ứng dụng lí thuyết điểm bất động trong hình nón vào phương trình tích phân phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Thân Văn Đính

ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG HÌNH NĨN VÀO PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tơi xin kính gửi đến Thầy PGS. TS Lê Hồn Hóa lời cảm ơn
sâu sắc và chân thành nhất vì sự tận tình giúp đỡ và chỉ bảo của Thầy dành cho
tôi trong suốt thời gian làm luận văn.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Q Thầy Cơ trường Đại học Sư Phạm
Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ
Chí Minh đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn tơi trong suốt khóa học.
Tơi xin chân thành cảm ơn Q Thầy Cơ Phịng Khoa học-Cơng nghệ và
Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều
kiện thuận lợi cho tôi trong suốt q trình học tập và hồn thành luận văn.
Tơi xin kính gửi đến Sở Giáo Dục và Đào Tạo Bình Phước, Ban Giám
Hiệu trường THPT Chu Văn An lời cảm ơn chân thành vì đã giúp đỡ và tạo mọi
điều kiện thuận lợi để tôi học tập và nghiên cứu.
Tơi cũng xin chân thành cảm ơn Q Thầy Cơ trường THPT Chu Văn An
và đặc biệt là các Thầy trong Tổ Toán; các bạn học viên cao học lớp Giải tích
K19 đã ln động viên, khuyến khích và giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và
làm luận văn.

Sau cùng tơi xin kính gửi đến gia đình tơi cùng những người thân của tơi
tất cả tình cảm u thương và lòng tri ân sâu sắc nhất, nơi đã tạo cho tôi niềm tin,
nghị lực và là chỗ dựa vững chắc nhất giúp tơi hồn thành khóa học cùng với
luận văn này.


Vì kiến thức bản thân cịn hạn chế nên luận văn sẽ khó tránh khỏi những
thiếu sót. Rất mong được sự nhận xét và chỉ bảo của Q Thầy Cơ và sự góp ý
chân thành của các bạn đồng nghiệp.


LỜI CAM ĐOAN

Mặc dù trong quá trình làm luận văn này, tơi đã nghiên cứu, tìm hiểu và
tham khảo ở sách vở, các bài báo toán học của các tác giả và luận văn của các
khóa trước, tơi có sử dụng các kết quả đã được chứng minh để hoàn thành luận
văn của mình nhưng tơi xin cam đoan khơng sao chép các luận văn đã có và tơi
xin hồn toàn chịu mọi trách nhiệm với lời cam đoan của mình.


MỤC LỤC

MỤC LỤC .........................................................................................................5
T
0

T
0

MỞ ĐẦU ............................................................................................................7

T
0

T
0

1.Lí do chọn đề tài.................................................................................................... 7
T
0

T
0

2.Mục đích của đề tài ............................................................................................... 7
T
0

T
0

3.Phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu và phạm vi của đề tài. ................. 7
T
0

T
0

MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN ........................ 9
T
0

T
0

Chương 1. NĨN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NĨN .................................... 10
T
0

T
0

1.1 Nón chuẩn (Normal cones) ............................................................................... 10
T
0

T
0

1.2 Nón chính quy (Regular cones) và nón chính quy đủ (Fully Regular Cones). .. 11
T
0

T
0

1.3. Hàm tuyến tính dương ..................................................................................... 13
T
0

T

0

Chương 2 : MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG NÓN ............. 15
T
0

T
0

2.1 Điểm bất động của ánh xạ đơn điệu ................................................................. 15
T
0

T
0

2.2 Điểm bất động của ánh xạ mở rộng nón (cone expansion) và ánh xạ thu hẹp nón
T
0

( cone compression). .............................................................................................. 23
T
0

2.3. Định lí điểm bất động bội (Multiple Fixed point theorems). ............................ 37
T
0

T
0

Chương 3 : ỨNG DỤNG VÀO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
T
0

PHI TUYẾN .................................................................................................... 40
T
0

3.1. Phương trình tích phân của dạng đa thức ......................................................... 40
T
0

T
0

3.2 Giá trị riêng và vectơ riêng ............................................................................. 54
T
0

T
0


3.3. Phương trình tích phân phi tuyến dạng lan truyền bệnh dịch ............................ 62
T
0

T
0

3.4. Một phương trình tích phân phi tuyến xuất hiện trong vật lí hạt nhân .............. 72
T
0

T
0

KẾT LUẬN ...................................................................................................... 76
T
0

T
0

TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 77
T
0

T
0


MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài
Phương trình tích phân phi tuyến đã được nhiều nhà toán học lớn trên
thế giới quan tâm và nghiên cứu, trong đó phải kể đến Dajun Guo,
V.Lakshmikantham, Shaefer, Stuart, William, Legget . . . Nhận thấy phạm
vi ứng dụng rộng lớn của các phương trình này trong ngành tốn nói
chung và ngành giải tích nói riêng, đặc biệt là có ứng dụng vào trong các

