Xấp xỉ và khai triển tiệm cận nghiệm của hệ phương trình hàm-Lê THu Vân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TP.HỒ CHÍ MINH




Lê Thu Vân



XẤP XỈ VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN
NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM



Luận văn Thạc sỹ Toán học


Chuyên ngành : Toán Giải Tích
Mã số : 1.01.01


Người hướng dẫn : TS. Nguyễn Thành Long

Đại học Khoa Học Tự Nhiên
Tp. Hồ Chí Minh.

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
2001





1
Luận văn được hoàn thành tại:
Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh.


Người hướng dẫn :

TS. Nguyễn Thành Long
Khoa Toán- tin học,
Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh.


Người nhận xét 1
:…………
………………………
………………………

Người nhận xét 2 :…………
………………………
………………………

Học viên cao học: Lê Thu Vân

Trường Phổ thông Trung học Lê Quý Đôn, Q.3, TP. Hồ Chí Minh.



Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án cấp Nhà
Nước tại Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh.
vào lúc ……giờ……ngày … tháng… năm 2001

Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện
Trường Đại Học Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh.





THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
2001



2
MỤC LỤC

Chương 1: Phần tổng quan…………………………………………………….trang 1
Chương 2: Các ký hiệu, các không gian hàm,
công cụ cơ bản………… ……………………………………… trang 4
Chương 3: Sự tồn tại, duy nhất nghiệm………………………… trang 7
Chương 4: Điều kiện đủ cho thuật giải

hội tụ cấp hai………….………………….……………………….trang 10
Chương 5: Khai triển tiệm cận nghiệm
theo tham số bé…………………… …….…………………….trang 20
Chương 6: Một số hệ phương trình hàm cụ thể…………….trang 27
Chương kết luận. ………………………………… ……………………………….trang 38
Tài liệu tham khảo……………………………………………………………………trang 39

3
Chương 1
TỔNG QUAN

Trong luận văn nầy, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm
sau đây



∑∑
==
=
m
k
n
j
ijkjijki
xSfaxf
11
2
))(()( ε )())((
11
xgxSfb
i
m
k
n
j

ijkjijk
++
∑∑
==

. (1.1)
niRx
p
, ,1; =⊂Ω∈∀

trong đó là một miền compact hay không compact của , a
là các hằng số thực cho trước; , là các hàm số
liên tục cho trước và là các ẩn hàm, là một tham số bé.
Ω
p
R
ijkijk
b,
Rg
i
→Ω:
R
Ω→Ω:
ijk
S
εf
i
→Ω:
Trong [1], các tác giả C.Q.Wu, Q.W.Xuan, D.Y.Zhu (1991) nghiên cứu
hệ (1.1) sau đây ứng với , , ,

và
là các nhò thức bậc nhất.
1
=
p ],[ bb
−=Ω
2== nm 0=
ijk
a
ijk
S




(1.2)





+++
+++=
+++
+++=
),()(
)()()(
),()(
)()()(
22323223

222212221211212
11313213
121221211111111
xgcxbfa
cxbfacxbfaxf
xgcxbfa
cxbfacxbfaxf

với mọi , trong đó, các hằng số , cho trước
thỏa các điều kiện:
],[ bbx −=Ω∈
ijij
ba ,
ij
c b













<
−

≥
<
∑
=
,1)(max
],
1
[max
,1
3
1
,
j
ij
i
ij
ij
ji
ij
a
b
c
b
b
(1.3)



4
các hàm số liên tục cho trước và là các ẩn hàm. Nghiệm

của hệ (1.2) lúc này cũng được xấp xỉ bởi một dãy qui nạp hội tụ đều
và ổn đònh đối với các .
21
, gg
21
, ff
i
g
Trong [4] , các tác giả Nghóa, Khôi (2000) đã xét hệ phương
trình hàm cụ thể sau đây để làm kiểm tra một thuật toán số















++++
++=
+++++
++=
),()

4
3
4
(
200
1
)
2
(
100
1
)
3
1
2
(
200
1
)
4
(
100
1
)(
),()
4
1
3
(
100

1
)
4
1
4
(
100
1
)
2
1
3
(
200
1
)
2
(
100
1
)(
222
112
122
111
xg
x
f
x
f

x
f
x
fxf
xg
x
f
x
f
x
f
x
fxf
(1.4)

với mọi ]1,1[−∈x

trong đó























+
−−−−=














+−
+
−−=
.

