tài liệu ôn tập hình học - đại số lớp 10 tham khảo hay (8)

Phương trình bậc nhất – bậc hai
1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)
• x
0
là một nghiệm của (1) nếu "f(x
0
) = g(x
0
)" là một mệnh đề đúng.
• Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
• Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình.
Chú ý:
+ Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức
P x
1
( )
thì cần điều kiện P(x)
≠
0.
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức
P x( )
thì cần điều kiện P(x)
≥
0.
+ Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai
hàm số y = f(x) và y = g(x).
2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
Cho hai phương trình f
1
(x) = g

1
(x) (1) có tập nghiệm S1
và f
2
(x) = g
2
(x) (2) có tập nghiệm S
2
.
• (1) ⇔ (2) khi và chỉ khi S
1
= S
2
.
• (1) ⇒ (2) khi và chỉ khi S
1
⊂ S
2
.
3. Phép biến đổi tương đương
• Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó
thì ta được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau:
– Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức.
– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.
• Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ
quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
Bài 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
a)
x
x x

5 5
3 12
4 4
+ = +
− −
b)
x
x x
1 1
5 15
3 3
+ = +
+ +
c)
x
x x
2
1 1
9
1 1
− = −
− −
d)
x
x x
2 2
3 15
5 5
+ = +
− −

Bài 2. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
a)
x x1 1 2+ − = −
b)
x x1 2+ = −
c)
x x1 1+ = +
d)
x x1 1− = −
e)
x
x x
3
1 1
=
− −
f)
x x x
2
1 2 3− − = − +
Bài 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
a)
x x x
2
3( 3 2) 0− − + =
b)
x x x
2
1( 2) 0+ − − =
c)

x
x
x x
1
2
2 2
= − −
− −
d)
x x
x
x x
2
4 3
1
1 1
− +
= + +
+ +
Bài 4. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
Trang 14
CHƯƠNG III
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
CHƯƠNG III
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
Phương trình bậc nhất – bậc hai
a)
x x2 1− = +

b)
x x1 2+ = −
c)
x x2 1 2− = +
d)
x x2 2 1− = −
Bài 5. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
a)
x x
x x1 1
=
− −
b)
x x
x x
2 2
1 1
− −
=
− −
c)
x x
x x2 2
=
− −
d)
x x
x x
1 1
2 2

− −
=
− −
ax + b = 0 (1)
Hệ số Kết luận
a
≠
0
(1) có nghiệm duy nhất
b
x
a
= −
a = 0
b
≠
0
(1) vô nghiệm
b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x
Chú ý: Khi a
≠
0 thì (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn.
Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a)
m x m x
2
( 2) 2 3+ − = −
b)
m x m x m( ) 2− = + −
b)

m x m m x( 3) ( 2) 6− + = − +
d)
m x m x m
2
( 1) (3 2)− + = −
e)
m m x x m
2 2
( ) 2 1− = + −
f)
m x m x m
2
( 1) (2 5) 2+ = + + +
g)
− = +( 1) 2m x x m
h)
+ − + =
2
( 1) 4 0m x m
i)
− = + −( ) 2m x m x m
g)
+ = +
2
9 3mx x m
Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c:
a)
x a x b
b a a b
a b

( , 0)
− −
− = − ≠
b)
ab x a b b x( 2) 2 ( 2a)+ + = + +
c)
x ab x bc x b
b a b c
a c b
2
3 ( , , 1)
1 1 1
+ + +
+ + = ≠ −
+ + +
d)
x b c x c a x a b
a b c
a b c
3 ( , , 0)
− − − − − −
+ + = ≠
Bài 3. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình:
i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm đúng với mọi x ∈ R.
a)
m x n( 2) 1− = −
b)
m m x m
2
( 2 3) 1+ − = −

c)
mx x mx m x
2
( 2)( 1) ( )+ + = +
d)
m m x x m
2 2
( ) 2 1− = + −
Trang 15
II. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0
II. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0
Phương trình bậc nhất – bậc hai
1. Cách giải
ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)
b ac
2
4
∆
= −
Kết luận
∆
> 0
(1) có 2 nghiệm phân biệt
b
x
a
1,2
2

∆
− ±
=
∆
= 0
(1) có nghiệm kép
b
x
a2
= −
∆
< 0
(1) vô nghiệm
Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x =
c
a
.
– Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x =
c
a
−
.
– Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với
b
b
2
′
=
.
2. Định lí Vi–et

