Hình học họa hình dành cho sinh viên kiến trúc

BAẽCH KHOA Aè NễNG 2006

Dổồn


g
Thoỹ
AI HOĩC Aè NễNG
TRặèNG AI HOĩC BAẽCH KHOA
HầNH HOĩC
HOĩA HầNH
2
DNG CHO SINH VIấN NGNH KIN TRC
MC LC

Chng1

PHNG PHÁP HÌNH CHIU PHI CNH


A.
BIU DIN IM , NG THNG,MT PHNG :
§1. H THNG HÌNH CHIU PHI CNH : 03
§2. BIU DIN IM : 04
§3. BIU DIN NG THNG : 05
§4. S LIÊN THUC CA IM & NG THNG: 06
§5. IM T CA NG THNG : 07
§6. V TRÍ TNG I CA HAI NG THNG: 08
§7. BIU DIN MT PHNG : 08
§8. NG T CA MT PHNG : 09

B.
CÁC PHNG PHÁP V HÌNH CHIU PHI CNH THEO HAI


HÌNH THNG GÓC Ã CHO .
§1. V HÌNH CHIU PHI CNH THEO PHNG PHÁP KIN TRÚC
S: 12
§2. H THP HAY NÂNG CAO MT BNG KHI V HÌNH CHIU
PHI CNH : 15
§3. PHNG PHÁP VT TIA: 17
§4. PHNG PHÁP LI PH TR : 18
§5. V HÌNH CHIU PHI CNH KHI IM T RA NGOÀI PHM
VI BN V : 20
§6. MT S NG DNG : 22
§7. MT S BÀI V THAM KHO: 30

Chng hai :

BÓNG TRÊN CÁC HÌNH CHIU.

§1. KHÁI NIM CHUNG V V BÓNG : 34
§2. BÓNG TRÊN HÌNH CHIU THNG GÓC: 37
§3. BÓNG TRÊN HÌNH CHIU PHI CNH: 48
§4. BÓNG TRÊN HÌNH CHIU TRC O: 54
§5. MT S BÀI V THAM KHO: 54

Chng3

HÌNH CHIU CÓ S

A.
BIU DIN CÁC YU T HÌNH HC
§1. IM 58
§2. NG THNG 59
§3. MT PHNG 61

B. BIU DIN NG - MT

§1. A DIN 64
§2. NG CONG - MT CONG 64
§3. MT DC U 66
§4. MT A HÌNH (MT T T NHIÊN) 67

C.
CÁC BÀI TOÁN V V TRÍ

§1. MT PHNG CT MT PHNG 70
§2. MT PHNG CT NÓN 70
§3. MT PHNG CT MT DC U 71
§4. MT PHNG CT MT A HÌNH 72

Chng1
PHNG PHÁP HÌNH CHIU PHI CNH


A.
BIU DIN IM , NG THNG,MT PHNG :

Trong k thut xây dng thng phi biu din nhng đi tng có
kích thc ln nh nhà ca , đê đp , cu cng v.v…Bên cnh các loi hình
biu din đã bit, ngi ta còn dùng mt loi hình biu din khác , gi là

hình biu din phi cnh đc xây dng trên c s phép chiu xuyên tâm.
Phng pháp hình chiu phi cnh ,cho ta nhng hình nh đc
biu din ging nh hình nh ta quan sát trong thc t . Vì vy , nó đc s
dng rng rãi trong quá trình tìm ý thit k đ chn hình dáng các công trình
xây dng .Hình biu din phi cnh là b phn không th thiu trong các bn
v kin trúc.
Có nhiu loi hình chiu phi cnh .  đây ch yu nghiên cu hình
chiu phi cnh v trên mt tranh thng đng .

§1 . H THNG HÌNH CHIU PHI CNH :

Trong không gian ly hai mt phng vuông góc nhau .V nm ngang
và T thng đng. Mt đim M không thuc T ng vi mt ngi quan sát
(hình -1)













Hình - 1
Ta có mt s đnh ngha sau:
- Mt phng T , trên đó s v hình chiu phi cnh gi là mt tranh .

