Lý thuyết, bài tập toán 12 va LTDH HKII

1
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
§1.
NGUYÊN HÀM
I – NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:
1. Nguyên hàm:
 Đònh nghóa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x).
 Đònh lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì F(x) + C (C là hằng số) là họ
tất cả các nguyên hàm của f(x). Ký hiệu:
( ) ( )f x dx F x C= +
∫
2. Các tính chất của nguyên hàm:
( ) ( )
( )
( )
( )
' *
*
( ) ( ) ( )
f x dx f x C
x C
f x dx f t dt f u du
= + =
= + ∈ = ∈
± = ± = =
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
'
* f(x)dx f(x)
* kdx k k R k.f(x)dx k f(x)dx k R

* f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx *
Lưu ý: * Nguyên hàm của một hàm số không phụ thuộc vào biến, nghóa là:
= + = + = +
∫ ∫ ∫
Nếu f(x)dx F(x) Cthì f(u)du F(u) C; f(t)dt F(t) C;
* Không có nguyên hàm của tích, thương.
3. Bảng đạo hàm của một số hàm số thường gặp:
ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP
CƠ BẢN
ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ HP
u = u(x)
( )
( )
( )
'
'
1
'
2
'
0
1 1
1
2
C
x x
x x
x
x
α α

α
−
=
=
 
= −
 ÷
 
=
( )
( )
'
1
'
2
'
. '
1 '
'
2
u u u
u
u u
u
u
u
α α
α
−
=

 
= −
 ÷
 
=
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = – sinx
( )
( )
( )
2
2
2
2
1
tan ' 1 tan
cos
1
cot ' 1 cot
sin
x x
x
x x
x
= = +
= − = − +

(sinu)’ = u’.cosu
(cosu)’ = – u’.sinu
( )

( )
( )
( )
2
2
2
2
'
tan ' ' 1 tan
cos
'
cot ' ' 1 cot
sin
u
u u u
u
u
u u u
u
= = +
= − = − +

(e
x
)’ = e
x
(a
x
)’ = a
x

.lna
(e
u
)’ = u’.e
u
(a
u
)’ = u’.a
u
.lna
( )
( )
1
ln '
1
log '
.ln
a
x
x
x
x a
=
=
( )
( )
'
ln '
1
log '

.ln
a
u
u
u
u
u a
=
=
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên Trang
CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
2
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
4. Bảng nguyên hàm:
Bảng A.
( )
( )
1
0
1
1
1
ln
0 1
ln
x x
x
x
dx C

dx x
x
x dx
dx x
x
e dx e
a
a dx a
a
α
α
α
α
+
=
=
= ≠ −
+
=
=
= < ≠
∫
∫
∫
∫
∫
∫
( )
( )
2

2
2
2
2
cos sin
sin cos
1
tan 1 tan
cos
1
cot 1 cot
sin
1 1
1
2
xdx x
xdx x
dx x x dx
x
dx x x dx
x
dx
x x
dx x
x
=
= −
= = +
= − = +
= −

=
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
Bảng B. (Mở rộng)
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
1 1
ln
1
1
0 1
ln
ax b ax b
ax b
ax b
ax b
ax b dx
a
dx ax b
ax b a

e dx e
a
a
a dx a
a a
α
α
α
α
+
+ +
+
+
+
+ = ≠ −
+
= +
+
=
= < ≠
∫
∫
∫
∫
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )

( ) ( )
( )
2
2
2
2
1
cos sin
1
sin cos
1 1
tan 1 tan
cos
1 1
cot 1 cot
sin
ax b dx ax b
a
ax b dx ax b
a
dx ax b ax b dx
ax b a
dx ax b ax b dx
ax b a
+ = +
+ = − +
= + = + +
+
= − + = + +
+

∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:
1.
3
2
2 3 1
3
x
x x dx
 
− + −
 ÷
 
∫
2.
( )
4 2
2 1x x dx− +
∫
3.
3 2
1
4 3 2
3
 
− + − +

 ÷
 
∫
x x x dx
4.
4
2
5
4 2
x
x dx
 
− +
 ÷
 
∫
5.
( ) ( )
2 1 3 2x x dx− +
∫
6.
( )
2
1x x dx+
∫
Bài 2. Tính:
1.
( )
3
2 1x dx+

∫
2.
( )
7
2 5x dx−
∫
3.
( )
4
3
2
dx
x +
∫
4.
( )
2
3
4 1x dx+
∫
5.
2
3 1
dx
x −
∫
6.
2
3 2
1

2 1x dx
x
 
+ +
 ÷
 
∫
Bài 3. Tính:
1.
1
3
2
dx
x
 
+
 ÷
+
 
∫
2.
4
2 1
3 2
x dx
x
 
+ −
 ÷
+

 
∫
3.
1
2 1
x
dx
x
+
−
∫
4.
3 2
1
x
dx
x
+
+
∫
5.
2
1
x
dx
x −
∫
6.
2
2 5

1
x x
dx
x
− + −
−
∫
7.
2
2 10 12
2
x x
dx
x
− −
+
∫
8.
1 2
1
dx
x x
 
−
 ÷
−
 
∫
9.
3 2

2 2 1
dx
x x
 
+
 ÷
− −
 
∫
10.
( )
1
dx
x x −
∫
11.
2
1
dx
x −
∫
12.
2
5 6
dx
x x− +
∫
13.
( ) ( )
3

1 2 3
dx
x x− −
∫
14.
2
4
2 5 2
dx
x x− +
∫
Bài 4. Tính:
Trang Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung
Kiên
3
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
1.
( )
2
2 1
dx
x +
∫
2.
2
3
6 9
dx
x x− +
∫

3.
2
2 1
1
x
dx
x
+
 
 ÷
−
 
∫
Bài 5. Tính:
1.
( )
x x
e e dx
−
+
∫
2.
3 2x
e dx
−
∫
3.
2
1
x

e dx
x
 
+
 ÷
 
∫
4.
2
3
x
dx
e
∫
Bài 6. Tính:
1.
3
x
dx
∫
2.
1
2 .3 .4
x x x
dx
−
∫
3.
( )
1

3cos 3
x
x dx
−
−
∫
4.
2 1
x
x
dx
e
−
∫
5.
( )
2
2 3
x x
dx−
∫
Bài 7. Tính:
( )
2
2
2 2 2 2
2 2 2
1. 3sin 4cos 1 2. sin 2 3. cos
3
4. sin 3 5. sin 5 cos3 6. cos 4 cos

1 cos 2
7. sin 7 sin 3 8. 9.
sin cos sin cos
10. tan 11. tan 2 12. cot 3
13. 2sin 2 3cos 14
2
x x dx x dx xdx
xdx x xdx x xdx
x
x xdx dx dx
x x x x
xdx xdx xdx
x
x dx
π
 
+ − +
 ÷
 
 
−
 ÷
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
( )
( )

( )
4 4
2 2 4
cos 2
. cos sin 15.
sin cos
16. sin 6 sin 2 6 17. tan 2 cot 18. cos
x
x x dx dx
x x
x x dx x x dx xdx
−
+
− +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM:
1. Phương pháp đổi biến số:
 Dạng lũy thừa: Đặt t = biểu thức chứa lũy thừa bậc cao.
Ví dụ 1: Tính:
( )
( )
5
2
3
. 1 .
1
x
a I x x dx b J dx
x

= − =
−
∫ ∫
 Dạng chứa căn thức: Tích phân có chứa
( )
n
u x
Đặt t =
( ) ( )
n
n
u x t u x⇒ =
(khử căn)
( )
( )
'
'
n
t dt u x dx⇒ =
(lấy vi phân hai vế)
I⇒ =
Ví dụ 2: Tính:
3
. 1 .
2 1
x
a I x x dx b J dx
x
= + =
−

∫ ∫
 Dạng “thấy” được đạo hàm:
Ví dụ 3: Tính:
( )
2 tan
3
2
3
2
2 3
3 ln
1. 2. 3. cos .sin
cos
4. 5. 6. tan
2
1 ln
sin 2
7. 8.
4 cos 1
x
x x
x e
I dx I dx I x xdx
x x
dx dx
I I I xdx
e e
x x
x x
I dx I dx

x x
−
+
= = =
= = =
+ +
+
 
= =
 ÷
− +
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
 Dạng lượng giác:
Tích phân sin mũ lẻ ⇒ đặt t = cos
Tích phân cos mũ lẻ ⇒ đặt t = sin
Ví dụ 4: Tính:
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên Trang
4
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
( )
3 5 3 5
3
3 2 3 4
2
1. sin 2. cos 3. cos 2cos
sin
4. 5. cos .sin 6. sin .cos

cos
I xdx I xdx I x x dx
x
I dx I x xdx I x xdx
x
= = = +
= = =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
2. Phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:
 Công thức nguyên hàm từng phần:
udv uv vdu= −
∫ ∫
 Dạng tích phân từng phần:
o
( )
lnP x xdx
∫
đặt u = lnx, dv = P(x)dx
o
( ) ( ) ( )
sin ; cos ;
x
P x xdx P x xdx P x e dx
∫ ∫ ∫
đặt u = P(x), dv = phần còn lại
Ví dụ 5: Tính:
( ) ( )
( ) ( )
1. 1 ln 2. ln 1 3. sin 2

4. 2 1 cos 5. 2 1 6. sin
x x
I x xdx I x x dx I x xdx
I x xdx I x e dx I xe dx
= + = + =
= + = + =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
§2.
TÍCH PHÂN
I – ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN:
Cho f(x) là hàm số liên tục trên [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]. Hiệu
F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác đònh trên [a; b]) của hàm số f(x). Ký
hiệu:
( ) ( ) ( )
( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫
(Công thức Newton – Laipnitz)
II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
0
.

