tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β).
c/ Lập phương trình của mặt phẳng(P) đi qua M và vuông góc với (α) và
(β).

Câu 25: Cho mặt phẳng(α) có phương trình: 2x – 3y + 3z – 17 = 0 và hai điểm
A(3; –4; 7), B(–5; –14; 17).
GV: Phan quan xung
Trang: 8
a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A và vuông góc
với (α).
b/ Hãy tìm trên α một điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến A
và B là bé nhất.
Câu 26: Cho đường thẳng d có phương trình:
x 4 2t
y 5t
z 2 7t
= −


=


= − +

.
a/ Hãy tìm giao điểm của đường thẳng a với các mặt phẳng tọa độ.
b/ Hãy tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
c/ Gọi M là giao điểm của đường thẳng a với mặt phẳng(α): x + y – z + 12
= 0. Hãy tính tọa độ M.
Câu 27: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): y + 2z = 0
và cắt hai đường thẳng:
1
4
x t

y t
z t
= −


=


=

;
2
4 2
1
x t
y t
z
= −


= +


=

.
Câu 28: Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng (d
1
):
3

1
5
x t
y t
z t
=


= −


= +

và cắt hai đường thẳng (d
2
):
x 4 5t
y 7 9t
z t
= − +


= − +


=

; (d
3
):

1 2 2
1 4 3
x y z− + −
= =
.
Câu 29: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1;–1; 1) và cắt hai
đường thẳng (d
1
):
x 2 t
y 3 2t
z t
= − +


= −


=

; (d
2
):
1 3
2 1 1
x y z− −
= =
−
.
Câu 30: Cho hai đường thẳng d:

1 1 2
2 3 1
x y z+ − −
= =
; d’:
2 2
1 5 2
x y z− +
= =
−
.
a/ CMR: d và d’ chéo nhau.
b/ Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung ∆ của d và d’.
Câu 31: Lập phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxz
và cắt hai đường thẳng (d
1
):
4
3
x t
y t
z t
=


= − +


= −


và (d
2
):
1 2
3
4 5
x t
y t
z t
= −


= − +


= −

.
Câu 32: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(0; 1; 1), vuông góc
với đường thẳng (d
1
):
1 2
3 1 1
x y z− +
= =
và cắt đường thẳng: (d
2
):
x 1

y 1 2t
z 2 2t
= −


= +


= +

.
GV: Phan quan xung
Trang: 9
Câu33: Lập p.t đờng thẳng d qua A(1; 2; 3) và với (d
1
):
x t
y 2 2t
z 3 2t
=


=


=

; (d
2
):

x 1 3t
y 1 t
z 2 2t
= +


=


= +


Câu34: Cho (d):
x 1 y 2 z 1
2 3 1
+
= =

(P): x + y + z + 1 = 0
Viết phơng trình đờng thẳng () qua A(1; 1; 1) song song (P) và (d).
Câu35: Viết phơng trình đờng thẳng qua A(1; 5; 0) và cắt cả hai đờng thẳng
(d
1
):
x t
y 1 t
z 1 2t
=

=


= +

(d
2
):
x 1 y 1 z 1
1 3 1
+
= =

Câu36: Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua A(0; 1; 1) và vuông góc với (d
1
) và
(d
2
)
(d
1
):
z
y
x
=
+
=

1

2
8
1
(d
2
):
x 1
y t
z 1 t
=


=


= +

Câu37: Viết phơng trình đờng thẳng qua M(0; 1; 1) và vuông góc với d
1
và cắt
đờng thẳng d
2
d
1
:
zy
x
=+=

2

3
1
d
2
:
x 1
y 1 t
z 2 t
=


=


=


Câu38: Viết phơng trình đờng thẳng d (P): x + y + z - 2 = 0 và cắt cả hai đờng
thẳng: (d
1
):





=
=
+=
tz

ty
tx
2
1
2
(t R) (d
2
):
x 2 2t
y 3
z 2 t
= +


=


=


Câu39: Cho hai đờng thẳng (d
1
):





=
=

+=
tz
ty
tx
2
23
31
(t R) (d
2
):



=+
=
01225
0823
zx
yx
Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
Câu40: Cho (d):
x 2 y 6
z 9
3 4

