Sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân phi tuyến trong miền nhiều chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC CẦN THƠ




VÕ NGỌC ĐĂNG KHOA




SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG
CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN
TRONG MIỀN NHIỀU CHIỀU





LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60. 46. 01





Thành phố Cần Thơ
2007
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC CẦN THƠ

SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG
CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN
TRONG MIỀN NHIỀU CHIỀU


LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60. 46. 01



Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long
Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh
Học viên cao học: Võ Ngọc Đăng Khoa






Thành phố Cần Thơ
2007

Lời cảm ơn


Qua thời gian học tập và nghiên cứu, đến nay luận văn này đã hoàn thành. Lời
đầu tiên, tác giả xin trân trọng cảm ơn Thầy Nguyễn Thành Long đã tận tình giảng
dạy, giúp đỡ và hướng dẫn việc hoàn thành luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy đã đọc luận văn và cho những nhận xét quý
báu.
Xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc Khoa Toán – Tin học trường Đại học
Khoa học Tự
nhiên TP. Hồ Chí Minh và Quý Thầy, Cô trường Đại học Cần Thơ đã
tận tình giảng dạy chúng tôi trong suốt thời gian học tập.
Xin trân trọng cảm ơn Lãnh đạo và Cán bộ Phòng Quản lý Khoa học và Đào tạo
sau Đại học Cần Thơ đã tổ chức, tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi học tập và hoàn
tất việc bảo vệ luận văn.
Sau cùng, xin cảm ơn tậ
p thể lớp Cao học Toán khóa 11; Sở Giáo dục và Đào
tạo tỉnh Vĩnh Long; Ban Giám hiệu và tập thể giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn
Bỉnh Khiêm - Vĩnh Long; gia đình và người thân; . . . đã luôn động viên và nhiệt tình
giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập.

TP. Cần Thơ, ngày tháng năm 2007.


Võ Ngọc Đăng Khoa


Mục lục

Trang

Chương 1: Phần tổng quan. 1
Chương 2: Thiết lập phương trình tích phân trong miền hai chiều.
Bổ đề 2.1.
Bổ đề 2.2.
Bổ đề 2.3.
Định lý 2.4.
Định lý 2.5.
5
6
10
14
14
15
Chương 3: Sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân
phi tuyến với
22
1
(,,) (,) ( ) .gug u
β
α
ξη ξη ξ η
=++
Bổ đề 3.1.
Định lý 3.2.
16
16
21
Chương 4: Sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân
phi tuyến với
22 22

(, ,) ( )(1 ) .gxyu M x y x y u
β
γα
−
≥+++
Định lý 4.1.
30
30
Chương 5: Sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân
phi tuyến với
1
22 22
(,,,,) ( )( ) .gxy u M x y u
β
β
α
ξη ξ η
≥+ +

Định lý 5.1.
Phần kết luận.
Tài liệu tham khảo.
40
41
49
50


1

Chương 1
Phần tổng quan


Trong luận văn này, chúng tôi xét sự không tồn tại nghiệm liên tục không âm,
không đồng nhất bằng không ( , )uxy của phương trình tích phân phi tuyến
(1.1)
2
2
222
1(,;(,))
(, ) (, ) ,
2
()()()
R
gu d
uxy xy IR
xyz
ξ
ηξηξη
π
ξηζ
=∀∈
−+−+−
∫∫

trong đó số hạng phi tuyến ( , , )gu
ξ

η
xác định bởi hàm liên tục
2
:gIR IR IR
+
+
×
→
thỏa điều kiện:
Tồn tại các hằng số 0, 0, 0, 0
M
α
βγ
>≥≥≥ sao cho
(1.2)
(
)
22 22 2
(,;) (1 ) , (,,) ,guM u uIRIR
β
γα
ξη ξ η ξ η ξη
−
+
≥+++ ∀∈×

cùng với một số điều kiện khác. Phương trình tích phân phi tuyến được thành lập từ
bài toán Neumann phi tuyến dưới đây
(1.3)
2

0, ( , ) , 0,
xx yy zz
vv v v xy IR zΔ≡ + + = ∀ ∈ >
(1.4)
2
(, ,0) (,;(, ,0)),(, ) ,
z
vxy gxyvxy xy IR−= ∈

mà giá trị biên ( , ) ( , ,0)uxy vxy= cùng với một số điều kiện phụ sẽ là nghiệm của
phương trình (1.1)
Trong [1], các tác giả F. V. Bunkin, V. A. Galaktionov, N. A. Kirichenko, S.P.
Kurdyumov, A. A. Samarsky, đã nghiên cứu bài toán (1.3), (1.4) và phương trình
Laplace (1.3) trong tọa độ trụ
(1.5)
1
0, 0, 0,
rr r zz
uuu r z
r
++=∀>∀>

2
và với điều kiện biên phi tuyến cụ thể
(1.6)
22
00
(,0) exp( / ) (,0) 0,
z
ur I r r u r r

α
−
−=−+ ∀>
trong đó
I
0
, r
0
,
α
là các hằng số dương cho trước. Bài toán (1.3), (1.4) là bài toán
dừng của bài toán liên hệ sự đốt cháy bởi bức xạ. Giá trị biên ( ) ( ,0)
wr ur= của bài
toán (1.5), (1.6) cũng là nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến.
(1.7)
2
22
00
22
00
1
() exp( / ) () 0.
2
2cos
d
wr I s r w s sds r
rs rs
π
α
θ

π
θ
+∞
−
=−+ ∀>
⎡⎤
⎣⎦
+−
∫∫

Trong trường hợp
02,
α
<≤ các tác giả trong [1] đã chứng minh rằng phương
trình tích phân phi tuyến (1.7) không tồn tại nghiệm liên tục dương. Từ khi bài báo [1]
xuất hiện đã có nhiều tác giả nghiên cứu và mở rộng theo nhiều hướng khác nhau [1-
11]. Để tổng quát hóa kết quả trong [1], các tác giả trong [7] đã nới rộng cho phương
trình tích phân
(1.8)
2
22
00
1
() (, ()) 0,
2
2cos
d
wr gsws sds r
rs rs
+∞