ngành khoa học khác như : Phương trình tích phân phi tuyến dạng lan
truyền bệnh dịch mô tả sự lây lan bệnh dịch; Phương trình tích phân phi
tuyến xuất hiện trong vật lí hạt nhân; Phương trình tích phân phi tuyến mô
tả sự vận chuyển Notron, . . .
Từ những kiến thức thu nhận được qua các bài giảng trong khóa học
cao học và dựa trên các kết quả của các nhà tốn học nêu trên, tơi muốn
mở rộng kiến thức của mình để tìm hiểu về chuyên đề phương trình tích
phân phi tuyến. Chính vì vậy mà tơi đã quyết định chọn đề tài này.
2.Mục đích của đề tài
Đề tài trình bày về sự tồn tại nghiệm liên tục, khơng âm của một số
loại phương trình tích phân phi tuyến dựa trên lí thuyết điểm bất động
nghiên cứu trên các hình nón.
3.Phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu và phạm vi của đề tài.
a. Phương pháp nghiên cứu : Tham khảo sách, các bài báo liên quan và dựa
trên sự hướng dẫn của giảng viên.


b. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu của đề tài
Phương trình tích phân phi tuyến là một mảng khá rộng nhưng do còn hạn
chế về nhiều mặt và do phạm vi cho phép của đề tài nên luận văn chỉ trình bày
một số kết quả sau đây.
Chương 1 : Trình bày các định nghĩa và tính chất cơ bản của nón.
Chương 2 : Trình bày một số định lí điểm bất động trong hình nón, bao gồm:
 Định lí điểm bất động của ánh xạ tăng, ánh xạ giảm.
 Định lí điểm bất động của ánh xạ cơ đọng.
 Định lí điểm bất động của ánh xạ mở rộng và thu hẹp nón.
Chương 3 : Là nội dung trọng tâm của luận văn, trình bày những ứng dụng trực
tiếp của các định lí đã trình bày ở chương 2 vào xét sự tồn tại nghiệm không âm,
liên tục của các phương trình tích phân phi tuyến sau :
(1)

u ( x) = ∫ k ( x, y ). f ( y, u ( y ))dy
G

k ( x, y ). f [u ( y )]dy
∫=

(2) λ.u ( x)
=

Au ( x)

G

t

(3)

x(t ) =

∫τ f (s, x(s)ds

t−

1

1
(4) = ψ ( x) + ψ ( x) ∫
0

R ( x, y )
ψ ( y )dy,0 ≤ x ≤ 1 .
x2 − y2


MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN
• E : khơng gian Banach thực.
• E* : khơng gian các hàm tuyến tính liên tục từ E vào E ( đối ngẫu của E).
P

P

• P : nón trong E
• P* = { f ∈ E* : f(x) ≥ 0, x ∈ P}.
P

P

P

P

• Pu0 = {x∈ E : ∃λ > 0 , x > λu 0 }.
R

R

R

R

• γ(S) : độ đo của tập khơng compact S.
• Mes(G) : độ đo của tập G.


n

n



• co(A) : bao lồi của A, co(A) = ∑ λi yi : ∑ λi =1, λi ≥ 0, yi ∈ A .


i
i
= 1= 1



• i(A, U, X) : chỉ số điểm bất động của A trên U ứng với X.
• deg(A, U, p) : bậc topo, bậc Leray – Schauder của A trên U tại điểm p.
• C(G) : khơng gian các hàm liên tục trên G.
• L(G): khơng gian các hàm khả tích trên G.


Chương 1. NĨN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NĨN
1.1 Nón chuẩn (Normal cones)
Định nghĩa 1.1.1
Cho E là một kông gian Banach thực. Một tập lồi đóng P ⊂ E được gọi là

một nón nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau :
(i)

x ∈ P, λ ≥ 0 thì λx ∈ P

(ii)

x ∈ P, -x ∈ P thì x = θ, trong đó θ là phần tử khơng trong E.