Hai số
x x
1 2
,
là các nghiệm của phương trình bậc hai
ax bx c
2
0+ + =
khi và chỉ khi
chúng thoả mãn các hệ thức
b
S x x
a
1 2
= + = −
và
c
P x x
a
1 2
= =
.
VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phương trình
ax bx c
2
0+ + =
Để giải và biện luận phương trình
ax bx c
2
0+ + =

ta cần xét các trường hợp có thể xảy
ra của hệ số a:
– Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình
bx c 0
+ =
.
– Nếu a
≠
0 thì mới xét các trường hợp của
∆
như trên.
Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau:
a)
x x m
2
5 3 1 0+ + − =
b)
x x m
2
2 12 15 0+ − =
c)
x m x m
2 2
2( 1) 0− − + =
d)
m x m x m
2
( 1) 2( 1) 2 0+ − − + − =
e)
m x m x

2
( 1) (2 ) 1 0− + − − =
f)
mx m x m
2
2( 3) 1 0− + + + =
Bài 2. Cho biết một nghiệm của phương trình. Tìm nghiệm còn lại:
a)
x mx m x
2
3
1 0;
2
− + + = = −
b)
x m x m x
2 2
2 3 0; 1− + = =
c)
m x m x m x
2
( 1) 2( 1) 2 0; 2+ − − + − = =
d)
x m x m m x
2 2
2( 1) 3 0; 0− − + − = =
VẤN ĐỀ 2: Dấu của nghiệm số của phương trình
ax bx c a
2
0 ( 0)+ + = ≠

(1)
Trang 16
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0)
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0)
Phương trình bậc nhất – bậc hai
•
(1) có hai nghiệm trái dấu
⇔
P < 0
•
(1) có hai nghiệm cùng dấu
⇔

P
0
0
∆

≥

>


•
(1) có hai nghiệm dương
⇔

P
S
0
0
0
∆

≥

>


>

•
(1) có hai nghiệm âm
⇔

P
S
0
0
0
∆

≥


>


<

Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì
∆
> 0.
Bài 1. Xác định m để phương trình:
i) có hai nghiệm trái dấu ii) có hai nghiệm âm phân biệt
iii) có hai nghiệm dương phân biệt
a)
x x m
2
5 3 1 0+ + − =
b)
x x m
2
2 12 15 0+ − =
c)
x m x m
2 2
2( 1) 0− − + =
d)
m x m x m
2
( 1) 2( 1) 2 0+ − − + − =
e)
m x m x

2
( 1) (2 ) 1 0− + − − =
f)
mx m x m
2
2( 3) 1 0− + + + =
g)
x x m
2
4 1 0− + + =
h)
m x m x m
2
( 1) 2( 4) 1 0+ + + + + =
VẤN ĐỀ 3: Một số bài tập áp dụng định lí Vi–et
1. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số
Ta sử dụng công thức
b c
S x x P x x
a a
1 2 1 2
;= + = − = =
để biểu diễn các biểu thức đối
xứng của các nghiệm x
1
, x
2
theo S và P.
Ví dụ:
x x x x x x S P

2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 2+ = + − = −
x x x x x x x x S S P
3 3 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 3 ( 3 )
 
+ = + + − = −
 
2. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số
Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm:
b c
S x x P x x
a a
1 2 1 2
;= + = − = =
(S, P có chứa tham số m).
Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x
1
và x
2
.
3. Lập phương trình bậc hai
Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng:
x Sx P
2
0− + =
, trong đó S = u + v, P = uv.
Bài 1. Gọi x

1
, x
2
là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:
A =
x x
2 2
1 2
+
; B =
x x
3 3
1 2
+
; C =
x x
4 4
1 2
+
; D =
x x
1 2
−
; E =
x x x x
1 2 2 1
(2 )(2 )+ +
a)
x x
2

5 0− − =
b)
x x
2
2 3 7 0− − =
c)
x x
2
3 10 3 0+ + =
d)
x x
2
2 15 0− − =
e)
x x
2
2 5 2 0− + =
f)
x x
2
3 5 2 0+ − =
Bài 2. Cho phương trình:
m x m x m
2
( 1) 2( 1) 2 0+ − − + − =
(*). Xác định m để:
a) (*) có hai nghiệm phân biệt.
b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia.
c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2.
Bài 3. Cho phương trình:

x m x m
2
2(2 1) 3 4 0− + + + =
(*).
a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x
1
, x
2
.
Trang 17
Phương trình bậc nhất – bậc hai
b) Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
độc lập đối với m.
c) Tính theo m, biểu thức A =
x x
3 3
1 2
+
.
d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia.
e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là
x x
2 2
1 2
,
.
HD: a)

m
2
2
≥
b)
x x x x
1 2 1 2
1+ − = −
c) A =
m m m
2
(2 4 )(16 4 5)+ + −
d)
m
1 2 7
6
±
=
e)
x m m x m
2 2 2
2(8 8 1) (3 4 ) 0− + − + + =
Bài 4. Cho phương trình:
x m x m m
2 2
2( 1) 3 0− − + − =
(*).
a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại.
b) Khi (*) có hai nghiệm x
1

