ÔN THI ĐẠI HỌC TOÁN HÌNH GIẢI TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Tọa độ của điểm:
( )
; ;M x y z OM xi y j zk
⇔ = + +
uuuur r r r
O(0; 0; 0)
đặcbiệt:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
; ;0 ;0;0
0; ; 0; ;0
;0; 0;0;
M Oxy M x y M Ox M x
M Oyz M y z M Oy M y
M Oxz M x z M Oz M z
∈ ⇒ ∈ ⇒
∈ ⇒ ∈ ⇒
∈ ⇒ ∈ ⇒
2. Toạ độ vectơ:
( )
; ;u x y z u xi y j zk
= ⇔ = + +
r r r r r
(1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)i j k= = =
r r r
3. Các công thức tính toạ độ vectơ:
( )
; ;

B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −
uuur
Cho
( )
; ;u x y z=
r
và
( )
' '; '; 'u x y z=
ur
' { '; '; '}u u x x y y z z
= ⇔ = = =
r ur
( )
' '; '; 'u u x x y y z z
± = ± ± ±
r ur
( )
; ;ku kx ky kz
=
r
4. Tích vô hướng:
. ' . ' . ' . 'u u x x y y z z
= + +
r ur
. 0u v u v= ⇔ ⊥
r r r r
5. Các công thức tính độ dài và góc

2 2 2
u x y z= + +
r
( )
2
2 2
) ( ) (
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −
( )
2 2 2 2 2 2
. ' ' ' '
cos ; '
'
. ' ' '
u u xx yy zz
u u
u u
x y z x y z
+ +
= =
+ + + +
r ur
r ur
r ur
6. Đặc biệt khi M là trung điểm của AB thì ta có :
A B A B A B
M M M
x x y y z z

x ; y ;z
2 2 2
+ + +
= = =
6. G là trọng tâm của tam giác ABC
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
y y y
y
3
z z z
z
3
+ +

=


+ +

⇔ =



+ +

=



Bài tập: Xét các bài toán dưới đây trong hệ trục tọa độ Oxyz.
1. Cho
2 , 3 5( ), 2 3u i j v i j k w i j k= − = + − = + −
r r r ur r r r uur r r r
a) Tìm tọa độ các vecto đó
b) Tìm cosin của các góc
( ) ( )
; , ;u i v j
r r r r
c) Tính tích vô hướng của
. , . , .u v u w v w
r r r ur r ur
2. Cho M(a, b, c)
a) Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các trục tọa độ
b) Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các mp tọa độ
3. Tính tích vô hướng của
.a b
r r
, biết
a)
( ) ( )
3;0; 6 ; 2; 4;0a b= − = −
r r
b)

( ) ( )
1; 5;2 ; 4;3; 5a b= − = −
r r
4. Tìm góc giữa hai vecto
;u v
r r
a)
( ) ( )
1;1;1 ; 2;1; 1u v= = −
r r
b)
3 4 , 2 3u i j v j k= + = − +
r r r ur r r
5. Tìm M trên Ox sao cho M cách đều A(1; 2; 3) và B(-3; -3; 2)
1
6. Cho tam giác ABC có A(1 ; -1 ; 1) , B(0 ; 1 ; 2), C(1 ; 0 ; 1)
a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC
b) Tính độ dài đường trung tuyến AM
7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1; 0; 1), B(2; 1;2), D(1; -1; 1), C’(4; 5; -5). Tính tọa độ các đỉnh còn lại.
8. (TN 07 - 08)Cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1).Tìm toạ độ D sao cho tứ giác ABCD là
hình bình hành.
9. (TN 01-02)Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D có toạ độ xác đònh bởi các hệ thức: A(2; 4; -1),
OB i 4j k= + −
uuur r r r
, C(2; 4; 3),
OD 2i 2j k= + −
uuur r r r
. Chứng minh :AB
⊥
AC, AC

⊥
AD, AD
⊥
AB
10. Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2),D(3;0;1),E(1;2;3)
a)Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật.Tính diện tích của nó.
b)Tính cos các góc của tam giác ABC
c)Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB
Bài 2: MẶT CẦU
1. Phương trình mặt cầu:
Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R
− + − + − =
(1)
Phương trình mặt cầu dạng khai triển:
x
2
+y
2
+z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0, đk: a
2
+ b
2
+ c
2

– d >0 (2)
Tâm I(a; b; c) và bán kính R=
2 2 2
a b c d+ + −
2. Chú ý:
a) Mặt cầu có tâm I và qua A thì R = IA =
( ) ( ) ( )
2 2 2
A I A I A I
x x y y z z− + − + −
b) Mặt cầu có đường kính AB thì R =
1
2
AB
và tâm I là trung điểm AB
c) Mặt cầu qua 4 điểm A, B,C, D thì viết phương trình mặt cầu ở dạng (2) rồi thay tọa độ từng điểm
vào phương trình và giải hệ để tìm a, b, c, d.
Bài 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu:
d) x
2
+ y
2
+ z
2
-6x +4y -2z – 86 = 0
e) x
2
+y
2
+z

