tóm tắt luận án tiếng việt hệ tiêu chuẩn tham số an toàn cho hệ mật rsa và ứng dụng

B
Ộ GIÁO DỤC V
À ĐÀO T
ẠO

B
Ộ QUỐC PH
ÒNG

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ






HOÀNG VĂN THỨC





HỆ TIÊU CHUẨN THAM SỐ AN TOÀN
CHO HỆ MẬT RSA VÀ ỨNG DỤNG


Chuyên ngành: Bảo đảm toán học cho máy tính
và hệ thống tính toán
Mã số:
62 46 35 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC







Hà Nội-2011

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI
VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ/BQP



Người hướng dẫn khoa học:
1. TS. Lều Đức Tân
2. PGS.TS. Bạch Nhật Hồng


Phản biện 1: PGS.TS. Hoàng Văn Tảo
Ban Cơ yếu Chính phủ.
Phản biện 2: TS. Trần Văn Trường
Ban Cơ yếu Chính phủ.
Phản biện 3: PGS.TS. Đinh Thế Cường
Học viện Kỹ thuật quân sự.

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ,

họp tại Viện Khoa học và Công nghệ quân sự vào hồi
giờ ngày tháng năm 2011



Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
- Thư viện Viện Khoa học và Công nghệ quân sự
- Thư viện Quốc gia Việt Nam

1

MỞ ĐẦU

Hệ thống mật mã khoá công khai RSA cũng như hầu hết các
nguyên thuỷ mật mã khác về mô hình hệ mật, cấu trúc thuật toán là
công khai. Tuy nhiên, việc lựa chọn và sử dụng các tham số cho hệ
thống mật mã này sao cho an toàn và hiệu quả là một vấn đề khó.
Việc xây dựng các tiêu chuẩn an toàn cho các tham số RSA là
vấn đề được không ít các nhà khoa học trên thế giới cũng như trong
nước quan tâm nghiên cứu. Bởi vậy, hiện nay có khá nhiều tài liệu
liên quan đến lĩnh vực này đã được công bố, ví dụ như ANSI X9.31,
.NIST 800-57, FIPS 186-3.
Tuy nhiên, cùng với sự phát triển của khoa học lập mã thì khoa
học mã thám cũng không ngừng phát triển với nhiều hình thức tấn
công mới đối với hệ thống mật mã RSA. Việc xem xét lại các tiêu
chuẩn an toàn đã có và nghiên cứu, xây dựng thêm các tiêu chuẩn an
toàn mới cho các tham số RSA là rất cần thiết.
Xuất phát từ những yêu cầu thực tế trên, luận án đã chọn đề tài
"Hệ tiêu chuẩn tham số an toàn cho hệ mật RSA và ứng dụng" để
nghiên cứu là phù hợp.

Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tổng quan nhằm nắm vững được những kiến thức về
hệ thống mật mã khoá công khai RSA và các tiêu chuẩn an toàn cho
tham số RSA đã được công bố trong một số chuẩn trên thế giới; đề
xuất hệ tiêu chuẩn an toàn cho các tham số RSA (trên cơ sở bổ sung
các tiêu chuẩn đã có đồng thời xây dựng các tiêu chuẩn mới); áp
dụng các tham số RSA an toàn cho các giao thức bảo mật Web.

Đối tượng nghiên cứu
Luận án lựa chọn hệ thống mật mã RSA và các giao thức bảo
mật Web làm đối tượng nghiên cứu.

2

Nội dung nghiên cứu
 Nghiên cứu tổng quan về hệ thống mật mã khoá công khai RSA.
 Nghiên cứu xây dựng hệ tiêu chuẩn an toàn cho tham số RSA.
 Xây dựng và cài đặt thuật toán sinh tham số RSA an toàn thoả
mãn hệ tiêu chuẩn đã xây dựng.
 Nghiên cứu áp dụng các tham số RSA an toàn cho các giao thức
bảo mật Web.

Bố cục của luận án
Luận án gồm 03 chương cùng với các phần mở đầu, kết luận,
danh mục các công trình, bài báo khoa học đã được công bố của tác
giả và các phần phụ lục.

Một số nội dung nghiên cứu mới của luận án
 Đề xuất bổ sung về mặt định lượng cho một số tiêu chuẩn đã có.
 Đề xuất các tiêu chuẩn mới nhằm kháng lại các kiểu tấn công mã

hoá liên tiếp đối với hệ thống mật mã RSA.
 Xây dựng, cài đặt chương trình thuật toán sinh tham số RSA an
toàn và tích hợp vào bộ chương trình sinh chứng chỉ số theo
chuẩn X509.
 Sửa đổi phần mềm trình duyệt Web để có thể áp dụng các tham
số RSA an toàn trong giao thức bảo mật giao dịch Web.


3

CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ TIÊU CHUẨN THAM SỐ RSA
VÀ CÁC GIAO THỨC BẢO MẬT WEB

Để luận giải về sự cần thiết đồng thời tạo cơ sở cho việc thực
hiện các nội dung nghiên cứu của đề tài luận án, chương này của
luận án trình bày một số kết quả nghiên cứu có liên quan đã được
công bố trong và ngoài nước.

