Hệ phương trình hàm cho miền nhiều chiều-Ngô Thanh Mỹ

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




NGUYỄN XUÂN MỸ





HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM

CHO MIỀN NHIỀU CHIỀU




LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC





CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ : 1. 01. 01

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
1-1999
Các Thầy Hướng Dẫn:

PTS Nguyễn Thành Long
Ban Toán _ Tin học
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh

PTS Nguyễn Hội Nghóa
Ban Đào Tạo Sau Đại Học
Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh


Thầy Nhận Xét 1:

GS-PTS Dương Minh Đức
Khoa Toán
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh


Thầy Nhận Xét 2:

PTS Đậu Thế Cấp
Khoa Toán
Trường Só Quan Vihempich

Người Thực Hiện:

Nguyễn Xuân Mỹ
Ban Toán _ Tin học
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh









LUẬN VĂN ĐƯC BẢO VỆ TẠI
HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ
MINH


Lời đầu tiên, tôi xin kính gởi đến Thầy Nguyễn Thành Long
lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tình giúp đỡ của thầy đối với tôi trong
suốt khóa học và nhất là trong việc hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Hội Nghóa đã
cùng Thầy Nguyễn Thành Long giúp đỡ tôi rất nhiều trong thời gian
thực hiện luận văn .
Xin chân thành cảm ơn Thầy Dương Minh Đức và Thầy Đậu
Thế Cấp đã đọc và cho những ý kiến quý báu cũng như những lời phê
bình bổ ích đối với luận văn.
Tôi cũng xin cảm ơn Thầy Trần Hữu Bổng

đã dành cho tôi
thời gian quý báu và những góp ý sâu sắc cho buổi bảo vệ luận văn.
Xin cảm ơn

Thầy Đỗ Công Khanh va
ø
Thầy Võ Đăng Thảo đã
giúp tôi về thời gian và một số điều kiện để hoàn tất sớm chương trình
học.
Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc khoa Toán, Trường Đại Học
Khoa Học Tự Nhiên, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí
Minh đã tận tình hướng dẫn và cung cấp cho tôi những tư liệu cần thiết
trong suốt thời gian học tập.
Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Phòng quản lý Sau Đại học
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi cho tôi về thủ tục hành chính trong khóa học.
C
ảm ơn Các Bạn học viên lớp Cao học khóa 6 đã hỗ trợ rất
nhiều cho tôi về mọi mặt trong thời gian qua.
Nguyễn Xuân Mỹ

MỤC LỤC


trang

Chương 1: Phần mở đầu 1
Chương 2: Các ký hiệu và kết quả chuẩn bò 4
Chương 3: Sự tồn tại duy nhất và ổn đònh lời giải 8
Chương 4: Khai triển Maclaurin của lời giải

hệ phương trình hàm tuyến tính 16
Chương 5: Thuật giải lặp cấp hai và áp dụng 35
Phần kết luận 45
Tài liệu tham khảo 47

Phần mở đầu


1
Chương 1

PHẦN MỞ ĐẦU
Chúng tôi xét hệ phương trình hàm sau đây:
(1.1)
fx a xfS x gx
i ijk j ijk
k
m
i
j
n
() [, ( ())] ()=+
==
∑∑
11
,
với
in=∈1, , x
i
Ω

trong đó

Ω
i
p
R⊂ là tập compact hoặc không,

gR
ii
:Ω→ ,
S
ijk i j
:
Ω
Ω
→
,
aRR
ijk i
:
Ω
×
→
,
11
≤
≤
≤
≤i

j
n , k m, ,
là các hàm liên tục cho trước,

f
R
ii
:Ω→ là các ẩn hàm.
Trong [1], các tác giả Wu, Xuan, Zhu đã nghiên cứu hệ (1.1) với
Ω
i
bb x=−[,] (), p=1 , m=n=2 , S
ijk
là các nhò thức bậc nhất và
(1.2)
axyay
ijk ijk
(,)
~
=
,
trong đó
~
a
ijk
là các hằng số thực. Trong trường hợp này lời giải của hệ
(1.1), (1.2) được xấp xỉ bằng một dãy qui nạp hội tụ đều và nó cũng ổn
đònh đối với các hàm g
i
.

