Rèn luyện tư duy thông qua dạy học giải toán “phương trình hàm” cho học sinh khá, giỏi toán trung học phổ thông

Rèn luyện tƣ duy thông qua dạy học giải toán
“Phƣơng trình hàm” cho học sinh khá, giỏi
Toán Trung học Phổ thông

Phùng Văn Đoàn

Trƣờng Đại học Giáo dục
Luận văn Thạc sĩ ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học; Mã số: 60 14 10
Ngƣời hƣớng dẫn: TS. Phạm Văn Quốc
Năm bảo vệ: 2011

Abstract: Hệ thống hóa cơ sở lí luận về tƣ duy trong các tài liệu tâm lý học, giáo dục
học, lý luận dạy học môn Toán. Phân tích các tài liệu về giải tích, các tài liệu viết về
hàm số và phƣơng trình hàm. Tìm hiểu các đề thi học sinh giỏi Toán ở các địa
phƣơng, cấp Quốc gia, vô địch Toán các nƣớc trên thế giới, vô địch Toán các khu vực
và vùng lãnh thổ, vô địch Toán quốc tế. Nghiên cứu vấn đề “Phƣơng trình hàm” trên
các diễn đàn toán học hiện nay.

Keywords: Toán học; Giáo dục; Phƣơng pháp giảng dạy

Content
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Với mong muốn xây dựng đƣợc một số dạng bài tập và phƣơng pháp giải “ Phƣơng
trình hàm” để rèn luyện tƣ duy cho học sinh THPT qua việc dạy học theo chuyên đề bồi
dƣỡng học sinh khá, giỏi toán THPT, chúng tôi chọn đề tài “Rèn luyện tư duy thông qua dạy
học giải toán “ Phương trình hàm” cho học sinh khá, giỏi Toán Trung học Phổ thông”
làm đề tài để nghiên cứu.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Hệ thống các bài tập phƣơng trình hàm trong các tài liệu chuyên khảo môn Toán,
trong các diễn đàn toán học, các đề thi học sinh giỏi Toán ở các địa phƣơng, Quốc gia và

Quốc tế, để từ đó xem xét phân loại và nghiên cứu phƣơng pháp giải chúng. Qua đó có thể
đƣa ra đƣợc một số dạng bài tập phƣơng trình hàm có thể khai thác để rèn luyện các thao tác
và các kĩ năng tƣ duy cho học sinh.
3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu

2
Việc khai thác sử dụng bài tập “Phƣơng trình hàm” để rèn luyện tƣ duy cho học sinh
THPT.
3.2 Khách thể nghiên cứu
Quá trình dạy học bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi toán THPT.
4. Vấn đề nghiên cứu
- Các “Phƣơng trình hàm” đƣợc phân loại theo dạng và phƣơng pháp giải nhƣ thế nào
?
- Các bài toán, dạng toán “Phƣơng trình hàm” đƣợc khai thác để rèn luyện tƣ duy cho
học sinh khá, giỏi Toán THPT nhƣ thế nào?
5. Giả thuyết khoa học
Qua việc dạy học giải một số dạng toán “Phƣơng trình hàm” có thể rèn luyện đƣợc
cho học sinh một số phẩm chất, năng lực tƣ duy Toán học, qua đó góp phần nâng cao đƣợc
chất lƣợng dạy và học Toán mang tính chiều sâu ở các trƣờng THPT hiện nay.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
6.1. Nghiên cứu lí luận
6.2. Nghiên cứu thực tiễn
7. Phạm vi nghiên cứu
Bài tập “Phƣơng trình hàm” và một số phƣơng pháp giải “Phƣơng trình hàm” thƣờng
dùng.
8. Một số nét mới của đề tài
Tuyển chọn đƣợc phƣơng pháp giải một số dạng “Phƣơng trình hàm” để có thể dùng
để dạy học bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi toán THPT.
Khai thác đƣợc một số bài tập “Phƣơng trình hàm” để rèn luyện một số phẩm chất tƣ

duy cho học sinh khá, giỏi Toán THPT.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn đƣợc
trình bày trong 3 chƣơng
Chƣơng 1 : Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng 2 : Phƣơng pháp giải một số dạng “Phƣơng trình hàm” và việc rèn luyện
tƣ duy cho học sinh khá, giỏi Toán Trung học Phổ thông.
Chƣơng 3 : Thực nghiệm sƣ phạm.
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu

3
1.2. Tƣ duy và vai trò của dạy học chuyên đề “Phƣơng trình hàm” trong việc rèn luyện
tƣ duy cho học sinh khá, giỏi Toán THPT
1.2.1. Khái niệm tư duy
Tƣ duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan
hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tƣợng trong hiện thực khách quan.
(Theo định nghĩa trong Phạm Minh Hạc (chủ biên). Tâm lý học. Nxb Giáo dục Hà
Nội, 1992).
1.2.2. Một số đặc điểm cơ bản của tư duy
Tƣ duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề, tƣ duy có tính khái quát, tƣ duy có
tính gián tiếp;
Tƣ duy của con ngƣời có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: tƣ duy và ngôn ngữ có quan
hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau, nhƣng cũng không đồng nhất với nhau. Sự thống
nhất giữ tƣ duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu biểu đạt kết quả của quá trình tƣ duy;
Tƣ duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, tƣ duy thƣờng bắt đầu từ nhận thức
cảm tính, dù tƣ duy có khái quát và trừu tƣợng đến đâu thì nội dung của tƣ duy vẫn chứa đựng
những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, biểu tƣợng trực quan,…). X. L. Rubinstein
khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong trừu tƣợng, tựa hồ nhƣ làm thành

chỗ dựa cho tƣ duy” (dẫn theo Đavƣđov V. V. Các dạng khái quát hóa trong dạy học. Nxb Đại
học Quốc gia Hà Nội, 2000).
1.2.3. Tư duy Toán học
1.2.3.1. Các loại hình tư duy Toán học
Tư duy hàm là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề trong tƣơng quan khi một đối
tƣợng này thay đổi kéo theo đối tƣợng khác thay đổi.
Tư duy lôgic là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề theo các quy tắc suy luận
lôgic.
Tư duy thuật toán là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề theo một trình tự nhất
định.
Tư duy trừu tượng là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề theo những dấu hiệu
bản chất.
Tư duy sáng tạo là suy nghĩ nhận thức theo một phƣơng diện mới, giải quyết vấn đề
theo cách mới, vận dụng trong hoàn cảnh mới.