• Một nón P được gọi là thể nón ( solid cone) nếu nó có chứa điểm trong,
o

tức là P ≠ ∅ .
• Một nón được gọi là nón sinh (generating) nếu E = P – P, tức là mọi phần
tử x ∈ E có thể biểu diễn được dạng x = u – v, trong đó u , v ∈ P.
• Mỗi nón P trong E xác định một thứ tự riêng phần trong E cho bởi
x ≤ y nếu và chỉ nếu y – x ∈ P.

(1.1.1)

• Nếu x ≤ y và x ≠ y, ta viết x < y ; nếu P là thể nón(solid) và y – x ∈ P thì
ta viết x << y .
Định nghĩa 1.1.2
Một nón P ⊂ E được gọi là chuẩn nếu có một số dương δ sao cho
x + y ≥ δ , ∀x, y ∈ P, x= 1, y= 1 .

Định lí 1.1.1
Cho P là nón trong E. Các khẳng định sau là tương đương
(i)

P là chuẩn


(ii)

Có một hằng số γ > 0 sao cho x + y ≥ γ .max{ x , y }, ∀x, y ∈ P ;

(iii)

Có một hằng số N > 0 sao cho θ ≤ x ≤ y thì x ≤ N y , tức là ⋅ là nửa
đơn điệu ;
Có một chuẩn tương đương ⋅ trên E sao cho θ ≤ x ≤ y thì x 1 ≤ y 1 ,

(iv)

tức là ⋅ là đơn điệu.
(v)

xn ≤ zn ≤ yn ,(n =
1, 2,3,...) và xn − x → 0, yn − x → 0 thì zn − x → 0 ;

(vi)

Tập ( B+P) ∩ (B – P) bị chặn, trong đó B = { x ∈ E : x ≤ 1 } ;

(vii) Mọi đoạn [x , y] = { z ∈ E : x ≤ z ≤ y} là bị chặn.
Chứng minh. ( Xem: [1], page 3 – 5).
1.2 Nón chính quy (Regular cones) và nón chính quy đủ (Fully Regular
Cones).
Định nghĩa 1.2.1

Một nón P ⊂ E được gọi là chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trong E
đều có giới hạn, tức là, nếu {x n } ⊂ E và y ∈ E thỏa:
R

R

x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn ≤ . . . ≤ y ,
R

R

R

R

R

R

(1.2.1)

thì có x* ∈ E sao cho xn − x* → 0 .
P

P

Rõ ràng nón P là chính quy nếu và chỉ nếu mọi dãy giảm và bị chặn trong E có
giới hạn.

Định nghĩa 1.2.2
Một nón P ⊂ E được gọi là chính quy đầy đủ (fully regular) nếu mọi dãy tăng và
bị chặn theo chuẩn trong E có giới hạn, tức là nếu x n ⊂ P thỏa
R

x 1 ≤ x 2 ≤ . . . ≤ x n ≤ . .= sup xn < +∞,
., M
R

R

R

R

R

R

R

(1.2.2)

n

tồn tại x* ∈ E sao cho xn − x* → 0 .
P

P

Rõ ràng một nón P là chính quy đầy đủ nếu và chỉ nếu mọi dãy giảm và bị chặn
theo chuẩn trong E có giới hạn.
Định lí 1.2.1
Nón P là chính quy đầy đủ thì P là chính quy và P là chính quy thì P là nón
chuẩn.
Chứng minh. ( Xem: [1], page 7-8).
Định lí 1.2.2
Nếu E là phản xạ và P là nón trong E, khi đó các khẳng định sau là tương đương.
(i)

P là nón chuẩn

(ii)

P là chính quy

(iii)

P là chính quy đầy đủ.

Chứng minh. ( Xem: [1], page 10 – 12).
Định lí 1.2.3. Cho P là nón trong E. P là nón chính quy nếu và chỉ nếu điều kiện
sau được thỏa :


 n 
xi ⊂ P, inf xi > 0 thì ∑ xi  không bị chặn theo điểm, tức không tồn
i
 i =1 

{ }

(H 1 )
R

R



n



tại z ∈ E sao cho : ∑ xi  ≤ z , n =
1, 2,3,...
 i =1



Tương tự, P là chính quy đầy đủ nếu và chỉ nếu điều kiện sau được thỏa :
 n 
(H 2 ) {x i } ⊂ P và inf xi > 0 thì ∑ xi  khơng bị chặn theo chuẩn, tức là :
i
 i =1 
R