;
a b a
a a b
b b b b b
a a a a a
b b b b c b
a a a a a c
f x dx f x dx f x dx
k f x dx k f x dx f x g x dx f x dx g x dx
f x dx f t dt f u du f x dx f x dx f x dx c a b
= = −
= ± = ± 
 
= = = = + ∈
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:
1.
( )
1
2
0
3 2x x dx− +
∫
2.
2
4

2
1
5
2
4 2
x
x dx
−
 
− +
 ÷
 
∫
3.
3
3
2
1
2 3
3
x
x x dx
 
− + −
 ÷
 
∫
4.
( )
4

2
1
3x x dx+
∫
5.
1
0
3
2 1
dx
x +
∫
6.
1
0
2 1
2
x
dx
x
+
−
∫
7.
( )
2
1
1
dx
x x +

∫
8.
4
2
3
2
dx
x x− −
∫
Bài 2. Tính:
1.
1
0
1
1
x
e dx
x
 
−
 ÷
+
 
∫
2.
3
0
sin 2cos
2
x

x dx
π
 
−
 ÷
 
∫
3.
4
2
0
cos xdx
π
∫
4.
6
2
0
sin 2xdx
π
∫
5.
4
2
0
tan 2xdx
π
∫
6.
2

2
4
cot xdx
π
π
∫
Trang Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung
Kiên
5
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
7.
4
2 2
3
sin cos
dx
x x
π
π
∫
8.
2
2
sin 3 cos5x xdx
π
π
−
∫
9.
( )

6
0
sin 6 sin 2 6x x dx
π
−
∫
III – PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:
1. Phương pháp đổi biến số: Nếu gặp tích phân:
 Chứa A
α
thì đặt t = A.
 Chứa
α
A
thì đặt t =
α
A
.
 Chứa
1
A
thì đặt t = A.
 Chứa sin, cos thì phân tích biểu thức dưới dấu tích phân về chứa sinxdx còn lại là đa
thức theo cos hoặc chứa cosxdx còn lại là đa thức theo sin
( )
( )
( )
( )
( )
2

1 1
2 2
3
2 3
2
0 0 0 0
ln5 2
2
2
2
1 1 ln2 1
3 6 1 1
5
3 2
3
3
0 1 0 0
2
5
0
sin sin 2
1. 2. 3. 4.
1 3cos 4 cos 1
1
1
ln 2
5. 6. 7. 8.
1 2ln
1 1
9. 1 10. 11. 1 12.

7
1
13. sin 1
x x
e e
x
x x x x
dx dx dx dx
x x x
x
e e
x dx xdx
dx dx
x
x x
e x
xdx xdx
x x dx x x dx
x
x
xdx
π π
π
−
 
 ÷
+ + +
 
+
+

+
− +
+ −
−
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
( )
2
1
2 2
3 5 3 4
0 0 0
4. cos 2cos 15. sin cos 16.
x
x x dx x xdx xe dx
π π
+
∫ ∫ ∫
2. Phương pháp tính tích phân từng phần:
b
a
uv= −
∫ ∫
b b
a a
u.dv v.du
Gặp:

+
 
+
 
+ =
 
 
 
∫
b
a
ax b
sin(ax b)
P(x). cos(ax b) dx đặt u P(x)
e
Gặp:
ln( )
log
a
ax b
x
+
 
=
 
 
∫
b
a
P(x). dx đặt dv P(x)

( ) ( ) ( )
1 5
2
2
1 1 0 2
ln
1. 2 1 ln 2. 3. ln 1 4. ln 1
e e
x
x xdx dx x dx x x dx
x
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
( )
2 1
2 4
2
1 0 0 0
1
4 2
2 2
0 0 0
ln
5. 6. 1 sin 7. cos 2 8. 2 1
1
9. 10. 11. 1 cos
cos
x

x
x
dx x xdx x xdx x e dx
x
x x
dx dx x x dx
x e
π π
π π
+ +
+
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
BÀI TẬP ÔN TỔNG HP
Bài 1. Tìm một nguyên hàm F(x) của:
1.
2
3
( ) 2f x x
x
= −
và F(1) = 4 2.
( ) cos5 .cos3f x x x=
và
1
4
F
π
 

=
 ÷
 
3.
3 2
2
3 3 1
( )
2 1
x x x
f x
x x
+ + −
=
+ +
và
( )
1
1
3
F =
4.
4 4
( ) tan 4cot 4f x x x= + +
và
0
3
F
π
 

=
 ÷
 
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên Trang
6
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
Bài 2. Tính các tích phân sau:
( )
2
1
2
2 cos
3
0 0 0
1. cos sin 2. 3. sin
1
x
x
x xdx dx e x xdx
x
π
π
 
+
 ÷
+
 
∫ ∫ ∫
Bài 3. Tính các tích phân sau:
( ) ( )

3 1
2
7
2 2
2 0 0
1. ln 1 2. 1 3. cosx dx x x dx x xdx
π
− −
∫ ∫ ∫
Bài 4. Tính các tích phân sau:
( )
2
4 2
2 2 3
2
0 1 0
5 1
1. sin tan 2. 3. sin cos
6
x
x xdx dx x xdx
x x
π π
−
− −
∫ ∫ ∫
Bài 5. Tính các tích phân sau:
( ) ( )
3
2

2
2
2
0 0
1 1
1. sin cos 2. sin 3. ln
e
x x dx dx x e xdx
x x
π
π
π
+ −
∫ ∫ ∫
Bài 6. Tính các tích phân sau:
( )
( )
6
2 12
4 4 2
0 0 0
1. cos sin 2. cos3 cos5 3 3. tan 3x x dx x x dx xdx
π
π π
− −
∫ ∫ ∫
Bài 7. Tính các tích phân sau:
( ) ( )
( )
3

1 1 1
5
2
0 0 0
1 2
1. 2. 3.
1
1
x
x x
e x x
x
dx dx dx
xe e
x
+ −
+
+
∫ ∫ ∫
Bài 8. Tính các tích phân sau:
( ) ( )
1
4
2 2
0 1 0
1. 1 . 2. 3 1 ln 3. tan
e
x
e xdx x xdx x xdx
π

+ +
∫ ∫ ∫
Bài 9. Tính các tích phân sau:
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
6
2
5 2 1
0 0 0
3
2 4
2 2 4
0 1 0
7
2
3
2
3
0 0 0
4 4 2
3
2
2 2
0 0
4
1. cos 2. cos2 3.
4. sin cos 5. 2 6. 1 tan
cos 1

7. 8. 2 7 ln 1 9.
5 2sin
3 1
1 tan
10. 11. 12. sin 2 1 sin
cos cos
x
xdx x xdx xe dx
x x xdx x x dx x dx
x x
dx x x dx dx
x
x
x xdx
dx x x dx
x x
π
π
π π
π
π π π
π
+
−
+ − −
+
+ +
−
+
+

+
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Bài 10. Tính các tích phân sau:
1.
( )
2
3 2
0
cos 1 cosx xdx
π
−
∫
(ĐH khối A 2009) 2.
( )
3
2
1
3 ln
1
x
dx
x
+
+
∫
(ĐH khối B 2009)
3.

3
1
1
x
dx
e −
∫
(ĐH khối D 2009) 4.
1
2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e
dx
e
+ +
+
∫
(ĐH khối A 2010)
Trang Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung
Kiên
7
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
5.
( )
2
1

ln
2 ln
e
x
dx
x x+
∫
(ĐH khối B 2010) 6.
1
3
2 ln
e
x xdx
x
 
−
 ÷
 
∫
(ĐH khối D 2010)
7.
( )
4
0
sin 1 cos
sin cos
x x x x
dx
x x x
π

+ +
+
∫
(ĐH khối A 2011) 8.
4
2
0
1 sin
cos
x x
dx
x
π
+
∫
(ĐH khối B 2011)
9.
4
0
4 1
2 1 2
x
dx
x
−
+ +
∫
(ĐH khối D 2011) 10.
( )
2

1
2 1
1
x
dx
x x
+
+
∫
(CĐ 2011)
11.
( )
3
2
1
1 ln 1x
dx
x
+ +
∫
(ĐH khối A 2012) 12.
1
3
4 2
0
3 2
x
dx
x x+ +
∫

(ĐH khối B 2012)
13.
( )
4
0
1 sin2x x dx
π
+
∫
(ĐH khối D 2012) 14.
3
0
1
x
dx
x +
∫
(CĐ 2012)
15.
2
2
2
1
1
ln
x
xdx
x
−
∫

(ĐH khối A 2013) 16.
1
2
0
2x x dx−
∫
(ĐH khối B 2013)
17.
( )
2
1
2
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
(ĐH khối D 2012) 18.
5
1
1 2 1
dx
x+ −
∫
(CĐ 2013)
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Bài 1. Tính:
( )
1
2 3
0
1
n
I x x dx= +
∫
ĐS:
( )
1
2 1
3 1
n
n
+
−
+
(ĐH Mở HN 99)
Bài 2. Tính:
( )
1
3
0
2
1
x
I dx
x

=
+
∫
ĐS:
1
4
(ĐH Thủy sản 97)
Bài 3. Tính:
1
3 2
2
0
2 10 1
2 9
x x x
I dx
x x
+ + +
=
+ +
∫
ĐS:
1 1 4
ln
2 2 3
+
(ĐH Ngoại thương 2000)
Bài 4. Tính:
1
0

1
x
x
e
I dx
e
=
+
∫
ĐS:
1
ln
2
e+
(CĐKT Đối ngoại 99)
Bài 5. Tính:
1
0
x
x x
e
I dx
e e
−
=
+
∫
ĐS:
2
1

ln
2
e+
(CĐGTVT 2001)
Bài 6. Tính:
1
ln
e
x
I dx
x
=
∫
ĐS:
2
3
(ĐH Đà Lạt 1999)
Bài 7. Tính:
2
1
1 ln
e
x
I dx
x
+
=
∫
ĐS:
4

3
(ĐHDLKTCNä 2000)
Bài 8. Tính:
2
3
6
cosI xdx
π
π
=
∫
ĐS:
5
24
(ĐH Cần Thơ 2000)
Bài 9. Tính:
( )
2
2
0
sin cos 1 cosI x x x dx
π
= +
∫
ĐS:
17
12
(ĐH Thủy sản 1999)
Bài 10. Tính:
2