=∀>
+−
∫∫
π
θ
π
θ

mà (1.6) là một trường hợp riêng.
Trong [11], các tác giả xét phương trình tích phân phi tuyến (1.1)
2
:gIR IR IR
++
×→ liên tục thỏa điều kiện
Tồn tại các hằng số: 0, 0
M
α
>≥sao cho
(1.9)
2
(,;) , (,,) ,guMu uIRIR
α
ξ
ηξη
+
≥∀ ∈×

(1.10)
(
)

2
(,;) (,;)( ) 0, (,) , , ,gugvuv IRuvIR
ξ
ηξη ξη
+
−−≥∀∈∀∈
(1.11) tích phân
2
22
1(,;0)
2
()()
IR
gdd
xy
ξ
ηξη
π
ξ
η
−+−
∫∫
tồn tại và dương.
Với các điều kiện (1.9) – (1.11), trong [11] đã chứng minh rằng nếu
02,
α
<
≤
thì phương trình tích phân phi tuyến (1.7) không tồn tại nghiệm liên tục dương. Một
số công trình về sau đã cải tiến chứng minh để bỏ bớt các giả thiết (1.10), (1.11) hoặc

nới rộng cho bài toán với miền có chiều cao hơn [2–6, 8–10]. Chú ý rằng hàm
(,;)guu
α
ξ
η
= không thỏa điều kiện (1.11) như trong các bài báo [2, 7, 11].

3
Trong luận văn này, chúng tôi xét sự không tồn tại nghiệm liên tục không âm,
không đồng nhất bằng không của phương trình tích phân phi tuyến (1.1) với hàm
(,;)
gu
ξ
η
thỏa điều kiện (1.2). Ngoài ra một số dạng nới rộng của phương trình tích
phân phi tuyến (1.1) cũng được khảo sát. Luận văn ngoài phần kết luận và tài liệu
tham khảo sẽ được trình bày trong 5 chương.
Chương 1 là phần tổng quan về nguồn gốc của bài toán, quá trình phát triển và
sơ nét về nội dung sẽ trình bày trong luận văn.
Trong chương 2, luận văn thiết lập phương trình tích phân (1.1) từ bài toán
Neumann phi tuyến (1.3) và (1.4).
Trong chương 3, chúng tôi khảo sát phương trình tích phân phi tuyến (1.1) với
(,,)
gu
ξ
η
cụ thể:
(1.12)
22
1

(,,) (,) ( ) ,gug u=++
β
α
ξη ξη ξ η

trong đó

2
1
:gIR IR
+
→ liên tục sao cho
(1.13) tích phân
2
1
22
(,)
()()
IR
gdd
xy
ξ
ηξη
ξ
η
−+−
∫∫
tồn tại và dương,
và , 0,
α

β
≥ là các hằng số cho trước thỏa một số điều kiện nào đó. Trong phần này,
luận văn thiết lập một bổ đề đánh giá sự hội tụ, phân kỳ của một biểu thức tích phân
và một số bất đẳng thức tích phân có liên quan ( Bổ đề 3.1). Bổ đề này cũng được vận
dụng một cách phù hợp cho các chương sau. Vẫn trong chương này, bằng phương
pháp thiế
t lập một dãy qui nạp các hàm, luận văn chứng minh rằng, nếu các hằng số
,0,
α
β
≥ thỏa điều kiện 0 2,
α
β
≤≤+ thì phương trình tích phân phi tuyến (1.1),
(1.12), (1.13) không tồn tại nghiệm liên tục không âm, không đồng nhất bằng không.
Trong chương 4 chúng tôi xét phương trình tích phân (1.1) với ( , ; )gu
ξ
η
thỏa
điều kiện (1.2). Bằng phản chứng, chúng tôi chứng minh rằng nếu các hằng số
0, 0, 0
α
βγ
≥≥≥ thỏa điều kiện 0 2, 1 0,
≤
≤−+ −+>
α
βγ βγ
thì phương trình

4
tích phân phi tuyến (1.1) sẽ không tồn tại nghiệm liên tục không âm, không đồng nhất
bằng không.
Trong chương 5 chúng tôi xét phương trình tích phân phi tuyến hai chiều tổng
quát
(1.14)
2
2
22
1(,,,;(,))
(, ) (, )
2
()()
IR
gxy u d d
uxy xy IR
xy
ξ
ηξηξη
π
ξη
=∀∈
−+−
∫∫
,
trong đó số hạng phi tuyến (,,,,)gxy u
ξ
η
được xác định bởi hàm
4

:gIR IR IR
+
+
×
→

phụ thuộc vào cả biến không lấy tích phân (x,y) và thỏa điều kiện:
Tồn tại các hằng số
1
0, 0, 0, 0 1M
α
ββ
>≥≥≤<, sao cho
(1.15)
1
22 22 4
(,,,,) ( )( ) , (,,,,) .gxy u M x y u xy u IR IR
+
≥+ + ∀ ∈×
β
βα
ξη ξ η ξη

Chú ý rằng phương trình (1.14) không xuất phát từ việc thiết lập phương trình
tích phân từ bài toán Neumann (1.3), (1.4). Vẫn bằng phương pháp phản chứng,
chúng tôi chứng minh rằng nếu các hằng số
1
,,
α
ββ

trong (1.15) thỏa điều kiện
0,
α
≥

1
0, 0 1,
β
β
≥≤<
1
2
0,
1
β
α
β
+
≤≤
−
thì phương trình tích phân phi tuyến (1.14) sẽ
không tồn tại nghiệm liên tục không âm, không đồng nhất bằng không.
Kế đến là phần kết luận và sau cùng là danh mục các tài liệu tham khảo.
Nhìn chung các kết quả trình bày trong các chương 4, 5 là một nới rộng nhỏ kết
quả trong [7, 11].