, x
2
. Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
độc lập đối với m.
c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả:
x x
2 2
1 2
8+ =
.
HD: a) m = 3; m = 4 b)
x x x x x x
2
1 2 1 2 1 2
( ) 2( ) 4 8 0+ − + − − =
c) m = –1; m = 2.
Bài 5. Cho phương trình:
x m m x m
2 2 3
( 3 ) 0− − + =
.
a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia.
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại.

HD: a) m = 0; m = 1 b)
x x x
2 2 2
1; 5 2 7; 5 2 7= = − = − −
.
Bài 6. (nâng cao) Cho phương trình:
x x x
2 2
2 2 sin 2 cos
α α
+ = +
(α là tham số).
a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi α.
b) Tìm α để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN.
1. Định nghĩa và tính chất
Trang 18
IV. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
IV. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương trình bậc nhất – bậc hai
•
A khi A
A
A khi A
0
0

≥
=


− <

•
A A0,≥ ∀
•
A B A B. .=
•
A A
2
2
=
•
A B A B A B. 0+ = + ⇔ ≥
•
A B A B A B. 0− = + ⇔ ≤
•
A B A B A B. 0+ = − ⇔ ≤
•
A B A B A B. 0− = − ⇔ ≥
2. Cách giải
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
• Dạng 1:
f x g x( ) ( )=
C
f x
f x g x

f x
f x g x
1
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )


≥


=

⇔


<



− =



C
g x
f x g x
f x g x
2

( ) 0
( ) ( )
( ) ( )

≥

⇔

=



= −


• Dạng 2:
f x g x( ) ( )=

[ ] [ ]
C
f x g x
1
2 2
( ) ( )⇔ =

C
f x g x
f x g x
2
( ) ( )

( ) ( )

=
⇔

= −

• Dạng 3:
a f x b g x h x( ) ( ) ( )+ =
Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
x x2 1 3− = +
b)
x x4 7 2 5+ = +
c)
x x
2
3 2 0− + =
d)
x x x
2
6 9 2 1+ + = −
e)
x x x
2
4 5 4 17− − = −
f)
x x x
2

4 17 4 5− = − −
g)
x x x x1 2 3 2 4− − + + = +
h)
x x x1 2 3 14− + + + − =
i)
x x x1 2 2− + − =
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
x x4 7 4 7+ = +
b)
x x2 3 3 2− = −
c)
x x x1 2 1 3− + + =
d)
x x x x
2 2
2 3 2 3− − = + +
e)
x x x
2
2 5 2 7 5 0− + − + =
f)
x x3 7 10+ + − =
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)
x x x
2
2 1 1 0− + − − =
b)

x x x
2
2 5 1 7 0− − − + =
c)
x x x
2
2 5 1 5 0− − − − =
d)
x x x
2
4 3 2 0+ + + =
e)
x x x
2
4 4 2 1 1 0− − − − =
f)
x x x
2
6 3 10 0+ + + + =
Bài 4. Giải và biện luận các phương trình sau:
a)
mx 1 5− =
b)
mx x x1 2− + = +
c)
mx x x2 1+ − =
d)
x m x m3 2 2+ = −
e)
x m x m 2+ = − +

f)
x m x 1− = +
Bài 5. Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a)
mx x2 4− = +
b)
Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:
– Nâng luỹ thừa hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
Trang 19
V. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN
V. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN
Phương trình bậc nhất – bậc hai
Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định.
Dạng 1:
f x g x( ) ( )=
⇔
[ ]
f x g x
g x
2
( ) ( )
( ) 0


=

≥



Dạng 2:
f x g x
f x g x
f x hay g x
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0 ( ( ) 0)

