Kinh nghiệm dạy bồi dưỡng HSG vật lý trong trường chuyên

BӜ GIÁO DӨC VÀ ĈÀO TҤO










TÀI LIӊU HӜI THҦO
PHÁT TRIӆN CHUYÊN MÔN
GIÁO VIÊN VҰT LÍ
TRѬӠNG THPT CHUYÊN

(Tài liӋu lѭu hành nӝi bӝ)
Hà Nӝi, tháng 7- 2011
VӨ GIÁO DӨC TRUNG HӐC CHѬѪNG TRÌNH PHÁT TRIӆN
GIÁO DӨC TRUNG HOC
from:
DAYHOCVATLI.NET
ҦҦ
O O
YÊN MYÊN M
N VN V
ҰҰ
TT
HPT CHPT C


2
MӨC LӨC
TT Nӝi dung Trang
1 Báo cáo ÿӅ dүn Hӝi thҧo phát triӇn chuyên môn giáo viên
Vұt lí trѭӡng THPT Chuyên
3
2 Tham luұn: Kinh nghiӋm bӗi dѭӥng hӑc sinh giӓi thông
qua viӋc sӱ dөng toán vào giҧi các bài vұt lý
5
3 Tham luұn: Kinh nghiӋm bӗi dѭӥng kiӃn thӭc phҫn Vұt lý
hiӋn ÿҥi
24
4 Chuyên ÿӅ: Mӝt sӕ phѭѫng pháp giҧi bài toán ĈiӋn hӑc 36
5 Chuyên ÿӅ: Phѭѫng pháp ҧnh ÿiӋn và ӭng dөng giҧi các bài

toán tƭnh ÿiӋn
49
6 Tham luұn: Vұn dөng “Nghӏch lý” trong dҥy hӑc Vұt lý 62
7 Chuyên ÿӅ: Mӝt sӕ bài toán vӅ trѭӡng lӵc thӃ 65
8 Tham luұn: Kinh nghiӋm bӗi dѭӥng kiӃn thӭc phҫn Dao
ÿӝng và Sóng
74
9 Tham luұn: Bàn vӅ chuyӇn ÿӝng ném xiên 79
10 Tham luұn: Các phѭѫng án tiӃn hành thí nghiӋm khҧo sát
chuyӇn ÿӝng ÿӅu sӱ dөng bӝ thí nghiӋm Vұt lí lӟp 10
86
11 Tham luұn: Tìm hiӇu ÿӗng hӗ ÿo ÿiӋn vҥn năng chӍ thӏ kim
và hiӋn sӕ trong các bài thí nghiӋm ÿiӋn lӟp 11 THPT
89
12 Tham luұn: Bài thӵc hành vұt lí lӟp 12. Khҧo sát ÿoҥn
mҥch xoay chiӅu R, L, C mҳc nӕi tiӃp.
93
13 Tham luұn: Hѭӟng dүn hӑc sinh hӑc và nghiên cӭu môn
Vұt lý
96
14 Tham luұn: Mӝt sӕ kinh nghiӋm hѭӟng dүn hӑc sinh
nghiên cӭu tài liӋu chuyên ÿӅ môn Vұt lý
98
15 Tham luұn: Hӝi thҧo phát triӇn chuyên môn cho giáo viên
trѭӡng THPT năm 2011
102
16 Tham luұn: Phát triӇn chuyên môn cho giáo viên thông qua
sinh hoҥt tә chuyên môn ӣ trѭӡng chuyên
104
17 Tham luұn: Kinh nghiӋm ÿәi mӟi phѭѫng pháp dҥy hӑc

trong trѭӡng chuyên môn Vұt lý
106
18 Tham luұn: Kinh nghiӋm tә chӭc hoҥt ÿӝng ngoҥi khóa Vұt
lí trong trѭӡng THPT Chuyên
108
19 Tham luұn: Chѭѫng trình bӗi dѭӥng giáo viên dҥy môn
chuyên Vұt lý
110
20 Tham luұn: Nâng cao chҩt lѭӧng sӱ dөng thí nghiӋm trong
dҥy hӑc Vұt lí ӣ trѭӡng phә thông
112
f
7
7
from:
Tham luham lu
ұ
ұ
trtr
ѭӡѭӡ
rr
:
hiên
ng ng
:
o
16 Tha6 Tha
om
ro
f

DAYHOCVATLI.NET
ài i
4
T
ET
ұұ
t lý t lý
NE
E
N
hh
ӭ
c phph
ҫ
n n
IN
xiên xiên
ATL
hành thí ngành thí ng
hí nghihí nghi
ӋӋ
m Vm V
AT
h
ӗӗ
ÿ
o
ÿÿ
ii
Ӌ

n
thí nghithí nghi
ӋӋ
mm
CV
ӵ
c hành vhành v
ұұ
u R, L, C mR, L, C m
ҳ
O
H
ѭӟѭӟ
ng dng d
ү
n
YH
lu
lu
ұұ
n: M: M
ӝ
ӭӭ
u tàiu tài
DA


3

BÁO CÁO Ĉӄ DҮN HӜI THҦO PHÁT TRIӆN CHUYÊN MÔN

GIÁO VIÊN VҰT LÍ TRѬӠNG THPT CHUYÊN
Nguy͍n Tr͕ng S͵u – Vͭ Giáo dͭc Trung h͕c,
B͡ Giáo dͭc và Ĉào t̩o
Kính thѭa các quý vӏ ÿҥi biӇu và các thҫy cô giáo,
Ĉӝi ngNJ giáo viên luôn là nhӳng yӃu tӕ quan trӑng nhҩt góp phҫn quyӃt
ÿӏnh sӵ phát triӇn cӫa mӝt nhà trѭӡng. ĈiӅu này ÿһc biӋt ÿúng ÿӕi vӟi giáo viên
các trѭӡng THPT chuyên. Ӣ các trѭӡng THPT chuyên, nѫi sӁ phát hiӋn nhӳng
hӑc sinh có tѭ chҩt thông minh, ÿҥt kӃt q
uҧ xuҩt sҳc trong hӑc tұp ÿӇ bӗi dѭӥng
thành nhӳng ngѭӡi có ÿӫ ÿҥo ÿӭc và trình ÿӝ chuyên môn ÿӇ trӣ thành nhӳng
trө cӝt trong xã hӝi trong tѭѫng lai. ĈӇ làm tӕt ÿѭӧc viӋc này, ÿòi hӓi giáo viên
chuyên phҧi có ÿҥo ÿӭc trong sáng, cNJng nhѭ nӅn tҧng kiӃn thӭc vӳng vàng.
Trong nhӳng năm qua, mһc dù ÿã có nhiӅu cӕ gҳng trong công tác giҧng
dҥy. Tuy nhiên,
ÿӝi ngNJ giáo viên các trѭӡng THPT chuyên còn bӝc lӝ nhiӅu
hҥn chӃ kӇ cҧ sӕ lѭӧng cNJng nhѭ trình ÿӝ. Ngoài ra, giáo viên chúng ta còn yӃu
vӅ các kƭ năng nhѭ: kƭ năng thí nghiӋm thӵc hành, kƭ năng hѭӟng dүn nghiên
cӭu khoa hӑc; kƭ năng xây dӵng, phát triӇn tài liӋu; khҧ năng xác ÿӏnh mөc tiêu
giáo dөc và dҥy hӑc qua tӯng bài, tӯng chѭѫng…
Trѭӟc bӕi cҧnh
ÿó, vӟi sӵ tham m
ѭu cӫa Bӝ Giáo dөc và Ĉào tҥo, ngày
24/6/2010, Thӫ tѭӟng Chính phӫ ÿã kí quyӃt ÿӏnh sӕ 959/QĈ-TTg phê duyӋt ÿӅ
án Phát triӇn hӋ thӕng các trѭӡng THPT chuyên giai ÿoҥn 2010-2020. Trong ÿӅ
án này, nӝi dung phát triӇn ÿӝi ngNJ giáo viên, cán bӝ quҧn lý trong các trѭӡng
chuyên ÿѭӧc hӃt sӭc coi trӑng. ĈӅ án xác ÿӏnh “Chú trӑng xây dӵng ÿӝi ngNJ
giáo viên ÿҫu ÿàn vӅ hoҥt ÿӝng chuyên môn trong h
Ӌ thӕng các trѭӡ
ng THPT
chuyên, tҥo ÿiӅu kiӋn ÿӇ hӑ trӣ thành nhӳng nhân tӕ tích cӵc, là tҩm gѭѫng

trong viӋc rèn luyӋn ÿҥo ÿӭc, tӵ hӑc, sáng tҥo và xây dӵng mҥng lѭӟi ÿӝi ngNJ
này trên toàn quӕc. Cө thӇ là:
1. Bә sung, hoàn thiӋn các qui ÿӏnh vӅ cѫ cҩu, ÿӏnh mӭc giáo viên, nhân
viên; vӅ công tác tuyӇn dөng, luân chuyӇn giáo viên trѭӡng chuyên; ban hành
qui ÿӏnh vӅ tiêu chuҭn giáo viên, cán bӝ
qu
ҧn lý các trѭӡng THPT chuyên trên
cѫ sӣ chuҭn nghӅ nghiӋp giáo viên, chuҭn hiӋu trѭӣng trѭӡng trung hӑc và các
qui ÿӏnh khác vӅ giáo viên.
2. TiӃn hành rà soát, ÿánh giá, sҳp xӃp lҥi ÿӝi ngNJ cán bӝ quҧn lý, giáo viên
và nhân viên ÿӇ có kӃ hoҥch tuyӇn dөng, bӗi dѭӥng nhҵm ÿҧm bҧo ÿӫ sӕ lѭӧng,
cân ÿӕi vӅ cѫ cҩu và nâng cao vӅ trình ÿӑ chuyên môn, nhiӋm vө, năng lӵc làm
vi
Ӌc;
3. Chú tr
ӑng xây dӵng ÿӝi ngNJ giáo viên ÿҫu ÿàn vӅ hoҥt ÿӝng chuyên môn
trong hӋ thӕng các trѭӡng THPT chuyên, tҥo ÿiӅu kiên giúp hӑ trӣ thành nhӳng
from:
c rèn lu
n
ên toàn qutoàn qu
ӕ
ӕ
1
BB
әә
sun sun
viên; v
viên; v
ӅӅ

cô c
qui qui
ÿӏÿӏ
nhn
DAYHOCVATLI.NET
ӇӇ
b b
ӗӗ
i
rr
ӣӣ
thành nh
thành
ӣӣ
y, ,
ÿÿ
òi hòi h
ӓ
i gii g
n thth
ӭӭ
c vc v
ӳӳ
ngng
g
ҳҳ
ng trong cng trong
PT chuyên PT chuyên
ài ra, giáo vi ra, giáo v
ӵ

c hành, kc hành, k
ƭƭ
kk
k
Ӈ
n tài litài li
ӋӋ
u;
g chg ch
ѭѫѭѫ
ng…ng…
hamham
m m
ѭѭ
u u
h
ӫӫ
ÿÿ
ã kí qukí
trr
ѭӡѭ
rr
ng THPng THP
ri
Ӈ
n n
ÿӝÿӝ
i ngi n
NJ
c coi trc coi tr

ӑӑ
ngn
n vn v
Ӆ
hoho
ҥ
t t
ÿÿ
Ӆ
Ӆ
u kiu
ӋӋ
n n
ÿӇÿ
ӋӋ
n
n


4
nhân tӕt tích cӵc, là tҩm gѭѫng trong viӋc rèn luyӋn ÿҥo ÿӭc, tӵ hӑc, sáng tҥo và
xây dӵng mҥng lѭӟi cӫa ÿӝi ngNJ này trên toàn quӕc.
4. Tăng cѭӡng công tác bӗi dѭӥng nâng cao năng lӵc chuyên môn, nhiӋm
vө, tin hӑc và ngoҥi ngӳ cho cán bӝ quҧn lý giáo viên trѭӡng chuyên
- Ĉӏnh hѭӟng nӝi dung bӗi dѭӥng giáo viên chuyên phù hӧp vӟi tӯng giai
ÿoҥn, tăng cѭӡng bӗi dѭӥng cho cán bӝ
quҧn lý vӅ các kiӃn thӭc và kƭ năng
quҧn lý.
- Tә chӭc các khóa bӗi dѭӥng tiӃng Anh, tin hӑc cho CBQL và GV ÿѭa ÿi
bӗi dѭӥng TiӃng Anh tҥi nѭӟc ngoài.