4
Tư duy biện chứng là xem xét sự vật và hiện tƣợng trong mối quan hệ biện chứng, có
tính quy luật, trong quan điểm toàn diện, vận động và phát triển theo nhiều quan điểm khác
nhau.
(Dựa theo Bùi Văn Nghị. Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên Trung Học Phổ
Thông chu kì 2004 – 2007. Nxb Đại học Sƣ phạm, 2005).
1.2.3.2. Các thao tác tư duy Toán học
Phán đoán : Dựa vào điều đã biết, đã thấy để suy xét rút ra nhận định về điều chƣa
biết, chƣa xảy ra.
Phân tích và tổng hợp : Theo từ điển tiếng Việt thì Phân tích là phân chia thật sự hay
bằng tƣởng tƣợng một đối tƣợng nhận thức ra thành các yếu tố; trái với tổng hợp. Tổng hợp là
tổ hợp bằng tƣởng tƣợng hay thật sự các yếu tố riêng rẽ nào đó làm thành một chỉnh thể; trái với
phân tích. Còn theo Triết học thì Phân tích là phƣơng pháp phân chia cái toàn thể thành ra từng
bộ phận, từng mặt, từng yếu tố để nghiên cứu và hiểu đƣợc các bộ phận, mặt, yếu tố đó. Tổng
hợp là phƣơng pháp dựa vào sự phân tích và liên kết, thống nhất các bộ phận, mặt, yếu tố lại để

nhận thức đƣợc cái toàn thể.
So sánh : Thao tác này nhằm phát hiện những đặc điểm chung và sự khác nhau của
một số đối tƣợng. So sánh thƣờng dẫn đến tƣơng tự, khái quát hóa.
Tương tự : Là thao tác tƣ duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ của
những đối tƣợng khác nhau ( Hai phép chứng minh là tƣơng tự nhau nếu đƣờng lối và phƣơng
pháp chứng minh giống nhau )
Khái quát hóa và đặc biệt hóa : Khái quát hóa là suy luận chuyển từ khảo sát một tập hợp đối
tƣợng (khái niệm, tính chất,…) này sang tập hợp khác rộng hơn chúa tập hợp ban đầu làm tập
con bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát, hay
mở rộng khái niệm, tính chất ngay trên tập hợp đã xét.
Trừu tượng hóa : Là gạt bỏ những dấu hiệu không bản chất để tìm ra dấu hiệu bản
chất(Việc phân biệt bản chất hay không bản chất chỉ mang tính tƣơng đối).
(Dựa theo Nguyễn Bá Kim. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sƣ phạm
Hà Nội, 2002).
1.2.4. Dạy học giải toán “ Phương trình hàm”
1.2.4.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá
trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;

5
Phát triển năng lực trí tuệ : Rèn luyện những thao tác tƣ duy, hình thành những phẩm
chất trí tuệ;
Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của
con ngƣời lao động mới.
(Dựa theo Nguyễn Bá Kim. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sƣ phạm
Hà Nội, 2002)
1.2.4.2. Phương pháp chung để giải Toán
1.2.4.3. Tiềm năng của chuyên đề “Phương trình hàm” trong việc rèn luyện tư duy cho học
sinh THPT
Chuyên đề “Phƣơng trình hàm” có nhiều bài tập hay và đẹp cả về mặt thẩm mĩ và

Toán học, tuy rất khó đối với học sinh THPT nhƣng đối với học sinh khá và giỏi Toán thì nếu
đƣợc bồi dƣỡng chuyên đề này thì tƣ duy của học sinh sẽ đƣợc rèn luyện và phát triển rất tốt
vì các bài toán về phƣơng trình hàm thể hiện đƣợc nhiều nét để học sinh có thể rèn luyện
tƣơng đối đầy đủ các thao tác tƣ duy Toán học, nó còn đòi hỏi học sinh phải tƣ duy rất cao. Vì
vậy việc bồi dƣỡng chuyên đề này cho học sinh khá, giỏi Toán là việc cần thiết và quan trọng
trong quá trình giáo dục ở các trƣờng THPT hiện nay.
1.2.5. Công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Toán THPT về chuyên đề “Phương trình
hàm”
1.2.5.1. Khái niệm học sinh khá, giỏi Toán THPT
Học sinh khá, giỏi Toán THPT là những học sinh có khả năng về Toán và đạt thành
tích cao trong học tập môn Toán. Những học sinh có khả năng về Toán là những học sinh tiếp
thu nhanh bài học, thành thạo biến đổi các biểu thức Toán học, biết suy luận và lập luận trong
chứng minh định lí hay bài toán, biết liên hệ các chủ đề toán trong chƣơng trình Toán THPT.
1.2.5.2. Vai trò của công tác bồi dưỡng học sinh giỏi
1.2.5.3. Thực trạng dạy học chuyên đề “Phương trình hàm”ở các trường THPT hiện nay
Hiện nay, chuyên đề “Phƣơng trình hàm” chƣa đƣợc đề cập nhiều trong các trƣờng
THPT. Các học sinh chuyên Toán đã đƣợc tiếp cận và đƣợc học “Phƣơng trình hàm” từ nhiều
năm nay, còn các học sinh ở các trƣờng phổ thông thì rất ít có cơ hội tiếp cân và là lĩnh vực
rất xa đối với họ, khi gặp phải thì rất bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn để gải quyết. đa số học
sinh đều cảm thấy “Phƣơng trình hàm” là lĩnh vực rất khó bởi một trong các lí do là: ít đƣợc
rèn luyện, tài liệu tham khảo viết về “Phƣơng trình hàm” rất ít, các giáo viên không dạy
chuyên không đầu tƣ nghiên cứu sâu về mảng này nên ngại dạy cho học sinh.
Vì vậy chuyên đề “Phƣơng trình hàm” là cũ trong Toán học sơ cấp nhƣng lại là vấn đề
mới đối với hầu hết học sinh THPT hiện nay.

6

CHƢƠNG 2
PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG “PHƢƠNG TRÌNH HÀM”
VÀ VIỆC RÈN LUYỆN TƢ DUY CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TOÁN TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG
2.1. Một số kiến thức cơ bản về hàm số
2.1.1. Các định nghĩa và tính chất
2.1.2. Đặc trưng của một số hàm số sơ cấp trong chương trình toán THPT
2.1.3. Khái niệm về “Phương trình hàm”
Phƣơng trình hàm là phƣơng trình đặc biệt mà ẩn là một (hoặc vài) hàm số.
Giải phƣơng trình hàm là việc tìm tất cả các hàm số thỏa mãn phƣơng trình hàm đã
cho và một số điều kiện cho trƣớc.
2.2. Phƣơng pháp giải một số dạng “Phƣơng trình hàm”
2.2.1. Phương pháp đưa về hệ phương trình
Phƣơng pháp đƣa về hệ phƣơng trình là một phƣơng pháp thƣờng đƣợc sử dụng cho việc giải
các phƣơng trình hàm có dạng
( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( )a x f u x b x f v x c x+=
, trong đó
( ), ( ), ( ), ( ), ( )a x b x c x u x v x
là các hàm số cho
trƣớc, còn
f
là hàm số cần tìm thỏa mãn phƣơng trình hàm trên.
Thông thƣờng khi giải phƣơng trình hàm dạng trên thì chúng ta thƣờng dùng các phép
thế thích hợp để tạo ra các phƣơng trình hàm khác có dạng tƣơng tự. Kết hợp phƣơng trình
hàm đã cho với các phƣơng trình hàm vừa tạo ra sẽ đƣợc một hệ gồm nhiều phƣơng trình hàm

và từ hệ này ta có thể tìm ra đƣợc hàm số theo yêu cầu. Phƣơng pháp làm nhƣ vậy đƣợc gọi là
phƣơng pháp đƣa về hệ phƣơng trình.
Bài toán 1 (Việt Nam 2000). Tìm tất cả các hàm số
:f ®¡¡
thỏa mãn

24
( ) (1 ) 2x f x f x x x+ - = -
,
x"Ρ
. (1)

7
Lời giải. Thay
x
bởi
1 x-
vào phƣơng trình (1) ta đƣợc

24
(1 ) ( ) 2(1 ) (1 )x f x f x x x- + = - - -
,
x"Ρ
. (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phƣơng trình
24
24
( ) (1 ) 2
(1 ) ( ) 2(1 ) (1 )
x f x f x x x

x f x f x x x
í
ï
+ - = -
ï
ï
ì
ï
- + = - - -
ï
ï
î

2 2 2
( 1) ( ) ( 1)(1 )x x f x x x xÞ - - = - - -
,
x"Ρ
.
Nếu
2
15
10
2
x x x
±
- - ¹ Û ¹
thì
2
( ) 1f x x=-
.