5

Chương 2
Thiết lập phương trình tích phân trong miền hai chiều.



Trong chương này, chúng ta muốn thiết lập phương trình tích phân phi tuyến
(2.1)
2
2
22
1(,;(,))
(, ) (, ) ,
2
()()
IR
gu dd
uxy xy IR
xy
ξ
ηξηξη
π
ξη
=∀∈
−+−
∫∫

mà ẩn hàm ( , ) ( , ,0)uxy vxy= là giá trị biên của bài toán Neumann phi tuyến cho

phương trình Laplace trong nửa không gian trên
3
.
I
R
+

Trước hết ta đặt các ký hiệu


{
}
{}
33
33
(,,) : 0,
(,,) : 0.
IR x y z IR z
IR x y z IR z
+
+
=∈>
=∈≥


Với mỗi 0
R
> , ta đặt

{

}
{}
{}
{}
3222
33222
322
3222
(, ,) : ,
(, ,) : , 0,
,(,,0): ,
(, ,) : , 0.
R
RR
RRRR
R
BxyzIRxyzR
BIR xyzIR xyzRz
DSD xy IR xyR
SxyzIRxyzRz
+
=∈++<
Ω= ∩ = ∈ + + < >
∂Ω = ∪ = ∈ + <
=∈++=>

Xét bài toán: Tìm một hàm ( , , )vvxyz
=
có tính chất
(S

1
)
23 3 3
() (), (),
z
v C IR CIR v CIR
++ +
∈∩ ∈
(S
2
)
(,,) (,,)
lim sup ( , , ) . sup ( , , ) 0,
RR
R
xyz S xyz S
v
vxyz R xyz
n
→+∞
∈∈
∂
⎛⎞
+
=
⎜⎟
∂
⎝⎠

và thỏa phương trình Laplace

6
(2.2)
3
0, ( , , ) ,vxyzIR
+
Δ= ∈
với điều kiện biên Neumann
(2.3)
2
1
(,,0) (,),(,) ,
z
v xy g xy xy IR−= ∈
trong đó,
.
n
∂
∂
chỉ đạo hàm theo hướng vectơ pháp tuyến đơn vị
n
r
trên nửa mặt cầu
R
S
hướng ra ngoài và
1
g là hàm số cho trước liên tục trên
2
.

I
R
Xét hàm Green cho phương trình Laplace với điều kiện Neumann
(2.4)
222
222
11
(,,;,, )
4
()()()
11
.
4
()()()
Gxyz
xyz
xyz
=
−+−+−
+
−+−++
ξηζ
π
ξηζ
π
ξ
ηζ

Chú ý rằng cố định
3

(,,)
x
yz IR
+
∈
, hàm ( , , ) ( , , ; , , )Gxyz
ξ
ηζ ξηζ
a thuộc lớp C
∞

trong
{
}
3
(,,) \(,,),(, , )
x
yz IR xyz xy zΩ= − và
(2.5) 0, ( , , ) ( , , ),GG G G xyzΔ= + + = ∈Ω
ξξ ηη ζζ
ξ
ηζ

(2.6)
(,,;,,0) 0,Gxyz
ζ
ξ
η
= trên 0.
=

ζ

Cố định
3
(,,)
x
yz IR
+
∈ , và số thực R > 0, chọn
ε
đủ nhỏ sao cho

{
}
3 222 3
(,,) :( )( )( ) .
RR
SIRxyzIRB
ε
ξηζ ξ η ζ ε
+
= ∈ −+−+− ≤⊂∩≡Ω

Áp dụng công thức Green trên miền
\
R
S
ε
Ω , ta viết được
(2.7)

\
(. . ) . . . . .
R
R
S S
vG vG
G v v Gddd G v dS G v dS
nn nn
∂Ω
Ω ∂
∂∂ ∂∂
⎛⎞⎛⎞
Δ− Δ = − − −
⎜⎟⎜⎟
∂∂ ∂∂
⎝⎠⎝⎠
∫∫∫ ∫∫ ∫∫
ε ε
ξηζ

Ta có bổ đề sau

Bổ đề 2.1
. Với giả thiết (S
1
), ta có
(2.8)
0
lim . . ( , , ).
R

S
vG
GvdSvxyz
nn
ε
+
→
∂
∂∂
⎛⎞
−=
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∫∫

Chứng minh Bổ đề 2.1.
Ta viết hàm Green dưới dạng

7
(2.9) (,,;,, ) (,,;,, ) (,,;,, ),Gxyz sxyz xyz
ξ
ηζ ξηζ ξηζ
=+Φ
trong đó
(2.10)
222
11
(, ,;,, ) ,
4

()()()
sxyz
xyz
ξηζ
π
ξηζ
=
−+−+−

(2.11)
222
11
(, ,;,, )
4
()()()
(, ,;,, ).
xyz
xyz
sxyz
ξηζ
π
ξ
ηζ
ξη ζ
Φ=
−+−++
=−

Ta có
(2.12)

12

(, ,;) (, ,;).
RR R
SS S
vG v vs
GvdS vdS svdS
nn nn nn
I xyz I xyz
εε
∂∂ ∂
∂∂ ∂∂Φ ∂∂
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−=Φ−+−
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
=+
∫∫ ∫∫ ∫∫

Do giả thiết (S
1
), hàm (,, ) . .
v
v
nn
ξηζ
∂
∂Φ
Φ−

∂
∂
a liên tục trên S
ε
nên
(2.13)
1
00
lim ( , , ; ) lim . . 0.
S
v
Ixyz v dS
nn
ε
εε
ε
++
→→
∂
∂∂Φ
⎛⎞
=Φ− =
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∫∫