- Tә chӭc các khóa ÿào tҥo ngҳn hҥn ӣ ngoài nѭӟc cho giáo viên các môn
Toán, Vұt Lí, Hóa hӑc, Sinh Hӑc, Tin hӑc, ÿӇ tӯng bѭӟc dҥy hӑc các môn này
bҵng TiӃng Anh.
ĈӇ thӵc hiӋn các yêu cҫu trên cӫa ÿӅ án, có nhi
Ӆu viӋc phҧi làm, trong ÿó
công tác bӗi dѭӥng, nâng cao năng lӵc chuyên mô
n và nghiӋp vө cӫa ÿӝi ngNJ
giáo viên trӣ cNJng nhѭ tә chӭc Hӝi thҧo trao ÿәi ý kiӃn và ÿi ÿӃn thӕng nhҩt nӝi
dung ÿào tҥo bӗi dѭӥng trong thӡi gian tӟi. Ĉó là lý do tә chӭc Hӝi thҧo GV các
trѭӡng THPT chuyên trên toàn quӕc lҫn thӭ nhҩt ngày hôm nay.
Mөc tiêu cӫa Hӝi thҧo là:
-
Ĉѭa ÿӃn cѫ hӝi là cán bӝ quҧn lý cӫa các Sӣ Giáo dөc và Ĉào tҥo, các
giáo viên tӯ tҩt cҧ các tr
ѭӡng THPT chuyên trong toàn quӕc có cѫ hӝi giao lѭu,
trao ÿәi và thҧo luұn cNJng nhѭ tҥo ra cѫ hӝi ÿӇ chia sҿ các kinh nghiӋm thӵc tӃ.
- Trao ÿәi ÿӇ hình thành ra mҥng lѭӟi giáo viên ÿҫu ÿàn trong toàn quӕc.
- Thӕng nhҩt kӃ hoҥch, nӝi dung, phѭѫng thӭc bӗi dѭӥng giáo viên chuyên
THPT giai ÿoҥn 2011-2015 và kӃ hoҥch bӗi dѭӥng hàng năm.
ĈӇ Hӝi thҧo thành công, ÿӅ nghӏ:
- Mӑi ng
ѭӡi làm viӋc vӟi tinh thҫn cao nhҩt ÿӇ ÿҥt ÿѭӧc mөc tiêu Hӝi thҧo.
- Thӕng nhҩt thông qua các mөc tiêu cӫa Hӝi thҧo.
Nhân dӏp này, chúng tôi xin ghi nhұn và cҧm ѫn sӵ giúp ÿӥ hӛ trӧ cӫa các
thҫy cô giáo là tác giҧ tài liӋu, báo cáo viên các cѫ quan có liên quan ÿã hӛ trӧ
ÿӇ tҥo ÿ
iӅu kiӋn cho các thҫy cô giáo trên toàn quӕc có nhӳng ngày vui vҿ ӣ Thӫ
ÿô Hà Nӝi và thu ÿѭӧc nhiӅu bә ích. Xin kính chúc các ÿӗ
ng chí ÿҥi biӇu, các
thҫy cô giáo mҥnh khӓe, hҥnh phúc, chúc Hӝi thҧo thành công.

ng
ӕ
ng nhng n
ҩ
Nhân dân d
ӏӏ
p nàp nà
ҫ
y cô giáo lcô giáo
ÿӇ
ÿӇ
t t
ҥҥ
o o
ÿÿ
ii
ӅӅ
ô Hà Hà
DAYHOCVATLI.NET
viên các
viên
ӑӑ
c các môn
c các mô
vi

Ӌ
c phc ph
ҧҧ
i làil
và nghinghi
ӋӋ
pp
ý kiý ki
ӃӃ
n và n và
ÿÿ
ii
là lý do tlà lý do
әә
nhn
ҩҩ
t ngày t ngày
u
ҧҧ
n lý cn lý c
ӫ
a cac
HPT chuyênHPT chuyên
ѭ
tt
ѭ
ҥҥ
o ra co ra c
ѫѫ
h

ѫ
hành ra mhành ra m
ҥ
n
oo
ҥҥ
ch, nch,
ӝӝ
i di
11-2015 và 1-2015 và
o thành côno thành c
ӡӡ
i làm vii làm v
h
h


5
Tham luұn:
KINH NGHIӊM BӖI DѬӤNG HӐC SINH GIӒI THÔNG QUA
VIӊC SӰ DӨNG TOÁN VÀO GIҦI CÁC BÀI VҰT LÝ
Tr˱ͥng THPT Chuyên Phan B͡i Châu, Ngh͏ An

Toán hӑc có liên hӋ mұt thiӃt vӟi các môn hӑc khác ӣ trѭӡng phә thông và có
ӭng dөng rӝng rãi trong rҩt nhiӅu lƭnh vӵc khác nhau cӫa khoa hӑc, công nghӋ
cNJng nhѭ trong sҧn xuҩt và ÿӡi sӕng.
Trong Vұt Lý thì Toán hӑc ÿѭӧc sӱ dөng là công cө quan trӑng ÿӇ nghiên
cӭu. Nhӡ toán cao cҩp mà Vұt Lý lý thuyӃt phát triӇn mҥnh mӁ. Trong chѭѫng
trình phә thông nói chung và bӗ
i dѭӥng HSG nói chung các nӝi dung toán sӱ

dөng vào Vұt Lý chѭa ÿѭӧc chú trӑng. Ĉһc biӋt mӝt sӕ phҫn Vұt Lý sӱ dөng
toán thì HS chѭa ÿѭӧc trang bӏ nên chѭa giҧi quyӃt ÿѭӧc lý th
uyӃt và bài tұp. Ví
dө chѭѫng trình lӟp 10 chuyên Lý ÿòi hӓi HS phҧi sӱ dөng thành thҥo lѭӧng
giác, cҩp sӕ nhân, tích phân trong lúc chѭѫng trình toán chѭa hӑc ÿӃn.
Chѭѫng trình thi HSG Quӕc Gia, Chӑn ĈT Ôlympic Quӕc TӃ ngày càng khó
vӅ nӝi dung Vұt Lý và vӅ Toán hӑc.
ĈӇ nâng cao chҩt l
ѭӧng giҧng dҥy môn Vұt Lý nói chung và bӗi dѭӥng
HSG nói riêng cNJng nhѭ gúp HS vѭӧt qua nhӳng khó khăn(do chѭa ÿѭӧc trang
bӏ kӏp vӅ kiӃn thӭc toán) khi hӑc tұp và dӵ các kǤ thi HSG Vұt Lý chúng tôi ÿã
thông qua kinh nghiӋm giҧng dҥy nhiӅu khoá ÿã ÿúc rút ÿӇ viӃt nên ÿӅ tài ''Sӱ
dөng công cө toán hӑc góp phҫn bӗi dѭӥng HSG Vұ
t Lý''. Chúng tôi sӁ ÿӅ cұp
mӝt sӕ nӝi dung lý t
huyӃt toán và vұn dөng vào mӝt sӕ ÿӅ thi HSG Vұt Lý gҫn
ÿây:

I.MӜT SӔ CÁCH KHAI TRIӆN TRONG TOÁN HӐC
1.1. Ĉӏnh nghƭa và ÿҥo hàm chuӛi mNJ
Ĉӏnh nghƭa:

2n
x
xx
e1x
2! n!
     (1)
X phҧi không có thӭ nguyên.;
 

2n
x
xx
e 1 x
2! n!
D
DD
D   
D phҧi có thӭ nguyên x
-1
.
Tӯ ÿây suy ra rҵng:


 
23
23
x2 x
xx
d23
e x x 1 x e
dx 2! 3! 2! 3!
D D
ªº
DD
DD
D  D D    D
«»
«»
¬¼

from:
ngh
h
ƭ
ƭ
a
ngh
ƭƭ
h
a: a:

xx
e11
xx
11
h
DAYHOCVATLI.NET
rong c
rong
ӝӝ
i dung toá
i dung to
ҫ
n Vn V
ұұ
t Lýt Lý
lý thth
uyuy
ӃӃ

t vàt và
s
ӱ
dd
ӱ
өө
ng thàg th
ng trình toáng trình to
ympic Qumpic Qu
ӕӕ
môn Vmôn V
ұұ
t L
ӧӧ
t qua nht qua nh
ӳӳ
n
tt
ұұ
p và dp và d
ұұ
ӵӵ
c
ӵӵ
dd
ҥ
y nhiy nhi
ӅӅ
u k
p php ph

ҫҫ
n bn b
ӗӗ
idi
yy
Ӄ
t toán và toán v
ÁCH KHA
ÁCH KHA
àà
ÿÿ


6
Và tiӃp theo:

2
x2x
2
d
ee
dx
DD
D

Bҵng cách lҩy loga có dӉ dàng suy ra rҵng e
x
e
y
= e

x+y
vì:
Log
e
(e
x
e
y
) = log
e
e
x
+ log
e
e
y
= x + y
1.2. Khai triӇn hàm lѭӧng giác, công thӭc Ѫle (Euler)

357 246
xxx xxx
sinx x ;cosx 1
3! 5! 7! 2! 4! 6!
      
Ta viӃt chuӛi mNJ ix và chú ý rҵng
23
i1,i1,ii,   

  
234

234
i x
24 35
ix
i x ix ix
xixx
e1ix+ 1ix-
2! 3! 4! 2! 3! 4!
xx xx
1 i x ;e cosx isinx
2! 4! 3! 5!
       
§·
       
¨¸
©¹
Ĉó là công thӭc Euler.
1.3. BiӇu diӉn sinx và cosx theo hàm mNJ phӭc
Tӯ công thӭc Euler suy ra rҵng: e
-ix
= cosx – isinx (10)

 
ix ix ix ix
11
cosx e e ;sinx e e
22i

 
1.4.Khai triӇn Ln:

234
n1
n
x
xxx
ln(1 x) x ( 1)
234 n

|
1.5.Khai triӇn (1 x)
D
 :
2n
( 1)x ( 1) ( n 1)x
(1 x) 1 x
2! n!
D
DD DD D 
|D 


ÁP DӨNG KHAI TRIӆN CHO VҰT LÝ QUA BÀI TҰP

(Ĉ͉ QG 2010):
Tӕc ÿӝ ánh sáng trong chҩt lӓng ÿӭng yên là c/n vӟi c là tӕc ÿӝ
ánh sáng trong chân không và n là chiӃt suҩt chҩt lӓng. Ngѭӡi ta thҩy rҵng tӕc
ÿӝ ánh sáng u (ÿӕi vӟi phòng thí nghiӋm) trong mӝt dòng chҩt lӓng chuyӇn ÿӝng
vӟi vұn tӕc v (ÿӕi vӟi phòng thí nghiӋm) có thӇ biӇu diӉn dѭӟi dҥng:

c

ukv
n


trong ÿó k ÿѭӧc gӑi là hӋ sӕ kéo theo.
a. Năm 1851 Fizeau làm thí nghiӋm vӟi dòng nѭӟc (n = 4/3) và ÿo ÿѭӧc k
= 0,44. Tӯ công thӭc cӝng vұn tӕc trong thuyӃt tѭѫng ÿӕi hãy xác ÿӏnh lҥi giá trӏ
cӫa k.
from:
G 2010)
01
áng trong ch
trong ch
ánh sáng u h sáng u
v
v
ӟӟ
i vi v
ұұ
n tn t
ӕӕ
c
DAYHOCVATLI.NET
sinxin
c
– isinx (10– isinx (1