4
3
2
399
3
2
2
800
1
2
,
4
1
316
)1(
2
1
3
596
400
1
1
2
2
2
2
x
xx(x)g
xx
x(x)g



(1.5)

Hệ nầy có nghiệm chính xác là


2
)(
1
x
xf = ;
4
)(
2
2
x
xf = . (1.6)

Trong [2], các tác giả Long, Nghóa, Ruy, Khôi (1998) đã nghiên
cứu một trường hợp riêng của (1.1) với và
Ω
hay là
khoảng không bò chận của .
1=p ],[ bb−=
Ω
R
Bằng cách sử dụng đònh lý điểm bất động Banach, các tác giả
trong [2] đã thu được kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn đònh
nghiệm của hệ (1.1) đối với các hàm

.
i
g
Trong trường hợp
và là các nhò thức bậc nhất,
và các tác giả trong [2] đã thu được một khai
0=
ijk
a
],bb
ijk
S
);(
nr
RCg Ω∈ [−=Ω

5
triển Maclaurin của nghiệm của hệ (1.1) cho đến cấp . Hơn nữa, nếu
là các đa thức bậc r , thì nghiệm của hệ (1.1) cũng là đa thức bậc r .
Kế đó, nếu là các hàm liên tục, nghiệm của (1.1) được xấp xỉ bởi
một dãy các đa thức hội tụ đều. Sau đó, các kết quả trên đây đã được
nới rộng trong [3] bởi các tác giả Long, Nghóa (2000) cho miền
nhiều chiều và là các hàm affine. Hơn nữa, trong [3]
cũng cho một điều kiện đủ về hội tụ bậc hai của hệ phương trình hàm
[3]. Một số kết quả liên quan đến khai triển tiệm cận của nghiệm cho
hệ (1.1) theo một tham số bé ε cũng được xem xét trong bài báo của
Long, Diễm [5] (2001).
r
i
g

Ω
i
g f
⊂
p
R
ijk
S
ε
1
Luận văn nầy được trình bày trong 6 chương, phần kết luận và cuối
cùng là phần tài liệu tham khảo.
Trong chương 1, là phần tổng quan về hệ phương trình hàm, một số
kết qủa đã có trước đó và một số nội dung cần trình bày trong các
chương của luận văn.
Trong chương 2, là phần giới thiệu về các ký hiệu, các không gian
hàm và một số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn.
Trong chương 3, dựa vào đònh lý điểm bất động Banach, chúng tôi
chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ(1.1).
Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu một điều kiện đủ để thu được
thuật giải hội tụ cấp hai cho hệ (1.1).
Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bò
nhiễu bởi một tham số bé . Khi đó một khai triển tiệm cận nghiệm
của hệ (1.1) đến cấp theo ε thu được, với ε đủ nhỏ. +N
Trong chương 6, chúng tôi nghiên cứu một số ví dụ hệ phương trình
hàm cụ thể trong miền hai chiều, ở đó chúng tôi sẽ khảo sát một thuật
giải hội tụ cấp hai và chỉ ra các thành phần trong khai triển tiệm cận
đến cấp hai cho hệ.
Chương kết luận nêu lên một số kết quả thu được trong luận văn và
một số chú ý kèm theo.

Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo.










6
CHƯƠNG 2

CÁC KÝ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM

Trong chương 2, là phần giới thiệu về các ký hiệu, các không
gian hàm và một số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn.

2.1. Các ký hiệu.

Một điểm trong
được ký hiệu bởi .Ta gọi
là một đa chỉ số và ký hiệu để chỉ đơn
thức , có bậc
p
R ), ,(
1 p
xxx =
α

x
), ,(
1 p
ααα=
p
p
xx
α
α

1
1
p
Z
+
∈ −p
∑
=
p
i 1
α=
i
α .
Tương tự, Nếu
j
j
x
D
∂
∂

=
.
với 1 , thì pj ≤≤
p
p
DDD
α
α
α

1
1
=
=
p
p
xx
α
α
α
∂∂
∂

1
1
ký hiệu một toán tử vi phân cấp α . Ta cũng ký hiệu
.
!! !
1 p
ααα=

Với là tập con compact của
, ta ký hiệu là
không gian Banach của các hàm số
liên tục
trên Ω đối với chuẩn
Ω
p
R
f
);(
n
RCX Ω=
n
R→Ω:
), ,(
1 n
ff=


∑
=
Ω∈
=
n
i
i
x
X
xff
1

)(sup
. (2.1)

Khi Ω không compact, ta ký hiệu là
không gian Banach của các hàm số liên tục, bò chận trên
đối với chuẩn (2.1).
p
R⊂ );(
n
b
RCX Ω=
n
Rf →Ω:
Ω
Ta chú ý rằng, khi
là mở, các hàm trong C không
nhất thiết bò chận trên . Nếu
bò chận và liên tục đều
trên Ω , khi đó nó có duy nhất một nới rộng liên tục, bò chận trên bao
đóng
Ω
Ω
p
R⊂ );(
n
R
Ω
∈
f );(
n

RC
Ω
Ω
của . Do đó, ta đònh nghóa không gian vectơ
Ω
);(
n
RC Ω gồm
tất cả các hàm
sao cho bò chận và liên tục đều trên
. Không gian nầy là không gian Banach với chuẩn cho bởi (2.1).
∈f );(
n
RC Ω f
Ω

