tóm tắt luận án phân lớp đối đồng điều các ann hàm tử và các ann phạm trù bện

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
− − − − − − − − −
ĐẶNG ĐÌNH HANH
PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC
ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62. 46. 05. 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2011
Công trình được hoàn thành tại:
KHOA TOÁN - TIN, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang
Phản biện 1: GS. TS. Nguyễn Quốc Thắng
Viện Toán học
Phản biện 2: GS. TS. Lê Văn Thuyết
Trường Đại học Huế
Phản biện 3: PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn
Trường ĐH Khoa học - Đại học Thái Nguyên
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.
Vào hồi giờ ngày tháng năm
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- THƯ VIỆN QUỐC GIA
- THƯ VIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
1
MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Khái niệm phạm trù monoidal hay tensor phạm trù được đề xuất bởi S. Mac Lane
[Rice.Univ.Studies 49(4)(1963), 28-46], J. Bénabou [C. R. Acad. Sci 253(1963) 1887-

1890] vào năm 1963. Mỗi phạm trù monoidal là một tựa vị nhóm, trong đó tập nền C
được thay thế bởi một phạm trù và phép toán nhân m : C ×C → C được thay thế bởi một
hàm tử. Trong [Rice. Univ. Studies 49(4)(1963), 28-46], S. Mac Lane đã đưa ra điều kiện
đủ cho tính khớp của các ràng buộc tự nhiên của một phạm trù monoidal; và điều kiện
đủ cho tính khớp của lớp phạm trù monoidal đối xứng, tức là một phạm trù monoidal có
thêm ràng buộc giao hoán. Bài toán khớp cho lớp phạm trù monoidal thường được suy
ra từ một kết quả mạnh hơn: mỗi phạm trù monoidal đều tương đương với một phạm
trù monoidal chặt chẽ, tức là một phạm trù monoidal có các ràng buộc đều là những
phép đồng nhất. Kết quả này đã được chứng minh bởi một vài tác giả như N. D. Thuận
[Acta.Math.Vietnam 5(1980) 182-194], C. Kassel [Quantum groups, Graduate texts in
mathematics (155)(1995)], P. Schauenburg [NewYork. J. Math 7(2001) 257-265].
Việc xem xét các mối liên hệ phụ thuộc của một số tiên đề trong hệ tiên đề của một
phạm trù monoidal đối xứng đã được G. M. Kelly trình bày trong [J. of Algebra 1(1964)
397-402]. Sau này, S. Kasangian và F. Rossi đã xem xét thêm một số mối liên hệ về tính
đối xứng trong một phạm trù monoidal [Bull. Austral.Math 23(1981) 209-214].
Phạm trù monoidal được "mịn hóa" để trở thành phạm trù với cấu trúc nhóm, khi bổ
sung thêm khái niệm vật khả nghịch (Xem M. L. Laplaza [J. of Algebra 84(1983) 305-
323], N. Saavedra Rivano [Catégories Tannakiennes, Lecture Notes in Math 265(1972)]).
Bây giờ, nếu phạm trù nền là một groupoid (nghĩa là mọi mũi tên đều đẳng cấu) thì
ta được khái niệm monoidal category group-like (xem A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall
[Compositio Mathematica 28(3)(1974) 229-285]), hay Gr-category (xem H. X. Sính [Gr-
catégories, Thèse de Doctorat (1975)]), hay nhóm phạm trù [Communications in Algebra
28 (2000) 2585-2613], hoặc 2-nhóm [Theor and Appl. Cat 12(2004) 423-491] theo cách
gọi gần đây. Các Gr-phạm trù đã được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều nhóm H
3
(G, A)
[H. X. Sinh, Gr-catégories, Thèse de Doctorat (1975)]. Trong trường hợp nhóm phạm trù
có thêm ràng buộc giao hoán, chúng ta thu được khái niệm phạm trù Picard (Pic-phạm
trù) [Gr-catégories, Thèse de Doctorat (1975)], hay nhóm phạm trù đối xứng [Math.
Proc. Camb. Phil. Soc 114(1993) 163-189] hoặc 2-nhóm đối xứng [M. Dupont, Abelian

categories in dimension 2, PhD thesis (2008)].
Tâm của phạm trù monoidal được giới thiệu bởi A. Joyal và R. Street [J of Pure
and Applied Algebra 71(1991) 43-51], như là sự khái quát hóa của khái niệm tâm của
một vị nhóm. Tâm của một phạm trù monoidal cung cấp một cấu trúc bện tự nhiên và
tầm thường, đó là một tensor phạm trù bện hay một phạm trù monoidal bện và không
đối xứng. Sau đó, tâm của phạm trù xuất hiện như một công cụ để nghiên cứu nhóm
2
phạm trù [Applied Categorical Structures 12(2004) 35-61] và nhóm phạm trù phân bậc
[Applied Categorical Structures 13(2005) 131-140]. Trong [Advances in Mathematics
225(1)(2010) 319-348], A. Davydov đã nghiên cứu về tâm đầy của một đại số trong
phạm trù tâm của một phạm trù monoidal và đã thiết lập bất biến Morita của xây
dựng này bằng cách mở rộng nó đến các phạm trù môđun. Tâm của phạm trù monoidal
cũng xuất hiện trong bài toán đối ngẫu của các phạm trù monoidal được đưa ra bởi S.
Majid [Suppl. Rend. Circ. Math. Palermo 26(1991) 197-206].
Trong [Advances in Mathematics 102(1993) 20-78], A. Joyal và R. Street đã phân lớp
các nhóm phạm trù bện bởi phạm trù các hàm quadratic (dựa trên một kết quả của S.
Eilenberg và S. Mac Lane về sự biểu diễn hàm quadratic bởi nhóm đối đồng điều aben
H
3
ab
(G, A) [Annals of Mathematics 60(1)1954 49-139]. Trước đó, trường hợp nhóm phạm
trù đối xứng (hay phạm trù Picard) đã được phân lớp bởi H. X. Sính [Gr-catégories,
Thèse de Doctorat (1975)].
Tình huống tổng quát hơn đối với các nhóm phạm trù Picard được đưa ra bởi A.
Fr¨ohlich và C. T. C. Wall với tên gọi nhóm phạm trù phân bậc [Compositio Mathematica
28(3)(1974) 229-285] (sau này, A. Cegarra và E. Khmaladze gọi là phạm trù Picard phân
bậc [Advances in Mathematics 213(2) (2007) 644-686]). Các định lý phân lớp đồng luân
cho các nhóm phạm trù phân bậc, các nhóm phạm trù bện phân bậc, và trường hợp riêng
của nó, các phạm trù Picard phân bậc đã được trình bày theo thứ tự trong [Applied
categorical Structures 13(2005) 131-140], [J of Pure and Applied Algebra 209(2007) 411-

437], [Advances in Mathematics 213(2)(2007) 644-686]. Từ mỗi phạm trù như vậy xuất
hiện một 3-đối chu trình theo một nghĩa nào đó mà mỗi lớp tương đẳng của các phạm
trù cùng loại là tương ứng với một lớp đối đồng điều chiều 3.
Các lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đã thu hút được sự quan tâm của nhiều tác
giả. Năm 1972, M. L. Laplaza đã nghiên cứu về lớp phạm trù có tính phân phối [Lecture
Notes math 281(1972) 29-65]. Kết quả chính của [Lecture Notes math 281(1972) 29-65] là
chứng minh định lý khớp cho lớp phạm trù này. Sau đó, trong [Compositio Mathematica
28(3)(1974) 229-285], A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall đã đưa ra khái niệm phạm trù tựa
vành với chủ ý là đưa ra một hệ tiên đề mới gọn hơn của M. L. Laplaza. Hai khái niệm
này là những hình thức hóa của phạm trù các môđun trên một vành giao hoán.
Năm 1994, M. Kapranov và V. Voevodsky [Proc of Symposia in Pure Mathematics
56(1994) 177-259] đã bỏ đi những đòi hỏi trong hệ tiên đề của M. L. Laplaza có liên
quan đến ràng buộc giao hoán của phép nhân và đưa ra tên gọi phạm trù vành cho lớp
phạm trù này. Họ đã sử dụng phạm trù của các không gian vectơ trên một trường K,
cùng với tích tenxơ và tổng trực tiếp để định nghĩa các 2-không gian vectơ trên K.
Để có được những mô tả về cấu trúc, cũng như để có thể phân lớp đối đồng điều, N.
T. Quang đã đưa ra khái niệm Ann-phạm trù [J Math Hanoi 15(4)(1987) 14-24], như
một phạm trù hóa khái niệm vành, với những đòi hỏi về tính khả nghịch của các vật
và của các mũi tên của phạm trù nền, tương tự như trường hợp của nhóm phạm trù
(xem [Catégories Tannakiennes, Lecture Notes in Math 265(1972); Gr-catégories, Thèse
3
de Doctorat (1975)]). Những đòi hỏi bổ sung này cũng không phải quá đặc biệt, bởi
vì nếu P là một phạm trù Picard thì phạm trù End(P) các Pic-hàm tử trên P là một
Ann-phạm trù (xem N. T. Quang [J. Math. Hanoi 16(1988) 17-26]), điều này đã được
nhắc lại trong [arXiv:1005.2831v1[math.CT]]. Mặt khác, mỗi Ann-phạm trù mạnh là
một phạm trù vành [Comm. Korean Math. Soc 25(4)(2010) 523-535]. Năm 2008, N. T.
Quang đã chứng minh được rằng mỗi lớp tương đẳng các Ann-phạm trù hoàn toàn được
xác định bởi ba bất biến: vành R, R−song môđun M và một phần tử thuộc nhóm đối
đồng điều Mac Lane H
3