1.1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA VÀ KÝ HIỆU
Các ước tầm thường (Trivial Divisor): Các ước 1, -1, N và –N
được gọi là các ước tầm thường của số nguyên N.
Số nguyên tố (Prime Number): Số nguyên N>1 là nguyên tố khi
nó chỉ có các ước tầm thường.
Hợp số (Composit number): Số nguyên N>1 là hợp số nếu nó
không là nguyên tố.
Chứng nhận tính nguyên tố (Primality Certificate): Chứng minh
toán học rằng một số cho trước là thực sự nguyên tố.
Phép chia thử (Trial Division): Phép chia thử của một số N có
nghĩa là kiểm tra tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng N

1/2
xem
có phải là ước của N không.
Độ an toàn (secure_strength): Là một giá trị có liên quan đến
lượng công việc cần phải thực hiện (số lượng phép toán) để phá vỡ
một thuật toán hoặc một hệ thống mật mã. Cụ thể, một thuật toán mật
mã với các tham số cho trước được coi là có độ an toàn
secure_strength nếu để phá vỡ thuật toán này cần đến nỗ lực tính
toán tối thiểu cỡ 2
security_strength
phép tính.
1
p
,
2
p
,
1
q
,
2
q
: Được gọi là các số nguyên tố bổ trợ.

4

1.2. HỆ MẬT MÃ KHOÁ CÔNG KHAI RSA
1.2.1. Qui trình sinh tham số khóa RSA
Bước 1: Sinh ngẫu nhiên hai số nguyên tố lớn khác nhau p và q;
Bước 2: Tính

N pq

,
( ) ( 1, 1)
N lcm p q

  
;
Bước 3: Chọn e thỏa mãn
1 ( )
e N

 
sao cho

gcd( , ( )) 1
e N


;
Bước 4: Tính số nguyên dương d thỏa mãn:
1 ( )
d N

 
và
1(mod ( ))
ed N



;
Bước 5: Khóa công khai RSA là (N, e) khóa bí mật là (N, d);
Bộ ba (N, e, d) được gọi là bộ tham số RSA.
1.2.2. Hệ mật khóa công khai RSA nguyên thủy
Thông điệp
*
N
m Z
 được B mã hóa và A giải mã.
Qui trình mã hoá: B sử dụng khoá công khai (N, e) của A và tính
bản mã
(mod )
e
c m N
 .
Qui trình giải mã: A sử dụng khoá bí mật (N, d) của mình để giải
mã
(mod )
d
m c N
 .
1.2.3. Hệ chữ ký số RSA nguyên thuỷ
Thực thể A ký lên thông điệp
*
N
m Z
 , thực thể B kiểm tra chữ
ký của A trên thông điệp m.
Qui trình ký: A sử dụng khoá bí mật (N, d) để sinh chữ ký
(mod )

d
s m N
 trên m.
Qui trình kiểm tra chữ ký: B sử dụng khoá công khai (N, e) của A
để kiểm tra chữ ký trên m, thông qua việc tính
' (mod )
e
m s N
 , nếu
m = m' thì kết luận chữ ký của A trên m hợp lệ, ngược lại kết luận
không hợp lệ.
1.2.4. Hệ thống mật mã dựa trên RSA
Hiện tại trong các ứng dụng bảo mật thông tin người ta thường
sử dụng hệ mật RSA và lược đồ chữ ký RSA có định dạng. Trong hệ

5

mật RSA có định dạng và lược đồ chữ ký RSA có định dạng người ta
sử dụng thêm tập các hàm chuẩn bị thông báo:
* *
{ : }
N N
G g 
 
.
Khi đó thay vì tính toán trực tiếp trên thông điệp m trong các lược đồ
nguyên thuỷ thì các lược đồ có định dạng tính toán trên
( )
x g m


với gG.
1.2.5. Độ an toàn của hệ thống mật mã RSA
Độ an toàn của hệ thống mật mã RSA dựa vào tính khó giải của
bài toán phân tích modulus N ra các thừa số nguyên tố.
1.3. MỘT SỐ THUẬT TOÁN SINH SỐ NGUYÊN TỐ
1.3.1. Một số phép kiểm tra tính nguyên tố xác suất
Luận án giới thiệu hai phép kiểm tra tính nguyên tố xác suất:
phép kiểm tra tính nguyên tố Miller-Rabin và phép kiểm tra tính
nguyên tố Frobenius-Grantham.
1.3.2. Các phương pháp sinh số nguyên tố
1.3.2.1. Sử dụng các phép kiểm tra tính nguyên tố xác suất
Luận án giới thiệu hai phương pháp sinh số nguyên tố sử dụng
phép kiểm tra tính nguyên tố xác suất T: phương pháp lựa chọn ngẫu
nhiên các ứng cử viên và phương pháp tìm kiếm tăng dần.
1.3.2.2. Các thuật toán sinh số nguyên tố tất định.
Luận án giới thiệu hai thuật toán sinh số nguyên tất định: thuật
toán của Shawe-Taylor và thuật toán của Maurer.
1.3.3. Nhận xét
 Trong hai phương pháp sinh số nguyên tố xác suất thì phương
pháp lựa chọn các ứng cử viên ngẫu nhiên được đánh giá cao
hơn về phân bố đầu ra, nhưng kém hiệu quả hơn trong thực hành.
 Các số nguyên tố đầu ra thuật toán của Maurer có tính đa dạng
hơn so với thuật toán của Shawe-Taylor.

