PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TẤM PGS TS KS LÊ KIỀU

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TẤM SỬ DỤNG
PHẦN TỬ TƯƠNG THÍCH LCCT12
Lê Kiều
Trường đại học Kiến trúc Hà Nội
VÊn ®Ị:
Bài báo này trình bày một trong nh÷ng cách phân tích động lực học tấm
sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với phần tử tương thích ‘Linear
Curvature Compatible Triangle’ (LCCT12). §ång thêi bµi b¸o còng tr×nh
bµy cách tiếp cận của phần tử LCCT12 với bài toán động lực học ứng
dụng lý thuyết tấm mỏng của Kirchhoff. Các lời giải số về tần số dao
động riêng của một số dạng bài toán tấm minh hoạ hiệu quả sử dụng của
dạng phần tử này.
1. Giới Thiệu
Nghiên cứu về bài toán tấm luôn có ý nghóa lớn lao cho việc ứng dụng
vào các kết cấu ®ang ®ỵc dïng chung quanh chúng ta: sàn nhà, vách, nắp
hoặc đáy bunker, hồ nước… Các tính toán giải tích truyền thống phần lín
dựa trên lý thuyết tấm mỏng của Kirchhoff với giả thuyết về mặt trung
bình không biến dạng đã được phát triển dù rất tốt với các lời giải của
Ritz, Reyleigh, Lévy, Navier… dưới dạng chuỗi nhưng cũng chỉ giới hạn
với một số điều kiện biên nhất đònh và phần lớn chỉ là dùng để tìm ra nội
lực mà thôi. Đối với phân tích động lực học bài toán tấm thì các nghiên
cứu giải tích dựa trên đònh luật Newton, phương trình công ảo… còn hạn
chế hơn nữa vì các khó khăn toán học. Một số các phương pháp xấp xỉ
như phương pháp biến phân, Galerkin… cũng được phát triển để giải
quyết các khó khăn của các phương pháp truyền thống tuy nhiên cũng
gặp phải các khó khăn tương tự. Một số các kết quả có thể tìm trong
[5,11,13]. Cùng với sự phát triển của công nghệ máy tính hiện nay, các
tiếp cận sử dụng phương pháp số như phần tử hữu hạn, phần tử biên,
phương pháp không phần tử (meshless)… đã được nghiên cứu áp dụng và
cho kết quả tốt. Các khó khăn vì khối lượng tính toán nhiều đã được máy
tính với tốc độ và khả năng xử lý cao giải quyết. Trong tất cả các phương

pháp số thì phương pháp phần tử hữu hạn có thể được xem như một công
cụ rất mạnh để giải quyết hầu hết tất cả các bài toán cơ hiện nay đặc biệt
1
là bài toán tấm. Trong phương pháp này bµi to¸n tiếp tục được chia thµnh
nhiều mô hình khác nhau như mô hình cân bằng, mô hình tương thích… và
mỗi mô hình đều có ưu khuyết điểm khác nhau.
Trong phạm vi bài báo này chúng tôi muốn giới thiệu ứng dụng một
phần tử tương thích vào nghiên cứu động lực học bài toán tấm đó là phần
tử LCCT12 tuân theo các giả thiết tấm mỏng của Kirchhoff. Phần tử này
cũng đã được c¸c t¸c gi¶ Hùng [9,10] và Dương [8] nghiên cứu áp dụng
tính toán nội lực và một số đánh giá sai số lời giải cho bài toán tấm và
vỏ.
Chúng tôi giới thiệu cách tiếp cận của phần tử LCCT12 và một số các
ví dụ tính toán, so sánh với một số các kết quả đã có hiện nay để đánh
giá hiệu quả của ph¬ng ph¸p phần tử này trong tính toán động lực học
tấm.
2. Phần tử LCCT12
Hình 1: Phần tử tương thích LCCT12 với 16 bậc tự do.
Phần tử ‘Linear Curvature Compatible Triangle’LCCT12 ban đầu có
16 bậc tự do trên biên (hình 1), nhưng với những giả thuyết và biến đổi
phần tử ‘LCCT-12’ sẽ giảm xuống còn 12 bậc tự do trên biên:
Hàm chuyển vò của từng phần tử có thể được biểu diễn qua các bậc tự
do của nút và hàm dạng:
w = N.q
Trong đó: N : là ma trận hàm dạng.
q : là vector chuyển vò nút.
Trong phần tử ngoài chuyển vò của các góc w
i
còn có các góc xoay của
mỗi góc phần tử.