0
sin 2 cos
1 cos
x x
I dx
x
π
=
+
∫
ĐS: 2ln2 – 1 (ĐH khối B 2005)
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên Trang
8
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
Bài 11. Tính:
ln5
ln3
2 3
x x
dx
I
e e
−
=
+ −
∫
ĐS:
3
ln
2

(ĐH khối B 2006)
Bài 12. Tính:
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x
I dx
x x
π
=
+
∫
ĐS:
2
3
(ĐH khối A 2006)
Bài 13. Tính:
( )
4
2
0
sin 2cos
dx
I
x x
π
=
+

∫
ĐS:
1
6
(ĐHSP TPHCM 01)
Bài 14. Tính:
4
2
0
4sin 3
dx
I
x
π
=
−
∫
ĐS:
1 3 1
ln
2 3 3 1
−
+
Bài 15. Tính:
2
2
4
4
cos
sin

x
I dx
x
π
π
=
∫
ĐS:
1
3
(ĐH NN 1 Hà Nội 2001)
Bài 16. Tính:
2
4
0
sinI xdx
π
=
∫
ĐS:
3 8
32
π
−
(ĐH QG TPHCM 2000)
Bài 17. Tính:
3
6
0
tan

cos2
x
I dx
x
π
=
∫
ĐS:
1 1 2
ln
6 2 3
− −
(ĐH Kinh tế 2001)
Bài 18. Tính:
( )
2
sin
0
cos cos
x
I e x xdx
π
= +
∫
ĐS:
1
4
e
π
+ −

(ĐH khối D 2005)
Bài 19. Tính:
2
1
1 1
x
I dx
x
=
+ −
∫
ĐS:
11
4ln 2
3
−
(ĐH khối A 2004)
Bài 20. Tính:
1
5 3
0
1I x x dx= −
∫
ĐS:
4
45
(ĐH QG TPHCM 2001)
Bài 21. Tính:
4
2

7
9
dx
I
x x
=
+
∫
ĐS:
1 7
ln
6 4
(ĐH An ninh 1999)
Bài 22. Tính:
2 3
2
5
4
dx
I
x x
=
+
∫
ĐS:
1 5
ln
4 3
(ĐH khối A 2003)
Bài 23. Tính:

( )
2
3
0
1
3 2
x dx
I
x
+
=
+
∫
ĐS:
( )
3
1
28 3 4
10
−
(ĐH Quy Nhơn 1999)
Bài 24. Tính:
( )
1
3
2
0
1I x dx= −
∫
ĐS:

3
16
π
(ĐH Y Hải Phòng 2000)
Bài 25. Tính:
ln2
0
1
x
dx
I
e
=
+
∫
ĐS:
( ) ( )
ln 2 3 3 2 2− −
(CĐCĐ 99)
Bài 26. Tính:
ln2
2
0
1
x
x
e dx
I
e
=

+
∫
ĐS:
2 2
3
(ĐH Bách khoa HN 2000)
Bài 27. Tính:
1
1 3ln .ln
e
x x
I dx
x
+
=
∫
ĐS:
116
135
(ĐH khối B 2004)
Bài 28. Tính:
3
2
1
ln 1 ln
e
x x
I dx
x
+

=
∫
ĐS:
( )
3
3
2 2 1
8
−
(HV Hành chính QG 99)
Trang Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung
Kiên
9
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
Bài 29. Tính:
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
I dx
x
π
+
=
+
∫
ĐS:
34
27

(ĐH khối A 2005)
Bài 30. Tính:
( )
4
8
0
1 tanI x dx
π
= −
∫
ĐS:
76
105
(ĐH KT đối ngoại 2006)
Bài 31. Tính:
( )
2
ln ln ln
e
e
x x
I dx
x
+
=
∫
ĐS:
1
2ln 2
2

+
(ĐH KT đối ngoại 2005)
Bài 32. Tính:
2
4
0
1 2sin
1 2sin 2
x
I dx
x
π
−
=
−
∫
ĐS:
1
ln 2
2
(ĐH khối B 2003)
Bài 33. Tính:
1
2
2
0
1 1
ln
1 1
x

I dx
x x
+
 
=
 ÷
− −
 
∫
ĐS:
2
1
ln 3
4
(CĐSP TPHCM 2005)
Bài 34. Tính:
( )
4
0
sin
4
sin 2 2 1 sinx cos
x dx
I
x x
π
π
 
−
 ÷

 
=
+ + +
∫
ĐS:
4 3 2
4
−
(ĐH khối B 2008)
Bài 35. Tính:
4
4
0
tan
cos2
x
I dx
x
π
=
∫
ĐS:
( )
1 10
ln 2 3
2
9 3
+ −
(ĐH khối A 2008)
Bài 36. Tính:

2
3
1
ln x
I dx
x
=
∫
ĐS:
3 2ln 2
16
−
(ĐH khối D 2008)
Bài 37. Tính:
1
3 2ln
1 2ln
e
x
I dx
x x
−
=
+
∫
( )
3
2
1
sin 2 1 sin

e
J x x dx= +
∫
ĐS:
15 10 2 11
;
4 3
I J
−
= =
Bài 38. Tính:
6
2
2 1 4 1
dx
I
x x
=
+ + +
∫
10
5
2 1
dx
J
x x
=
− −
∫
ĐS:

3 1
ln ; 2ln 2 1
2 12
I J= − = +
Bài 39. Tính:
( )
1
10
2
0
1I x x dx= −
∫
2
1
3
0
1
x
J dx
x
 
=
 ÷
+
 
∫
0
2
1
1

x
x
e
K dx
e
−
−
−
=
+
∫
Bài 40. Tính:
1
4
6
0
1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
1 5
2
2
4 2
1

1
1
x
J dx
x x
+
+
=
− +
∫
3
6
sin x sin
3
dx
K
x
π
π
π
=
 
+
 ÷
 
∫
Bài 41. Tính:
2
3 2
2

0
2 4 9
4
x x x
I dx
x
+ + +
=
+
∫
2
1
1 ln
e
dx
J
x x
=
−
∫
ĐS:
6;
8 2
I J
π π
= + =
Bài 42. Tính:
1 5
2
2

4 2
1
1
1
x
I dx
x x
+
+
=
− +
∫
2
2
6
cot
sin 1
xdx
J
x
π
π
=
+
∫
0
2
1
1
4 3

x
K dx
x x
−
+
=
− +
∫
ĐS:
1 5
; ln ; 2ln3 3ln 2
4 2 2
I J K
π
= = = −
Bài 43. Tính:
2
3
1
2
2
dx
I
x x
=
+
∫
3
5 3
2

0
2
1
x x
J dx
x
+
=
+
∫
3
2
4
tan
cos 1 cos
xdx
K
x x
π
π
=
+
∫
ĐS:
1 26
ln 2; ; 5 3
2 5
I J K= = = −
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên Trang
10

Toaựn 12 vaứ LTẹH Cẹ HKII
Baứi 44. Tớnh:
2
2
1
1
2
x
I dx
x



=
ữ
+


2
0
sinx
1 cos
x
J dx
x

=
+

4

2
0
tanK x xdx

=

2
2 2
0
4L x x dx=

Baứi 45. Tớnh:
( )
2
0
sin ln 1 cosI x x dx

= +

2
0
cos 1 sinx
sinx+3
x
J dx


=

1

2
0
1
1
x
K dx
x
+
=
+

Baứi 46. Tớnh:
( )
1
2
0
2 1
x
I x e dx=

4
2
0
cosJ x xdx

=

( )
3
2

2
lnK x x dx=

Baứi 47. Tớnh:
4
1
ln x
I dx
x
=

2
0
sinx
x
J e dx

=

4
2
0
cos
xdx
K
x

=

Baứi 48. Tớnh:

2
1
1
ln
e
x
I xdx
x
+
=

( )
2
2
0
sin x sinxJ x dx

= +

2
2
0
sin xK x dx

=

Baứi 49. Tớnh:
( )
2
2

1
5 1
6
x
I dx
x x

=


1
2
0
1
dx
J
x x
=
+ +

1
0
1 2
x
dx
K =
+

Baứi 50. Tớnh:
ln2

2
2
0
3
3 2
x x
x x
e e
I dx
e e
+
=
+ +

2
0
sin x
sin x cos x
n
n n
J dx

=
+

Baứi 51. Tớnh:
2
1
1
ln

e
x
I xdx
x
+
=

3
2
1
ln
ln 1
e
xdx
J
x x
=
+

S:
76
6;
15
I J= =
Baứi 52. Tớnh:
( )
2
2
0
2 1 cosI x xdx

=

1
1
2
1
1
x
J dx
x


=
+

S:
2
1
8 4 2
I

=
Baứi 53. Tớnh:
1
2
0
4 1
1
x

I dx
x x
+
=
+ +

4
0
2 1
2 3 2 1 3
x
J dx
x x
+
=
+ + +

S:
1 3 3
ln3 ; 2 ln 2 4ln
2 9 5
I J

= = + +
Baứi 54. Tớnh:
4
2
0
tanI x xdx

=

2
1
2 2
xdx
J
x x
=
+ +

S:
2
2
ln
4 2 32
I

= +
Baứi 55. Tớnh:
3
7
8 4
2
1 2
x
I dx
x x
=
+

2
6 3 5
0
1 cos .sin .cosJ x x xdx

=

S:
12
91
J =
Baứi 56. Tớnh:
4
2 4
0
sin 4
cos tan 1
xdx
I
x x

=
+

2
2
6
cot
1 sin

xdx
J
x


=
+

63
3
3
0
1
1 1
x
K dx
x x
+
=
+ + +

S:
1 5
2 2; ln
2 2
I J= =
Baứi 57. Tớnh:
( )
2
2

1
1 ln
1
x
I dx
x
+
=
+

3
2
3
4
0
1
x
J dx
x
=


4
2
2 2
4
dx
K
x x
=

S:
( )
1
ln 2 3 ;
4 12 24
J K

= + =
Trang Giaựo vieõn:Nguyeón Hửừu Chung
Kieõn
11
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
Bài 58. Tính:
2
2 2
0
cosI e xdx
π
=
∫
2
4
0
sin 2
4 sin
x
J dx
x