R

R

R

n

sup
n

∑x

i

i =1

= +∞

Chứng minh. ( Xem: [1], page 12 -13).
1.3. Hàm tuyến tính dương
Định nghĩa 1.3.1. Cho E là khơng gian Banach thực và P là nón trong E. Hàm
f ∈ E* được gọi là dương nếu f(x) ≥ 0, với mọi x ∈ P.
P

P

Tập con gồm tất cả các hàm tuyến tính dương bị chặn được ký hiệu là P* , tức là
P

P* = { f ∈ E* : f(x) ≥ 0, x ∈ P }.
P

P

P

P

(1.3.1)

P

Dễ thấy, P* thỏa tất cả các điều kiện của nón, ngoại trừ tính chất
P

P

P* ∩ (-P*) = {θ},
P

P

P

(1.3.2)

P

Do đó, nếu P là chính quy thì (1.3.2) thỏa và P* là nón trong E*, P* được gọi là
P

nón đối ngẫu của nón P.

P

P

P

P

P


Định lí 1.3.1
Ta có các kết luận sau
(i)

x ∈ P nếu và chỉ nếu f(x) ≥ 0 với mọi f ∈ P* , với x 1 > θ thì tồn tại f 1 ∈ P*
P

P

R

R

R

R

sao cho f 1 (x 1 ) > 0, với x 2 ∈ P thì tồn tại f 2 ∈ P* sao cho f 2 (x 2 ) < 0.
R

R

R

R

R

R

R

R

P

P

R

R

R

R

(ii)

Cho P là thể nón. Khi đó, x ∈ P nếu và chỉ nếu f(x) > 0 với f ∈ P*\{θ}.

(iii)

Nếu E là tách được, thì tồn tại f 0 ∈ P* sao cho f 0 (x) > 0 với mỗi x > θ.

P

R

R

Chứng minh (Xem: [1], page 18 – 20).

P

P

R

R

P

P

P


Chương 2 : MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG NÓN
2.1 Điểm bất động của ánh xạ đơn điệu

a. Điểm bất động của ánh xạ tăng
Cho P là nón trong không gian thực E và “ ≤ ” là thứ tự xác định bởi nón P và D
là tập con của E.
Định nghĩa 2.1.1
Một ánh xạ A : D → E được gọi là tăng nếu x 1 ≤ x 2 (x 1 , x 2 ∈ D) thì Ax 1 ≤
R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

Ax 2 , A được gọi là tăng nghiêm ngặt nếu x 1 < x 2 (x 1 , x 2 ∈ D) thì Ax 1 < Ax 2 , A
R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

được gọi là tăng mạnh nếu x 1 < x 2 (x 1 , x 2 ∈ D) thì Ax 1 << Ax 2 trong trường
R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

0

hợp P ≠ ∅ .
Ánh xạ giảm cũng được định nghĩa một cách tương tự.
Định nghĩa 2.1.2
Một ánh xạ A : D → E được gọi là hồn tồn liên tục nếu nó là liên tục và
compact.
 A được gọi là k-co (k-set-contraction), k ≥ 0, nếu nó là liên tục, bị chặn và
γ(A(S)) ≤ kγ(S)

(2.1.1)

với mỗi tập bị chặn S ⊂ D, trong đó, γ(S) là độ đo của tập khơng compact S .
 A được gọi là co ngặt ( strict-set-contraction) nếu k < 1.
 A được gọi là cô đọng ( condensing) nếu nó liên tục , bị chặn và
γ(A(S)) < γ(S), với mọi tập bị chặn S ⊂ D, γ(S) > 0.

(2.1.2)


Nhận xét
Theo các định nghĩa trên, rõ ràng nếu ánh xạ A là hồn tồn liên tục thì A là
co ngặt (strict-set-contraction) và nếu A là co ngặt (strict-set-contraction) thì A
là ánh xạ cơ đọng (condensing).
Định lí 2.1.1
Cho u0 , v 0 ∈ E, u 0 < v 0 và A : [u 0 , v 0 ] → E là ánh xạ tăng sao cho
R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

u 0 ≤ Au 0 , Av 0 < v 0 .
R

R

R

R

R

R

R

(2.1.3)

R

Giả sử rằng một trong hai điều kiện sau thoả:
(H 1 ) P là nón chuẩn và A là cơ đọng (condensing);

R

R

(H 2 ) P là chính quy và A là nửa liên tục, nghĩa là, x n → x mạnh thì
R

R

R

R

Ax n → Ax yếu.
R

R

Khi đó, A có một điểm bất động cực đại x* và một điểm bất động cực tiểu x *
P

P

R

thuộc [u 0 , v 0 ]; hơn nữa
R

R

R

R

x* = lim vn , x* = lim un
n→∞
n→∞
P

(2.1.4)

P

trong đó, v n = Av n-1 và u n = Au n-1 (n = 1,2,3,…) và
R

R

R

R

R

R

R

R

u 0 ≤ u 1 ≤ …≤ u n ≤ . . . ≤ v n ≤ . . . ≤ v 1 ≤ v 0
R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

Chứng minh
Từ A là ánh xạ tăng và (2.1.3) ta suy ra (2.1.5).