Trường hợp m n p=
=
=
1, các tác giả Kostrzewski [2],[3], Lupa [4]
đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất lời giải của phương trình hàm sau
Phần mở đầu


2
(1.3)
()
fx axfSx() ,(())=
,
xab
∈
[,]
,
trong không gian hàm BC[a,b].
Một trường hợp riêng với phương trình hàm Golab-Schinzel
(1.4)
fx
fx
x
()
()
=
+
2
1
,

các tác giả Knop, Kostrzewski, Lupa, Wrobel trong [6] đã xây dựng tường
minh lời giải không tầm thường f(x) thỏa các điều kiện
(1.5) tồn tại lim ( ) ( )
x
fx f
→−
=−
−
−
1
1 và lim ( ) ( )
x
fx f
→
=
+
+
0
0
như sau
(1.6)
fx
fx
()
()( )
=
−≠−
−
⎧
⎨

⎩
+
01 , x 1,
c , x = 1,

trong đó c là một hằng số tùy ý.
Trong trường hợp
pR ,==⊂1 , i = 1,n
i
ΩΩ , là khoảng đóng bò
chận hay không bò chận, các tác giả Long, Nghóa, Khôi, Ruy [5], bằng đònh
lý điểm bất động Banach đã thu được kết quả về sự tồn tại và duy nhất lời
giải của hệ (1.1) và lời giải cũng ổn đònh đối với các hàm g
i
.
Trong trường hợp
a
ijk
giống như (1.2) và Sx
ijk
() là các nhò thức bậc
nhất,
()
[]
gC R
i
r
∈Ω Ω,, =-b,b, trong [5] thu được khai triển Maclaurin của
lời giải hệ (1.1) đến cấp r. Hơn nữa, nếu g x
i

( ) là các đa thức bậc r thì lời
giải hệ (1.1) cũng vậy.
Luận văn được sắp xếp theo 5 chương
Phần mở đầu


3
_ Chương mở đầu là phần giới thiệu hệ phương trình hàm và điểm
qua sơ nét các kết quả đã có trước đó, tiếp theo là giới thiệu các phần
trình bày trong luận văn.
_ Chương 2 là phần giới thiệu một số ký hiệu, các không gian hàm
sử dụng trong luận văn và một số kết quả sẽ dùng cho các chương sau.
_ Chương 3 trình bày một số kết quả tồn tại và duy nhất lời giải của
hệ phương trình hàm (1.1), sự ổn đònh của lời giải đối với các hàm g
i
. Một
số kết quả trong chương này cũng đã tổng quát hóa các kết quả trong [1],
[5] mà chứa trường hợp p = 1 như là một trường hợp riêng.
_ Chương 4 là phần khảo sát khai triển Maclaurin của lời giải của
hệ (1.1) với trường hợp
Sx Bxc
ijk
i
jk
i
j
k
()=+
, với
B

ijk
là ma trận cấp p,
vectơ
cR
i
jk
p
∈ thỏa một số điều kiện nào đó .
Kết quả thu được trong phần này cho một công thức biểu diễn lời
giải của hệ phương trình hàm (1.1) và nếu g
i
là đa thức thì lời giải thu
được cũng là đa thức đồng bậc với g
i
. Hơn nữa nếu g
i
liên tục, lời giải
sẽ được xấp xỉ bởi dãy các đa thức hội tụ đều. Kết quả thu đượcđã mở
rộng thực sự các kết quả trong [1], [5].
_ Chương 5 là phần khảo sát thuật giải lặp cấp 2 của hệ (1.1). Cũng
trong chương này, chúng tôi xét một dạng khác của hệ phương trình hàm
tuyến tính mà có thể đưa về và áp dụng các kết quả của hệ (1.1).
Cuối cùng là phần kết luận và các tài liệu tham khảo.
Chương2


4
Chương 2

CÁC KÝ HIỆU VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ

2.1 Đònh lý điểm bất động Banach
Chúng ta thường xuyên sử dụng đònh lý điểm bất động Banach sau:
Đònh lý 2.1


Cho X là không gian Banach với chuẩn
.
,
KX⊂
là tập đóng.
Cho
T : K K →
là ánh xạ thỏa mãn
Tồn tại số thực
σ
σ
,0 1
≤
<
sao cho
(2.1)

Tx T
y
x
y
() ()−
≤
−

∀
∈
σ
, x,
y
K
.
Khi đó ta có
(i) Tồn tại duy nhất
xK
∗
∈
sao cho
xTx
∗∗
=
().

(ii) Với mỗi
xK
0
∈ ,
xét dãy
{
}
x
ν
cho bởi
xTx
νν

ν
=
−
()
1
,=1,2,

ta có
(j)
lim
v
xx
→∞
∗
−
=
ν
0
,
(jj)
xx xTx
ν
ν
σ
σ
−≤−
−
∀ν =
∗ 00
1

12() ,, ,


Chứng minh đònh lý 2.1 có thể tìm thấy trong các quyển sách về
nhập môn giải tích.