Ta sẽ sử dụng phép biến đổi biến
(,, ) ( , , ) , , ,
x

yz
ξηζ
ξηζ ξ η ζ
εεε
−− −
⎛⎞
′′′
=
⎜⎟
⎝⎠
a
chuyển tích phân trên mặt cầu tâm ( , , )
x
yz bán kính
ε
về tích phân trên mặt cầu đơn
vị tâm O.
Trước hết, trên mặt cầu

{
}
3222
(,, ) : ( ) ( ) ( ) ,SIRxyz
ε
ξ
ηζ ξ η ζ ε
+
∂= ∈ − + − +− =
ta có

,,
x
yz
n
ξηζ
εεε
−− −
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
r
,
(2.14)
1
(, ,; , , ) ,
4
sxyzx y z
εξ εη εζ
π
ε
′′′
+++=

(,, ) (,, ) (,, ) (,, ) ,
vv xv yv z
n
∂∂−∂−∂−
=++
∂∂ ∂ ∂

ξ
ηζ
ξηζ ξηζ ξηζ ξηζ
ξ
εη εζ ε


8
(2.15)
(,,)(,,)
vv
xyz xyz
n
∂∂
′′′ ′′′′
+++=+++
∂∂
ε
ξεηεζ εξεηεζξ
ξ


(, , )
(, , ).
v
xyz
v
xyz
∂
′

′′′
++++
∂
∂
′
′′′
++++
∂
ε
ξεηεζη
η
ε
ξεηεζζ
ζ

Khi đó
(2.16)
222
()()()
.(,,;,,).(,,)
S
xyz
vv
s
dS s x y z dS
nn
ε
ξηζε
ξηζ ξηζ
∂

−+−+−=
∂∂
=
∂∂
∫∫ ∫∫


222
222
222
2
1
1
2
1
1
1+
1
[(, ,; , , )
(, , )]
(, , )
4
(, , )0khi0.
4
sxyzx y z
v
xyz dS
n
v
xyzdS

n
v
xyzdS
n
ξηζ
ξηζ
ξηζ
εεξεηεζ
εξ εη εζ
ε
εξ εη εζ
πε
ε
εξ εη εζ ε
π
′′′
++ =
′′′
++ =
′′′
++ =
′′′
=+++
∂
′′′
×+++
∂
∂
′′′
=+++

∂
∂
′′′
=+++→→
∂
∫∫
∫∫
∫∫

(2.17)
222
11
(, ,;,, )
4
()()()
sxyz
xyz
ξηζ
π
ξ
ηζ
=
−+−+−


()
1/2
222
1
()()(),

4
xyz
−
=−+−+−
ξηζ
π


()
()
()
3/2
222
3/2
222
3/2
222
1
()()()(),
4
1
()()()(),
4
1
()()()().
4
s
xx y z
s
yx y z

s
zx y z
ξξ η ζ
ξπ
ηξ η ζ
ηπ
ζξ η ζ
ζπ
−
−
−
∂
= − −+−+−
∂
∂
=−−+−+−
∂
∂
=−−+−+−
∂

Trên
,,,,
x
yz
Sn
ε
ξηζ
εεε
−− −

⎛⎞
∂=
⎜⎟
⎝⎠
r

(2.18)
(,,;,, ) (, ,;,, ) (,,;,, )
s
sxsy
xyz xyz xyz
n
∂∂−∂−
=+
∂∂ ∂
ξ
η
ξηζ ξηζ ξηζ
ξ
εη ε


9

(, ,;,, )
s
z
xyz
∂
−

+
∂
ζ
ξηζ
ζ
ε


()
3/2
222
222
2
222
1
()()()
4
()()()
11 1
.
44
()()()
xyz
xyz
xyz
ξηζ
π
ξηζ
εεε
πε πε

ξηζ
−
−
=−+−+− ×
−−−
⎡
⎤
×++
⎢
⎥
⎣
⎦
−−
==
−+−+−

Vậy từ (2.18), ta suy ra
(2.19)
222
222
222
22 2
()()()
2
()()()
2
1
2
1
1

1
. (,,). (,,;,,)
1
(,, )
4
(, , )
4
1
(, , )
4
1
4
S
xyz
xyz
ss
vdS v xyz dS
nn
vdS
vx y z dS
vx y z dS
v
ε
ξηζε
ξηζε
ξηζ
ξηζ
ξηζ ξηζ
ξηζ
πε

ε
εξ εη εζ
πε
εξ εη εζ
π
π
∂
−+−+−=
−+−+−=
′′′
++ =
′′′
++ =
∂∂
−=−
∂∂
=
′′′
=+++
′′′
=+++
→
∫∫ ∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
222
1
1
(,,) (,,)khi 0.xyzdS vxyz

ξηζ
ε
+
′′′
++ =
=→
∫∫

Do đó, từ (2.16) và (2.19)
(2.20)
2
000
lim ( , , ; ) lim . lim . ( , , ).
SS
vs
I
xyz s dS v dS vxyz
nn
εε
εεε
ε
+++
→→→
∂∂
∂
∂
=− =
∂∂
∫∫ ∫∫

Từ (2.12), (2.13) và (2.20) ta suy ra bổ đề 2.1 được chứng minh.