=
= ⇔

≥ ≥

Dạng 3:
af x b f x c( ) ( ) 0+ + =
⇔
t f x t
at bt c
2
( ), 0
0


= ≥

+ + =


Dạng 4:
f x g x h x( ) ( ) ( )+ =

• Đặt
u f x v g x( ), ( )= =
với u, v
≥
0.
• Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v.
Dạng 5:
f x g x f x g x h x( ) ( ) ( ). ( ) ( )+ + =
Đặt
t f x g x t( ) ( ), 0= + ≥
.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
x x2 3 3− = −
b)
x x5 10 8+ = −
c)
x x2 5 4− − =
d)
x x x
2
12 8+ − = −
e)
x x x
2
2 4 2+ + = −
f)
x x x
2
3 9 1 2− + = −

g)
x x x
2
3 9 1 2− + = −
h)
x x x
2
3 10 2− − = −
i)
x x x
2 2
( 3) 4 9− + = −
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
x x x x
2 2
6 9 4 6 6− + = − +
b)
x x x x
2
( 3)(8 ) 26 11− − + = − +
c)
x x x x
2
( 4)( 1) 3 5 2 6+ + − + + =
d)
x x x x
2
( 5)(2 ) 3 3+ − = +
e)

x x
2 2
11 31+ + =
f)
x x x x
2
2 8 4 (4 )( 2) 0− + − − + =
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)
x x1 1 1+ − − =
b)
x x3 7 1 2+ − + =
c)
x x
2 2
9 7 2+ − − =
d)
x x x x
2 2
3 5 8 3 5 1 1+ + − + + =
e)
x x
3 3
1 1 2+ + − =
f)
x x x x
2 2
5 8 4 5+ − + + − =
g)
x x

3 3
5 7 5 13 1+ − − =
h)
x x
3 3
9 1 7 1 4− + + + + =
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a)
x x x x3 6 3 ( 3)(6 )+ + − = + + −
b)
x x x x x2 3 1 3 2 (2 3)( 1) 16+ + + = + + + −
c)
x x x x1 3 ( 1)(3 ) 1− + − − − − =
d)
x x x x7 2 (7 )(2 ) 3− + + − − + =
e)
x x x x1 4 ( 1)(4 ) 5+ + − + + − =
f)
x x x x x
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2− + − = − + − +
g)
x x x x
2
2
1 1
3
+ − = + −
h)
x x x x

2
9 9 9+ − = − + +
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a)
x x x x2 4 2 2 5 2 4 6 2 5 14− + − + + + − =
b)
x x x x5 4 1 2 2 1 1+ − + + + − + =
c)
x x x x x x2 2 2 1 2 2 3 4 2 1 3 2 8 6 2 1 4− − − + − − + + − − =
Trang 20
Phương trình bậc nhất – bậc hai
Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta phải chú ý đến điều kiện xác định
của phương trình (mẫu thức khác 0).
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
x x x x
2 10 50
1
2 3 (2 )( 3)
+ = −
− + − +
b)
x x x
x x x
1 1 2 1
2 2 1
+ − +
+ =
+ − +
c)

x x
x x
2 1 1
3 2 2
+ +
=
+ −
d)
x x
x
2
2
3 5
1
4
− +
= −
−
e)
x x x x
x x
2 2
2 5 2 2 15
1 3
− + + +
=
− −
f)
x x
x x

2 2
3 4 2
( 1) (2 1)
+ −
=
+ −
Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau:
a)
mx m
x
1
3
2
− +
=
+
b)
mx m
x m
2
3
+ −
=
−
c)
x m x
x x m
1
2
1

− −
+ =
− −
d)
x m x
x x
3
1 2
+ +
=
− −
e)
m x m
m
x
( 1) 2
3
+ + −
=
+
f)
x x
x m x 1
=
+ +
1. Cách giải:
t x t
ax bx c
at bt c
2

4 2
2
, 0
0 (1)
0 (2)


= ≥
+ + = ⇔

+ + =


2. Số nghiệm của phương trình trùng phương
Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng.
• (1) vơ nghiệm ⇔
vô nghiệm
có nghiệm kép âm
có nghiệm âm
(2)
(2)
(2) 2




• (1) có 1 nghiệm ⇔
có nghiệm kép bằng
có nghiệm bằng nghiệm còn lại âm
(2) 0

(2) 1 0,



• (1) có 2 nghiệm ⇔
có nghiệm kép dương
có nghiệm dương và nghiệm âm
(2)
(2) 1 1



• (1) có 3 nghiệm ⇔
có nghiệm bằng nghiệm còn lại dương(2) 1 0,
• (1) có 4 nghiệm ⇔
có nghiệm dương phân biệt(2) 2
3. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn
Trang 21
VI. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
VI. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
VII. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a
≠
0)
VII. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
ax

