đề +đáp án thi chọn hsg huyên nam học 2013-2014

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THẠCH HÀ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN-NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán, Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút. Ngày thi: 10/10/2013
Bài 1:
a) Cho các số a, b, c thỏa mãn:
= =
a b c
2012 2013 2014
.
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
− − = −
2
4 a b b c a c
b) Cho
A 2012 2013 2014
= + +
và
= + +
B 2009 2011 2019
.
Hãy so sánh A với B
Bài 2:
a) Tìm các số nguyên dương a, b thỏa mãn: a+b+1=ab
b) Tìm các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn:
− + − + − + − =a b b c c d d a 2013
Bài 3:
a) Giải phương trình:
( )
+ =

+
2
2
2
4x
x 12
x 2
b) Cho đa thức:
( )
= − + +
3 2
f x x 3x 3x 3
.
Chứng minh rằng:
   
<
 ÷  ÷
   
2014 2013
f f
2013 2012
Bài 4: Cho ∆ABC có 3 góc đều nhọn và góc
·
BAC
=45
0
; hai đường cao BD
và CE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm DE. Kẻ EM vuông góc với AC (M ∈
AC), DN vuông góc với AB (N ∈ AB). O là giao điểm của EM và DN.
a) Tứ giác EHDO là hình gì?.

b) Chứng minh rằng: HC = 2NO
c) Chứng minh rằng đường thẳng HI đi qua trọng tâm của ∆ABC
Bài 5: Cho hai số thực a, b khác 0, thỏa mãn:
+ + =
2
2
2
b 1
2a 4
4 a
.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
= +
S ab 2013
Hết
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Bài Nội dung Điểm
Bài 1:
a)
b)
Ta có
( ) ( ) ( )
− − −
= = = = =
− − −
a b c a b b c a c
2012 2013 2014 1 1 2
. Từ đó suy ra
( )

− = −2 a b a c
;
( )
− = −2 b c a c
⇒
( ) ( ) ( )
− − = −
2
4 a b b c a c
Ta có
− = >
+ +
3 3
2012 2009
2012 2009 2019 2014
− = >
+ +
2 2
2013 2011
2013 2011 2019 2014
. Cộng theo vế hai
BĐT trên ta được:
− + − > = −
+
5
2012 2009 2013 2011 2019 2014
2019 2014
Suy ra A > B
2 điểm
1đ

1đ
2 điểm
0,75đ
0,75đ
0,5đ
Bài 2:
a)
Ta có: a+b+1=ab↔(a-1)(b-1)=2 (1)
Do a, b nguyên dương, nên (1) suy ra: a-1 nguyên dương và là ước của 2.
Từ đó suy ra: a-1=1 hoặc a-1=2.
Với a-1=1→a=2; b=3
Với a-1=2→a=3, b=2
Trả lời: (a; b)=(2; 3) hoặc (3; 2)
2 điểm
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b)
Với số thực x bất kì thì
≥

+ =


2x nÕu x 0
x x
0 nÕu x < 0

. Do đó
+x x
là một số
nguyên chẵn khi x ∈ Z.
Mặt khác:
− + − + − + − =a b b c c d d a 2013
⇔
− + − + − + − + − + − + − + − =a b a b b c b c c d c d d a d a 2013
. Vế trái là
số nguyên chẵn còn vế phải là số nguyên lẻ.
Vậy không có các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn đề ra
2 điểm
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 3:
a)
ĐKXĐ: x ≠ -2. Ta có
2
x 2x
x
x 2 x 2
= −
+ +
⇒
2
2
2
x 2x

x
x 2 x 2
 
 
= −
 ÷
 ÷
+ +
 
 
( )
2 2
2
2
4x 4x
x
x 2
x 2
= − +
+
+
⇒
( )
2
2 2 2
2
2
x 4x 4x
x
x 2 x 2

x 2
 
+ = +
 ÷
+ +
+
 
.
2 điểm
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b)
Đặt
2
x
y
x 2
=
+
ta có phương trình:
2
y 4y 12 0+ − =
⇔
( )
2
y 2
y 2 16
y 6
=


+ = ⇔

= −


Với y = 2 ⇒
( )
2
2
2
x
2 x 2x 4 0 x 1 5 x 1 5
x 2
= ⇒ − − = ⇔ − = ⇔ = ±
+
(TMĐK)
Với y = -6 ⇒
( )
2
2
2
x
6 x 6x 12 0 x 3 3
x 2
= − ⇒ + + = ⇔ + = −
+
vô lí
Vậy phương trình có nghiệm
x 1 5= ±

Ta có:
( ) ( )
= − + + = − +
3
3 2
f x x 3x 3x 3 x 1 4
⇒
 
= +
 ÷
 
3
2014 1
f 4
2013 2013
;
 
= +
 ÷
 
3
2013 1
f 4
2012 2012
. Do
<
1 1
2013 2012
⇒
+ < +

3 3
1 1
4 4
2013 2012
⇒
   
<
 ÷  ÷
   
2014 2013
f f
2013 2012
0,5đ
2 điểm
1đ
0,5đ
0,5đ
Bài 4:
a)
b)
Theo bài ra ta có ∆ADB, ∆AEC vuông cân,
do đó nhận DN và EM làm trung tuyến,
suy ra M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB
Tứ giác EHDO là hình bình hành (do các cạnh đối
song song) nên HO đi qua trung điểm I của ED
và EO = HD. Lại có hai tam giác NOE và DHC
vuông cân (do
·
·
0

NEO HCD 45= =
) nên
HC HD 2 EO 2 2NO= = =
Gọi G là giao điểm của CN và HO. Do NO // CH
nên theo hệ quả của định lí Thales ta có
CG CH
2
GN NO
= =
mà CN là trung tuyến của ∆ABC, suy ra G là trọng tâm
của ∆ABC
Vậy đường thẳng HI đi qua trọng tâm G của ∆ABC.
4 điểm
1đ
1đ
1đ
1đ
2 điểm
1đ
1đ
Bài 5:
Ta có
   
= + − + + − + + = − + − + +
 ÷  ÷
   
2 2
2
2 2
2

1 b 1 b
4 a 2 a ab ab 2 a a ab 2
a 4 a 2
≥ ab + 2. Do đó ab ≤ 2 ⇒ S ≤ 2015
2 điểm
0,5đ
A
B
C
D
E
M
N
H
I
G
O
0
45
Vậy GTLN của S là 2015 đạt được khi

− =

= − = −


⇔


= =



− =


1
a 0
a 1;b 2
a
b a 1;b 2
a 0
2
Mặt khác:
   
= + − + + + − + = − + + − +
 ÷  ÷
   
2 2
2
2 2
2
1 b 1 b
4 a 2 a ab ab 2 a a ab 2
a 4 a 2
≥ -ab + 2 ⇒ ab ≥ -2 ⇒ S ≥ 2011.
Vậy GTNN của S là 2011 đạt được khi

− =

= = −



⇔


= − =


+ =


1
a 0
a 1;b 2
a
b a 1;b 2
a 0
2
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Lưu ý: - Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
- Vẽ hình sai không chấm. Không có hình vẽ nếu đúng cho 1/3 số điểm