Chương2


5
2.2 Các đa chỉ số
Nếu
ααα
α
= ( , , , )
12 p
là bộ p-thứ tự các số nguyên không âm
α
j
,
ta gọi
α
là p-đa chỉ số.
Một điểm
xR
p
∈
được ký hiệu
xxx x
p

=
( , , , )
12
, ta ký hiệu
x
α
là
đơn thức bậc
αα
α
=+
+
1

p
sau
(2.2)
xxx x
p
p
α
αα
α
=
12
12


Tương tự nếu
D

x
jp
j
j
=≤≤
∂
∂
, 1
, ký hiệu toán tử đạo hàm
riêng cấp 1 theo biến thứ j thì
DDD D
xx x
p
p
p
p
α
αα
α
α
αα α
∂
∂∂ ∂
==
12
12
12
12

chỉ một toán tử đạo hàm riêng cấp
α
.
Ta cũng ký hiệu
Dff
( , , , )00 0
= .
2.3 Các không gian hàm

Giả sử
Ω
i
p
Rn⊂≤≤ , 1 i
, ta đặt
(
)
XC R
ibi
=
Ω
; là không gian
Banach các hàm số liên tục bò chận f : R
i
Ω
→ với chuẩn
(2.3)
f
f

xX
X
x
i
i
i
=
∈
∈
sup ( )
Ω
,
f
.
Nếu Ω
i
là tập compact, ta đặt
(
)
XC R
ii
=
Ω
;
là không gian Banach
các hàm số liên tục f : R
i
Ω→ với chuẩn như (2.3).
Chương2

6
Ta cũng lưu ý rằng nếu
Ω
i
là tập mở thì
(
)
CR
i
Ω
; cũng ký hiệu là
không gian vector các hàm số f : R
i
Ω
→ liên tục. Hơn nữa các hàm trong
()
CR
i
Ω ; không nhất thiết bò chặn trong
Ω
i
. Nếu
(
)
f
CR
i
∈
Ω

; bò chận và
liên tục đều trên Ω
i
thì nó có duy nhất một nới rộng liên tục trên bao
đóng
Ω
i
của Ω
i
. Do đó, ta đònh nghóa
(
)
CR
i
Ω ; là không gian vector xác
đònh bởi

()
CR
i
Ω ;= {
(
)
f
CR
i
∈
Ω
; : f bò chận và liên tục đều trên Ω
i

}.
Mặt khác
()
CR
i
Ω ;
cũng là một không gian Banach đối với chuẩn
(2.3).
Với chú ý tương tự trong trường hợp
Ω
i
p
R⊂
là tập mở thì ta cũng
ký hiệu
()
CR
m
i
Ω ;
là không gian vectơ các hàm f : R
i
Ω
→ sao cho tất cả
các đạo hàm riêng của f đến cấp m đều thuộc
(
)
CR
i
Ω

;
, nghóa là

()
(
)
(
)
{}
CRf Rf R m
m
i
ΩΩΩ;;;,=∈ ∈ ≤ C : DC
ii
α
α

và
()
(
)
(
)
{}
CRf Rf R m
m
i
ΩΩΩ;;;,=∈ ∈ ≤ C : DC
m
i

i
α
α
.
Mặt khác
()
CR
m
i
Ω ;
cũng là không gian Banach với chuẩn
fDfx
CR
m
x
m
i
(;)
max sup ( )
Ω
Ω
=
≤
∈
α
α
.
Không gian tích Descartes X X X X
n
=

×
×
⋅
⋅
⋅
×
12
trang bò một
chuẩn
(2.4)
()
ff ffX
X
i
X
i
n
n
i
=∈
=
∑
1
2
, f = f
1
, , , .
Chương2

7
là một không gian Banach.
Ta viết hệ phương trình hàm (1.1) dưới dạng phương trình toán tử
trong X như sau
(2.5) f = Tf ,
trong đó
()
f
=
f
1
, , ,
f
f
n2
,
(
)
T
f
=(Tf)
1
,( ) , ,( )Tf Tf
n2
.
với
(2.6)
()
( )() , ( ()) ()Tf x a x f S x g x
i ijk j ijk

k
m
j
n
ii
=+∈
==
∑∑
11
, x , i =1,nΩ .
Chương 3


8
Chương 3

SỰ TỒN TẠI, DUY NHẤT VÀ
ỔN ĐỊNH LỜI GIẢI

Chúng ta thành lập các giả thiết sau

()
H
j1
S
ijk i
: Ω
Ω
→ là các hàm liên tục,

()
H
2

g
X∈ ,

()
HRR
3
a
ijk i
: Ω× → liên tục và thỏa điều kiện:
tồn tại

ijk i
~
:α
Ω
→ R
bò chặn và không âm sao cho
(3.1)
a a , x , y,y R
ijk ijk i
(, ) (,
~
)
~
()
~~

xy xy xy y
ijk
−≤−∀∈∀∈αΩ;
(3.2)
σα=
≤≤
∈
==
∑∑
< 1max sup
~
()
1
11
jn
x
ijk
k
m
i
n
i
x
Ω
;
(3.3)
aX
ijk i
(., )0 ∈
. (điều kiện này bỏ qua nếu