= =

(P): -2x - 3y + z - 4 = 0Hãy viết phơng trình hình
chiếu của (d) lên (P)
GV: Phan quan xung
Trang: 10
C©u41: Cho A(2; 3; -1) (d):
1
3
42
−
==
z
y
x
LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua A ⊥
(d) c¾t (d).
B/ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT
PHẲNG.
Câu 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm (3; –2; 1) và vuông góc
với đường thẳng d:
x 1 4t
y 1 2t
z 1 7t
= − −


= +


= −


.
Câu 2: Trong mặt phẳngOxyz cho hai đường thẳng ∆ và ∆’ có phương trình:
∆ :
x t
y t
z t
= +
= − −
=





3
2
2
; ∆’ :
z 3 2 5
x y 5
2
+ +
= − =
a/ Viết phương trình mặt phẳng(α) chứa ∆ và song song với ∆’.
b/ Chứng minh ∆ và ∆’ chéo nhau. Tính khoảng cách giữa chúng.
Câu 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng:
x 2 2t
y 2 t
z t
= −



= +


=

và song song
đường thẳng :
2 1 5
1 2 2
x y z− − −
= =
.
Câu 4: Cho 3 đường thẳng d
1
:
5 2
14 3
x t
y t
z t
=


= −


= −


; d
2
:
1 4
2
1 5
x h
y h
z h
= −


= +


= +

; d
3
:
x 1 y 2 z 10
4 1 5
+ + −
= =
−
a/ CMR: d
1
và d
2
chéo nhau.

b/ CMR: d
1
và d
3
cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm của chúng.
c/ Tìm phương trình hai mặt phẳng (P) // (P’) và lần lượt đi qua d
1
và d
2
.
Câu 5: Cho đường thẳng d:
5
x t
11
40
y t
11
z t

= − −



= − −


=




và ba mặt phẳng (P): x + y – z – 7 = 0; (Q):
2x – 3y – z –10 = 0; (R): x + y + 2z – 4 = 0
a/ CMR: d ⊥ (P), d ⊂ (Q), d // (R).
b/ Tìm ptđường thẳng qua điểm chung của (P), (Q), (R) và đồng thời cắt d
và cắt đường thẳng:
1 1 1
x y z
= =
− −
.
Câu 6: Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau; tìm tọa độ giao điểm; lập
phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.
GV: Phan quan xung
Trang: 11
a/ d
1
:
1 1 2
4 2 3
x y z− + −
= =
; d
2
:
9 7
y z
x
5 5
5 4 3
+ −

= =
b/ d
1
:
x 1 4t
y 2 3t
z 4 t
= +


= − +


= − +

; d
2
:
x 1
y z 2
1
+
= = +
−
.
c/ d
1
:
2 3
3 2

4 6
x t
y t
z t
= −


= −


= +

; d
2
:
5
1 4
20
x t
y t
z t
= +


= − −


= +

.

Câu 7: Chứng minh hai đường thẳng d
1
và d
2
chéo nhau. Lập phương trình
đường thẳng d vuông góc và cắt hai đường thẳng đó.
a/ d
1
:
x 5 z 1
y
3 2
− +
= =
−
; d
2
:
x t
3t
y
2
z 2t
=



=



= −


b/ d
1
:
7 3 9
1 2 1
x y z− − −
= =
−
;d
2
:
3 1 1
7 2 3
x y z− − −
= =
−
c/ d
1
:
y 1 z 6
x
2 3
− −
= =
; d
2
:

1
2
3
x t
y t
z t
= +


= − +


= −

.
d/ d
1
:
1 2
2 2
x t
y t
z t
= +


= −


= −


; d
2
:
2
5 4
4
x t
y t
z
=


= −


=

.
Câu 8: Cho đường thẳng d:
x 1 4t
y 3t
1 t
z
2 2


= − −

=




= +

và mặt phẳng(P): 2x – y + 4z + 8 = 0.
a/ CMR: d cắt (P). Tìm giao điểm A của chúng.
b/ Viết phương trình mặt phẳng(Q) qua d và vuông góc với (P).
c/ Viết phương trình tham số của giao tuyến giữa (P) và (Q).
d/ Viết phương trình đường thẳng d’ qua A, vuông góc với d và nằm trong
(P).
C©u9: Chøng minh r»ng hai ®êng th¼ng d
1
:
x 2 y z 1
3 1 2
+ −
= =
− −
vµ d
2
:
x 2 2t
y t
z 2 t
= − +