- Mt phng V ,trên đó đt các đi tng cn biu din gi là mt
phng vt th .
- im M , ng vi v trí ca mt ngi quan sát gi là đim nhìn .
- im M', hình chiu vuông góc ca M lên mt phng T gi là đim
chính .
- im M, hình chiu vuông góc ca M lên mt phng V gi là đim
đng .
- ng thng đđ là giao tuyn ca T và V gi là đng đáy tranh.
- ng thng tt là giao tuyn ca mt phng qua M và song song vi
V và mt phng tranh gi là đng chân tri .
- Tia MM' gi là tia chính ; khong cách MM'=k gi là khong cách
chính.
- Mt phng H v qua M và song song vi T gi là mt phng trung
gian.
- Phn không gian trc H gi là không gian vt th .
- Phn không gian sau H gi là không gian khut .

§2 . BIU DIN IM :
Ta tin hành biu din 1 đim A nh sau : (hình 2)

Hình - 2

- Chiu đim A t tâm M lên mt phng T , ta đc đim A'.
- Chiu vuông góc đim A xung mt phng V, ta đc đimA.
- Chiu A t tâm M lên mt phng T,ta đc đim A' .
Nhìn hình 2 , ta d dàng thy rng A', A' ,Ađ nm trên đng dóng
vuông góc vi đáy tranh đđ . ng thi phép biu din tha mãn tính phn
chuyn .
Vy
: Mt đim A trong không gian đc biu din lên mt tranh bng
mt cp đim A', A' cùng nm trên mt đng thng vuông góc vi đáy
tranh đđ .Ngc li , mt cp đim A', A' bt k ca mt tranh cùng nm
trên mt đng thng vuông góc vi đáy tranh đđ , là hình biu din ca
mt đim A xác đnh trong không gian .
Ta gi : A - Chân ca đim A.
A' - Hình chiu chính ca A.
A' - Hình chiu th hai ca A.
em đt mt tranh T trùng vi mt phng bn v ta có đ thc ca
đim (hình 3) . Nu B là mt đim ca T thì B'
1
thuc đáy tranh đđ. Nu C là
mt đim ca V thì C’ và C' trùng nhau . Mi đim vô tn D∞ ca mt
phng V đu có hình chiu phi cnh D' là mt đim thuc đng chân tri
tt. Mt đim F∞ ca không gian có hình chiu th hai F' là mt đim thuc
đng chân tri tt .

§3 .
BIU DIN NG THNG :
Gi s d là mt đng thng không ct MM và A,B là hai đim ca
nó , ta có (hình 4)

Hình - 3













- Hình chiu phi cnh ca đim A là A',A'
- Hình chiu phi cnh ca đim B là B',B'
- ng thng d'=A'B' là hình chiu chính ca AB

- ng thng d' =A'B' là hình chiu th hai cu AB.
Ta thy c hai d'và d' đu không vuông góc vi đng đáy tranh đđ.
Vy: Mt đng thng không ct MM, có hình chiu phi cnh là
mt cp đng thng không vuông góc vi đđ. o li : mt cp đng
thng d', d' ca mt tranh T mà không vuông góc vi đđ đu là hình chiu
phi cnh ca mt đng thng xác đnh trong không gian .
Trng hp đng thng ct đng MM , ta gi là đng thng đc
bit. Trên hình 5a , cho đ thc ca mt đng thng đc bit AB (tng
đng đng cnh trong hình chiu vuông góc ) .
Trong các đng thng đc bit ta lu ý hai loi đng thng sau đây:
- ng thng chiu phi cnh CD là đng thng đi qua đim nhìn M.
 thc nh hình 5b.
-
ng thng chiu bng
EG là đng thng vuông góc vi mt vt
th V (ct MM
1
ti S∞ ).  thc nh hình 5c .