MaL
(R, M) ([arXiv.0804.1820v4[math.CT]]). Trường hợp chính
quy (ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện c
X,X
= 0 đối với mọi vật X) đã được
phân lớp bởi nhóm đối đồng điều Shukla H
3
Sh
(R, M) ([Ann-phạm trù, Luận án Tiến sĩ
(1988)]). Từ các kết quả phân lớp của các Ann-phạm trù chính quy, Trần Phương Dung
đã giải bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù chính
quy [Ann-phạm trù chính quy và ứng dụng, Luận án Tiến sĩ (1992)] Mỗi Ann-phạm trù
được xem như một one-object của Gpd-categories trong luận án của M. Dupont [Abelian
categories in dimension 2, PhD Thesis (2008)], hay như một one-point enrichments of
SPC của V.Schmitt [arXiv:0812.0150v2[math.CT]].
Năm 2006, M. Jibladze và T. Pirashvili [J. of Homotopy and Related Structures
2(2)(2007) 187-216] đã đưa ra khái niệm vành phạm trù với những sự sửa đổi từ hệ tiên
đề của một Ann-phạm trù. Tuy nhiên, mối liên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạm
trù và vành phạm trù như thế nào? Hai lớp này có trùng nhau không, lớp này chứa lớp
kia hay chúng chỉ giao nhau một phần? Một vành phạm trù còn được gọi là một 2-vành
theo cách gọi trong [Abelian categories in dimension 2, PhD Thesis (2008)]. Năm 2010,
các tác giả F. Huang, S. H. Chen, W. Chen và Z. J. Zheng đã định nghĩa các 2-môđun
trên các 2-vành và đưa ra sự biểu diễn của các 2-vành [arXiv:1005.2831v1[math.CT]].
Bên cạnh những kết quả đã có về Ann-phạm trù, chúng tôi thấy rằng vẫn còn có
những vấn đề liên quan tới Ann-phạm trù cần được nghiên cứu như: bài toán tồn tại
và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù trong trường hợp tổng quát, mối
liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù, tính bện trong lớp Ann-phạm trù, Vì
vậy, chúng tôi viết luận án với tiêu đề: "Phân lớp đối đồng điều các Ann-hàm tử và các
Ann-phạm trù bện" để giải quyết những vấn đề nêu trên.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích nghiên cứu của luận án bao gồm: sử dụng đối đồng điều vành của Mac Lane
để nghiên cứu các Ann-hàm tử, xây dựng Ann-phạm trù cảm sinh bởi một Ann-hàm
tử và xem xét mối liên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạm trù và vành phạm trù
(categorical rings); đưa ra định nghĩa Ann-phạm trù bện và một trường hợp riêng của
nó là Ann-phạm trù đối xứng, đưa ra các ví dụ, xem xét mối liên hệ giữa Ann-phạm
trù đối xứng với các phạm trù có tính phân phối (distributivity categories) và phạm trù
tựa vành (ring-like categories), xây dựng phạm trù thu gọn cho lớp Ann-phạm trù bện
và tiến hành phân lớp các Ann-phạm trù bện.
4
III. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu của luận án bao gồm: Ann-phạm trù, Ann-hàm tử và tính bện
(và một trường hợp riêng của nó là tính giao hoán) trong lớp Ann-phạm trù.
Phạm vi nghiên cứu của luận án là những bài toán thường gặp của lý thuyết phạm
trù với cấu trúc, đó là bài toán phân lớp, xây dựng các ví dụ cụ thể, nghiên cứu các tính
chất, các mối liên hệ phụ thuộc của các tiên đề và mối liên hệ giữa những lớp phạm trù
có cấu trúc tương tự nhau.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Ngoài những phương pháp nghiên cứu lý thuyết truyền thống, trong luận án này
chúng tôi sử dụng triệt để phương pháp biểu đồ của lý thuyết phạm trù để chứng minh
các biểu đồ giao hoán, thay cho các biến đổi đẳng thức trừu tượng.
V. NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN
Luận án đã đóng góp một số kết quả mới về Ann-phạm trù. Kết quả chính đầu tiên
là sử dụng các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane để tiến hành giải bài toán tồn
tại và phân lớp các Ann-hàm tử (Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.9). Kết quả chính thứ hai
của luận án là xây dựng Ann-phạm trù đối ngẫu của một Ann-hàm tử (Định lý 2.2.10).
Đây là một phép dựng mới ngoài phép dựng Ann-phạm trù của một đồng cấu chính
quy trong bài toán mở rộng vành. Kết quả tiếp theo của luận án là Định lý 2.3.3. Định
lý đã chỉ ra rằng các Ann-phạm trù là chứa trong các vành phạm trù. Ngược lại, mỗi
vành phạm trù khi bổ sung thêm một tiên đề về sự tương thích với các ràng buộc đơn
vị sẽ trở thành một Ann-phạm trù (Định lý 2.3.4).

Những đóng góp tiếp theo của luận án có liên quan đến tính bện trong lớp Ann-phạm
trù. Định lý 3.1.6 chỉ ra: Tâm của một Ann-phạm trù là một Ann-phạm trù bện và nói
chung không đối xứng, đây là một kết quả tiếp nối các kết quả về tâm của một phạm
trù monoidal đã được đưa ra trong [J. of Pure and Applied Algebra 2(2)(1991) 43-51].
Trên cơ sở xem xét mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng với các phạm trù có tính
phân phối và phạm trù tựa vành, luận án đã chỉ ra sự tương đương của hai hệ tiên đề:
phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành (Mệnh đề 3.4.1), một khẳng định
được A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall đưa ra nhưng không có chứng minh [Compositio
Mathematica 28(3)(1974) 229-285].
Trong chương 4 của luận án, trước hết chúng tôi chứng minh sự tương đẳng của mỗi
Ann-phạm trù bện với một Ann-phạm trù bện kiểu (R, M) (Mệnh đề 4.1.6, Mệnh đề
4.1.7). Từ đây, kết hợp với các kết quả về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử bện
(Định lý 4.2.6), chúng tôi đưa ra và chứng minh các định lý phân lớp cho các Ann-phạm
trù bện (Định lý 4.3.1, Định lý 4.3.2).
VI. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ Ý NGHĨA THỰC TIỄN CỦA LUẬN ÁN
Bên cạnh những công trình nghiên cứu về những lớp phạm trù có hai cấu trúc
5
monoidal đã được đưa ra bởi M. L. Laplaza, A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall, N. T. Quang,
M. M. Kapranov và V. A. Voevodsky, M. Jibladze và T. Pirashvili, V. Schmitt, M.
Dupont, luận án đã làm phong phú thêm những kết quả cho lớp phạm trù này. Đồng
thời, luận án đã nghiên cứu về tính bện trong lớp Ann-phạm trù, điều này trước đây
chỉ thực hiện cho lớp phạm trù có một cấu trúc monoidal. Các kết quả mà luận án đạt
được bổ sung thêm các kết quả đã có về việc chuyển các kết quả của lý thuyết đại số
thuần túy lên lý thuyết phạm trù, góp phần phát triển lý thuyết phạm trù nói riêng
cũng như sự phát triển chung của Toán học hiện đại.
VII. BỐ CỤC CỦA LUẬN ÁN
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, luận án gồm bốn chương sau.
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Một số kết quả về Ann-phạm trù và Ann-hàm tử
Chương 3: Ann-phạm trù bện