= −



= +

chÐo
nhau
C©u10: Chøng minh r»ng hai ®êng th¼ng sau song song vµ viÕt ph¬ng tr×nh mỈt
ph¼ng chøa hai ®êng th¼ng ®ã. d
1
:
x 5 2t
y 1 t
z 5 t
= +


= −


= −

vµ d
2
:
x 3 2t
y 3 t
z 1 t
'
'
'
= +



= − −


= −

GV: Phan quan xung
Trang: 12
C©u11: Cho (d
1
):





−=
−=
+=
tz
ty
tx
5
1
25
(d
2
):






−=
−−=
+=
1
1
1
1
3
23
tz
ty
tx
(t,
1
t
∈ R)
CMR: (d
1
) // (d
2
). ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng chøa (d
1
) vµ (d
2
). TÝnh kho¶ng
c¸ch gi÷a (d

1
) vµ (d
2
)
C©u12: Cho hai ®êng th¼ng (d
1
):
x t
y 1 2t
z 3t
=


= − −


= −

(d
2
):
y 3 z 9
x 1
2 5
− −
− = =
1) CMR: (d
1
) c¾t (d
2

). X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iĨm I cđa chóng.
2) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) ®i qua (d
1
) vµ (d
2
)
C/ KHOẢNG CÁCH.
Câu 1: Tìm khoảng cách:
a/ Từ điểm A(3; –6; 7) đến mặt phẳng(β): 4x – 3z –1 = 0.
b/ Giữõa mặt phẳng(α): 2x – 2y + z – 1 = 0 và mặt phẳng(β) :2x – 2y + z +
5 = 0.
c/ Từ điểm M(4; 3; 0) đến mặt phẳng xác đònh bởi ba điểm A(1; 3; 0),
B(4; –1; 2) và C(3; 0; 1).
d/ Từ gốc tọa độ đến mặt phẳng(β) đi qua P(2; 1; –1) và nhận
(1; 2;3)n
→
= −

làm pháp véc tơ.
Câu 2: Tìm khoảng cách từ điểm P(2,3,-1) đến:
a/ Đường thẳng a :
x t
y t
z t
= +
=
= − −






5 3
2
25 2
b/ Đường thẳng b:
x 20 t
43 t
y
2 2
z t
= − −



= − −


=


.
Câu 3: Tính khoảng cách từ M(1; –1; 2), N(3; 4; 1); P(–1; 4; 3) đến mặt
phẳng(Q): x + 2y + 2z – 10 = 0.
Câu 4: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng:
(P): 2x – y + 4z + 5 = 0 (Q): 3x + 5y – z – 1 = 0
Câu 5: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q):
A’x + B’y + C’z + D’ = 0; trong đó A = A’, B = B’, C =C’, D ≠ D’
Câu 6: Trên trục Oz tìm điểm cách đều điểm (2; 3; 4) và mặt phẳng (P): 2x +
3y + z –17=0.

Câu 7: Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai mp (P): x + y – z + 1 = 0 và (Q): x
– y + z–5=0.
GV: Phan quan xung
Trang: 13
Câu 8: Tính khoảng cánh từ các điểm M(2; 3; 1) và N(1; –1; 1) đến đường
thẳng d:
2 1 1
1 2 2
x y z+ − +
= =
−
.
Câu 9: Tính k/cách từ điểm M(2; 3; –1) đến đường thẳng d:
1
x 4t
2
y 2t
3 1
z t
4 2

= − −


=



= −


.
Câu 10: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a/
1 3 4
2 1 2
x y z− + −
= =
−
;
2 2 1
4 2 4
x y z+ + +
= =
− −
b/
y 4 z 1
x
1 2
− +
= =
−
;
x t
y 2 3t
z 3t
=


= −



= −

c/
1
1
1
x t
y t
z
= +


= − −


=

;
2 3
2 3
3
x t
y t
z t
= −


= − +



=

.
Câu 11: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
(P): x + y – z + 5 = 0; (Q): 2x + 2y - 2z + 3 = 0
Câu 12: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:
d
1
: 2 – x = y – 3 = z; d
2
:
1 2
2 2
1 2
x t
y t
z t
= −