§4 .
S LIÊN THUC CA IM & NG THNG:

Nh trong hình chiu vuông góc ta có mnh đ liên thuc ca mt
đim và mt đng thng nh sau :
- iu kin t có và đ đ mt đim A thuc mt đng thng thng d,
là các hình chiu ca A thuc các hình chiu cùng tên ca d (hình 6a)
i vi đng thng đc bit ta có mnh đ :
- iu kin t có và đ đ mt đim C thuc đng thng đc bit AB,
là t s đn ca ba đim hình chiu chính ca A , B , C bng t s đn ca
ba đim hình chiu th hai ca chúng. (hình 6b)

Hình – 5 a,b,c








§5 . IM T CA NG THNG :
Gi s F là đim vô tn ca đng thng AB . Hình chiu phi cnh
ca F là F' và F'
1
. Vì F là đim vô tn nên F'
1
là đim vô tn nên F'
1
là mt
đim thuc đng chân tri tt .(hình 7)

Hình – 7










Hình chiu phi cnh ca mi đng thng song song vi AB , tc là
có chung vi AB đim vô tn F, đu phi đi qua đim F', F'
1
. Trên hình 7 ,
biu din hình chiu phi cnh ca AB song song CD. F' đc gi là đim t
ca đng thng AB (hoc CD)
Di đây là đim t ca mt vài đng thng hay gp :
-
Hình 8:
Biu din đim t F ca đng thng AB song song vi mt
tranh T .
- Hình 9:
Biu din đim t T ca đng thng AD song song vi mt
vt th V .

Hình – 8 Hình – 9

-
Hình 10:
Biu din đim t T ca đng thng EG vuông góc vi mt
tranh T.
- Hình 11:
Biu din đim t K ca đng thng FG song song mt vt
th V và nghiêng vi mt tranh mt góc đúng bng 45
0
. Khi đó M'K'bng
khong cách chính k và K' gi là đim c ly .
- Hình 12:
Biu din đim t U∞ ca đng thng chiu phi cnh LN.
- Hình 13: Biu din đim t U∞ ca đng thng chiu bng OP.










Hình – 10 Hình – 11

Hình – 12 Hình – 13

§6
V TRÍ TNG I CA HAI NG THNG:

Vì trong hình chiu phi cnh ,s liên thuc ca đim và đng thng
cng đc biu din nh trong hình chiu vuông góc ,nên trong hình chiu
phi cnh v trí tng đi ca hai đng thng v thc cht cng đc biu
din nh trong hình chiu vuông góc . đây ta s không nhc li .

§7.
BIU DIN MT PHNG :

Trên hình 14 , biu din hình chiu phi cnh ca các mt phng ln
lt đc xác đnh bi ba đim A,B,C;bi mt đng thng d và đim A;bi
hai đng thng ct nhau ti p,q.

Hình – 14
Ngoài ra chúng ta quan tâm đn ba loi mt phng đc bit sau đây :
-Mt phng chiu phi cnh
:là mt phng đi qua tâm chiu M .Trên
hình 15 ,biu din mt phng chiu phi cnh ABC.Ta thy A'B'C'thng
hàng .
-
Mt phng chiu bng :
là mt phng vuông góc vi mt vt th V.
Trên hình 16 , biu din mt phng chiu bng DEF.Ta thy D'
1
E'
1
F'
1
thng
hàng .








Hình – 15 Hình – 16

-
Mt phng cnh :
là mt phng đi qua M , đng thi vuông góc vi mt
vt th V . Hình 17 , biu din mt phng cnh GHK . Ta thy G'H'K' và
G'
1
H'
1
K'
1
cùng nm trên đng dóng vuông góc đđ .











Hình – 17 Hình – 18

§8 .
NG T CA MT PHNG :

Gi s v là đng thng vô tn ca mt phng F ; Hình chiu vuông
góc ca v lên V là đng thng vô tn ca V. Do đó v'

1
= tt.  xác đnh v' ,
ta ch cn xác đnh hai đim t ca hai đng thng bt kì thuc mt phng
P. Trên hình 18 , mt phng P cho bi hai đng thng ct nhau ti p,q . v'
đc gi là đng t ca mt phng P.
D nhiên mi mt song song P đu có chung đng t là v' . Ta s kí
hiu các đng t ca các mt phng P,Q,R … là vP , vQ , vR.
Trên hình 19 , biu din
đng vQ ca mt phng Q
vuông góc vi mt tranh , và
đng t vR ca mt phng R
vuông góc vi mt vt th .