Chương 4: Phân lớp đối đồng điều các Ann-phạm trù bện
6
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Phạm trù với cấu trúc đã thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả. S. Mac Lane đã
đưa ra khái niệm phạm trù monoidal [Rice.Univ.Studies 49(4)(1963) 28-46], Hoàng Xuân
Sính đã đưa ra khái niệm Gr-phạm trù [Gr-catégories, Thèse de Doctorat (1975)], A.
Joyal và R. Street đã đưa ra khái niệm phạm trù monoidal bện [Advances in Mathematics
102(1993) 20-78]. Những kết quả về Ann-phạm trù đã được trình bày trong Luận án
Tiến sĩ của Nguyễn Tiến Quang (1988). Trong chương này, chúng tôi nhắc lại những
khái niệm và kết quả chủ yếu, dùng làm cơ sở cho các chương sau. Phần cuối của chương
trình bày về các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane và đối đồng điều đại số của
Hochschild. Các nhóm đối đồng điều này sẽ được sử dụng vào bài toán phân lớp các
Ann-hàm tử.
1.1 Phạm trù monoidal bện
1.1.1 Phạm trù monoidal bện
Định nghĩa 1.1.13 (Joyal và Street) Một bện cho phạm trù monoidal C bao gồm họ
các đẳng cấu tự nhiên
c = c
A,B
: A ⊗ B
∼
−→ B ⊗ A,
trong C sao cho nó thoả mãn hai đẳng thức sau đây:
(id
B
⊗c
A,C
) ◦ a
−1

B,A,C
◦ (c
A,B
) = a
−1
B,A,C
◦ c
A,B⊗C
◦ a
−1
A,B,C
; (1.7)
c
A,C
◦ a
A,C,B
◦ (id
A
◦c
B,C
) = a
C,A,B
◦ c
A⊗B,C
◦ a
A,B,C
. (1.8)
Một tensor phạm trù bện hay một phạm trù monoidal bện là một cặp (C, c) bao gồm
một phạm trù monoidal C và một bện c.
Hơn nữa, nếu

c
B,A
◦ c
A,B
= id
A⊗B
, (1.10)
thì C được gọi là một phạm trù monoidal đối xứng, hay một ACU-phạm trù.
Định nghĩa 1.1.16 [Hàm tử monoidal bện (đối xứng)] Cho C và D là hai phạm trù
monoidal bện (đối xứng). Một ⊗-hàm tử (F,

F ,
ˆ
F ) từ C đến D được gọi là bện (đối xứng)
7
nếu với mỗi cặp (A, B) những vật của C ta có
F (c
X,Y
) ◦

F
X,Y
=

F
Y,X
◦ c

F X,F Y
. (1.11)

1.2 Gr-phạm trù và P ic-phạm trù
Định nghĩa 1.2.5. (H.X.Sinh) Một Gr-phạm trù G là một phạm trù monoidal mà tất
cả các vật đều khả nghịch và phạm trù nền là một groupoid, nghĩa là tất cả các mũi
tên đều là đẳng cấu.
Định nghĩa 1.2.8. (H.X.Sinh) Một phạm trù Picard hay một Pic-phạm trù P là một
Gr-phạm trù cùng với một ràng buộc giao hoán tương thích với ràng buộc kết hợp.
1.3 Ann-phạm trù
1.3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù
Định nghĩa 1.3.1. (N.T.Quang) Một Ann-phạm trù gồm:
(i) Phạm trù A cùng với hai song hàm tử ⊕, ⊗ : A × A → A;
(ii) Vật cố định 0 ∈ A cùng với các đẳng cấu tự nhiên a
+
, c
+
, g, d, sao cho (A, ⊕, a
+
, c
+
, (0, g, d))
là một nhóm phạm trù đối xứng;
(iii) Vật cố định 1 ∈ A cùng với các đẳng cấu tự nhiên a, l, r sao cho
(A, ⊗, a, (1, l, r)) là một phạm trù monoidal;
(iv) Các đẳng cấu tự nhiên L, R (các ràng buộc phân phối bên trái, bên phải)
L
A,X,Y
: A ⊗ (X ⊕ Y ) → (A ⊗ X) ⊕ (A ⊗ Y ),
R
X,Y,A
: (X ⊕ Y ) ⊗ A → (X ⊗ A) ⊕ (Y ⊗ A),
sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

(Ann-1) Đối với mỗi vật A ∈ A các cặp (L
A
,
˘
L
A
), (R
A
,
˘
R
A
) xác định bởi các
hệ thức sau:
L
A
= A ⊗ −,
˘
L
A
X,Y
= L
A,X,Y
,
R
A
= − ⊗ A,
˘
R
A

X,Y
= R
X,Y,A
.
là những ⊕−hàm tử tương thích với a
+
, và với c
+
.
(Ann-2) Đối với mọi vật A, B, X, Y ∈ A các biểu đồ sau là giao hoán:
(a
A,B,X
⊗ a
A,B,Y
) ◦
˘
L
A
BX,BY
◦ (id
A
⊗
˘
L
B
X,Y
) =
˘
L
AB

X,Y
◦ a
A,B,X⊗Y
; (1.13)
˘
R
A
XB,Y B
◦ (
˘
R
B
X,Y
⊗ id
A
) ◦ a
X⊗Y,B,A
= (a
X,B,A
⊕ a
Y,B,A
) ◦
˘
R
BA
X,Y
; (1.14)
(a
A,X,B
⊕ a

A,Y,B
) ◦
˘
L
A
XB,Y B
◦ id
A
⊗
˘
R
B
X,Y
=
˘
R
B
AX,AY
◦ (
˘
L
X,Y
⊗ id
B
) ◦ a
A,X⊗Y,B
; (1.15)
(
˘
L

A
X,Y
⊗
˘
L
B
X,Y
) ◦
˘
R
X⊗Y
A,B
= v
AX,BX,AY,BY
◦ (
˘
R
X
A,B
⊗
˘
R
Y
A,B
) ◦
˘
L
A⊗B
X,Y
; (1.16)

8
trong đó v = v
U,V,Z,T
: (U ⊕ V ) ⊕ (Z ⊕ T ) → (U ⊕ Z) ⊕ (V ⊕ T ) là mũi tên duy nhất
được xây dựng từ a
+
, c
+
, id trong phạm trù monoidal đối xứng (A, ⊕).
(Ann-3) Đối với vật đơn vị 1 ∈ A của phép toán ⊗, các biểu đồ sau là giao hoán:
l
X⊗Y
= (l
X
⊗ l
Y
) ◦
˘
L
1
X,Y
; (1.17)
r
X,Y
= (r
X
⊗ r
Y
) ◦
˘

R
1
X,Y
. (1.18)
1.3.2 Định nghĩa Ann-hàm tử
Định nghĩa 1.3.12. (N. T. Quang) Cho A và A

là những Ann−phạm trù. Một
Ann−hàm tử từ A đến A

là một bộ bốn (F,
˘
F ,

F , F
∗
) trong đó (F,
˘
F ) là một hàm
tử monoidal đối xứng đối với phép toán ⊕, (F,

F , F
∗
) hàm tử monoidal đối với phép toán
⊗ và thỏa mãn hai biểu đồ giao hoán sau:
˘
L
F X
F Y,F Z
◦ (id

F X
⊗
˘
F
Y,Z
) ◦

F
X,Y ⊕Z
= (

F
X,Y
⊕

F
X,Z
) ◦
˘
F
XY,XZ
◦ F (
˘
L
X
Y,Z
); (1.51)
˘
R
F Z

F X,F Y
◦ (
˘
F
X,Y
⊗ id
F Z
) ◦

F
X⊕Y,Z
= (

F
X,Z
⊕

F
Y,Z
) ◦
˘
F
XZ,Y Z
◦ F (
˘
R
Z
X,Y
). (1.52)
Ta gọi u : F → K là một Ann−mũi tên hay một đồng luân giữa hai Ann−hàm tử

(F,
˘
F ,

F , F
∗
) và (K,
˘
K,

K, K
∗
) nếu nó đồng thời là một ⊕−mũi tên và ⊗−mũi tên.
Ann-hàm tử (F,
˘
F ,

F , F
∗
) : A → A

được gọi là một Ann-tương đương nếu tồn tại một
Ann-hàm tử (F

,
˘
F

,


F

, F

∗
) : A

→ A và các Ann-mũi tên đẳng cấu tự nhiên u : F ◦ F

∼
=
id
A

, u

: F

◦ F
∼
=
id
A
.
1.3.3 Ann-phạm trù thu gọn
Giả sử A là một Ann-phạm trù. Khi đó tập hợp các lớp vật đẳng cấu π
0
(A) của A là
một vành đối với hai phép toán +, ×, cảm sinh bởi các phép toán ⊕, ⊗ trên A, còn
π