Đặt
1 5 1 5 1 1 5
; ( )
2 2 2
a f b
a
+ - +
= Þ = - =
. Thay
15
2
x
+
=
vào (1) ta đƣợc
24
15
( ) 2
2
a b f a a
-
+ = -
42
15
( ) 2
2
f a a a b
-
Þ = - -
.Thử lại thấy hàm số trên thỏa

mãn bài toán.Vậy hàm số cần tìm là
2
42
1
1 ( ; )
( ) ( )
1
2 ( )
x x a
a
f x b x a
a a a b x
a
í
ï
ï
- " ¹ -
ï
ï
ï
ï
==
ì
ï
ï
ï
ï
- - = -
ï
ï

î
(với
15
2
a
+
=
,
()f a b=
).
2.2.2. Phương pháp đưa về phương trình “Sai phân cấp 2”
Phƣơng trình “Sai phân cấp 2” là phƣơng trình có dạng
21
0
n n n
au bu cu
++
+ + =
, trong đó
,,a b c
là các hằng số cho trƣớc và
n
u
là số hạng tổng
quát của một dãy số chƣa đƣợc xác định với
n Î ¥
.
Phƣơng pháp đƣa về phƣơng trình “Sai phân cấp 2” đƣợc thể hiện nhƣ sau
Giả sử ta cần tìm tất cả các hàm số
:fD® ¡

thỏa mãn

( ( )) ( ) 0af f x bf x cx+ + =
,
xD"Î
.
Với
,,a b c
là các hằng số thuộc
*
¡
cho trƣớc.
Thay
x
bởi
()
n
fx
vào phƣơng tình trên ta đƣợc
21
( ) ( ) ( ) 0
n n n
af x bf x cf x
++
+ + =
,
,x D n" Î " Î ¥
.
Xét dãy số
0

{}
nn
u
+¥
=
đƣợc xác định bởi công thức
01
*
1
; ( )
( )( )
nn
u x u f x
u f u n
-
í
ï
==
ï
ï
ì
ï
= " Î
ï
ï
î
¥


8

Khi đó ta có phƣơng trình sai phân
21
0
n n n
au bu cu
++
+ + =
,
n"Î¥
.
Ta có phƣơng trình đặc trƣng
2
0a b cll+ + =
.
Giả sử
12
;ll
là các nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng.
Theo lý thuyết về phƣơng trình Sai phân nếu
12
;ll
là các nghiệm thực ta có
12
ll¹
thì
12
nn
n
u A Bll=+
,

n"Î¥
.
12
l l l==
thì
()
n
n
u An B l=+
,
n"Î¥
.
Nếu
12
;ll
là các nghiệm phức thì
( cos sin )
n
n
u r A n B njj=+
,
n"Î¥
, trong đó
,r j

lần lƣợt là mô đun và Arcgument của các số phức
12
;ll
.
Khi đó ta có hệ phƣơng trình

0
1
()
xu
f x u
í
ï
=
ï
ì
ï
=
ï
î
. Giải hệ phƣơng trình này ta sẽ tìm ra đƣợc hàm số
()fx
.
Bài toán 7. Tìm tất cả các hàm số
:f ®¡¡
thỏa mãn

( ( )) 3 ( ) 2f f x f x x=-
,
x"Ρ
. (17)
Lời giải. Thay
x
bởi
()
n

fx
vào (17) ta đƣợc

21
( ) 3 ( ) 2 ( ) 0
n n n
f x f x f x
++
- + =
,
,xn" Î " Ρ¥
.
Xét dãy số
0
{}
nn
u
+¥
=
đƣợc xác định bởi công thức
01
*
1
; ( )
( )( )
nn
u x u f x
u f u n
-
í

ï
==
ï
ï
ì
ï
= " Î
ï
ï
î
¥

Khi đó ta có phƣơng trình sai phân
21
3 2 0
n n n
u u u
++
- + =
,
n"Î¥
.
Ta có phƣơng trình đặc trƣng
2
3 2 0ll- + =
.
Phƣơng trình này có hai nghiệm
12
1; 2ll==
.

Khi đó
. 1 . 2
nn
n
u A B=+
,
n"Î¥
. Suy ra
0
1
( ) 2
x u A B
f x u A B
í
ï
= = +
ï
ì
ï
= = +
ï
î

Từ đây ta đƣợc
()f x x B=+
,
x"Ρ
hoặc
( ) 2f x x A=-
,

x"Ρ
.
Lần lƣợt thay vào (17) ta đƣợc
0; 0AB==
.
Vậy các hàm số cần tìm là
()f x x=
,
x"Ρ
và
( ) 2f x x=
,
x"Ρ
.
2.2.3. Phương pháp sử dụng giới hạn và tính liên tục của hàm số

9
Bài toán tổng quát 1. Tìm tất cả các hàm số liên tục
:f ®¡¡
thỏa mãn

( ) ( )f x bf ax=
,
, 1,(1 )(1 ) 0x a a b" Î ¹ ± - - ³¡
.
Bài toán tổng quát 2. Tìm tất cả các hàm số liên tục
:f
+
®¡¡
thỏa mãn

( ) ( )f x af x
a
=
,
, 1, 0xaa
+
" Î ¹ ± ¹¡
.
Bài toán 11. Tìm tất cả các hàm số liên tục
:f ®¡¡
thỏa mãn

2
1
( ) ( ) 1
22
x
f x f x x- = - + +
,
x"Ρ
. (22)
Lời giải. Gọi
*
()fx
là nghiệm riêng của phƣơng trình (22)
Ta có
* * 2
1
( ) ( ) 1

22
x
f x f x x- = - + +
(22’)
Nhận thấy vế phải của (22’) là tam thức bậc hai nên nghiệm riêng cũng là một tam thức bậc
hai
Suy ra
*2
()f x ax bx c= + +
, thay vào (22’) ta đƣợc
2 2 2
1
( ( ) ) 1
2 2 2
xx
ax bx c a b c x x+ + - + + = - + +
,
x"Ρ

22
73
1
8 4 2
a b c
x x x xÛ + + = - + +
,
x"Ρ
.
Suy ra
84

; ; 2
73
a b c= - = =
. Vậy
*2
84
( ) 2
73
f x x x= - + +
,
x"Ρ
.
Đặt
*2
84
( ) ( ) ( ) ( ) ( 2)
73
g x f x f x f x x x= - = - - + +
.
Khi đó phƣơng trình đã cho trở thành
1
( ) ( ) 0
22
x
g x g-=
,
x"Ρ
.
Suy ra
22

1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
22
2 2 2 2
nn
x x x
g x g g g= = = =
,
,xn" Î " Ρ¥
.
Vì
()fx
liên tục nên
()gx
liên tục. Suy ra
1
( ) lim ( ) 0
22
nn
n
x
g x g
® + ¥
==
,
x"Ρ
.
Suy ra
2
84

( ) 2
73
f x x x= - + +
,
x"Ρ
.