= +


= − +

.
Câu 13: Tính khoảng cách giữa đường thẳng d song song với mặt phẳng(P):
d:
x 1 3t

y 2 4t
z 3 t
= − +


= −


= +

; (P): y + 4z + 17 = 0
Câu 14: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
d:
x 6 z 11
y
3 2
+ +
= =
; d’:
21
x 3t
4
y t
z 5 2t

= − +


=



= −


Câu 15: Cho hai đường thẳng d:
x 1 z 1
y
3 1
− +
= =
−
và d’:
x 3 3t
y 1 2t
z 1 t
= − +


= +


= − −

.
a/ CMR: d // d’. Tính khoảng cách giữa d và d’.
b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’.
c/ Tính khoảng cách từ điểm (2; 3; 2) đến (P).
Câu 16: Cho hai đường thẳng d:
x t
y t

z 4 2t
=


= −


= − −

; d’:
x 1 z 2
y
3 1
− −
= =
− −
a/ CMR: d và d’ chéo nhau.
b/ Tính khoảng cách giữa d và d’.
GV: Phan quan xung
Trang: 14
c/ Tìm phương trình của đường thẳng qua I(2;3;1) và cắt cả hai đường
thẳng d và d’.
Câu 17: Cho hai đường thẳng d
1
:
x 23 y 10
z
8 4
+ +
= =

và d
2
:
x 3 y 2
z
2 2
− +
= =
−
a/ Viết phương trình các mặt phẳng(P), (Q) // với nhau và lần lượt qua d
1
,
d
2
.
b/ Tính khoảng cách giữa d
1
và d
2
.
c/ Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Oz và cắt cả d
1
, d
2
.
C©u18: TÝnh kho¶ng c¸ch tõ M(1; 1; 2) ®Õn ®êng th¼ng (d):
1
3
32
2

−
+
=
−
=
− z
y
x

C©u19: ViÕt ph¬ng tr×nh cho A(1; 2; 1) vµ ®êng th¼ng d:
x y 1 z 3
3 4 1
− +
= =
.
1. ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm A vµ vu«ng gãc víi ®êng
th¼ng d.
2. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iĨm A ®Õn ®êng th¼ng d
E/ HÌNH CHIẾU.
Câu 1: Cho hai điểm M(1;1;1), N(3;–2; 5) và mặt phẳng(P): x + y –2z –6 = 0.
a/ Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng(P).
b/ Tìm hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng(P).
c/ Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng MN trên mặt
phẳng(P).
Câu 2: Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt
phẳng:
a/ d:
2 2 1
3 4 1
x y z− + −

= =
; (P): x + 2y + 3z + 4 = 0
b/ d:
x 1 t
y 1 2t
z 3t
= +


= − +


=

; (P): x + 2y + z – 5 = 0
Câu 3: Cho điểm M(–1; –1; –1) và đường thẳng d:
x 0
y 1 t
z 2 t
=


= +


= +

. Gọi H, K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của M trên d và trên mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0.
Tính HK.

Câu 4: Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(–1; 2;3), B(0; 4;4), C(2; 0; 3) và D(5;
5; –4).
a/ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng(ABC).
b/ Tính thể tích của tứ diện.
GV: Phan quan xung
Trang: 15
Câu 5: Cho 3 điểm A(–1; 2; 3), B(–2; 1; 1) và C(5; 0; 0). Tìm tọa độ hình chiếu
vuông góc C’ của C trên đường thẳng AB.
Câu 6: Cho hai đường thẳng d:
4
6 2
x t
y t
z t
=


= +


= +

và d’:
6 3
1
x h
y h
z h
=



= − +


= − +

.
a/ Tìm phương trình đường vuông góc chung của d và d’.
b/ Gọi K là hình chiếu của điểm I(1; –1; 1) trên d’. Tìm phương trình tham
số của đường thẳng qua K, vuông góc với d và cắt d’.
Câu 7: M.phẳng(P): x + 2y + 3z – 6 = 0 cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt
tại A, B, C.
a/ Tìm tọa độ trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
b/ Tìm phương trình chính tắc của trục đường tròn (ABC).
Câu 8: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(1; –1; 2) trên mặt phẳng (P): 2x
– y + 2z + 12 = 0.
Câu 9: Tìm điểm đối xứng của điểm M(2; –3; 1) qua mặt phẳng (P): x + 3y – z
+ 2 = 0.
Câu 10: Tìm điểm đối xứng của điểm M(2; –1; 1) qua đường thẳng d:
1 2
1
2
x t
y t
z t
= +