1
(A) = Aut(0) là một nhóm aben mà luật hợp thành được ký hiệu bởi dấu +.
Từ Định lý 1.6, chương IV [Ann-phạm trù, Luận án Tiến sĩ (1988)] và Định lý 7.6
[arXiv.0804.1820v4[math.CT]], mỗi Ann-phạm trù A được xác định duy nhất, sai khác
bởi một Ann-tương đương, bởi ba bất biến đặc trưng:
1. Vành π
0
(A) các lớp vật đẳng cấu của phạm trù A;
2. π
0
(A)-song môđun π
1
(A) = Aut(0);
3. Phần tử [h] ∈ H
3
MacL
(π
0
(A), π
1
(A)) (đối đồng điều vành theo nghĩa Mac Lane).
9
Chương 2
Một số kết quả về Ann-phạm trù và
Ann-hàm tử
Các kết quả nghiên cứu về Ann-phạm trù đã được đưa ra bởi Nguyễn Tiến Quang [Ann-
phạm trù, Luận án Tiễn sĩ (1988), arXiv.0804.1820v4[math.CT], ]. Trong [Ann-phạm
trù chính quy và ứng dụng, Luận án Tiến sĩ (1992)], Trần Phương Dung đã nghiên cứu
về các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù chính quy. Chương này chúng tôi trình bày
các kết quả nghiên cứu nối tiếp về Ann-phạm trù. Mục 2.1 trình bày về các kết quả

phân lớp các Ann-hàm tử bởi nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane. Mục 2.2 xây
dựng một Ann-phạm trù cảm sinh bởi một Ann-hàm tử. Mục 2.3 trình bày về mối liên
hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù.
2.1 Phân lớp đối đồng điều của các Ann-hàm tử
2.1.1 Tiêu chuẩn tương đương của một Ann-hàm tử
Để thiết lập được mối liên hệ giữa các Ann-hàm tử với các nhóm đối đồng điều Mac
Lane của vành, trước hết chúng ta chỉ ra một tính chất đặc trưng của Ann-hàm tử, có
liên quan tới ràng buộc kết hợp-giao hoán v của phạm trù monoidal đối xứng.
Định nghĩa 2.1.1. Cho A, A

là những ⊕−phạm trù monoidal đối xứng. Khi đó ⊕−hàm
tử (F,
˘
F ) : A → A

được gọi là tương thích với các ràng buộc "kết hợp - giao hoán" v, v

nếu biểu đồ sau là giao hoán với mọi X, Y, Z, T ∈ Ob(A)
F ((X ⊕ Y ) ⊕ (Z ⊕ T )) F (X ⊕ Y ) ⊕ F (Z ⊕ T) (F X ⊕ F Y ) ⊕ (F Z ⊕ F T )
F ((X ⊕ Z) ⊕ (Y ⊕ T )) F (X ⊕ Z) ⊕ F(Y ⊕ T ) (F X ⊕ F Z) ⊕ (F Y ⊕ F T )
❄
F (v)
✲
˘
F
✲
˘
F +
˘
F

❄
v

✲
˘
F
✲
˘
F +
˘
F
(2.1)
Mệnh đề 2.1.3. Trong định nghĩa của Ann-hàm tử, điều kiện (F,
˘
F ) là ⊕-hàm tử
monoidal đối xứng tương đương với hai điều kiện sau:
(i) (F,
˘
F ) tương thích với các ràng buộc đơn vị của phép cộng,
(ii) (F,
˘
F ) tương thích với các ràng buộc kết hợp–giao hoán v, v

.
10
2.1.2 Ann–hàm tử kiểu (p, q)
Định nghĩa 2.1.5. Giả sử S = (R, M, h), S

= (R


, M

, h

) là những Ann−phạm trù.
Một hàm tử F : S → S

được gọi là một hàm tử kiểu (p, q) nếu
F (x) = p(x), F (x, a) = (p(x), q(a)),
trong đó p : R → R

là một đồng cấu vành và q : M → M

là một đồng cấu nhóm thỏa
mãn
q(xa) = p(x)q(a), q(ax) = q(a)p(x), (2.2)
với x ∈ R, a ∈ M.
Mệnh đề 2.1.6. Giả sử S = (R, M, h), S

= (R

, M

, h

) là hai Ann-phạm trù và (F,
˘
F ,

F )

là một Ann-hàm tử từ S đến S

. Khi đó (F,
˘
F ,

F ) là một hàm tử kiểu (p, q).
2.1.3 Ann-hàm tử và các nhóm đối đồng điều chiều thấp của vành theo nghĩa
Mac Lane
Bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa hai Ann-phạm trù đã được
Trần Phương Dung giải quyết cho trường hợp các Ann-phạm trù chính quy (Định lý
4.2, Định lý 4.4 [Ann-phạm trù chính quy và ứng dụng, Luận án Tiến sĩ (1992)]) nhờ
các tính toán của Nguyễn Tiến Quang về các nhóm đối đồng điều đại số chiều thấp của
Shukla [Ann-phạm trù, Luận án Tiến sĩ (1988)]. Trong phần này, bằng cách sử dụng
tiêu chuẩn tương đương của các Ann-hàm tử đã được trình bày trong mệnh đề 2.1.3,
chúng ta sẽ giải quyết bài toán đó cho trường hợp các Ann-phạm trù tổng quát nhờ
các lớp đối đồng điều vành của Mac Lane. Trong cả mục này ta ký hiệu S, S

là những
Ann-phạm trù dạng (R, M, h), (R

, M

, h

).
Định nghĩa 2.1.7. Nếu F : S → S

là một hàm tử kiểu (p, q) thì F cảm sinh các 3-đối
chu trình h

∗
= q
∗
h = q(h), h

∗
= p
∗
h

= h

p, chẳng hạn,
σ
∗
(x, y, z, t) = σ

(p(x), p(y), p(z), p(t)), σ
∗
(x, y, z, t) = q(σ(x, y, z, t)).
Hàm k = q
∗
h − p
∗
h

được gọi là một cản trở của hàm tử kiểu (p, q).
Định lý 2.1.8. Hàm tử F : S → S

kiểu (p, q) là một Ann−hàm tử nếu và chỉ nếu cái

cản trở [k] = 0 trong H
3
MacL
(R, M

).
Định lý sau trình bày về sự phân lớp các Ann-hàm tử có cùng kiểu (p, q).
Định lý 2.1.9. Nếu có một Ann-hàm tử (F,
˘
F ,

F ) : S → S

, kiểu (p, q) thì:
(i) Tồn tại một song ánh giữa tập các lớp tương đẳng của các Ann−hàm tử kiểu (p, q)
và nhóm đối đồng điều H
2
MacL
(R, M

) của vành R lấy hệ tử trong R−song môđun
M

.
(ii) Tồn tại một song ánh: Aut(F ) → Z
1
MacL
(R, M

).

11
2.1.4 Ann-hàm tử và đối đồng điều Hochschild
Mối liên hệ giữa các Ann-hàm tử mạnh, chính quy giữa các Ann-phạm trù chính quy với
các nhóm đối đồng điều Hochschild đã được được thiết lập trong [J. of Science, HNUE
4(2005), 3-8] (Mệnh đề 3, Định lý 4). Sau đó các kết quả này đã được làm mạnh lên bởi
các kết quả trong [East-West J. of Mathematics 11(2)(2009) 195-210] bằng cách bỏ đi
điều kiện chính quy của các Ann-hàm tử.
Dưới đây, chúng ta sẽ tìm điều kiện để tồn tại các Ann-hàm tử có dạng
F = (F, id,

F ) : S → S

kiểu (p, 0), trong đó p : R → R

là một đồng cấu vành.
Mỗi đối chu trình của các Z−đại số theo nghĩa Hochschild đều là những hàm đa tuyến
tính. Điều đó gợi ý chúng ta đến định nghĩa dưới đây:
Định nghĩa 2.1.11. Một Ann-hàm tử: (F, id,

F ) : S → S

kiểu (p, 0) được gọi là một
Ann-hàm tử mạnh nếu hàm ν : R
2
→ M

tương ứng với

F là song cộng tính.
Mệnh đề 2.1.12. Giả sử F : S → S


là một hàm tử kiểu (p, 0). Tồn tại một Ann-hàm
tử mạnh (F, id,

F ) khi và chỉ khi lớp đối đồng điều [h
∗
] = 0 trong nhóm đối đồng điều
nhóm H
3
Hochs
(R, M

).
Định lý 2.1.13 Nếu có một Ann-hàm tử mạnh (F, id,

F ) : S → S

, kiểu (p, 0) thì:
(i) Tồn tại một song ánh từ tập hợp các lớp tương đẳng của các Ann−hàm tử mạnh kiểu
(p, 0) đến nhóm đối đồng điều H
2
Hochs
(R, M

) của vành R lấy hệ tử trong R−song
môđun M

.
(ii) Tồn tại một song ánh
Aut(F ) → Z

1
Hochs
(R, M

)
giữa nhóm của các tự mũi tên của Ann-hàm tử mạnh F và nhóm Z
1
Hochs
(R, M

).
2.1.5 Ứng dụng
Giả sử A là một vành (không nhất thiết có đơn vị) và M
A
là Ann-phạm trù của vành
A. Ta gọi S là Ann-phạm trù thu gọn của Ann-phạm trù M
A
. Giả sử R là vành có đơn
vị 1 = 0 và θ : R → P
A
là một đồng cấu chính quy.
Chúng ta xét R như một Ann-phạm trù kiểu (R, 0, id). Đồng cấu θ xác định một hàm
tử kiểu (θ, 0):
(θ, 0) : (R, 0, id) → S = (π
0
, π
1
, k).
Cản trở của hàm tử này là một phần tử: [k
∗