π
=
−
∫
3
4
2
0
sin 1
cos
x
K dx
x
π
+
=
∫
Bài 59. Tính:
( )
( )
1
2
0
ln 1
2
x
I dx
x
+
=

+
∫
3
2
sin
sin cos
x
J dx
x x
π
π
=
−
∫
ĐS:
5 1
ln 2 ln3;
3 4
I J
π
−
= − =
Bài 60. Tính:
2
1
1
1
1
x
x

I x e dx
x
+
 
= + −
 ÷
 
∫
( ) ( )
3
2
ln 1 ln 1J x x dx= − − + 
 
∫
2
2
4
1
1 x
K dx
x
+
=
∫
5
4
0
sin cos
1 sin 2
x x

L dx
x
π
−
=
+
∫
2
0
sin
1 cos
x x
M dx
x
π
=
+
∫
3
3
0
cos
dx
N
x
π
=
∫
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
* Cho hàm số y = f(x) có đồ thò (C). Diện tích hình thang cong giới hạn bởi (C), x = a, x = b, y =

0 (Ox) là:
( )
b
a
S f x dx=
∫

* Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = f
1
(x), y = f
2
(x), đường thẳng x = a, x
= b là:
( ) ( )
1 2
b
a
S f x f x dx= −
∫
Chú ý: Cách tính
( )
b
a
f x dx
∫
. Giải phương trình f(x) = 0. Tìm nghiệm trên [a; b]
 Nếu phương trình có 1 nghiệm x
0
∈ [a; b] thì:
( ) ( ) ( )

0
0
x
b b
a a x
f x dx f x dx f x dx= +
∫ ∫ ∫

 Nếu ptrình có 2 nghiệm x
1
< x
2
∈ [a; b] thì:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
1 2
x x
b b
a a x x
f x dx f x dx f x dx f x dx= + +
∫ ∫ ∫ ∫

Bài 1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a. (C):
3 2
1
2
3
y x x= −
; d: y = – 3x b. (C

1
): y = x
3
– x; (C
2
): y = x – x
2
c. x
2
– 2y – 1 = 0; y = x – 1 d. y = x; y = x + cos
2
x
2 2
x
π π
 
− ≤ ≤
 ÷
 

e. y = e
x
; y = 2; x = 1 f. y = lnx; y = 0; x = e
g. y
2
= 2x + 1; y = x – 1 h.
2
2 10 12
2
x x

y
x
− −
=
+
; y = 0
i. y = e
x
; y = e
- x
; x = 1
Bài 2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
a. (C): y = 2x
3
– 9x
2
+ 12x – 4 và trục hoành. b. (C):
3 2
1
2 3
3
y x x x= − +
và trục hoành
c. (C):
4 2
1 9
2
4 4
y x x= − + +
và trục hoành d. (C):y = x

4
– 2x
2
– 3 và trục hoành.
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên Trang
12
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
e. (C): y = x(3 – x)
2
và trục Ox. f. (C):
4
2
2
x
y x= −
và trục hoành
Bài 3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
a. (C):
2
2 1
x
y
x
− +
=
+
; trục Ox; Oy. b. (C):
2 1
1
x

y
x
+
=
+
; trục Ox; Oy.
c. (C):
3 2
1
x
y
x
−
=
+
và hai trục tọa độ. d. (C):
2 2
2
x
y
x
−
=
−
và hai trục tọa độ.
Bài 4. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
a. (C):
1
2
x

y
x
+
=
+
; tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = – 3 và đường thẳng x = – 4.
b. (C): y = – x
3
+ 3x
2
– 4x + 2 và tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung
c. (C): y = x
3
– 2x
2
+ x và tiếp tuyến của (C) tại gốc tọa độ.
d. (C):
3 2
1
1
3
y x x= − +
và tiếp tuyến của (C) tại A(3; 1) ∈ (C).
e. (C):
2 1
1
x
y
x
−

=
+
và tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = – 4.
f. (C): y = – x
4
– x
2
+ 2 và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 1.
Bài 5. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a. (C): y = x
3
– 3x + 1; trục hoành; trục tung và đường thẳng x = – 1.
b. (C):
1
2 1
x
y
x
+
=
−
; y = 0; x = 1; x = 4
c. (C):
3 2
1
3 4
3
y x x x= − − + −
; trục hoành và các đường thẳng x = – 1; x = 1.
Bài 6. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a. (ĐH khối A 2007) y = (e + 1)x và y = (1 + e
x
)x ĐS:
1
2
e
−
b.
( )
2 2
2
ln 1
1
x x
y
x
+
=
+
; trục hoành; trục tung và đường thẳng
1x e= −
.
c. y = 0 và
2
2
1
x x
y
x
−

=
+
ĐS:
1
1 ln 2
4 2
S
π
= − + +
Bài 7. a. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường:
3 2
1
3
y x x= −
; y = 0. Tính thể tích vật thể tròn
xoay được sinh bởi hình phẳng đó khi quay quanh trục Ox.
b. (ĐH khối B 2007) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = xlnx; y = 0; x = e. Tính
thể tích khối tròn xoay sinh bởi (H) khi quay quanh trục Ox. ĐS:
( )
3
5 2
27
e
π
−
c. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi y = tanx; y = 0; x = 0;
4
x
π
=

.
d. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:
1
2 2
x
y x e=
; x = 1; x = 2; y = 0. Tính thể tích
khối tròn xoay sinh bởi (H) khi quay quanh trục Ox.
§3.
SỐ PHỨC
1. Khái niệm số phức: Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i
2
= – 1 được gọi là số phức. a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.
2. Tính chất:
Trang Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung
Kiên
13
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
( )
'
' ' , , ', '
'
a a
a bi a b i a b a b R
b b
=

+ = + ⇔ ∈

=


( ) ( ) ( )
' ' ' 'a bi a b i a a b b i+ + + = + + +
( ) ( ) ( )
' ' ' 'a bi a b i a a b b i+ − + = − + −
Số đối của z = a + bi là – z = – a – bi
( ) ( ) ( ) ( )
' ' ' ' ' 'a bi a b i aa bb ab ba i+ × + = − + +
( ) ( )
k a bi ka kbi k R+ = + ∈
3. Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
z a bi= −
z z=
' 'z z z z± = ±
. ' . ' ;
'
'
z z
z z z z
z
z
 
= =
 ÷
 
2 2
.z z a b= +
z là số thực
z z⇔ =
z là số ảo

z z⇔ = −
4. Modul của số phức: Cho số phức z = a + bi
2 2
.
z a b
z z OM
= +
= =
uuuur
0, ;
0 0
z z C
z z
≥ ∀ ∈
= ⇔ =
. ' . 'z z z z=
' '
z
z
z z
=
' ' 'z z z z z z− ≤ ± ≤ +
5. Chia hai số phức:
( )
1
2
1
0z z z
z
−

= ≠
' ' '
' 1
2
. .
.
.
z z z z z
z z
z
z z
z
−
= = =
6. Căn bậc hai của số phức:
z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi
2 2
2
x
w
2
y a
z
xy b

− =
⇔ = ⇔

=


w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0
w 0≠
có đúng hai căn bậc hai đối nhau
Hai căn bậc hai của a > 0 là
a±
Hai căn bậc hai của a < 0 là
.a i± −
7. Phương trình bậc hai:
( )
2
0 *Az Bz C+ + =
(A, B, C là các số phức cho trước,
0)A ≠
 Cơng thức nghiệm giống phương trình bậc 2 trên tập số thực
 Nếu
0
z C∈
là một nghiệm của (*) thì
0
z
cũng là nghiệm của (*)
8. Dạng lượng giác của số phức: (Nâng cao – tham khảo)
*
( ) ( )
sin 0z r cos i r
ϕ ϕ
= + >
là dạng lgiác của số phức z = a + bi
( )
2 2

0
sin
r a b
a
z cos
r
b
r
ϕ
ϕ


= +


≠ ⇔ =



=



ϕ
là một acgumen của z,
( )
,Ox OM
ϕ
=


1z z cos isin
ϕ ϕ
= ⇔ = +
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3
3
2 3
3 2 4 3 1 2 1 2
. . . 2 3
5 4 2
5 4 1 2
4 3 4
. 2 3 1 2 .4 3 .
3 2 3 1 4 2 3
i i i i i
a b c i
i i
i i i
i i
d i i e j f
i i i i
− + − + +
+
− − +

+ +
− −
− + + − +
+ + +
Bài 2. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
( ) ( )
( )
2 2
6 1
. 7 3 2 . . 2 3 3
3 2 2
i
a z i i b z c z i i
i
−
 
= − − − = = − +
 ÷
+
 
Bài 3. Cho số phức: z = 4 – 3i. Tìm:
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên Trang
14
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
a. z
2
b.
1
z
c.

z
d. z + z
2
+ z
3
e. z
4
Bài 4. Tìm mô – đun và số phức liên hợp của các số phức sau:
a. 4 – 3i + (1 – i)
3
b.
4 2
1
i
z
i
+
=
+
c.( – 1 + i)(3 + 7i)
Bài 5. Tìm các số thực x, y thỏa mãn các đẳng thức sau:
a. x(3 + 5i) + y(1 – 2i)
3
= 9 + 14i
b. 2x + y – 1 = (x + 2y – 5)i
c. (2 – i)x + (1 + 2i)y = (1 + 2i)x + (i – 2)y + 3 + i
Bài 6. Giải các phương trình sau:
a. (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i b. (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z
c.
( )