2
+3x + 4y – 5z +6 = 0
2 2 2
2 2 2 8 4 12 100 0x y z x y z+ + + − − − =
f) (x - 1)
2
+(y +3 )
2
+(z – 2)
2
= 49
g) x
2
+y
2
+z
2
–2x +2z – 2 = 0
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu biết:
a) mặt cầu có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)
b) mặt cầu đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
c) mặt cầu qua 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
d) mặt cầu qua 4 điểm A(1 ; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1 ; 1), D(3 ; 0 ; 3)
Bài 3. Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau.
a. Có tâm I(1 ;0 ;-1) , đường kính bằng 8.
b. Dường kính AB với A(-1 ;2 ;1 ) , B(0 ;2 ;3).
c. Có tâm O(0 ;0 ;0 ) và tiếp xsc với mặt cầu (S) có tâm (3 ;-2 ;4) bằng kính bằng 1.
d. Có tâm I(3 ;-2 ;4) và đi qua A(7 ;2 ;1).
e. Có tâm I(2 ;-1 ;3) và tiếp xúc với mp(0xy).
f. Có tâm I(2 ;-1 ;3) và tiếp xúc với mp(0xz)

g. Có tâm I(2 ;-1 ;3) và tiếp xúc với mp(0yz.
Bài 3: ( TN03-04)Trong không gian Oxyz cho A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2)Gọi A’ là hình
chiếu của A lên Oxy. Viết phương trình mặt cầu (S) qua A’, B, C, D.
Bài 4: Lập pt mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp Oxy
Bài 5 : Chứng tỏ rằng phương trình
2 2 2 2
4 2 4 4 0x y z mx my z m m+ + + − + + + =
ln là phương trình của
một mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
Bài 6 : Chứng tỏ rằng phương trình
2 2 2 2
2 os . 2sin . 4 4 4sin 0x y z c x y z
α α α
+ + + − + − − =
ln là phương
trình của một mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là lớn nhất.
Bài 3: TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ
Cơng thức tích có hướng
2
Cho
( )
; ;u x y z=
r
và
( )
' '; '; 'u x y z=
ur
;
' ; ; ( ' '; ' '; ' ')
' ' ' ' ' '

y z z x x y
u u yz zy zx xz xy yx
y z z x x y
 
∧ = = − − −
 ÷
 
r ur
Nhận xét:
1.
;u v
r r
cùng phương thì
( )
0 0;0;0u v∧ = =
r r r
2.
u v v u∧ = − ∧
r r r r
3.
( ); ( )u u v v u v⊥ ∧ ⊥ ∧
r r r r r r
4. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi
0AB AC∧ =
uuur uuur r
5. A, B, C , D không đồng phẳng hay lập thành một tứ diện
; . 0AB AC AD
 
≠
 

uuur uuur uuur
Ứng dụng để tính diện tích.
1. Diện tích tam giác
1
;
2
ABC
S AB AC
 
=
 
uuur uuur
2. Thể tích tứ diện
1
; .
6
ABCD
V AB AC AD
 
=
 
uuur uuur uuur
3. Thể tích khối hộp
.
; .
ABCD ABCD
V AB AC AD
 
=
 

uuur uuur uuur
Bài tập:
Bài 1.
a. Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1 ;1 ;0) , B(0 ;2 ;1), C(1 ;0 ;2), D(1 ;1 ;1)
b. Chứng minh rằng bốn điểm trên lập thành tứ diện. Tính thể tích khối tứ diện đó.
c. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.
d. Tính diện tích tam giác ABC. Tính đường cao AH của tam giác ABC.
e. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
f. Viết phương trính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 2.
a. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1 ;0 ;0), B(0 ;0 ;1), C(2 ;1 ;1).
b. Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.
c. Tính chiều cao AH của tam giác ABC.
d. Tìm tọa độ D sao cho ABCD là hình bình hành.
e. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
f. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
Bài 4 : MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Phương trình mặt phẳng:
a. Định nghĩa .
Cho vecto
0n ≠
r
có giá vuông góc với mặt phẳng được gọi là vecto pháp tuyến.
chú ý . Để viết phương trình mặt phẳng cần VTPT và điểm đi qua .
Nếu mp
α
có 2 VTCP là
,AB CD
uuur uuur
có thể VTPT bằng cách

;AB CD
 
 
uuur uuur
VTCP : là vecto có giá nằm trên mp hoặc song song với mp.
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
VTPT của (P)
( ; ; )n A B C=
r
1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
B1: Tìm toạ độ vectơ pháp tuyến
( ; ; )n A B C=
r
( là vectơ vuông góc với mặt phẳng)
B2: Tìm toạ độ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) thuộc mặt phẳng
B3: Thế vàp pt: A(x –x
0
) + B(y-y
0
) +C(z-z
0
) = 0, khai triển đưa pt về dạng: Ax + By +Cz + D = 0

2. Chú ý:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
a. VTPT của (P)
( ; ; )n A B C=
r
3. Các trường hợp đặc biệt:
3
Chứa trục Ox ( chứa
1
(1;0;0)e =
ur
)
Chứa trục Oy ( chứa
2
(0;1;0)e =
uur
Chứa trục Oz chứa
3
(0;0;1)e =
ur
a) Phương trình mp tọa độ: mp(Oxy): z = 0, mp(Oyz): x = 0, mp(Oxz): y = 0
b) Mp chứa gốc tọa độO(0; 0; 0): Ax + By + Cz = 0
c) Đặc biệt mp(P) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình dạng:
1
x y z
a b c
+ + =
Bài tập:
1. Cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)
a)Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ

(1; 1;5)n −
r
làm vectơ pháp tuyến
b)Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song mp đó là
(1;2; 1), (2; 1;3)a b− −
r
r
c)Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB
d)Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC
e)Viết phương trình mp (ABC)
2. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
a) (
α
) vuông góc với AB tại A, biết A(1;0;−2), B(2;1;1). b) (
α
) qua ba điểm M(2;−1;3), N(4;2;1), P(−1;2;3).
3. Trong không gian cho A(−1;2;1),
OB j k= +
uuur r r
,
4OC i k= +
uuur r r
.
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).
4. Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).
Viết phương trình mặt phẳng (ABC).Chứng tỏ A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
5. Viết phương trình mặt phẳng:

a) chứa trục Ox và điểm A(1; 2; 3) b) chứa trục Oy và điểm B(- 2 ; 3 ; 5)
c) chứa trục Oz và điểm C(2 ; -1 ; 2)
6. Cho tứ diện ABCD có A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)
a) Viết phương trình mp (ACD) và (BCD)
b) Viết phương trình mp chứa AB và song song CD
c) viết phương trình mp chứa CD và song song AB.
7. Viết phương trình các mp qua M(1; 3; -5) và lần lượt song song các mp tọa độ.
8. Cho điểm M(-2; 3; 1). Viết phương trình mp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các trục toạ độ.
9. Cho điểm M(-2; 3; 1). Viết phương trình mp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các mp toạ độ
10. ( TN 07 -08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2;
-1). Viết phương trình mp đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC
11.( ĐH khối B năm 07 -08) Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; -2; 1), C(-2; 0 1)
a) Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C ( đs: x + 2y – 4z + 6 = 0)
b) Tìm M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC. ( Đáp án: M(2; 3; -7)
II. Vị trí tương đối giữa hai mp:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0
Khi đó (P) và (P’) lần lượt có các vecto pháp tuyến là
( )
( ; ; ); ' '; '; 'n A B C n A B C= =
r ur
1. (P) // (P’)
( ) ( )
; ; '; '; '
'
'
'
A B C k A B C
n kn
D kD
D kD


=
=
 
⇔ ⇔
 
≠
≠




r ur
2.
( ) ( )
( ) ( )
; ; '; '; '
'
'
'
'
A B C k A B C
n kn
P P
D kD
D kD

=
=
 

≡ ⇔ ⇔
 
=
=




r ur
3. (P) cắt (P’)
( ) ( )
' ; ; '; '; 'n kn A B C A B C⇔ ≠ ⇔ ≠
r ur
Trong trường hợp này nếu AA’ +BB’ +CC’ = 0
'n n⇔ ⊥ ⇔
r r
hai mặt phẳng vuông góc
Chú ý:
Cho mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 suy ra (P) có VTPT
( ; ; )n A B C=
r
1. Nếu (P’) // (P) thì (P’) cũng nhận
( ; ; )n A B C=
r
là VTPT
2. Nếu
( ) ( )
'P P⊥
thì (P’) chứa hoặc chứa
( ; ; )n A B C=

r

Bài tập:
4
1. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
a) (
α
) qua A(0; −2; 1) và song song với mặt phẳng (
β
): x−3z+1=0.
b) (
α
) qua B(2 ; 3 ; -2) và song song với mặt phẳng (
β
): x−3y + 2z - 1=0.
c) (
α
) qua C( -1 ; 2 ; -1) và song song với mặt phẳng (
β
): 2x + y - 2z+4=0
d) (
α
) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (
β
): 4x + y - z+1=0.
2. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:

a) (
α
) qua hai điểm A(3;1;−1), B(2;−1;4) và vuông góc với mặt phẳng (
β
):2x−y+3z+1=0.
b) (
α
) qua hai điểm
( ) ( )
1;0;3 , 5;2;3A B−
và vuông góc với mặt phẳng (
β
):
2 0x y z+ − =
c) (
α
) qua hai điểm
( ) ( )
1;0;1 , 1;2;4A B
và vuông góc với mặt phẳng (
β
):
3 0x z
− + =
d) (
α
) qua hai điểm
( ) ( )
2; 1;2 , 1; 2;3A B− −
và vuông góc với mặt phẳng (

β
):
3 2 6 0x y+ − =
3. Viết phương trình mp qua B(4 ; -2 ; -1) và vuông góc với 2 mp (Oxy), mp (P) : x – y + 2z + 1 = 0
4. (TN 06 – 07)Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y – 2z – 4 = 0. Viết mp(Q) qua M và
song song với (P)
5. (CĐ 08 – 09) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P
1
) : x + 2y + 3z + 4 = 0 và (P
2
) :
3x + 2y − z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt phẳng
(P
1
) và (P
2
)
6. Xác định các giá trị của m, n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mp song song với nhau
a) 2x + my + 3z – 5 = 0 và nx – 8y – 6z +2 = 0
b) 3x – 5y + mz - 3 = 0 và 2x + nx – 3y – 3z + 1 = 0
Tóm tắt một số cách viết phương trình mặt phẳng :
Loại 1 : Biết một điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và một vectơ pháp tuyến

( )
≠
r ur
n= A;B;C 0
của mặt phẳng (α):
(α):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x- x +B y- y +C z -z = 0
(1)
Hay:
Ax+By+Cz+D= 0
Loại 2: (α) đi qua ba điểm M, N, P không thẳng hàng:
* Vectơ pháp tuyến:
∧
r uuur uuur
n=MN MP
.
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N hoặc P). Thay các kết quả vào (1).
Loại 3: (α) đi qua A(x
A
;y
A
;z
A
) và song song với mặt phẳng (β):
Ax+By+Cz+D= 0
* (α) có dạng
Ax+By+Cz+m=0
,

( )
α
uur uur
β
n =n
.
* Thay tọa độ điểm A vào (α) để tìm
( )
( )
A A A
m, m=- Ax +By +Cz
.
Loại 4: (α) đi qua hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng (β):
Ax+By+Cz+D= 0
,
(MN không vuông góc với (β):
* (α) có
α
∧
uur uuur uur
β
n =MN n
.
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N). Thay các kết quả vào (1).
MỘT SỐ PP TÌM PT MP
1mp(P) đi qua 3điểm M;N;P PP:
( )
,
P
M P

n MN MP
∈



 
=

 

r uuuur uuur

2)mp(P)đi qua 2 điểm A;B và song song trụcox PP:
3)mp(P)đi qua 2 điểm A;B song song oy PP:
4)mp(P) đi qua 2điểm A;B song song oz PP:

5)mp(P)đi qua 2 điểm A;B song song d PP:
6)mp(P) đi qua 2 điểm A;B và vuông góc mp(Q) PP :
7)mp(P) đi qua 2điểm A;B và song song đường thẳng CD pp:
5
8)mp(P) đi qua điểm A song song mp(Q) PP:
9)mp(P) đi qua A và vuông góc với d PP:
( )
P
d
A P
n u
∈




=


r uur
10)mp(P) đi qua A song song oy và vuông góc mp(Q) PP:
11)mp(P) đi qua A song song
1
d
và
2
d
(chéo nhau) PP:
12)mp(P) đi qua A vuông góc mp(Q)và vuông góc (R) PP:
13)mp(P) đi qua A và chứa d (M thuộc d ) PP:
( )
,
P
d
A P
n AM u
∈



 
=

 


r uuuur uur
14)mp(P) chứa d và vuông góc (Q)
( )
M d∈
PP:
( )
,
P d Q
M P
n u n
∈



 
=

 

uur uur uur
15)mp(P) chứa
1 2
àd v d
cắt nhau tại M PP:
16)mp(P) chứa 2 đường thẳng
1 2
d songsongd
(biết M
1 2
àNd v d∈ ∈

) PP:
*17)mp(P) chứa giao tuyến 2mp (Q); (R ) và đi qua A PP:
*18)mp(P) chứa giao tuyến 2mp (Q) ; (R ) và vuông góc (G) PP:
III. Khoảng cách từ một điểm đến 1 mặt phẳng:
Định lý: Cho điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) và mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
0 0 0
2 2 2
( ,( ))
Ax By Cz D
d M P
A B C
+ + +
=
+ +
Bài tập:
Loại 1 : Khoảng cách từ M (x
M
;y
M
;z
M
) đến mặt phẳng (α):
Ax+By+Cz+D= 0
:

( )
α
M M M
2 2 2
Ax +By +CZ +D
d M, =
A +B +C
Loại 2: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α), (β) song song: Lấy một điểm M tùy ý trên mặt phẳng này, tính
khoảng cách từ M điểm đó đến mặt phẳng kia.
1. Tính Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), biết:
a) M (1; 2; 3), (P): 2x – y + 2z – 10 = 0
b) M( 2; -2; 3), (P): 4x – 3z + 3 = 0
c) M ( 0; -1; 3), (P): 3y – 11 = 0
2.Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng lần lượt có phương trình: x + 2y + 2z + 11 = 0 và x + 2y + 2z + 2 = 0
3.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) và mp (P) có phương trình: (P): 2x – 3y + 6z + 19 = 0
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P). Tìm khoảng
cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q).
4.Tìm m để khoảng cách từ M(m;0;1) đến mặt phẳng (
α
): 2x+y−2z+2=0 bằng
2
3
. ĐS: m=±1
6
5.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4;0).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD

6.Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
7.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) .

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Chứng minh ABCD là một tứ diện
c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC)
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
8. ( TN năm 07 – 08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P) có phương trình:
2x – 2y + z – 1 = 0.Tính khoảng cách từ A đến mp(P). Viết phương trình của mp(Q) sao cho (Q)//(P) và
khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ A đến (P).
9. (TN năm 08 – 09) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)
2
+ (y -2)
2
+ (z -2)
2
= 36 và mặt phẳng (P):
x +2y + 2z + 18 = 0. Xác định tâm T và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến (P).
10.Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
11. (ĐH – khối B – 09)Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 1), B(-2; 1; 3), C(2; -1; 1) và
D(0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách
từ D đến (P).
Hướng dẫn: có 2 trường hợp :
(P) chứa AB và song song CD ( Đs : 4x + 2y + 7z – 15 = 0
(P) qua A, B và M là trung điểm của CD ( Đs : 2x + 3z – 5 = 0)
12.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) . Tính thể tích tứ diện
ABCD.
13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật OABC.O’A’B’C’ có các đỉnh A(3; 0; 0),
C(0; 4; 0), O’(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và điểm B’ là đỉnh đối diện với O.
a) Viết phương trình mặt phẳng (ACO’) và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng này.
b) Tìm tọa độ điểm B’. Tính khoảng cách từ O đến (ACB’)
14.Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.

a) Chứng minh (AB’D’)//(BC’D)
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên
Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để giải các bài toán liên quan:
AD1: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng cho trước


Mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) thì có bán kính bằng khoảng cách từ tâm I đến mp(P)
15.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2). Viết phương trình mặt
cầu tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD)
16.Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).Viết phương trình mặt cầu tâm
D và tiếp xúc mp (ABC).
17.( TN năm 06 – 07) Trong không gian Oxyz, cho mp(α): x + 2y – 2z +6 = 0.Viết phương trình mặt cầu tâm là
gốc toạ độ và tiếp xúc với mp(α).
18.(Khối B – năm 2005)Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứngABC.A’B’C’ với A(0; -3; 0), B(4; 0;
0), C(0; 3; 0), B’(4; 0; 4). Tìm toạ độ điểm A’, C’. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc mặt
phẳng (BCC’B’)
AD2: Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:


Nhắc lại một số công thức:
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và mp(P)
Để xét vị trí tương đối của (S) và (P), ta tính khoảng cách từ I đến (P) và so sánh với bán kính R
a) Nếu
( )
( )
,d I P R>
thì mặt cầu (S) và mp(P) không có điểm chung
b) Nếu
( )
( )

,d I P R=
thì mặt cầu (S) và mp(P) có duy nhất 1 điểm chung.
Trường hợp này, ta nói (S) và (P) tiếp xúc
7
c) Nếu
( )
( )
,d I P R<
thì mặt cầu (S) và mp(P) cắt nhau theo 1 đường tròn (C) có tâm là
hình chiếu của I lên (P) và bán kính
( )
( )
,
2 2
I Pr R d= −
19. Cho mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 2 1 100x y z− + + + − =
và mặt phẳng
( )
α
2x – 2y – z + 9 = 0. Chứng tỏ mặt
phẳng
( )
α
cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy tính bán kính của đường tròn (C).
20. Cho mặt cầu (S) :
6 4 2 5
2 2 2