] ∈ H
3
MacL
(R, π
1
), k
∗
= θ
∗
(k).
Chúng ta có kết quả sau nói về mối liên hệ giữa cản trở của một đồng cấu chính quy
và cản trở của Ann-hàm tử:
Mệnh đề 2.1.14. Giả sử S = (π
0
, π
1
, k) là Ann-phạm trù thu gọn của Ann-phạm trù
chặt chẽ M
A
. Khi đó:
(i) π
0
= P
A
= M
A
/µA, π
1
= C
A

;
12
(ii) k
∗
= θ
∗
(k) thuộc cùng lớp đối đồng điều với cản trở h của đồng cấu θ.
2.2 Đối ngẫu của Ann-phạm trù
Trong mục này chúng ta xây dựng một Ann-phạm trù B
∗
, cảm sinh bởi một Ann-hàm
tử F : B → A, được gọi là đối ngẫu của (F, B), dựa trên phép dựng đối ngẫu của phạm
trù monoidal của S. Majid [Suppl. Rend. Circ. Mat. Palermo 26(1991) 197-206]. Đây là
một phép dựng mới ngoài phép dựng Ann-phạm trù của một đồng cấu chính quy của
bài toán mở rộng vành. Hơn nữa, trong một trường hợp riêng, nó cung cấp cho chúng
ta cách thức xây dựng một Ann-phạm trù bện được trình bày ở phần 3.1 của chương 3.
Trước hết chúng ta trình bày sơ lược các kết quả của S. Majid về cách xây dựng đối
ngẫu của phạm trù monoidal theo [Suppl. Rend. Circ. Mat. Palermo 26(1991) 197-206].
Để cho việc trình bày được ngắn gọn, S. Majid đã trình bày cho các lớp phạm trù
monoidal chặt chẽ.
Định nghĩa 2.2.1.(Majid) Giả sử V là một phạm trù monoidal. Một phạm trù monoidal
C được gọi là functored trên V nếu tồn tại một hàm tử monoidal (F,

F ,
ˆ
F ) : C → V. Cặp
(C, F ) được gọi là một functored monoidal category trên V.
Theo thuật ngữ của Grothendieck thì C được gọi là một phạm trù monoidal trên V
[Lecture Notes in Mathematics 224(1971) 145-194]. Ta sẽ sử dụng thuật ngữ này.
Định nghĩa 2.2.2.(Majid) Giả sử V là một phạm trù monoidal chặt chẽ và C là một

phạm trù monoidal trên V. Một (C, F )-môđun phải là một vật A của V và một phép biến
đổi tự nhiên u
A,X
: A ⊗ F (X) → F (X) ⊗ A sao cho u
A,1
= id và biểu đồ sau giao hoán
A ⊗ (F X ⊗ F Y )
F X ⊗ A ⊗ F Y F X ⊗ F Y ⊗ A
A ⊗ F(X ⊗ Y ) F (X ⊗ Y ) ⊗ A
✲
u
A,X
⊗id
✲
id ⊗u
A,Y
✻
id ⊗

F
✲
u
A,X⊗Y
✻

F ⊗id
(2.38)
Định lý 2.2.3.(Majid) Giả sử V là một phạm trù monoidal và C là một phạm trù
monoidal trên V. Giả sử C
∗

, F
∗
được xác định như sau. Các vật của C
∗
là các (C, F )–
môđun phải. Các mũi tên f : (A, u
A
) → (B, u
B
) là các mũi tên f : A → B trong V sao
cho tam giác sau giao hoán với mọi X thuộc C:
(id
F X
⊗f) ◦ u
A,X
= u
B,X
◦ (f ⊗ id
F X
). (2.39)
F
∗
: C
∗
→ V là hàm tử quên. Khi đó C
∗
là một phạm trù monoidal trên V.
Giả sử A là một Ann-phạm trù. Một Ann-phạm trù B được gọi là một Ann-phạm trù
trên A nếu tồn tại một Ann-hàm tử F : B → A.
Định nghĩa 2.2.4. Giả sử A là một Ann-phạm trù. Giả sử B là một Ann-phạm trù

trên A. Một (B, F )-môđun phải là một cặp (A, u
A
) gồm vật A trong A và phép biến đổi
tự nhiên u
A,X
: A ⊗ F (X) → F (X) ⊗ A sao cho u
A,1
= id, các biểu đồ (2.38) , (2.41) giao
13
hoán với mọi vật X thuộc B.
A ⊗ (F X ⊕ F Y ) (A ⊗ F X ) ⊕ (A ⊗ F Y ) (F X ⊗ A) ⊕ (F Y ⊗ A)
A ⊗ F (X ⊕ Y ) F (X ⊕ Y ) ⊗ A (F X ⊕ F Y ) ⊗ A
✲
˘
L
A
F X,F Y
✲
u
A,X
⊕u
A,Y
✲
u
A,X⊕Y
✻
id ⊗
˘
F
✲

˘
F ⊗id
✻
id
(2.41)
Một mũi tên f : (A, u
A
) → (B, u
B
) giữa các (B, F)-môđun phải là mũi tên f : A → B
trong A sao cho biểu đồ (2.39) giao hoán với mọi X ∈ B.
Với B là một Ann-phạm trù trên A, ta xét phạm trù B
∗
= (B, F )
∗
được xác định như
sau. Các vật của B
∗
là các (B, F )-môđun phải. Các mũi tên của B
∗
là các mũi tên giữa
các (B, F )-môđun phải.
Định lý 2.2.10. B
∗
là một Ann-phạm trù với các ràng buộc phân phối được xác định
bởi: L
(A,u
A
),(B,u
B

),(C,u
C
)
= L
A,B,C
, R
(A,u
A
),(B,u
B
),(C,u
C
)
= id .
2.3 Mối liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù
Có nhiều cách khác nhau để phạm trù hóa tiên đề của cấu trúc vành. Nguyễn Tiến
Quang là người đầu tiên thực hiện điều này với khái niệm được đưa ra là Ann-phạm
trù. Sau đó, năm 2007, M. Jibladze và T. Pirashvili với ý tưởng trộn lẫn hai ràng buộc
kết hợp và giao hoán của phép toán ⊕ thành ràng buộc kết hợp-giao hoán đã đưa ra
khái niệm vành phạm trù [J. of Homotopy and Related Structure 2(2)(2007) 187-216].
Các kết quả dưới đây trình bày về mối liên hệ giữa hai khái niệm này.
Định lý 2.3.3. Mỗi Ann-phạm trù là một vành phạm trù.
Trong hệ tiên đề của một vành phạm trù R, các hàm tử (L
A
,
˘
L
A
), (R
A

,
˘
R
A
) tương
thính với ràng buộc "kết hợp–giao hoán" của phép cộng, từ đó liệu có thể suy ra chúng
sẽ tương thích với các ràng buộc kết hợp, ràng buộc giao hoán của phép ⊕, và do đó
π
1
(R) có cấu trúc π
0
(R)-song môđun không, ở đó π
0
(R) là vành các lớp vật của R và
π
1
(R) = Aut(0)? Câu hỏi này đến nay vẫn còn bỏ ngỏ. Vì vậy, để mỗi vành phạm trù
trở thành một Ann-phạm trù, chúng ta bổ sung cho định nghĩa vành phạm trù tiên đề
(U) sau đây.
(U) Đối với mỗi vật A ∈ R, các cặp (L
A
,
˘
L
A
), (R
A
,
˘
R

A
) xác định bởi các hệ thức:
L
A
= A ⊗ −,
˘
L
A
X,Y
= L
A,X,Y
,
R
A
= − ⊗ A,
˘
R
A
X,Y
= R
X,Y,A
.
là những ⊕-hàm tử tương thích với các ràng buộc đơn vị (0, g, d) của phép toán ⊕.
Với sự bổ sung này, chúng ta có kết quả sau.
Định lý 2.3.4. Mỗi vành phạm trù thoả mãn điều kiện (U) là một Ann-phạm trù.
14
Chương 3
Ann-phạm trù bện
Trong chương này chúng tôi đưa ra khái niệm Ann-phạm trù bện và một trường hợp
riêng của nó là Ann-phạm trù đối xứng, với các tiên đề của nó được chọn một cách tự

nhiên tương tự như các tiên đề của một vành giao hoán. Sau đó chúng tôi trình bày
những vấn đề có tính chất cơ sở cho một hệ tiên đề mới. Thứ nhất là những ví dụ về
Ann-phạm trù bện và Ann-phạm trù đối xứng. Thứ hai là trong hệ tiên đề của một
Ann-phạm trù bện gồm nhiều mối liên hệ, liệu chúng ta có thể thu gọn được hệ tiên đề
đó và thu gọn đến mức độ nào? Thứ ba là mối liên hệ với một vài khái niệm, những
phạm trù có hai cấu trúc monoidal đối xứng, như phạm trù có tính phân phối của M.
L. Laplaza và phạm trù tựa vành của A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall.
3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù bện
Định nghĩa 3.1.1. Một Ann-phạm trù bện A là một Ann-phạm trù A cùng với bện c
sao cho (A, ⊗, a, c, (1, l, r)) là một phạm trù monoidal bện, đồng thời c thoả mãn biểu đồ
A.(X ⊕ Y )
A.X ⊕ A.Y
(X ⊕ Y ).A
X.A ⊕ Y.A
✲
˘
L
A
X,Y
❄
c
❄
c⊕c
✲
˘
R
A
X,Y
(3.1)
và điều kiện c