2 3 5 2
4 3
z
i i
i
+ − = −
−
d. (1 + i)z + (2 – i) (1 + 3i) = 2 + 3i
Bài 7. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a. x
2
– 6x + 29 = 0 b. x
2
+ x + 1 = 0 c. – 3x
2
+ x – 2 = 0
d. 3x
2
+ 7x + 8 = 0 e. x
4
+ x
2
– 3 = 0 f. z
2
– 2z + 13 = 0
g. – 5x
2
+ 7x – 11 = 0 h. z
4
+ z

2
– 6 = 0 i. z
4
+ 7z
2
+ 10 = 0
Bài 8. Tìm số phức z biết
2 5z =
và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó.
Bài 9. Tìm hai số phức biết:
a. Tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3.
b. Tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.
Bài 10. Gọi z
1
; z
2
là hai nghiệm phức của phương trình z
2
+ 2z + 10 = 0. Tính:
2 2
1 2
A z z= +
ĐS: A = 20 (ĐH khối A 2009)
Bài 11. Tính giá trò biểu thức:
( ) ( )
2 2
1 3 1 3P i i= + + −
Bài 12. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
a/ (4 – i) + (2 + 3i) –(5 + i) b/
2 2

(1 ) (1 )i i+ − −
c/
3 3
(2 ) (3 )i i+ − −
d/
3 2
1
i i
i i
− +
−
+
e/
7
7
1 1
2
i
i i
 
−
 ÷
 

f/
33
10
1 1
(1 ) (2 3 )(2 3 )
1

i
i i i
i i
+
 
+ − + + − +
 ÷
−
 
g/
2 3 20
1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )i i i i+ + + + + + + + +
Bài 13. Hãy biểu diễn số phức z trên mặt phẳng toạ độ biết
2z ≤
và:
a/ Phần thực của z khơng vượt q phần ảo của nó.
b/ Phần ảo của z lớn hơn 1
c/ Phần ảo của z nhỏ hơn 1, phần thực của z lớn hơn 1.
Bài 14. Tìm số phức z, biết:
a/
2z =
và z là số thuần ảo
b/
5z =
và phần thực của z bằng 2 lần phần ảo của nó.
Bài 15. Chứng minh rằng:
1 2 1 2
z z z z+ = +
và
1 2 1 2

. .z z z z=
Bài 16. Cho số phiức z = x + iy . Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức:
a/
2
2 4z z i− +
b/
1
z i
iz
+
−
Bài 17. Gọi M, M’ theo thứ tự là các điểm của mặt phức biểu diễn các số
0z ≠
và
1
'
2
i
z z
+
=
. Chứng
minh rằng: tam giác OMM’ là tam giác vng cân (O là gốc toạ độ)
Trang Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung
Kiên
15
Toaựn 12 vaứ LTẹH Cẹ HKII
Baứi 18. Cho A, B l hai im trong mt phng phc theo th t biu din cỏc s phc
0 1
,z z

khỏc 0 tho
món ng thc
2 2
0 1 0 1
z z z z+ =
. CMR tam giỏc OAB l tam giỏc u (O l gc to )
Baứi 19. Cỏc vect
, 'u u
r ur
trong mt phng phc theo th t biu din cỏc s phc z , z.
a/ Chng minh rng:
( )
1
. ' . ' '
2
u u z z zz= +
r ur
b/ Suy ra nu
0u
r
thỡ
'
'
z
u u
z

r ur
l s o
Baứi 20. Tỡm cỏc s thc x, y bit: (2x + 3y + 1) + ( x + 2y)i = (3x 2y + 2) + (4x y 3)i

Baứi 21. a. Tỡm s phc z tho món ng thi
1
1
z
z i

=

v
3
1
z i
z i

=
+
b. Tỡm s phc z tho món
4
1
z i
z i
+

=
ữ


Baứi 22. Xỏc nh tp hp cỏc im trong mt phng phc biu din cỏc s phc z tho món:
z
k

z i
=

(k l s thc dng cho trc).
Baứi 23. Tớnh:
a/
[ ]
5
(4 5 ) (4 3 )i i+ +
b/
2006 2006
(1 ) (1 )i i+ +
c/
3 3
1 3 1 3
2 2 2 2
i i

+ +
ữ ữ
ữ ữ

d/
(3 2 )(1 3 )
(2 )
1 3
i i
i
i
+

+
+
Baứi 24. a/ Cho s phc z . Chng minh rng z l s thc khi v ch khi
z z=
b/ Chng t s phc sau l s thc:
3 2 3 3 2 3
2 3 2 3
i i
z
i i
+ +
= +
+
Baứi 25. Chng minh rng: a/
1 1
2
2
z z
z
z

=
ữ

b/
1
1
2 2
z
z

z z
=
Baứi 26. Xỏc nh tp hp trong mt phng phc biu din cỏc s phc z tho món mi iu kin sau:
a/
3 4z z+ + =
b/
1 2z z i + =
c/
(2 )( )z i z +
l s thc tu ý
d/
(2 )( )z i z +
l s o tu ý e/
2 2z i z z i = +
f/
2 2
( ) 4z z =
Baứi 27. Gii cỏc phng trỡnh sau trờn tp s phc:
a/
3 (2 3 )(1 2 ) 5 4z i i i+ + = +
b/ 5 2iz = (3 + 4i)(1 3i)
c/
(5 7 ) 3 (2 5 )(1 3 )i x i i + = +
d/
( 2 3) 2 3 2 2i z i i + = +
g/ 3z(2 i) + 1 = 2iz(1 + i) + 3i h/ (3 + 2i)z 6iz = (1 2i){z (1 + 5i)}
i/
2 1 3
1 2
i i

z
i i
+ +
=
+
k/
1
(2 ) 3 0
2
i z i iz
i


+ + + =
ữ



l/
2 2 4z z i+ =
m/
2
0z z+ =
n/
2
0z z+ =
p/
2
2
0z z+ =

Baứi 28. Gii cỏc phng trỡnh sau trờn tp s phc:
a/
4 2
2 3 5 0x x+ =
b/
3
2
(1 )
3 (3 2 2) 8
1
i
x i x i x
i
+
+ + =

c/
2
(1 ) (3 2 ) 5 0ix i x + + =
d/
2 3
( )( 1)( ) 0z i z z i + + =
e/
2 2 2
( ) 4( ) 12 0z z z z+ + + =
f/
2
4 3
1 0
2

z
z z z + + + =
g/
3
8 0x =
h/
3
8 0x + =
k/
2 2 2 2
( 3 6) 2 ( 3 6) 3 0z z z z z z+ + + + + =
Baứi 29. Cho z = a + bi. Chng minh rng:
a/
( )
2 2 2
2( )z z a b+ =
b/
( )
2
2
4z z abi =
c/
( )
2
2 2 2 2
( )z z a b= +
Giaựo vieõn:Nguyeón Hửừu Chung Kieõn Trang
16
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
Bài 30. Giải hệ phương trình hai ẩn phức

1
z
,
2
z
sau:
a/
1 2
2 2
1 2
4
5 2
z z i
z z i
+ = +


+ = −

b/
1 2
2 2
1 2
5 5
5 2
z z i
z z i
= − −



+ = − +

Bài 31. Tìm số phức z thỏa mãn hệ phương trình:
2
1
z i z
z i z
 − =


− = −


Bài 32. Tìm số phức z biết: a/
3
z z=
b/
3 4z z i+ = +
Bài 33. Chứng tỏ rằng:
1
1
z
z
−
+
là số thực khi và chỉ khi z là một số thực khác – 1
Bài 34. Chứng minh rằng:
a/
2 3 99 100
0i i i i i+ + + + + =

b/
( 2 )(1 )(1 )
2 2 2
i i i
i
i
+ − +
= −
Bài 35. Giải hệ phương trình:
2 1
3 2 3
x y y
x iy i
+ = +


+ = −

Bài 36. Với những giá trị nào của x và y thì các số phức:
2 5
9 4 10z y xi= − −
và z’=
2 11
8 20y i+
là liên
hợp của nhau
Bài 37. Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
a/
1 4 3i− +
b/

4 6 5i+
c/
1 2 6i− −
Bài 38. Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho
z i
z i
+
+
là số thực.
Bài 39. CMR hai số phức phân biệt
1 2
,z z
thoả
1 2
z z=
khi và chỉ khi
1 2
1 2
z z
z z
+
−
là số ảo.
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 40. Tìm những số thực a, b để có phân tích:
4 3 2 2 2
2 3 2 2 ( 1)( )z z z z z z ax b+ + + + = + + +
rồi giải
phương trình sau trên C:
4 3 2

2 3 2 2 0z z z z+ + + + =
Bài 41. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
a/
2 2 3i− +
b/
cos sin
4 4
i
π π
−
c/
sin cos
8 8
i
π π
− −
d/
1 sin sin (0 )
2
i
π
φ φ φ
− + < <
e/
3 3
( ) ( )a i a i+ + −
(
a R
∈
)

f/ z –
(1 3)i+
biết một acgumen của z bằng
3
π
Bài 42. Tìm phần thực, phần ảo của mỗi số phức sau:
a/
( )
7
5
cos sin 1 3
3 3
i i i
π π
 
− +
 ÷
 
b/
( )
( )
6
4
1 3i i− +
c/
( )
10
9
1
3

i
i
+
+
d/
2000
2000
1
z
z
+
biết rằng
1
1z
z
+ =
Bài 43. Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau:
a/
2
sin 2sin
2
i
φ
φ
+
b/
( )
cos 1 sini
φ φ
+ +

Bài 44. Tìm số phức z sao cho:
2z z= −
và một acgumen của z – 2 bằng một acgumen của z + 2 +
2
π
Trang Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung
Kiên
17
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
Bài 45. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho
2
2
z
z
−
+
có một
acgumen bằng
3
π
.
Bài 46. a/ Hỏi với số ngun dương n nào, số phức
3 3
3 3
n
i
i
 
−
 ÷

 ÷
−
 
là số thực; là số ảo?
b/ Cũng câu hỏi tương tự cho số phức
7
4 3
n
i
i
+
 
 ÷
−
 
Bài 47. a/ Cho
cos sin ( )i R
φ φ φ
+ ∈
, CMR với mọi số ngun
1n
≥
ta có:
1
2cos
n
n
z n
z
φ