7

Tương tự, với số nguyên không âm , ta đặt m


C
),;(:);(), ,({);(
1
RCfDRCfffR
i
n
n
nm
Ω∈Ω∈==Ω

α


}, ,1, nim
=≤α

với Ω một miền trong , và
p
R⊂
p
R

),;(:);(), ,({);(
1
RCfDRCfffR
in
nm
Ω∈Ω∈==Ω
α
C


}, ,1, nim =≤α .
Với một tập mở trong .
Ω
p
R⊂
p
R

);(
nm
RΩC cũng là một không gian Banach đối với chuẩn:

);(
nm
RC
f
Ω
=
∑
=
Ω∈
≤
n
i
i
x
m
xfD
1
)(supmax
α
α
. (2.2)

Ta viết hệ (1.1) theo dạng của một phương trình toán tử
trong : );(
n
RCX Ω≡

(2.3) gBfAff ++=ε

trong đó


, ,
), ,(
1 n
fff = ))(, ,)((
1 n
AfAfAf = ))(, ,)((
1 n
BfBfBf =

với

( ,
∑∑
==
=
m
k
n
j
ijkjijki
xSfaxAf
11
2
))(()()

, (1 ) với mọi .
∑∑
==
=
m
k
n
j
ijkjijki
xSfbxBf
11
))(()()( ni ≤≤ Ω∈x
2.2 Đònh lý điểm bất động Banach
Chúng ta thường sử dụng đònh lý điểm bất động Banach sau :

8
Đònh lý 2.1.
Cho là không gian Banach với chuẩn
X .
, là tập
đóng. Cho
T
là ánh xạ thỏa mãn
XK ⊂
KK: →
Tồn tại số thực σ sao cho 10, <≤σ

gfTgTf

−≤−σ
, ∀ . (2.4) Kgf ∈,
Khi đó ta có
(i) Tồn tại duy nhất
sao cho
.

Kf
∈
Tff
=
(ii) Với mỗi
, xét dãy { cho bởi
Kf ∈
)0(
}
)(
ν
f
, 2,1,
)1()(
==
−
ν
νν
Tff
ta có
(j) 0
)(
=−

∞→
f
ν
ν
lim f
,
(jj)
σ
σ
ν
ν
−
−≤
1
)0()0(
Tfff−
)(
f
,
ν

, 2,1=
(jjj)
)1()()(
1
−
−
−
≤−
ννν

σ
σ
ffff
,
ν

, 2,1
=
Chứng minh đònh lý 2.1 có thể tìm thấy trong các quyển sách về
nhập môn giải tích. 








9

CHƯƠNG 3

ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM


Trong chương nầy, dựa vào đònh lý điểm bất động Banach, chúng
tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (2.3) .

Đặt
][

ijk
b =
ijk
n
i
m
k
nj
b
∑∑
==
≤≤
11
1
max .

Đầu tiên, ta cần bổ đề sau.

Bổ đề 3.1. Giả sử
][
ijk
b 1
<
và
liên tục. Khi đó:
Ω→Ω:
ijk
S

i)

X
ijk
X
fbBf ][≤

∀
.
(3.1) Xf ∈

ii) Toán tử tuyến tính là khả đảo và BI − XX →:


][1
1
)(
1
ijk
b
BI
−
≤−
−
.

Chứng minh bổ đề nầy không phức tạp và chúng ta bỏ qua chi tiết. 

Do bổ đề 1, ta viết lại hệ (2.1) như sau:


. (3.2)

)()(
1
gAfBIf +−=
−
ε Tf≡

Ta thành lập các giả thiết sau:

(H1)
liên tục;
Ω→Ω:
ijk
S

(H2) ; Xggg
n
∈= ), ,(
1

(H3) 1][ <
ijk
b ;



10

(H4)
(
)

X
ijk
ijk
ga
b
][8
][1
2
0
−
<<ε
0
;

(H5)
,
21
MMM
<<

trong đó

][4
][8)][1(][1
0
0
2
1
ijk
X

ijkijkijk
a
gabb
M
ε
ε−−−−
= ,

][4
][8)][1(][1
0
0
2
2
ijk
X
ijkijkijk
a
gabb
M
ε
ε−−+−
= .
Đặt

}:{
MfXfK
X
M
≤∈= .

Khi đó, ta có bổ đề sau đây.

Bổ đề 3.2. Giả sử (H1),(H2) đúng. Khi đó, ta có

i)
][
2
ijk
X
aMAf ≤
∀
.
M
Kf
∈

ii)
X
ijk
X
ffaMfAAf
~
][2
~
−≤−
.
M
Kff
∈∀

~
,

Chứng minh bổ đề nầy không phức tạp và chúng ta bỏ qua chi tiết. 

Khi đó, ta có đònh lý sau đây.