0,0
= id.
Một Ann-phạm trù bện được gọi là một Ann-phạm trù đối xứng nếu bện c là ràng buộc
đối xứng.
Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày một số ví dụ về Ann-phạm trù bện và Ann-phạm trù
đối xứng.
Ví dụ 3.1.2. (Ann-phạm trù bện kiểu (R, M))
Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và R-môđun M. Với một 3-đối chu trình
chuẩn tắc bất kỳ h ∈ Z
3
MacL
(R, M) có một Ann-phạm trù S = (R, M) được xác định như
sau: vật của S là phần tử của R, mũi tên là những tự đẳng cấu (x, a) : x → x. Hợp thành
của các mũi tên trong S là phép cộng trong M. Hai phép toán ⊕ và ⊗ trên S được xác
15
định như sau:
x ⊕ y = x + y, (x, a) ⊕ (y, b) = (x + y, a + b);
x ⊗ y = x.y, (x, a) ⊗ (y, b) = (xy, xb + ya).
Các ràng buộc của đơn vị đối với hai phép toán đều là chặt chẽ, các ràng buộc kết hợp,
giao hoán của phép cộng, ràng buộc kết hợp của phép nhân và các ràng buộc phân phối
tương ứng là các hàm của 3-đối chu trình h = (ξ, η, α, λ, ρ). Khi đó S là Ann-phạm trù
bện với ràng buộc bện là hàm β : R
2
→ M thỏa mãn các hệ thức (4.3), (4.4) và (4.5).
Trong trường hợp S là một Ann-phạm trù đối xứng thì hàm β thoả mãn các hệ thức
(4.3), (4.5) và hệ thức (3.2) dưới đây:
β(x, y) + β(y, x) = 0. (3.2)
Ví dụ 3.1.3. (Tâm của một Ann-phạm trù)
Trước khi trình bày ví dụ về tâm của một Ann-phạm trù, chúng ta nhắc lại khái niệm
tâm của một phạm trù monoidal.

Tâm của một phạm trù monoidal được đưa ra bởi A. Joyal và R. Street [Advances in
Mathematics 102(1993) 20-78] với kết quả đạt được là Tâm của một phạm trù monoidal
là một phạm trù monoidal bện. Để việc trình bày được thuận lợi, họ đã trình bày khái
niệm tâm của một phạm trù monoidal chặt chẽ (V, ⊗). Sau đó vấn đề này đã được C.
Kassel trình bày một cách chi tiết trong [Quantum Groups (1995)].
Theo [Advances in Mathematics 102(1993) 20-78], tâm Z
V
của phạm trù monoidal
chặt chẽ V là một phạm trù trong đó vật là các cặp (A, u
A
), với A ∈ Ob(V) và
u
A,X
: A ⊗ X −→ X ⊗ A,
là phép biến đổi tự nhiên thỏa mãn các điều kiện sau:
u
A,1
= id
A
, (3.3)
u
A,X⊗Y
= (id
X
⊗u
A,Y
) ◦ (u
A,X
⊗ id
Y

). (3.4)
Một mũi tên f : (A, u
A
) → (B, u
B
) trong Z
V
là một mũi tên f : A → B sao cho với mọi
X ∈ V ta có
u
B,X
◦ (f ⊗ id
X
) = (id
X
⊗f) ◦ u
A,X
. (3.5)
Tích tensor của hai vật trong Z
V
được xác định như sau:
(A, u
A
) × (B, u
B
) = (A ⊗ B, u
A⊗B
), (3.6)
trong đó:
u

A⊗B,X
= (u
A,X
⊗ id
B
) ◦ (id
A
⊗u
B,X
). (3.7)
Mệnh đề 3.1.4. Z
V
là một phạm trù monoidal bện với bện được xác định bởi
c
(A,u
A
),(B,u
B
)
= u
A,B
: (A, u
A
) × (B, u
B
) → (B, u
B
) × (A, u
A
).

16
Bây giờ ta sẽ trình bày khái niệm tâm C
A
của một Ann-phạm trù A và chứng tỏ
rằng, cùng với các phép toán và các ràng buộc cảm sinh, C
A
trở thành một Ann-phạm
trù bện.
Định nghĩa 3.1.5. Tâm của Ann-phạm trù A, ký hiệu là C
A
, là phạm trù trong đó các
vật là các cặp (A, u
A
), với A ∈ Ob(A) và
u
A,X
: A ⊗ X −→ X ⊗ A
là các đẳng cấu tự nhiên thoả mãn các đẳng thức (3.3), (3.4) và đẳng thức sau đây:
u
A,X⊕Y
= (u
A,X
⊕ u
A,Y
) ◦ L
A,X,Y
. (3.9)
với mọi X, Y ∈ Ob(A).
Mũi tên f : (A, u
A

) → (B, u
B
) trong C
A
là mũi tên f : A → B trong A thỏa mãn đẳng
thức (3.6).
Từ định nghĩa trên chúng ta thấy rằng, tâm C
A
trùng với khái niệm A
∗
, đối ngẫu của
cặp (A, F = id
A
: A → A) đã được trình bày trong mục 2.3, trong đó id
A
là Ann-hàm tử
đồng nhất của Ann-phạm trù A.
Theo Định lý 2.2.10, C
A
là một Ann-phạm trù. Tuy nhiên, trong trường hợp riêng
này, chúng ta có kết quả mạnh hơn như sau.
Định lý 3.1.6. C
A
là một Ann-phạm trù bện với bện được xác định bởi:
c
(A,u
A
),(B,u
B
)

= u
A,B
: (A, u
A
) × (B, u
B
) → (B, u
B
) × (A, u
A
).
3.2 Tính phụ thuộc trong hệ tiên đề của Ann-phạm trù bện
Trong hệ tiên đề của một Ann-phạm trù bện ta thấy rằng biểu đồ (3.1) cho phép xác
định ràng buộc phân phối bên phải R qua ràng buộc phân phối bên trái L và ràng buộc
giao hoán c. Điều đó khiến chúng ta phải xét đến tính chất độc lập hay phụ thuộc của
các tiên đề có liên quan đến ràng buộc phân phối bên phải R (hoặc bên trái L), cũng
như tính phụ thuộc của một số điều kiện khác trong hệ tiên đề của một Ann-phạm trù
bện.
Mệnh đề 3.2.1. Trong hệ tiên đề của một Ann-phạm trù bện, tính tương thích của hàm
tử (R
A
,
˘
R
A
) [tương ứng, (L
A
,
˘
L

A
)] với ràng buộc kết hợp a
+
được suy ra từ tính tương
thích của (L
A
,
˘
L
A
) [tương ứng, (R
A
,
˘
R
A
)] với ràng buộc a
+
và từ biểu đồ (3.1).
Mệnh đề 3.2.2. Trong Ann-phạm trù bện A, tính giao hoán của các biểu đồ (1.14) và
(1.15) được suy ra từ các tiên đề còn lại.
Mệnh đề 3.2.3. Trong một Ann-phạm trù bện A, tính giao hoán của biểu đồ (1.18)
được suy ra từ các biểu đồ (1.17), (3.1) và từ sự tương thích của c với ràng buộc đơn vị
(1, l, r).
Từ các Mệnh đề 3.2.1 - 3.2.3 chúng ta suy ra hệ tiên đề thu gọn của Ann-phạm trù
bện:
17
Chú ý 3.2.4. Trong hệ tiên đề của một Ann-phạm trù bện ta có thể bỏ đi các biểu đồ
(1.14), (1.15), (1.18), tính tương thích của các hàm tử (R
A