Ω
i
là compact)
Khi đó ta có kết quả sau
Đònh lý 3.1
Dưới giả thiết

()
(
)
HH
13
−
,
tồn tại duy nhất một hàm

f
X∈
sao cho

f
Tf= .
Hơn nữa, lời giải
f
ổn đònh đối với
g
trong
X.
Chứng minh

Hiển nhiên ta có
Tf X
∈
với mọi fX
∈
.
Xét
ff X,
~
∈ , ta có với mọi in= 1, ,
∀
∈
x
i
Ω

Chương 3


9
(3.4)
()
()
()()
{}
Tf x Tf x a x f S x a x f S x
i
i
ijk j ijk ijk j ijk
k

m
j
n
()
~
() , ( ()) ,
~
(())−= −
==
∑∑
11
.
Sử dụng giả thiết
(
)
(
)
HH
13
, ta có

()
()
Tf x Tf x x f S x f S x
i
i
ijk j ijk j ijk
k
m
j

n
()
~
()
~
() ( ())
~
(())−≤ −
==
∑∑
α
11


≤−
∈
==
∑∑
sup
~
()
~
x
ijk
k
m
j
n
jj
X

i
j
xf f
Ω
α
11
.
Lấy sup trên Ω
i
rồi sau đó lấy tổng theo in= 1, ta được
(3.5)
()
()
Tf Tf Tf Tf
X
i
i
X
i
n
i
−= −
=
∑
~~

1


≤−

∈
==
∑∑∑

i=1
n
sup
~
()
~
x
ijk
k
m
j
n
jj
X
i
j
xf f
Ω
α
11


≤−
=−
≤≤
∈

=
∑∑


i=1
n
max sup
~
()
~
~
.
1
1
jn
x
ijk
k
m
X
X
i
xf f
ff
Ω
α
σ

Theo đònh lý điểm bất động Banach, có duy nhất một
fX∈ sao

cho
fTf= .
Giả sử f f X,
~
∈ là hai lời giải của hệ (1.1) lần lượt ứng với g g X,
~
∈

ta có
với mọi
in= 1, , với mọi x
i
∈
Ω

(3.6)
()()
{}
()
fx fx a xfS x a xfS x
gx gx
i i ijk j ijk ijk j ijk
k
m
j
n
ii
()
~
() , ( ()) ,

~
(())
()
~
()
−= −
+−
==
∑∑
11


Chương 3


10
Lập lại quá trình trên ta có

f
f
f
f
gg
XX
X
−≤−+−
~~
~
σ
hay

(3.7)
ff gg
X
X
−≤ −
~
~

1
1-
σ
.

Vậy lời giải f ổn đònh đối với g trong X.
Chú thích 3.1

Trong đònh lý 3.1 , với
p
i
==∀=1 , i 1,n, ΩΩ , là khoảng đóng bò
chận hay không bò chận và điều kiện (3.2) được thay bởi
(3.8)
< 1sup
~
()
,
x
ijk
k
m

ij
n
x
∈
==
∑∑
Ω
α
11
,
chúng tôi tìm lại kết quả như trong [5]. Mặt khác, điều kiện (3.2) yếu hơn
điều kiện (3.8) vì
(3.9) σα < 1≤
∈
==
∑∑
sup
~
()
,
x
ijk
k
m
ij
n
x
Ω
11
.

Chú thích 3.2

Đònh lý 3.1 cho một thuật giải xấp xỉ liên tiếp
(3.10) f Tf
() ( )νν
ν==∈
−1
, 1,2, , f X
(0)
cho trước.
Khi đó dãy
{}
f
()ν
hội tụ trong X về lời giải f của (2.5) và ta có một
đánh giá sai số
(3.11)
ff
fTf
X
X
−≤
−
−
∀ν =
()
() ()
,,
νν
σ

σ
00
1
12 ,
Chương 3


11
Nếu ta giả sử rằng Ω
i
p
Rn⊂= , i 1, thỏa mãn điều kiện
(3.12) Tồn tại song ánh
τ
ii
n : , iΩΩ→=1, sao cho
ττ
ii
,
−1
liên tục.
Khi đó hệ (1.1) tương đương với hệ sau
(3.13)
()
$
()
$
,
$
(

$
())
$
,ft a tfS t g i n t
i ijk j ijk
j
i
=+∀=∀∈
∑∑
=
(x) , ,
k=1
mn
1
1 Ω
,
trong đó
$
$
ff g
iii i ii
==ooττ , g

$
SS
ijk j ijk i
=
−
ττ
1

oo
(3.14)
(
)
$
(, ) (),atza tz
ijk ijk i
=
τ
,
tzR
∈
∈
Ω
,
.