0
x x y z
y z
− + − +
+ + =
và mặt phẳng
( )
α
x + 2y + 2z + 11 = 0. Chứng tỏ mặt
phẳng
( )
α
không cắt mặt cầu (S) .
21. Cho mặt cầu (S):
4 6 6 17
2 2 2
0
x x y z
y z
− + + +
+ + =
và mặt phẳng
( )
α
x – 2y +2z + 1 = 0. Chứng tỏ mặt
phẳng
( )
α
cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy tính bán kính của đường tròn (C).
22. Cho tứ diện ABCD có A(3; 6; -2), B(6; 0; 1), C(-1; 2; 0), D(0; 4; 1).

a) Viết pt mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và tính bán kính mc (S)
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
23. (ĐH – Khối B - 07) Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x +4y +2z -3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q)
chứa trục Ox và cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính bằng 3.
24.Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng(P) có phương trình: 2x + 2y + z – m
2
– 3m = 0 và mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 9x y z− + + + − =
. Tìm m để (P) tiếp xúc mặt cầu.
Hướng dẫn : dùng điều kiện tiếp xúc. Đáp số: m = - 5 hoặc m = 2
AD3: Vận dụng khoảng cách để viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

Nhắc lại công thức: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)
( )
( )
,d I P R=⇔
25. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng ( P) lần lượt có phương trình
x
2
+ y
2

+z
2
- 2x + 2y +4z - 3 = 0 ; x – y – 2z + 1 = 0 .
Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp (P)
26.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D.
b) Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp(ABD)
Đs: a) x
2
+ y
2
+ z
2
–3x – 6y – 2z + 7 =0 b)
21
1 0
2
z ± − =
Bài 5 : ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Viết PTTS, PTCT của đường thẳng
Định ngĩa : Vecto có giá nằm trên đường thẳng hoặc song song với đường thẳng gọi là veto chỉ phương
(VTCP) của đường thẳng đó.
B1: Tìm toạ độ vectơ chỉ phương (a; b; c) ( là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.

B2: Tìm toạ độ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) thuộc đường thẳng
B3: PTTS:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

PTCT:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =

2. Chú ý.
Để viết phương trình đường thẳng ta phải VTCP và điểm đi qua
a)
Nếu đường thẳng d là giao tuyến của hai mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0
Khi đó đt d có VTCP:
'
; ;
' ' ' ' ' '
P P
B C C A A B
u n n
B C C A A B
 
= ∧ =
 ÷
 
r uur uur
Muốn tìm một điểm thuộc d thì ta cho x = x
0
(thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z
b) Đường thẳng d qua 2 điểm A, B thì d có VTCP là
AB
uuur
8
c) Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng(P) thì d có VTCP là VTPT của (P)
d) đường thẳng d song song với đường thẳng
∆
thì d và
∆
có cùng VTCP

e) hai đường thẳng vng góc thì hai vectơ chỉ phương của chúng vng góc
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Đường thẳng (d) đi qua A,B




=
ABaVtcp
hayBquaA
d
d
)(
)(
Dạng 2: Cách viết pt đường thẳng (d) qua A và song song (∆).
B1: Tìm
u
∆
uur
.
B2: Vì d//
∆
nên
d
u u
∆
=
uur uur
.Sử dụng công thức (*) hoặc (**) để viết pt của (d).
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp

α
B1: Tìm VTPT của (α) là
n
α
uur
.
B2: Vì
( )d
α
⊥
nên
d
u n
α
=
uur uur
.Sử dụng công thức (*) hoặc (**) để viết pt của (d).
Dạng 4: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d
1
),(d
2
)
B1: Tìm
1 2
,
d d
u u
uur uur
B2:Vì d vuông góc với d
1

và d
2
nên d có
VTCP
d
u
uur
=
1 2
,
d d
u u
 
 
uur uur
Sử dụng công thức (*) hoặc (**) để viết pt của (d).
Dạng 5: Hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mp α :
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp(α) :( như dạng 3)
 Tọa độ H(x ;y ;z) thỏa hpt :
( )
Ptr d
Ptr ( )



α


.

2.H là hình chiếu của M (
1 1 1
( ; ; )M x y z
trên đường thẳng d :
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

.
B1 :Tìm VTCP của d.
B2 : Lấy
0 0 0
( , ; )H x at y bt z ct+ + +
∈
d. ; Tính
MH
uuuur
.
B3 : H là hình chiếu của M lên d
d

MH u⇔ ⊥
uuuur uur
. 0
d
MH u⇔ =
uuuuruur
.Giải pt tìm t thay vào H ta được hình
chiếu H .
Dạng 6 : Điểm đối xứng
a/ Tìm điểm M
/
đối xứng với điểm M qua mp(P) :
• Lập pt đt (d) đi qua điểm M và vuông góc mp(P).
• Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P) .
• A
/
đối xứng với A qua (P) ⇔ H là trung điểm của MM
/
nên :

/
/
/
2
2
2
H M
M
H M
M

H M
M
x x x
y y y
z z z

= −

= −


= −

b/ Tìm điểm M
/
đối xứng với điểm M qua đt(d) :
• Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P) .
• A
/
đối xứng với A qua (d) ⇔ H là trung điểm của MM
/
nên :
9