2
0
(3)
m
k
j
i
1
2
3
4
0
1
2
3
4
1
(2)
3
(1)
2
6
n
w







∂
∂
w
1
w
4
w
3
w
2
θ
y1
θ
x1
θ
y2
θ
x2
θ
y3
θ
x3
θ
y4
θ
x4
5
n
w







∂
∂
7
n
w






∂
∂
8
n
w






∂
∂
6

n
w






∂
∂
i
1
i
xi
w
y
w
∂=
∂
∂
=θ
với i = 1, 2, 3, 4 (2)
i
2
i
yi
w
x
w
∂=

∂
∂
−=θ
(3)
Không những thế còn có góc xoay tại 3 nút ở giữa các cạnh θ
5
, θ
6
, θ
7
,
θ
8
i
n
i
i
w
n
w
∂=






∂
∂
=θ

với i = 5, 6, 7, 8 (4)
Chuyển vò nút của phần tử bây giờ được biểu diễn qua các phần tử con
w
(k)
(x,y) = N
(k)
(x,y).q
(k)

Chuyển vò nút của phần tử con 1
[ ]
T
0y0x063y3x32y2x2
)1(
w w wq θθθθθθθ=

q
(1)
là vector bao gồm 10 thành phần chuyển vò, ta sử dụng hàm đa
thức nội suy bậc ba 10 thành phần của Lagrange [11] cho một phần tử con
và được biểu diễn trong hệ tọa độ tự nhiên
( )
321
L,L,LL =
như sau:
α= Pw

Trong đó:
]LLL LL LL LL LL LL LL L L L[
3212

2
31
2
31
2
23
2
23
2
12
2
1
3
3
3
2
3
1
=P
[ ]
10987654321
T
αααααααααα=α
Đối với các phần tử con k = 1→ 4 thì hàm dạng sẽ được biểu diễn
bằng
)L(N
. Từ công thức (6) ta suy ra vector chuyển vò toàn bộ các nút q
là:
[ ]
0y0x087654y4x43y3x32y2x21y1x1

T
w| w w w wq θθθθθθθθθθθθθθ=
[ ]
T
E
T
R
qq |=

2.1 Ma trận độ cứng phần tử
[ ] [ ][ ]
( )
[ ]
[ ]
[ ]
( )
∫∫
==
m
e
m
e
A
T
V
T
m
e
dABHBdVBDBk

Trong đó: m là số phần tử con. m = 1, 2, 3, 4.

[ ]












ν−
ν
ν
ν−
=
2
1
00
01
01
)1(12
Et
H
2
3

;
]N)[(]B[ ∂∇=
2.2 Ma trận khối lượng phần tử
3
[ ] [ ]
( )
∫
















∂
∂
∂
∂
+
∂
∂

∂
∂
+=
m
e
A
j
i
j
i
1
T
0
m
e
y
N
y
N
x
N
x
N
INNIm

Trong đó:
m : Số phần tử con. m = 1, 2, 3, 4.
I
0
, I

1
: Là mômen quán tính của khối lượng
tdzI
2t
2t
0
.ρ=ρ=
∫
−
;
12
t
dzzI
3
2t
2t
2
1
.ρ
=ρ=
∫
−
ρ : Là khối lượng riêng của vật liệu tấm.
2.3 Ghép nối và loại bỏ nút giữa của phần tử
Ta có





