6

1.4. TIÊU CHUẨN THAM SỐ CHO RSA
1.4.1. Tiêu chuẩn tham số RSA được đưa ra trong ANSI X9.31
Tiêu chuẩn về độ dài modulus

Chuẩn X9.31 khuyến cáo sử dụng modulus có độ dài 1024+256s,
với s là số nguyên và s0.
Các tiêu chuẩn về các số nguyên tố p, q
Chuẩn X9.31 đưa 07 tiêu chuẩn cho các số nguyên tố p, q dùng
để tạo RSA modulus.
Tiêu chuẩn tham số cho e
e là số nguyên dương thoả mãn
160
2 2
nlen
e

  .
Tiêu chuẩn tham số cho d
d được tính bởi công thức d=e
-1
(mod lcm(p-1, q-1)) và thoả mãn
512 128
2
s
d

 .

1.4.2. Tiêu chuẩn tham số RSA được đưa ra trong FIPS 186-3 và
NIST 800-57
Độ dài tối thiểu của RSA modulus
NIST 800-57 đưa ra tiêu chuẩn về độ dài tối thiểu của RSA
modulus an toàn đến các năm 2010, 2030 và sau năm 2030.
Tiêu chuẩn cho các tham số p và q

Chuẩn FIPS 186-3 đưa ra 06 tiêu chuẩn cho các số nguyên tố p,
q dùng để tạo RSA modulus.
Tiêu chuẩn cho số mũ công khai e
Chuẩn FIPS 186-3 khuyến cáo nên chọn e trước khi sinh p, q và
e cần thoả mãn: 2
16
< e < 2
256
.
Tiêu chuẩn cho số mũ bí mật d
Chuẩn FIPS 186-3 khuyến cáo chọn d là giá trị nguyên dương thoả
mãn d > 2
nlen/2
, và d = e
-1
mod (lcm((p-1), (q-1))).

7

1.4.3. Một số nhận xét
Trong 03 bộ chuẩn đã giới thiệu ở trên chỉ bộ chuẩn ANSI X9.31
là đề cập đến vấn đề đảm bảo toán học cho các tiêu chuẩn được đề
xuất, tuy nhiên về mặt thời gian và công nghệ hiện tại đã có nhiều
thay đổi. Do vậy việc nghiên cứu về cơ sở lý thuyết và từ đó đưa ra
những đề xuất chính xác hơn về mặt định lượng cho từng tiêu chuẩn
là rất cần thiết.
1.5. HỆ THỐNG MẬT MÃ RSA VÀ CÁC GIAO THỨC BẢO MẬT
WEB
Hệ thống mật mã RSA được sử dụng trong bảo mật giao dịch
Web thông qua các giao thức SSL/TLS.

1.5.1. Giới thiệu về giao thức bảo mật SSL/TLS
SSL là một giao thức cung cấp dịch vụ truyền thông có bảo mật
giữa các ứng dụng client và server.
1.5.2. Giao thức SSL phiên bản 3.0
Giao thức bảo mật SSL phiên bản 3.0 gồm 4 thành phần chính:
giao thức bắt tay, giao thức bản ghi, giao thức báo lệnh và giao thức
xác định thay đổi mã pháp.
1.5.3. Cơ chế tính khoá phiên trong giao thức SSL
Khoá dùng cho phiên liên lạc sẽ được tính từ các thành phần
ClientHello.random, ServerHello.random, pre_master_secret thông qua
việc sử dụng các hàm băm mật mã. Trong đó thành phần
pre_master_secret được trao đổi có bảo mật sử dụng hệ mật khoá công
khai RSA.
1.5.4. Hệ thống mật mã RSA và bảo mật dịch vụ Web
Hệ thống mật mã khoá công khai RSA được sử dụng trong giao thức
bảo mật SSL với mục đích xác thực và thiết lập khoá chung cho
phiên liên lạc. Tuy nhiên, để áp dụng được các tham số RSA có độ

8

an toàn cao cho các giao thức bảo mật trong các ứng dụng Web ta
cần sửa đổi các mô đun mật mã trong các ứng dụng này.
1.6. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương này của luận án đã trình bày tổng quan về các kết
quả nghiên cứu đã được công bố trong và ngoài nước có liên quan
đến các nội dung cần giải quyết của luận án. Nhận xét, đánh giá về
ưu, nhược điểm; đề xuất giải pháp nhằm khắc phục các nhược điểm
và bổ sung những hạn chế còn tồn tại trong các kết quả đó, cụ thể:
 Trên cơ sở tìm hiểu các tiêu chuẩn an toàn cho các tham số của
hệ thống mật mã RSA hiện có để thấy được sự cần thiết của việc

xem xét, bổ sung về mặt định lượng cho các tiêu chuẩn đã có
đồng thời xây dựng thêm những tiêu chuẩn mới nhằm nâng cao
độ an toàn cho hệ thống mật mã RSA.
(Việc xây dựng và đề xuất hệ các tiêu chuẩn an toàn cho tham số
RSA sẽ được trình bày trong chương 2).
 Giới thiệu một số thuật toán sinh số nguyên tố và tính chất của
chúng, làm cơ sở cho việc lựa chọn một thuật toán thích hợp
phục vụ cho việc xây dựng thuật toán sinh các tham số RSA.
 Tìm hiểu về các giao thức bảo mật SSL/TLS, vai trò của hệ
thống mật mã RSA trong các giao thức bảo mật trên. Khả năng
áp dụng các tham số RSA trong ứng dụng Web, từ đó đề xuất
giải pháp xây dựng các ứng dụng Web có thể áp dụng được các
tham số RSA an toàn.
(Việc xây dựng, cài đặt thực tế thuật toán sinh tham số RSA an
toàn và sử dụng chúng cho các giao thức bảo mật Web sẽ được
trình bày trong chương 3).