4
+ bx
2
+ c = 0 (a
≠
0)
Phương trình bậc nhất – bậc hai
• Dạng 1:
x a x b x c x d K vôùi a b c d( )( )( )( ) ,+ + + + = + = +
– Đặt
t x a x b x c x d t ab cd( )( ) ( )( )= + + ⇒ + + = − +
– PT trở thành:
t cd ab t K
2
( ) 0+ − − =
• Dạng 2:
x a x b K
4 4
( ) ( )+ + + =
– Đặt
a b
t x
2
+
= +
⇒
a b b a
x a t x b t,
2 2
− −

+ = + + = +
– PT trở thành:
a b
t t K vôùi
4 2 2 4
2 12 2 0
2
α α α
 
−
+ + − = =
 ÷
 
• Dạng 3:
ax bx cx bx a a
4 3 2
0 ( 0)+ + ± + = ≠
(phương trình đối xứng)
– Vì x = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho
x
2
, ta được:
PT ⇔
a x b x c
x
x
2
2
1 1
0

   
+ + ± + =
 ÷
 ÷
 
 
(2)
– Đặt
t x hoaëc t x
x x
1 1
 
= + = −
 ÷
 
với
t 2≥
.
– PT (2) trở thành:
at bt c a t
2
2 0 ( 2)+ + − = ≥
.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
x x
4 2
3 4 0− − =
b)
x x

4 2
5 4 0− + =
c)
x x
4 2
5 6 0+ + =
d)
x x
4 2
3 5 2 0+ − =
e)
x x
4 2
30 0+ − =
f)
x x
4 2
7 8 0+ − =
Bài 2. Tìm m để phương trình:
i) Vô nghiệm ii) Có 1 nghiệm iii) Có 2 nghiệm
iv) Có 3 nghiệm v) Có 4 nghiệm
a)
x m x m
4 2 2
(1 2 ) 1 0+ − + − =
b)
x m x m
4 2 2
(3 4) 0− + + =
c)

x mx m
4 2
8 16 0+ − =
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)
x x x x( 1)( 3)( 5)( 7) 297− − + + =
b)
x x x x( 2)( 3)( 1)( 6) 36+ − + + = −
c)
x x
4 4
( 1) 97+ − =
d)
x x
4 4
( 4) ( 6) 2+ + + =
e)
x x
4 4
( 3) ( 5) 16+ + + =
f)
x x x x
4 3 2
6 35 62 35 6 0− + − + =
g)
x x x x
4 3 2
4 1 0+ − + + =
Trang 22
Phương trình bậc nhất – bậc hai

1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
a x b y c
a b a b
a x b y c
2 2 2 2
1 1 1
1 1 2 2
2 2 2
( 0, 0)

+ =
+ ≠ + ≠

+ =

Giải và biện luận:
– Tính các định thức:
a b
D
a b
1 1
2 2
=
,
x
c b
D
c b
1 1
2 2

=
,
y
a c
D
a c
1 1
2 2
=
.
Xét D Kết quả
D
≠
0
Hệ có nghiệm duy nhất
y
x
D
D
x y
D D
;
 
= =
 ÷
 
D = 0
D
x

≠
0 hoặc D
y

≠
0
Hệ vô nghiệm
D
x
= D
y
= 0 Hệ có vô số nghiệm
Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như:
phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.
2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các
phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các
phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bài 6. Giải các hệ phương trình sau:
a)
x y
x y
5 4 3
7 9 8

− =

− =

b)

x y
x y
2 11
5 4 8

+ =

− =

c)
x y
x y
3 1
6 2 5

− =

− =

d)
( )
( )
x y
x y
2 1 2 1
2 2 1 2 2


+ + = −


− − =


e)
x y
x y
3 2
16
4 3
5 3
11
2 5

+ =



− =

f)
x y
y
3 1
5x 2 3


− =

+ =



Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
a)
x y
x y
1 8
18
5 4
51

− =




+ =


b)
x y
x y
10 1
1
1 2
25 3
2
1 2

+ =



− +


+ =
 − +

c)
x y x y
x y x y
27 32
7
2 3
45 48
1
2 3

+ =


− +


− = −
 − +

d)
x y
x y
2 6 3 1 5

5 6 4 1 1

− + + =

− − + =

e)
x y x y
x y x y
2 9
3 2 17

+ − − =

+ + − =

f)
x y x y
x y x y
4 3 8
3 5 6

+ + − =

+ − − =

Bài 8. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
mx m y m
x my

( 1) 1
2 2

+ − = +

+ =

b)
mx m y
m x m y
( 2) 5
( 2) ( 1) 2

+ − =

+ + + =

c)
m x y m
m x y m
( 1) 2 3 1
( 2) 1

− + = −

+ − = −

d)
m x m y
m x m y m

( 4) ( 2) 4
(2 1) ( 4)