+ =
,
1
2 sin
n
n
z i n
z
φ
+ =
.
b/ Từ câu a/ CMR:
4
1
cos (cos4 4cos2
8
φ φ φ
= +
+ 3);
5
1
sin (sin 5 5sin 3 10sin )
16
φ φ φ φ
= − +
Bài 48. Tìm số phức z thoả mãn đồng thời:
1
1
3
z

z
−
=
−
và
2
2
z i
z i
−
=
+
Bài 49. Giải hệ phương trình 2 ẩn phức z và x sau:
( )
4
2
3 5
1
0
z x
z x

=



+ =

MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Bài 1. (ĐH khối A 2010) a. Tìm phần ảo của số phức z, biết

( ) ( )
2
2 1 2z i i= + −

b. Cho số phức z thỏa mãn
( )
3
1 3
1
i
z
i
−
=
−
. Tìm môđun của số phức
z iz+
Bài 2. (ĐH khối B 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z
thỏa mãn:
( )
1z i i z− = +
.
Bài 3. (ĐH khối D 2010) Tìm số phức z thỏa mãn
2z =
và
2
z
là số thuần ảo.
Bài 4. (ĐH khối A 2011) Tìm tất cả các số phức z, biết
2

2
z z z= +
.
Bài 5. (ĐH khối B 2011) Tìm tất cả các số phức z, biết
5 3
1 0
i
z
z
+
− − =
.
Bài 6. (ĐH khối D 2011) Tìm tất cả các số phức z, biết
( )
2 3 1 9z i z i− + = −
.
Bài 7. (CĐ 2011) Cho số phức z thỏa mãn
( )
2
1 2 4 20i z z i+ + = −
. Tính môđun của
z
.
Bài 8. (ĐH khối A 2012) Cho số phức z thỏa mãn
( )
5
2
1
z i
i

z
+
= −
+
. Tính môđun của:
2
1w z z= + +
.
Bài 9. (ĐH khối B 2012) Gọi z
1
và z
2
là hai nghiệm phức của phương trình
2
2 3 4 0z iz− − =
. Viết
dạng lượng giác của z
1
và z
2
.
Bài 10. (ĐH khối D 2012) Giải phương trình
( )
2
3 1 5 0z i z i+ + + =
trên tập hợp các số phức.
Bài 11. (CĐ 2012) a. Cho số phức z thỏa mãn
( ) ( )
2
1 2 3

1
i
i z i z
i
−
− − = −
+
. Tìm tọa độ điểm biểu diễn
của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
b. Gọi z
1
, z
2
là hai nghiệm phức của phương trình
2
2 1 2 0z z i− + + =
. Tính
1 2
z z+
.
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên Trang
18
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
Bài 12. (ĐH khối A 2013) Cho số phức
1 3z i= +
. Viết dạng lượng giác của z. Tìm phần thực và
phần ảo của số phức:
( )
5
1w i z= +

.
Bài 13. (ĐH khối D 2013) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
1 2 2i z i z i+ − + =
. Tính môđun của
số phức:
2
2 1z z
w
z
− =
=
.
Bài 14. (CĐ 2013) a. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
2
3 2 2 4i z i i+ + − = +
. Tìm phần thực và
phần ảo của số phức:
( )
1w z z= +
.
b. Giải phương trình
( )
2
2 3 1 3 0z i z i+ − − − =
trên tập hợp C các số phức.
§1.
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Tọa độ của điểm:

( )
; ;M x y z OM xi y j zk⇔ = + +
uuuur r r r
Chú ý: M ∈ Ox ⇒ M(x; 0; 0) M ∈ (Oxy) ⇒ M(x; y; 0)
M ∈ Oy ⇒ M(0; y; 0) M ∈ (Oxz) ⇒ M(x; 0; z)
M ∈ Oz ⇒ M(0; 0; z) M ∈ (Oyz) ⇒ M(0; y; z)
2. Tọa độ của véc tơ:
( )
1 2 3 1 2 3
; ;a a a a a a i a j a k= ⇔ = + +
r r r r r
3. Các công thức cần nhớ:
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
* ; ;
*
B A B A B A
B A B A B A
AB x x y y z z
AB AB x x y y z z
= − − −
= = − + − + −
uuur
uuur
* I trung điểm AB
2
2
2
A B

I
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y
z z
z
+

=


+

⇔ =


+

=


 Cho
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
; ; ; ; ;a a a a b b b b= =

r r
( ) ( )
1 1 2 2 3 3 1 2 3
1 1
2 2 2
2 2 1 2 3
3 3
; ; ; ;a b a b a b a b ka ka ka ka
a b
a b a b a a a a
a b
± = ± ± ± =
=


= = = = + +


=

r r r
r r r
4. Tích của hai véc tơ: Cho
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
; ; ; ; ;a a a a b b b b= =
r r
 Tích vô hướng: là 1 số
1 1 2 2 3 3
. . . .a b a b a b a b= + +

r r
 Tích có hướng: là 1 véc tơ
3
; ;
 
 
=
 ÷
 
 
r
r
2 3 1
1 2
2 3 3 1
1 2
a a a a
a a
a ,b
b b b b
b b
 Góc giữa hai véc tơ:
( )
cos =
r
r
r
r
r
r

a .b
a ,b
a . b
 Điều kiện cùng phương, vuông góc, đồng phẳng:
Trang Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung
Kiên
19
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
a
r
cùng phương
b
r
⇔
1 2 3
1 2 3
a a a
b b b
= =
a
r
⊥
b
r
⇔
1 1 2 2 3 3
. 0 . . . 0a b a b a b a b= ⇔ + + =
r r
, ,a b c
r r r

đồng phẳng ⇔
, . 0a b c
 
=
 
r r r r
 Chú ý:
 Ba véc tơ đồng phẳng là 3 véc tơ cùng thuộc một mặt phẳng hoặc cùng song
song với 1 mp.
 Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔
AB
uuur
cùng phương với
AC
uuur
 Ba điểm A, B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác ⇔
AB
uuur
không cùng phương với
AC
uuur
 Bốn điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện ⇔
, ,AB AC AD
uuur uuur uuur
không đồng
phẳng.
ABC ABCD ABCD.A'B'C'D'
1 1
S AB, AC V = AB, AC .AD V = AB, AC .AA'
2 6

∆
     
=
     
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 1. Trong không gian cho 3 điểm A(1; 1; 1); B(– 1; 1; 0); C(3; 1; 2).
a. Tính chu vi tam giác.
b. Tìm tọa độ trung điểm I của BC và tìm tọa độ A’ đối xứng với A qua B.
c. Tìm tọa độ điểm M nằm trên Ox sao cho M cách đều A và B.
d. Tìm tọa độ điểm M thuộc (Oxy) sao cho MA = MB = MC.
Bài 2. (ĐH khối B – 2008) Trong không gian cho 3 điểm A(0; 1; 2); B(2; – 2; 1); C(– 2; 0; 1). Tìm
tọa độ điểm M thuộc (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 saoMA = MB = MC.
Bài 3. Cho
( ) ( ) ( )
2; 5;1 ; 1;2;3 ; 0;7;2a b c= − = =
r r r
. Tính:
2 3 5x a b c= + −
r r r r
.
Bài 4. Trong không gian cho 2 điểm A(1; 5; 7); B(– 2; 1; 1).
a. Tìm tọa độ điểm M sao cho
2MA MB=
uuur uuur
.
b. Tìm tọa độ điểm C biết
( )
3; 1;4AC = −
uuur
.

Bài 5. Cho tam giác ABC với A(1; 2; 3); B(2; – 2; 1); C(– 1; – 2; – 3).
a. Tìm tọa độ điểm M sao cho
2 3AM BA CM+ =
uuuur uuur uuuur
.
b. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm của hình bình hành đó.
Bài 6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1; 0; 1); B(2; 1; 2); C(1; – 1; 1); D(4; 5; – 5). Tìm tọa độ
các đỉnh còn lại của hình hộp.
Bài 7. Cho tam giác ABC với A(0; 1; 2); B(1; 2; 1); C(2; 1; 0).
a. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm của hình bình hành đó.
b. Tìm tọa độ điểm E đối xứng với A qua C.
c. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm ABC và ADC. Chứng minh G và G’ đối xứng nhau qua I.
Bài 8. Cho
( ) ( ) ( ) ( )
2; 5;1 ; 1;2;3 ; 0;7;2 ; 5; 1;2a b c d= − = = = −
r r r ur
. Tính:
. ; , ; ,a b a c b d
   
   
r r r r r ur
Bài 9. Cho ∆ABC với A(1; – 1; – 3); B(2; 1; – 2); C(– 5; 2; – 6). Tính các góc của tam giác đó.
Bài 10. Cho α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi véc tơ
a
r
bất kỳ và các véc tơ đơn vò trên các trục tọa độ.
Chứng minh: cos
2
α + cos
2

β + cos
2
γ =1
Bài 11. Cho
( ) ( )
;2; 3 ; ; ;1a m b m m= − =
r r
. Tìm m để
a
r
⊥
b
r
.
Bài 12. Xét sự cùng phương của hai véc tơ
a
r
và
b
r
biết:
a.
( ) ( )
2;1; 1 ; 4;2; 2a b= − = −
r r
b.
( ) ( )
0;1;3 ; 1;0; 1a b= = −
r r
Bài 13. Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ

;a b
r r
và
c
r
biết:
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên Trang
20
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
a.
( ) ( ) ( )
4;2;5 ; 3;1;3 ; 2;2;1a b c= = =
r r r
b.
( ) ( ) ( )
3;1;2 ; 1;1;1 ; 2;10;1a b c= − = = −
r r r
Bài 14. Xét sự thẳng hàng của ba điểm A, B, C biết:
a. A(1; 0; 0); B(0; 0; 1); C(2; 1; 1). b. A(1; 2; – 1); B(3; 6; – 3); C(2; 4; – 2).
Bài 15. Cho A(1; – 1; 2); B(– 1; 0; 3); C(0; 2; 1). Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác.
Bài 16. Cho 4 điểm A(1; 0; 1); B(– 1; 1; 2); C(– 1; 1; 0); D(2; – 1; – 2). Chứng minh A, B, C, D là 4
đỉnh của 1 tứ diện.
Bài 17. Cho tam giác ABC với A(1; – 1; 2); B(– 1; 0; 3); C(0; 2; 1). Tính diện tích và chiều cao AH
của tam giác ABC.
Bài 18. Cho tứ giác ABCD với A(1; 0; 1); B(– 1; 1; 2); C(– 1; 1; 0); D(2; – 1; – 2). Tính thể tích và
chiều cao AH của tứ giác ABCD.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
 Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: (x – a)
2
+ (y – b)

2
+ (z – c)
2
= R
2
 Dạng 2: (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a
2
+ b
2
+ c
2
– d > 0) có:
Tâm I(a; b; c), bán kính R
2 2 2
a b c d+ + −
Bài 1. Xác đònh tâm I và tính bán kính R của các mặt cầu sau:
a. (x – 2)
2
+ y
2
+ (z + 1)
2
= 5 b.
2

1
2
x
 
−
 ÷
 
+ (y + 1)
2
+ (z – 3)
2
= 9
c. x
2
+ y
2
+ z
2
= 10 d. x
2
+ y
2
+ z
2
– 8x – 2y + 1 = 0
e. x
2
+ y
2
+ z

2
+ 3x – 2 = 0 f. 3x
2
+ 3y
2
+ 3z
2
– 6x + 8y + 15z – 3 = 0
Bài 2. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a. Tâm A(2; – 1; 3) và đi qua điểm B(0; 2; 1).
b. Đường kính AB với A(4; 0; – 3); B(2; – 1; 1).
c. (S) đi qua 4 điểm A(1; 0; – 1); B(3; 4; – 2); C(4; – 1; 1); D(3; 0; 3).
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng: Hai véc tơ không cùng phương
u
r
và
v
r
được gọi là cặp
véc tơ chỉ phương của mặt phẳng α nếu
u
r
và
v
r
song song hoặc nằm trên α.
Cụ thể:
;
u

u v
v
α
α

⊂

⇒

⊂


r
r r
r
là cặp vtcp của α
;
/ /
u
u v
v
α
α

⊂

⇒




r
r r
r
là cặp vtcp của α
/ /
;
/ /
u
u v
v
α
α


⇒



r
r r
r
là cặp vtcp của α
2. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng:
0n ≠
r r
được gọi là véc tơ pháp tuyến (hay pháp véc tơ) của
mặt phẳng α nếu
n
r
⊥ α.

 Lưu ý: Nếu mặt phẳng α có cặp vtcp là
u
r
,
v
r
thì vtpt của α là
,n u v
 
=
 
r r r
.
3. Phương trình mặt phẳng: Trong không gian Oxyz phương trình của mặt phẳng có dạng:
α: Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời = 0)
Mặt phẳng này có vtpt
( )
; ;n A B C
r
.
 Ghi chú: Mặt phẳng α đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và có vtpt
( )

; ;n A B C=
r
thì:
α: A(x – x
0
) + B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0
4. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
Trang Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung
Kiên
21
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
Mặt phẳng qua 3 điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0); C(0; 0; c) có pt dạng α:
1
x y z
a b c
+ + =
.
5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Cho M
0
(x
0
; y
0
; z
0

) và α: Ax + By + Cz + D = 0
( )
0 0 0
0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
⇒ =
+ +
6. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng:
α: A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
β: A
2
x + B
2
y + C
2
z + D

2
= 0
 α cắt β
1 1
2 2
A B
A B
⇔ ≠
hoặc
1 1
2 2
A C
A C
≠
hoặc
1 1
2 2
B C
B C
≠
 α // β
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
⇔ = = ≠
 α ≡ β
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D

A B C D
⇔ = = =
Lưu ý: α ⊥ β
. 0n n
α β
⇔ =
uur uur
Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng α trong các trường hợp sau:
a. α đi qua A(– 1; 3; 5) và vuông góc với BC biết B(2; – 1; 4); C(0; 1; 3).
b. α là mặt trung trực của MN với M(– 4; 0; 3), N(2; 1; – 4).
c. α đi qua M(2; – 1; 0) và song song với hai véc tơ
( ) ( )
3; 1;1 ; 1;2;5a b= − = −
r r
.
d. α đi qua 3 điểm A(1; – 1; 3); B(0; – 2; 2); C(3; 0; 4).
e. α đi qua 3 điểm M(3; – 1; 1); B(1; – 1; 2); C(2; 0; 0).
f. α đi qua 2 điểm A(1; 0; 2); B(– 1; 1; 3) và song song với trục Oz.
g. α đi qua 2 điểm A(– 1; 1; 2); B(3; 0; – 4) và song song với trục Oy.
h. α đi qua 2 điểm A(2; – 1; 1); B(– 3; 0; – 2) và song song với trục Ox.
Bài 2. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3; 1; 2); B(– 1; – 3; 0); C(4; 0; – 3); D(2; 2; – 1).
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và // CD.
b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và đi qua điểm A.
c. Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua gốc tọa độ và song song với BD, AC.
Bài 3. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1; 0; – 1); B(3; 4; – 2); C(4; – 1; 1); D(3; 0; 3).
a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A, B và vuông góc với (Q): x – 3y + 2z + 1 = 0.
c. Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với (ABC).
Bài 4. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng cho sau:
a. A(1; 2; 3); α: 2x – 4y – z + 4 = 0. b. B(2; – 3; 5); α: 2x – y + 2z – 6 = 0.

c. C(4; – 1; – 2); (Oxz). d. O; α: 2x – 4y + 7z – 11 = 0.
Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a. (P) đi qua A(3; 1; – 1) và có véc tơ pháp tuyến
( )
2; 1;3n = −
r
.
b. (P) đi qua M(– 2; 1; 3) và // (Q): 2x – 3y + z – 5 = 0.
c. (P) ⊥ AB tại B với A(3; – 2; 5); B(1; – 2; 4).
d. (P) là mặt trung trực của AB với A(0; – 2; 3); B(3; 1; 5).
e. (P) đi qua N(2; – 1; 4) và vuông góc với trục tung
Bài 6. Viết phương trình mặt phẳng α trong các trường hợp sau:
a. α đi qua A(1; – 1; 2) và có hai véc tơ chỉ phương
( ) ( )
0;2; 3 ; 1;1;3a b= − =
r r
.
b. α đi qua M(– 5; 2; – 3) và chứa trục tung.
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên Trang
22
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
c. α đi qua hai điểm A(5; 1; – 2); B(– 3; – 7; 1) và song song với
( )
1; 1;3a = −
r
.
d. α đi qua 3 điểm A(0; 1; – 2); B(– 3; 5; 1); C(1; – 1; 0).
e. α cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại M(3; 0; 0); B(0; – 5; 0); C(0; 0; 4).
Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng α trong các trường hợp sau:
a. α đi qua hai điểm A(3; 1; – 1); B(2; – 1; 4) và vuông góc với (P): 2x – y + z + 7 = 0.

b. α đi qua M(2; – 1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với (P): 5x – 3y + 2z + 1 = 0.
c. α đi qua A(3; – 1; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng
(P): 3x + 2y – 3z + 4 = 0; (Q): 4x – 5y + 3z – 1 = 0.
Bài 8. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3; 1; 2); B(– 1; – 3; 0); C(4; 0; – 3); D(2; 2; – 1).
a. Viết phương trình (BCD), suy ra ABCD là một tứ diện.
b. Tìm tọa độ K là trực tâm tam giác BCD.
c. Tìm tọa độ điểm M ∈ (Oyz) sao cho
MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur
đạt giá trò nhỏ nhất.
Bài 9. Cho A(– 1; 1; 2); B(0; 1; 1); C(1; 0; 4).
a. Chứng minh ∆ABC vuông. Tính diện tích. Tìm tọa độ tâm I, tính bán kính đường tròn ngoại
tiếp và viết phương trình (ABC).
b. M là điểm thỏa
2MB MC= −
uuur uuuur
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với BC.
Bài 10. Xác đònh các giá trò của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song:
a. 2x + my + 3z – 5 = 0 và nx – 8y – 6z + 2 = 0.
b. 3x – 5y + mz – 3 = 0 và 2x + ny – 3z + 1 = 0.
Bài 11. Tính khoảng cách giữa hai mp song song sau:
a. (P): x + 2y + 2z + 11 = 0 và (Q): x + 2y + 2z + 2 = 0.
b. (P): 3x – 5 = 0 và (Q): 3x + 1 = 0.
Bài 12. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a. (S) có tâm I(1; – 1; 4) và tiếp xúc với (P): 3x – 2y + z – 3 = 0.
b. (S) có tâm A(2; 0; 1) và tiếp xúc với (BCD) với B(0; 1; 1); C(3; – 2; 4); D(– 1; 2; – 2).
c. (S) đi qua 3 điểm A(2; 0; 1); B(1; 1; 0); C(1; 1; 1) và có tâm thuộc (P): x + y + z – 2 = 0.
Bài 13. Cho mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 17 = 0 và mặt cầu (S): x
2
+ y