3434
xxxx
33

xxxx
2323
x) 1x) 1
DD
x) 1x) 11
ӨӨ
NG KHAING KHA
TT
ӕ
ӕ


7
b. NӃu sӱ dөng nguӗn ánh sáng ÿѫn sҳc có bѭӟc sóng O và sӵ phө thuӝc
cӫa chiӃt suҩt chҩt lӓng vào bѭӟc sóng cӫa ánh sáng theo quy luұt
2
b
n( ) aO 
O

(a và b là các hӋ sӕ phө thuӝc vào loҥi chҩt lӓng) thì hӋ sӕ k bҵng bao nhiêu?
Coi
vc và (1 x) 1 x
J
|Jkhi |x| 1 .
Giҧi:a. Vұn tӕc ánh sáng ÿo ÿѭӧc bӣi mӝt QSV ÿӭng yên ÿӕi vӟi nѭӟc
là
'
x'
c

u.
n


Vұn tӕc ánh sáng ÿo ÿѭӧc bӣi mӝt QSV khác ÿӭng yên ÿӕi vӟi PTN là:
'
x'
x
'
x'
2
c
v
uv
n
u
vv
1u1
cnc





Vì v << c nên:
1
vv
11.
nc nc


§·
|
¨¸
©¹
Do ÿó:
'
x'
x
2
'
x'
2
c
v
uvc
cvc1c
n
uv11vkv
vv
nncnnn
1u1
cnc


§·§ · § ·
|| 
¨¸¨ ¸ ¨ ¸
©¹© ¹ © ¹


2
4
k 1 0,438
3

§·
 |
¨¸
©¹

b. Nguӗn phát ánh sáng bѭӟc sóng
O , thì máy thu sӁ ÿo ÿѭӧc vұn tӕc truyӅn
sóng trong chҩt lӓng ÿӭng yên là
cc
.
n( ) n

O

- NQS ÿӭng trong HQC PTN sӁ thҩy dòng chҩt lӓng chuyӇn ÿӝng tѭѫng ÿӕi vӟi
mình vӟi tӕc ÿӝ v, và do hiӋu ӭng Doppler sӁ ÿo ÿѭӧc bѭӟc sóng
c
O O'O
,
vӟi
vvn
c/n c
'O

O

(suy tӯ công thӭc
f
f
1vn/c
c


)
Khai triӇn Taylor:
2
dn dn vn( ) 2bvn
n( ) n( ) n n( ) . n
ddcc
OO
c
O O  'O |  'O O  
OO O

2
2
ccc2bv
2bvn
n( ) n n
n
c
| |
c
OO

O

Coi nѭӟc nhѭ HQC K',
x
2
cc2bv
uu
n( ) n n
c
cc

c
OO
, còn HQC cӫa PTN là K, Theo
công thӭc cӝng vұn tӕc tѭѫng ÿӕi tính (bӓ qua các sӕ hҥng tӹ lӋ vӟi
2
v
c
):
2
x
222
2
22
c2bv
v
u' v c 2bv v c 1 2b
nn
uu v1 1 v
v
vc2bv

nn nc n n n
1u'
1
c
cnn


§·§·§ ·
O
|    |  
¨¸¨¸¨ ¸
OO
§·
©¹©¹© ¹


¨¸
O
©¹

Ӈ
n Taylor:
Taylor
ccc
n( )n( )
||
cc
))
DAYHOCVATLI.NET
cc

v
k
v
n

v
·
·
¹¹
n
¸¸¸
22
22
sóng ón
OO
, thì, thì
yên là yên là
HO
cc
n(n(
O
QC PTN sC PTN
ӁӁ
t
và do hià do hi
ӋӋ
u
D
vnvn
(suy t (suy t

ӯӯ


8
22
12b
k1
nn
 
O



II. PHѬѪNG TRÌNH VI PHÂN TRONG TOÁN HӐC
2.1. Ĉӏnh nghƭa
Phѭѫng trình vi phân tuyӃn tính cҩp hai có hӋ sӕ là hҵng sӕ
y” + py’ + qy = f(x) (2.1)
y là hàm cӫa x, y’ và y” là ÿҥo hàm cҩp mӝt và cҩp hai cӫa y theo x; p và q là
hai hҵng sӕ thӵc. Phѭѫng trình trên là phѭѫng trình có vӃ phҧi.
Phѭѫng trình: y” + py’ + qy = 0 (2.2)
là phѭѫng trình không có vӃ phҧi hoһc phѭѫng trình thuҫn nhҩt tѭѫng ӭng vӟi
(2.1).
Phѭѫng trình ÿһc trѭng cӫa (2.1) và (2.2)
r
2
+ pr + q = 0 (2.3)
ÿó là mӝt phѭѫng trình ÿҥi sӕ bұc hai, có hai nghiӋm thӵc phân biӋt r
1
và r
2

nӃu
biӋt thӭc ' = p
2
– rq > 0. Khi ' = p
2
– 4q = 0 thì r
1
= r
2
là mӝt nghiӋm kép. Khi
' < 0 thì không có nghiӋm thӵc, nӃu xét nghiӋm ҧo thì
p
ri
22
'
 r Dr E vӟi
p1
,
22
D  E '.

2.2. NghiӋm cӫa phѭѫng trình thuҫn nhҩt (2.2) khi
'
> 0
Ĉӏnh lí: NӃu y
1
và y
2
là hai nghiӋm riêng ÿӝc lұp tuyӃn tính cӫa (2.2) thì: y =
C

1
y
1
+C
2
y
2

là nghiӋm tәng quát cӫa (2.2). C
1
và C
2
là hai hҵng sӕ tuǤ ý.
Tìm nghiӋm riêng: NӃu ' > 0 thì phѭѫng trình ÿһc trѭng (2.3) có 2 nghiӋm
thӭc riêng biӋt là r
1
và r
2
.
Có thӇ thӱ lҥi rҵng:
12
rx rx
12
yevàye
Là nghiӋm riêng ÿӝc lұp tuyӃn tính cӫa phѭѫng trình thuҫn nhҩt (2.2)
Thұt vұy:
11
rx rx
2
11

y' re ,y" r e
Thay vào (2.2) ta có:



111 1
rx rx rx rx
22
11 11
re pre qe 0;hay:e r pr q 0 
Vì r
1
là nghiӋm cӫa phѭѫng trình ÿһc trѭng (2.3) nên lѭӧng trong dҩu ngoһc () ӣ
trên bҵng không: Phѭѫng trình (2.2) ÿѭӧc nghiӋm ÿúng.
NghiӋm tәng quát cӫa (2.2) sӁ là:
12
rx rx
12
yCe Ce  (2.4)
Trong ÿó C
1
và C
2
là hai hҵng sӕ bҩt kì, r
1
và r
2
là thӵc.

2.3. NghiӋm cӫa phѭѫng trình thuҫn nhҩt (2.2) khi

'
< 0
Tìm nghiӋm riêng. Khi ' < 0 phѭѫng trình ÿһc trѭng:
2
rprq0 (2.3)
from:
l
ҥ
i
Ӌ
m riêng m riêng
ÿ
ÿ
ұ
t vv
ұұ
y: y:
yy
Thay vào (
Thay vào
DAYHOCVATLI.NET
tt
ѭѫѭ
tt
ng
ӭӭ
n
n
3)
ӋӋ

m thm th
ӵ
c phâph
thì rìr
1
= r =
2
làlà
hh
ӵӵ
c, n, n
ӃӃ
u u
VA
CVA
22
''
22
. .
thuthu
ҫҫ
n nhn nh
ҩҩ
nghighi
ӋӋ
m riênm riê
a (2.2). Ca (2.2). C
11
g: NN
ӃӃ

u u
''
>>
à rà r
1
và r và r
22
.
ng: ng:
yy


9
Có hai nghiӋm phӭc:
12
pp
ri;ri
22 22
''
  D E   D E

Có thӇ thӱ lҥi rҵng:







ix ix

xx
12
y e e cos x isin x ;y e e cos x isin x
D E D E
DD
EE EE
Là hai nghiӋm riêng ÿӝc lұp tuyӃn tính cӫa phѭѫng trình vi phân (2.2).
NghiӋm tәng quát cӫa phѭѫng trình vi phân (2.2) có dҥng: y = C
1
y
1
+ C
2
y
2

còn có thӇ viӃt dѭӟi dҥng khác. Thұt vұy:



 
x
12 1 2
x
12 12
y y y e C (cos x isin x) + C cos x isin x
eCCcosxiCCsinx
D
D
 E E E E

ªº
¬¼
EE
ªº
¬¼

Ĉһt D
1
= C
1
+ C
2
và D
2
= i(C
1
– C
2
) ta sӁ có:


x
12
ye DcosxDsinx
D
EE
(2.5)
Trong ÿó D
1
và D

2
là hai hҵng sӕ bҩt kì, D và E là hai sӕ thӵc.
2.4. Trѭӡng hӧp riêng: phѭѫng trình y” +
Z
2
y = 0
Ĉây là trѭӡng hӧp riêng cӫa mөc 2.3, phѭѫng trình ÿһc trѭng r
2
+ Z
2
= 0 có
hai nghiӋm ҧo r
1
= iZ, r
2
= -iZ(D = 0, E = Z). Theo công thӭc (2.5) thì nghiӋm
tәng quát có dҥng:
y = D
1
cosZx + D
2
sinZx (2.6)
vӟi D
1
và D
2
là hai hҵng sӕ bҩt kì, Z là thӵc.
Khi giҧi phѭѫng trình vi phân y” + Z
2
y = 0 có thӇ chӑn ngay hai nghiӋm riêng

y
1
= cosZx, y
2
= sinZx; chӑn nhѭ thӃ ta có thӇ ÿi ÿӃn biӇu thӭc (2.6) cӫa nghiӋm
tәng quát.
ViӋc chӑn y
1
= cosZx là nghiӋm riêng có thӇ thӱ lҥi mӝt cách dӉ dàng. Thұt
vұt y’
1
= -ZsinZx, y”
1
= -Z
2
sinZx. Thay y”
1
và y
1
vào phѭѫng trình y” + Z
2
y =
0 ta thҩy ngay rҵng phѭѫng trình này ÿѭӧc nghiӋm ÿúng.
2.5. NghiӋm cӫa phѭѫng trình thuҫn nhҩt (2.2) khi
'
= 0
Khi ÿó thì phѭѫng trình ÿһc trѭng r
2
+ pr + q = 0 có mӝt nghiӋm kép:
12

p
rr
2


ӣ mөc 2.2 ÿã thӱ lҥi rҵng hàm
1
rx
1
ye là mӝt nghiӋm riêng cӫa phѭѫng trình
vi phân thuҫn nhҩt (2.2). Trong trѭӡng hӧp ' = p
2
– 4q =0 ta có thӇ thӱ lҥi rҵng
nghiӋm riӃng thӭ hai cӫa phѭѫng trình vi phân thuҫn nhҩt (P3.2) là:
1
rx
2
yxe
Thӵc vұy:
11 11
rx rx rx rx
'"2
2121 1
ye rxe;yrxe 2re  
Thay vào phѭѫng trình (P3.2) y” + py’ + qy = 0 ta thҩy vӃ ÿҫu có dҥng:










11 11 11 1
rx rx rx rx rx rx rx
22
11 1 11 1
rxe 2re pe rxe qxe xe r pr q e 2r p  
from:
gay r
hi
Ӌ
m cm c
ӫ
a p
a
ÿ
ó thì phthì ph
1212
p
rr
rr
121
 
2
rr
2
m
DAYHOCVATLI.NET

os x D ssx Ds
xDsxDs
x
2
ӕ
thth
ӵӵ
c.
= 0 = 0
ng trình g trình
ÿһÿһ
cc
ZZ
). Theo cô Theo cô

, ,
ZZ
là th là th
ӵӵ
cc
hân y” + ân y” +
ZZ
2
h
ӑӑ
n nhn nh
ѭѭ
th th
ѭ
Ӄ

coss
ZZ
x là ngx là ng
ZZ
x, y”x, y”
11
= -=
ҵҵ
ng phng ph
ѭ


10
Vì r
1
là nghiӋm cӫa phѭѫng trình ÿһc trѭng nên:
2
11
rprq0
Vì nghiӋm
1
p
r
2

nên: 2r
1
+ p = 0
Tӯ ÿó ta thҩy rҵng vӃ ÿҫu viӃt ӣ trên bҵng không, nghƭa là phѭѫng trình (2.2)
ÿѭӧc nghiӋm ÿúng.