Từ (2.7), thay 0, ( , , ) ( , , )Gxyz
ξ
ηζ
Δ= ∀ ∈Ω và
3
0, ( , , ) ,vIR
ξ
η
ζ
+
Δ
=∀ ∈
sau đó
cho
0
ε
+
→ ta thu được
(2.21)
(,,) . . , (,,) .
R
R
vG
vxyz G v dS xyz
nn
∂Ω
∂∂
⎛⎞

=− ∀∈Ω
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∫∫

Khi đó ta thu được bổ đề sau

10
Bổ đề 2.2. Giả sử v là nghiệm của (2.2), (2.3) thỏa các điều kiện (S
1
) và (S
2
), ta
có
(2.22)
2
lim . . ( , , ; , ,0) ( , ,0) .
R
z
R
IR
vG
GvdSGxyz v dd
nn
ξ
ηξηξη
→+∞
∂Ω
∂∂

⎛⎞
−=−
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∫∫ ∫∫

Chứng minh Bổ đề 2.2. Nhắc lại rằng

{
}
{}
322
3222
,(,,0): ,
(, ,) : , 0.
RRRR
R
DSD xy IR xyR
SxyzIRxyzRz
∂Ω = ∪ = ∈ + <
=∈++=>

Ta viết
(2.23)
.
RR
R
DS
S

vG vG vG
GvdSGvdSGvdS
nn nn nn
∂
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−=−+−
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
∫∫ ∫∫ ∫∫

Ta sẽ chứng minh rằng
(2.24)
2
lim . . ( , , ; , ,0) ( , ,0) ,
R
z
R
D
IR
vG
GvdSGxyz v dd
nn
ξ
ηξηξη
→+∞
∂∂
⎛⎞
−=−

⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∫∫ ∫∫

(2.25)
lim . . 0.
R
R
S
vG
GvdS
nn
→+∞
∂∂
⎛⎞
−=
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∫∫

Chứng minh (2.24). Trên
R
D
chọn (0,0, 1), .
z
v
nv
n

∂
=
−=−
∂
r

(2.26)
()
1/2
222
1
(,,;,,) ( )( )( ) ,
4
sxyz x y z
−
=−+−+−
ξηζ ξ η ζ
π


()
3/2
222
1
()()()().
4
s
zx y z
ζξ η ζ
ζπ

−
∂
= − −+−+−
∂

Tương tự ta có

()
1/2
222
1
(, ,;,, ) ( )( ) ( ) ( ) ,
4
xyz z x y z
−
Φ=−−+−++
ξηζ ζ ξ η ζ
π

(2.27)
()
3/2
222
Φ 1
()()()() .
4
−
∂−
=+−+−++
∂

ζ z ξ x η y ζ z
ζπ

Do đó
(2.28) ( , , ; , , 0) ( , , ; , , 0) Φ (, , ; , ,0) 0,
=
+=
ζζ ζ
Gxyzξη sxyzξη xyzξη

11
hay
(2.29)
(, ,;,,0) 0,
R
ζ
D
G
Gxyzξη
n
∂
=− =
∂

(2.30)
222
11
.
2
()()

=×
−+−+
R
D
G
π
x ξ y η z

Vậy từ (2.29) và (2.30) dẫn tới
(2.31)
lim . . lim .
RR
RR
DD
vG v
GvdS GdS
nn n
→+∞ →+∞
∂∂ ∂
⎛⎞
−=
⎜⎟
∂∂ ∂
⎝⎠
∫∫ ∫∫


2
lim .
( , , ; , ,0). ( , ,0) .

R
z
R
D
z
R
Gv dξdη
Gxyzξη v ξη dξdη
→+∞
=−
=−
∫∫
∫∫

Chứng minh (2.25). Trước hết, ta đánh giá các tích phân trên .
R
S
(i) Đánh giá tích phân

R
S
v
GdS
n
∂
∂
∫∫

Trên
R

S ta có
(2.32)
222
11
0(,,;,,) ,(,,) ,
2
R
Gxyzξηζ ξηζ S
π
Rxyz
≤≤× ∀∈
−++

(2.33)
(,,) (,,) (,,) (,,) .
∂∂ ∂ ∂
=++
∂∂ ∂ ∂
vvξ v η v ζ
ξηζ ξηζ ξηζ ξηζ
n ξ R η R ζ R

Do đó
(2.34)
222
11
.S (,,)
2
R R
SS

vv
Gd ξηζ dS
n π n
Rxyz
∂∂
≤×
∂∂
−++
∫∫ ∫∫


222
11
2
(,,) (,, ) (,, )
R
S
π
Rxyz
v ξ v η v ζ
ξηζ ξηζ ξηζ dS
ξ R η R ζ R
=×
−++
∂∂∂
×++
∂∂∂
∫∫

12

1
222
2
1
11
2
(,,) (,,)
(,,)
S
π
Rxyz
vv
RRξ Rη Rζξ Rξ Rη Rζη
ξη
v
Rξ Rη RζζdS
ζ
=
−++
∂∂
′
′′′ ′′′′
×+
∂∂
∂
′
′′′
+

∂
∫∫


1
2
1
222
1
(,,)S
2
S
Rv
Rξ Rη Rζ d
π n
Rxyz
∂
′′′
=
∂
−++
∫∫


'''
1
2
222
(,,)
1

sup ( , , ) 2
2
ξηζ S
Rv
Rξ Rη Rζπ
π n
Rxyz
∈
∂
′′′
≤
∂
−++


2
222
(,,)
sup ( , , ) .
R
ξηζ S
Rv
ξηζ
n
Rxyz
∈
∂
=
∂
−++

(ii) Đánh giá tích phân

R
S
G
vdS
n
∂
∂
∫∫

Trên
R
S ta có (,,),
ξηζ
n
R
RR
=
r

(2.35)
(,,;,, ) (,,;,, ) (, ,;,,)
(, ,;,, ) .
GGξ G η
xyzξηζ xyzξηζ xyzξηζ
n ξ R η R
G ζ
xyzξηζ