= − −



=

.
C©u11: Cho A(-2; 4; 3) vµ mỈt ph¼ng (P): 2x - 3y + 6z + 19 = 0. H¹ AH ⊥ (P).
ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cđa ®êng th¼ng AH vµ t×m täa ®é cđa H
C©u12: Cho ®êng th¼ng d:
x 1 2t
y 2 t
z 3t
= +


= −


=

vµ mỈt ph¼ng (P): 2x - y - 2z + 1 = 0
1. T×m täa ®é ®iĨm K ®èi xøng víi ®iĨm I(2; -1; 3) qua ®êng th¼ng d
2. T×m täa ®é c¸c ®iĨm thc ®êng th¼ng d sao cho kho¶ng c¸ch tõ mçi ®iĨm
®ã ®Õn mỈt ph¼ng (P) b»ng 1
C©u13: Cho A(4; 1; 4), B(3; 3; 1) C(1; 5; 5) vµ D(1; 1; 1). T×m h×nh chiÕu vu«ng
gãc cđa D lªn mỈt ph¼ng (ABC) vµ suy ra täa ®é ®iĨm K ®èi xøng víi D qua
(ABC)
C©u14: Cho O(0; 0; 0) A(6; 3; 0) B(-2; 9; 1) S(0; 5; 8)
1) CM: SB ⊥ OA.
2) CMR: h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa SB lªn mỈt ph¼ng (OAB) ⊥ OA. Gäi K lµ
giao ®iĨm cđa h×nh chiÕu ®ã víi OA. H·y x¸c ®Þnh to¹ ®é ®iĨm K.
3) Gäi P, Q lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa c¸c c¹nh SO, AB. T×m to¹ ®é cđa ®iĨm

M trªn SB sao cho PQ vµ KM c¾t nhau.
C©u15: T×m h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa A(-2; 4; 3) lªn mỈt ph¼ng (P): 2x - 3y + 6z
+ 19 = 0
C©u16: Cho A(1; 2; 1) B(2; 1; 3) (P): x - 3y + 2z - 6 = 0
GV: Phan quan xung
Trang: 16
1) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (Q) ®i qua A, B vµ ⊥ (P).
2) ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cđa giao tun gi÷a (P) vµ (Q). T×m to¹ ®é ®iĨm
K ®èi xøng víi A qua (P).
C©u17: Cho A(a; 0; 0) B(0; b; 0) C(0; 0; c) (a, b, c > 0)
Dùng h×nh hép ch÷ nhËt nhËn O, A, B, C lµm bèn ®Ønh vµ gäi D lµ ®Ønh ®èi
diƯn víi ®Ønh O cđa h×nh hép ®ã.
1) TÝnh kho¶ng c¸ch Tõ C ®Õn (ABD)
2) TÝnh to¹ ®é h×nh chiÕu ⊥ cđa C xng (ABD). T×m ®iỊu kiƯn ®èi víi a, b, c
®Ĩ h×nh chiÕu ®ã n»m trªn mỈt ph¼ng xOy.
C©u18: Cho (d):
x 9 7t
y 19 10t
z 1 2t
= − −


= − −


= −

(P): x - 2y + z - 3 = 0
1) T×m ®iĨm ®èi xøng cđa A(3; -1; 2) qua d.
2) ViÕt ph¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa (d) trªn mỈt ph¼ng (P).

C©u19: Cho A(-1; 3; 2) ; B(4; 0; -3) ; C(5; -1; 4) ; D(0; 6; 1)
1) ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cđa BC. H¹ AH ⊥ BC. T×m to¹ ®é ®iĨm H.
2) ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa (BCD). TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn mỈt
ph¼ng (BCD).
IV. vÞ trÝ t ¬ng ®èi cđa mỈt ph¼ng vµ mỈt cÇu
C©u 1: Xét vò trí tương đối giữa hai mặt cầu (S) và mặt phẳng(P):
a/ (S): x
2
+ y
2
+ z
2
–6x –2y + 4z + 5 = 0; (P): x + 2y + z – 1 = 0
b/ (S): x
2
+ y
2
+ z
2
–6x +2y –2z + 10 = 0; (P): x + 2y –2z + 1 = 0
c/ (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+4x + 8y –2z – 4 = 0; (P): x + y + z – 10 = 0
d/ (S): x
2
+ y