9

CHƯƠNG 2
XÂY DỰNG HỆ TIÊU CHUẨN THAM SỐ AN TOÀN
CHO HỆ THỐNG MẬT MÃ RSA

2.1. XEM XÉT CÁC TIÊU CHUẨN ĐÃ CÓ VÀ ĐỀ XUẤT BỔ SUNG
2.1.1. Độ an toàn của hệ thống mật mã RSA với độ dài modulus
cho trước
Định nghĩa 2.1. "Hệ thống mật mã RSA với độ dài modulus nlen
bít có độ an toàn là secure_strength(nlen) nếu sử dụng phương pháp
NFS để phân tích modulus thì độ phức tạp sẽ là 2

secure_strength(nlen)
".
Bảng 2.1: Độ an toàn của hệ thống mật mã RSA theo độ dài modulus
nlen secure_strength(nlen)
1024 bít 89
1536 bít 106
1792 bít 113
2048 bít 120
Định nghĩa 2.2. Hệ thống mật mã RSA với độ dài modulus nlen
bít là an toàn trước một tấn công cho trước nếu độ phức tạp tính
toán của tấn công đó lớn hơn 2
secure_strength(nlen)
.
2.1.2. Tiêu chuẩn về độ dài RSA modulus
Luận án đề xuất độ dài tối thiểu của RSA modulus an toàn đến
các năm 2015, 2020 và 2025 như bảng 2.3.
Bảng 2.3: Tiêu chuẩn độ dài tối thiểu RSA modulus
Năm nlen
2015 1536 bít
2020 1792 bít
2025 2048 bít

10
Cơ sở đề xuất:
Đảm bảo cho hệ thống mật mã RSA trước tấn công tổng quát: sử
dụng thuật toán phân tích số sàng trường số (NFS) để phân tích N.
2.1.3. Các tiêu chuẩn cho các số nguyên tố p, q
2.1.3.1. Tiêu chuẩn về phương pháp sinh các số nguyên tố
Các số nguyên tố p, q và các số nguyên tố bổ trợ p
1

, p
2
, q
1
, q
2

đều là các số nguyên tố chứng minh được.
Cơ sở đề xuất:
Đảm bảo tính đúng đắn và độ an toàn cho các lược đồ bảo mật và
xác thực của hệ thống mật mã RSA.
2.1.3.2. Tiêu chuẩn về độ dài các số nguyên tố bổ trợ
Độ dài tối thiểu các số nguyên tố bổ trợ p
1
, p
2
, q
1
, q
2
(tương ứng
với độ dài modulus) được cho như bảng 2.4:
Bảng 2.4: Độ dài tối thiểu của các số nguyên tố bổ trợ.
nlen n
1
, n
2
, n
3
, n

4

1536 bít 212 bít
1792 bít 226 bít
2048 bít 240 bít
Cơ sở đề xuất:
Nhằm chống lại các kiểu tấn công dựa vào tính chất của các số
nguyên tố p, q: tấn công phân tích số p-1 của Pollard, phân tích số
p1 của Williams và tấn công phân tích số dựa trên thuật toán
Williams cải biên.
2.1.3.3. Tiêu chuẩn về độ dài của các số nguyên tố p, q
p và q được chọn ngẫu nhiên từ các số nguyên tố có độ dài:

  
( / 2) 1 / 2
( 2)(2 ) , (2 1)
nlen nlen
p q

11
Cơ sở đề xuất:
Đảm bảo cho hệ thống mật mã RSA an toàn trước các tấn công
dựa vào các thuật toán phân tích số có độ phức tạp phụ thuộc vào
kích thước các nhân tử nguyên tố, đồng thời tăng tính hiệu quả của
các lược đồ bảo mật và xác thực RSA.
2.1.3.4. Tiêu chuẩn về độ lớn của hiệu |p-q|
Bảng 2.5: Tiêu chuẩn độ dài tối thiểu của |p-q|.
nlen Độ dài tối thiểu của |p-q|
1536 bít 668 bít
1792 bít 796 bít

2048 bít 924 bít
Cơ sở đề xuất:
Tiêu chuẩn này nhằm chống lại các tấn công kiểu Fermat khi p –
q = c với c nhỏ.
2.1.3.5. Tiêu chuẩn về độ lớn ước nguyên tố của |p-q|
Ước nguyên tố |p-q| có độ dài tối thiểu theo bít được cho như
bảng 2.6:
Bảng 2.6: Tiêu chuẩn về ước nguyên tố của |p-q|.
nlen n
0

1536 bít 106 bít
1792 bít 113 bít
2048 bít 120 bít
Cơ sở đề xuất:
Về cơ sở của việc đề xuất trong ANSI X9.31 chỉ ra rằng tiêu
chuẩn này nhằm chống lại tấn công của R. Pinch.