Đònh lý 3.1. Giả sử (H1)-(H5) đúng. Khi đó, với mỗi ε , với
0
εε≤ , hệ
(3.2) có một nghiệm duy nhất
.
M
Kf ∈
ε

Chứng minh. Hiển nhiên rằng
Tf
, với mọi . Xét
, ta dễ dàng nghiệm lại rằng, do bổ đề 3.1 và 3.2, rằng
X∈ Xf ∈
M
Kff
∈
~
,



11

)()()()(
11
XX
X
X
gAfBIgAfBITf +−≤+−=
−−
εε

≤
][1
][
2
0
ijk
X
ijk
b
gaM
−
+ε
, (3.3)

X
X
X
fAAfBIfAAfBIfTTf
~

)()
~
()(
~
1
0
1
−−≤−−=−
−−
εε

X
ijk
ijk
ff
b
aM
~
][1
][2
0
−
−
≤
ε
. (3.4)

Chú ý rằng, từ (H2)-(H5) ta có

0)][1(][
2
0
<+−−
X
ijkijk
gMbMaε2 . (3.5)

Ta suy từ (3.3),(3.4),(3.5), rằng
T là ánh xạ co. Khi
đó, sử dụng đònh lý điểm bất động Banach, ta có duy nhất một hàm
sao cho .
MM
KK →:
M
Kf ∈
ε εε
Tff =

Chú thích 3.1. Nhờ đònh lý điểm bất động Banach, nghiệm của hệ
(3.2) được xấp xỉ bởi thuật giải sau:
ε
f


, (3.6)
)()(
)1(1)1()(
gAfBITff +−≡=
−−−νν

ε
ν
cho trước.
M
Kf ∈
)0(
Khi đó
trong khi ν , (3.7)
ε
ν
ff →
)(
X +∞→
và

νν
σ
σ−
−
≤−
1
)0()0(
)(
X
X
Tff
ff , ∀ν , (3.8) , 2,1=
với

1

][1
][2
0
<
−
=
ijk
ijk
b
aMε
σ
.




12

CHƯƠNG 4
THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI

Trong đònh lý 3.1 đã cho một thuật giải xấp xỉ liên tiếp (3.6),
theo nguyên tắc ánh xạ co, đó cũng là một thuật giải hội tụ cấp 1.Trong
phần này chúng ta nghiên cứu một thuật giải cấp hai cho hệ (1.1) . Một
số điều kiện phụ liên quan đến hệ (1.1) ta sẽ đặt sau.

4.1. THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI
Xét hệ phương trình hàm

∑∑
==
=
m
k
n
j
ijkjijki
xSfaxf
11
2
))(()( ε )())((
11
xgxSfb
i
m
k
n
j
ijkjijk
++
∑∑
==
. (1.1) niRx
p
, ,1; =⊂Ω∈∀

Ta dựa vào xấp xỉ sau đây :

()
. (4.1)
(
2
)1()()1(
2
)(
2
−−
−≅
νννν
jjjj
ffff
)

Ta thu được giải thuật sau đây cho hệ (1.1)

i) Cho trước
(
)
Xfff
n
∈=
)0(
)0(
1
)0(
, , .
ii) Giả sử biết ta xác đònh ,), ,(

)1()1(
1
)1(
Xfff
n
∈=
−−−ννν

(
)
Xfff
n
∈=
)(
)(
1
)(
, ,
ν
ν
ν
bởi

()
∑∑
==
−−







−=
m
k
n
j
ijk
j
ijk
j
ijk
j
ijk
i
xSfxSfxSfaxf
11
2
)1()()1()(
))(())(())((2)(
νννν
ε

, (4.2)
)())((
11
)(
xgxSfb
i

m
k
n
j
ijk
j
ijk
++
∑∑
==
ν
, 2,11
=≤≤Ω∈ν
, , nix


13
Ta viết lại (4.2) dưới dạng
),())(()()(
)(
11
)()()(
xgxSfxxf
i
n
j
m
k
ijk
j

ijk
i
νννν
α+=
∑∑
==
(4.3) , 2,11
=≤≤Ω∈ν , , nix
trong đó
α , phụ thuộc vào như sau:
)(ν
ijk
)(ν
i
g
)1(
−ν
f
α , (4.4) ))((2)(
)1()(
xSfabx
ijk
j
ijkijk
ijk
−
+=
νν
ε

()
∑∑
==
−
−=
m
k
n
j
ijk
j
ijki
i
xSfaxgxg
11
2
)1()(
))(()()(
νν
ε

. (4.5)
)()()(
)1(
xAfxg
ii
−
−=
ν
ε

Khi đó ta có đònh lý sau:

Đònh lý 4.1. Giả sử (H1), (H2) là đúng .
Nếu
thỏa
Xf ∈
−
)1(
ν
1)(supmax
11
)(
1
<≡
∑∑
==
Ω∈
≤≤
n
j
m
k
ijk
x
nj
x
ν
ν
αα
.

(4.6)
Khi đó tồn tại duy nhất là nghiệm của (4.3)
−
(4.5) .
Xf
∈
)(ν
Chứng minh.
Hệ (4.3) được viết lại như sau:

, (4.7)
)()( ν
ν
ν
fTf =
Với
(

),())(()()()
)(
11
)(
xgxSfxxfT
i
n
j
m
k
ijkj
ijk

i
νν
ν
α+=
∑∑
==
,
. (4.8)
, 2,11
=≤≤Ω∈ν , ,
nix Xfff
n
∈= ), ,(
1

Khi đó ta nghiệm lại không khó rằng T
thỏa
XX →:
ν

XX
hfhTfT −≤−
ννν
α ,∀ . (4.9) Xhf ∈,
Sử dụng đònh lý điểm bất động Banach, đònh lý 4.1 được chứng minh. 