ζ R
∂∂ ∂
=+
∂∂ ∂
∂
+
∂

(2.36) ( , , ; , , ) ( , , ; , , ) Φ(, ,;,, ),Gxyzξηζ sxyzξηζ xyzξηζ
=
+

()
1/2
222
1
(, ,;,, ) ( ) ( ) ( )
4
sxyzξηζ ξ x η y ζ z
π
−
=−+−+− ,

()
3/2
222
1
()()()() ,
4
s

x ξξx η y ζ z
ξπ
−
∂
=−−+−+−
∂

Suy ra
(2.37)
()
3/2
222
1
4
()()()
x ξ
s
ξπ
ξ x η y ζ z
−
∂
≤
∂
−+−+−


13

()
2

222
11
4
()()()
π
ξ x η y ζ z
≤
−+−+−


2222
11
.
4
()
π
Rxyz
≤
−++

Tương tự
(2.38)
2222 2222
11 11
,,
44
()()
ss
ηπ ζ π
R xyz R xyz

∂∂
≤≤
∂∂
−++ −++


2222 2222
Φ 11 Φ 11
,,
44
()()
ξπ ηπ
Rxyz Rxyz
∂∂
≤≤
∂∂
−++ −++


2222
Φ 11
.
4
()
ζπ
Rxyz
∂
≤
∂
−++

Vậy ta suy ra từ (2.35) –(2.38) rằng
(2.39) (,,;,,) (,,;,,) (,,;,,)
GGG
xyzξηζ xyzξηζ xyzξηζ
n ξη
∂∂∂
≤+
∂∂∂


2222
2222
(, ,;,, )
16
4
()
31
,(,,) .
2
()
R
G
xyzξηζ
ζ
π
Rxyz
ξηζ S
π
Rxyz

∂
+
∂
≤
−++
=∀∈
−++

Do đó
(2.40)
2222
31
.(,,)
2
()
R R
SS
G
vdS vξηζdS
n π
Rxyz
∂
≤×
∂
−++
∫∫ ∫∫


2
2222

(,,)
31 4
sup ( , , )
22
()
R
ξηζ S
πR
v ξηζ
π
Rxyz
∈
≤× ×
−++


14

2
2222
(,,)
3
sup ( , , ) .
()
R
ξηζ S
R
v ξηζ
Rxyz
∈

=
−++

Vậy từ (2.34) và (2.40), ta suy ra rằng
(2.41)
2
222
(,,)
S sup(,,)
R
R
ξηζ S
S
vG R v
Gvd ξηζ
nn n
Rxyz
∈
∂∂ ∂
⎛⎞
−≤
⎜⎟
∂∂ ∂
⎝⎠
−++
∫∫


(
)

2
2
(,,)
222
3
sup ( , , )
R
ξηζ S
R
v ξηζ
Rxyz
∈
+
−++


(
)
2
2
222
222
3RR
Rxyz
Rxyz
⎛⎞
⎜⎟
≤+
⎜⎟
−++

⎜⎟
−++
⎝⎠


(,,) (,,)
sup ( , , ) sup ( , , ) .
RR
ξηζ S ξηζ S
v
R ξηζ v ξηζ
n
∈∈
⎡
∂⎤
×+
⎢
⎥
∂
⎣
⎦

Sử dụng giả thiết (S
2
), từ (2.41) ta suy ra
lim . . 0
R
R
S
vG

GvdS
nn
→+∞
∂∂
⎛⎞
−
=
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∫∫
. Do đó
(2.25) đúng. Cuối cùng bổ đề 2.2 được chứng minh xong. Kết hợp (2.20) và bổ đề 2.2,
ta thu được bổ đề sau
Bổ đề 2.3. Giả sử v là nghiệm của bài toán (2.2), (2.3) thỏa các điều kiện (S
1
) và (S
2
)
ta có
(2.42)
2
(,,) (,,;,,0) (,,0)
z
IR
vxyz Gxyzξη v ξη dξdη=−
∫∫


2

3
1
(,,;,,0) (,) , (,,) .
IR
Gxyzξη g ξηdξdη xyz IR
+
=∀∈
∫∫

Khi đó, ta cũng thu được định lý sau
Định lý 2.4. Cho
2
:gIR IR IR
+
+
×→ là hàm liên tục. Giả sử v là nghiệm của bài toán
(2.43)
3
0, ( , , ) ,vxyzIR
+
Δ= ∈
với điều kiện biên Neumann
(2.44)
2
(, ,0) (,;(, ,0)),(, ) ,
z
vxy gxyvxy xy IR−= ∈

15
và thỏa các điều kiện (S

1
), (S
2
). Khi đó, v thỏa phương trình tích phân phi tuyến sau
(2.45)
2
3
222
1(,;(,,0))
(,,) , (, ,) .
2
()()
R
gv d
vxyz xyz IR
xyz
ξ
ηξη ξη
π
ξη
+
=∀∈
−+−+
∫∫

Giả sử v là nghiệm của bài toán (2.43), (2.44) thỏa các điều kiện (S
1
), (S
2
), với

2
:gIR IR IR
++
×→
là hàm liên tục. Giả sử rằng giá trị biên ( , ) ( , ,0)uxy vxy= của bài
toán (2.43), (2.44) thỏa thêm điều kiện
(S
3
) tích phân
2
22
1(,;(,,0))
2
()()
IR
gv dd
xy
ξ
ηξη ξη
π
ξη
−+−
∫∫
tồn tại
2
(, ) .
x
yIR
∀
∈

Khi đó, ta có định lý sau
Định lý 2.5. Cho
2
:gIR IR IR
+
+
×→ là hàm liên tục. Giả sử v là nghiệm của bài toán
(2.43), (2.44) thỏa các điều kiện (S
1
), (S
2
), (S
3
).
Khi đó, giá trị biên (, ) (, ,0)uxy vxy
=
thỏa một phương trình tích phân phi tuyến
sau
(2.46)
2
2
22
1(,;(,))
(, ) , (, ) .
2
()()
R
gu d
uxy xy IR
xy

ξ
ηξηξη
π
ξη
+
=∀∈
−+−
∫∫

Định lý 2.5, được suy từ công thức (2.45) bằng cách cho 0z
+
→ và sử dụng định
lý hội tụ bị chận Lebesgue.