12
2.1.4. Tiêu chuẩn cho số mũ công khai e và số mũ bí mật d
2.1.4.1 Giới thiệu một số tấn công liên quan đến độ lớn của e
Để giảm thiểu việc tính toán trong phép mã hoá và phép kiểm tra
chữ ký chúng ta có thể chọn một số mũ công khai nhỏ, ví dụ e = 3,
65537 chẳng hạn. Tuy nhiên, khi đó hệ thống mật mã RSA dễ bị phá
vỡ như cách các tác giả Dan Boneh, Glenn Durfee đã chỉ ra.
2.1.4.2. Một số tấn công liên quan đến độ lớn của d
Giống như đối với số mũ công khai, để giảm thiểu việc tính toán
trong phép giải mã và sinh chữ ký chúng ta có thể chọn số mũ công
khai nhỏ. Tuy nhiên, khi đó hệ thống mật mã RSA dễ bị phá vỡ qua

các tấn công như tấn công của Wiener, tấn công của Boneh và
Durfee.
Trong đó tấn công của Boneh và Durfee thành công khi bất đẳng
thức dưới đây được thoả mãn:
 
1 2
7 1
1 6
6 3
 
   , với
e N

 và
d N

 .
2.1.4.3. Đề xuất tiêu chuẩn cho e và d
Số mũ công khai e có độ dài tối thiểu là 32 bít.
Số mũ bí mật d thoả mãn
0.82
d N .
Cơ sở đề xuất:
Chống lại các tấn công đã đề cập trong các mục 2.1.4.1 và
2.1.4.2.
2.2. CÁC TIÊU CHUẨN MỚI CHỐNG LẠI TẤN CÔNG MÃ HOÁ
LIÊN TIẾP
2.2.1. Chu kỳ RSA và các tính chất của nó
Định nghĩa 2.3. Giá trị t>0 nhỏ nhất sao cho (mod )
t

e
m N m


gọi là chu kỳ RSA của m và ký hiệu là per(m).
Tính chất 2.1. Cho t=per(m), khi đó nếu
'
t
e
m
(mod N)

m, thì t

13
là ước của t'.
Mệnh đề 2.2. Cho
*
N
m

và
N
a ord m

, khi đó ta có:
( )
a
per m ord e


Tính chất 2.2. Cho M là ước của N. Khi đó với mọi
*
N
m

ta
có: |
M N
ord m ord m

Chứng minh các tính chất 2.1, 2.2 và mệnh đề 2.2 được trình bày
chi tiết trong luận án.
2.2.2. Tiêu chuẩn mới chống lại tấn công mã hoá liên tiếp
Phép tấn công mã hoá liên tiếp
Đầu vào:
*
N
m

;
Đầu ra: c thoả mãn (mod )
e
c N m

;
Thực thi:
Bước 1: z

m;

Bước 2: c

z;
Bước 3: z

c
e
(mod N);
Bước 4: Nếu (z≠m) quay lại bước 2;
Bước 5: Đầu ra c;
Để có thể chống được tấn công trên ta cần thiết kế được bộ tham
số RSA sao cho tập


*
: ( )
N
M m per m B
  

với B đủ nhỏ là rất
hiếm. Để đạt được điều này ta dựa vào kết quả của mệnh đề 2.3.
Mệnh đề 2.3. Gọi
1
p
và
1
q
tương ứng là các ước nguyên tố của
1

p

và
1
q

;
11
p

và
11
q
tương ứng là các ước nguyên tố của
1
1
p

và
1
1
q

;và
11
p
,
11
q
>B. Khi đó nếu chọn e sao cho

1
p
ord e

bội của
11
p
và
1
q
ord e
bội của
11
q
thì ta có:
 
*
1 1
1
Prob : ( )
N
m per m B
p q
  
Việc chứng minh mệnh đề 2.3 (dựa vào các tính chất 2.1, 2.2 và
mệnh đề 2.2) được trình bày chi tiết trong luận án.

14
Từ kết quả của mệnh đề 2.3 ta có thể đề xuất các tiêu chuẩn dưới
đây nhằm đảm bảo rằng hệ mã hoá khoá công khai RSA có thể

chống lại được kiểu tấn công mã hoá liên tiếp.
Tiêu chuẩn về độ dài tối thiểu của p
11
, q
11

Độ dài tối thiểu các ước nguyên tố p
11
, q
11
tương ứng của p
1
-1,
và q
1
-1 được cho như bảng Bảng 2.7.
Bảng 2.7: Độ dài tối thiểu của p
11
, q
11

nlen n
5
, n
6

1536 bít 106 bít
1792 bít 113 bít
2048 bít 120 bít

Tiêu chuẩn mới cho số mũ công khai e

1
p
ord e
là bội của
11
p
và
1
q
ord e
là bội của
11
q


2.3. CÁC TIÊU CHUẨN AN TOÀN CHO THAM SỐ RSA ĐƯỢC ĐỀ
XUẤT
Dưới đây là tổng hợp lại các tiêu chuẩn an toàn cho tham số RSA
đã được đề xuất trong chương này:
Tiêu chuẩn N1 (Tiêu chuẩn về độ dài modulus):
Độ dài tối thiểu RSA modulus theo bít dùng đến các năm 2015,
2020 và 2025 được cho như bảng 2.3.
Tiêu chuẩn PQ1 (Tiêu chuẩn thứ nhất cho các số nguyên tố p, q):
Các số nguyên tố p, q và các số nguyên tố bổ trợ p
1
, p
2
, q

1
, q
2
đều là
các số nguyên tố chứng minh được.
Tiêu chuẩn PQ2 (Tiêu chuẩn thứ hai cho các số nguyên tố p, q):
Độ dài tối thiểu theo bít của các số nguyên tố bổ trợ p
1
, p
2
, q
1
, q
2

được cho như bảng 2.4.