14

Đònh lý 4.2. Giả sử (H1),(H2),(H3 ) đúng. Cho
. Khi đó, tồn tại

hai hằng số ,ε , sao cho:
Ra
ijk
∈
0>M 0>
Với
cho trước, hệ (4.3)
−
(4.5) tồn tại duy nhất nghiệm
thỏa điều kiện
M
Kf ∈
)0(
)(
ν
f

,
∀ν

(4.10)
M
Kf ∈
)(
ν
, 2,1,0
=
Chứng minh.
Giả sử
, với hai hằng số ,ε mà ta sẽ chọn sau.

M
Kf
∈
)0(
0>M 0>
Ta cũng giả sử bằng qui nạp rằng:

. (4.11)
M
Kf
∈
− )1(ν
Ta sẽ chứng minh rằng
.
M
Kf
∈
)(ν
Với mọi , ta có từ (4.3) rằng: Ω∈x


∑∑∑∑
=====
+≤
n
i
i
n
i
n

j
m
k
ijk
j
ijk
n
i
i
xgxSfxxf
1
)(
111
)()(
1
)(
)())(()()(
νννν
α
∑


X
n
i
m
k
n
j
ijk

j
ijk
nj
gxSfx
)(
11 1
)()(
1
))(()(max
ν
νν
α+≤
∑∑ ∑
== =
≤≤


XX
n
i
m
k
ijk
x
nj
gfx
)()(
11
)(
1

)(supmax
νν
ν
α+
∑∑
==
Ω∈
≤≤
≤
. (4.12)
Do đó

XX
n
i
m
k
ijk
x
nj
X
gfxf
)()(
11
)(
1
)(
)(supmax
νν
ν

ν
α+≤
∑∑
==
Ω∈
≤≤
. (4.13)
Mặt khác, với mọi , ta có từ (4.4), (4.11) , rằng: Ω∈x

))((2)(
)1()(
xSfabx
ijk
j
ijkijk
ijk
−
+≤
νν
εα

X
ijkijk
fab
)1(
2
−
+
ν
ε≤

ijkijk
aMb ε
2
+≤
. (4.14)

15

Ta suy từ (4.14) rằng:

∑∑

==
Ω∈
≤≤
n
j
m
k
ijk
x
nj
x
11
)(
1
)(supmax
ν
α ][2][

ijkijk
aMb
ε+≤
. (4.15)
Mặt khác, ta cũng có từ (4.5) và bổ đề 2, (i), chương 3, rằng:


X
X
X
Afgg
)1()( −
+≤
νν
ε

][
2
ijk
X
aMg
ε+≤
. (4.16)
Từ (4.13) , (4.15) và (4.16), ta được:


][)][2][(
2)()(
ijk
X

X
ijkijk
X
aMgfaMbf εε
νν
+++≤ . (4.17)

Nếu ta chọn được ,ε thỏa hai điều kiện sau: 0>M 0>


1][2][ <+
ijkijk
aMb ε
, (4.18)
0)][1(][
2
≤+−−
X
ijkijk
gMbaMε3 . (4.19)

Khi đó, ta suy ra từ (4.17),(4.18) và (4.19) rằng:


M
aMb
aMg
f
ijkijk
ijk

X
X
≤
−−
+
≤
][2][1
][
2
)(
ε
ε
ν
. (4.20)
Điều nầy khẳng đònh (4.10).
Bây giờ ta chỉ ra cách chọn ,ε thỏa (4.18) và (4.19). 0>M 0>
Ta chú ý rằng (4.19) dẫn đến (4.18), bởi vì (4.19) tương đương với:


MaMbaMg
ijkijkijk
X
)][2][1(][
2
εε−−≤+ . (4.21)


16
Như vậy, ta chỉ cần chọn ,ε thỏa (4.19). 0>M 0>
Ta coi vế trái của (4.19) như là một tam thức bậc hai theo .

Do
M
1][ <
ijk
b
, tam thức nầy sẽ có hai nghiệm dương phân biệt :

][6
][1
1
ijk
ijk
a
b
ε
∆−−
=M ,
][6
][1
2
ijk
ijk
a
b
M
ε
∆+−
= , (4.22)
nếu ta chọn ε đủ nhỏ sao cho 0>

()
0][12][1
2
>−−=∆
X
ijkijk
gab ε . (4.23)
Như vậy (4.19) xảy ra nếu ta chọn nằm trong khoảng hai nghiệm
:
M
21
, MM

M . (4.24)
21
MM
<<
Đònh lý 4.2 được chứng minh hoàn tất. 