2
+ z
2
– x – 2z + 5 = 0; (P): 4x + 3y + m = 0
e/ (S): (x – 1)
2
+ y
2
+ (z – 2)
2
= 4; (P): 2x + y – z + m = 0
C©u 2: Cho hai đường thẳng d:
4
3
4
x t
y t
z
= +


= −


=

và d’:
2
1 2
x

y h
z h
=


= +


=

. Lập phương trình mặt
cầu nhận đoạn vuông góc chung của d và d’ làm đường kính.
C©u 3: Cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z + 9 = 0 và mặt cầu (S):
(x – 3)
2
+ (y + 2)
2
+ (z – 1)
2
= 100
a/ Lập phương trình đường thẳng qua tâm mặt cầu (S) và vuông góc với
mặt phẳng(P).
b/ CMR: mặt phẳng(P) cắt mặt cầu (S).
c/ Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (S) và (P). Tìm tâm và bán kính
của đường tròn (C).
C©u 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu: x
2
+ y
2
+ z

2
– 6x – 2y + 4z + 5
= 0 tại điểm M(4; 3; 0)
GV: Phan quan xung
Trang: 17
C©u 5: Cho mặt phẳng(P): x + 2y + 2z + 5 = 0 và mặt cầu (S):x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x –
4y + 4z = 0
Tìm phương trình các mặt phẳng song song với mặt phẳng(P) và tiếp xúc
với mặt cầu (S).
C©u 6: Lập phương trình tiếp diện của (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2x – 4y –6z +5 = 0:
a/ Tiếp diện đi qua điểm M(1; 1; 1).
b/ Tiếp diện vuông góc với đường thẳng d:
4
x 2t
3
y t
5
z

3

= +


=



=

V. vÞ trÝ t¬ng ®èi cđa ®êng th¼ng vµ mỈt ph¼ng
C©u 1: Xét vò trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu:
a/ (S): x
2
+ y
2
+ z
2
–2x + 4z + 1 = 0; d:
1 2
2 1 1
x y z− −
= =
−
b/ (S): (x – 1)
2
+ (y – 2)
2
+ z

2
= 16; d:
x 1 2t
y 2 3t
z 1 t
= +


= − −


= − +

c/ (S): x
2
+ y
2
+ z
2
–2x –4y + 2z – 2 = 0; d:
2
3 3
x t
y t
z t
= − −


=



= −


C©u 2: Cho mc(S): (x+2)
2
+ (y–1)
2
+ (z +5)
2
= 49 và d:
5 3
11 5
9 4
x t
y t
z t
= − +


= − +


= −

.
a/ Tìm giao điểm của d và mặt cầu (S).
b/ Tìm phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại các giao điểm trên.
C©u 3: Cho mc(S): (x+2)
2

+ (y–1)
2
+ z
2
= 26 và đường thẳng d:
1
1 3
4 5
x
y t
z t
=


= − −


= − +

a/ Tìm giao điểm A, B của d và mc(S). Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu
đến đường thẳng d.
b/ Tìm phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A và B.
C©u 4: Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 3.
a/ Chứng minh T(0; 0; 5) thuộc mặt cầu (S).
b/ Lập phương trình tiếp tuyến của (S) tại T biết tiếp tuyến đó:
GV: Phan quan xung
Trang: 18
i/ Có VTCP
u
ur

= (1; 2; 2).
ii/ Vuông góc với mặt phẳng(P): 3x – 2y + 3z – 2 = 0
iii/ Song song với đường thẳng d:
2
x 5t
3
2
y 2t
3
z 3t

= − +



= −


=




C©u 15: Cho tø diƯn ABCD víi A(3; 2; 6) ; B(3; -1; 0) ; C(0; -7; 3) ; D(-2; 1;
-1).
1) CMR: tø diƯn ABCD cã c¸c cỈp ®èi vu«ng gãc víi nhau.
2) ThiÕp lËp ph¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD.
C©u16: Cho tø diƯn ABCD víi A(3; 2; 6) ; B(3; -1; 0) ; C(0; -7; 3) ; D(-2; 1;
-1).
1) CMR: tø diƯn ABCD cã c¸c cỈp ®èi vu«ng gãc víi nhau.