Như vậy ta có thể giả sử rằng tất cả các ẩn hàm
f
i
của hệ (1.1) có
cùng miền xác đònh, tức là
ΩΩ
i
=∀= , i 1,n.

Khi đó ta sử dụng không gian hàm X như sau:
_ Nếu Ω là tập compact, ta đặt
(
)

XC R
n
=Ω, là không gian Banach
các hàm
f : R
n
Ω→ liên tục với chuẩn
(3.15)
()
ffxfffX
X
x
i
i
n
n
==∈
∈
=
∑
sup ( ) , , ,
Ω
1
12
, f
.
_ Nếu
Ω là tập không compact, ta đặt
(
)

XC R
b
n
=Ω,
là không gian
Banach các hàm f : R
n
Ω→ liên tục bò chận với chuẩn như (3.15).
Ta thành lập các giả thiết sau đây

()
′
→H
1
S
ijk
: Ω
Ω
liên tục,

()
′
∈H
2
g X ,
Chương 3


12

()
′
×→HRR
3
a
ijk
: Ω liên tục và thỏa điều kiện:
tồn tại

ijk
~
:α
Ω
→ R
bò chặn và không âm sao cho
(3.16)
a a , x , y,y R
ijk ijk
(, ) (,
~
)
~
()
~~
xy xy xy y
ijk
−≤−∀∈∀∈αΩ;
(3.17)
σα=
≤≤

∈
==
∑∑
< 1max sup
~
()
1
11
jn
x
ijk
k
m
i
n
x
Ω
;
(3.18)
aX
ijk i
(., )0 ∈
(điều kiện này bỏ qua nếu
Ω
là compact).
Khi đó ta có đònh lý
Đònh lý 3.2
Giả sử các giả thiết
(
)

(
)
′
−
′
HH
13
đúng. Khi đó tồn tại duy nhất
()
f
f
f
f
X
n
=∈
12
, , ,
là lời giải cho hệ phương trình hàm sau
(3.19)
()
fx a xfS x g x i n
i ijk j ijk
j
i
() , ( ()) ,=+∀∈∀=
∑∑
=
(x) , ,
k=1

mn
1
1Ω .
Hơn nữa, lời giải
f
của hệ
(3.19)
ổn đònh đối với
g
trong
X.
Chứng minh

Vẫn sử dụng các ký hiệu như (2.5), (2.6).
Hiển nhiên ta có T : XX → .
Coi
ff X,
~
∈
, tương tự như (3.4) ta có: với mọi x
∈
Ω
()
()
Tf x Tf x
i
i
i
n
()

~
()−
=
∑
1
≤−
==
∑∑∑

i=1
n
~
() ( ())
~
(())α
ijk
k
m
j
n
j ijk j ijk
xf S x fS x
11


≤−
≤≤
==
∑∑∑

i=1
n
max
~
() ( ())
~
(())
1
11
jn
ijk
k
m
j ijk j ijk
j
n
xfSx fSxα
Chương 3


13

≤−
=−
≤≤
∈
=
∑∑

i=1
n
max sup
~
()
~
~
1
1
jn
x
ijk
k
m
X
X
xf f
ff
Ω
α
σ

Do đó
Tf Tf f f
XX
−≤−
~~
σ .

Phần còn lại chứng minh tương tự.

Chú thích 3.3

Như nhận xét trong chú thích 3.1, kết quả trong [5] là trường hợp
đặc biệt của đònh lý 3.2 với p = 1.
Trường hợp riêng sau đây chúng tôi xét hệ (3.19) với
a
ijk
như (1.2).
(3.20)
fx a fS x g x i n
i ijk j ijk
j
i
()
~
(()) ,=+∀∈∀=
∑∑
=
(x) , ,
k=1
mn
1
1Ω ,
trong đó
Sx
ijk
()
là hàm
affine
nghóa là

(3.21)
Sx Bxc
ijk
ijk ijk
()=+
, với

B
bb b
bb b
bb b
ijk
i
jk
i
j
k
p
i
jk
ijk ijk
p
ijk
p
ijk
p
ijk
pp
ijk
=

⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
11 12 1
21 22 2
12




,
c
c
c
c
ijk
i
jk
ijk

p
ijk
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
1
2
M
.
(3.22)
Ω= = ∈ = ≤
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=

∑
BxRxxr
r
p
i
i
p
()0
1
1
: .
Ta xét không gian hàm X
= CR
n
(, )Ω
và thành lập các giả thiết
cho hệ (3.20) như sau

()
′′
∈HX
2
g ,
Chương 3


14

()
′′

=<
≤≤
==
∑∑
Ha
jn
ijk
k
m
i
n
3
1
11
1 σ max
~
.
Ta đưa thêm giảthiết cho B
ijk
và c
ijk
trong (3.21) để S
ijk
thỏa
(
)
′
H
1
.