=















E
R
)4(
0
)4(
e
)3(
0
)3(
e
)2(
0
)2(
e
)1(
0
)1(
e
)4(
)3(
)2(
)1(
q
q
NN
NN
NN
NN
w
w

w
w
(10)
Chúng ta thiết lập các ma trận theo những điều kiện tương thích trên
nút i, j, k, m như sau:
0
q
q
BB | BB
BB | BB
BB | BB
BB | BB
E
R
)1(
0m
)4(
0m
)1(
m
)4(
m
)4(
0k
)3(
0k
)4(
k
)3(
k

)3(
0j
)2(
0j
)3(
j
)2(
j
)2(
0i
)1(
0i
)2(
i
)1(
i
=





















++
++
++
++
(11)
Suy ra
[ ] [ ]
E
)1(
0m
)4(
0m
)4(
0k
)3(
0k
)3(
0j
)2(
0j
)2(
0i
)1(

0i
R
)1(
m
)4(
m
)4(
k
)3(
k
)3(
j
)2(
j
)2(
i
)1(
i
q
BB
BB
BB
BB
q
BB
BB
BB
BB















+
+
+
+
−=















+
+
+
+
(12)
Trong đó














+
+
+
+
=















+
+
+
+
=
)1(
0m
)4(
0m
)4(
0k
)3(
0k
)3(
0j
)2(
0j
)2(
0i
)1(

0i
3x40
)1(
m
)4(
m
)4(
k
)3(
k
)3(
j
)2(
j
)2(
i
)1(
i
16x4
BB
BB
BB
BB
]B[ ,
BB
BB
BB
BB
]B[
(13)

Đặt : [BB]
3x3
= [B
0
]
T
3x4
×[B
0
]
4x3
Vì vậy
4
[ ] [ ] [ ]
RR
164
T
43
0
33
E
qCqBBBBq ×=×××−=
×
×
×
(14)
Bằng cách thay (14) vào trong (10), Ta có được hàm chuyển vò như
sau:
R
)4(

0
)4(
e
)3(
0
)3(
e
)2(
0
)2(
e
)1(
0
)1(
e
)4(
)3(
)2(
)1(
q
CNN
CNN
CNN
CNN
w
w
w
w
×















=














(15)
Ma trận độ cứng của phần tử có được bằng cách “lấy tổng” độ cứng

của 4 phần tử con. Tiếp theo sử dụng sự cô đặc tónh (static condensation)
để giảm các bậc tự do bên trong của phần tử. Và sử dụng điều kiện năng
lượng toàn phần dừng để tìm ra được ma trận độ cứng phần tử. Các thủ
tục trên có thể tìm được trong [8].
Ma trận khối lượng m của phần tử được thiết lập như trình tự trên như
sau:
∑
=
=
4
1i
)i(
mm
(16)






=
EEER
RERR
mm
mm
m
Trong đó chỉ số R và E trong các ma trận lần lượt dùng để quy đònh
cho các thành phần của phần tử tam giác tương ứng với các bậc tự do của
các nút 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và các bậc tự do bên trong của nút 0 mà đã
được giản lược.

Với một phần tử, động năng T
e
có thể được tính như sau:
{ } { }
∫
ρ=
e
V
e
T
e
e
dVww
2
1
T

(17)
Mà như ta đã biết do chuyển vò là hàm thời gian, các điểm của phần tử
chuyển động với vận tốc bằng đạo hàm bậc nhất của chuyển vò theo thời
gian t:
{ }
[ ]
{ }
e
e
qNw


=

Ở đây:
{ }
e
q

là vector vận tốc các điểm nút của phần tử.
Suy ra:
{ }
[ ] [ ]
{ } { } { }
e
T
ee
V
TT
e
e
qmq
2
1
qdVNNq
2
1
T
e

=









ρ=
∫
5
[ ] [ ]