MT S BÀI TOÁN

Hình – 19
Bài 1:
Cho mt phng ABC . V hình chiu chính D' ca D bit Dlà đim
thuc mt phng ABC là và D'
1
đã bit .
Gii: V đng thng AD . Hình chiu th hai là A'
1
D'
1
. ng thng
AD ct BC ti đim E .Ta có E'
1

là giao ca A'
1
D'
1
và B'
1
C'
1 .
T E'
1
suy ra E'
, A'E' s cha D' . H D'
1
vuông góc vi tt , đng thng đn ct A'E' ti D'
cn tìm .(hình 20)












Hình – 20 Hình – 21

Bài 2 :

Xác đnh giao đim ca đng thng p vi mt tranh và mt phng
vt th .(hình 21)

Gii: Ta gi N là giao đim ca P và V . D thy N'=N'
1
và chính là giao
ca p' và p'
1
.
Ta gi H là giao đim ca p và T . Vì H thuc T suy ra H'
1
thuc
và H'
1
=p'
1
× đđ . H'
1
ta suy ra H' thuc p'.
im H nói trên đc gi là vt tranh ca p .
im N đc gi là vt bng ca p .

Bài 3 :
Xác đnh đ dài ca đon thng AB nm trong mt vt th V và
song song vi đáy tranh .(hình 22)
Gii: Trc ht ta nhn xét , nu ta ly mt đon A
o
B
o
thuc đáy tranh đđ,

bng đúng AB . Ni A'A'
o
và B'B'
o
là hình chiu chính ca hai đng thng
song song AA
o
BB
o
nên phi ct nhau ti G' thuc tt ( đây A
o
=A'
o
và
B
B
o
=B'
o
).
T đó ta suy ra cách dng : Chn mt đim G' bt k thuc tt . Ni
G'A' và G'B' s ct đđ ti hai đim A
o
và B
o
, xác đnh đ dài ca đon thng
AB .

Bài 4 : Xác đnh đ dài ca đon thng AB vuông góc vi mt phng vt th
V .(hình 23)
Hình – 22 Hình – 23
Gii: Trc ht ta nhn xét , nu trên mt tranh T ta ly mt đon thng
đng A
o
BB
o
ct đđ ti O sao cho khong gia ba đim A
o
B
o
B O bng khong
cách gia 3 đim tng ng ABA
1
(A
1
= B
1
).
Ni A
o
A' , B

o
B' ,OA'
1
(A'
1
= B'
1
) s đng quy ti mt đim G' (theo
Tharlès ) .G' là đim t ca hai đng thng song song AA
o
và BB
o
nên
thuc đng chân tri t-t.

B. CÁC PHNG PHÁP V HÌNH CHIU PHI CNH THEO HAI

HÌNH THNG GÓC Ã CHO .
Hình chiu phi cnh đc v bên cnh các hình chiu vuông góc
trong các bn v thit k , đ tng thêm tính trc quan ca bn v . ng
thi hình chiu phi cnh còn đc dùng đ kim tra , sa đi hình dáng ,
kích thc , t l , t xích ca công trình . Vì vy v phi cnh là mt khâu
quan trng trong quá trình thit k .
Công vic đu tiên đ thc hin bn v là chn đim nhìn . im
nhìn thng phi chn ng vi v trí ca mt ngi s quan sát trong thc t.
Trng hp có th đc chn tu ý thì phi chn sao cho tha mãn đy đ
tính trc quan , hình v cân đi , ít bin dng .Theo kinh nghim , đim nhìn
đc chn sao cho :
- Góc  đnh ca nón nhng tia nhìn chu vi thy ngoài ca công trình
khong 18

o
÷ 53
0
, tt nht là 28
0
.(hình 24a)
- im chính M' thuc 1/3 khong chính gia ca hình biu din .