R

(2.1.5)

R


Bây giờ ta chứng minh rằng {u n } hội tụ về x ∈ E và Ax = x .
*
*
*
R

R

• Khi (H 1 ) được thoả, tập S = {u 0 , u 1 , ,. . .} bị chặn và S = A(S) ∪ {u 0 }, do
R

R

R

R

R

R

R

R

vậy γ(S) = γ(A(S)).
Để ý rằng, A là cơ đọng(condensing), ta có γ(S) = 0, nghĩa là, S là tập compact

{ }

tương đối. Do đó, có một dãy con un

k

⊂ {un } sao cho un → x . Rõ ràng
*
k

un ≤ x ≤ vn ( n = 1,2,3 …). Khi m > n k , ta có θ ≤ x − um ≤ x − un , và do đó,
*
*
*
k
R

R

theo tính chất của nón chuẩn P và định lí 1.1.1, x* − um ≤ N x* − un , trong đó N
k

là hằng số định nghĩa trong nón chuẩn P.
Vậy, um → x , (m → ∞) .
*
Cho n → ∞ ở đẳng thức u n = Au n-1 ta được Ax = x , từ đó A là liên tục.
* *
R

R

R

R

• Khi (H 2 ) thoả, {u n } hội tụ về x*∈ E theo tính chính quy của P. Do A là nửa
R

R

R

R

P

P

liên tục, u n = Au n-1 hội tụ yếu đến Ax* và do đó Ax = x .
R

R

R

R

P

P

*

*

Một cách tương tự, ta có thể chứng minh rằng {u n } hội tụ đến x* ∈ E và Ax* =
R

R

P

P

P

P

x*.
P

P

Cuối cùng, ta chứng minh rằng x* và x tương ứng là điểm bất động cực
*
P

P

đại và điểm bất động cực tiểu của A trong [u0 , v0 ] .
−

−

−

Cho x ∈ [u0 , v0 ] và A x = x .


D A là ánh xạ tăng nên u0 ≤ x ≤ v0 thì Au0 ≤ Ax ≤ Av0 , nghĩa là u1 ≤ x ≤ v1 .
−

Bằng cách lý luận tương tự, ta được u2 ≤ x ≤ v2 , . . ., và một cách tổng quát, ta
−
−
1,
được un ≤ x ≤ vn , (n =2,3,...) , cho n → ∞ thì ta được x ≤ x ≤ x* và do đó định
*
lí đã được chứng minh.
Hệ quả 2.1.1
Cho các điều kiện của định lí 2.1.1 được thoả. Giả sử rằng A chỉ có một
điểm bất động x ∈ [u0 , v0 ] . Khi đó, mỗi x 0 ∈ [u 0 , v 0 ] dãy lặp
R

R

R

R

R

R

x n = Ax n-1 , (n = 1,2,3, . . . )
R

R

R

(2.1.6)

R

hội tụ về x , nghĩa là xn − x → 0, (n → ∞) .
Chứng minh
Từ u 0 ≤ x 0 ≤ v0 và A là ánh xạ tăng, ta có
u n ≤ x n ≤ v n (n = 1,2,3, . . .).
R

R

R

R

R

(2.1.7)

R

Theo giả thiết, ta có x * = x* = x . Từ đó, kết hợp với (2.1.7) và (2.1.4), tính
R

R

P

P

chuẩn của P và tính chất (v) của định lí 1.1.1 thì x n → x .
R

R

b. Điểm bất động của ánh xạ giảm
Định lí 2.1.2 . Giả sử
(i)

P là nón chuẩn, A : P → P là ánh xạ giảm và cô đọng (condensing).