=













=
R
R
EEER
RERR
TT
R
T
R
E
R
EEER
RERR
T
E
T
R
qC
q
mm
mm
Cqq
2
1
q
q

mm
mm
qq
2
1






( )
REE
T
REER
T
RR
T
R
qCmCCmmCmq
2
1


+++=
Trong đó:
CmCCmmCmm
EE
T
REER

T
RR
e
+++=
(18)
Thực tế thấy rằng phân tích các nút giữa cạnh 5, 6, 7, 8 là phức tạp.
Tuy nhiên, nếu độ dốc pháp tuyến thay đổi tuyến tính dọc theo cạnh thì
nút tại giữa cạnh được bỏ đi và coi góc xoay tại nút giữa là trung bình
cộng của góc xoay tại nút i và nút j:
ij
yjyi
ij
xjxi
ijykijxkk
sin
2
cos
2
sincos α








θ+θ
+α









θ+θ
=αθ+αθ=θ
(19)
Với : k = 5, 6, 7, 8 và α
ij
là góc của các cạnh ij = 12, 23, 34, 41
Lúc này đối với phần tử LCCT chỉ còn lại 12 bậc tự do (thay vì 16)
nhưng hoàn toàn tương thích với sự ràng buộc về những độ dốc pháp
tuyến tuyến tính khác dọc theo các cạnh biên (hình 2).
Hình 2: phần tử LCCT12 sau khi đã giản lược.
3. Các ví dụ tính toán
Bản vuông làm bằng vật liệu đẳng hướng có các thông số như sau:
kích thước của bản: a = b = 4 m. Chiều dày bản: h = 0.1 m. Môđun đàn
hồi: E = 2.5311×10
9
Kg/m
2
. Hệ số Poisson: ν = 0.2. Khối lượng riêng: ρ =
244.8 kg/m
3
.
3.1 Tấm bốn cạnh tựa đơn
6

1
2
3
4
6
n
w






∂
∂
5
n
w






∂
∂
7
n
w







∂
∂
8
n
w






∂
∂
1
2
3
4
y
x
a
a
Hình 3: Tấm bốn cạnh tựa đơn
Ở ví dụ này chúng ta sẽ xem xét các giá trò tần số vòng của tấm trong
5 mode đầu tiên. Chúng ta sẽ so sánh kết quả của phần tử LCCT12 với
phần mềm SAP 2000 sử dụng phần tử tấm là thin-plate. Ngoài ra còn so

sánh với kết quả từ một nghiên cứu trước đây là [14]. Ở đây lưới chia
10x10 sẽ được sử dụng. Các kết qủa thu được từ các loại phần tử khác
nhau sẽ được so sánh với lời giải giải tích (chính xác) trong [5] như hình 4
và trình bày ở bảng 1. Hai phần tử khác sử dụng lý thuyết Mindlin (tấm
dày) cũng được trình bày để tham khảo.
Hình 4: Sai số % của các loại phần tử so với lời giải chính xác [5].
7
Bảng 1: Sai số (%) tần số của các phần tử trong 5 mode dao động đầu
tiên so với [5].
STT
Các loại phần tử w11
w12=w2
1 w13=w31 w14=w41 w22
1
Hùng[14] - LT Mindlin 0,496 2,707 8,944 7,292 2,291
2
Hùng[14] - LT Kirchhoff 0,539 0,880 1,034 1,106 2,036
3
SAP2000 - Thin-plate 0,736 1,188 1,372 1,591 2,930
4
SAP2000 - Thick-plate 1,608 1,995 2,341 2,842 4,182
5
Phần tử 'LCCT-12' 0,359 0,527 0,505 0,442 1,433
Có thể thấy rằng, phần tử LCCT12 cho kết quả tốt hơn so với hai phần
tử cùng tuân theo lý thuyết Kirchhoff là phần tử số 2 và 3. Phần tử số 4 sử
dụng lý thuyết Mindlin cũng cho kết quả đồng dạng với ba phần tử trước
và sai khác giữa chúng là không lớn. Phần tử số 1 cho kết quả không ổn
đònh,cần chú ý khi sử dụng phần tử này.
Chúng ta sẽ xem xét mức độ hội tụ của phần tử LCCT12 bằng việc
thay đổi lưới chia phần tử là 2x2; 4x4; 8x8; 16x16 và cũng so sánh với