15
Tiêu chuẩn PQ3 (Tiêu chuẩn thứ ba cho các số nguyên tố p, q):
p và q được chọn ngẫu nhiên từ các số nguyên tố thoả mãn:


  
( / 2) 1 / 2
( 2)(2 ) , (2 1)
nlen nlen
p q .
Tiêu chuẩn PQ4 (Tiêu chuẩn thứ tư cho các số nguyên tố p, q):
Độ dài tối thiểu theo bít của |p-q| được cho như bảng 2.5.
Tiêu chuẩn PQ5 (Tiêu chuẩn thứ năm cho các số nguyên tố p, q):

|p-q| phải có ước nguyên tố có độ dài theo bít tối thiểu như trong
bảng 2.6.
Tiêu chuẩn PQ6 (Tiêu chuẩn thứ sáu cho các số nguyên tố p, q):
Độ dài tối thiểu theo bít các ước nguyên tố p
11
, q
11
được cho
như Bảng 2.7.
Tiêu chuẩn D1 (Tiêu chuẩn về số mũ bí mật d)
Độ dài tối thiểu theo bít của số mũ bí mật d được cho như bảng
2.13.
Bảng 2.13: Tiêu chuẩn D1
nlen Độ dài tối thiểu của d
1536 bít 1260 bít
1792 bít 1470 bít
2048 bít 1680 bít

Tiêu chuẩn E1 (Tiêu chuẩn thứ nhất cho số mũ công khai e)
e có độ dài tối thiểu là 32 bít.
Tiêu chuẩn E2 (Tiêu chuẩn thứ hai cho số mũ công khai e)
1
p
ord e
là bội của
11
p
và
1
q

ord e
là bội của
11
q
.


16
2.4.KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Chương này của luận án đã nghiên cứu và đề xuất được hệ tiêu
chuẩn cho các tham số RSA nhằm nâng cao độ an toàn và tính hiệu
quả trong sử dụng của hệ thống mật mã RSA. Hệ tiêu chuẩn được
xây dựng trên cơ sở:
 Xem xét, đánh giá cơ sở đảm bảo sự an toàn cho hệ mật mã RSA
trước các tấn công có liên quan, từ đó đề xuất các tiêu chuẩn đã
có trên thế giới (gồm 08 tiêu chuẩn). Đặc biệt trong đó có 04 tiêu
chuẩn được luận án đề xuất mới về mặt định lượng, gồm: tiêu
chuẩn N1, PQ2, D1 và tiêu chuẩn E1.
 Xây dựng được các tiêu chuẩn mới, gồm 01 tiêu chuẩn cho các
số nguyên tố p, q (tiêu chuẩn PQ6) và 01 tiêu chuẩn cho số mũ
công khai e (tiêu chuẩn E2), nhằm đảm bảo cho hệ thống mật mã
RSA an toàn trước kiểu tấn công mã hoá liên tiếp.

17
CHƯƠNG 3
SINH VÀ TÍCH HỢP THAM SỐ RSA AN TOÀN
CHO DỊCH VỤ BẢO MẬT WEB

3.1. THUẬT TOÁN SINH THAM SỐ RSA AN TOÀN
Trong các thuật toán có sử dụng các ký hiệu dưới đây:

 level: có thể nhận một trong ba giá trị 0, 1 hoặc 2 tương ứng với
các độ dài RSA modulus là 1536 bít, 1792 bít và 2048 bít.
 dlen độ dài theo bít của số mũ bí mật d.
 dist = |p-q|.
Để đảm bảo cho thuật toán sẽ được xây dựng thành công các
điều kiện dưới đây cần được thoả mãn:
 n
0
+ n
1
> plen/2 và n
0
+ n
2
> qlen/2.
 n
0
+ n
1
+ n
2
 plen - log
2
(plen) - 2 và n
0
+ n
3
+ n
4
 qlen -

log
2
(qlen) - 5.
 n
0
< nlen - dlen.
3.1.1. Các hằng số và các hàm được sử dụng trong thuật toán
 SS[3] = {106; 113; 120}.
 Dlen[3] = {1260; 1470; 1680}.
 PQlen[3] = {768; 896; 1024}.
 random(x) hàm sinh ngẫu nhiên một số nguyên nhỏ hơn hoặc
bằng số nguyên x.
3.1.2. Thuật toán SinhP (Thuật sinh số nguyên tố thứ nhất)
3.1.2.1. Thuật toán 3.1
Đầu vào: level;
Đầu ra: p, p
0
, p
1
, p
11
;
Giá trị trả về: Sinh p thành công trả về 1, ngược lại trả về 0.
Thực thi:
Bước 1: Lấy plen = PQlen[level]; s = SS[level]; dlen =
Dlen[level]; condlen=log
2
(plen)+2; res = 0;

18

Bước 2: Lấy n
0
= s + random(2*plen - dlen - 128);
Bước 3: Lấy n
1
= 2s + random(plen - condlen - n
0
- 4s -1), nếu
(n
0
+n
1
)

plen/2 thì quay lại bước 2;
Bước 4: Lấy n
2
= 2s + random(plen - 2s - n
0
- n
1
- condlen - 1)
Bước 5: Sinh số nguyên tố
0
p
có độ dài n
0
bít;
Bước 6: Sinh số nguyên tố
1

p
có độ dài n
1
bít và
1
1
p

có ước
nguyên tố là
11 1
p
p  ;
Bước 7: Sinh số nguyên tố
2
p
có độ dài n
2
bít;
Bước 8: Sinh ngẫu nhiên một số nguyên:




1
2 2 1,2 1
plen plen
x

  

 
 