(ii)

Aθ ≥ θ và A2θ > ε 0 Aθ, trong đó ε 0 > 0 và θ là phần tử không của E.
P

P

R

R

R

R


Với mỗi x ≥ αAθ, ( α = α(x) > 0 ) và 0 < t < 1, thì tồn tại η = η(x,t) > 0

(iii)

sao cho
A(tx) ≤ [t (1 + η )]−1. Ax

(2.1.9)

Khi đó, A có đúng một điểm bất động dương x* > θ. Hơn nữa, xây dựng được
P

P

dãy x n = Ax n-1 , (n = 1,2,3, . . .) với x 0 ∈ P, sao cho :
R

R

R

R

R

R

xn − x* → 0,(n → ∞).

(2.1.10)

Chứng minh
Đặt u 0 = θ, u n = Au n-1, (n = 1,2,3, . . .)
R

R

R

R

R

(2.1.11)

R

Kết hợp với tính giảm của ánh xạ A, ta có thể dễ dàng chỉ ra rằng :
θ = u 0 ≤ u 2 ≤ . . . ≤ u 2n ≤ . . .≤ u 2n+1 ≤ . . . ≤ u 3 ≤ u 1 = Aθ

(2.1.12)

u 2n = A2u 2n-1 , u 2n+1 = A2u 2n-1 , (n = 1,2,3, . . .)

(2.1.13)

u 2n = Au 2n-1 , u 2n+1 = Au 2n , (n = 1,2,3, . . .)

(2.1.14)

R

R

R

R

R

P

P

R

R

R

R

R

R

R

R

P

P

R

R

R

R

R

R

R

và
R

R

R

R

R

R

R

R

Từ A2 : P → P là tăng , cô đọng (condensing) và u 0 ≤ A2u 0 , A2u 1 ≤ u 1 , theo định
P

P

R

R

P

P

R

R

P

P

R

R

R

R

lí 2.1.1 thì u 2n → z * và u 2n+1 → z*, (n →∞), A2z * = z * , A2z* = z*, với z* và z *
R

R

R

R

R

R

P

P

P

P

R

R

R

R

P

P

P

P

P

P

P

P

R

tương ứng là điểm bất động cực đại và cực tiểu của A2 trong [u0 , u1 ] .
P

P

Cho n → ∞ trong (2.1.14) ta được
z * = Az* , và z* = Az * .
R

R

Hiển nhiên

P

P

P

P

R

R

(2.1.15)

R

θ < ε 0 Aθ ≤ A2θ = u 2 ≤ u 2n ≤ z * ≤ z* ≤ u 2n+1 , n = 1,2,3 . . .
R

R

P

P

R

R

R

R

R

R

P

P

R

(2.1.16)

R

và do đó
z * ≥ ε 0 Aθ = ε 0 u 1 ≥ ε 0 z*.
R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

P

P

Đặt t 0 = sup{ t > 0 : z * ≥ tz* } thì 0 < ε 0 ≤ t 0 < +∞ và z* ≥ t 0 z* .
R

R

R

R

P

P

R

R

R

R

R

R

R

R

P

P

Hơn nữa, từ z * ≤ z* ta có : t 0 ≤ 1.
R

R

P

P

R

R

Bây giờ ta sẽ chứng minh : t 0 = 1. Thật vậy, giả sử ngược lại thì theo giả thiết
R

R

(iii) dẫn đến tồn tại số η 0 > 0 sao cho :
R

R

z* = Az * ≤ A(t 0 z*) ≤ [t 0 (1+ η 0 )]-1.Az* = [t 0 (1 + η )]-1 z * ,
P

P

R

R

R

R

P

P

R

R

R

R

P

P

P

P

R

R

P

P

R

R

và do đó z* ≥ t 0 (1 + η 0 )z*, điều này là trái với định nghĩa của t 0 .
P

P

R

R

R

R

P

P

R

R

Vậy t 0 = 1 và z * ≥ z*.
R

R

R

R

P

P

Và do vậy ta suy ra
z* = z * .
P

P

R

(2.1.17)

R

Từ (2.1.15) và (2.1.17), ta được Az* = Az * , nghĩa là: z* là một điểm bất động
P

P

R

R

P

P

dương của A.
Cuối cùng, ta chứng minh (2.1.10) thoả với mọi điểm bất động dương z*
P

P

của A và mọi giá trị đầu x 0 ∈ P, điều này cũng dẫn đến tính duy nhất điểm bất
R

R

động dương của A.
Từ x 0 ≥ θ, ta có θ ≤ Ax 0 ≤ Aθ, nghĩa là u 0 ≤ x 1 ≤ u 1 ; theo tính duy nhất của A, ta
R