Đònh lý 4.3. Giả sử (H1), (H2), (H3 ) đúng. Cho
. Khi đó, tồn
tại hai hằng số , , sao cho:
Ra
ijk
∈
0>M 0>ε
(i) Với
cho trước, dãy {
xác đònh bởi hệ (4.3)−(4.5)
là dãy lặp cấp hai. Chính xác hơn, ta có

M
Kf
∈
)0(
}
)(ν
f

, 2,1
2
)1()(
=∀−≤−
−
νβ
νν
,
X
M
X
ffff (4.25)
trong đó

0
][2][1
][
>
−−
=
ijkijk
ijk

M
aMb
a
ε
ε
β
(4.26)
và f là lời giải của hệ (1.1).
(ii) Nếu
được chọn đủ gần f sao cho
)0(
f

1
)0(
<−
X
M
ffβ , (4.27)
thì dãy
{
hội tụ đến cấp 2 và thỏa một đánh giá sai số
}
)(ν
f

, 2,1
1
)0()(
=∀







−≤−νβ
β
ν
ν
,
2
X
M
M
X
ffff

(4.28)
Chứng minh.

17

(i) Đặt e , từ (1.1) và (4.2) ta thu được
)()( νν
ff −=



)()()(

)()(
xfxfxe
i
i
i
νν
−=


()
∑∑
==
−
+=
m
k
n
j
ijk
j
ijkjijk
xSfxSfa
11
2
)1(
2
))(())(([
ν
ε
− ))](())((2

)()1(
xSfxSf
ijk
j
ijk
j
νν−
+
∑∑
==
m
k
n
j
ijk
j
ijk
xSeb
11
)(
))((
ν


()
∑∑
==
−
+=
m

k
n
j
ijk
j
ijkjijk
xSfxSfa
11
2
)1(
2
))(())(([
ν
ε

−
))](())((2))(())((2
)()1()()1(
xSexSfxSfxSf
ijk
j
ijk
j
ijk
j
ijk
j
νννν−−
−

∑∑
==
−
++
m
k
n
j
ijk
j
ijk
j
ijkijk
xSexSfab
11
)()1(
))(())]((2[
νν
ε
=
()
∑∑
==
−
+
m
k
n
j

ijk
j
ijkjijk
xSfxSfa
11
2
)1(
2
))(())(([
ν
ε
− ))](())((2
)1(
xSfxSf
ijkjijk
j
−
ν

∑∑
==
+
m
k
n
j
ijk
j
ijk
xSex

11
)()(
))(()(
νν
α

. (4.29)
()
∑∑
==
−
=
m
k
n
j
ijk
j
ijk
xSea
11
2
)1(
))((
ν
ε
∑∑
==
+
m

k
n
j
ijk
j
ijk
xSex
11
)()(
))(()(
νν
α
vậy

e .
)(
)(
x
i
ν
∑∑
==
=
m
k
n
j
ijk
j
ijk

xSex
11
)()(
))(()(
νν
α
()
∑∑
==
−
+
m
k
n
j
ijk
j
ijk
xSea
11
2
)1(
))((
ν
ε
Với mọi , ta có từ (4.29) rằng: Ω∈x


∑∑∑
====

≤
n
i
n
j
m
k
ijk
j
ijk
n
i
i
xSexxe
111
)()(
1
)(
))(()()(
ννν
α
∑

()
∑∑∑
===
−
+
n
i

m
k
n
j
ijk
j
ijk
xSea
111
2
)1(
))((
ν
ε

18
∑∑ ∑
== =
≤≤
≤
n
i
m
k
n
j
ijk
j
ijk
nj

xSex
11 1
)()(
1
))(()(max
νν
α
()
∑∑ ∑
== =
−
≤≤
+
n
i
m
k
n
j
ijk
j
ijk
nj
xSea
11 1
2
)1(
1
))((max
ν

ε
X
n
i
m
k
ijk
x
nj
ex
)(
11
)(
1
)(supmax
ν
ν
α
∑∑
==
Ω∈
≤≤
≤
∑∑ ∑
== =
−
≤≤









+
n
i
m
k
n
j
ijk
j
ijk
nj
xSea
11
2
1
)1(
1
))((max
ν
ε

X
n
i
m

k
ijk
x
nj
ex
)(
11
)(
1
)(supmax
ν
ν
α
∑∑
==
Ω∈
≤≤
≤
∑∑
==
−
≤≤
+
n
i
m
k
X
ijk
nj

ea
11
2
)1(
1
max
ν
ε


X
n
i
m
k
ijk
x
nj
ex
)(
11
)(
1
)(supmax
ν
ν
α
∑∑
==
Ω∈

≤≤
≤


2
)1(
][
X
ijk
ea
−ν
ε+ . (4.30)
Vậy


X
e
)(ν
X
n
i
m
k
ijk
x
nj
ex
)(
11
)(

1
)(supmax
ν
ν
α
∑∑
==
Ω∈
≤≤
≤

2
)1(
][
X
ijk
ea
−
+
ν
ε . (4.31)