/
/
/
2
2
2

H M
M
H M
M
H M
M
x x x
y y y
z z z

= −

= −


= −


BÀI TẬP:
1. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) đi qua A(1;2;3) và B(3; 5; 7)
b) (d) qua C(-2; 0; 2) và D(1; -2; 3)
2. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) qua M(-1; 3; 1) và vng góc với mặt phẳng(P): 2x – y + 3z + 1 = 0
b) (d) qua N(0; 2; 3 ) và vng góc với mặt phẳng(Q): x + y - z = 0
3. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) qua K(-2; -1; 3) và song song đường thẳng
4
1
3

x t
y t
z t
=


∆ = −


= +

b) (d) qua K(0; 3; -2) và song song đường thẳng
3
2
1 5
x t
y
z t
= −


∆ =


= − +

4. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng :
a) (P): x + 2y – 2z + 1= 0 và (Q): x – y + z – 4 = 0
b) (P): 3x - y – z + 2 = 0 và (Q): x + 2z + 1 = 0
5. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2; -1; 3) và vng góc

với hai đường thẳng:
1 2
:
2 3 1
x y z+ −
∆ = =
−
và
3 1
':
3 4 2
x y z− +
∆ = =
−
6. (TN năm 2007) Trong khơng gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y – 2z – 4 = 0.Viết phương trình
tham số của đường thẳng d qua M và vng góc với (P). Tìm toạ độ giao điểm của d và mp(P)
7. (TN năm 2008)Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P) : 2x – 2y + z – 1 =
0. Viết phương trình của đường thẳng đi qua A và vng góc với mp(P)
8. (TN năm 2009) Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x +2y + 2z + 18 = 0. Viết phương trình tham
số của d đi qua T và vng góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)
9. (ĐH- Khối A- 2005)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:
x 1 y 3 z 3
1 2 1
− + −
= =
−
và mp(P): 2x + y – 2z + 9 = 0. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mp (P) bằng 2.
10. Tìm tọa độ H là hình chiếu vng gốc của M=(1;-1;2) trên mặt phẳng
( ): 2 2 11 0
( ): 3 27 0

1 2
1
2
x y z
x y z
x t
y t
t
α
α
− + + =
+ − − =
= +


= − −



( ): 2 2 11 0x y z
α
− + + =
11. Cho điểm M ( 2;1;0) và mặt phẳng
( ): 3 27 0x y z
α
+ − − =
. Tìm tọa độ M
’
đối xứng với M qua
( )

α
12. Tìm tọa độ A
’
đối xứng với A(1;-2;-5) qua đường thẳng d có phương trình
1 2
1
2
x t
y t
t
= +


= − −



II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GI ỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẰNG
10
Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +



= +

Xét hệ phương trình
( )
( )
( )
( )
0
0
0
1
2
3
0 4
x x at
y y bt
z z ct
Ax By Cz D
= +


= +


= +


+ + + =


Thay (1), (2), (3) vào (4), ta có phương trình : A(x
0
+ at) + B(y
0
+ bt) + C(z
0
+ ct) + D = 0 (*)
TH1: (*) vô nghiệm thì d và (P) không có giao điểm hay d và (P) song song
TH2: (*) có 1 nghiệm t duy nhất thì d và (P0 có 1 giao điểm hay d và (P) cắt nhau tại 1 điểm
TH3: (*) có vô số nghiệm thì d và (P) có vô số giao điểm hay d nằm trong mặt phẳng (P)
Chú ý:
4. Trong trường hợp d // (P) hoặc
( )
d P⊂
thì VTCP của d và VTPT của (P) vuông góc
5. Khi d // (P) thì khoảng cách giữa d và (P) chính là khoảng cách từ một điểm trên d đến mặt
phẳng (P)
13. Tìm số giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P):
a)
( )
12 4
: 9 3 ; :3 5 2 0
1
x t
d y t P x y z
z t
= +



= + + − − =


= +

b)
( )
1
: 2 ; : 3 1 0
1 2
x t
d y t P x y z
z t
= +


= − + + + =


= +

c)
( )
1
: 1 2 ; : 4 0
2 3
x t
d y t P x y z
z t
= +



= + + + − =


= −

d)
( )
1 3
: 1 2 ; : 6 2 3 1 0
3 5
x t
d y t P x y z
z t
= +


= − + − − + =


= −

11 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1) D(-1;-5;3).
a) Lập phương trình tổng quát đường thẳng AB.
b) Lập phương trình mp (P) đi qua điểm C và vuông góc với đường thẳng AB.
c) Lập phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng CD
xuống mặt phẳng (P).
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
Bài 12: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0), B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6).

a) Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vuông góc với mặt phẳng (ABC).
d) Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC).
e) Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB.
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho
∆
qua M(x
0
; y
0
; z
0
) và có vectơ chỉ phương
( )
; ;u a b c=
r


∆
’ qua M’(x’
0
; y’
0
; z’
0
) và có vectơ chỉ phương
( )
' '; '; 'u a b c=

ur

11
có PTTS là:
0 0
0 0
0 0
' ' '
; ' ' ' '
' ' '
x x at x x a t
y y bt y y b t
z z ct z z c t
= + = +
 
 
∆ = + ∆ = +
 
 
= + = +
 
*) Nếu thấy
'u ku=
r ur
thì lấy tọa độ điểm
M ∈∆
thế vào phương trình đường thẳng
∆
’. Xảy ra 2 khả
năng:

TH1:
'M ∈∆
thì hai đường thẳng trên trùng nhau
TH2:
'M ∉∆
thì 2 đường thẳng trên song song
*) Nếu thấy
'u ku≠
r ur
thì giải hệ phương trình gồm hai phương trình của 2 đường thẳng
0 0
0 0
0 0
' ' '
' ' '
' ' '
x at x a t
y bt y b t
z ct z c t
+ = +


+ = +


+ = +

TH3: hệ có duy nhất nghiệm thì hai đường thẳng trên cắt nhau
TH4: hệ vô nghiệm thì hai đường thẳng trên chéo nhau
*) Nếu aa’+ bb’ + cc’ = 0 thì hai đường thẳng trên vuông góc.

14. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
a)
'
2 4 ; ' 1 4 '
3 3 3 3 '
x t x t
y t y t
z t z t
= = −
 
 
∆ = − ∆ = +
 
 
= − − = − +
 
b)
9
3
5 ; ':
18 10 2
3
x t
x y z
y t
z t
=

+


∆ = ∆ = =

− −

= − −

c)
1 7 3 6 1 2
: ; ':
2 1 4 3 2 1
x y z x y z
d d
− − − − + +
= = = =
−
d)
1
2 3
: ; ': 2
1 2 3
2 3
x t
x y z
d d y t
z t
= +

+ +

= = = − +



= +

e)
1 2 1 '
2 2 ; ' 3 2 '
3 1
x t x t
y t y t
z t z
= − = +
 
 
∆ = + ∆ = −
 
 
= =
 
15. Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình:
1 1 3 1 3
: ; ':
3 2 2 1 1 2
x y z x y z
d d
+ − − − +
= = = =
−
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và d’
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng đó.

16. Cho 2 đường thẳng
1 3 '
4 2 ; ' 3 2 '
3 2
x x t
d y t d y t
z t z
= = −
 
 
= − + = +
 
 
= + = −
 
a) Chứng minh d và d’ chéo nhau
b) Viết phương trình mặt phẳng(P) chứa d và song song d’. Viết phương trình mặt phẳng (Q)
chứa d’ và song song d. Từ đó suy ra vị trí tương đối giữa (P) và (Q).
12
CHỦ ĐỀ 1.
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. Giải phương trình vô tỉ bằng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ
quả.
A. Lý thuyết:
1)



=
≥

⇔=
2
0
BA
B
BA
2) Dạng:
CBA =+
3) Dạng:
DCBA +=+
.
* Nếu A+B = C+D (hoặc A.B = C.D) thì bình phương 2 vế ta được phương
trình tương đương.
* Nếu A+C = B+D (hoặc A.C = B.D) thì phải đưa phương trình về dạng:
BDCA −=−
sau đó bình phương hai vế, tìm nghiệm sau đó thử lại để chọn
nghiệm.
4) Dạng:
3
33
CBA =+

* Lập phương hai vế ta được:
CBAABBA =+++ )(.3
333
.
Sau đó thay thế:
3
33
CBA =+

vào phương trình, ta được:
CABCBA =++
3
.3
13
Chú ý: sự thay thế này có thể dẫn đến nghiệm ngoại lai, vì vậy phải thử lại
nghiệm.
B. Bài tập:
Bài 1. Giải các phương trình:
1)
xxx 41143
2
−=+−
2)
98214 +=+++ xxx
3)
1321533 +=−−+ xxx
4)
1352134
22
−=+−+−−
xxxxx
Bài 2. Giải các phương trình:
1)
8434312 ++−=+++ xxxx
2)
xxxx −++=−+− 4233256
3)
3
2

1
1 1 3
3
x
x x x x
x
+
+ + = − + + +
+
4)
1321
1
32
2
+=+−−+
−
+
xxx
x
x
Bài 3. Giải các phương trình:
1)
1334
33
=−−+ xx
2)
333
3221 −=−+− xxx
3)
333

13112 +=−+− xxx
Bài 4. Giải các phương trình sau:
1)
xx
x
x
−=−−
−
123
23
2
2)
2
2
12
5
1
x
xx
+
=−+
3)
16
40
16
2
2
+
=++
x

xx
4)
x
x
x
x
x =−+−
22
2
77
14
II. Giải phương trình vô tỉ bằng cách trục căn thức.
* Áp dụng cho các trường hợp sau:
- Đưa được về dạng đơn giản hơn.
- Nhẩm được phương trình có một nghiệm x = x
0
.
Bài tập:
Giải các phương trình sau:
1)
165
7212
4
−=
−−+
x
xx
2)
( )
2 2 2 2

3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x
− + − − = − − − − +
3)
23132
22
−++=++− xxxxx
III. Phương pháp đặt ẩn phụ
Dạng 1. Đặt ẩn phụ hoàn toàn bằng đại số:
Bài 1. Giải các phương trình:
1)
xxxx 271105
22
−−=++
2)
211
2
4
2
=+++++ xxxx
3)
2)3)(1(31 =−+−−++ xxxx
4)
2311121
2
−+−=−−+ xxxx
Bài 2. Giải các phương trình
1)
224222
2
+−−=+−− xxxx

2)
352163132
2
+++−=+++ xxxxx
15
Bài 3. Giải các phương trình:
1)
8
2
73
)2(3
2
=
−
+
−−+
x
x
xxx
2)
0122152
3
5
)3(
2
=−−++
+
−
+ xx
x

x
x
Bài 4. Giải các phương trình:
1)
4
2
1
2
2
5
5 ++=+
x
x
x
x
2)
2222
4.344 xxxx −+=−+
Bài 5. Giải các phương trình:
1)
3
1
2
2
2
1
=
+
+
−

+
+
x
x
x
x
2)
4
2
5.556 xxxx −=−+
Bài 6. Giải các phương trình:
1)
2
1
2 3 1x x x x
x
+ − = +
2)
2 4 23
2 1x x x x+ − = +
(HD: Chia cả hai vế cho x )
Dạng 2. Đặt ẩn phụ hoàn toàn bằng lượng giác:
* Có thể áp dụng cho các phương trình mà ĐK của biến số thuộc một đoạn
[a; b]
Giải các phương trình:
1)
3 2
4 3 1x x x− = −
2)
2 2 2

4 3 1x x x− = −
(Chia 2 vế cho x
3
)
3)
3 2 2
4 12 9 1 2x x x x x− + − = −
(Đặt (x-1) = sint)
16
4)
(
)
2 2
1 1 1 2 1x x x+ − = + −
5)
3
6 1 2x x+ =
(lập phương 2 vế)
6)
[ ]
3262
)1(8135 xxx −+=−+
Dạng 2. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:
Bài 1. Giải các phương trình:
1)
312
2323
=−++++ xxxx
2)
35212