+ − + =

− + − =

e)
m x y m
m x y m m
2 2
( 1) 2 1
2

+ − = −

− = +

f)
mx y m
x my m
2 1
2 2 5

+ = +

+ = +

Bài 9. Trong các hệ phương trình sau hãy:
i) Giải và biện luận. ii) Tìm m ∈ Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a)
m x y m
m x y m m
2 2
( 1) 2 1
2

+ − = −

− = +

b)
mx y
x m y m
1
4( 1) 4

− =

+ + =

c)
mx y
x my m
3 3
2 1 0

+ − =

+ − + =


Trang 23
VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
Phương trình bậc nhất – bậc hai
Bài 10. Trong các hệ phương trình sau hãy:
i) Giải và biện luận.
ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m.
a)
mx y m
x my m
2 1
2 2 5

+ = +

+ = +

b)
mx m y
m x my
6 (2 ) 3
( 1) 2

+ − =

− − =

c)
mx m y m

x my
( 1) 1
2 2

+ − = +

+ =

Bài 11. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
ax y b
x y3 2 5

+ =

+ = −

b)
y ax b
x y2 3 4

− =

− =

c)
ax y a b
x y a2

+ = +


+ =

d)
a b x a b y a
a b x a b y b
( ) ( )
(2 ) (2 )

+ + − =

− + + =

e)
ax by a b
bx ay ab
2 2
2

+ = +

+ =

f)
ax by a b
bx b y b
2
2
4



− = −

− =


Bài 12. Giải các hệ phương trình sau:
a)
x y z
x y z
x y z
3 1
2 2 5
2 3 0

+ − =

− + =


− − =

b)
x y z
x y z
x y z
3 2 8
2 6
3 6


+ + =

+ + =


+ + =

c)
x y z
x y z
x y z
3 2 7
2 4 3 8
3 5

− + = −

− + + =


+ − =

Trang 24
Phương trình bậc nhất – bậc hai
1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai
• Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.
• Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
• Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.
2. Hệ đối xứng loại 1
Hệ có dạng: (I)

f x y
g x y
( , ) 0
( , ) 0

=

=

(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).
(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).
• Đặt S = x + y, P = xy.
• Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.
• Giải hệ (II) ta tìm được S và P.
• Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình:
X SX P
2
0− + =
.
3. Hệ đối xứng loại 2
Hệ có dạng: (I)
f x y
f y x
( , ) 0 (1)
( , ) 0 (2)

=

=


(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).
• Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:
(I) ⇔
f x y f y x
f x y
( , ) ( , ) 0 (3)
( , ) 0 (1)

− =

=

• Biến đổi (3) về phương trình tích:
(3) ⇔
x y g x y( ). ( , ) 0− =
⇔
x y
g x y( , ) 0

=

=

.
• Như vậy, (I) ⇔
f x y
x y
f x y
g x y
( , ) 0

( , ) 0
( , ) 0


=


=



=



=


.
• Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).
4. Hệ đẳng cấp bậc hai
Hệ có dạng: (I)
a x b xy c y d
a x b xy c y d
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2

+ + =



+ + =


.
• Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).
• Khi x
≠
0, đặt
y kx=
. Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương
trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y).
Chú ý: – Ngoài các cách giải thông thường ta còn sử dụng phương pháp hàm số để
giải (sẽ học ở lớp 12).
– Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm
x y
0 0
( ; )
thì
y x
0 0
( ; )

cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì
x y
0 0
=
.
Trang 25

IX. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
IX. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
Phương trình bậc nhất – bậc hai
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
x y
x y
2 2
4 8
2 4

+ =

+ =

b)
x xy
x y
2
24
2 3 1

− =

− =

c)
x y
x y
2

( ) 49
3 4 84

− =

+ =

d)
x xy y x y
x y
2 2
3 2 3 6 0
2 3

− + + + − =

− =

e)
x y
xy x y
3 4 1 0
3( ) 9

− + =

= + −

f)
x y

xy x y
2 3 2
6 0

+ =

+ + + =

g)
y x x
x y
2
4
2 5 0

+ =

+ − =

h)
x y
x y y
2 2
2 3 5
3 2 4

+ =

− + =


i)
x y
x xy y
2 2
2 5
7

− =

+ + =

Bài 2. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
x y
x y m
2 2
6

+ =

+ =

b)
x y m
x y x
2 2
2 2

+ =


− + =

c)
x y
x y m
2 2
3 2 1

− =

+ =

Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
a)
x xy y
x y xy x y
2 2
11
2( ) 31