10
Thử lại thấy hàm số trên thỏa mãn bài toán. Vậy có duy nhất hàm số thỏa mãn bài toán là
2
84
( ) 2
73
f x x x= - + +
,
x"Ρ
.
Bài toán 16 (IMO Sortlist 1982). Tìm tất cả các hàm số liên tục
:f ®¡¡
thỏa mãn

22
( ) ( )f x f x x x+ = +
,
x"Ρ
. (27)
Lời giải. Đặt
( ) ( )g x f x x=-
,
x"Ρ

. Thay vào (27) ta có
2
( ) ( )g x g x=-
,
x"Ρ
. Suy ra
( ) ( )g x g x=-
,
x"Ρ
.
Với mọi
0x >
ta có
2
11
1 1 1
2 4 8 4 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
g x g x g x g x g x g x= - = = - = = =
,
,xn
+
" Î " Ρ¥
.
Mà hàm số
()fx
liên tục nên
()gx
liên tục.

Suy ra
1
4
( ) lim ( ) (1)
n
n
g x g x g c
® + ¥
= = =
,
,xc
+
" ΠΡ¡
.
Mà
()gx
chẵn nên
()g x c=
,
,xc" ΠΡ¡
. Suy ra
()f x x c=+
,
,xc" ΠΡ¡
.
Thử lại thấy hàm số trên thỏa mãn bài toán khi
0c =
.
Vậy hàm số cần tìm là
()f x x=

,
x"Ρ
.
2.2.4. Phương pháp Quy nạp Toán học
Phƣơng pháp Quy nạp Toán học là phƣơng pháp thƣờng đƣợc sử dụng trên tập hợp
các số tự nhiên. Khi sử dụng phƣơng pháp này vào việc giải “Phƣơng trình hàm” ta thƣờng
thực hiện theo các bƣớc:
- Tính giá trị của hàm số
f
cần tìm tại một số giá trị đầu tiên của tập hợp các số tự nhiên dựa
vào giả thiết của bài toán.
- Dựa vào các giá trị của
f
vừa tính ta dự đoán công thức của hàm số
f
.
- Chứng minh công thức vừa dự đoán là đúng bằng quy nạp.
Trong trƣờng hợp hàm số
f
cần tìm có tập xác định là
,,¢ ¤ ¡
thì ta phải tìm công
thức của hàm số
f
trên tập
¥
trƣớc rồi mở rộng công thức vừa tìm đƣợc
lần lƣợt trên các tập hợp
,,¢ ¤ ¡
.

Bài toán 22. Tìm tất cả các hàm số
**
:f ®¥¥
thỏa mãn

(1) 1f =
và
( ) ( ) ( )f m n f m f n mn+ = + +
,
*
,mn"Î¥
. (34)
Lời giải. Cho
1mn==
ta đƣợc
(2) 2 (1) 1 3 1 2ff= + = = +
.

11
Cho
2, 1mn==
ta đƣợc
(3) (2) (1) 2 6 1 2 3f f f= + + = = + +
.
Cho
3, 1mn==
ta đƣợc
(4) (3) (1) 3 10 1 2 3 4f f f= + + = = + + +
.
Từ các giá trị của

()fn
với
1;2;3;4n =
vừa tính ở trên ta dự đoán
( 1)
( ) 1 2 3
2
nn
f n n
+
= + + + + =
,
*
n"Î¥
.
Thật vậy với
1n =
, ta có
(1) 1f =
hiển nhiên đúng.
Giả sử
( 1)
()
2
kk
fk
+
=
. Ta chứng minh
( 1)( 2)

( 1)
2
kk
fk
++
+=
.
Cho
1,m n k==
vào (34) ta đƣợc
( 1) ( 1)( 2)
( 1) (1) ( ) 1
22
k k k k
f k f f k k k
+ + +
+ = + + = + + =
.
Vậy
( 1)
()
2
nn
fn
+
=
,
*
n"Î¥
là hàm số cần tìm.

2.2.5. Phương pháp thế biến
Phƣơng pháp thế biến là phƣơng pháp thƣờng đƣợc sử dụng nhất khi giải “Phƣơng
trình hàm”. Nội dung cơ bản của phƣơng pháp này là thay các biến có mặt trong phƣơng trình
nhƣ
, , xy
bởi các giá trị đặc biệt thƣờng là số
0, 1, 2, ±±
mà các giá trị này thuộc tập xác
định của hàm số và các điều kiện ràng buộc giữa các biến nếu có. Nhiều khi ta phải thế các
biến bằng các biểu thức để làm xuất hiện các hằng số hoặc các biểu thức cần thiết, hoặc có thể
rút gọn đƣợc hai vế của “Phƣơng trình hàm” ban đầu thành “Phƣơng trình hàm” mới đơn giản
hơn.
Bài toán 34 (Anh 2010). Tìm tất cả các hàm
:f ®¡¡
thỏa mãn

( ) ( ) ( )f x f y f x y xy= + +
,
,xy"Ρ
. (50)
Lời giải. Cho
0y =
vào (50) ta đƣợc
( )( (0) 1) 0f x f -=
,
x"Ρ
.
Nếu
(0) 1 ( ) 0f f x¹ Þ =
,

x"Ρ
(không thỏa mãn bài toán). Nên
(0) 1f =
.
Cho
yx=-
ta đƣợc
2
( ) ( ) (0)f x f x f x- = -
hay
2
( ) ( ) 1f x f x x- = -
,
x"Ρ
.
Cho
1x =
ta đƣợc
(1) ( 1) 0 (1) 0f f f- = Þ =
hoặc
( 1) 0f -=
.
Với
(1) 0f =
. Cho
1y =
ta đƣợc
( ) (1) ( 1)f x f f x x= + +
hay
0 ( 1) ( ) 1f x x f x x= + + Þ = -

,
x"Ρ
.
Với
( 1) 0f -=
. Cho
1y =-
ta đƣợc

12
( ) ( 1) ( 1)f x f f x x- = - -
hay
0 ( 1) ( ) 1f x x f x x= - - Þ = +
,
x"Ρ
.
Thử lại thấy các hàm số trên thỏa mãn bài toán.
Vậy các hàm số cần tìm là
( ) 1f x x=-
,
x"Ρ
và
( ) 1f x x=+
,
x"Ρ
.
2.2.6. Phương pháp sử dụng phương trình hàm Cauchy
Nhiều bài toán “Phƣơng trình hàm” khi ta giải cần phải sử dụng các kết quả của
“Phƣơng trình hàm Cauchy”. Trong các bài toán “Phƣơng trình hàm” đó thì giả thiết của bài
toán đƣa ra là hàm số cần tìm có tính liên tục trên một tập hợp nào đó và thỏa mãn một đẳng

thức mà chúng ta có thể biến đổi chứng và minh đƣợc hàm số cần tìm có tính chất cộng tính,
nhân tính, hoặc một hệ thức chuyển đổi giữa các phép toán số học. Nhiều trƣờng hợp ta phải
dùng phép đặt hàm phụ để đƣa “Phƣơng trình hàm” về dạng “Phƣơng trình hàm” mới theo
hàm phụ thỏa mãn “Phƣơng trình hàm Cauchy”.
Bài toán 59. Tìm tất cả các hàm liên tục
:f ®¡¡
thỏa mãn

( ) ( ) ( ) 2f x y f x f y xy+ = + +
,
,xy"Ρ
. (105)
Lời giải. Gọi
*
()fx
là nghiệm riêng của (105).
Ta có
* * *
( ) ( ) ( ) 2f x y f x f y xy+ = + +
,
,xy"Ρ
. (106)
Ta thấy vế phải của (106) có phần dƣ là biểu thức thuần nhất
2xy
có bậc hai nên nghiệm
riêng có dạng
*2
()f x ax=
. Thay vào (106) ta đƣợc
2 2 2