2) ThiÕp lËp ph¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD.
C©u17: Cho mỈt ph¼ng (P): 16x - 15y - 12z + 75 = 0
1) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) cã t©m lµ gèc to¹ ®é tiÕp xóc víi mỈt ph¼ng
(P).
2) T×m to¹ ®é tiÕp ®iĨm H cđa mỈt ph¼ng (P) víi mỈt cÇu (S).
3) T×m ®iĨm ®èi xøng cđa gèc to¹ ®é O qua mỈt ph¼ng (P).
C©u18: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A'B'C'D': A ≡ O ; B(1; 0; 0) ; D(0; 1; 0) ; A'(0;
0; 1). Gäi M lµ trung ®iĨm cđa AB vµ N lµ t©m h×nh vu«ng ADD'A'.
1) ViÕt ph¬ng tr×nh cđa mỈt cÇu (S) ®i qua c¸c ®iĨm C, D', M, N.
2) TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn giao cđa (S) víi mỈt cÇu ®i qua c¸c ®iĨm A' , B,
C, D.
3) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn cđa h×nh lËp ph¬ng ABCD.A'B'C'D' c¾t bíi mỈt
ph¼ng (CMN).
C©u19: Cho (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y - 6z - 67 = 0
(d):
x t
y 3 2t
z 14 t
=


= +



= +

(Q): 5x + 2y + 2z - 7 = 0
1) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng chøa (d) vµ tiÕp xóc víi (S).
2) ViÕt ph¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa (d) lªn (Q).
GV: Phan quan xung
Trang: 19
VI) ph ơng pháp giải tích giải các B I toán hình học không
gian:
Câu1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a
và vuông góc với đáy.
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC), từ C đến mặt phẳng
(SBD).
2) M, N lần lợt là trung điểm của AB, AD. CMR: MN // (SBD) và tính
khoảng cách từ MN đến (SBD).
Câu2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = SA =
a, AD = 2a; SA (ABCD).
1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) và khoảng cách từ
trung điểm I của cạnh SC đến mặt phẳng (SBD).
2) Gọi M là trung điểm của CD, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(SBM).
Câu3: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm của AB. Dựng IS
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và IS =
2
3a
. Gọi M, N, P theo thứ tự là
trung điểm của các cạnh BC, SD, SB. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
1) NP và AC 2) MN và AP
Câu4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D
với DC = 2a, AB = AD = a, SD = a và vuông góc với đáy.

1) CMR: SBC vuông và tính diện tích của tam giác đó.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Câu5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đ-
ờng tròn đờng kính AB = 2a, SA = a
6
và vuông góc với đáy.
1) Tính khoảng cách từ A, D đến mặt phẳng (SBC).
2) Tính khoảng cách từ đờng thẳng AB đến mặt phẳng (SCD).
3) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng
song song với mặt phẳng (SAB) và cách (SAB) một khoảng bằng
4
3a
.

Câu6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA =
a và vuông góc với đáy. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.
\ 1) Tính khoảng cách giữa AM và SC. 2) Tính khoảng cách
giữa SM và BC.
GV: Phan quan xung
Trang: 20
Câu7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cận tại B với AB
= a, SA = a
2
và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AB. tính độ dài
đoạn vuông góc chung của SM và BC.
Câu8: Cho ABC có đờng cao AH = a
3
, đáy BC = 3a, BC chứa trong mặt
phẳng (P). Gọi O là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P). Khi OBC vuông tại
O, tính góc giữa mặt phẳng (P) và (ABC). Câu9: Cho hình lăng trụ

ABC.A'B'C' có các mặt bên đều là các hình vuông cạnh a. Gọi D, E, F lần lợt
là trung điểm các cạnh BC, A'C', B'C'. Tính khoảng cách giữa:
1) A'B và B'C 2) A'B và B'C' 3) DE và AB' 4) DE và A'F
Câu14: Trong mặt phẳng cho ABC vuông tại A có BC = 2a, góc ACB =
60
0
. Dựng hai đoạn BB' = a, CC' = 2a cùng vuông góc với và cùng một phía
đối với . Tính khoảng cách từ:
1) A đến mặt phẳng (A'BC). 2) A' đến mặt phẳng (ABC').
3) B' đến mặt phẳng (ABC'). 4) C' đến mặt phẳng (ABB').
5) Trung điểm của B'C đến mặt phẳng (ACC').
6) Trung điểm của BC đến mặt phẳng (AB'C').
GV: Phan quan xung
Trang: 21