phần tử thin-plate sử dụng trong SAP2000. Ở đây chúng ta chỉ xem xét
kết quả của mode dao động đầu tiên w
11
. Lời giải chính xác trong [5] cho
mode này là 116.87 rad/sec. Các kết quả tính toán được trình bày ở hình 5
và liệt kê trong bảng 2.
Hình 5: Khảo sát độ hội tụ của phần tử LCCT12 – tấm 4 cạnh tựa.
8
Bảng 2: Tần số dao động mode đầu tiên với các lưới chia phần tử.
Loại phần tử
2x2 4x4 8x8 16x16
SAP2000 - Thin-plate 96,356 111,444 115,517 116,537
SAP2000 - Thick-plate 107,983 112,804 114,562 115,765
Phần tử 'LCCT-12' 127,019 119,794 117,568 117,006
Ta thấy phần tử LCCT12 hội tụ nhanh hơn so với Sap thin-plate. Độ
hội tụ đến lời giải chính xác khi độ mòn lưới tăng lên của LCCT12 tốt hơn
hẳn so với SAP thin-plate. Độ hội tụ của phần tử Sap thick-plate cũng rất
nhanh. Khi hội tụ, kết quả giữa hai loại phần tử tấm dày và mỏng có vẻ
không khác nhau lắm. Một đặc biệt nữa là LCCT12 tìm đến lời giải chính
xác như một cận trên còn Sap thin-plate thì như một cận dưới.
3.2 Tấm bốn cạnh ngàm
Ở ví dụ này chúng ta sẽ xem xét bài toán dưới những điều kiện biên
khác. Cũng giống ví dụ trên, đầu tiên chúng ta cũng sử dụng lưới chia
10x10 phần tử để so sánh các loại phần tử trong 5 mode dao động đầu
tiên. Các kết qủa thu được từ các loại phần tử khác nhau cũng sẽ được so
sánh với lời giải chính xác trong [5] như hình 7 và trình bày ở bảng 3.
x
y
a
a

Hình 6: Tấm bốn cạnh ngàm.
9
Hình 7: Sai số của các loại phần tử so với lời giải chính xác [5].
Bảng 3: Sai số (%) tần số của các phần tử trong 5 mode dao động đầu
tiên so với [5].
STT
Các loại phần tử w11
w12=w2
1 w13=w31 w14=w41 w22
1
Hùng[14] - LT Mindlin 1,995 5,906 13,335 5,600 10,657
2
Hùng[14] - LT Kirchhoff 0,948 1,309 1,833 2,842 3,537
3
SAP2000 - Thin-plate 1,352 1,841 2,452 4,177 5,374
4
SAP2000 - Thick-plate 1,746 2,158 2,533 4,360 5,309
5
Phần tử 'LCCT-12' 0,821 0,978 0,434 2,302 2,714
Kết quả cũng tương tự ví dụ trước. LCCT12 cho kết quả tốt hơn so với
của phần tử số 2 và 3. Phần tử số 1 cho kết quả vẫn không ổn đònh nên sử
dụng phần tử này không hiệu quả.
Và tiếp theo chúng ta cũng xem xét mức độ hội tụ của phần tử
LCCT12 với độ mòn lưới chia phần tử thay đổi: 2x2; 4x4; 8x8; 16x16 và
cũng so sánh với phần tử sử dụng trong SAP2000. Ở đây chúng ta cũng
chỉ xem xét kết quả của mode dao động đầu tiên w
11
. Lời giải chính xác
trong [5] cho mode này là 213.04 rad/sec. Các kết quả tính toán được
trình bày ở hình 8 và liệt kê trong bảng 4.