Hình – 24a

- Ngoài ra mt tranh to vi mt phng chính ca công trình mt góc
trong khong 20
0
÷ 40
0
(hình 24b)
 thc hin dáng vn cao ca công trình ta chn đim nhìn có đ
cao ngang ,hay thp hn mt phng vt th .Trng hp cn th hin mt
thành ph, mt khu vc ta chn đim nhìn tng ng vi khi quan sát t

máy bay hay đi cao .












Hình – 24b

§1 .
V HÌNH CHIU PHI CNH THEO PHNG
PHÁP KIN
TRÚC S:
Theo phng pháp này , ngi ta thng bt đu t vic v hình
chiu phi cnh mt bng ca công trình . Sau đó theo nhng quy tc xác
đnh đ cao , ngi ta v phi cnh nhng đim khác nhau .
V hình chiu phi cnh ca mt đim :
Xét mt đim A có đ thc trong hình chiu vuông góc là A
1
, A
2
.
im M có đ thc là M
1

, M
2
và mt tranh T chiu bng . Ta s v hình
chiu phi cnh ca A theo đim nhìn M và mt tranh T .(hình 25a)
-  v hình chiu phi cnh ca A
1
, ta xem A
1
là giao đim ca hai
đng thng nm trong mt vt th .Trên hình v , đó là A
1
1 và A
1
2 .Vì A
1
1
và A
1
2 là nhng đng bng nên các t F', G' ca chúng thuc đng chân
tri .Các giao đim ca đáy tranh đđ vi nhng đng thng v qua M
1
và
song song vi A
1
1, A
1
2 ln lt là hình chiu bng F
1
,G
1

ca F, G . Sau khi
có các đim 1,2,F
1
,G
1
trên đáy tranh đđ ,ta đt mt tranh trùng mt phng
bn v .Thng ngi ta đt đđ nm ngang .(hình 25b)













Khi đó tt nm ngang và cách đđ mt khong đ cao ca đim nhìn
tc là bng đon M
2
M
x
.Dóng thng đng F
1
,G
1
ta đc các đim t F'và G'

trên đng chân tri tt .Hai đng thng F'1và G'2 chính là hình chiu phi
cnh ca A
1
1 và A
1
2 .Giao đim ca A'
1
ca F'1và G'2 cho ta hình chiu phi
cnh ca đim A
1
.
Hình – 25a Hình – 25b













Hình – 26a Hình – 26b

 dng hình chiu chính A' ca A ,ta chú ý A',A'
1
nm trên đng

dóng thng đng , đng thi A' A'
1
biu din đ cao ca đim A .Trên đ
thc này là đon A
2
A
x
.Vì vy qua đim A'
1
ta v đng thng đng , trên đó
đt đim A' sao cho đon A' A'
1
có đ ln bng A
2
A
x
.Mun th ,trên đng
thng đng v qua đim 1,ta đt mt đon 1A
*
= A
2
A
x
và ni A
*
vi F'. FA
*

ct đng thng đng h t A'
1

ti đim A' cn tìm ( xem li bài toán 4 ).
Trên hình 26 ,các đnh A'
1
B'
1
C'
1
D'
1
ca hình ch nht A
1
BB
1
C
1
D
1

đc v bng cách v hình chiu phi cnh ca các cnh A
1
D
1
,B
1
C
1
và
A
1
B

1
B ,

D
1
C
1.















Hình – 27a Hình – 27b

Trên hình 27 , mi đnh ca hình vuông A
1
BB
1
C
1

D
1
, ví d  A
1
, đc
xác đnh nh hai đng thng là A
1
M
1
và A
1
D
1
. ng A
1
M
1
có hình chiu
phi cnh vuông góc đđ . ng A
1
D
1
vuông góc mt tranh do đó hình
chiêú phi cnh đi qua M' là đim chính ca tranh .
Trên hình 28 trình bày cách v hình chiu phi cnh ca mt hình
khi có hình chiu vuông góc cho nh trên hình 28a . im M (M
1
,M
2
) và

mt tranh cha cnh thng đng đi qua đim D .
Các đnh  hình chiu bng đc v nh hai chùm đng thng song
song A
1
BB
1
// I
1
J
1
// C
1
D
1
và A
1
D
1
// B
1
C
1
. Chiu cao D'
1
đúng bng D
2
D
x
.
Các cnh D'C',A'B' và I'J' đc v da theo D' và I'.Vi chú ý chúng có

chung đim t F'(hình 28b).