+ + =

+ − − + = −

b)
x y
x xy y
2 2
4
13


+ =

+ + =

c)
xy x y
x y x y
2 2
5
8

+ + =

+ + + =

d)
x y
y x
x y
13
6
6

+ =



+ =


e)
x x y y
x y xy
3 3 3 3
17
5

+ + =

+ + =

f)
x x y y
x xy y
4 2 2 4
2 2
481
37


+ + =

+ + =


Bài 4. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
x y xy m
x y m
2 2

3 2

+ + =

+ = −

b)
x y m
x y xy m m
2 2 2
1
2 3

+ = +

+ = − −

c)
x y m
xy x y m
( 1)( 1) 5
( ) 4

+ + = +

+ =

Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
a)
x x y

y y x
2
2
3 2
3 2


= +

= +


b)
x y x y
y x y x
2 2
2 2
2 2
2 2


− = +

− = +


c)
x x y
y y x
3

3
2
2


= +

= +


d)
y
x y
x
x
y x
y
3 4
3 4

− =




− =


e)
y

y
x
x
x
y
2
2
2
2
2
3
2
3

+
=



+

=


f)
x y
y
y x
x
2

2
1
2
1
2

= +




= +


Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
x x my
y y mx
2
2
3
3


= +

= +


b)

x y m m
y x m m
2 2
2 2
(3 4 ) (3 4 )
(3 4 ) (3 4 )


− = −

− = −


c)
xy x m y
xy y m x
2
2
( 1)
( 1)


+ = −

+ = −


Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
a)
x xy y

x xy y
2 2
2 2
3 1
3 3 13


− + = −

− + =


b)
x xy y
x xy y
2 2
2 2
2 4 1
3 2 2 7


− + = −

+ + =


c)
y xy
x xy y
2

2 2
3 4
4 1


− =

− + =


d)
x xy y
x xy y
2 2
2 2
3 5 4 38
5 9 3 15


+ − =

− − =


e)
x xy y
x xy y
2 2
2 2
2 3 9

4 5 5


− + =

− + =


f)
x xy y
x xy y
2 2
2 2
3 8 4 0
5 7 6 0


− + =

− − =


Bài 8. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
x mxy y m
x m xy my m
2 2
2 2
( 1)



+ + =

+ − + =


b)
xy y
x xy m
2
2
12
26


− =

− = +


c)
x xy y m
y xy
2 2
2
4
3 4


− + =


− =


Trang 26
Phương trình bậc nhất – bậc hai
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III
Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau:
a)
m x m x m
2 2
4 3+ − = +
b)
a b x a a a b a b x
2 2 2 2
( ) 2 2 ( ) ( )+ + = + + +
c)
a x ab b x a b
2 2 2 2
2+ = + +
d)
a ax b ax b
2
( ) 4 5+ = + −
Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a)
x m x m
x x
2 1
1

1
+ + −
− =
−
b)
m x
m x m
x
2
2 1
1
− = +
−
c)
mx m
x
x x
2 1 1
2 1
1 1
− +
− − =
− −
d)
x x m1 2 3− + − =
Bài 3. Giải và biện luận các phương trình sau:
a)
x x m
2
2 12 15 0+ − =

b)
x m x m
2 2
2( 1) 0− − + =
b)
x mx m
2
1 0− + − =
d)
x m x m m
2
2( 2) ( 3) 0− − + − =
Bài 4. Tìm m để phương trình có một nghiệm x
0
. Tính nghiệm còn lại:
a)
x mx m x
2
0
3
1 0;
2
− + + = = −
b)
x m x m x
2 2
0
2 3 0; 1− + = =
.
Bài 5. Trong các phương trình sau, tìm m để:

i) PT có hai nghiệm trái dấu
ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt
iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt
iv) PT có hai nghiệm phân biệt
x x
1 2
,
thoả:
x x
3 3
1 2
0+ =
;
x x
2 2
1 2
3+ =
a)
x m x m m
2
2( 2) ( 3) 0− − + − =
b)
x m x m
2 2
2( 1) 0+ − + =
c)
x m x m
2 2
2( 1) 2 0− + + − =
d)