1
rx
2
yc.e chính là nghiӋm riêng ÿӝc lұp tuyӃn tính vӟi y
1
.
NghiӋm tәng quát cӫa (2.2) là: y = C
1
y
1
+ C
2
y
2
= (C
1
+ C
2
x)
1
rx
e

(2.7)
Trong ÿó C
1
và C
2
là hai hҵng sӕ bҩt kǤ, r
1

là nghiӋm kép thӵc cӫa phѭѫng trình
ÿһc trѭng.
2.6. NghiӋm cӫa phѭѫng trình vi phân tuyӃn tính có vӃ phҧi:
y” + py’ + qy = f(x)
(2.1)
Phѭѫng trình không vӃ phҧi (thuҫn nhҩt) tѭѫng ӭng là:
y” + py’ + qy = 0
(2.2)
Trong lí thuyӃt phѭѫng trình vi phân, ngѭӡi ta ÿã chӭng minh rҵng:
NghiӋm tәng quát cӫa phѭѫng trình vi phân tuyӃn tính có vӃ phҧi (2.1) thì bҵng
tәng cӫa nghiӋm tәng quát cӫa phѭѫng trình không vӃ phҧi tѭѫng ӭng (2.2) và
mӝt nghiӋm riêng bҩt kì cӫa (2.1).
y = y
1
(x) + y
2
(x)
NghiӋm tәng quát y
1
(x) cӫa (2.2) ÿã tìm ÿѭӧc trong các mөc trên. Mӝt nghiӋm
riêng y
2
(x) cӫa (2.1) có thӇ tìm ÿѭӧc trong trѭӡng hӧp vӃ phҧi có dҥng ÿһc biӋt.



ÁP DӨNG PHѬѪNG TRÌNH VI PHÂN CHO VҰT LÝ THӆ HIӊN BÀI
TҰP

Bài ch͕n ĈT Ôlympic Qu͙c T͇

2010:
BiӃt rҵng do chuyӇn ÿӝng nhiӋt,
các nguyên tӱ (hoһc ion) trong vұt
rҳn kӃt tinh sӁ dao ÿӝng xung quanh các vӏ trí cân bҵng tҥi các nút mҥng. Khi
mӝt nguyên tӱ dao ÿӝng, nó sӁ kéo các nguyên tӱ khác cNJng dao ÿӝng theo. KӃt
quҧ là trong mҥng tinh thӇ sӁ có mӝt sóng lan truyӅn, sóng này thѭӡng ÿѭӧc gӑi
là sóng ÿàn hӗi.
Trong bài toán này, ta xét mҥng tinh thӇ mӝt chiӅu gӗm hai loҥi nguyên tӱ có khӕi
lѭӧng tѭѫng ӭng là m và M = 3m, ÿһ
t xen kӁ cách ÿӅu nhau mӝt khoҧng cách bҵng
a (Hình 2).

m
M
m
M
na
a a
a
0
n-1
n
n+1
Hình 2
from:
Bài chài ch
͕͕
n
2010:
2010:

BiBi
ӃӃ
tt
các ngucác ng
DAYHOCVATLI.NET




ta
ÿÿ
ã chã ch
ӭӭ
ng
hân tuyhân tuy
ӃӃ
n tín
ng trình khng trình kh
ӫ
a (2.2) a (2.2)
ÿÿ
ã tãt
th
Ӈ
tìm tìm
ÿѭӧÿѭ
H
H
ѬѪѬѪ
NG NG

11
Lҩy mӝt nguyên tӱ làm gӕc tӑa ÿӝ. Xét các nguyên tӱ thӭ n - 1, n, n + 1, có
khӕi lѭӧng và vӏ trí nhѭ hình vӁ. Giҧ sӱ nguyên tӱ thӭ n lӋch khӓi nút mҥng mӝt
ÿoҥn x
n
(
n
xa ) dӑc theo ÿѭӡng thҷng mҥng thì các nguyên tӱ lân cұn sӁ dӏch
chuyӇn theo. Khi ÿó, do tѭѫng tác vӟi nhau giӳa các nguyên tӱ trong chuӛi xuҩt
hiӋn lӵc kéo nguyên tӱ này trӣ vӅ vӏ trí cân bҵng. Coi các lӵc này là lӵc ÿàn hӗi
có ÿӝ lӟn tӍ lӋ vӟi ÿӝ biӃn thiên khoҧng cách giӳa các nguyên tӱ vӟi hӋ sӕ tӍ lӋ
D
(D phө thuӝc vào tính chҩt cӫa mҥng tinh thӇ).
Do lӵc tѭѫng tác giӳa hai nguyên tӱ giҧm rҩt nhanh theo khoҧng cách nên ta chӍ
xét tѭѫng tác giӳa hai nguyên tӱ liӅn kӅ, bӓ qua các tѭѫng tác khác.
1. ThiӃt lұp hӋ phѭѫng trình vi phân mô tҧ chuyӇn ÿӝng cӫa các nguyên tӱ trong
mҥng tinh thӇ.
2. NghiӋm cӫa hӋ phѭѫng trình có thӇ tìm dѭӟi dҥng sóng chҥy x
n
=
A
n
sin(naq)cos(Zt + M), trong ÿó Z là tҫn sӕ dao ÿӝng mҥng, A
n
là biên ÿӝ dao
ÿӝng cӫa nguyên tӱ thӭ n (các nguyên tӱ cùng loҥi có biên ÿӝ dao ÿӝng giӕng
nhau),
2

q
S

O
là sӕ sóng,
O
là bѭӟc sóng, M là hҵng sӕ. Tìm sӵ phө thuӝc cӫa
Z vào q (hӋ thӭc tán sҳc). Chú ý: nghi͏m cͯa h͏ ph˱˯ng trình còn có th͋ tìm
d˱ͣi d̩ng phͱc
()

i nqa t
nn
xAe
Z
.
Giҧi:1.Vì tѭѫng tác giӳa hai nguyên tӱ liӅn kӅ là ÿáng kӇ nên ta bӓ qua các
tѭѫng tác khác. Sӱ dөng ÿӏnh luұt II Newton, viӃt ÿѭӧc các phѭѫng trình vi phân
mô tҧ chuyӇn ÿӝng cӫa các nguyên tӱ ӣ ô mҥng thӭ n (M > m). Coi chiӅu dѭѫng
cӫa trөc tӑa ÿӝ hѭӟng tӯ nguyên tӱ n ÿӃn (n+1)
 
  
"
nnn1 n1nn1n1n
"
n1 n1 n n2 n1 n2 n n1
Mx x x x x x x 2x (1)
mx x x x x x x 2x (2)
 
  


D  D  D  
°
®
D  D  D  
°
¯

2.

Cách 1:
NghiӋm cӫa hӋ có dҥng:
x
n
= A
n
sin(aqn)cos(Zt+M) 
'
n
x
= - ZA
n
sin(aqn)sin(Zt+M);
"2
n
x Z A
n
sin(aqn)cos(Zt+M)

"2

nn
xx Z ,
"2
n1 n1
xx
rr
Z ,
"2
n2 n2
xx
rr
Z ,
Ĉһt A
n-2
= A
n
= A
n+2
= = A, A
n-1
= A
n+1
= = B
Thay vào (1) và (2)
2
AM sin(aqn) {Bsin[aq(n 1)] Bsin[aq(n 1)] Asin(aqn)}Z D  

2
A(2 M )sin(aqn) B{sin[aq(n 1)] sin[aq(n 1)]}= B2sin(aqn)cos(aq)D Z D    D


2
A(2 M ) 2 Bcos(aq)D Z D (3)
m cc
ӫӫ
a ha h
ӋӋ
có
có
= AA
nn
sin(aqnsin(aqn
"2"2
nn
x
x
Z Z
AA
""
x
x
DAYHOCVATLI.NET
guyên tguyên t
ӱ
t
t
ӱ
ng sóng chng sóng ch
mm
ҥҥ
ng, Ag, A

n
làlà
có biên có biên
ÿӝÿӝ
hh
ҵҵ
ng sng
ӕӕ
. T.T
cc
ͯͯ
a ha h
͏͏
phph
guyên tyên
ӱӱ
li
ӱӱ
Ӆ
ұ
t II Newtot II Newto
nguyên tnguyên t
ӱӱ
ӣӣ
nguyên tguyên
ӱӱ
t
ӱӱ



















12
Tѭѫng tӵ:
2
Bm(2 M )sin[aq(n 1)] A{sin[aq(n 2)] sin(aqn)}= A2sin[aq(n 1)]cos(aq)D Z  D   D 

2
B(2 m ) 2 Acos(aq)D Z D (4)

Nhân 2 vӃ (3) và (4), ta có
22 222
AB(M 2)(m 2) 4 ABcos(aq)=2 (1cos2aq)ZD ZD D D 

24 22
4Mm2(Mm)2[1cos(2aq)]D ZD  Z D 


2
422
Mm 4
2sin(aq)0
Mm Mm
D
ZD Z
(5)
Cách 2:
Ĉһt
i(aqn t) i{aq(n 1) t} i{aq(n 2) t}
nn1 n2
xAe ,x Be ,x Ae
Z r Z r Z
rr
ta có
"2" 2 " 2
n n n1 n1 n2 n2
x x ; x x ; x x ,
rrr r
Z Z Z
thay vào (1) và (2)
2i(aqnt) iaq iaq i(aqnt)
M Ae (Be Be 2A)e
Z  Z
Z D  
2iaqiaq
(2 M )A (Be Be ) 2 Bcos(aq)


D Z D   D
Tѭѫng tӵ:
2
(2 m )B 2 Acos(aq)D Z  D
Nhân hai vӃ:
24 222
4Mm2(Mm)4cos(aq)D ZD  Z D
Suy ra:
2
422
Mm 4
2[1-cos(aq)]0
Mm Mm
D
ZD Z


2
422
Mm 4
2sinaq0
Mm Mm
D
ZD Z
(5)
Phѭѫng trình này có 2 nghiӋm:
2
22
2
22

11 11 4 4 3
sin aq 1 1 sin aq (6)
Mm Mm Mm 3m 4
11 11 4 4 3
sin aq 1 1 sin aq (7)
Mm Mm Mm 3m 4



§·
D
§·§·
°
Z D  D    
¨¸
¨¸¨¸
¨¸
°
©¹©¹
©¹
°
®
°
§·
D
§·§·
°
Z D  D    
¨¸
¨¸¨¸

¨¸
©¹©¹
°
©¹
¯

III.TÍCH VÉC TѪ TRONG TOÁN HӐC
3.1. Mӝt véc tѫ A
JG
có thӇ ÿѭӧc xác ÿӏnh bҵng mӝt
trong hai cách sau ÿây:
- Bҵng ÿӝ dài A và hѭӟng (xác ÿӏnh bӣi góc T hӧp vӟi trөc Oz và góc M mà mһt
phҷng chӭa A
JG
và Oz hӧp vӟi trөc Ox) T còn gӑi là góc phѭѫng vӏ và M gӑi là
góc kinh ÿӝ, xem hình P.3.
- Bҵng 3 toҥ ÿӝ A
x
, A
y
, A
z
tӭc là ba hình chiӃu lҫn lѭӧt lên các trөc Ox, Oy, Oz.
3.2. NӃu gӑi i, j,k
GG G
lҫn lѭӧt là vec tѫ ÿѫn vӏ trên các trөc Ox, Oy, Oz thì ta có:
xyz
AAiAjAk 
JG G G G