16



Chương 3
Sự không tồn tại nghiệm dương
của phương trình tích phân phi tuyến với
22
1
(,,(,)) (,) ( ) (,).gu g u
βα
ξ
ηξη ξη ξ η ξη
=++

Chương nầy chúng tôi xét sự không tồn tại nghiệm liên tục không âm, không
đồng nhất bằng không ( , )uxy của phương trình tích phân phi tuyến (2.46) tương ứng
với số hạng phi tuyến cụ thể
(3.1)
22
1
(,,(,)) (,) ( ) (,),gu g u
βα
ξ
ηξη ξη ξ η ξη
=++

trong đó

2
1
:gIR IR
+
→
liên tục sao cho
(3.2) tích phân
2
22
(,)
()()
IR
gdd
xy

ξ
ηξη
ξ
η
−+−
∫∫
tồn tại và dương,
và , 0
α
β
≥ , là các hằng số cho trước thỏa một số điều kiện nào đó sẽ được chỉ rõ sau.
Đầu tiên ta cần bổ đề sau
Bổ đề 3.1. Với mỗi
2
0, 0, ( , ) .pq xyIR≥≥ ∈
Ta đặt:
(3.3)
[]
2
22 22
22
()(1 )
1
,(,) .
2
()()
qp
IR
dd
Apq xy

xy
ξ
ηξηξη
π
ξη
−
+++
=
−+−
∫∫

Khi đó
(3.4) Nếu 1,qp−≤ thì
[
]
,(,) .Apq xy
=
+∞
(3.5) Nếu 1,qp−> thì
[
]
,(,)
A
pq xy hội tụ và

17

[]
221 22
1

,(,) ( )(1 ).
2( 2)( 1)
qp
p
Apq xy x y x y
qpq
+−
+
≥+++
+−−

Hơn nữa, nếu p – q = 2, ta có
(3.6)
[]
22 2
22
1
,(,) ln(1 ),(,) ,
2
p
A
pq xy x y xy IR
xy
≥++∀∈
+

và nếu
22
1,xy+≥ thì
(3.7)

[]
22
22
1
1
,(,) ln( ).
2
2
p
x
y
Apq xy
xy
++
≥
+

Chứng minh bổ đề 3.1.
i) Giả sử 1.qp−≤
Sử dụng bất đẳng thức
(3.8)
222222 2
()() ,(,),(,) ,
x
yxy xyIR
ξη ξη ξη
−+−≤ ++ + ∀ ∈
ta có
(3.9)
[]

2
22 22
22
()(1 )
1
,(,)
2
()()
qp
IR
dd
Apq xy
xy
−
+++
=
−+−
∫∫
ξ
ηξηξη
π
ξη


2
22 22
22 22
()(1 )
1
2

qp
IR
dd
xy
−
+++
≥
++ +
∫∫
ξ
ηξηξη
π
ξη


1
1
22
0
[,] (,).
(1 ) ( )
q
p
r
dr A p q x y
rr x y
+
+∞
==
+++

∫

Khi ,r →+∞ ta có:
1
22
(1 ) ( )
q
p
r
rr x y
+
+++
∼
1
pq
r
−
và
0
1
,
pq
dr
r
+∞
−
=+∞
∫
do đó ta có
(3.4).

ii) Giả sử 1,
p
q−> ta sẽ chứng minh
[
]
,(,)
A
pq xy hội tụ.
a. Xét tại (x, y) = (0,0), khi đó

[]
2
22
22 22
()
1
,(0,0)
2
(1 )
q
p
IR
dd
Apq
ξη ξη
π
ξ
ηξη
+
=

++ +
∫∫


18
(3.10)
0
.
(1 )
q
p
rdr
r
+∞
=<+∞
+
∫

b. Giả sử (x, y) ≠ (0,0), chọn
22
3,Rxy>+ ta viết lại
[]
,(,)
A
pq xy thành tổng
hai tích phân

[]
22
22

22
22 22 22
()()
22
22 22 22
()()
()
1
,(,)
2
(1 ) ( )
()
1

2
(1 ) ( )
q
p
xyR
q
p
xyR
dd
Apq xy
xy
dd
xy
ξη
ξη
ξη ξη

π
ξ
ηξη
ξη ξη
π
ξ
ηξη
−+−≤
−+−≥
+
=
++ +++
+
+
++ +++
∫∫
∫∫

(3.11)
(1) (2)
(, ) (, ).Jxy Jxy=+
b
.1. Đánh giá
(1)
(, ).Jxy


22
22
22

22
(1)
22 22 22
()()
22
22 2 2
()()
()()
()
1
(, )
2
(1 ) ( )
()
1
sup
2
(1 ) ( ) ( )
q
p
xyR
q
p
xyR
xyR
dd
Jxy
xy
dd
xy

ξη
ξη
ξη
ξη ξη
π
ξη ξη
ξη
ξη
π
ξ
ηξη
−+−≤
−+−≤
−+−≤
+
=
++ +++
+
≤×
++ −+−
∫∫
∫∫

(3.12)
22
22 22
()()
sup ( ) (1 ) .
qp
xyR

R
ξη
ξη ξη
−
−+−≤
=+++<+∞
b
.2. Đánh giá
(2)
(, ).Jxy
Ta chú ý rằng do
22 22 2 2
()()xy x y
ξ
ηξη
++ +≥ − +−
nên

{}
{
}
222 22222
(,) : ( ) ( ) (,) : .
I
Rx y R IR Rxy
ξη ξ η ξη ξ η
∈−+−≥⊂∈+≥−+

Do đó

22
22 22
22 22
(2)
22
()()
22 22
22
()(1 )
1
(, )
2
()()
()(1 )
1
2
()()
qp
xyR
qp
Rxy
dd
Jxy
xy
dd
xy
ξη
ξη
ξ
ηξηξη