Nhận xét rằng
(3.23)
Bx B x x R
ijk ijk p
11
1
, ≤∀∈
,
trong đó
(3.24)
Bb
ijk
p
ijk
p
1
1
1
=
≤≤
=
∑
max
ν
μν
μ
.
Ta có
(3.25)
Sx B r c x

ijk
i
j
ki
j
k
()
1
11
, ≤+∀∈Ω.

Từ đây ta giả sử ma trận
B
ijk
và vectơ
c
ijk
thỏa

()
′′
H
1
()iB
i
j
k

1
1< ,

() max
,
ii
c
B
r
ij n
km
i
j
k
ijk

1
1
1
1
1
≤≤
≤≤
−
≤
.
Vậy nếu B
ijk
, c
ijk
thỏa
(

)
′′
H
1
thì
Sx
ijk
()
trong (3.21) thỏa
(
)
′
H
1
.
Khi đó ta có đònh lý
Đònh lý 3.3
Giả sử
()
′′
H
1
()
−
′′
H
3
đúng. Khi đó hệ
(3.20)−(3.22
) có duy nhất một

lời giải
fX∈
. Hơn nữa, lời giải
f
ổn đònh đối với
g
trong
X.
Chú thích 3.4

Chương 3


15
Trường hợp Ω=R
p
, ta lấy
(
)
XCRR
b
pn
= , không gian Banach
các hàm liên tục, bò chận
f : R
pn
R →
đối với chuẩn
(3.26)
()

ffxfffX
X
xR
i
i
n
n
p
==∈
∈
=
∑
sup ( ) , , ,
1
12
, f
,
trong đó
B
ijk
và
c
ijk
không cần thỏa điều kiện
(
)
′′
H
1
.

Khi đó ta có kết quả sau
Đònh lý 3.4

Với

Ω=R
p
,
(
)
XCRR
b
pn
= ,
.
Giả sử

(
)
(
)
′′ ′′
HH
23
,
đúng. Khi đó
tồn tại duy nhất
fX∈
là lời giải của hệ
(3.20), (3.21).

Hơn nữa, lời giải
f
ổn đònh đối với
g
trong
X.
Chương 4


16
Chương 4

KHAI TRIỂN MACLAURIN CỦA LỜI GIẢI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM TUYẾN TÍNH

Ta xét trong chương này với hệ (3.20)−(3.22), trong đó
~
a
ijk
, B
i
j
k
,
c
i
j
k
thỏa các giả thiết
()

′′
H
1
và
(
)
′′
H
3
.
Giả sử
()
fC R
n
∈
1
Ω; là lời giải của hệ (3.20)−(3.22) ứng với
()
gC R
n
∈
1
Ω;.
Đạo hàm hai vế của (3.20) theo biến
xp
μ
μ
,1
≤
≤

, ta thu được
(4.1)
[]
Df x
f
x
x
a
x
fS x Dgx
i
i
ijk
k
m
j
n
jijk iμ
μμ
μ
∂
∂
∂
∂
()
()
~
(() ()== +
==
∑∑

11
.
Mặt khác, theo (3.21)

[][]
()
Sx Sx Sx
ijk ijk ijk
p
T
() (), , ()=
1

(4.2)
[]
Sx b c p
ijk
ijk
p
ijk
()
ν
νη η
η
ν
ν=+≤≤
=
∑
x ,

1
1 ,
Ta có
(4.3)
[] []
∂
∂
∂
∂
μ
ν
ν
μ
ν
x
fS x DfS x
x
Sx
j ijk
p
j ijk ijk
(()) (()) ()=
=
∑
1

=
bfSx
ijk
j ijk

p
νμ ν
ν
D( ())
=
∑
1
.
Vậy từ (4.1)
−(4.3) ta có
Chương 4


17
(4.4) Df x a b fS x Dg x
i ijk
k
m
j
n
ijk
j ijk
p
iμνμν
ν
μ
()
~
(()) ()=+
===