3
=−−+ xx
3)
3111
44
4
2
=++−+− xxx
4)
3118
44
=−+− xx
Bài 2. Giải các phương trình:
1)
3
3
12.21 −=+ xx
,(y =
3
12 −x
) 2)
332
2
+=−− xxx
, (y-1 =
3+x
)
3)
826
2

+=−− xxx
, (y-3 =
8+x
) 4)
263
3
4
2
−−=
+
xx
x

IV. Một số bài toán về phương trình vô tỉ có chứa tham số:
A. Lý thuyết :
* Phương trình : f(x) = m có nghiệm trên tập D
)()(min xfMaxmxf
D
D
≤≤⇔
* Chú ý : Xét bài toán : tìm m để phương trình f(x,m)=0 có nghiệm, ta có
thể làm như sau :
Bước 1 : Tìm ĐK tồn tại của phương trình, giả sử x thuộc tập D (tập D
là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
Bước 2 : Đưa phương trình f(x,m) = 0 về dạng g(x) = m.
17
Bước 3 : Xét sự biến thiên, tìm GTLN và GTNN nếu có, của g(x) trên tập
D.
Bước 4 : Lâph BBT, từ BBT suy ra ĐK có nghiệm của phương trình.
* Thường thì đây là các bài toán ta phải đặt ẩn phụ (như các dạng đã được nêu

trong phần giải phương trình vô tỉ trên đây), Chú ý rằng ĐK của ẩn phụ phải
chính xác.
Ví dụ 1 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
127
3
−=+− xmxx
Giải:
Với ĐK
2/1
≥
x
, phương trình đã cho
1447
23
+−=+−⇔ xxmxx
⇔
x
3
– 4x
2
– 3x – 1 = – m <=> f(x) = - m. (1)
Xét hàm số f(x) trên






+∞;
2

1
, ta có
f ’(x) = 3x
2
– 8x – 3 ; f ‘(x) = 0



−=
=
⇔
)(3/1
3
loaix
x
f(3) = - 19, f(1/2) = - 27/8.
* BBT (hình bên).
Từ BBT suy ra (1) có nghiệm trên






+∞;
2
1
(tức phương trình đã cho có
nghiệm)
1919

≤⇔−≥−⇔
mm
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
18
x
f’(x)
f(x)
1/2
3
+
_
0-
+
-27/8
-19
+
_
2
11
2215)53(
2
−≤−++−++ mxxxxm
(1)
Hướng dẫn:
* ĐK:
53
≤≤−
x
* Đặt
xxt −++= 53

,
422 ≤≤ t
Suy ra:
2
8
215
2
2
−
=−+
t
xx
Nên (1) trở thành:
mtgm
t
t
m
t
mt 2)(2
2
3
2
11
2
2
8
22
−≤⇔−≤
−
+

⇔−≤
−
+
* Khảo sát sự biến thiên của hàm số g(t) trên đoạn
[ ]
4;22
,
* Lập BBT và từ BBT suy ra các giá trị cần tìm.
B. Bài tập:
Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình
3
2 2
1 x 2 1 x m- + - =

1) có nghiệm thực duy nhất, 2) có nghiệm thực.
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất:
3
4
x 1 x 2m x(1 x) 2 x(1 x) m+ - + - - - =
.
Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình
2
x 2x m 2x 1+ - = -

có 2 nghiệm thực phân biệt.
Bài 4. Tìm điều kiện của m để phương trình
1 1
x x x m
2 4
+ + + + =

có nghiệm
thực.
19
Bài 5. Tìm điều kiện của m để phương trình
2
2
m
16 x 4 0
16 x
- - - =
-
có
nghiệm thực.
Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình
x 1 x 2
m 2 0
x 2 x 1
- +
- + =
+ -
có nghiệm
thực.
Bài 7. Tìm điều kiện của m để phương trình
4
2
x 1 m x 1 2 x 1 0+ - - + - =
có
nghiệm thực (A-2007).
Bài 8. Chứng minh mọi m > 0 phương trình
)2(82

2
−=−+ xmxx
(B-
2007)
Bài 9. Tìm điều kiện m để phương trình
mxxxx =−+−++ 626222
44
có hai
nghiệm thực phân biệt (A-2008)
Bài 10. Tìm điều kiện m để phương trình
x 4 x 4 x x 4 m+ - + + - =
có
nghiệm thực.
Bài 11. Tìm điều kiện m để phương trình
x m
x 6 x 9 x 6 x 9
6
+
+ - + - - =
có
nghiệm thực.
Bài 12. Tìm m để phương trình
x 1 3 x (x 1)(3 x) m- + - - - - =
có nghiệm
thực.
20
Bài 13. Tìm m để phương trình
4
4 4
x 4x m x 4x m 6+ + + + + =

có nghiệm thực.
Bài 14. Chứng tỏ rằng phương trình
2
3x 1
2x 1 mx
2x 1
-
= - +
-
luôn có nghiệm thực
với mọi giá trị của m.
Bài 15. Tìm m để phương trình
x 1
(x 3)(x 1) 4(x 3) m
x 3
+
- + + - =
-
có nghiệm thực.
Bài 16. Tìm m để phương trình
3
3
1 x 1 x m- + + =
có nghiệm thực.
Bài 17 (trích đề thi ĐH khối B – 2004). Tìm điều kiện của m để phương trình:
( )
2 2 4 2 2
m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x+ - - + = - + + - -
có nghiệm thực.
Bài 18. Tìm m để phương trình

2
m x 2 x m+ = +
có 2 nghiệm thực phân biệt.
21