( ) 2 2 2a x y ax ay xy axy xy+ = + + Û =
,
,xy"Ρ
. Suy ra
1a =
.
Vậy
*2
()f x x=
,
x"Ρ
. Đặt
*2
( ) ( ) ( ) ( )g x f x f x f x x= - = -
.
Khi đó (105) trở thành
( ) ( ) ( )g x y g x g y+ = +
,
,xy"Ρ
.
Mà
()fx
liên tục nên
()gx
liên tục. Theo phƣơng trình Cauchy ta đƣợc
()g x bx=
,
,xb" ΠΡ¡
. Suy ra
22

( ) ( )f x x g x x bx= + = +
,
,xb" ΠΡ¡
.
Thử vào (105) thấy thỏa mãn.
Vậy hàm số thỏa mãn bài toán là
2
()f x x bx=+
,
;xb" ΠΡ¡
.
2.2.7. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu, cộng tính và nhân tính của hàm số và tính đối
xứng giữa các biến
Khi giải một “Phương trình hàm” nào đó ta cũng nên chú ý đến các điểm sau
Nếu hệ thức đã cho có tính đối xứng giữa các biến với nhau thì chúng ta nên đổi chỗ
các biến đó với nhau để thu đƣợc một hệ thức khác.
Nếu hàm số
f
cộng tính và đơn điệu trên
¡
hoặc
+
¡
thì
()f x ax=
,
x"Ρ
.

13

Nu hm s
f
n iu thc s thỡ
f
n ỏnh.
Nu hm s
f
n iu v cú cụng thc
f
trờn tp s hu t
Ô
thỡ ta thng chn
hai dóy s hu t n iu ngc nhau v chuyn qua gii hn suy ra cụng thc
f
trờn
Ă

hoc
+
Ă
.
Trong trng hp no ú nu ta d oỏn c cụng thc ca hm s
f
m hm s
f

li cú tớnh n iu thỡ ta cú th chng minh tớnh duy nht ca cụng thc ú.
Nu ta chng minh c hm s
f
cn tỡm va cú tớnh cht cng tớnh li va cú tớnh

cht nhõn tớnh thỡ ta
( ) 0fx =
,
x"ẻĂ
hoc
()f x x=
,
x"ẻĂ
.
2.3. Rốn luyn mt s phm cht t duy thụng qua mt s bi toỏn Phng trỡnh hm
2.3.1. Rốn luyn t duy Khỏi quỏt húa v c bit húa thụng qua mt s bi toỏn
Trong mt Phng trỡnh hm thng cú mt ớt nht mt hm s cn c xỏc nh
t
ABđ
, trong ú
A
c gi l tp ngun hay tp xỏc nh, cũn tp
B
c gi l tp
ớch ca hm s ú.
Thụng thng cỏc tp hp
,AB
l mt trong cỏc tp hp s ó c bit trong
chng trỡnh Toỏn THPT nh
, , ,Ơ Â Ô Ă
hoc cỏc tp con tng ng ca chỳng. Cỏc tp
hp trờn li cú quan h bao hm
è è èƠ Â Ô Ă
nờn nu hm s
f

cú cụng thc ỳng
trờn tp hp ny thỡ cụng thc ú cng ỳng trờn tp hp cha trong nú. Da vo iu ny khi
gii mt Phng trỡnh hm chỳng ta cú th thc hin c mt s vic sau
Mt l, ngoi vic d oỏn cụng thc ca hm s da vo tớnh cht c trng ca hm s cn
tỡm thỡ ta cú th d oỏn cụng thc ú trờn tp hp nh hn cha trong tp hp ngun ó cho
ca bi toỏn. lm c iu ny chỳng ta cú th c bit húa ri i theo con ng quy
np.
Hai l, chỳng ta cú th xõy dng c chui cỏc bi toỏn trờn cỏc tp hp cha trong tp hp
ó cho.
Trong trng hp chỳng ta mun cú cụng thc ca hm s
f
ó ỳng trờn tp hp
ny m cng ỳng trờn tp hp cha nú tc l chỳng ta i t tp hp nh hn n tp ln hn
cha tp hp ó cho thỡ cú th ta phi thờm iu kin no ú hm s
f
tha món. Nu thc
hin c iu ny thỡ ta ó khỏi quỏt c mt bi toỏn ú.
Nhiu trng hp chỳng ta khụng ch khỏi quỏt húa mt bi toỏn bng cỏch m rng
mt tp hp m cũn cú th m rng bi toỏn bng cỏc con ng khỏc nh thờm vo Phng
trỡnh hm mt hay vi hm s cn tỡm khỏc, hoc thờm bin vo Phng trỡnh hm ó cho
c mt Phng trỡnh hm mi tng quỏt hn,

14
2.3.1.1. Bài toán “Phương trình hàm” trong đề thi Na Uy 1998
Trong đề thi vô địch Toán của Na Uy năm 1998 có bài toán sau
Tìm tất cả cả các hàm số
:f ®¤¤
thỏa mãn

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )f x y f x y f x f y+ + - = +

,
,xy"Τ
.
Nhận xét 13: Trong bài toán trên ta thấy tập nguồn và tập đích của hàm số
f
cần tìm là tập
số hữu tỉ
¤
, nếu ta tìm được công thức của hàm số
f
trên
¤
thì công thức đó cũng đúng
trên các tập
¥
và
¢
vì hai tập hợp này đều là tập con của tập
¤
. Dựa vào điều này để giải
bài toán trên ta sẽ giải bài toán trên lần lượt trên các tập hợp
¥
và
¢
, đây chính là việc ta
đã đặc biệt hóa bài toán trên để được bài toán đơn giản hơn, sau đó ta sẽ giải bài toán trên
tập hợp
¤

Bài toán 86. Tìm tất cả cả các hàm số

:f ®¥¥
thỏa mãn

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )f m n f m n f m f n+ + - = +
,
,mn"Î¥
. (185)
Lời giải. Cho
0mn==
vào (185) ta đƣợc
(0) 0f =
. Đặt
(1)fa=Î¥
.
Cho
1mn==
vào (185) ta đƣợc
2
(2) 4 2f a a==
.
Cho
2, 1mn==
vào (185) ta đƣợc
2
(3) 9 3f a a==
.
Ta có
2
()f n an=
,

,na" ΠΥ¥
.
Thật vậy với
0n =
ta có
(0) 0f =
(đúng). Giả sử
2
()f k ak=
.
Cho
,1m k n==
vào (185) ta đƣợc
22
( 1) ( 1) 2 ( ) 2 (1) ( 1) ( 1) 2 2f k f k f k f f k a k ak a+ + - = + Û + + - = +

Suy ra
22
( 1) 2 ( 1)f k ak ak a a k+ = + + = +
. Vậy
2
()f n an=
,
,na" ΠΥ¥
.
Thử lại ta thấy hàm số trên thỏa mãn bài toán.
Vậy hàm số cần tìm là
2
()f n an=
,

,na" ΠΥ¥
.
Bài toán 87. Tìm tất cả cả các hàm số
:f ®¢¢
thỏa mãn

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )f m n f m n f m f n+ + - = +
,
,mn"΢
. (186)
Lời giải. Cho
0mn==
vào (186) ta đƣợc
(0) 0f =
. Đặt
(1)fa=΢
.
Theo bài toán 86 ta có
2
()f n an=
,
,na" ΠΥ¢
.
Cho
0m =
vào (186) ta có
( ) ( )f n f n=-
,
n"΢
.

