Bài giảng định thức trong đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (863.83 KB, 67 trang )
ĐỊNH THỨC
Bài giảng điện tử
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 1 / 67
Bài toán thực tế
Bài toán thực tế - Tính diện tích tam giác
S =
1
2
abs|[
−→
AB,
−→
AC ]| =
1
2
abs
2, 5 1 1
3 2 1
1 3 1
=
5
4
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 2 / 67
Bài toán thực tế
Tính thể tích của hình lăng trụ
−→
a = (a
1
, a
2
, a
3
);
−→
b = (b
1
, b
2
, b
3
);
−→
c = (c
1
, c
2
, c
3
)
⇒ V = abs([
−→
a ×
−→
b ],
−→
c ) = abs
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
c
3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 3 / 67
Bài toán thực tế
Nội dung
1
Khái niệm và tính chất của định thức
2
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 4 / 67
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
) ∈ M
n
(K ) là ma trận vuông cấp n.
Định thức của ma trận A = (a
ij
) là một số, được
ký hiệu là detA hoặc |A|.
Vậy
det : M
n
(K ) → K
A → detA.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 5 / 67
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
) ∈ M
n
(K ) là ma trận vuông cấp n.
Ta gọi M
ij
là định thức con phụ của phần tử a
ij
.
Định thức M
ij
là định thức cấp (n − 1) thu được
bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của
định thức |A|
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 6 / 67
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
|A| =
a
11
. . . a
1(j−1)
a
1j
a
1(j+1)
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
(i−1)1
. . . a
(i−1)(j−1)
a
(i−1)j
a
(i−1)(j+1)
. . . a
(i−1)n
a
i1
. . . a
i(j−1)
a
ij
a
i(j+1)
. . . a
in
a
(i+1)1
. . . a
(i+1)(j−1)
a
(i+1)j
a
(i+1)(j+1)
. . . a
(i+1)n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
. . . a
n)(j−1)
a
nj
a
n(j+1)
. . . a
nn
n×n
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 7 / 67
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
M
ij
=
a
11
. . . a
1(j−1)
a
1(j+1)
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
(i−1)1
. . . a
(i−1)(j −1)
a
(i−1)(j +1)
. . . a
(i−1)n
a
(i+1)1
. . . a
(i+1)(j −1)
a
(i+1)(j +1)
. . . a
(i+1)n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
. . . a
n(j−1)
a
n(j+1)
. . . a
nn
(n−1)×(n−1)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 8 / 67
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
) ∈ M
n
(K ) là ma trận vuông cấp n.
Ta gọi A
ij
= (−1)
i+j
M
ij
là phần bù đại số của
phần tử a
ij
.
Định nghĩa
(Khai triển theo hàng.) Định thức của ma trận
vuông cấp n A = (a
ij
) là một số bằng
n
j=1
a
1j
A
1j
= a
11
A
11
+ a
12
A
12
+ . . . + a
1n
A
1n
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 9 / 67
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
detA =
a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
. . . a
ij
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n 1
. . . a
nj
. . . a
nn
=
n
j=1
a
1j
A
1j
=
=
n
j=1
a
1j
.(−1)
1+j
M
1j
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 10 / 67
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
1
n = 1, A = (a
11
) ⇒ |A| = a
11
.
2
n = 2, A =
a
11
a
12
a
21
a
22
⇒ |A| =
(−1)
1+1
a
11
M
11
+ (−1)
1+2
a
12
M
12
= a
11
a
22
− a
12
a
21
.
3
n = 3, A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
⇒ |A| =
(−1)
1+1
a
11
M
11
+ (−1)
1+2
a
12
M
12
+ (−1)
1+3
a
13
M
13
= (−1)
1+1
a
11
a
22
a
23
a
32
a
33
+ (−1)
1+2
a
12
a
21
a
23
a
31
a
33
+
(−1)
1+3
a
13
a
21
a
22
a
31
a
32
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 11 / 67
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Ví dụ
Tính định thức detA với A =
1 2 3
4 2 1
3 1 5
Giải. Khai triển theo hàng 1: |A| = 1.A
11
+ 2.A
12
+ 3.A
13
.
A
11
= (−1)
1+1
2 1
1 5
= 2.5 − 1.1 = 9,
A
12
= (−1)
1+2
4 1
3 5
= −(4.5 − 1.3) = −17,
A
13
= (−1)
1+3
4 2
3 1
= 4.1 − 2.3 = −2.
Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 12 / 67
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Tính chất của định thức
Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1
hàng bất kỳ.
detA =
a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
. . . a
ij
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n 1
. . . a
nj
. . . a
nn
=
n
j=1
a
ij
A
ij
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 13 / 67
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1
cột bất kỳ.
detA =
a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
. . . a
ij
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n 1
. . . a
nj
. . . a
nn
=
n
i=1
a
ij
A
ij
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 14 / 67
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì
ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng
nhiều số 0 càng tốt.