∑∑∑
D
111
,
in=∈1, , = 1,p , xμΩ
Ta đặt
(4.5)
FDf n p
ii
μ
μ
μ=== , i , , 11,
.
Ta xếp thứ tự
F
i
μ
như sau
(4.6)
()
FF FF F F F
pp
nn
p
=
1
1
12
1
2

1
, , , , , , , , , ,
Khi đó
()()
FCR X
np
∈≡Ω;
()1
là lời giải của hệ phương trình hàm
(4.7)
Fx a b S x Dgx
i ijk
k
m
j
n
ijk
ijk
p
i
μ
νμ
ν
ν
μ
()
~
(()) ()=+
===
∑∑∑

F
j
111
,
in=∈1, , = 1,p , xμΩ.
Ta viết hệ (4.7) dưới dạng phương trình toán tử trong
X
()1
như sau
(4.8)
FTF= trong X
()1
,
trong đó
(4.9)
() ()() () () ()
()
TF TF TF TF TF TF TF
pp
nn
p
=
1
1
12
1
2
1
, , , , , , , , , ,
với

(4.10)
()
TF x a b S x D g x
i
ijk
k
m
j
n
ijk
ijk
p
i
μ
νμ
ν
ν
μ
()
~
(()) ()=+
===
∑∑∑
F
j
111
,
in=∈1, , = 1,p , xμΩ
Ta cũng chú ý rằng
X

()1
là không gian Banach đối với chuẩn
Chương 4


18
(4.11)
FFx
X
p
x
j
j
n
()
max sup ( )
1
1
1
=
≤≤
∈
=
∑
μ
μ
Ω
,
với
()

FF FF F F F X
pp
nn
p
=∈
1
1
12
1
2
11
, , , , , , , , ,
()
.
Ta sẽ chứng minh rằng
T : XX
() ()11
→ là ánh xạ co.
Xét
FF X,
~
()
∈
1
, ta có
(4.12)
()
()
[]
TFx TFx a b Sx Sx

i
i
ijk
k
m
j
n
ijk
ijk ijk
p
μ
μ
νμ
νν
ν
()
~
()
~
(())
~
(())−= −
===
∑∑∑
FF
jj
111
.
Suy ra
(4.13)

()
()
TF x TF x a b x x
i
i
ijk
k
m
j
n
ijk
x
p
μ
μ
νμ
νν
ν
()
~
()
~
sup ( )
~
()−≤ −
==
∈
=
∑∑∑
FF

jj
111
Ω
.
Đặt
(4.14)
FF x x
jj
x
νν ν ν
−= −
∞
∈
~
sup ( )
~
()
Ω
FF
jj
.
Ta suy từ (4.13) rằng
(4.15)
()
()
TF TF a b
i
i
ijk
k

m
j
n
ijk
p
μ
μ
νμ
νν
ν
−≤ −
∞
==
∞
=
∑∑∑
~
~
~
FF
jj
111


≤−
≤≤
==
∞
=
∑∑∑

max
~
~
1
111
jn
ijk
k
m
ijk
j
n
p
ab
νμ
νν
ν
FF
jj

≤−
≤≤
=
≤≤ ≤≤
=
∞
=
∑∑∑
max
~

max max
~
1
1
11
11
jn
ijk
k
m
p
ijk
p
j
n
p
ab
μ
νμ
ν
νν
ν
FF
jj
.
Đặt
(4.16)
Bb
ijk
p

p
ijk
p
1
1
1
=
≤≤
=
∑
max
μ
ν
ν
.
Ta có từ (4.15) rằng
Chương 4


19
(4.17)
()
()
TF TF a B
i
i
n
jn
ijk
k

m
i
n
ijk
X
μ
μ
−≤ −
∞
=
≤≤
=
=
∑∑∑
~
max
~
~
()
11
1
11
1
1
FF .
Từ (4.17) lấy
max
1≤≤μ p
ta được
(4.18)

TF TF
XX
−≤−
~~
() ()
()
11
1
σ FF , ∀∈FF X,
~
()1
,
với
(4.19)
σ
()
max
~
1
1
11
1
=
≤≤
==
∑∑

jn
ijk
k

m
j
n
ijk
aB .
Từ các giả thiết
()
(
)
′′ ′′
HH
13
, , ta có từ (4.19) rằng
(4.20)
σσ
()1
1≤<.
p dụng đònh lý 2.1, tồn tại duy nhất
FX
∈
()1
sao cho TF F= , tức
là hệ phương trình hàm (4.7) có duy nhất lời giải
FX
∈
()1
.
Do tính duy nhất lời giải của hệ (4.7), từ (4.4) ta có
(4.21)
Df F i n p

iiμ
μ
≡∀= ∀μ= , , 11,,.
Khi đó ta có đònh lý sau
Đònh lý 4.1
Giả sử
~
aB
ijk
ijk ijk
,, c
thỏa mãn các giả thiết
()()
′′ ′′
HH
13
, và
()
gC R
n
∈
1
Ω;
.