Với
n
-
"΢
ta có
22
( ) ( ) ( )f n f n a n an= - = - =
.

15
Vy
2
()f n an=
,
,na" ẻ ẻÂÂ
. Th li ta thy hm s trờn tha món bi toỏn.
Vy hm s cn tỡm l
2
()f n an=
,
,na" ẻ ẻÂÂ
.
Bi toỏn 88 (Na Uy 1998). Tỡm tt c c cỏc hm s
:f đÔÔ
tha món

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )f x y f x y f x f y+ + - = +
,
,xy"ẻÔ
. (187)

Li gii. Cho
0xy==
vo (187) ta c
(0) 0f =
.
Cho
0x =
vo (187) ta c
( ) ( )f y f y-=
,
y"ẻÔ
suy ra
()fx
l hm s chn.
t
(1)fa=
. Theo bi toỏn ta cú
2
()f n an=
,
,na" ẻ ẻÂÔ
.
Cho
yx=
vo (187) ta c
2
(2 ) 4 ( ) 2 ( )f x f x f x==
,
x"ẻÔ
.

Bng quy np ta cng suy ra c
2
( ) ( )f nx n f x=
,
n"ẻƠ
,
x"ẻÔ
.
T cỏc kt qu trờn ta cú
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
an f n f m m f f a
m m m m
= = = ị =
,
*
,nm" ẻ " ẻÂƠ
.
Suy ra
2
()f r ar=
,
r"ẻÔ
. Th li thy hm s ny tha món bi toỏn.
Vy
2
()f x ax=
,
,xa" ẻ ẻÔÔ

l hm s cn tỡm.
Nhn xột 14: bi toỏn trờn cú th m rng t tp
Ô
ra tp
Ă
thỡ ta cn phi thờm tớnh
liờn tc ca hm s
f
. Khi ú ta cú bi toỏn sau
Bi toỏn 89. Tỡm tt c c cỏc hm s liờn tc
:f đĂĂ
tha món

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )f x y f x y f x f y+ + - = +
,
,xy"ẻĂ
. (188)
Li gii. Theo bi toỏn 88 ta cú
2
()f r ar=
,
r"ẻÔ
.
Ly
x ẻ Ă
bt k. Xột dóy s hu t
{ }
1
n
n

r
+Ơ
=
sao cho
lim
n
n
rx
đ + Ơ
=
.
Vỡ hm s
()fx
liờn tc trờn
Ă
nờn ta cú
22
( ) ( lim ) lim ( ) lim
n n n
n n n
f x f r f r ar ax
đ + Ơ đ + Ơ đ + Ơ
= = = =
.
Th li thy hm s
2
()f x ax=
,
,xa" ẻ ẻĂĂ
tha món bi toỏn.

Vy
2
()f x ax=
,
,xa" ẻ ẻĂĂ
l hm s cn tỡm.
Nhn xột 15: n õy chỳng ta cú th m rng bi toỏn 89 bng cỏch tng s lng hm s
trong phng trỡnh hm 188 bng vic thay hm s
f
bi mt hay vi hm s khỏc nh
,,g h k
. Ta c cỏc bi toỏn sau

16
Bài toán 90. Tìm tất cả các hàm số liên tục
,:fh ®¡¡
thỏa mãn

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )f x y f x y h x h y+ + - = +
,
,xy"Ρ
. (189)
Lời giải. Cho
0y =
vào (189) ta có
( ) ( ) 2 ( ) 2 (0)f x f x h x h+ = +
.
Suy ra
( ) ( ) (0) ( )f x h x h h x c= + = +
(với

(0)ch=
).
Thay vào (189) ta có
( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )h x y c h x y c h x h y+ + + - + = +
.
Đặt
( ) ( )g x h x c=-
. Khi đó ta có phƣơng trình

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )g x y g x y g x g y+ + - = +
,
,xy"Ρ
. (190)
Vì hàm
()hx
liên tục trên
¡
nên hàm
()gx
liên tục trên
¡
.
Theo bài toán 89 ta có
2
()g x ax=
,
x"Ρ
.
Suy ra
2

()h x ax c=+
,
2
( ) ( ) 2f x h x c ax c= + = +
.
Thử lại thấy các hàm số trên thỏa mãn bài toán.
Vậy
2
( ) 2f x ax c=+
,
2
()h x ax c=+
là cặp hàm số cần tìm.
Bài toán 91. Tìm tất cả các hàm số liên tục
, , :f g h ®¡¡
thỏa mãn

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )f x y g x y h x h y+ + - = +
,
,xy"Ρ
. (191)
Lời giải. Cho
xy=
vào (191) ta đƣợc
(2 ) 4 ( ) ( ) 4 ( )
2
x
f x h x f x haa= - Þ = -

(với

(0)g a=
).
Cho
0y =
, đặt
(0)h b=
ta đƣợc
( ) 2 ( ) 2 4 ( )
2
x
g x h x hba= + - +
.
Thay vào (191) ta đƣợc
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
x y x y
h h h x y h x h yb
éù
+-
êú
- + - + = +
êú
ëû
,
,xy"Ρ
.
Đặt
( ) ( )H x h x b=-
. Ta có phƣơng trình
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22
x y x y
H H H x y H x H y
éù
+-
êú
- + - = +
êú
ëû
,
,xy"Ρ
. (192)
Vì mỗi hàm số có thể viết thành tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ nên
( ) ( ) ( )
eo
H x H x H x=+
với
( ), ( )
eo
H x H x
lần lƣợt là các hàm số chẵn, lẻ nào đó.
Thay
x
bởi
x-
vào (192) ta đƣợc

17

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22
x y x y
H H H x y H x H y
éù
- + - -
êú
- + - - = - +
êú
ëû

Thay
y
bởi
y-
ta đƣợc
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
x y x y
H H H x y H x H y
éù
-+
êú
- + + = + -
êú
ëû
.
Từ đó ta có
2 ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
e o e o

x y x y x y x y
H H H H
éù
- + - + - - - -
êú
+ - -
êú
ëû

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e o e o e o
H x y H x y H x H x H y H y+ - - + - - = - + - + +
. (193)
2 ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
e o e o
x y x y x y x y
H H H H
éù
- - + +
êú
+ - -
êú
ëû

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e o e o e o
H x y H x y H x H x H y H y+ + + + = + + - + -
. (194)
Cộng các phƣơng trình (193) và (194) ta đƣợc

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
e e e e e
x y x y
H H H x y H x H y
éù
+-
êú
- + - = +
êú
ëû
,
,xy"Ρ
. (195)
Thay
y
bởi
y-
vào (195) ta đƣợc
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
e e e e e
x y x y
H H H x y H x H y
éù
-+
êú
- + + = + -
êú
ëû

,
,xy"Ρ
. (196)
Cộng các phƣơng trình (195) và (196) ta đƣợc
( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )
e e e e
H x y H x y H x H y+ + - = +
,
,xy"Ρ
.
Vì hàm
()hx
liên tục trên
¡
nên hàm
()
e
Hx
liên tục trên
¡
.
Theo bài toán 89 ta có
2
()
e
H x ax=
,
,xy"Ρ
.
Trừ phƣơng trình (193) cho (194) ta đƣợc