Tính định thức detA với A =
1 2 3
0 2 0
3 1 5
Giải. Khai triển theo hàng 2:
|A| = 0.A
21
+ 2.A
22
+ 0.A
23
= 2.(−1)
2+2
1 3
3 5
= 2(1.5 − 3.3) = −8.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 15 / 67
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Tính định thức detA với A =
1 2 3
2 1 0
3 1 0
Giải. Khai triển theo cột 3 ta được
|A| = 3.A
13
+ 0.A
23
+ 0.A
33
=
3.(−1)
1+3
2 1
3 1
= 3(2.1 − 1.3) = −3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 16 / 67
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Định lý
Định thức của ma trận tam giác trên và tam giác
dưới bằng tích của các phần tử nằm trên đường
chéo chính.
Khai triển định thức theo cột 1 ta được
a
11
a
12
. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn
= a
11
.(−1)
1+1
.
a
22
a
23
. . . a
2n
0 a
33
. . . a
3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn
=
= . . . = a
11
.a
22
. . . . a
nn
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 17 / 67
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Khai triển định thức theo hàng 1 ta được
a
11
0 0 0
a
21
a
22
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
m2
. . . a
nn
= a
11
.(−1)
1+1
.
a
22
0 0 0
a
32
a
33
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n2
a
n3
. . . a
nn
=
= . . . = a
11
.a
22
. . . . a
nn
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 18 / 67
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Định lý
Định thức của ma trận chuyển vị của ma trận A
bằng định thức của ma trận A: detA
T
= detA.
Ví dụ
Cho A =
1 3 5
2 4 6
2 1 8
⇒ A
T
=
1 2 2
3 4 1
5 6 8
. Khi
đó detA
T
= detA = −16
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 19 / 67
Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức
1
Nếu A
h
i
↔h
j
(c
i
↔c
j
)
−−−−−−−→ B thì detB = −detA .
2
Nếu A
h
i
→λh
i
(c
i
→λc
i
)
−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với
λ = 0.
3
Nếu A
h
i
→h
i
+λ.h
j
(c
i
→c
i
+λc
j
)
−−−−−−−−−−−−−→ B thì
detB = detA, ∀λ ∈ K
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 20 / 67
Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức
Hệ quả
1
Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì
định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do
A
h
i
↔h
j
(c
i
↔c
j
)
−−−−−−−→ A trong đó i, j là 2 hàng hoặc 2 cột
giống nhau nên detA = −detA ⇒ detA = 0.
2
Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì
định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do
A
h
i
→λh
i
(c
i
→λc
i
)
−−−−−−−−→ B với λ = 0 là tỉ số đồng dạng, nên
detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma
trận có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên
detB = 0 ⇒ detA = 0.
3
Định thức của ma trận sơ cấp khác không.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 21 / 67
Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức
Ví dụ
Tính định thức
2 3 −4 5
3 −5 2 4
5 4 3 −2
−4 2 5 3
2 3 −4 5
3 −5 2 4
5 4 3 −2
−4 2 5 3
h
2
→h
2
−h
1
======
h
4
→h
4
+2h
1
2 3 −4 5
1 −8 6 −1
5 4 3 −2
0 8 −3 13
h
1
→h
1
−2h
2
======
h
3
→h
3
−5h
2
0 19 −16 7
1 −8 6 −1
0 44 −27 3
0 8 −3 13
Khai triển theo cột 1
====== 1.(−1)
2+1
.
19 −16 7
44 −27 3
8 −3 13
=
= −2858.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 22 / 67
Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức
Ví dụ
Tính định thức
x a a a
a x a a
a a x a
a a a x
x a a a
a x a a
a a x a
a a a x
c
1
→c
1
+c
2
+c
3
+c
4
======
x + 3a a a a
x + 3a x a a
x + 3a a x a
x + 3a a a x
cột 1
======
(x+3a)
1 a a a
1 x a a
1 a x a
1 a a x
h
2
→h
2
−h
1
h
3
→h
3
−h
1
h
4
→h
4
−h
1
==== (x+3a)
1 a a a
0 x − a 0 0
0 0 x − a 0
0 0 0 x − a
=
= (x + 3a)(x − a)
3
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 23 / 67
Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức
Định lý
Giả sử
A =
A
1∗
A
2∗
.
.
.
A
i∗
.
.
.
A
n∗
=
A
1∗
A
2∗
.
.
.
λB
i∗
+ µC
i∗
.
.
.
A
n∗
thì
detA = λ.det
A
1∗
A
2∗
.
.
.
B
i∗
.
.
.
A
n∗
+ µ.det
A
1∗
A
2∗
.
.
.
C
i∗
.
.
.
A
n∗
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 24 / 67
Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức
Ví dụ
Tính định thức
a + x x x
x b + x x
x x c + x
a + x x x
x b + x x
x x c + x
=
x x x
x b + x x
x x c + x
+
a 0 0
x b + x x
x x c + x
=
x x x
x x x
x x c + x
+
x x x
0 b 0
x x c + x
+
a 0 0
x b + x x
x x c + x
=
x x x
0 b 0
x x c + x
+
a 0 0
x b + x x
x x c + x
=
bcx + a(bc + bx + cx) = abc + (ab + bc + ca)x.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 25 / 67