,
˘
R
A
) với các ràng buộc a
+
,
c
+
và tính tương thích của các hàm tử (L
A
,
˘
L
A
) với ràng buộc c
+
.
3.3 Mối liên hệ với phạm trù có tính phân phối của M. L. Laplaza
Dưới đây chúng ta sẽ thiết lập mối liên hệ giữa khái niệm Ann-phạm trù đối xứng
và phạm trù có tính phân phối theo nghĩa của M. L. Laplaza [Lecture Notes Math
281(1972) 29-65], từ đó đưa ra một thu gọn cho hệ tiên đề này và suy ra tính khớp trong
một Ann-phạm trù đối xứng.
Mệnh đề 3.3.1. Mỗi Ann-phạm trù đối xứng là một phạm trù có tính phân phối.
Hệ quả 3.3.3. Cho (A, ⊕, ⊗) là một phạm trù có tính phân phối. Nếu mọi vật của (A, ⊕)
đều khả nghịch và phạm trù nền của nó là một groupoid thì (A, ⊕, ⊗) là một Ann-phạm
trù đối xứng.
Hệ quả 3.3.4. Trong hệ tiên đề M. L. Laplaza của phạm trù với ràng buộc phân phối,
các tiên đề sau là phụ thuộc: tính tương thích của các hàm tử (R
A

,
˘
R
A
) với a
+
, và tính
giao hoán của các biểu đồ (1.14), (1.15), (1.18)(tương ứng là các biểu đồ IV, VI, VII,
XII trong [Lecture Notes Math 281(1972) 29-65]).
Hệ quả 3.3.5. Trong một Ann-phạm trù đối xứng, mọi mũi tên sinh ra bởi các mũi tên
a
+
, c
+
, g, d, a, c, l, r, L, R, id chỉ phụ thuộc vào nguồn và đích của nó.
3.4 Mối liên hệ với phạm trù tựa vành
Trong [Compositio Mathematica 28(3)(1974) 229-285], A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall đã
bình luận rằng hệ tiên đề M. L. Laplaza của phạm trù có tính phân phối là dài và đề
xuất khái niệm phạm trù tựa vành (ring-like category).
Như đã nói trên, hệ tiên đề của phạm trù tựa vành là một sửa đổi của phạm trù M.
L. Laplaza, tuy nhiên hai hệ này có tương đương hay không còn chưa được chứng minh.
Câu trả lời có trong Mệnh đề 3.4.1.
Mệnh đề 3.4.1. Hệ tiên đề M. L. Laplaza của phạm trù có tính phân phối và hệ tiên
đề A. Fr¨ohlich and C. T. C. Wall của phạm trù tựa vành là tương đương.
Mệnh đề 3.4.2. Mỗi Ann-phạm trù đối xứng là một phạm trù tựa vành.
Hệ quả 3.4.3. Cho (A, ⊕, ⊗) là một phạm trù tựa vành. Nếu mọi vật của (A, ⊕) đều
khả nghịch và phạm trù nền của nó là một groupoid thì (A, ⊕, ⊗) là một Ann-phạm trù
đối xứng.
Chú ý 3.2.4 đã chỉ ra rằng, trong một Ann-phạm trù bện các biểu đồ (1.14), (1.15)
và (1.18) có thể bỏ đi. Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng trong trường hợp đối xứng ta có thể bỏ

đi đẳng cấu phân phối phải
Mệnh đề 3.4.4. Cho phạm trù A cùng với hai song hàm tử ⊕, ⊗ : A × A → A sao cho
(A, ⊕, a
+
, c
+
, (0, g, d)) là một nhóm phạm trù đối xứng và (A, ⊗, a, c, (1, l, r)) là một phạm
18
trù monoidal đối xứng. Khi đó A cùng với đẳng cấu tự nhiên
L : A ⊗ (X ⊕ Y ) → (A ⊗ X) ⊕ (A ⊗ Y )
là một Ann-phạm trù đối xứng khi và chỉ khi (L
A
= A ⊗ −,
˘
L
A
X,Y
= L
A,X,Y
) là những
⊕−hàm tử tương thích với a
+
, c
+
, và các biểu đồ (1.13), (1.17), (3.13) giao hoán.
(
˘
L
X
A,B

⊕
˘
L
Y
A,B
) ◦ (c
A⊕B,X
⊕ c
A⊕B,Y
) ◦
˘
L
A⊕B
X,Y
◦ c
X⊕Y,A⊕B
=((c
A,X
⊕ c
B,X
) ⊕ (c
A,Y
⊕ c
B,Y
))
◦ v
AX,AY,BX,BY
◦ (
˘
L

A
X,Y
⊕
˘
L
B
X,Y
) ◦ (c
X⊕Y,A
⊕ c
X⊕Y,B
) ◦
˘
L
X⊕Y
A,B
.
(3.13)
19
Chương 4
Phân lớp đối đồng điều các Ann-phạm
trù bện
Trong chương này, chúng tôi sẽ chuyển các kết quả phân lớp về Ann-phạm trù tới Ann-
phạm trù bện. Trước hết, chúng tôi mở rộng kỹ thuật chuyển cấu trúc để xây dựng
Ann-phạm trù bện thu gọn SA của Ann-phạm trù bện A. Phạm trù này là tương đẳng
với Ann-phạm trù bện ban đầu, và từ đó chúng tôi tiến hành giải bài toán về sự tồn
tại và phân lớp các Ann-hàm tử bện giữa các Ann-phạm trù bện trên các thu gọn của
chúng. Trong mục 4.3, chúng tôi chứng minh các kết quả chính của chương này, đó là
các Định lý phân lớp của các Ann-phạm trù bện.
4.1 Ann-hàm tử bện và phép chuyển cấu trúc. Ann-phạm trù bện

thu gọn
Định nghĩa 4.1.1. Cho A, A

là những Ann-phạm trù bện. Một Ann-hàm tử bện được
định nghĩa là một Ann-hàm tử tương thích với các bện.
Một Ann-mũi tên bện (hay một đồng luân)
u : (F,
˘
F ,

F , F
∗
) → (K,
˘
K,

K, K
∗
)
giữa các Ann-hàm tử bện là một ⊕-mũi tên, đồng thời là ⊗-mũi tên.
Trong trường hợp tồn tại một Ann-hàm tử bện (K,
˘
K,

K, K
∗
) : A

→ A và các Ann-mũi
tên bện KF

∼
→ id
A
, F K
∼
→ id
A

, ta nói (F,
˘
F ,

F , F
∗
) là một Ann-tương đương bện và A,
A

là Ann-bện tương đẳng.
Phép chuyển cấu trúc cho một phạm trù monoidal đã được trình bày bởi N. Saavedra
Rivano [Catégories Tannakiennes, Lecture Notes in Math 265 (1972)], H. X. Sính [Gr-
catégories, Thèse de Doctorat (1975)]. Sau đó N. T. Quang [Ann-phạm trù, Luận án
Tiến sĩ (1988)] đã mở rộng một cách tự nhiên phép chuyển cấu trúc cho các Ann-phạm
trù. Phép chuyển này có thể mở rộng cho các Ann-phạm trù bện.
Mệnh đề 4.1.4. Giả sử (F,
˘
F ,

F , F
∗
) : A → A


là một Ann-tương đương và A

là một
Ann-phạm trù bện với bện c

. Khi đó A trở thành một Ann-phạm trù bện với bện c, được
20
xác định bởi biểu đồ giao hoán
F (X ⊗ Y ) F (Y ⊗ X)
F X ⊗ F Y F Y ⊗ F X
✲
F (c)
❄

F
❄

F
✲
c

(4.1)
và (F,
˘
F ,

F , F
∗
) trở thành một Ann-tương đương bện.

Dưới đây chúng ta sẽ sử dụng phép chuyển cấu trúc để xây dựng Ann-phạm trù bện
thu gọn của một Ann-phạm trù bện.
Cho A là một Ann-phạm trù bện. Khi đó tập hợp các lớp vật đẳng cấu π
0
(A) của A là
một vành đối với hai phép toán +, ×, cảm sinh bởi luật ⊕, ⊗ trên A, còn π
1
(A) = Aut(0)
là một π
0
(A)-song module. Do tính bện của phép toán ⊗ nên vành π
0
(A) là giao hoán.
Hơn nữa, các tác động hai phía của vành π
0
(A) lên π
1
(A) là trùng nhau.
Giả sử A là một Ann-phạm trù bện. Gọi SA là Ann-phạm trù thu gọn của Ann-phạm
trù A. Dưới đây, chúng ta sẽ thực hiện phép chuyển bện c của Ann-phạm trù bện A cho
SA để SA trở thành một Ann-phạm trù bện.
Mệnh đề 4.1.6. Nếu A là một Ann-phạm trù bện với bện c thì SA là một Ann-phạm
trù bện với bện cảm sinh c