Trong trng hp cn v nhiu đim có đ cao khác nhau , ngi ta
s dng mt mt phng ph , thng đng gi là mt tng bên . Ví d cn v
hình chiu chính ca A , B bit A'
1
,B'
1
và đ cao tng ng là a, b (hình 29).

Gi OF là vt bng và OZ là vt tranh ca mt phng ph đt trên OZ
các đon a ,b có đu mút A
*
,B
*
.Quá trình xác đnh A',B' ta thy rõ trên hình
29.

§2 . H THP HAY NÂNG CAO MT BNG KHI V
HÌNH
CHIU PHI CNH :
Trong nhiu trng hp phi chn đim nhìn vi nhng điu kin
nào đy, hình chiu phi cnh ca mt bng hoc bin dng nhiu , hoc quá
bé không đc làm rõ . ng thi đ tránh làm ri hình chiu chính ca
công trình ,khi v hình chiu phi cnh ngi ta thng h thp hay nâng
cao mt bng mt khong thích hp .
Trên hình v 30
,vic này đc thc hin
bng cách h thp đáy tranh
đđ mt khong h đn v trí

đ
*
đ
*
.Hình 30 a,b trình bày
cách v hình chiu phi cnh
ca mt nhóm khi có s
dng mt tng bên và h
mt bng .

Hình – 30b
§3 . PHNG PHÁP VT TIA:
Trong phng pháp này ngi ta cng s dng hai hình vuông góc
ca hình chiu vuông góc ca hình đc biu din .Mt tranh T thng đc
đt song song hoc trùng vi mt phng hình chiu đng P
2
và mt vt th V
trùng vi mt phng hình chiu bng P
1
.

Hình – 31a Hình – 31b

Trên hình 31a ch rõ mi quan h không gian khi xây dng hình chiu
vuông góc và hình chiu phi cnh ca mt đim A.  đây T =P
2
. em đt
T trùng vi mt phng bn v ta có đc mi quan h đó trên đ thc 
hình 31b.
∗ ng dng kt qu  trên ,ta hãy v hình chiu phi cnh ca mt
nhóm khi khi đã bit hai hình chiu vuông góc ca nó (hình 32).
Trc ht ta chn đim nhìn M (M
1
, M
2
) và đ khi ri hình ta chn
mt tranh T song song vi P
2
nh hình v .Quá trình v đc tin hành nh
sau :
-Ta dng hình chiu phi cnh A' ca đim A (A
1
, A
2
) là đnh nhóm

khi bng cách .
- Qua M
1
và A
1
,ta vch mt đng thng . ng thng đi qua 1 và
vuông góc vi đáy tranh đđ ,s ct đng thng ni hai đim M' và A
2

ti đim A' cn tìm .Tip tc thc hin nh vy ta s tin hành v đc
hình chiu phi cnh các đnh còn li ca nhóm khi .
- i vi khi vành khn
 gia ,ta chn càng nhiu
đim đ v thì càng chính xác
.Trên hình có v hình chiu
phi cnh ca mt đim B bt
k thuc khi này .Nó đc
tin hành tng t nh hình
chiu phi ca đim A nói trên
,và đim B có hình chiu phi
cnh là B'.

- Ni hình chiu phi
cnh ,toàn b các đim đc bit
ca nhóm khi mà ta đã dng
đc sau khi đã cn c vào
đng bao tng ng trên hình
chiu vuông góc .Ta s có
đc toàn b hình chiu phi
cnh nhóm khi ca công trình

đã cho .