;
Bước 9: Chọn số y trong khoảng


2
1,
p

sao cho
0 1 2
1 (mod )
yp p p

;
Bước 10: Tính
0 1 0 1 2
(2 )/(2 )
t yp p x p p p
 
 
 
; counter = 0;
Bước 11: Nếu


2 0 1
2( ) 1 2
plen

tp y p p   thì lấy
1
0 1 0 1 2
(2 ( 2)(2 ) )/(2 )
plen
t yp p p p p

 
 
 
 
 
;
Bước 12: Lấy
2 0 1
2( ) 1
p tp y p p
  
; counter = counter+1
Bước 13: Sinh ngẫu nhiên số nguyên
2, 2
a p
 
 
 
;
Bước 14: Tính:
a.
2 1
2( )

mod )
(
tp y p
u a p

 ;
b.
2 0
2( )
(mod )
tp y p
p
v a

 ;
c.
2 1 0
2( )
(mod )
tp y p p
p
z a

 ;
Bước 15: Nếu gcd(u – 1 , p) = 1 và gcd(v – 1 , p) = 1 và
1
z

thì
lấy res = 1 và chuyển sang bước 17;

Bước 16: Nếu counter<8plen thì lấy t = t + 1, quay về Bước 11;
Bước 17: Cho đầu ra (q, q
1
, q
11
) và trả về res;

19

3.1.2.2. Phân tích thuật toán 3.1
Với việc phân tích chi tiết thuật toán 3.1 ta thu được một số
khẳng định dưới đây:
 Số nguyên p ở đầu ra của thuật toán trên là số nguyên tố
 p
1
là ước của p-1 và p
2
là ước của p+1
3.1.3. Thuật toán SinhQ (Thuật toán sinh số nguyên tố thứ hai)
3.1.3.1. Thuật toán 3.2
Đầu vào: level, p, p
0
;
Đầu ra: q, q
1
, q
11
;
Giá trị trả về: Sinh q thành công trả về 1, ngược lại trả về 0;
Thực thi:

Bước 1: Lấy qlen = PQlen[level]; s = SS[level];
condlen=log2(qlen)+2; n
0
= log
2
(p
0
), dist=2
(qlen)-100
, res = 0;
Bước 2: Trong khi ((n
0
+n
3
)

plen/2) thì lấy n
3
= 2s +
random(qlen - 4s - n
0
- condlen - 1);
Bước 3: Lấy n
4
= 2s + random(qlen - 2s - n
0
- n
3
- condlen - 1)
Bước 4: Sinh số nguyên tố

1
q
có độ dài n
3
bít và
1
1
q

có ước
nguyên tố là
11 1
q q
 ;
Bước 5: Sinh số nguyên tố
2
q
có độ dài n
4
bít;
Bước 6: Sinh ngẫu nhiên một số nguyên:




1
2 2 1,2 1
qlen qlen
x


  
 
 

Bước 7: Chọn số y trong khoảng


2
1,
q

sao cho
0 1 2
1 (mod )
yp q q

;
Bước 8: Tính
0 1 0 1 2
(2 )/(2 )
t yp x p
q q q
 
 
 
; counter = 0;
Bước 9: Nếu


2 0 1

2( ) 1 2
qlen
tq y p q   thì lấy
1
0 1 0 1 2
(2 ( 2)(2 ) )/(2 )
qlen
t yp p
q q q

 
 
 
 
 
;

20
Bước 10: counter=counter + 1;
2 0 1
2( ) 1
q tq y p q
  
; nếu |p-q|

dist thì thực hiện:
a. Nếu counter > 8qlen thì chuyển sang bước 15;
b. Lấy t = t + 1 và quay lại bước 9;
Bước 11: Sinh ngẫu nhiên số nguyên
2, 2

a q
 
 
 
.
Bước 12: Tính:
a.
2 1
2( )
(mod )
tq y q
u a q

 ;
b.
2 0
2( )
(mod )
tq y p
v a q

 ;
c.
2 1 0
2( )
(mod )
tq y q p
z a q

 ;

Bước 13: Nếu gcd(u – 1 , q) = 1 và gcd(v – 1 , q) = 1 và
1
z


thì lấy res = 1 và chuyển sang bước 15;
Bước 14: Nếu counter

8qlen lấy t = t + 1 và quay về Bước 9;
Bước 15: Cho đầu ra (q, q
1
, q
11
) và trả về res;
3.1.3.2. Phân tích thuật toán 3.2
Việc phân tích thuật toán 3.2 tương tự như phân tích thuật toán
3.1, ta có các khẳng định dưới đây:
 Số nguyên q được sinh bởi Thuật toán 3.2 chắc chắn là số
nguyên tố.
 q - 1 có ước là q
1
và q +1 có ước là q
2
.
3.1.4. Tính chất của các tham số p, q
Sử dụng thuật toán 3.1 và thuật toán 3.2 để sinh các số nguyên tố
p, q thì các số nguyên tố này sẽ thoả mãn 06 tiêu chuẩn từ tiêu chuẩn
PQ1 đến tiêu chuẩn PQ6 đã trình bày trong chương 2.
3.1.5. Thuật toán SinhED
3.1.5.1. Thuật toán 3.3

Đầu vào: level, elen, p, q, p
1
, q
1
, p
11
, q
11
;
Đầu ra: e, d;