2
+ z
2
– 2x + 4y + 6z – 11 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) // (P) và tiếp xúc với (S).
Bài 14. Cho M(4; 3; 0) và mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 6x – 2y + 4z + 5 = 0. Chứng minh M nằm trên
(S) và viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) tại M.
Bài 15. Cho mphẳng (P): x + 2y – 2z + 4 = 0 và mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 6x + 2y – 2z + 10 = 0.
Chứng minh (P) tiếp xúc với (S).
Bài 16. Cho A(0; 0; 2); B(3; 0; 5); C(1; 1; 0) và mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 4x + 2y – 2z – 13 = 0.
a. Viết phương trình (ABC).
b. Chứng minh (ABC) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm H và tính bán

kính (C).
Bài 17. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh = 1. Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và
(BC’D) song song nhau. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Véc tơ chỉ phương của đường thẳng:
0u ≠
r r
được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d nếu
/ /u d
r
hoặc
u
r
nằm trên d.
 Lưu ý:
• d ⊥ α ⇔
d
u n
α
=
r r
• d // d’ ⇔
'd d
u u=
r r
Trang Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung
Kiên
23
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
2. Phương trình tham số của đường thẳng: đường thẳng d đi qua điểm M(x

0
; y
0
; z
0
) và có véc tơ chỉ
phương
( )
1 2 3
; ;u u u u=
r
thì
0 1
0 2
0 3
:
x x u t
d y y u t
z z u t
= +


= +


= +

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng: đường thẳng d đi qua điểm M(x
0
; y

0
; z
0
) và có véc tơ
chỉ phương
( )
1 2 3
; ;u u u u=
r
với u
1
; u
2
; u
3
đều khác 0 thì
0 0 0
1 2 3
:
x x y y z z
d
u u u
− − −
= =
4. Vò trí tương đối giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng:
d đi qua điểm M và có véc tơ chỉ phương
u
r

d’ đi qua điểm M’ và có véc tơ chỉ phương

'u
r
 Nếu
, ' . ' 0u u MM
 
=
 
r r uuuuur
⇒ d và d’ đồng phẳng và:
 d cắt d’⇔
, ' 0u u
 
≠
 
r r r
 d // d’⇔
, ' 0
, ' 0
u u
u MM

 
=
 

 
≠

 


r r r
r uuuuur r
 d ≡ d’⇔
, ' 0
, ' 0
u u
u MM

 
=
 

 
=

 

r r r
r uuuuur r
 Nếu
, ' . ' 0u u MM
 
≠
 
r r uuuuur
⇒ d và d’ chéo nhau.
5. Vò trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Đường thẳng d qua M(x
0
; y

0
; z
0
), chỉ phương
a
r
.
Mặt phẳng α: Ax + By + Cz + D = 0 có pháp véctơ
n
r
.

. 0a n ≠
r r
: d cắt α.

. 0a n =
r r
:
 Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D = 0: d ⊂ α.
 Ax
0
+ By
0

+ Cz
0
+ D ≠ 0: d // α.
6. Góc:
6.1. Góc giữa hai đường thẳng: d có chỉ phương
a
r
; d’ có chỉ phương
'a
uur
thì
·
( )
. '
cos , '
'
a a
d d
a a
=
r uur
r uur
6.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: d có cp
a
r
; α có pháp véctơ
n
r
thì
·

( )
.
sin ,
a n
d
a n
α
=
r r
r r

6.3. Góc giữa hai mặt phẳng: α có pháp véctơ
n
r
, β có pháp véctơ
'n
ur
thì
·
( )
. '
cos ,
'
n n
n n
α β
=
r ur
r ur

7. Khoảng cách:
7.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Cho điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và α: Ax + By + Cz + D = 0 thì:
0 0 0
0
2 2 2
Ax + By + Cz + D
d(M ,d) =
A + B + C
7.2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Cho điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và đt d đi qua M
1
, chỉ phương
a

r
thì:
 
 
uuuuuur
r
r
0 1
1
M M .u
d(M ,d) =
u
7.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
d qua M, chỉ phương
a
r
; d’ qua M’, chỉ phương
'a
r
thì:
[ ]
[ ]
uuuuur
r r
r r
a.a' .MM'
d(d,d') =
a.a'
8. Mặt cầu: (Sphere) Tương giao của mặt cầu và mặt phẳng:
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên Trang

24
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
Cho: S(I; R): (x – a)
2
+ (y – b)
2
+ (z – c)
2
= R
2
.
α: Ax + By + Cz + D = 0
Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I(a; b; c) lên α ⇒ IH = d(I, α)
 Nếu IH > R: α không cắt (S).
 Nếu IH = R: α là mặt tiếp diện của (S) tại H.
 Nếu IH < R: α cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn:
C(H,
2
2 2 2 2
Ax + By + Cz + D = 0
IH ):
(x a) + (y b) + (z c) = R

−

− − −

2
R
Bài 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a. d đi qua điểm M(2; 1; 3) và có véc tơ chỉ phương
( )
3;0;2u = −
r
.
b. d đi qua A(2; – 1; 3) và vuông góc với (P): x + y – 2z + 5 = 0.
c. d đi qua hai điểm A(2; – 1; 5); B(1; 0; 2).
d. d đi qua B(4; 2; – 1) và song song với
1 2
: 3 3
4
x t
y t
x t
= +


∆ = − +


=

Bài 2. Cho 4 điểm A(2; – 1; 3); B(4; 0; 1); C(0; 1; 3); D(1; – 2; 0).
a. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b. Viết phương trình mặt phẳng (BCD).
c. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (BCD).
Bài 3. Cho
1 2
: 3 3
4

x t
y t
x t
= +


∆ = − +


= −

, viết phương trình chính tắc của ∆.
Bài 4. Cho
1 1
:
2 1 2
x y z
d
− +
= =
, viết phương trình tham số của d.
Bài 5. Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a. d đi qua 2 điểm A(2;
−
1; 5 ), B(1; 0; 2 )
b. d đi qua A( 2;
−
1; 3) và vuông góc với mp (P): x + y – 2z + 5 = 0
c. d qua tâm của mặt cầu:
2 2 2

( 1) ( 2) 3x y z− + + + =
và vuông góc với mp (P):
2 3 0x y z+ − =
d. d qua tâm của (S):
2 2 2
2 3 4 1 0x y z x y z+ + + − + − =
; ⊥ (Q):
3 2 2 0x y z− + − =
e. đi qua trọng tâm G của
∆
OAB và vuông góc với (OAB) v i A(1; 4; 2), B( ơ
−
1; 2; 4).
Bài 6. Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau
a. d qua
(2;0; 3)B −
và song song với
1 3
:
2 3 4
x y z− +
∆ = =
b. d qua
(0;1;2)M
và song song với 2 mp
( ) : 2 3 1 0, ( ) : 2 4 0y z x y z
α β
− + = − + + + =
Bài 7. Cho điểm M(– 2; 3; 1) và đt:
5 4

:
1 3 2
x y z
d
− −
= =
−
. Tìm điểm N trên d sao cho MN =
11
Bài 8. Cho mặt phẳng
: 3 5 2 0x y z
α
+ − − =
và đường thẳng d:
12 4
9 3
1
x t
y t
z t
= +


= +


= +

. Tìm giao điểm M của d
và mặt phẳng

( )
α
.Viết phương trình mặt phẳng
( )
β
chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
Bài 9. Cho điểm
(1; 1;2)M −
và
( ) : 2 2 11 0x y z
α
− + + =
. Viết phương trình chích tắc của đường
thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng
( )
α
. Tìm tọa độ giao điểm của d và
( )
α
Trang Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung
Kiên
25
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKII
Bài 10. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
1 2
2 1
: 2 3 ; : 2
4 1 2
x t x t
y t y t

z t z t
= = +
 
 
∆ = − + ∆ = +
 
 
= = +
 
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
1
∆
và song song với
2
∆
b. Cho điểm M( 2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng
2
∆
sao cho đoạn thẳng MH có
độ dài nhỏ nhất. ĐS: (P): 2x – z = 0, H(2; 3; 3)
Bài 11. Trong không gian Oxyz cho
3 4 3
( ) :
1 2 1
x y z
d
− − +
= =
−
và mp

( )
α
: 2x + y +z – 1 = 0. Tìm tọa
độ giao điểm A của (d) và
( )
α
. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua A, vuông góc với đường
thẳng (d) và nằm trong
( )
α
Bài 12. Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc cho đường thẳng
1 3 3
:
1 2 1
x y z
d
− + −
= =
−
và mặt phẳng
( )
α
: 2x + y – 2z + 9 = 0
a. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ điểm I đến mp
( )
α
bằng 2
b. Tìm tọa độ giao điểm A của d và mặt phẳng

( )
α
. Viết phương trình tham số của đường
thẳng
∆
nằm trong mặt phẳng
( )
α
, biết
∆
qua A và vuông góc với (d)
Bài 13. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 2; 1; 0), B( 1; 2; 2), C( 1; 1; 0) và mặt phẳng (P): x
+ y + z – 20 = 0. Xác đònh tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song
với mặt phẳng (P).
Bài 14. Trong kg Oxyz cho đường thẳng
2 2
:
1 1 1
x y z+ −
∆ = =
−
và mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0.
Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng
∆
.
Bài 15. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
1 2
:
2 1 1
x y z− +

∆ = =
−
và (P): x − 2y + z = 0. Gọi C là
giao điểm của ∆ với (P), M là điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC =
6
.
Bài 16. Trong không gian Oxyz cho điểm A(–4; –2; 4) và đường thẳng
3 2
: 1
1 4
x t
d y t
z t
= − +


= −


= − +

. Viết phương
trình đường thẳng
∆
đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d
Bài 17. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(
−
1; 2, 4) và đường thẳng
1 2
:

1 1 2
x y z− +
∆ = =
−
a. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của
∆
OAB và vuông góc với
mp(OAB).
b. Tìm tọa độ điểm M
∈
∆
sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
Bài 1. CM hai đường thẳng sau đây song song và viết phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa d và d’:
a.
1 2 2 '
: 2 ; ': 3 4 '
3 5 2 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = +

 
 
= = +
 
 
= − = −
 
b.
1 3 4 2 1 1
: , ':
2 1 2 4 2 4
x y z x y z
d d
− + − + − +
= = = =
− − −
Bài 2. Chứng minh hai đường thẳng sau cắt nhau, tìm tọa độ giao điểm của chúng, viết phương trình
mặt phẳng
( )
α
chứa d và d’:
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên Trang