Hình – 32
§4 .
PHNG PHÁP LI PH TR
:
Trong trng hp đi tng v có nhiu đng cong , hoc phc
tp mà không đòi hi phi v vi đ chính xác cao .Ngi ta dùng mt li
ph tr đ da theo đó mà xác đnh v trí các hình cn v .
















Hình – 33a
Ta hãy v hình chiu phi cnh ca mt mt bng cho nh hình 33a.
Trc ht ph lên mt bng mt mng li hình vuông ABCD. Mt

cnh ta chia làm sáu phn bng nhau .Sau đó v hình chiu phi cnh ca
li . đây ta lu ý ,nhng đng thng vuông góc đáy tranh s có hình
chiu đi qua đim chính M' .ng chéo AC nghiêng 45
o
vi đáy tranh nên
đim t là đim c ly L'(M'L' = k : khong cách chính) hình 33b.












Hình – 33b

Sau khi v hình chiu phi cnh ca li ABCD ,theo v trí ca các
hình đi vi các mt li ,ta v hình chiu phi cnh ca mt bng . Dùng
li có mt càng dày thì kt qu thu đc càng chính xác .
*  v hình chiu phi cnh ca đng tròn tng đi chính xác ,
ngi ta ni tip nó trong mt hình vuông và ph mt mng li sao cho
chia đu đc các đim trên đng tròn .Trên hình v 34a , gi s ta s dng
mng li đ chia đng tròn thành 12 phn bng nhau .
Trong trng hp này ngi ta thng s dng mt thang t l đc
k sn  hình 34b đ s dng lâu dài .
Sau khi phi cnh hình vuông đã

v xong (hình 34c) ,mun có mng li
đ v phi cnh vòng tròn ta tin hành
theo trình t :(hình 34b,c).
- t mép giy vào mt cnh ca
hình phi cnh ca hình vuông (nên chn
cnh trong) ghi ly đim gia I' và hai
đu C',D' ri đa sang thang t l sao cho
ba đim đã ghi trùng vào ba đng chun
MN,MO,ML .ánh du các đim chia
lên mép giy ri đem v cnh C'D' .K t
đim chính M' ,nhng đng thng qua
Hình – 34a
các đim chia,ta đc hàng dc ca li.
- Li đt mép giy vào mt cnh bên và tin hành hoàn toàn tng t.
Trên hình v ,s dng cnh bên A'D' . đây chú ý ba đim A', J', D' không
cách đu nhau ,vì vy phi đt lch đi đ ba đim trùng vào ba đng chun.
Ngoài ra nu s dng đng chéo ca hình vuông (đng có đim t là
đim c ly) ta cng có th bt mt ln đt giy .
- Bt đu t mt đim gia nào đó ca mt cnh ta ch nhìn các mt
li k cn đ tìm đim tip theo và ni li s có mt ellip là hình phi cnh
ca đng tròn .Thông thng ta nên chia đng tròn khong 24 đim đu
nhau thì hình v càng thêm chính xác .

Hình – 34b Hình – 34c

§5 .
V HÌNH CHIU PHI CNH KHI IM T RA
NGOÀI
PHM VI BN V :
Khi v hình chiu phi cnh ,thng xy ra trng hp phi v
đng thng đi qua đim t ngoài phm vi bn v .Ngi ta phi khc phc
bng các phng sau :
1. Ta xem các đim cn v hình chiu phi cnh nh là giao đim ca
các đng thng vuông góc mt tranh ,vi các đng thng đi qua đim t
gn (nm trong phm vi bn v) .
Thí d di đây
(hình 35a) ta ch dùng mt
đim t F.  đây ta lu ý
các đng thng vuông góc
đáy tranh đđ có đim t là

M'. ng thng đi qua M
1

có hình chiu vuông góc đđ
.
 hình v sáng sa
,hình 35b đc v phóng
đôi kích thc lp đc
trên hình 35a .
2. Trng hp đim t
nm ngoài phm vi bn v
và có nhiu đng thng đi
qua ,thì ngi ta thng s
dng mt thc chuyên
dùng - Ta có th ci tin t
thc T nh hình v di
đây : (hình 36)
Hình – 35a