Khi đó tồn tại
(
)
fC R
n

∈
1
Ω;
và
FX
∈
()1
là các lời giải duy nhất
của các hệ
(3.20)−(3.22)
và
(4.7),
lần lượt.
Hơn nữa, ta còn có
(4.22) FDfi n p
ii
μ
μ
=∀=∀μ= , , 11,,.
Chương 4


20
Tương tự, ta có thể xét với đạo hàm cấp cao của
f
i
là lời giải tương
ứng với hệ phương trình hàm nào đó.
Trước tiên ta lưu ý một số công thức đạo hàm cấp cao như dưới đây.
Xét

()
ΦΩ∈ CR
1
;
, ta có tính toán tương tự như (4.3) với
f
i
thay bởi
Φ
như sau
(4.23)
() ()
∂
∂
μ
νμ ν
ν
x
Sx bD Sx
ijk
ijk
p
ijk
ΦΦ() ()=
=
∑
1

Bằng qui nạp ta có công thức đạo hàm cấp cao cho
()

ΦΩ∈ CR
qn
;

(4.24)
() ()
∂
∂
μ
νμ ν
ν
q
q
ijk
ijk
p
q
ijk
x
Sx bD SxΦΦ() ()=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
∑
1
,

hay

()
()() ()
()
∂
∂
α
μ
μ
α
μ
α
μ
α
αα
α
α
q
q
ijk
ijk ijk
p
ijk
p ijk
q
x
Sx
q
bb bDDDSx

p
p
Φ
Φ
()
!
!
( )
=
=
=
∑
12 12
12
12

trong đó
()
ααα α=
12
, , ,
p
là p-đa chỉ số và
(4.25)
αα
α
α
ααα α
=+
+

⋅
⋅
⋅
+
=
12
12
p
p
,
!!! ! .

Ta ký hiệu
(4.26)
()() ()
DDD D
bbb b
p
ijk ijk ijk
p
ijk
p
p
α
αα
α
μ
α
μ
α

μ
α
μ
α
=
→
=
12
12
12
12
,


Ta viết lại (4.24) dưới dạng gọn hơn
Chương 4


21
(4.27)
() ()
∂
∂
α
μ
μ
α
α
α
q

q
ijk
ijk
q
ijk
x
Sx
q
bDSxΦΦ()
!
!
()=
→
=
∑
.
Với
()
ΦΩ∈≠
+
CR
qq
12
; , μν, ta có
(4.28)
() ()
∂
∂∂
αβ
μν

μ
α
ν
β
αβ
α
β
qq
qq
ijk
ijk ijk
q
q
ijk
xx
Sx
qq
bbD Sx
12
12
1
2
12
+
+
=
=
=
→→
∑

ΦΦ()
!!
!!
()
.
Tổng quát với
()
ΦΩ∈
+ +⋅⋅⋅+
CR
q
q
q
p12
; , ta có
(4.29)
()
()
∂
∂∂ ∂
αα α
αα α
αα α
α
α
α
q
q
q
qq

p
q
ijk
p
p
ijk ijk
p
ijk
q
q
q
ijk
p
p
p
p
pp
xx x
Sx
qq q
bb bD Sx
12
12
12
12
11
22
12
12
12

12
++⋅⋅⋅+
++⋅⋅⋅+
=
=
=
=
→→ →
∑

()
! ! !
! ! !
( )

Φ
Φ
rr r
rr r
rr r
r
r
r

Trong đó, ta cũng ký hiệu lại
(4.30)
()
()()
()
v

r
rr r
r
ααα α
αα α α
αα α α α α α α α
αα α
α
αα α
sssps
sss ps
p
s
ijk
s
ijk
s
ijk
ps
ijk
DDD
bbb b
ppp
pp pp
s
ss ps
=
=++⋅⋅⋅+
=
→

=
+ +⋅⋅⋅+ + +⋅⋅⋅+ + +⋅⋅⋅+
++⋅⋅⋅+
12
12
12
12
1 2 11 12 1 21 22 2
12
12
, , , ,
,

,
.
Φ
Φ
D

Bây giờ ta giả sử q
≥ 1 là số tự nhiên cố đònh, xét p-đa chỉ số
()
r
qqq q
p
=
12
, , , với
(4.31)
r

qq q q q
p
=+
+
⋅
⋅
⋅
+
=
12
.