R

R

R

R

R

R

R

thấy u 2 ≤ x 2 ≤ u 1 . Tiếp tục quá trình này ta được
R

R

R

R

R

R

R

R


u 2n ≤ x 2n ≤ u 2n-1 , u 2n ≤ x 2n+1 ≤ u 2n-1 , (n = 1,2,3, . . .)
R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

(2.1.18)

Bằng cách tương tự, ta được
u 2n ≤ x* ≤ u 2n-1 , (n = 1,2,3, . . .)
R

R

P

P

R

(2.1.19)

R

Từ u 2n → z * = z* , u 2n-1 → z* và P là nón chuẩn, kết hợp với (2.1.18) và theo
R

R

R

R

P

P

R

R

P

P

định lí 1.1.1 thì x 2n → z*.

R

R

P

P

Vậy, xn − z * → 0,(n → ∞).
Mặt khác, cho n → ∞ trong (2.1.19) ta được : x* = z* .
P

P

P

P

Vậy, xn − x* → 0,(n → ∞) . Định lí được chứng minh xong.
Hệ quả 2.1.4
Khi P là thể nón (solid cone), định lí 2.1.5 vẫn đúng nếu ta thay giả thiết (iii)
bởi giả thiết : (iii*) với mọi x ≥ αAθ, (α = α(x) > 0) và 0 < t < 1, ta có
P

P

A(tx) << t-1Ax.
P

(2.1.20)

P

Chứng minh
0

Từ t-1Ax – A(tx) ∈ P , tồn tại số đủ nhỏ (0 < ε < 1) sao cho
P

P

t-1Ax – A(tx) – εt-1Ax ≥ θ
P

P

P

P

Điều này dẫn đến
A(tx) ≤ t-1(1-ε)Ax = [t(1 + η)]-1Ax, trong đó η = ε / (1 – ε) > 0.
P

P

Do đó, (iii*) suy ra (iii).
P

P

P

P


Định lí 2.1.3. Giả sử
P là nón chuẩn, thể nón (solid cone) và ánh xạ A : P → P giảm mạnh

(i)

và cô đọng (condensing).
(ii)

Aθ > θ và A2θ ≥ ε 0 Aθ, ε 0 > 0.

(iii)

Với mọi x ≥ αAθ, (α = α(x) > 0) và 0 < t < 1, ta có

P

P

R

R

R

R

A(tx) < t-1Ax
P

(2.1.21)

P

Khi đó, A có đúng một điểm bất động dương x* > θ và hơn nữa, xây dựng được
P

P

dãy x n = Ax n-1 , (n = 1,2,3, . . .) với x 0 ∈ P, sao cho :
R

R

R

R

R

R

xn − x* → 0,(n → ∞).

Chứng minh

Chứng minh của định lí này là tương tự chứng minh của định lí 2.1.2. Khác
nhau duy nhất là cách thiết lập (2.1.17). Trong trường hợp này, ta làm như sau :
Đặt t 0 = sup{t > 0 : z * ≥ tz*} và ta cần chứng minh t 0 = 1.
R

R

R

R

P

P

R

R

Giả sử ngược lại, 0 < t 0 < 1, theo giả thiết (iii),
R

R

z* = Az * ≤ A(t 0 z*) < t0−1 Az * = t0−1 z* .
P

P

R

R

R

R

P

P

Do đó, tồn tại số dương đủ nhỏ δ 0 > 0 sao cho : t0−1 z* − z * − δ 0 z * ≥ θ ,
R

R

nghĩa là : z * ≥ t 0 (1 + δ 0 )z*, điều này trái với định nghĩa t 0 .
R

R

Vậy, t 0 = 1.
R

R

Nhận xét

R

R

R

R

P

P

R

R


Giả thiết (iii) của định lí 2.1.3 tương đương với :
mọi x ≥ αAθ, (α = α(x) > 0) và t > 1, ta có
A(tx) > t-1Ax.
P

(2.1.22)

P

2.2 Điểm bất động của ánh xạ mở rộng nón (cone expansion) và ánh xạ thu
hẹp nón ( cone compression).
a. Chỉ số điểm bất động ( Fixed point index).
Định nghĩa 2.2.1
 Cho X là tập con của không gian Banach thực E. Nếu r : E → X là liên tục,
và r(x) = x, ∀x ∈ X thì X gọi là một co rút (retract) của E và ánh xạ r gọi là

một phép co rút ( retraction).
 Bao lồi của tập con D của không gian Banach thực E được định nghĩa bởi
n
 n

=
=
co( D) ∑ λi xi : i ∈ D, λi ∈ [0,1], ∑ λi 1, n ∈ Ν 
i
= 1= 1
i


Định lí 2.2.1
Cho các khơng gian Banach X và Y, D là tập con đóng của X và cho ánh xạ
f : D → Y liên tục.
Khi đó, f có một mở rộng liên tục
f% X → Y
:

Hệ quả 2.2.1

sao cho

f%X ) ⊂ co( f ( D)).
(


Mọi bao lồi đóng khơng rỗng của E là một co rút (retract) của E. Đặc biệt,
mọi nón trong E là co rút của E.