Chú ý rằng, do
và (4.4) , ta có
M
Kf
∈
− )1(ν

∑∑

==
Ω∈
≤≤
n
j
m
k
ijk
x
nj
x
11
)(
1
)(supmax
ν
α
][2][
ijkijk
aMb ε+≤
. (4.32)

Ta suy ra từ (4.31), (4.32) rằng


X
e
)(ν

X
ijkijk
eaMb
)(
)][2][(
ν
ε+≤
2
)1(
][
X
ijk
ea
−
+
ν
ε . (4.33)

19
Điều nầy dẫn đến

2
)1(
2
)1(
)(
][2][1
][
X
M

ijkijk
X
ijk
X
e
aMb
ea
e
−
−
≡
−−
≤
ν
ν
ν
β
ε
ε
, (4.34)
hay

, 2,1
2
)1()(
=∀−≤−
−
νβ
νν
,

X
M
X
ffff
với

0
][2][1
][
>
−−
=
ijkijk
ijk
M
aMb
a
ε
ε
β
.

(ii) Từ (4.34) ta có

2
2
)2(
2
)1()(







≤≤
−−
X
MM
X
M
X
eee
ννν
βββ

() ()
2
2
2
2
)3(
21
2
)2(
21







≤=
−
+
−
+
X
MM
X
M
ee
νν
βββ


()
3
2
2
)3(
221
X
M
e
−
++
ν
β=

()
ν
ν
β
2
)0(
2 221
12

X
M
e
−
++++
≤≤

()
ν
ν
ν
β
β
β
2
)0(
2
)0(
21
21
1







=
−
−
X
M
M
X
M
ee
=
, (4.35)
tức là (4.28).
Bất đẳng thức đánh giá nầy cho phép ta kết luận dãy {
hội
tụ đến cấp 2 đến lời giải của hệ (1.1) nếu
được chọn thỏa
(4.27).


}
)(
ν
f
f

)0(
f
Chú thích 4.1:
Về việc chọn bước lặp ban đầu
thỏa (4.27) ta tiến hành
như sau: Trước hết ta lấy
, ta xây dựng dãy lặp đơn { liên
M
Kf ∈
)0(
Xz
∈
)0(
}
)(
η
z
kết với ánh xạ co T (như trong đònh lý 3.1, chương 3):
MM
KK →:


,η . (4.36)
)()(
)1(1)1()(
gAzBITzz +−≡=
−−−ηη
ε
η
, 2,1=

20
Khi đó dãy
{
}
)(
η
z hội tụ trong về lời giải của (1.1) và ta
có một đánh giá sai số
X
f


, 2,1
1
)0()0()(
=∀
−
×−≤−η
σ
σ
η
η
,
XX
Tzzzf (4.37)
với

1

][1
][2
<
−
=
ijk
ijk
b
aMε
σ
. (4.38)

Từ (4.37) ,(4.38), ta chọn η đủ lớn sao cho:
0
N∈


1 <
−
×−≤−
σ
σ
ββ
η
η
1
0
0
)0()0(
)(

X
M
X
M
Tzzzf
. (4.39)

Vậy ta chọn
.
)(
)0(
0
η
zf =

21
CHƯƠNG 5

KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM



Trong chương nầy, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm
(1.1) bò nhiễu bởi một tham số bé ε . Khi đó một khai triển tiệm cận
nghiệm của hệ (1.1) đến cấp theo ε thu được, với ε đủ nhỏ. 1+N
Trong phần nầy, ta giả sử rằng các hàm
, và các số thực
,b , ε , thỏa các giả thiết (H1)-(H5), lần lượt.
ijk
S g
ijk
a
ijk 0
M

Ta xét hệ bò nhiễu (3.2), trong đó ε là một tham số bé,
ε

.
Đặt .
≤
0
ε
BIL −=

Ta hãy xét dãy hàm
{
}
][r
f ,
r
, ( với hằng
số thích hợp ) được xác đònh bởi các hệ sau:
N, ,2,1,0=
M
r
Kf ∈
][
0>M

, (5.1)
]0[]0[
PgLf ≡=


, (5.2)
]0[]1[]1[

AfPLf
≡=


, r , (5.3)
][][ rr
PLf = N, ,3,2
=

trong đó

, (5.4)
∑∑
==
=
m
k
n
j
jj
ijk
i
ffaP
11
]1[]0[]2[
2

với , Ns , ,4,3=

=

][s
i
P
∑∑
==
m
k
n
j
ijk
a
11
∑
−
−
−
−
11
1
1
, ,
]1[]1[
11
) ()(
!!
2
s
s
s
jj

s
ff
γγ
γ
γ
γγ


+ , (5.5)
]1[]0[
11
2
−
==
∑∑
s
jj
m
k
n
j
ijk
ffa


22
các số nguyên không âm γ thỏa
11
, ,
−s

γ


, γ .
2
121
=+++
−s
γγγ 1)1( 2
121
−=−+++
−
ss
s
γγ

Đặt

h , (5.6) Ufff
N
r
rr
+≡+=
∑
=
]0[
1
][]0[
ε
khi đó

, (5.7)
hfffv
N
r
rr
−≡−=
∑
=
εε
ε
0
][
thỏa hệ


, (5.8)
ε
ε EAhhvALv +−+= ])([

trong đó

. (5.9)
∑
=
−−+=
N
r
rr

PfAUfAE
2
][]0[]0[
)]()([
εε
ε
Bây giờ, ta đặt các ký hiệu sau:

Với một đa chỉ số γ , ta đặt
N
N
Z
+
∈= ), ,(
1
γγ


γ= ,
!! !
1 N
γγ
N
γγγ++=

1
, η
∑
=
=

N
i
i
i
1
)( γγ

, ), ,,(
][]2[]1[ N
jjj
j
ffff
=
r

. (5.10)
N
N
jjj
j
ffff
γ
γγ
γ
) ()()(
][]2[]1[
21
=
r

Khi đó, ta có bổ đề sau đây.

Bổ đề 5.1.
Giả sử (H1)-(H5) đúng. Khi đó, tồn tại một hằng số
sao
cho
)1(
N
C


1
)1(
+
≤
N
N
X
CE ε
ε
, (5.11)

23
trong đó
là một hằng số chỉ phụ thuộc vào ,
)1(
N
C N ][
ijk
a ,

X
r
f
][
,
.
Nr , ,1,0=

Chứng minh. Trong trường hợp , chứng minh của bổ đề 5.1 thì dễ
dàng, do đó ta bỏ qua chi tiết, mà ta chỉ chứng minh với Ta có
1=N
.2≥N


ε
)())()((
]0[]0[
xfAUfA
i
−+

= , (5.12)
∑∑
==
−+
m
k
n
j
j

j
j
ijk
fUfa
11
2
]0[
2
]0[
]( ))(( ))( )[(ε

trong đó, ta ký hiệu . Bằng việc khai triển
Maclaurin của hàm xung quanh điểm ,
sau khi sắp xếp lại theo bậc của , ta thu được ( ta bỏ qua đối số
trong các cách viết)
))((( )
]0[]0[
xSff
ijk
jj
=
fAUfA ))()((
]0[]0[
−+
ε
i
]0[
f
)(xS
ijk

)())()((
]0[]0[
xfAUfA
i
−+ε


=
∑∑∑
==
+
=
m
k
n
j
ijk
N
s
a
11
12
3
s
s
j
f ε
γ
γηγ

γ








∑
−== 1)(,2
!
!2
r



+
. (5.13)
s
s
j
m
k
n
j
ijk
N
s
fa ε









−
==
+
=
∑∑∑
]1[
11
1
2
2

Ta suy ra từ (5.4), (5.5), (5.12), (5.13) rằng



∑
=
−−+=
N
r
r
i

r
iii
PfAUfAE
2
][
]0[]0[
))()((
εε
ε

=
∑∑∑
==
+
+=
m
k
n
j
ijk
N
Ns
a
11
12
1
s
s
j
f ε

γ
γηγ
γ








∑
−==
1)(,2
!
!2
r



+ . (5.14)
1
][]0[
11
2
+
==
∑∑
N
N

jj
m
k
n
j
ijk
ffa ε


24
Do đó, ta suy ra từ (5.14) rằng


∑
=
n
i
i
xE
1
)(
ε
s
n
i
m
ks
j
n
j

ijk
nj
N
Ns
fa ε
γ
γηγ
γ
∑∑ ∑∑∑
== −===
≤≤
+
+=
≤
11 1)(,21
1
12
1
( )
!
!2
max
r



1][]0[
][2
+
N

X
N
X
ijk
ffa ε+ . (5.15)

Mặt khác, với mỗi , ta có 121 +≤≤+ NsN


∑
−===
1)(,21
( )
!
!2
s
j
n
j
f
γηγ
γ
γ
r
∑



∑∑∑
===

≤≤
N
X
n
j
N
j
fNfN
1
2
][
11
2
][
( )
ν
ν
ν
ν
. (5.16)

Khi đó, ta có từ (5.15), (5.16) rằng


∑
=
n
i
i
xE

1
)(
ε
s
n
i
m
k
N
X
ijk
nj
N
Ns
fNa ε
ν
ν
∑∑ ∑∑
== =
≤≤
+
+=
≤
11 1
2
][
1
12
1
max

1][]0[
][2
+
N
X
N
X
ijk
ffa ε+ . (5.17)
1
)1(
+
≤
N
N
C ε

Vậy
X
E
ε
1
)1(
+
≤
N
N

C
ε
.

Bổ đề 5.1 được chứng minh hoàn tất. 

Đònh lý sau đây cho một kết quả về khai triển tiệm cận của nghiệm
theo ε .

Đònh lý 5.1.
Giả sử (H1)-(H5) đúng. Khi đó, tồn tại một hằng số

sao cho, với mỗi
ε
, với
0
1
>ε
1
εε≤
, hệ (3.2) có duy nhất một nghiệm
thỏa một đánh giá tiệm cận đến cấp N+1 như sau:

M
Kf ∈
ε


25