π
ξη
ξ
ηξηξη
π
ξη
−
−+−≥
−
+≥− +
+++
=
−+−
+++
≤
−+−
∫∫
∫∫


19

22 22
22 22
22 22
()(1 )
1
2
qp
Rxy

dd
xy
ξη
ξ
ηξηξη
π
ξη
−
+≥− +
+++
≤
+− +
∫∫

(3.13)
22
1
22
.
(1 )
q
p
Rxy
rdr
rr x y
+
+∞
−+
=
+−+

∫

Do
22
3,
R
xy>+ ta có
(3.14)
22 22 22 22
20,.r xyR xy xy rR xy− +≥− +> +>∀≥− +
Do đó, hàm
1
22
()
(1 ) (
q
p
r
rr
rr x y
+
→Ψ =
+−+
liên tục trên
22
rR x y≥− + và
1
()
pq
r

r
−
Ψ  khi .r →+∞ Vậy tích phân
22
1
22
(1 )
q
p
Rxy
rdr
rr x y
+
+∞
−+
+−+
∫
hội tụ và do đó
(3.15)
(2)
(, )Jxy cũng hội tụ khi 1.
p
q
−
>
Tổng hợp (3.10), (3.11), (3.12) và (3.15) ta thu được
[]
,(,)
A
pq xy hội tụ

2
(, )
x
yIR∀∈ khi 1.
p
q−>
Hơn nữa, khi 1,
p
q−> ta viết:
(3.16)
1
1
22
0
[,] (,) [,] (,)
(1 ) ( )
q
p
r
A
pq xy A pq xy dr
rr x y
+
+∞
≥=
+++
∫


22

22
11
22 22
0
11
(1 ) ( ) (1 ) ( )
(, ) (, ).
xy
pp
qq
xy
rdr rdr
rr x y rr x y
Kxy Kxy
+
++
+∞
+
=+
+++ +++
=+
∫∫

(3.17)
22
1
1
22
0
(, )

(1 ) ( )
xy
p
p
rdr
Kxy
rr x y
+
+
=
+++
∫


22
1
22 22 22
0
1
(1 ) ( )
xy
q
p
rdr
xy xy xy
+
+
≥
++ +++
∫

221 22
1
()(1 ).
2( 2)
qp
xy xy
q
+−
=+++
+


20
Chú ý rằng
(3.18)
22
22
22 22
1
,,
21
1
xy
rr
rxy
r
rxy xy
+

≥≥ ∀≥+
+
++ ++

ta thu được
(3.19)
22
1
2
22
(, )
(1 ) ( )
q
p
xy
rdr
Kxy
rr x y
+
+∞
+
=
+++
∫


()
()()
22
22

22
22
22
1
22
22
22
1
22 22
1
1
1
2
1
1
21
1
1
1.
2( 1)
p
qp
xy
p
qp
xy
qp
p
qp
r

rdr
r
rxy
xy
rdr
xy
xy
xy
qp
xy
xy xy
pq
+∞
−
+
+∞
−
+
−+
+−
⎛⎞
=
⎜⎟
+
⎝⎠
++
⎛⎞
+
=
⎜⎟

⎜⎟
++
⎝⎠
+
⎛⎞
+
≥
⎜⎟
⎜⎟
−+ −
++
⎝⎠
=+++
−−
∫
∫

Từ (3.16), (3.17) và (3.19), ta suy ra rằng
(3.20)
[]
12
,(,) (,) (,)
A
pq xy K xy K xy≥+

(
)
(
)
()()

()()
1
22 22
1
22 22
1
22 22
1
1
2( 2)
1
1
2( 1)
1
1.
2( 2)( 1)
qp
qp
qp
xy xy
q
xy xy
pq
p
xy xy
qpq
+−
+−
+−
≥+++

+
++++
−−
+
=+++
+−−

Do đó ta có (3.5) đúng.
iii) Giả sử q – p = 2. Từ (3.9), ta viết
(3.21)
[] []
1
1
22
0
, (,) , (,)
(1 ) ( )
q
p
rdr
Apq xy A pq xy
rr x y
+
+∞
≥=
+++
∫


1

22
1
(1 ) ( )
q
p
rdr
rr x y
+
+∞
≥
+++
∫


21

22
1
22
22
11
2
()
1
ln(1 ).
2
p
p
dr
rr x y

x
y
xy
+∞
=
++
=++
+
∫

Do đó ta có (3.6) đúng.
Nếu
222
(, ) , 1,xy IR x y∀∈ +≥ từ (3.21) ta viết
(3.22)
[] []
1
1
22
0
, (,) , (,)
(1 ) ( )
q
p
rdr
Apq xy A pq xy
rr x y
+
+∞
≥=

+++
∫


22
1
22
1
22
1
22
1
22
22
(1 ) ( )
11
2
()
11
2
()
1
1
ln .
2
2
q
p
p
xy

p
p
rdr
rr x y
dr
rr x y
dr
rr x y
x
y
xy
+
+∞
+∞
+
≥
+++
=
++
≥
++
⎛⎞
++
=
⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠
∫
∫

∫

Do đó ta có (3.7) đúng.
Bổ đề 3.1 được chứng minh.

Ta viết lại phương trình tích phân phi tuyến (2.46) theo dạng
(3.23)
2
(,) [(,,(,)](,), (,) ,uxy Hg u xy xy IR
ξη ξη
=∀∈

(3.24)
2
22
1(,)
[(,)](,) .
2
()()
IR
G
HG xy d d
xy
ξ
η
ξ
ηξη
π
ξη
=

−+−
∫∫

Khi đó, ta có định lý sau
Định lý 3.2. Cho
2
:gIR IR IR
+
+
×→ là hàm liên tục có dạng (3.1), (3.2). Nếu các
hằng số
,0,≥
α
β
thỏa điều kiện 02,
≤
≤+
α
β
thì phương trình tích phân phi tuyến
(3.23) không tồn tại nghiệm liên tục không âm, không đồng nhất bằng không.