Chứng minh định lí 2.2.1 và hệ quả 2.2.1. ( Xem[5], page 353-367 và[4]).
Định lí 2.2.2
Cho X là một co rút của không gian Banach thực E. Khi đó, với mọi tập con
mở, bị chặn tương đối U của X và mọi ánh xạ hoàn toàn liên tục A : U → X
khơng có điểm bất động trên ∂U thì tồn tại số nguyên i(A,U,X) thỏa các điều
kiện sau :
(i)

i(A,U,X) = 1 nếu Ax ≡ y 0 ∈ U, với mọi x ∈ U .

(ii)

i(A,U,X) = i(A,U 1 ,X) + i(A, U 2 ,X), trong đó, U 1 , U 2 là các tập mở

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

không giao nhau của U sao cho A khơng có điểm bất động trên
U \ (U1 ∪ U 2 ) .

(iii)

Bất biến đồng luân : i(H,(t, ⋅),U,X) là độc lập với t, (0 ≤ t ≤ 1), bất cứ
H :[0,1] × U → X là hoàn toàn liên tục và H(t,x) ≠ x, ∀(t,x) ∈ [0,1] × ∂U

(iv)

i(A,U,X) = i(A,U∩Y,Y) nếu Y là một co rút của X và A(U ) ⊂ Y .
Hơn nữa, cho
M = {(A,U,X) : X là co rút của E, U mở bị chặn trong X, A: U → X
hoàn toàn liên tục và Ax ≠ x trên ∂U }.

 Cho Ζ là tập số nguyên. Khi đó, tồn tại đúng một hàm d : M → Z thỏa từ (i)
đến (iv).
 Mặt khác, i(A,U,X) xác định duy nhất. i(A,U,X) được gọi là chỉ số điểm bất
động của A trên U tương ứng với X.
Chứng minh


Trước hết, ta chứng minh tính duy nhất của chỉ số điểm bất động.
Cho {i(A,U,X)} là họ tùy ý thỏa các điều kiện (i) – (iv), ta định nghĩa
d ( f ,U , = i ( A + p,U , E ) ,
p)

(2.2.1)

trong đó, f = I – A, U là tập mở bị chặn của E, f(x) ≠ p trên ∂U , nghĩa là A + p
khơng có điểm bất động trên ∂U . Từ các điều kiện (i) – (iv) và (2.2.1), thì hàm
d(f,U,p) có 4 tính chất đặc trưng bậc Leray – Schauder (xem [1], trang 261 và
[4]) và do đó, theo tính duy nhất của bậc Leray –Schauder, ta có
d(f,U,p) = deg(I – A, U, p).

(2.2.2)

Lấy p = θ trong (2.2.1) và (2.2.2), ta được
i(A,U,E) = deg(I – A, U, θ).

(2.2.3)

Bây giờ giả sử X là một co tùy ý của E và r : E → X là một phép co tùy ý.
Với tập con mở U của X, ta chọn quả cầu B R = { x ∈ E : x < R } sao cho
R

R

BR ⊃ U. Khi đó, theo (iv) và (2.2.3) ta có :
R

R

i(A,U,X) = i(A.r, BR ∩ r-1(U), E) = deg(I-A.r, BR ∩ r-1(U), θ).
R

R

P

P

R

R

P

P

(2.2.4)

Do đó, từ (2.2.4) và tính duy nhất của bậc Leray – Schauder dẫn đến tính duy
nhất của chỉ số điểm bất động.
Theo chứng minh tính duy nhất ở trên, ta được định nghĩa
i(A,U,X) = deg(I – A.r, BR ∩ r-1(U), θ),
R

R

P

(2.2.5)

P

trong đó, r : E → X là một phép co tùy ý và BR = { x ∈ E : x < R }⊃ U.
R

Rõ ràng, B R ∩ r-1(U) là tập mở trong E và
R

R

P

P

R