= (•, β) cho bởi biểu đồ giao hoán sau
X
r
⊗ X
s
X

rs
X
s
⊗ X
r
X
sr
✲
ψ
r,s
❄
c
❄
γ
X
rs
(β(r,s))
✲
ψ
s,r
Hơn nữa, khi đó (H,
˘
H,

H, H
∗
), (G,
˘
G,


G, G
∗
) là những Ann-tương đương bện và chúng
được gọi là các Ann-tương đương bện chính tắc.
Ta gọi SA là một Ann-phạm trù bện thu gọn của A.
Một Ann-phạm trù bện thu gọn SA của Ann-phạm trù bện A được gọi là một Ann-
phạm trù bện kiểu (R, M) khi ta thay π
0
A bởi R và π
1
A bởi M.
Để thiết lập các mệnh đề tiếp theo, như H. X. Sính đã làm cho các phạm trù Picard,
sau đây chúng tôi đưa ra định nghĩa phức cụt của vành giao hoán.
Trong trường hợp vành R giao hoán và M là một R-môđun, chúng ta xác định một
phức đối dây chuyền cụt như sau
∼
C
ab
(R, M) : 0 → C
1
ab
(R, M)
∂
−−−→ C
2
ab
(R, M)
∂
−−−→ Z
3

ab
(R, M) → 0,
(4.2)
trong đó C
1
ab
(R, M) bao gồm tất cả các ánh xạ chuẩn tắc t : R → M, C
2
ab
(R, M) bao gồm
tất cả các cặp ánh xạ chuẩn tắc µ, ν : R
2
→ M và Z
3
ab
(R, M) bao gồm tất cả các cặp
(h, β) , với h ∈ Z
3
MacL
(R, M) và ánh xạ β : R → M thoả mãn các điều kiện của 3-đối chu
trình:
α(x, y, z) − α(x, z, y) + α(z, x, y) + xβ(y, z) − β(xy, z) + yβ(x, z) = 0, (4.3)
α(x, y, z) − α(y, x, z) + α(y, z, x) − yβ(x, z) + β(x, yz) − zβ(x, y) = 0, (4.4)
β(x, y) − β(x, y + z) + β(x, z) = ρ(y, z, x) − λ(x, y, z), (4.5)
21
với mọi x, y, z ∈ R.
Với mỗi t ∈ C
1
ab
(R, M), đối bờ ∂t của nó được cho bởi

∂t = ∂
MacL
t,
và với mỗi g = (µ, ν) ∈ C
2
ab
(R, M), đối bờ ∂g của nó được cho bởi
∂g = (∂
MacL
g, β),
với β(x, y) = ν(x, y) − ν(y, x).
Dưới đây chúng ta sẽ mô tả chi tiết các ràng buộc của một Ann-phạm trù bện SA
kiểu (R, M). Ta gọi họ (h, β), với h = (ξ, η, α, λ, ρ), là một cấu trúc của SA.
Mệnh đề 4.1.7. Trong Ann-phạm trù bện kiểu (R, M) các ràng buộc đơn vị của hai phép
toán là chặt chẽ, và họ các ràng buộc còn lại liên kết với một cấu trúc (h, β) ∈ Z
3
ab
(R, M).
4.2 Phân lớp các Ann-hàm tử bện kiểu (p, q)
Định nghĩa 4.2.1. Một hàm tử F : S → S

được gọi là một hàm tử kiểu (p, q) nếu
F (x) = p(x), F (x, a) = (p(x), q(a)),
trong đó p : R → R

là một đồng cấu vành và q : M → M

là một đồng cấu nhóm thỏa
mãn
q(xa) = p(x)q(a), x ∈ R, a ∈ M. (4.6)

Mệnh đề 4.2.2. Mỗi Ann-hàm tử bện từ S đến S

là một hàm tử kiểu (p, q).
Mệnh đề 4.2.3. Cho A và A

là hai Ann-phạm trù bện. Khi đó mỗi Ann-hàm tử bện
(F,
˘
F ,

F , F
∗
) : A → A

cảm sinh một Ann-hàm tử bện SF : SA → SA

kiểu (p, q), trong đó
p = F
0
: π
0
(A) → π
0
(A

) ; [X] → [F X],
q = F
1
: π
1

(A) → π
1
(A

) ; u → γ
−1
F 0
(F u),
có các tính chất:
(i) F là một tương đương khi và chỉ khi F
0
, F
1
là những đẳng cấu.
(ii) Ann-hàm tử bện SF thoả mãn biểu đồ giao hoán
SF = G

◦ F ◦ H, (4.8)
với H, G

là những Ann-tương đương bện chính tắc.
Bởi vì
˘
F
x,y
= (•, µ(x, y)),

F
x,y
= (•, ν(x, y)), nên ta sẽ gọi g

F
= (µ, ν) là cặp hàm liên
kết với (
˘
F ,

F ), và ta có thể xem một Ann-hàm tử bện F : S → S

là một bộ ba (p, q, g
F
)
. Do tính tương thích của F với các ràng buộc của hai Ann-phạm trù bện S, S

, ta suy
ra:
q
∗
(h, β) − p
∗
(h

, β

) = ∂(g
F
), (4.9)
22
trong đó p
∗
, q

∗
là các đồng cấu chính tắc
Z
3
ab
(R, M)
q
∗
−→ Z
3
ab
(R, M

)
p
∗
←− Z
3
ab
(R

, M

).
Ta ký hiệu tập hợp các lớp đồng luân của các Ann-hàm tử bện kiểu (p, q) từ S đến
S

là
Hom
BrAnn

(p,q)
[S, S

].
Trong trường hợp F : S → S

là một hàm tử kiểu (p, q), hàm
k = q
∗
(h, β) − p
∗
(h

, β

)
được gọi là một cản trở của hàm tử kiểu (p, q).
Với các ký hiệu như trên, chúng ta phát biểu Định lý về sự tồn tại và phân lớp các
Ann-hàm tử bện.
Định lý 4.2.6. Hàm tử F : S → S

kiểu (p, q) là một Ann−hàm tử bện nếu và chỉ nếu
cái cản trở [k] = 0 trong H
3
ab
(R, M

). Khi đó tồn tại các song ánh:
(i)
Hom

BrAnn
(p,q)
[S, S

] ↔ H
2
ab
(R, M

); (4.11)
(ii)
Aut(F ) ↔ Z
1
ab
(R, M

).
4.3 Các định lý phân lớp
Ký hiệu BrAnn là phạm trù có các vật là các Ann–phạm trù bện A, các mũi tên là các
Ann–hàm tử bện giữa chúng.
Tương tự như Định lý phân lớp cho các phạm trù Picard phân bậc (Định lý 3.12
[Advances in Mathematics 213(2)(2007) 644-686]), chúng ta xác định phạm trù H
3
BrAnn
có vật là bộ ba (R, M, [h, β]) với [h, β] ∈ H
3
ab
(R, M) và (R, M, h, β) là một Ann–phạm trù
bện. Mũi tên (p, q) : (R, M, [h, β]) → (R


, M

, [h

, β

]) trong H
3
BrAnn
là cặp (p, q) sao cho tồn
tại g : R
2
→ M

để (p, q, g) là một Ann-hàm tử bện (R, M, h, β) → (R

, M

, h

, β

), nghĩa là
[p
∗
(h

, β

)] = [q

∗
(h, β)] ∈ H
3
ab
(R, M

). Hợp thành trong H
3
BrAnn
được cho bởi
(p

, q

) ◦ (p, q) = (p

p, q

q).
Chúng ta phát biểu kết quả chính của mục này.
Định lý 4.3.1. (Định lý phân lớp) Tồn tại một hàm tử giữa các phạm trù
d : BrAnn → H
3
BrAnn
A → (π
0
A, π
1
A, [(h, β)
A

])
F = (F,
˘
F ,

F ) → (F
0
, F
1
)
có các tính chất sau:
23
(i) dF là một đẳng cấu khi và chỉ khi F là một tương đương,
(ii) d là một toàn ánh trên tập các vật,
(iii) d là đầy đủ nhưng không trung thành, với (p, q) : dA → dA

tồn tại song ánh
Hom
BrAnn
(p,q)
[A, A

] → H
2
ab
(π
0
A, π
1
A


). (4.12)
Do Mệnh đề 4.2.3 ta có thể đơn giản bài toán phân lớp tương đương các Ann–phạm
trù bện bằng việc phân lớp các Ann–phạm trù bện có chung (theo nghĩa sai khác một
đẳng cấu) hai bất biến đầu tiên.
Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, M là một R-module (và xem như vành với
phép nhân không). Ta nói Ann–phạm trù bện A có tiền đính kiểu (R, M) nếu tồn tại
cặp đẳng cấu vành  = (p, q),
p : R → π
0
A, q : M → π
1
A
tương thích với tác động của module
q(su) = p(s)q(u)
với s ∈ R, u ∈ M. Cặp (p, q) được gọi là một tiền đính kiểu (R, M) đối với Ann-phạm trù
bện A.
Ký hiệu
BrAnn[R, M]
là tập các lớp tương đương của các Ann-phạm trù bện tiền đính kiểu (R, M). Định lý
dưới đây nói về bất biến thứ ba của một Ann-phạm trù bện.
Định lý 4.3.2. Tồn tại một song ánh
Γ : BrAnn[R, M] → H
3
ab
(R, M),
[A] → q
−1
∗
p

∗
[(h, β)
A
].