3.3. Tích vô hѭӟng cӫa hai véc tѫ A
JG
và B
JG
:
A.B ABcos D
JG JG

z

y

x

M

O

T
A

Hình

from:
m
III.TÍCH V.TÍCH V
3.1. M3.1. M
ӝӝ
t vév
trong ha

rong h
ҵ
ҵ
D
D
D
DAY
A
A
DA
DA
AYHOCVATLI.NET
22
cos (aq)cos (aq)
22
q)] 0q)] 0
)])]

aq 0aq 0
aqaq

ӋӋ
m: m
YH
YH
2
4
2
·
1111


·
··
111

··
©¹©
MmMm
¸¸
¸
MmMm
MmMmMm

·§·§
1
1
·§·§·
11
DD
·§·§·
¨¨
M
DD


13
D là góc giӳa hai vec tѫ A
JG
và B
JG

.
NӃu viӃt biӇu thӭc cӫa tích vô hѭӟng theo hình chiӃu thì:

xx yy zz
A.B A B A B A B 
JG JG


A.B A B cos D
J G JG J G JG
;D =(A
JG
,B
JG
)
3.4. Tích véc tѫ (hoһc tích hӳu hѭӟng) cӫa hai véc tѫ A
JG
và B
JG
:
ABABsin.n D
JG JG G

n
G
là véctѫ ÿѫn vӏ trên trөc vuông góc vӟi mһt phҷng chӭa A
JG
và B
JG
trөc hѭӟng

theo chiӅu chuyӇn ÿӝng tӏnh tiӃn cӫa mӝt ÿinh vít thuұn khi nó quay theo chiӅu
tӯ
A
JG
tӟi B
JG
.
NӃu viӃt biӇu thӭc cӫa tích vô hѭӟng theo hình chiӃu thì:




xy z yzzy zxxz xyyx
xy z
ij k
ABA A A AB ABi AB ABj AB ABk
BB B
     
GG G
JG JG G G G

+Ĉҥo hàm:
ddAdB
(AB) B A
dt dt dt

JG JG
JG JG JG JG
;
ddBdA

(A B) A B
dt dt dt
   
JG JG
JG JG JG JG

Toán tӱ nabna

JG
ÿѭӧc ÿӏnh nghƭa nhѭ sau: iJk
x
yz
ww w
  
ww w
JG G JGG

Toán tӱ nabla tác dөng lên mӝt hàm vô hѭӟng f(x, y, z) gӑi là gradf

fff
gradf(x,y,z) .f i j k
xyz
www
  
www
JG G G G
(véc tѫ)
Toán tӱ nabla tác dөng lên mӝt hàm véctѫ
(, ,)Axyz
JG

theo cách nhân vô hѭӟng gӑi
là dive
A
JG

(, ,)
y
x
z
A
A
A
divA x y z A
x
yz
w
w
w
  
www
JG JG JG
(vô hѭӟng)
Toán tӱ nabla tác dөng lên mӝt hàm vec tѫ
theo cách nhân hӳu hѭӟng gӑi là rota A
JG



xyz
ijz

rotA x,y,z A
xyz
AAA
www

www
GGG
JG JG JG

3.5. Toán tӱ Laplace
2
'  biӇu diӉn dive
cӫa grad cӫa mӝt hàm vô hѭӟng f
z

y

x

M

O

T
A

from:
xyz AzA
(, ,),)
AA

JG JGJG JG
Toán t
Toán t
ӱӱ
na na
ӱӱ
heo cáeo cá
DAY
.f i
w
f
f
.f ifi
i
f
AYHOCVATLI.NET
y theoy th


G
;
C
dd
(A BAB
dtdt
ghgh
ƭ
h
a nha n
ѭѭ

sa s
ѭѭ
ên mm
ӝӝ
t hàmt hàm
www
fff
ww
xx
w
f
ác d
ác
ө
ng lêng l


14


222
2
222
fff
f f . f divgradf
xyz
www
'    
www

3.6. Hai hӋ thӭc:
rotgrad f(x, y, z) = 0 divrotA
JG
(x,y,z) = 0

ÁP DӨNG TÍCH VÉC TѪ CHO VҰT LÝ THӆ HIӊN QUA BÀI TҰP

Bài ch͕n ĈT Ôlmpic Qu͙c T͇ năm 2009:
Trong vùng không gian xung quanh
ÿiӇm O tӗn tҥi mӝt tӯ trѭӡng. Cҧm ӭng tӯ tҥi ÿiӇm M bҩt kì (
OM r
JJJJG
G
) là
2
kr
B
rr

G
G

vӟi k là mӝt hҵng sӕ. Ӣ thӡi ÿiӇm t = 0, tҥi ÿiӇm
000
M(OM r) có mӝt hҥt ÿiӋn tích
q, khӕi lѭӧng m chuyӇn ÿӝng vӟi vұn tӕc
0
v
G
vuông góc vӟi

0
OM . Bӓ qua trӑng
lӵc và lӵc cҧn.

1. Chӭng minh rҵng ÿӝ lӟn vұn tӕc v cӫa hҥt không ÿәi trên cҧ quӻ ÿҥo cӫa
hҥt.
2. Bҵng cách lҩy ÿҥo hàm theo thӡi gian cӫa tích vô hѭӟng
r.v
G
G
rӗi tính tích vô
hѭӟng ÿó ÿӇ:
a) Tìm sӵ phө thuӝc vào thӡi gian cӫa bình phѭѫng khoҧng cách tӯ hҥt ÿӃn
ÿiӇm O và cӫa cotT, vӟi T là góc lұp bӣi
v
G
và r
G
ӣ thӡi ÿiӇm t.
b) Tính T ӣ thӡi ÿiӇm mà
0
r2r
.
3. Bҵng cách lҩy ÿҥo hàm theo thӡi gian cӫa tích hӳu hѭӟng
rv
G
G
, rӗi tính
tích hӳu hѭӟng ÿó ÿӇ suy ra quӻ ÿҥo cӫa hҥt nҵm trên mӝt mһt nón ÿӍnh O. Hãy
tính nӱa góc ӣ ÿӍnh cӫa hình nón ÿó theo k, m, q,

0
r và
0
v.

Giҧi: 1.Phѭѫng trình chuyӇn ÿӝng

dv
Fm qvB
dt

G
GG
G
(1)
ĈiӅu này có nghƭa là
F
G
luôn vuông góc vӟi v
G
, tӭc F.v 0
G
G
hay
dv
m.v0
dt

G
G

hay
2
dv
0
dt
o
22
0
vconstv
tӭc là
0
vv .

a, Lҩy ÿҥo hàm cӫa tích
vr
GG
. ta ÿѭӧc

2
ddv
(r.v) v r
dt dt

G
GG
G

Theo (1) và theo biӇu thӭc cӫa cҧm ӭng tӯ
B
G

, ta có

3
dv q kq
rr(vB)r(vr)
dt m mr
 
G
G
GG GG
GG

Vì
)( rvr
G
G
G
A nên suy ra 0).(  Bvr
G
G
G
.
from:


này có nghy có ngh
fr
2
dvd
00

dtdt

oo
DAYHOCVATLI.NET
) là ) là
B
mm
ӝӝ
t ht h
ҥ
t
ÿÿ
ii
Ӌ
Ӌ
i i
00
OM .OM .
00
B B
ӓӓ
hông hôn
ÿәÿә
i trêi trê
c
ӫӫ
a tích vô ha tích vô
an cn c
ӫӫ
a bình pa bình

ұұ
p bp
ұұ
ӣӣ
ii
v
G
vàvà
r
G
HO
HO
00
2r2r
00
.
hàm theo thhàm theo t
uy ra quuy ra qu
ӻӻ
ÿ
c
ӫӫ
a hình nóa hình n
ѫ
ng trình chng trình



15
Theo câu 1,

0
vv , nên cuӕi cùng ta có
2
0
d
(r.v) v
dt

G
G
. Lҩy tích phân này ta ÿѭӧc:
2
01
r.v v t C 
G
G
vӟi C
1
là mӝt hҵng sӕ. Dùng ÿiӅu kiӋn ban ÿҫu, tҥi t = 0,
r.v 0
G
G
(vì
00
vr
G
G
A ) suy ra C
1
= 0. KӃt quҧ ta ÿѭӧc:

2
0
r.v v t
G
G
(2)
* ĈӇ xác ÿӏnh
r(t), ta viӃt phѭѫng trình (2) dѭӟi dҥng:

2
0
dr
2r 2v t
dt

G
G
hay
2
2
0
dr
2v t
dt

Lҩy tích phân ta ÿѭӧc:
222
02
rvtC .

Vì tҥi
t = 0,
0
rr , suy ra
2222
00
rvtr  (3)
Vұy
2
r là hàm bұc nhҩt cӫa bình phѭѫng thӡi gian.
* HӋ thӭc (2) có thӇ viӃt lҥi dѭӟi dҥng
2
00
rv cos v tT hay
o
vt
cos
r
T . Suy ra

2
2
222
0
1r
tan 1 1
cos v t
T  
T

Theo (3), cuӕi cùng ta ÿѭӧc


22 2 2
2
00 0
22 22
00
vt r r
tan 1
vt vt

T 

0
o
v
cot t
r
T
(4)
Nhѭ vұy,
cot T là hàm tuyӃn tính cӫa thӡi gian, tăng tӯ 0 ÿӃn
f
trong suӕt quá
trình chuyӇn ÿӝng, tӭc là góc
T
giҧm tӯ 2/
S

tӟi 0; do ÿó, vұn tӕc ban ÿҫu vuông
góc vӟi vectѫ bán kính rӗi dҫn dҫn ÿӏnh hѭӟng theo hѭӟng cӫa
r
G
.

b)
0
r2r
tҥi thӡi ÿiӇm t sao cho, theo (3),
00
vt r . Thay vào (4), ta ÿѭӧc
cot 1T , suy ra
0
45T .
3. Tính ÿӃn (1) và chú ý rҵng
dr
vvv0
dt
 
G
GGG
, ta có:

3
ddrdvdvq kq
(r v) v r r r (v B) r (v r)
dt dt dt dt m mr
     
G

GG
G
GGGG GG
GG G G


Theo hӋ thӭc gӧi ý trong ÿӅ bài
2
r (v r) v.r r.(v.r) 
GG GG
GG G
, ta
có:

22
d kq v r r kq 1 dr r dr
(r v) v.
dt m r r r m r dt r dt
§·
§· ª º
  
¨¸
¨¸
«»
©¹ ¬ ¼
©¹
GG GG
G
G
GG

C
kq
m

00
rv
D
Hình 5
uy ra
ra
h
ÿӃӃ
n (1) và
n (1) và

f
dd
(r(r
t
((
v
DAYHOCVATLI.NET
N
oo
vtvt
o
os
rr
T T

. Su. S



cotco
tính cính c
ӫӫ
a tha th
góc óc
TT
gi
ҧҧ
mm
h rr
ӗӗ
i di d
ҫҫ
n dd
ҫҫ
th
th
ӡӡ
i
ÿÿ
ii
ӇӇ
mm
00
4545

16
vỡ
rdr
v.
rdt

G
G
- õy chớnh l thnh phn ca vn tc theo phng bỏn kớnh vect.
Lu ý rng
2
1dr r dr d r
r dt r dt dt r
êĐã

ăá
ôằ
ơẳâạ
GG G
, suy ra

2
dkq1drrdrkqdr
(r v)
dt m r dt r dt m dt r
êĐã

ăá
ôằ

ơẳâạ
GG G
G
G

Ly tớch phõn hai v, ta c:

kq r
rv C
mr

G
G
G
G
(5)
Trong ú
C
G
l mt vect khụng i, cú ln tớnh c t
hỡnh bờn (dựng (5) v iu kin ban u ti
t = 0,
0
rr v
0
vv ).
Theo nh lý Pitago:

2
2

00
kq
C(rv)
m
Đã

ăá
âạ
(6)
Theo tớnh cht ca tớch hu hng v (5)

kq kq
r(r v) 0 r C.r r Ccos
mm
Đã
M
ăá
âạ
G
GG G
G

Vi
M
l gúc to bi vect C
G
v vect r.
K
T phng trỡnh trờn suy ra:

kq
cos const
mC
M
(7)
Nh vy trong sut quỏ trỡnh ht chuyn ng gúc
M luụn khụng i, iu ny cú
ngha l qu o ca ht nm trờn mt mt nún nh O, cú trc song song vi
vect
C
G
v na gúc nh D SM.
Theo (6) v (7), ta cú
2
00
kq 1
cos cos
mC
mr v
1
kq
D M
Đã

ăá
âạ

Hay n gin hn:
00
mr v

tan
kq
D

IV. H TO CC TRONG TON HC
4.1.H ta cc:
Trong toỏn hc
, h ta cc l mt h
ta hai chiu trong ú mi im
M bt
k trờn mt mt phng
c biu din
bng 2 thnh phn:
+Khong cỏch
t im ú ti mt im
gc O (
gc Cc) gi l bỏn kớnh.
+Gúc
to bi ng thng OM vi
hng gc cho trc (
trc Cc).
from:
n gii

n hn h

n
n
IV. H. H

TO TO


4.1.H4.1.H

rong
ong
DAYHOCVATLI.NET
(6) (6
ãã
á
ã
MM
ạạ
áá
á
MM
s
TT

phph

ng
kqkq
constco
qq
mCmC
qq
CC

t chuych

n n


m trờn mm trờn m


nh n
D SD S
cú



17
+ HӋ tӑa ÿӝ cӵc hӳu ích trong nhӳng trѭӡng hӧp trong ÿó quan hӋ giӳa hai
ÿiӇm dӉ ÿѭӧc viӃt dѭӟi dҥng góc và khoҧng cách. Trong các hӋ tӑa ÿӝ thông
thѭӡng nhѭ hӋ tӑa ÿӝ Descartes
, quan hӋ này chӍ có thӇ ÿѭӧc biӇu diӉn dѭӟi
dҥng công thӭc lѭӧng giác
.
+Các ÿiӇm trong hӋ tӑa ÿӝ cӵc vӟi gӕc Cӵc
O và trөc Cӵc L. Vӟi minh hӑa
màu xanh lá cây ÿiӇm (màu ÿӓ) có bán kính 3 và góc 60 ÿӝ, hoһc (3,60°). Vӟi
minh hӑa màu xanh da trӡi ÿiӇm có tӑa ÿӝ (4,210°).
+Tích hӳu hѭӟng cӫa hai véc tѫ trong hӋ toҥ ÿӝ cӵc:
rzz zrrzzr r
c a b c ab ab;c ab ab;c ab ab
TTT TT
   

GGG

4. 2.Trong hӋ toҥ ÿӝ cӵc các ÿҥi lѭӧng Vұt Lý ÿѭӧc biӇu diӉn nhѭ sau:

,
'
r
ee
T
T
GG
;
,
z
e0
;
,'
r
ee
T
T
G
G
;
r
rre
GG
;
''
r

v r .e r. .e
T
T
JGG
G
;
2
'' ' ' ' ' '' '2
rr
'' ' ' ' ''
r
a r .e r . .e r . .e r. .e r. .e
(r r. )e (2r r. )e
TTT
T
TTTT
T  TT
JGGGG G
G
GG

'
r
vr
;
'
vr.
T
T

'' ' 2
r
arr() T
:
'' '' 2'
1d
a2.r.r. .(r.)
rdt
T
TT T

+Các biӇu thӭc ÿӏnh luұt II NiuTѫn:
F=m.a
r
;
Fma
TT

; tӯ ÿó ta ÿѭӧc:
'' ' 2 ' ' ''
r
Fmrr();Fm(2r. r.)
T
ªº
T TT
¬¼

'' ' 2 ' ' ''
r
FF.e mr r() F;2r r. 0

ªº
 T TT
¬¼
G
G


ÁP DӨNG Hӊ TOҤ ĈӜ CӴC CHO VҰT LÝ THӆ HIӊN QUA BÀI TҰP


Bài ch͕n ĈT Ôlympíc Qu͙c T͇ 2009:
Trong mһt phҷng Oxy ngѭӡi ta ÿһt cӕ ÿӏnh
tҥi gӕc toҥ ÿӝ O mӝt lѭӥng cӵc ÿiӋn có
momen lѭӥng cӵc
p
G
. Véc tѫ p
G
nҵm trên trөc
Ox và hѭӟng theo chiӅu dѭѫng cӫa Ox (Hình
1). Mӝt hҥt nhӓ khӕi lѭӧng m, ÿiӋn tích q
chuyӇn ÿӝng ӣ vùng xa gӕc O trong mһt
phҷng dѭӟi tác dөng cӫa ÿiӋn trѭӡng gây bӣi
lѭӥng cӵc. Bӓ qua tác dөng cӫa trӑng lӵc và
lӵc cҧn. Xét chuyӇn ÿӝng cӫa hҥt trong hӋ
toҥ ÿӝ cӵc. Vӏ trí M cӫa hҥt ӣ
thӡi ÿiӇm t

T

y
r
G

p
G

O

M
.

Hình 1
x
T

z
r
G

O

.
y
p
x
from:
H
ch
͕͕

n n
ĈĈ
T ÔT Ô
Trong mrong m
һһ
t
t
t
ҥҥ
i gi g
ӕӕ
c tct
ome
om
DAYHOCVATL
''
r. ))
''
r.
uTuT
ѫѫ
n: n
a
ÿѭӧÿѭӧ
c:c
r
FF
r
;;
ºº

2
F;2rF;2
2
¼¼
())
))
))
2
ӊӊ
TOTO
ҤҤ
Ĉ
TLI.NET
hh
ѭѭ
sau:
sau
ѭ
rr
G
O
TL
x x


18
ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi véctѫ rOM
JJJJG
G
và góc


OM, pT
JJJJG
G
.
1. Chӭng minh rҵng chuyӇn ÿӝng cӫa hҥt tuân theo các phѭѫng trình vi
phân sau:



2
2
0
2
0
qpsin
r'' 1
4mr
2W
r' rr" 2
m
T

T
°
SH
°
®
°


°
¯

Trong ÿó W
0
là năng lѭӧng ban ÿҫu cӫa hҥt.
2. BiӃt tҥi thӡi ÿiӇm t = 0 hҥt ӣ vӏ trí M
0
có
  
''
0000
r0 r; 0 ;r'0 r; (0) .
c
T T T T Hãy xác ÿӏnh khoҧng cách r(t) tӯ hҥt tӟi gӕc
O theo t.
3. Tìm các ÿiӅu kiӋn ÿӇ hҥt chuyӇn ÿӝng theo quӻ ÿҥo là cung tròn tâm O bán
kính r
0
. Tính chu kì và tӕc ÿӝ góc cӵc ÿҥi cӫa hҥt. Mô tҧ chuyӇn ÿӝng cӫa hҥt
trong hai trѭӡng hӧp: q > 0 và q < 0.
Cho
/2
0
d
2,62
cos
S
T
|

T
³
.

Giҧi: 1.Xác ÿӏnh ÿiӋn trѭӡng gây bӣi lѭӥng
cӵc ÿiӋn ӣ ÿiӇm xa O. Gӑi q
0
là ÿiӋn tích lѭӥng cӵc
và
l là khoҧng cách giӳa 2 ÿiӋn tích cӫa lѭӥng cӵc
thì p = q
0
l.

ĈiӋn thӃ
00
21
01 2 0 21
qq
11 rr
() ()
4rr4 rr

M 
SH SH

Coi (r
2
-r
1

) | lcosT ; r
1
| r
2
| r ; q
0
l = p
00
21
22
021 0 0
qqlcos
rr pcos
()
4rr4r4r
T

T
M |
SH SH SH

r
3
0
dpcos
E
dr 2 r
MT

SH

3
0
d1dpsin
E
ds r d 4 r
R
KKR
RQF
  

Trong hӋ tӑa ÿӝ cӵc
r
33
00
pcos psin
Eee
2r 4r
T
TT

SH SH
JG J G JJG

Phѭѫng trình chuyӇn ÿӝng cӫa ÿiӋn tích trong ÿiӋn trѭӡng trên có dҥng:
r
33
00
qpcos qpsin
ma qE e e

2r 4r
T
TT

SH SH
GJG JG JJG
(*)
vӟi
r
e
G
, e
T
G
là các véc tѫ ÿѫn vӏ.
Trong tӑa ÿӝ cӵc, chú ý rҵng:
r
vr'e r'e,
T
T
GJG JJG
r
de
'e
dt
T
T
G
G
;

r
de
'e
dt
T
T
G
G
,
r
e
G

e
T
G

Hình 1
r
1

r
2

T
dT
ds
M
p
G

from:
1
1
m:
3
0
dr 2 r2r
0
MT
pcospco

SHS
dd
EE
dsds
RR
KK
 
DAYHOCVATLI.NET
tt
ӯӯ
tt
hh
ӯӯ
ҥҥ
t t
ӟ
cung tròn tcung tròn t
tt

ҧ
chuyhuy
ӇӇ
n
b
ӣӣ
i li l
ѭӥѭӥ
ng
ích lích l
ѭӥѭӥ
ng cng
ch cc
ӫ
a ll
ѭӥѭ
n
01 21
111
qq
rrrr
())
)
())
H
01 21
rrrr
01 21
; r
11

||
r r
22
||
2
00
qlq
cc
oo
s
qlq
0
cc
oo
ss
4r4r
2
TT
||
0
0
0
00
rr
00


19
ta có:


r
r
de
dedv
ar''er'r''er'
dt dt dt
T
T
 T T
G
G
G
GJG JJG

2
rr
r''e r' 'e r ' 'e r( ') e
TT
TTT
JG JJGJJGJG

hay

22
r
dv 1
ar''r'er''e
dt r
T

T  T
G
GJGJJG
(**)
Tӯ (*) v à (**) suy ra

2
3
0
qpcos
r" r ' 1
2mr
T
T
SH



2
2
0
qpsin
r'' 2
4mr
T
T
SH

Tӯ ÿӏnh luұt bҧo toàn năng lѭӧng:


2
0
1
mv q r const W
2
M


222
0
2
0
1 qpcos
mr' r ' W
24r
T
T
SH



222
0
2
0
2W
qpcos
r' r ' 3
2mr m
T

T
SH

Tӯ (1) và (3) ta có:

2
0
2W
r' rr" 4
m


2. Ĉһt
 
22
u t r t u' 2rr' u" 2rr" 2r' o o 
Thay vào phѭѫng trình (4) có:
2
00 0
112
2W 4W 2W
1
u" u' t C u t C t C
2m m m
  

Hay

22
0

12
2W
rt t Ct C
m


Tӯ các ÿiӅu kiӋn ban ÿҫu tìm ÿѭӧc:
0
'2
1002
2r ;CrCr
Vұy:
 
0
22'2
0
00
2W
rt t 2rrt r 5
m



KӂT LUҰN
Chѭѫng trình giҧng dҥy và bӗi dѭӥng HSG cӫa chúng tôi trong nhӳng
năm qua ÿã ÿáp ӭng ÿѭӧc yêu cҫu nên kӃt quҧ thi HSG môn Vұt Lý cӫa trѭӡng
THPT chuyên Phan Bӝi Châu không nhӳng dӳ vӳng ÿѭӧc mà không ngӯng lӟn
mҥnh. ĈӅ tài chúng tôi ÿѭa ra là mӝt phҫn trong nӝi dung cҫn trang bӏ cho HS
chuyên Lý ÿӇ các em vѭӧt qua các bài Vұt Lý ngày càng khó hѫn trong các kǤ
thi HSG ÿӗng thӡi giúp các em vӯa hӑc tӕt Vұt Lý vӯa ôn tұp mӝt sӕ

nӝi dung
Toán và thҩy ÿѭӧc sӵ liên hӋ mұt thiӃt h
ai bӝ môn này.
Do thӡi gian hҥn chӃ nên ÿӅ tài không tránh khӓi nhӳng khiӃm khuyӃt, chúng
tôi mong nhұn ÿѭӧc các góp ý cӫa ÿӗng nghiӋp ÿӇ hoàn thiӋn ÿӅ tài này tӕt hѫn.
PHͬ LͬC
from:
m
m
T LULU
ҰҰ
N N
ChCh
ѭѫѭ
nn
ăă
m quam qu
P
P
DAYHOCVATLI.NET
22
2r'
rr"r"
0
1
2WW
0
0
0
m