10
Hình 8: Khảo sát độ hội tụ của phần tử LCCT12 – tấm bốn cạnh
ngàm.
Bảng 4: Tần số dao động mode đầu tiên với các lưới chia phần tử.
Loại phần tử
2x2 4x4 8x8 16x16
SAP2000 - Thin-plate 149,789 197,052 208,598 211,905
SAP2000 - Thick-plate 687,597 216,337 208,294 210,863
Phần tử 'LCCT-12' 224,682 221,221 215,795 213,654
Ở đây LCCT12 cũng hội tụ rất nhanh và khi đạt độ mòn lưới cần thiết
thì kết quả gần như đạt chính xác.
Các kết luận
Sử dụng phần tử LCCT12 đã cho các kết quả tốt, lời giải số gần như sát
với lời giải chính xác. Đặc biệt khi so sánh với phần tử sử dụng trong
phần mềm rất thông dụng hiện nay ở Việt Nam là Sap2000 khi phân tích
động lực học bài toán tấm mỏng lại cho kết quả tốt hơn hẳn. LCCT12 đã
cho kết quả hội tụ rất nhanh, số bậc tự do của nó cũng ít, do đó nếu sử
dụng phần tử này để phân tích sẽ không cần chia lưới mòn và có thể rút
ngắn được thời gian phân tích bài toán.
Tuy nhiên trong phạm vi bài báo này mới chỉ phân tích bài toán dao
động riêng không xét đến hệ số nhớt. Các vấn đề dao động khác của bài
11
toán tấm hi vọng sẽ được trình bày trong các nghiên cứu tiếp theo. Phân
tích dao động bài toán vỏ mỏng là những phát triển mà các tác giả đang
thực hiện.
Một hướng phát triển tương lai nữa đó là vận dụng lý thuyết tấm dày
của Mindlin vào loại phần tử này cũng là những nghiên cứu khá thú vò.
Tài liệu tham khảo
[1]. A. J. M. Ferreira, C. M. C. Roque et all – "Analysis of Thin Isotropic Rectagular and Circular
Plates with Multiquadrics", Strength of Materials, Vol. 37, No. 2, 2005.

[2]. Ansel C. Ugural – “ Stresses in Plates and Shell (Second Edition)”. New Jersey Institute of
Texhnology – McGraw-Hill Inc – 1999.
[3]. Chu Quốc Thắng – “ Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn”. NXB KHKT – 1997.
[4]. Clough, R.W and C.A Felippa – “ A Refined Quadrilateral Element for the Analysis of Plate
Bending Pro. Of the Second Conf. on Matrix Methods in Structural Mechanics”. Wright Patterson Air
Force Base, Ohio, 10/1968.
[5]. Eduard Ventsel and Theodor Krauthammer - " Thin Plates and Shells : Theory, Analysis, and
Applications", Marcel Dekker, 2001.
[6]. Hutton – “ Fundamental of Finite Element Analysis” McGram-Hill, 2004.
[7]. J. H. Argyris – “ Energy Theorems of Structural Analysis” . Aircraft Engineering, Vol. 26,
1954, pp. 347-356 and 383-387.
[8]. Nguyễn Ngọc Dương – “ Conforming Model And Error Estimation FEM for Plate Bending and
Thin Shell Structures”. Master thesis of EMMC 9, 10/2005.
[9]. Nguyễn Xuân Hùng – “ Ladevèze-type compatibily error assessment for plate bending”.
Master thesis of EU-EMMC, Đại Học Bách Khoa TPHCM 2/2003.
[10]. Nguyễn Xuân Hùng– “ The equilibrium element finite model and error estimation for plate
bending”. Int Congress Engineering Mechanics Today, Ho Chi Minh City, 08/2004.
[11]. O.C.Zienkiewicz, CBE, FRS, FREng and R.T. Taylor – “ The Finite Element Method”,
MPG Books Ltd, 2000.
[12]. R. L.Taylor, S. Govindjee – “ Solution of clamped rectangular plate problem” UCB/SEMM
09/2002.
[13]. S. Timoshenko and S. Woinowsky-Krieger – “ Theory of Plates and Shells”. Mcgraw-Hill,
New York, 1959.
[14]. Trần Quốc Hùng – " Khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên, độ dày, tỉ lệ các cạnh đến đặc
trưng động lực học của tấm chữ nhật", Luận văn thạc só của Trường ĐHBK, 2001.
12