21
Thực thi
Bước 1: Tính dlen = Dlen[level];
Bước 2: Chọn ngẫu nhiên số nguyên lẻ elen bít
e
thỏa mãn:
gcd((p-1), e) = 1 và gcd((q-1),e) =1;
Bước 3: Nếu
1 11
( 1)/
1
mod 1
p p
e p


hoặc
1 11

( 1)/
1
mod 1
q q
e q


thì
quay lại bước 2;
Bước 4: Tính d = e
-1
mod lmc((p-1),(q-1));
Bước 5: Nếu
2
log ( )
d dlen

thì chuyển sang bước 6, ngược lại
chuyển về bước 2;
Bước 6: Cho đầu ra e, d;
3.1.5.2. Phân tích thuật toán 3.3
Số mũ công khai e và số mũ bí mật d được sinh bằng thuật toán
3.3 thoả mãn tiêu chuẩn E2 và tiêu chuẩn D1.
3.1.6. Thuật toán sinh tham số SinhThamSo
3.1.6.1. Thuật toán 3.4
Đầu vào: level, elen;
Đầu ra: N, e, d;
Thực thi:
Bước 1: Nếu
{0,1,2}

level

thì trả về 0 và dừng chương trình;
Bước 2: Nếu elen < 32 thì trả về 0 và dừng chương trình;
Bước 3: Sử dụng Thuật toán 3.1 để sinh số nguyên tố p (thuật
toán SinhP);
Bước 4: Sử dụng Thuật toán 3.2 để sinh số nguyên tố q (thuật
toán SinhQ);
Bước 5: Tính N = pq;
Bước 6: Sử dụng Thuật toán 3.3 để sinh số mũ công khai e và số
mũ bí mật d (thuật toán SinhED);
Bước 7: Cho đầu ra là (N, e, d) và hàm trả về giá trị 1;

22
3.1.6.2. Phân tích thuật toán 3.4
Bước 1 của thuật toán đảm bảo tiêu chuẩn N1 được thoả mãn.
Bước 2 của thuật toán đảm bảo tiêu chuẩn E1 được thoả mãn.
3.2. XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH SINH THAM SỐ RSA AN TOÀN
Các thuật toán đã trình bày trong phần 3.1 được xây dựng thành
chương trình trên ngôn ngữ Visual C++ 6.0 có sử dụng bộ thư viện
chương trình tính toán số lớn Miracl 2.1.
3.2.1. Một số hàm thực thi thuật toán sinh tham số RSA an toàn
 Hàm sinh số nguyên tố theo thuật toán của Maurer:
Provable_Gen().
 Hàm sinh số nguyên tố p: SinhP()
 Hàm sinh số nguyên tố q: SinhQ()
 Hàm sinh số mũ bí mật và số mũ công khai: SinhED()
 Hàm sinh tham số RSA: SinhThamSo()
3.2.2. Kết quả chạy thực nghiệm
Luận án thực hiện chạy bộ chương trình đã được xây dựng trên

máy tính cá nhân (PC) Dell Optiplex 2100L với cấu hình: CPU Intel
Pentium IV 3 GHz, 256 Mb RAM. Để sinh mỗi loại theo độ dài
modulus là 100 bộ, thời gian chạy được thống kê trong bảng 3.2.
Bảng 3.2: Thời gian sinh các bộ tham số RSA an toàn
Thời gian sinh (giây)
Độ dài
modulus

(bít)
Bộ sinh
nhanh
nhất
Bộ
sinh
lâu
nhất
Tổng
thời
gian
Thời
gian
trung
bình
1536 8 234 8234 82,34
1792 11 530 14493 144,93
2048 20 641 29447 294,47

23
3.2.3. Bằng chứng về tính nguyên tố
Kết quả chạy chương trình lưu lại các số nguyên tố p, q, p

0
, p
1
,
p
2
, q
1
, q
2
và bằng chứng về tính nguyên tố của chúng.
3.3. ỨNG DỤNG THAM SỐ RSA AN TOÀN
3.3.1. Tích hợp chương trình sinh tham số RSA an toàn cho bộ
chương trình sinh chứng chỉ điện tử
Để các tham số RSA an toàn có tính phổ dụng trên thực tế luận
án đã thực hiện tích hợp thuật toán sinh chúng cho một bộ công cụ
phần mềm mã nguồn mở thực thi chức năng phát hành và quản lý
chứng chỉ số, bộ phần mềm OpenSSL phiên bản 0.9.8j.
3.3.2. Sử dụng tham số RSA an toàn với giao thức bảo mật Web
Luận án chọn bộ phần mềm Apache phiên bản 2.2.15 và bộ phần
mềm Mozilla Firefox phiên bản 3.6 để phát triển chúng thành các bộ
phần mềm có thể áp dụng các tham số RSA an toàn.
3.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Để đưa các tiêu chuẩn tham số RSA an toàn vào ứng dụng trong
thực tế, chương này của luận án đã thực hiện:
 Xây dựng và chứng minh được tính đúng đắn của thuật toán sinh
tham số RSA thoả mãn tất cả các tiêu chuẩn an toàn đã đề ra,
trong đó có một tiêu chuẩn (tiêu chuẩn PQ5) vốn đã có tài liệu đã
được công bố trên thế giới cho là rất khó có thể thực hiện.
 Cài đặt và tích hợp trình thực hiện thuật toán đã xây dựng vào bộ

chương trình sinh các chứng chỉ số theo chuẩn X509.
 Nghiên cứu, sửa đổi mã nguồn của một phần mềm trình duyệt
Web mã nguồn mở để có thể áp dụng các tham số RSA an toàn
cho các giao thức bảo mật giao dịch Web.