1
uuu
1
122
CC
1
tt
1
ban
ÿҫÿҫ
u tìmu tìm
22
W
W
t2t
22
2
t2t2
222


20

1. BÀI KHAI TRIӆN
Bài 2:(Câu 5 – Ch͕n ĈTQT năm 2011 ngày 2)
Xác ÿӏnh hӋ sӕ ma sát trѭӧt và
hӋ sӕ cҧn.
Xét chuyӇn ÿӝng cӫa tҩm nhӵa trên mӝt mһt bàn nҵm nhang, ngѭӡi ta thҩy
trong quá trình chuyӇn ÿӝng tҩm nhӵa chӏu tác dөng cӫa lӵc ma sát trѭӧt(hӋ sӕ
ma sát trѭӧt

D
) và chӏu lӵc cҧn cӫa môi trѭӡng tӹ lӋ thuұn vӟi vұn
tӕc(
,
c
f
v
E
E

G
G
là hӋ sӕ cҧn). Coi va chҥm trong quá trình làm thí nghiӋm (nӃu
có) là va chҥm hoàn toàn ÿàn hӗi.
Cho các dөng cө sau:
-Vұt nhӓ có khӕi lѭӧng m ÿã biӃt.
-Thѭӟc ÿo có vҥch chia ÿӃn milimét.
-Các sӧi dây mӅm, mҧnh, nhҽ.
-Tҩm nhӵa phҷng hình chӳ nhұt.
-Bàn thí nghiӋm, giá ÿӥ, giá treo cҫn thiӃt.
Yêu cҫu:
Trình bày cѫ sӣ lý thuyӃt và xây dӵng các công thӭc cҫn thiӃt ÿӇ xác ÿӏnh hӋ sӕ

ma sát trѭӧt
D
giӳa tҩm nhӵa vӟi mһt bàn và hӋ sӕ cҧn
E
cӫa môi trѭӡng khi
tҩm nhӵa chuyӇn ÿӝng.

Giҧi:
Cҫn tҥo ÿѭӧc vұn tӕc cӫa tҩm và xác ÿӏnh ÿѭӧc khӕi lѭӧng M cӫa tҩm nhӵa.
Tҥo vұn tӕc cho vұt m bҵng chuyӇn ÿӝng trong trѭӡng trӑng lӵc rӗi cho va chҥm
vào M.
Ĉӝ cao ban ÿҫu cӫa m so vӟi vӏ trí va chҥm là h thì vұn tӕc cӫa nó ngay trѭӟc
lúc va chҥm là:
1
2vgh
(1)
Va chҥm ÿàn hӗi giӳa m và M sӁ cho ta vұn tӕc M ngay sau va chҥm:

21
2m
vv
M
m



Phѭѫng trình chuyӇn ÿӝng cӫa vұt M vӟi vұn tӕc ÿҫu v
2
và chӏu lӵc cҧn ma sát
trѭӧt và lӵc cҧn môi trѭӡng.
/
M
a MgvMdvdt Mgv
D
EDE
    
Ĉәi biӃn u =

D
Mg+
E
v, giҧi phѭѫng trình vi phân ta có:
00
ut
ut
du 1
dt
dt

E
³³
vӟi u
0
= u
=
D
Mg+
E
v
2
,

ta ÿѭӧc v =
t
M
2
Mg Mg
ve

E
§·
DD

¨¸
EE
©¹
(3)
Thӡi gian tҩm ván chuyӇn ÿӝng ÿӃn lúc v = 0 là:
2
1
v
M
tln(1 )
Mg
E

ED
(4)
àn h
h
ӗ
1
2
m
v
1
M
mm


h
ѭѫѫ
ng trìnhng trìn
tr
tr
ѭӧѭӧ
rr
r
t và lt và l
a
DAYHOCVATLI.NET
công thcông th
ӭӭ
c c
bàn và hbàn và h
ӋӋ
ҩ
m và xác m và xác
ÿÿ
ng chuyg chuy
ӇӇ
n n
ÿ
ӫ
a m so vm so v
ӟ
D
DA
11

vghvgh
11
22
gigi
ӳӳ
aa


21
Quãng ÿѭӡng tҩm ván trѭӧt ÿѭӧc là:
11
tt
t
22
M
2
2
00
Mv v
Mg Mg Mg
s vdt v e dt 1 ln(1 )
vMg
E
ªº
ªº
§·
E
DD D
   
«»

«»
¨¸
EEEED
©¹
¬¼
¬¼
³³
(5)
Khai triӇn:
2
v
ln(1 )
Mg
E

D
thành ÿa thӭc:
3
xx
ln(1 x) x
23
|

Ta ÿѭӧc
23
22
22
vv
s
2g 3 Mg

E

DD

Nhѭ vұy viӋc ÿo khoҧng cách dӏch chuyӇn cӫa tҩm ván theo chiӅu cao cӫa vұt
m lúc ÿҫu ta có thӇ xác ÿӏnh ÿѭӧc
D
và E
2. BÀI LIÊN QUAN ĈӂN PHѬѪNG TRÌNH VI PHÂN
Bài 1:(Ch͕n ĈT Ôlympic Qu͙c T͇ 2001)Hai ÿѭӡng ray dài ÿiӋn trӣ không
ÿáng kӇ ÿһt cӕ ÿӏnh trong mӝt mһt
phҷng nҵm ngang, song song vӟi nhau
và cách nhau mӝt khoҧng l. Ngѭӡi ta
ÿһt vuông góc vӟi hai ÿѭӡng ray hai
thanh dүn ÿiӋn có ÿiӋn trӣ mӛi thanh là
2
R
. Khӕi lѭӧng mӛi thanh là m. Các
thanh có thӇ trѭӧt không ma sát trên
hai ÿѭӡng ray. Mӛi thanh ÿѭӧc gҳn vào mӝt lò xo có ÿӝ cӭng k, có tác dөng kéo
nó vӅ vӏ trí cân bҵng. HӋ ÿѭӧc ÿһt trong mӝt tӯ trѭӡng ÿӅu B vuông góc vӟi mһt
phҷng cӫa hai ÿѭӡng ray.
Hãy khҧo sát chuyӇn ÿӝng cӫa hai thanh và giҧi thích các kӃt quҧ.
Gͫi ý: - BiӇu diӉn tӑa ÿӝ tӭc thӡi cӫa các thanh bҵng
1
s
t
x
e
D

và
2
s
t
x
e
E
.

Giҧi: Hai thanh dүn ÿiӋn cùng vӟi hai ÿѭӡng ray tҥo thành mӝt mҥch ÿiӋn
kín, có ÿiӋn trӣ R. Khi hai thanh chuyӇn ÿӝng tӯ thông qua mҥch biӃn thiên.
Trong mҥch xuҩt hiӋn suҩt ÿiӋn ÿӝng và dòng ÿiӋn cҧm ӭng, ÿӗng thӡi cNJng có
lӵc ÿiӋn tӯ tác dөng lên các thanh.
Suҩt ÿiӋn ÿӝng cҧm ӭng là
d
e
dt
)

, vӟi
21
()dBldxdx) 
Nên:
21
dx dx
eBl
dt dt
§·
 
¨¸

©¹

Cѭӡng ÿӝ dòng ÿiӋn:
2
,,
12
1
()
dx dxeBl Bl
I
xx
R R dt dt R
§·
 
¨¸
©¹
.
Lӵc ÿiӋn tӯ tác dөng lên các thanh là:
22
,,
112
()
Bl
Fxx
R
 
Do ÿó:
m
R/2
I

1
R/2
m
B
G
2
x
Hình1
from:
tr
ҥ
ch xuh xu
ҩ
t
Ӌ
n tt
ӯӯ
tác d tác d
SuSu
ҩ
t t
ÿÿ
ii
ӋӋ
n n
ÿӝÿӝ
ên:
n:
DAYHOCVATLI.NET
ài i

ÿÿ
i
ӋӋ
n trn
ӣӣ
k
ӣӣ
rên n
ҳҳ
n vào mn vào m
ӝӝ
tt
c
ÿһÿһ
t trong mt trong
ÿӝÿӝ
ng cng
ӫӫ
a ha
ӑ
a a
ÿӝÿӝ
t
ӭ
c thcth
hanh dhanh d
үү
n n
ÿ
i

R. KhR. Kh
N
AT
T
T
TL
I
BB
G


22

22
,, , ,
112101
22
,, , ,
212202
()( )
()( )
Bl
mx x x k x x
R
Bl
mx x x k x x
R
   


NӃu chӑn vӏ trí cân bҵng cӫa các thanh tҥi các ÿiӇm có tӑa ÿӝ
01 02
0xx thì:

22 22
,, , ,
11 1 2,
22 22
,,, ,
122 2
0
0
Bl Bl
mx kx x x
RR
Bl Bl
xmxkx x
R
R
 

(a)
Tìm nghiӋm dѭӟi dҥng
12
;
s
tst
x
ex e
D

E


Thay vào (a) ta có:

22 22
2
22 22
2
()()0
()( )0
Bl Bl
ms k s s
RR
Bl Bl
smsk s
R
R
DE
DE
 

(b)
Ĉây là hӋ phѭѫng trình cho hai ҭn sӕ
D
và
E
. NghiӋm tìm ÿѭӧc khác không nӃu
các hӋ sӕ cӫa ҭn sӕ thӓa mãn ÿiӅu kiӋn:
22

22 22
2
0
Bl Bl
ms k s s
RR
§·§·
 
¨¸¨¸
©¹©¹

Tӭc là:

22 22
2
B
lBl
ms k s s
R
R
 r
Rút hai trѭӡng hӧp:
2
0ms k (1)

222
2
0
ms B l s k
R


(2)
Tr˱ͥng hͫp 1:
Thay (1) vào hӋ phѭѫng trình (b), ta có
D
E

, tӭc là
12
x
x . Tӯ (a), ta thu ÿѭӧc
phѭѫng trình mô tҧ dao ÿӝng cӫa hai thanh vӟi tҫn sӕ góc
k
m
Z
; tҫn sӕ này do
ÿӝ cӭng k cӫa lò xo và khӕi lѭӧng m cӫa thanh quyӃt ÿӏnh. Trong trѭӡng hӧp
này hai thanh dao ÿӝng cùng pha vӟi cùng biên ÿӝ. Vì vұy ÿiӋn tích cӫa mҥch
không thay ÿәi theo thӡi gian và trong mҥch không có dòng ÿiӋn cҧm ӭng. Dao
ÿӝng không tҳt dҫn (vì không có ma sát).
Tr˱ͥng hͫp 2:
Thay (2) vào (b) ta có
D
E
 , do ÿó
12
x
x  , tӭc là hai thanh dao ÿӝng ngѭӧc
chiӅu nhau. DiӋn tích cӫa mҥch thay ÿәi, trong mҥch có dòng ÿiӋn cҧm ӭng.
from:

sk
k
sk
k
ng hh
ͫͫ
p 1: p 1:
ͫͫ
hay (1) vào (1) vào
phph
ѭѫѭѫ
ng ng
DAYHOCVATLI.NET
NghiNgh
ӋӋ
m tìmm tìm
(1) (1)