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
o o o o o
x y x y
H H H x y H x H y
éù
-+
êú
- + - + = - -
êú
ëû
,
,xy"Ρ
. (197)
Thay
y
bởi
y-
vào (197) ta đƣợc
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
o o o o o
x y x y
H H H x y H x H y
éù
+-
êú
- + - - = - - -
êú
ëû

,
,xy"Ρ
. (198)
Cộng hai phƣơng trình (197) và (198) ta đƣợc

18
( ) ( ) 2 ( )
o o o
H x y H x y H x+ + - =
,
,xy"Ρ
. (199)
Đặt
u x y
v x y
í
ï
=+
ï
ì
ï
=-
ï
î
. Khi đó phƣơng trình (199) trở thành
( ) ( )
()
22
oo
o

H u H v
uv
H
+
+
=
,
,uv"Ρ
. (200)
Ta thấy (200) là phƣơng trình Jensen nên
()
o
H x bx c=+
,
;,x b c" ΠΡ¡
.
Mà
()
o
Hx
lẻ nên
0 ( )
o
c H x bx= Þ =
,
;xb" ΠΡ¡
.
Vậy
2
( ) ( ) ( )

eo
H x H x H x ax bx= + = +
,
;,x a b" ΠΡ¡
. Suy ra

2
( ) ( )h x H x ax bxbb= + = + +
,
2
( ) 4 ( ) 2 4
2
x
f x h ax bxa b a= - = + + -
;
và
2
( ) 2 ( ) 2 ( )g x h x f x axba= + - = +
,
; , , ,x a b ab" ΠΡ¡
.
Thử lại thấy các hàm số trên thỏa mãn bài toán. Vậy các hàm số cần tìm là
2
( ) 2 4f x ax bx ba= + + -
,
2
()g x ax a=+
,
2
()h x ax bx b= + +

; , , ,x a b ab" ΠΡ¡
.
Bài toán 92. Tìm tất cả các hàm số liên tục
, , , :f g h k ®¡¡
thỏa mãn

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )f x y g x y h x k y+ + - = +
,
,xy"Ρ
. (201)
Lời giải. Đổi chỗ
x
và
y
cho nhau trong phƣơng trình (201) ta đƣợc
( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )f y x g y x h y k x+ + - = +
,
,xy"Ρ
. (202)
Cộng hai phƣơng trình (201) và (202) ta đƣợc
2 ( ) ( ) ( ) 2( ( ) ( )) 2( ( ) ( ))f x y g x y g y x h x k x h y k y+ + - + - = + + +
.
Đặt
( ) ( ) ( )l x h x k x=+
ta đƣợc phƣơng trình
2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )f x y g x y g y x l x l y+ + - + - = +
,
,xy"Ρ
. (203)

Cho
xy=
, và đặt
(0)g a=
ta đƣợc
2 (2 ) 2 4 ( ) ( ) 2 ( )
2
x
f x l x f x laa+ = Þ = -
.
Suy ra
( ) 2 ( )
2
xy
f x y l a
+
+ = -
,
,xy"Ρ
. (204)
Cho
0y =
, và đặt
(0)l b=
ta đƣợc
2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2f x g x g x l x b+ + - = +
( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2g x g x l x f x bÞ + - = - +


19

( ) ( ) 2 ( ) 4 ( ) 2 2
2
x
g x g x l x l abÞ + - = - + +

( ) ( ) 2 ( ) 4 ( ) 2 2
2
xy
g x y g y x l x y l ab
-
Þ - + - = - - + +
,
,xy"Ρ
. (205)
Thay (204), (205) vào (203) ta đƣợc
4 ( ) 2 2 ( ) 4 ( ) 2 2 2 ( ) 2 ( )
22
x y x y
l l x y l l x l ya a b
+-
- + - - + + = +

4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) 2 2 ( ) 2 ( )
22
x y x y
l l x y l l x l yb
+-
Þ + - - + = +

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22
x y x y
l l l x y l x l yb
éù
+-
êú
Þ - + - + = +
êú
ëû
,
,xy"Ρ
. (206)
Đặt
( ) ( )L x l x b=-
. Phƣơng trình (206) trở thành
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
x y x y
L L L x y L x L y
éù
+-
êú
Þ - + - = +
êú
ëû
,
,xy"Ρ
.
Làm tƣơng tự bài toán 91 ta có đƣợc
2

()L x ax bx=+
2
()l x ax bx bÞ = + +
.
Suy ra
2
( ) 2 ( ) 2
22
xa
f x l x bxa b a= - = + + -
. Đặt
(0)k g=
.
Các hàm số
( ), ( ), ( )g x h x k x
thỏa mãn hệ phƣơng trình
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) 2
h x k x l x
f x g x h x g
í
ï
+=
ï
ì
ï
+ = +
ï
î

2
22
( ) ( )
( ) 2( ( )) 2 ( 2 )
2
h x ax bx k x
a
g x ax bx k x x bx
b
b g b a
í
ï
= + + -
ï
ï
ï
Û
ì
ï
= + + - + - + + -
ï
ï
ï
î

2
2
( ) ( )
3
( ) 2 ( ) 2

2
h x ax bx k x
a
g x x bx k x
b
ga
í
ï
= + + -
ï
ï
ï
Û
ì
ï
= + - + +
ï
ï
ï
î

Thay vào phƣơng trình (201) ta đƣợc
22
3
( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2
22
aa
x y b x y x y b x y k x yb a g a+ + + + - + - + - - - + +

2

2( ( )) 2 ( )ax bx k x k yb= + + - +


20
2
( ) ( ) ( )k x y k x k y ay axy gÛ - = - + - +
,
,xy"Ρ
. (207)
Đặt
2
( ) ( )u x k x mx n= - -
thay vào (207) ta đƣợc
2
( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( )u x y u x u y a m y a m xy n g- = - + - - - + -
.
Chọn
,
2
a
mng==
ta đƣợc phƣơng trình
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x y u x u y u x y u x u y- = - Û + = +
,
,xy"Ρ
.
Vì
()kx
liên tục trên
¡

nên
()ux
liên tục trên
¡
.
Vậy
()ux
liên tục và cộng tính trên
¡
nên ta có
()u x cx=
. Vậy ta có
22
( ) ( )
22
aa
k x x u x x cxgg= + + = + +
;
2 2 2
3
( ) 2( ) 2 ( 2 )
2 2 2
a a a
g x x bx x cx x b c xg g a a= + - + + + + = + - +
;
2 2 2
( ) ( ) ( )
22
aa
h x ax bx x cx x b c xb g b g= + + - + + = + - + -

.
Thử lại thấy các hàm số trên thỏa mãn bài toán. Vậy các hàm số cần tìm là
2
( ) 2
2
a
f x x bx ba= + + -
,
2
( ) ( 2 )
2
a
g x x b c x a= + - +
;
2
( ) ( )
2
a
h x x b c x bg= + - + -
,
2
()
2
a
k x x cx g= + +
.
; , , , , ,x a b c a b g" ΠΡ¡
.
2.3.1.2. Bài toán “Phương trình hàm” trong đề thi Italia 1999 và IMO 1992
2.3.3. Nhận dạng các hằng đẳng thức qua các “Phương trình hàm”

CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm
3.1.1. Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm sƣ phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài “Rèn
luyện tư duy thông qua dạy học giải Toán “Phương trình hàm” cho hoc sinh khá, giỏi Toán
Trung học Phổ thông”.
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm

21
Thực nghiệm giảng dạy phƣơng pháp giải một số dạng Toán “Phƣơng trình hàm” và việc khai
thác một số bài toán “Phƣơng trình hàm” cho nhóm học sinh khá, giỏi Toán khối 12 của
trƣờng THPT Ngô Quyền – Ba Vì thuộc thành phố Hà Nội.
3.2. Tổ chức thực nghiệm
3.2.1. Đề kiểm tra lần 1
Bài 1. Tìm tất cả các hàm số
:f ®¡¡
thỏa mãn

2
( ) (1 ) 2009 2012x f x f x x+ - = -
,
x"Ρ
.
Bài 2. Tìm tất cả các hàm số liên tục
:f
+
®¡¡
thỏa mãn

22
2
2011
( ) ( ) 2011f x x f x x
x
- = -
,
x
+
"Ρ
.
3.2.2. Đề kiểm tra lần 2
Bài 1. Tìm tất cả các hàm liên tục
:f ®¡¡
thỏa mãn

(2011 2012 ) 2011 ( ) 2012 ( )f x y f x f y- = -
,
,xy"Ρ
.
Bài 2. Tìm tất cả các hàm
:f
+
®¡¡
thỏa mãn

11
( ) ( ) ( ) 2011f x f y f xy
xy
= + + +

,
,xy
+
"Ρ
.
3.2.3. Bài tập làm ở nhà
Bài 1. Tìm tất cả các hàm số
:f ®¤¤
thỏa mãn

( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = +
và
( ) ( ) ( )f xy f x f y=
,
,xy"Τ
.
Bài 2. Tìm các cách giải khác nhau của bài toán
Tìm tất cả các hàm số nghịch biến
:f
+
®¡¡
thỏa mãn

( ( ))
1
y
f x f y
xy
+=
+

,
,xy
+
"Ρ
.
Điều kiện hàm số
f
nghịch biến có thể bỏ đi đƣợc hay không?
3.3. Kết quả của các bài kiểm tra và một số nhận xét sau thực nghiệm
3.3.1. Kết quả của các bài kiểm tra
Điểm
0 - 2
3 - 4
5 - 6
7 - 8
9 - 10
Tổng số bài
Số bài lần 1
4
6
11
5
4
30
Số bài lần 2
2
4
15
6
3

30
Số bài ở nhà
0
3
18
7
2
30
3.3.2. Một số nhận xét sau thực nghiệm

22
Nhìn chung, sau khi học xong chuyên đề “Phƣơng trình hàm”, các em học sinh đã vận
dụng đƣợc các phƣơng pháp giải “Phƣơng trình hàm” để làm đƣợc các bài tập về “Phƣơng
trình hàm” trong các cuộc kiểm tra.
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
Chuyên đề “Phƣơng trình hàm” là một lĩnh vực còn xa lạ với hầu hết các học sinh
THPT hiện nay,vì nó rất khó. Nhƣng bên cạnh cái khó thì chuyên đề này lại giúp không ít lợi
ích vào việc rèn luyện và phát triển tƣ duy cho học sinh THPT, việc nghiên cứu chuyên đề
này để sử dụng vào quá trình dạy học toán ở các trƣờng THPT là cần thiết.
Hiện nay, các tài liệu tiếng Việt và tiếng nƣớc ngoài viết về chuyên đề “Phƣơng trình
hàm” còn ít nên các giáo viên và học sinh không có nhiều tài liệu tham khảo về chuyên đề này
để học tập và nghiên cứu. Do vậy nhiều bài tập trong đề tài này sẽ là một tài liệu tham khảo
bổ ích cho những ai quan tâm đến chuyên đề “Phƣơng trình hàm”.
Với hy vọng nho nhỏ đó, đề tài này sẽ đóng góp một phần nho nhỏ vào việc nâng cao
chất lƣợng giáo dục. Mong rằng các cấp lãnh đạo từ nơi tác giả học tập, nơi tác giả đang công
tác và các cấp quản lý tạo điều kiện giúp đỡ tác giả sau quá trình thực hiện đề tài để đề tài
ngày một hoàn thiện và thành công hơn.

References
Sách tiếng Việt

1. Tô Văn Ban. Giải tích những bài tập nâng cao. Nxb Giáo dục Việt Nam, 2005.
2. Trần Nam Dũng (Chủ biên). Chuyên đề Toán học số 9. Nxb Thành phố Hồ Chí Minh,
2010.
3. Đavƣđov V.V. Các dạng khái quát trong dạy học(Sách dịch). Nxb Đại học Quốc Gia Hà
Nội, 2000.
4. Phạm Minh Hạc (Chủ biên). Tâm lý học. Nxb Giáo dục Hà Nội, 1992.
5. Nguyễn Thái Hòe. Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập Toán. Nxb Giáo dục Việt Nam,
2004.
6. Phan Huy Khải. Các bài toán về hàm số. Nxb Giáo dục Việt Nam, 2007.
7. Nguyễn Bá Kim. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sƣ phạm, 2002.
8. Hƣng Thịnh Lạc. Phương pháp tư duy lôgic (Sách dịch). Nxb Văn hóa Thông tin, 2008.
9. Nguyễn Phú Lộc. Dạy học hiệu quả môn Giải Tích trong trường phổ thông. Nxb Giáo dục
Việt Nam, 2010.
10. Nguyễn Văn Lộc(Chủ biên). Tuyển chọn các bài thi vô địch Toán ở các địa phương,
Quốc gia, Quốc tế. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2010.

23
11. Nguyễn Văn Mậu(Chủ biên). Một số chuyên đề Giải Tích bồi dưỡng học sinh giỏi trung
học phổ thông. Nxb Giáo dục Việt Nam, 2010.
12. Nguyễn Văn Mậu. Phương trình hàm. Nxb Giáo dục, 2001.
13. Bùi Văn Nghị. Giáo trình phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán. Nxb
Đại học Sƣ phạm, 2008.
14. Bùi Văn Nghị(Chủ biên). Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên trung học phổ
thông. Nxb Đại học Sƣ phạm, 2005.
15. Bùi Văn Nghị. Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học môn Toán ở trường phổ thông.
Nxb Đại học Sƣ phạm, 2009.
16. Polya. Giải một bài toán như thế nào(Sách dịch). Nxb Giáo dục Việt Nam, 1997.
17. Sácđacốp. Tư duy của học sinh(Sách dịch). Nxb Giáo dục Hà Nội, 1970.
18. Chu Trọng Thanh. Cơ sở toán học hiện đại của kiến thức môn Toán phổ thông. Nxb
Giáo dục Việt Nam, 2011.

19. Nguyễn Trọng Tuấn. Bài toán hàm số qua các kì thi Olimpic, Nxb Giáo dục Việt nam,
2005.
20. Lê Hải Yến. Dạy và học phương pháp tư duy. Nxb Đại học Sƣ phạm, 2008.
Sách tiếng Anh
21. Chiristopher G.Small. Functional Equations and How to Solve Them. Springer, 2007.
22. Graeme West. Functional Equations for the Olimpiad Enthusiast. Kent Ohio USA, 1997.
23. Lee Peng Yee. Mathematical Olypiad in China. World scientific Singapore, 2007.
24. Marek Kuczma. Funtional equations in a single variable. Warszawa, 1968.
25. Prasanna Sahoo. Mean value theorems and functional equations. World scientific
Singapore, 1998.
26. Samuel Goldberg. Introduction to Difference Equations. New York, 1960.
Các trang Web
27. www.imomath.com
28. www.mathlink.ro