m x m x m
2
( 2) 2( 1) 2 0+ − − + − =
e)
m x m x m
2
( 1) 2( 4) 1 0+ + + + + =
f)
x x m
2
4 1 0− + + =
Bài 6. Trong các phương trình sau, hãy:
i) Giải và biện luận phương trình.
ii) Khi phương trình có hai nghiệm
x x
1 2
,
, tìm hệ thức giữa
x x
1 2
,
độc lập với m.
a)
x m x m
2
( 1) 0+ − − =
b)
x m x m m
2
2( 2) ( 3) 0− − + − =

c)
m x m x m
2
( 2) 2( 1) 2 0+ − − + − =
d)
x m x m
2 2
2( 1) 2 0− + + − =
Bài 7. Giải các phương trình sau:
a)
x x
2 2
6 12+ − =
b)
x x
2 2
11 31+ + =
c)
x x16 17 8 23+ = −
d)
x x x
2
2 8 3( 4)− − = −
e)
x x x
2
3 9 1 2 0− + + − =
f)
x x x
2

51 2 1− − = −
g)
x x x
2 2
( 3) 4 9− − = −
h)
x x3 1 3 1+ + = −
Bài 8. Giải các phương trình sau:
a)
x x4 3 10 3 2− − = −
b)
x x x5 3 2 4− + + = +
c)
x x x3 4 2 1 3+ − − = +
d)
x x x x
2 2
3 3 3 6 3− + + − + =
e)
x x x2 2 3 3 5+ − − = −
f)
x x x3 3 5 2 4− − − = −
g)
x x x2 2 2 1 1 4+ + + − + =
h)
811 +−=−+ xxx
Bài 9. Giải các phương trình sau:
Trang 27
Phương trình bậc nhất – bậc hai
a)

x x x x2 1 2 1 2+ − − − − =
b)
x
x x x x
3
2 1 2 1
2
+
+ − + − − =
c)
x x x x
4
2 2
1 1 2− − + + − =
d)
x x x x
2 2
13 7− − − + =
e)
x x x x
2 2
2 3 1 3 4+ − + = +
f)
x x x x
2 2
2 3 2 1 9+ + + = −
g)
x x x x
2 2
2 4 2 2− − + = −

h)
x x x x
2 2
2 5 3 5 23 6+ + + = −
Bài 10. Trong các hệ phương trình sau:
i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m.
a)
mx y m
x my a
2 1
2 2 1

+ = +

+ = −

b)
mx y m
x my m
3
2 1

+ =

+ = +

c)
x y m
x y m

2 4
2 3 3

− = −

+ = +

d)
x y
y x m
2 5
2 10 5

+ =

− = +

Bài 11. Giải các hệ phương trình sau:
a)
x xy y
x y y x
2 2
1
6

+ + = −

+ = −

b)

x y
x x y y
2 2
4 2 2 4
5
13


+ =

− + =


c)
x y y x
x y
2 2
3 3
30
35


+ =

+ =


d)
x y
x y x y

3 3
5 5 2 2
1


+ =

+ = +


e)
x y xy
x y x y
2 2
4 4 2 2
7
21


+ + =

+ + =


f)
x y xy
x y x y
2 2
11
3( ) 28


+ + =

+ + + =

Bài 12. Giải các hệ phương trình sau:
a)
x y
xy
x y
x y
2 2
2 2
1
( )(1 ) 5
1
( )(1 ) 49

+ + =




+ + =


b)
( )
y x x y
x y

x y
2 2
2 2
2 2
( 1) 2 ( 1)
1
1 24

+ = +

 

+ + =
 ÷

 ÷
 

c)
x y
x y
x y
x y
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4


+ + + =




+ + + =


d)
x y
x y
x y
xy
2 2
2
3
1 1
1
( )(1 ) 6

+ =


+ +


+ + =


e)

x y y x y x xy
y x
xy
xy x y
2 2
2 2 6
1
4

+ + + =


+ + + =


f)
xy
xy
x y
xy
1
4
1
( ) 1 5

+ =



 


+ + =
 ÷

 

Bài 13. Giải các hệ phương trình sau:
a)
x x y
y y x
2
2
3 2
3 2


= +

= +


b)
x x y
y y x
3
3
2
2



= +

= +


c)
x x y
y y x
3
3
3 8
3 8


= +

= +


d)
x y
y
y x
x
2
2
1
2
1
2


= +




= +


e)
x y
x
y x
y
2
2
3
2
3
2

+ =




+ =


f)

y
y
x
x
x
y
2
2
2
2
2
3
2
3

+
=



+

=


Trang 28