Hình – 35b

+ Thc T đc gn thêm mt ming cáctông hoc g có b cong
li. Trên hình là cung tròn MIN có tâm O .
+ Mt thc ph có b cong lõm sao cho cùng đ cong tng ng
vi thc T đ có th trt quanh .
Khi v ,ta tin hành đt c đnh thc ph ,sao cho tâm đng cong
ca thc trùng vi đim t .Ri trt thc T quanh thc ph này ,s vch
đc các đng thng có hng đng quy ti O trùng vi đim t .












Hình – 36

3. Trng hp s đng thng đi qua đim t không nhiu ,ta có th
v chúng trc tip bng cách da vào tính đng dng ca tam giác .(hình 37)
Gi s ta cn v mt đng thng đi qua A' và t v đim t F'. F'
đc xem là giao đim ca đng chân tri tt và mt đng thng đi qua
đim E' nào đó.
Ta tin hành v bng cách ly mt đim bt k G thuc đng tt ,và

có đc tam giác E'GA' .Tip theo ly mt đim  thuc đng thng cho
trc và v mt tam giác G đng dng vi tam giác E'GA' ,sao cho các
cp cnh tng ng song song nhau và có đnh G thuc tt .Ni A' vi đim
 va v đc ,s có đng thng đi qua A' và t v F' cn dng ( đây ta
đã ng dng đnh lý Desargues v hai tam giác thu x) .













Hình – 37
§6 .
MT S NG DNG :
1. Chia đu mt đon thng :  đu mt đng thng có hình
chiu phi cnh A'F' đã cho sn mt đon A'1' .Yêu cu chia trên đng đó
nhng đon ni tip bng chiu dài ca đon A1 đó .(hình 38)

Hình – 38

Ta k t A' ,mt đng thng nm ngang ri ly trên đng chân tri
tt mt đim t G bt k và k G1' đn ct đng nm ngang ti 1 .Chia
đng nm ngang nhng đon 1'2 = 23 = 34 = 45…= A1 .T G ni vi các
đim chia 1, 2, 3, 4, 5, …v.v…. ta s đc các đim chia tng ng trên AF
là 2', 3', 4',5' , …
Phng pháp này thc t ta s dng rt nhiu khi cn v trc tip
hình chiu phi cnh mà không s dng hình chiu vuông góc - nht là các
giai đon tìm ý thit k .
Trên hình 38 ,cng đã ng dng kt qu trên đ biu din mt hàng
ct đin thoi cách đu nhau .  đây đ tng thêm chính xác ta chn thêm
mt đim t G .D nhiên ng dng cách chia này ta cng có th chia đon
thng theo nhng t l cho trc .(xem ng dng 2)
2. Dng trc tip hình chiu phi cnh ca cng tò vò :

Hình 40 ,trình bày cách chia mt dãy cng tò vò ,da theo kích
thc đã cho trong s đ .  đây có s dng chia đng tròn thành tám phn
bng nhau và cách chia đon thng theo t l cho trc .
- Ghi li các đim chia trên cnh đng và cnh nm ngang ca mt
tng trong s đ lên hai mép bng giy a và b ri chuyn sang hình phi
cnh .
- Bng giy b đt tu ý sao cho đu di trùng vào A và các đim chia
chuyn lên cnh AB bng nhng đng song song .
- Bng giy a đt theo hng nm ngang , đim xut phát trùng vào A ,

đim kt thúc đc ni vi C và kéo dài ti các đim chia  mép bng giy
s to trên AC các đim chia tng ng ( đây ,mt tng đc chia làm
bn nhp ,kích thc đc phóng đôi).

- T các đim chia thu đc trên cnh đng ,k nhng đng v đim
t F' và t các đim chia thu đc trên cnh nm ,gióng các đng thng s
có các giao đim cn v.






















Hình – 40

3.
Dng hình chiu phi cnh ca sàn nhà :
Sàn nhà có kiu lát ,b trí nh hình v 41.