23
Giҧi (2), tìm s. BiӋt sӕ cӫa phѭѫng trình bұc 2 là
44
,
2
.
Bl
mk
R
' 

a- NӃu
,
0'! , tӭc là
44
,
2
0
Bl
mk
R
'  ! , s có hai giá trӏ:
22 44
2
.
Bl Bl
mk
RR
s
m
r 



Hai nghiӋm này ÿӅu âm, vì vұy chúng mô tҧ sӵ giҧm ÿӝ lӋch
1
x
và
2
x
theo hàm

mNJ (không có dao ÿӝng). Ĉây là trѭӡng hӧp tӯ trѭӡng mҥnh.
b- NӃu
,
0' , ӭng vӟi các tӯ trѭӡng yӃu, các nghiӋm là
22 44
22
B
lkBl
si
R
mmRm
 r  (i
là ÿѫn vӏ ҧo). Các ÿӝ lӋch
1
x
và
2
x
ÿӅu có dҥng tích cӫa mӝt hàm dao ÿӝng vӟi
mӝt hàm mNJ âm. Ĉó là mӝt dao ÿӝng tҳt dҫn.
Vì
1
x
=
2
x
nên ÿiӋn tích cӫa mҥch biӃn thiên theo thӡi gian và trong mҥch có
dòng ÿiӋn cҧm ӭng. Vì mҥch có ÿiӋn trӣ, nên có sӵ toҧ nhiӋt. Do ÿó ÿӝng năng
cӫa hai thanh giҧm dҫn. Tӯ trѭӡng càng mҥnh, dòng cҧm ӭng càng lӟn, năng
lѭӧng giҧm càng nhanh. ĈӃn mӝt giá trӏ cҧm ӭng tӯ ÿӫ lӟn, thì hai thanh không

dao ÿӝng mà dӏch chuyӇn ÿѫn ÿiӋu vӅ v
ӏ trí cân bҵng.





















from:
DAYHOCVATLI.NET
T
T
mRm



m dao m da
ÿӝÿӝ
n
n
gian và troan và tr
to
ҧ
nhinhi
ӋӋ
t. D.
dòng cdòng c
ҧҧ
m m
ӭ
ӭӭ
ng tng
ӯӯ
ÿӫÿӫ
l
ӟ
cân bcân b
ҵҵ
ng. ng




24
Tham luұn:
KINH NGHIӊM BӖI DѬӤNG KIӂN THӬC PHҪN VҰT LÝ

HIӊN ĈҤI
Tr˱ͥng THPT Chuyên B̷c Ninh

Vұt lý hiӋn ÿҥi
là mӝt trong nhӳng phҫn hӑc mӟi trong chѭѫng trình vұt
lý phә thông trong mҩy năm hӑc gҫn ÿây. Do ÿó viӋc dҥy hӑc và bӗi dѭӥng kiӃn
thӭc phҫn này hӑc sinh còn gһp nhiӅu khó khăn hѫn so vӟi các phҫn hӑc khác.
Hѫn nӳa phҫn hӑc ÿòi hӓi hӑc sinh có nhӳng nhìn nhұn, ý tѭӣng vӅ thӃ giӟi
khác vӟi kinh nghiӋm thѭӡng ngày cӫa các em nhѭ: s
ӵ co lҥi cӫa chiӅu dài hay
sӵ trôi chұm cӫa thӡi gian trong thuyӃt tѭѫng ÿӕi, mӑi vұt chҩt ÿӅu có lѭӥng
tính sóng hҥt,… Khi mà trong ÿӅu các em hӑc sinh còn băn khoăn liӋu lý
thuyӃt ÿҩy có ÿúng hay không thì viӋc tiӃp thu nhӳng bài hӑc tiӃp the
o
và vұn
dөng làm bài tұp khó khăn. Thêm vào ÿó là sӵ phӭc tҥp cӫa kiӃn thӭc toán trong
phҫn này thì viӋc hiӇu và vұn dөng cӫa các em càng tr
ӣ lên khó khăn hѫn. Do
vұy, cҫn làm
cho hӑc sinh làm chӫ ÿѭӧc nhӳng tѭ tѭӣ
ng cѫ bҧn cӫa vұt lý hiӋn
ÿҥi và ÿѫn giҧn hóa kiӃn thӭc và các biӇu thӭc toán ÿӇ dҫn dҫn hӑc sinh có thӇ
nҳm vӳng phҫn này.
Trong bài báo cáo này sӁ ÿi sâu vӅ mӝt phҫn là: ThuyӃt tѭѫng ÿӕi hҽp.
Mӝt phҫn mӟi trong chѭѫng trình vұt lý phә thông và khá trӯu tѭӧng và khó
hiӇu ÿӕi vӟi hӑc sinh.Cái khó hiӇu trong phҫn này không chӍ là toán hӑc mà nó

còn thay ÿә
i quan niӋm cӫa con ngѭӡi vӅ không gian và thӡi gian.
Lý thuyӃt tѭѫng ÿӕi hҽp dӵa trên hai tiên ÿӅ mà khi ÿӑc hai tiên ÿӅ thì chӍ có

hӑc sinh mà mӑi ngѭӡi thѭӡng phê phán và tӵ nhӫ là chúng có ÿúng không? Tҥi
sao lҥi thӃ nhӍ?
Do ÿó ÿӇ hӑc sinh có thӇ làm chӫ ÿѭӧc tѭ tѭӣng cѫ bҧn cӫa lý thuyӃt tѭѫng
ÿӕi
khi bҳt ÿҫu dҥy phҫn này yêu cҫu hӑc sinh;

- Hãy tҥm thӡi chҩm nhұn các ti
ên ÿӅ ÿó
- xét nhӳng hӋ quҧ suy ra tӯ các tiên ÿӅ ҩy
- xét sӵ phù hӧp hoàn toàn cӫa các hӋ quҧ ҩy vӟi thӵc nghiӋm
- Sau ÿó mӟi quyӃt ÿӏnh xem còn nghi ngӡ gì chúng hay không
Khi hӑc sinh hiӇu ÿѭӧc lý thuyӃt, yӅu cҫu hӑc sinh áp dөng làm các bài tұp tӯ
ÿѫn giҧn áp dөng các công thӭ
c sau ÿó nâng cao dҫn lên: bài tұp vұn dөng và
suy luұn hiӇu biӃt…
Nhӳng nӝi
dung cѫ bҧn cӫa th
uyêt tѭѫng ÿӕi cҫn cung cҩp cho hӑc sinh
và nhӳng bài tұp ban ÿҫu ÿӇ hӑc sinh có thӇ vұn dөng ÿӇ hӑc và hiӇu lý thuyӃt
tѭѫng ÿӕi

from:
u d
ҥҥ
y ph
y
t
ҥ
m thm th
ӡӡ

i chi ch
ҩ
ét nhnh
ӳӳ
ng hng h
ӋӋ
- xét s
- xét s
ӵӵ
phph
ӵӵ
Sau Sau
ÿÿ
DAYHOCVATLI.NET
hihi
ӅӅ
u dà
u
ҩҩ
t t
ÿӅÿӅ
u có l
có
bb
ăă
n khon kho
ăă
ài hh
ӑӑ
c tic ti

ӃӃ
p p
ҥ
p cc
ҥ
ӫӫ
a kia ki
ӃӃ
nn
àng tràng tr
ӣ
lên lên
ӣ
g tt
ѭѭ
tt
tt
ѭ
ѭӣѭӣ
tt
t
ng g
hh
ӭ
c toán c toán
ÿӇӇ
âu vâu v
Ӆ
m
ӝӝ

tt
nh vnh v
ұұ
t lý pht lý p
hih
ӇӇ
u trong u tron
a con nga con ng
ѭӡѭӡ
i
ҽҽ
p dp d
ӵӵ
a trên trê
g
ѭӡѭӡ
i thi th
ѭӡӡ
ngng

inh có thinh có th
ӇӇ
ҫҫ
n


25
A.Lý thuyӃt
I. Hai tiên ÿӅ cӫa Anhxtanh
1. Tiên ÿӅ 1

: Nói vӅ sӵ không ÿәi cӫa vұn tӕc ánh sáng
Ánh sáng truyӅn trong chân không vӟi vұn tӕc không ÿәi bҵng c và không phө
thuӝc vào vұn tӕc nguӗn phát ánh sáng và máy nhұn ánh sáng.
2. Tiên ÿӅ 2: Nói vӅ sӵ tѭѫng ÿѭѫng cӫa các hӋ quy chiӃu quán tính
Các hiӋn tѭӧng vұt lý (bao gӗm các hiӋn tѭӧng cѫ hӑc và hiӋn tѭӧng ÿiӋn tӯ)
ÿӅu diӉn ra theo mӝt quy luұt nhѭ nhau trong các hӋ quy chiӃu quán tính
Theo Anhxtanh, ÿây là các sӵ kiӋn thӵc nghiӋm, ta không nên cӕ gҳng giҧi thích
tҥi sao mà phҧi xác ÿӏnh và quan tâm ÿӃn các hӋ quҧ cӫa nó. Mӝt trong nhӳng hӋ
quҧ ÿáng ngҥc nhiên nh
ҩt là tính ÿӗng t
h
ӡi cӫa hai sӵ kiӋn chӍ là tính tѭѫng ÿӗi.
II. ThuyӃt phôtôn
NhiӅu thí nghiӋm liên quan ÿӃn các hҥt cѫ bҧn và liên quan ÿӃn áp suҩt ánh sáng
cho thҩy các phôtôn xӱ sӵ nhѭ nhӳng hҥt có năng lѭӧng
H=hf và ÿӝng lѭӧng
p=
H/c=h/O vӟi f=c/O
III. Các hӋ quҧ
1. HӋ quҧ 1
. Sӵ co chiӅu dài cӫa mӝt vұt (theo phѭѫng chuyӇn ÿӝng)
* ChiӅu dài riêng là l
0
: là chiӅu dài ÿѭӧc ngѭӡi quan sát ÿo khi vұt ÿӭng yên so
vӟi ngѭӡi quan sát ÿó

* ChiӅu dài l cӫa vұt khi chuyӇn ÿӝng vӟi vұn tӕc v (cӥ vұt tӕc ánh sáng)
Ĉһt
c
c

v

E
, 1
1
1
2
!


E
J
=>
2
0
0
1
E
J
 l
l
l
Chú ý: Ĉӕi vӟi phѭѫng vuông góc vӟi phѭѫng chuyӇn ÿӝng không bӏ co lҥi
2. HӋ quҧ 2. Sӵ trôi chұm cӫa thӡi gian trong các hӋ quy chiӃu (HQC) chuyӇn
ÿӝng
*
't
0
(khoҧng thӡi gian riêng) là khoҧng thӡi gian diӉn ra trong hӋ quy chiӃu
chuyӇn ÿӝng và ÿѭӧc ÿo bӣi ÿӗng hӗ ÿӭng yên trong hӋ quy chiӃu ÿó

VD: Mӝt tàu vNJ trө ÿang chuyӇn ÿӝng trong không gian (so vӟi HQC mһt ÿҩt)
thì ÿӗng hӗ ÿeo trên tay nhà du hành chӍ thӡi gian riêng cӫa tàu vNJ trө hay cӫa
HQC gҳn vӟi tàu.
l
0
V=0
/
(Ngѭӡi quan sát)

v
G

/
(Ngѭӡi quan sát)

Phҫn co lҥi khi chuyӇn ÿӝng
l ¨l
from:
Chú ý
hú ý
i qua
q
DAYHO

ұ
t khi chuykhi chuy
ӇӇ
ll
0
HO

OC
OCVATLI.NET
g
g
ong nhong n
ӳ
tính ttính t
ѭѫ
t
ng
ng
an
ÿӃÿӃ
n áp sun áp s
l
ѭӧ
ng ng
H
=hf=hf
theo pheo ph
ѭѫѭѫ
ngn
ӧ
c ngc ng
ѭӡѭӡ
i qui qu
OC
HO
A
A

sát)sát)